│講師日記2018年07月22日8月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。7月21日(土)、大人のための数学教室を開きました。数II「図形と方程式」、今回は2回目です。前回は、数直線上の内分点、外分点の座標の求め方を学習しました。今回は、座標平面上の線分の内分点・外分点の座標の求め方です。上の左の図を見てください。座標平面上に点A(x1,y1)、点B(x2,y2)があります。この2点を結んだ線分ABをm:nに内分する点Pの座標を考えます。斜めになっているけど、何とかして線分ABの長さを求めて、それを内分するのかな?そういう考え方もわからなくはありませんが、もっと簡単に求めることができます。これ、まずはx座標のことだけ考えましょう。点A、Bのx座標をx軸に記してみます。それぞれの点から真下に点を下ろしていくイメージです。上の図の赤で記したものがそれです。赤で示した3本の点線は全て平行です。したがって、平行線と線分の比から、線分AB上でm:nだったものは、x軸上でもm:nであることがわかります。求めたい点Pのx座標は、点AとBのx座標を内分の公式に当てはめて求めることができます。点Pのx座標は、nx1+mx2m+nとなります。同様に、点Aと点Bのy座標をy軸上に記して考えるなら、点Pのy座標は、AとBのy座標を内分の公式に当てはめれば求めることができます。点Pのy座標はny1+my2m+nとなります。以上の説明でわかりにくいところがある場合、以前に学習したことが曖昧になっている可能性があります。「平行線と線分の比」のことを忘れているのではないかと思うのです。その場合、中3テキストの「相似」の章で確認してください。4点A(-2,0),B(-3,-2),C(0,-1),Dを頂点とする平行四辺形ABCDがある。頂点Dの座標を求めよ。座標平面について初めて学習する中学1年生の数学でも、同じ問題は存在します。中1では、点Bから点Aへの座標上の移動を読みとり、同じように点Cから点Dへ移動していることからDの座標を求めます。点Bから点Aへは、x軸の正の方向に1、y軸の正の方向に2だけ移動しています。したがって、点Cから点Dへも同じだけ移動します。点C(0,-1)をx軸の正の方向に1、y軸の正の方向に2だけ移動すると、(1,1)。よって、D(1,1)です。その求め方でも構わないのですが、対角線の中点の座標を利用して求める方法があります。この平行四辺形の対角線はACとBDです。平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わります。これは、平行四辺形に関する重要な定理です。この定理を利用します。A(-2,0),C(0,-1)の中点の座標はx座標、y座標をそれぞれ足して2で割れば良いのですから、(-1,-1/2)となります。対角線BDの中点も同じ座標です。これを利用して、方程式を立てます。「平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる」という定理を初耳のように感じる場合は、中学2年のテキスト「四角形」の章で復習できます。中点の座標の求め方も既習なのですが、「え?」「何で?」と思う場合は、それは1:1に内分するということですから、内分の公式で解いて構いません。・・・・こういう但し書きが多くなるのが、この「図形と方程式」という単元の特徴です。中学・高校の数学でこれまで学習したことを忘れていると、そこでいちいちつまずくことになるのがこの単元です。次に学習する重心の座標も、そうです。5種類の点が存在します。それを三角形の五心と呼びます。中3数学でも発展的なテキストには載っていますし、数Aの「図形の性質」でも学習する内容です。外心は、三角形の外接円の中心。内心は、三角形の内接円の中心。重心は?三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。三角形の3つの中線は1点で交わる。この点を三角形の重心という。これが、重心の定義です。重心は、各中線を2:1に内分します。これも非常に重要です。え、何それ?と思う場合は、中3か数Aのテキストに戻って復習すると、理解が深まると思います。今回学習するのは、重心の座標の求め方です。A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)の三角形ABCの重心の座標は?まず、頂点Aから辺BCに中線を引きましょう。頂点Aと、BCの中点Mとを結んだ線分です。