はい」これは本当にそうでした。木段のところで会話した方です。「甲州街道歩いたよー。1時間くらいで歩けたよ。歩いて、梅ノ木平からまた登っていらしたようです。南高尾を歩く人のコース取りは、謎に満ちている・・・・。どこから来てどこに行くのか詳しくきけば納得のいくことなんでしょう。皆、それぞれの山を歩いている。三沢峠には、「高尾山口」を示す新しい道しるべも追加されてありました。今までよりもわかりやすくなりましたね。ゆるい登り坂には秋の花。コウヤボウキかな?道は広くなり、整備された階段を下って、また少し登ると草戸山。体温がまた上がったのを感じて、大休憩。軍手を外すと、両手がむくんでいます。気温さえ低ければ楽勝なんだがなあ。これからだんだん歩きやすい季節になりますね。草戸山から高尾山口へ。アップダウンはかなりあるものの、1時間で歩ける道なのですが、途中のピークの度に休憩し、高尾山口下山。信号の向こうを歩く人の多さにびっくり。高尾山は今日も混雑していた様子です。これは、久しぶりに晴れた日曜日+「ブラタモリ」効果でしょうか。今朝のバスの大混雑もそうだったのかもしれません。方程式の文章題の立式。「方程式の利用」すなわち、文章題の立式が苦手な子は多いですが、その立式を見ていると、簡単なことを難しくしている場合が多いと感じます。ある数に4を加えて2倍した数は、もとの数の4倍よりも2小さい。問題に書いてある通りに立式するだけなので、易しい問題のはずです。一般的にこういう問題では文中にある「は」が=の合図です。「ある数に4を加えて2倍した数」が左辺ですから、(x+4)×2。方程式らしく書くと、2(x+4)それは、「もとの数の4倍よりも2小さい」。4x-2ですから方程式は、2(x+4)=4x-2問題文の通りに立てるだけなので、とても簡単ですね。簡単なはずのこうした問題でもかなり苦戦する子もいます。いう子の立てる式は、こんなふうであることが多いです。2(x+4)-4x=2この式はそもそも間違っているのですが、その前に、どうしてこういう式を立ててしまうのかを解決したいものです。考えられることの1つは、小学校で習ったことをいまだに引きずっていて、中学の数学、特に方程式の学習ということに上手く移行できていないのではないかということ。小学校の算数の文章題は、問題文を読み取って関係をつかんだうえで、答えを求める式を立てます。そのために問題にある「加える」「引く」を頭の中で転換する作業が必要になります。逆算の発想で、問題文で加えているんだから引く式を立てなくちゃ、かけているから割る式を立てなくちゃと考えなくてはなりません。その癖がついてしまい、中学生になってもそのように考えてしまうんでしょうか。方程式はそのようなものではありません。等しい数量の関係を表す式。方程式はそのように言われることもありますが、ここで重要なのは「関係を表す」ではなく、「等しい数量」ということです。問題文の中に、何かの数量が2通りの方法で表されていて、それを=で結んだものが方程式です。方程式は必ず何かの数量を表しています。「あなた書いた方程式は何の数量を表しているの?」と質問すると、たいてい黙りこんでしまいます。私の様子からどうせ間違っているんだろうと察して黙ってしまうのもあるでしょうが、何より、書いた本人が何の数量を表しているかを意識していないのではないかと感じます。「何の数量を表しているのかがわかれば、この方程式は手直しできるよ。「ある数」と答えたりします。気持ちはわかるけれど、言葉が足りない。そこに混同があって、式が歪んでしまうのかなあ。そんなふうに感じます。数に関する問題では、何の数量を表しているのかは自覚しにくいのは事実です。「あなたの式は、何の数量を表しているの?距離?時間?」と質問しても、文章題が苦手な子はほとんど答えられません。「この式は何の数量を表しているの?食塩水の量?食塩の量?」この問いかけにも、その質問を予期したことがない、考えたことがないという表情をする子が多いのです。これはきわめて重要なことなのに、それを意識しないで立式しているから、式が途中で歪むんじゃないでしょうか。方程式は何かの数量を表しているということを意識したことがない子は多いようです。左辺も右辺も同じ何かの数量を表しているのです。それを明確に意識できれば、方程式の立式は小学校の算数の文章題の立式よりも簡単です。ある数に4を加えて2倍した数は、もとの数の4倍よりも2小さい。2(x+4)=4x-2この方程式が表している数量は、「ある数」ではありません。「ある数に4を加えて2倍した数」です。それが、「もとの数の4倍よりも2小さい」というので、右辺では同じ数量を言われた通りに別の表現で表しているのです。このように説明しても上手く通じないことが多いです。言葉の表面は、問題文をなぞっているだけのようなものだからでしょう。何を言われているのか、根本的には理解できない。いう子が多いのだろうと感じます。ある数に4を加えて2倍した数は、その数の4倍よりも2小さい。これを、2(x+4)-4x=2と間違った立式をしてしまう子は学力が低いわけではありません。問題文を読み、大小関係を把握しようと努めているのです。才能の使い途を間違えています。差が2であることを表す式をどうしても立てたいのなら、4x-2(x+4)=2となります。この式を教えてあげるとそういう子の表情はぱっと輝くのですが、正解がわかって嬉しかった記憶が残るのは困るなあと私は内心感じています。そもそも、こんな式は立てないでほしいのです。反省材料がそんなことになってしまっては困るのです。方程式はそういうものではないのです。いう発想をする子の式のバリエーションはいろいろで、同じ問題でも、2(x+4)+2=4xという立式をする子もいます。この式も間違ってはいません。何でこの問題文からこの立式になるんだろう、何を複雑なことを考えているんだろう、とは思うのですが、式として間違ってはいないのです。これも、2(x+4)-2=4xと、間違った式を立ててしまうリスクが高い。大小関係を概観してから立てる式は難しいのです。そんなことをしなくても、問題に書いてある通りに、書いてある順番に書いてけば、正しい式になります。大きいならプラス、小さいならマイナス。問題に書かれていることと式のブラス・マイナスも一致します。難しいことを考え過ぎるから、むしろ間違えるのです。以上のことは大人の方なら理解していただけると思うのですが、子どもに伝えるのは本当に難しいことの1つです。先ほども書きましたが、かなり抽象的で概念的なことなのです。1回で子どもに伝わることはありません。何回でも何回でも伝える。同じ間違いをする度に伝える。「あなたの立てた式は何の数量を表しているの?」と、その子の胸に届くまで訊き続ける。それは自学自習でも集団指導でも実現しにくいこと。個別指導が高い可能性を持っていることだと思います。単純な計算問題は解けるけれど、文章題は苦手という中学生は多いです。それは中3になって「2次方程式の利用」の問題を解くようになっても同じです。私は大人のための数学教室も開いていて、大人の方からも「文章題は苦手」とよく聞くのですが、そう言いながら、大人は文章題の立式はスムーズにできる場合がほとんどです。子どもと何が違うのか?やはり経験の違いが大きいのだと思います。子どもにとって特に難しいのが「割合」の問題。大人の場合、「1200円の8パーセント引きはいくらか」と言われたらすぐ以下のように立式できます。分数として読んでください。)ところが、子どもは、まず「く・も・わ」の図を描いて、ええと、ええと、1200円が「もとにする量」で、8パーセントが「割合」だから、と考え込んだ結果、1200×8という式を立ててしまったりします。これは、それほど数学ができない子の話ではありません。5段階で「4」をとる子の中にもこういう子は多いです。以前も書きましたが、「割合」は子どもの感覚や固定観念からは逸脱した内容です。比べる量÷もとにする量=割合という式だけは実感を伴いますし意味の明解なものですが、残る2本は逆算の考え方で変形しただけの式ですので、その式自体に感覚的な裏付けはありません。もとにする×割合=比べる量という式に大人が何の疑問も抱かず、実感から言ってもそうだろうと思うのは、何年も何年もその式を当たり前に使って慣れているからです。「もとにする量に割合をかけると比べる量になる」ということを初めて知る子どもには何の実感もありません。それを「何でこんなこともわからないのっ。当たり前のことでしょう!」と怒っても、子どもにとっては当たり前のことではないのです。実感は何もありません。比べる量÷割合=もとにする量となると、彼らの実感ではこんな式は絶対に立ててはいけない種類の式でしょう。子どもの感覚ではわり算をすると答えはもとの数より小さくなのですから。実感で式を立ててもダメなんだよと余程言わないと定着しません。「ははあ、これは実感とは随分違うな。面白いな」というふうに頭の働く子は、「割合」を楽々と身につけていきます。比べる量を割合で割るともとにする量に戻る。縮めたものに力を加えるとポンッと元に戻るみたいで、面白いなあ。思えるとこの公式は楽しいです。ない場合は、とにかく公式を正確に覚えて、文章中の「比べる量」「もとにする量」「割合」を分析して機械的に立式するのが早道です。常に正確に解くことを繰り返し、その中で割合に関する「実感」を作っていくことが必要となります。「割合」が苦手な子は、そうした手順を省略し、自分の感覚に固執して式を立て、正答したり間違ったりを繰り返すために、「割合」について正しい実感を形成できずにいることが多いです。大人になると、割合の考え方は仕事でも買い物でも当たり前に使うことになります。もとにする量×割合=比べる量の式は、日常でよく使うものです。した中で、じわじわと実感が形成されていきます。大人の方は、「私は文章題は苦手で」とおっしゃっても、実際には立式に失敗することはほとんどありません。子どもの頃は文章題が苦手で、その記憶が残っていらっしゃるだけなのかもしれません。ここに希望があると感じます。今、私の目の前で「百分率」や「歩合」という言葉にすら眉を寄せため息をついている子も、大人になればきっと百分率や歩合は自在に扱えるようになる。一生わからないままということはないでしょう。それは理解力の問題ではなく、理解しようとする意志の問題であり、練習量の問題ですから。使えば覚えるレベルのことなのです。ここからは、2次方程式にしぼって具体的に問題を見ていきましょう。引きで売ったところ、400円の損失となった。どもの場合、こうした言葉に対する拒絶反応が強いのも特徴です。わからないのは仕方ないのですが、嫌いだから知りたくないという顔をされるのは困りものです。都市生活を行っていて商業に関わらずに生きていくことはできないんだぞー。́_ゝ`)それはともかく、立式。10000(1+x/100)(1-x/100)=10000-400文章題から立式した方程式は、このように普通の計算問題より解きにくいものとなりがちです。桁が大きいので、やたらとゼロが多い。中学生の場合、上の式を自分で立てると、10000×(1+x/100)×(1-x/100)=10000-400と書いてしまうことがあります。小学生だった頃の癖が出て、かけ算の記号を省略できないんです。中学生になってからはかけ算の記号を含んでいる方程式を解いたことがないので、自分の立てた式に戸惑い、何をどうして良いのかわからなくなる子がいます。作業手順は身についているけれど根本を理解していない場合、そうなりがちです。それを一番上の式のように書き直してあげると、普通の方程式だということはわかって解こうとします。それでも、さらなる困難が待っています。上の式を、こんなふうに変形をしてしまう子は多いです。1000000(100+x)(100-x)=10000-400右辺がほったらかしなのは、ケアレスミスでしょう。左辺のミスが深刻です。かけ算でつながっているひとまとまりを100倍したいなら、1か所だけ100倍すればいいということは、数学が苦手な子に説明してもなかなか定着しないことの1つです。全ての数字に逐一×100をしてしまうミスが繰り返されます。そのときだけわかった様子を見せるのですが、別の場面でまた同じことをしてしまうのです。数字の桁に関する感覚や因数分解的な感覚が成熟していないのだろうと思います。小学校で「小数のかけ算・わり算」を学習したときに意味を理解して桁移動をしたか、意味がわからず作業手順として身につけたかの違いが、こういう際に表れてしまうようにも感じます。単純な例で言えば、0.37×2500=37×25ということを計算の過程で自力で利用できるかどうかということです。数字の桁に関する感覚は意味を説明するとかなり抽象的なことなので、幼い頃に理解できなかった子は後になってもなかなか理解しづらい様子です。10進法の根幹を理解するようなものだからでしょうか。幼い子どもは抽象的なことを直感で理解する能力があり、数学に関する基盤を頭の中に築くのですが、それらを直観で理解できなかった子は、かけ算・わり算の意味さえ本当にはわかっていないように感じることがあります。経験を重ねれば理解できることも多い一方、幼い時期に理解できないと後から理解するのは相当に難しいこともある。矛盾しているようですが、長年数学を教えている中での私の実感でもあります。そもそも、今回の式は、全体を100倍などせず、スマートに、(100+x)(100-x)=10000-400と整理したいところです。これを自力でできるか。式を提示されたら意味は理解できるか。式を見ただけではわからないが説明されたら理解できるか。説明されても理解できないか。それぞれにステージが異なると感じます。数学が得意になるには、究極、このステージを上げなければなりません。奥高尾を歩いてきました。2016年9月9日(金)、2か月ぶりに山歩きをしてきました。日曜日に行こうと思うたびに予報は大気不安定。いざ日曜日になってみると、そこそこの天気で、これなら山に行けたのにと後悔する毎週でした。今回も日曜日は大気不安定の予報。金曜日は晴れマークが並んでいます。よし、近場でいいから山に行こう。奥高尾に行こう!休日ではないので、電車やバスのダイヤも少し違って、三鷹発7:54。