中学生の頃からの図形への苦手意識で、安易に「図形は絶対無理」と思ってしまう人も多いのですが、解いてみると「場合の数と確率」のほうが得点できないこともあります。「場合の数と確率」の考え方とそりが合わないとでもいうのでしょうか。それでも、本人には苦手だという自覚がない。何となく得点できないだけ、ケアレスミスしただけと勘違いして、「場合の数と確率」に固執してしまう場合もあるようです。どちらを選ぶべきか、客観的な判断が必要なところです。│算数・数学2018年05月02日5月12日(土)、大人のための数学教室を開きます。4月28日(土)、大人のための数学教室を開きました。x=1、2を解にもつとき、定数a、bの値と他の解を求めよ。中3の「2次方程式」の頃から、このタイプの問題はよく出題されていますね。その頃と解き方も同じです。x=1、2が解なのですから、もとの方程式にx=1とx=2を代入できます。代入して、1-3+a+b-4=0整理しましょう。文字はaとbの2種類。これは連立方程式として解けますね。➂を➀に代入して、b=6ここで問題を見直すと、他の解も求めなければなりません。この値をもとの方程式に代入します。x4-3x3+6x-4=0この4次方程式を解きます。x=1、2は既にわかっていますので、それを利用して組立除法をしましょう。場合、x2=2x=±√2です。解にもつとき、定数a、bの値と他の解を求めよ。あれ?文字が2つなのに、与えられた解が1つしかない。解が複素数なので、計算がごちゃごちゃしそうです。ここで登場するのが、「共役な複素数」です。複素数を最初に学習したときに出てきた言葉でした。これは定義ですので、「なぜ?」という質問は不要です。「共役の複素数」と呼ぶと決めただけのことなので、それ以上の理由はありません。説明すると不審そうな顔をする高校生もいるのですが、それはおそらく「共役」という言葉が耳慣れず、その言葉の意味を説明してほしくて質問しているのかもしれません。これを本格的に証明しようとすると、いろいろと面倒くさいことになるのですが、感覚的には理解しやすいことだと思います。2次方程式の解の公式を思い出してみましょう。いう2つの解が同時に得られるのは自然なことと感じますね。あたると考えると、その前の±によって共役な2つの解が同時に得られるのがわかります。上の問題に戻りましょう。したがって、上の方程式の左辺は、{x-(1+√2i)}{x-(1-√2i)}(x+p)と因数分解できます。)にまとめてみましょう。複素数ではない、簡単な式に整理できるんです。{x-(1+√2i)}{x-(1-√2i)}=x2-(1+√2i+1-√2i)x+(1+√2i)(1-√2i)=x2-2x+1-√22i2=x2-2x+1+2=x2-2x+3よって、上の方程式の左辺は、(x2-2x+3)(x+p)となります。x3+px2-2x2-2px+3x+3pxについて降べきの順に整理しましょう。・・・➂という3本の式が得られます。文字が3種類、式が3本。連立方程式として解くことができます。p=2これを➀に代入して、a=0➁に代入して、b=-1他の解も求めなければなりませんが、今回は、もとの式に代入して組立除法で解き直す必要はありません。もとの方程式の左辺は、途中でpを用いた因数分解をしてありましたので、(x2-2x+3)(x+p)=0ということです。解の1つはx=-p、すなわち、x=-2です。忘れてはいけないのは、最初に見つけた共役な複素数もxの解であること。x3=1の虚数解の一つをωとするとき、ω12+ω6+1、ω10+ω5+1の値を求めよ。これも高次方程式に関する問題の一種です。高校生には非常に評判が悪いのが、このωに関する問題です。あまりにも唐突に出てきて、違和感が強すぎる。意味がわからない、ということのようです。そもそも、読み方すらわからない、という声さえ聞きます。ωは「オメガ」と読みます。数学にギリシャ文字が出てくることが本当に嫌で嫌で我慢ならないという高校生もたまにいるのですが、数学の発祥はギリシャですから、まあそう嫌がらずに。普段使わない文字なので、その違和感は理解できますが。覚えることが1つ加わって、ハードルが高くなってしまいますものね。書き慣れていないので、書きにくいですし。ωは小文字で、大文字はΩです。「オームの法則」で有名な、電気抵抗の単位を表す記号です。この説明をすると、高校生の顔が微妙に和らいだりします。Ωは許容範囲なのでしょう。要するに、慣れの問題なのだと思います。虚数解の1つがωです。ωは1の3乗根、あるいは立方根という言い方もします。ωという文字で表していますが、iを用いて表すことも可能です。3次方程式として、普通に解いてみます。x3=1x3-1=0因数分解の公式を使えます。/2共役な2つの複素数の解が得られました。え?それのどっちがωなの?と高校生に質問されることがあるんですが、結論としては「それはどっちでもいい」となります。ここも高校生には理解しづらいところのようです。どっちでもいいわけないだろうと思うらしいのです。本当にどっちでもいいのです。この問題は、ωの値を求めることではないのですから。上の問題では、x3=1の複素数の解の1つをωとする、としてあるだけです。どちらと限定していません。それは、どちらでも同じ結果が得られるからです。