^)ノでは、こんな問題はどうでしょう。12本のくじの中に当たりくじが3本ある。a、bの2人がこの順番にこのくじを引くとき、bが当たる確率を求めよ。引いたくじは元に戻さないものとする。これは、場合分けをして求めなければなりません。aが当たりbも当たる場合と、aが外れbが当たる場合とです。この2つは確率が異なるので、それぞれを求めて最後に足す必要があります。aが当たる確率は、3/12。この後、bが当たる確率は、くじは全部で11本、当たりくじは2本ですから、2/11。したがって、aが当たりbも当たる確率は、3/12×2/11=6/132となります。次に、aが外れbが当たる場合。aが外れる確率は、9/12。その後、くじは全部11本、当たりくじは3本ですから、bが当たる確率は、3/11。したがって、aが外れbが当たる確率は、9/12×3/11=27/132。aが当たりbも当たる場合と、aが外れbが当たる場合は、互いに排反ですから、この確率は単純に足すことができます。よって、bが当たる確率は、6/132+27/132=33/132=3/12=1/4。ところで、aが当たる確率は、3/12=1/4ですから、aが当たる確率もbが当たる確率も等しいとわかります。実は、くじに当たる確率は、引く順番と関係なく等しいのです。先に引いたほうが有利とか、後に引いたほうが有利ということはないのです。え?本当に?と感じますよね。これは少し説明が必要です。aがくじを引く前の段階では、aが当たる確率も、bが当たる確率も等しいということです。aがくじを引いてその結果がわかった瞬間から、bの当たる確率は変わってきます。aが当たった後では、bが当たる確率は低くなりますし、aが外れた後なら、bが当たる確率は高まります。このときのbが当たる確率こそが、前回学習した「条件付き確率」。aがくじを引いていない最初の段階でbの当たる確率とは違うのですね。考え方がわかったところで、単純な計算上の工夫を。確率を最終的に足さなければならないことがわかっている問題では、計算の途中では約分をしないことをお薦めします。上の問題で言えば、6/132も27/132も約分できますが、その段階では約分しません。これを、6/132=1/22、27/132=9/44とすぐに約分し、足すときになって、1/22+9/44=2/44+9/44と、また通分するのは無駄なことだからです。上の問題くらいシンプルならば良いのですが、もっと何通りもに場合分けして、それを最終的に足していくことも多いです。そのいちいちで約分し、最終的に足すときにはまた通分する人がときどきいます。時間の無駄であるだけでなく、約分の途中、通分の途中で計算ミスを犯すリスクが高まります。実際には、そう注意しても、約分が癖になっていて、ついやってしまう人がいます。計算ミスをしやすい人ほど、リスクの高い方法で計算してしまう癖があると、こういうときに感じます。作業が増えるだけ計算ミスは増えるということを頭の隅において、気づいたときだけでも約分をやめてみてください。計算しやすくなり、また速く計算できるので、びっくりすると思います。時制に関する問題が苦手な子。1つの時制を学ぶたびに、それまでの時制と混ぜて問題が出されますので、その見分けが重要になります。現在の習慣や現在の状態を表す文は、現在形で表します。ついていることが多いです。前後から判断して、現在行っている動作であるときは、nowがついていなくても現在進行形ということはあります。それは他の時制でも同様です。文脈判断ということですね。過去のことならば、過去形。過去を表す言葉がついていることが多いです。以前は、この説明で十分でした。テスト本番になるとうっかりして、三単現のsをつけ忘れたり、過去形の否定文なのに、動詞にedをつけてしまったりと、ミスはいくらでもあるものですが。5年ほど前からでしょうか。練習しているときに、何だか思うように定着しないなあ、と感じることがあるのです。何回かやると、正解を出すので、わかっているようでもあります。時制ミスをしてしまうのは、ケアレスミスなのだろうと。根本がわかっていない子がいるのです。時間には、「過去」と「現在」と「未来」がある。した時間軸を意識していない子どもがいるのでした。遭遇した子は、中学受験をして私立中学に通っている子でした。ある程度の学力はありました。数学を教えている限りは、さほど違和感は覚えませんでした。お母様の話では、小学生の頃から国語が苦手で、だから英語も苦手なのかもしれないということでした。いって、何で現在形と現在進行形と過去形でこんなに混乱しているのだろう?時制の使い分けの問題では、正答率は5割以下でした。秀才に対して、単なるケアレスミスを指摘するような感覚で説明しても、話が通じませんでした。「・・・・」この反応は、ちょっとおかしいな?見分け方のコツを説明すれば済むようなことでないのかもしれないと感じました。その子が、時間をどのように把握していたのかはわかりません。昨日と今日は違う日だということことくらいは勿論わかっていたでしょう。日本語が、過去と現在と未来とを分けて語っているということが意識できなかったのだと思います。「現在」のことを言うときと、「過去」のことを言うときとでは、日本語でも表現が変わるということに、気がついていなかったのです。無意識に日本語を使っていますから、自分が時制を区別して言い分けていることに自覚がなかったのです。英語がやたらに現在進行形だの過去形だのと時制を区別するのが理解できなかったのでしょう。時制の区別は日本語でも普通のことだと理解できず、区別する基準がわからなかったようなのです。能力的には、特に問題はなく、むしろ優秀な部類の子でした。国語が苦手というのは、既にこういう状態のことなのでした。現在のことを言うときと、過去のことを言うときとでは、日本語の表現はこう変わる、英語もそうだ、と改めて説明しなければ理解できない子がいます。国語の授業で日本語の文法をやるのが意味わかんない、とそういう子は言います。日本語は話せるから文法なんか別にいいのにと思っているようです。彼女たちは、本当に日本語をわかっているのでしょうか?日常会話は可能でしょうが、本当に、日本語の仕組みを理解しているのでしょうか?口語文法に時間をかけるのは、以前は、文語文法を理解する準備のためという意味あいが大きかったと思います。今は、本気で口語文法を教えないとちょっとまずい時代のようです。勉強が必要な子ほど、口語文法を毛嫌いするのではありますが。言語に対する意識が希薄なのが前提ですが、時間に対する意識が希薄だという問題もあるのかもしれません。』というアニメが評判になりました。何回も同じ映画を見に行く若者が多かったようですが、自分の好きなシーンを何度でも見るためという普通の目的の他に、意味がよくわからなかったからもう一度見に行ったというつぶやきをTwitterでいくつか見ました。地上波で放送されたときには、「これでやっと意味がわかる」や、「1回で意味のわからない人に向けてネタバレ覚悟で説明すると」といったツイートも目にしました。あの映画、1回では意味がわからない子がいるのですね。時間のからくりがわからないのでしょうか。主人公2人の実際の年齢差が理解できないようなのです。それは理解力の問題なのか。時間に対する認識が薄いせいなのか・・・・。現代の若者が全員アホだという話ではありません。古くなるけれど『時をかける少女』というアニメは、今も熱くひっそりと現代の若者に支持されています。時間のからくりで言えば『君の名は。』よりも『時をかける少女』のほうが難しい。何より、あの抒情を感じとるにはセンスが必要だと思います。時間に抵触する物語に不可欠な、あの抒情。抒情という点では『君の名は。』は、ちょっとダサいかなあ。『時をかける少女』を理解し推す若者たちがいる限り、若者との共通言語は存在すると感じます。それぞれの時制に応じて表現は変わるということ。時間に対する思いが強ければ、時を表す表現が異なることにも気づくのではないでしょうか。それとも、それとこれとは別でしょうか。情報伝達という意味でも、それが過去のことなのか現在起きていることなのかを区別して語らなければ、正確な情報は伝わりません。時制の区別は、必要なことです。テストで点差をつけるために文法の隅をつついているというのとは次元の異なることです。時間というものへの意識。過去と現在と未来とは、日本語でも言い分ける。英語も、過去と現在と未来とでは、語り方が異なる。それを理解していないのに、識別のためのちょっとしたコツである文末の時の表現を丸暗記しようとして覚えきれず、訳がわからなくなっている子はいないでしょうか。あまりにも時制の識別ができない子に対しては、そもそも時制ということが本当に理解できているかを確認したほうがいいかもしれません。「こんなの、引っ掛け問題だよ!」と認識の甘い発言をする子も含めて。引っ掛けでも何でもない。時制は、言語のど真ん中の問題です。引っ掛けだ、と過小評価するから、いつまでもいつまでも時制ミスがなくならないのかもしれません。本日は「条件付き確率」です。教科書やテキストの説明を読むだけだと何だか難しく感じるのが、この「条件付き確率」です。あるコンサートの入場者のうち、40%が高校生で、前売りを買って入場した高校生は全体の35%だった。入場者の中から任意の1人の高校生を選びだしたとき、その人が前売りを買っている確率を求めよ。わかりにくいので、まず人数を具体的に設定して考えてみましょう。あるコンサートの入場者は100人だったとします。入場者の40%が高校生なのですから、その人数は、100×0.4=40(人)となります。前売りを買って入場した高校生の人数は、100×0.35=35(人)です。高校生40人のうち、前売りを買った人は35人。よって、任意の1人の高校生が前売りを買っている確率は、35/40=7/8となります。高校生を選びだしたときに、分母、すなわち「全体の場合の数」が変わるんです。「高校生である」という条件が付いたので、分母が変わります。これが「条件付き確率」です。そんなに難しくはありません。上のようにいちいち100人に例えて計算するのは煩わしいですね。公式を作っておきたいです。ここで、「集合」の復習。集合の要素の個数の表し方は、nを用いるのでした。ある有限集合Aの要素の個数は、n(A)と表します。上の例で言えば、全体集合の個数は、n(U)=100。高校生の集合をAとすると個数は、n(A)=40。前売りを買っている人の集合をBとすると、その個数は、n(B)。高校生で前売りを買っている人の集合の個数は、n(A∩B)=35。ところで、分数の性質として、分母・分子を同じ数で割っても、値は変わりません。なり、これはA∩Bの確率を表す式ですね。n(A∩B)/n(u)=P(A∩B)となります。確率はPで表すのでしたね。n(A)を全体集合の個数n(U)で割ると、その式は、n(A)/n(U)=P(A)となり、これは、Aの確率。よって、条件付き確率は、P(A∩B)/P(A)で求めることができます。本来、個数で処理するはずのところを確率で代用できるのです。これが条件付き確率の公式です。PA(B)のAという文字は、本当はもっと小さく、Pの下半分のサイズで書きます。高校生である確率、P(A)=0.4前売りを買った高校生である確率、P(A∩B)=0.35よって、この条件付き確率は、PA(B)=0.35/0.4=35/40=7/8公式で簡単に求めることができます。この条件付き確率は、この形の公式よりも、これを変形したもののほうが使い途があります。PA(B)=P(A∩B)/P(A)両辺をひっくり返すと、P(A∩B)/P(A)=PA(B)両辺にP(A)をかけると、P(A∩B)=P(A)・PA(B)このように変形した公式を「確率の乗法定理」といいます。黒玉が4個、白玉が7個入っている袋がある。この袋から玉を元に戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、2個とも白玉である確率を求めよ。1回目に白玉が出るという事象をA。2回目に白玉が出るという事象をBとします。次に、2回目も白玉が出るのは、1回目に白玉が出ているという条件があっての確率、すなわち条件付き確率PA(B)となります。1回目に玉を1個取り出していますから、袋の中の全体の玉の数は10個。そのうち白玉は、1つ減っていますから、6個。したがって、PA(B)=6/10。よって、2個とも白玉である確率は、P(A∩B)=P(A)・PA(B)=7/11・6/10=21/55となります。PA(B)といった記号が難しそうに見えるだけで、実感としては何も問題なく、使いやすい公式です。確率×確率で計算していけると、今までよりもシンプルに解いていける問題が増えてきます。│算数・数学2018年07月09日7月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。7月7日(土)の大人のための数学教室は、出席者0人のため、延期となりました。次回は、7月21日(土)に開催いたします。授業が進みませんでしたので、今回も数学に関するちょっとした雑感などを。いつも自転車で出勤しているのですが、夕方に教室に向かうとき、駅方向からかなりのスピードで走り抜ける自転車に遭遇することがあります。チャイルドシートをつけた電動自転車が多いです。乗っているのは勿論、子育て世代のお母さんたち。子どもを保育園にお迎えに行き、買い物をして、夕飯を作ってと、夕方は忙しい。心の中で応援するのですが、ここで疑問が1つ。お母さんたちの自転車は、なぜか右側通行をしていることが多いのです。大きめな上にチャイルドシートでさらにかさばっている電動自転車がフルスピードで右側通行しています。現行の交通法規では、自転車は左側通行です。子どもを乗せて衝突の危険のある逆走を故意に行うとは考えにくいので、おそらくそれを知らないのでしょう。歩行者の感覚で右側を走ってしまうのだと思います。したら、昔、自転車も右側通行だと教わった世代なのかもしれません。育った地域によっては右側通行が推奨されていた可能性があります。知らないのだから仕方ない。ここで1つ疑問に思うのですが、最近、道路には、自転車レーンが表示されているところがあります。アスファルト道路に白く自転車に乗っている人の姿が描かれ、進行方向も示されています。明らかに左側通行を示しています。それを見たときに、違和感を覚えないのでしょうか。常に右側通行で走っているので、いつも逆さまに見ているから、それが自転車に乗っている人を示すマークであることに気づかないのでしょうか。道路に描かれたマークなど目に入らないほど忙しい。いうことなのでしょうか。左側を走ってくる、すなわち自分と正面衝突する可能性の高い自転車のほうが多いことには気づかないのでしょうか。相手のほうが間違っていると、その都度思っているのでしょうか。本人はむしろそのように感じているのでしょうか。これ、実は本当にそのように感じるらしいです。これを「確証バイアス」と呼ぶとのことです。自分が正しいと思っていることを証明する情報は目に入ってくるが、それを反証する情報は目に入らない。意識してのことではなく、本当に目に入らず、無視するそうなのです。道路に記された自転車マークは目に入らない。実際には左側通行をする自転車のほうが多いことにも気づかない。自分と同じように右側通行をするママさん自転車のことは目に入る。私たちは正しいのだと確信する。現実問題としては、右側通行よりも「自転車スマホ」のほうが怖いです。夜の「無灯自転車」が十字路をすっと横切っていくときの恐怖といったらありません。1秒前まで見えなかった自転車が目の前を横切っていくのですから。いうのと比べると、右側通行自転車は、まだましです。責めているわけではなく、ただ不思議なのです。自分が間違っていても、間違っていると気づかないことがある。それは、自分自身の課題かもしれません。「間違ってません!」と即答する子が、かつていました。その子に、間違っていることを納得させるのには、他の子よりも時間がかかりました。計算ミスの箇所を指さしても、なかなかピンとこない様子でした。正しい答えを私が言ってもまだ「え?」と疑い深い顔をし、そこでようやく考え始め、1分ほども考えて、ようやく気づくのでした。滅多にミスをしない子なら、そのように自信家なのもわからなくはないのです。その子は、むしろ普通よりもミスが多く、計算ミスの他にも、毎週のように何かしら忘れ物をしてくるので、授業がスケジュール通りにいかないこともある子でした。