メールはスパムと判定されることがあります。最初は、信頼されているドメインから差し障りのない文面を送っていただけると、スパムと判定されにくいと思います。一昨日書いた記事「なぜにテンソル記法は意味不明なのか」を読み直していて、気付いたことがあります。テンソル記法の「意味不明問題」は、解決できるようです。思いついたときに書いておかないと、二度と書かない(書けない)ことがあるので、ふんばって必要なことは全部書いておきました。置換と置換が定めるテンソルテンソルの置換同値もうひとつの縮約ネーム化とコネーム化インデックスとしての添字テンソル記法の「意味不明問題」とはテンソルの書き方〈記法〉としては、伝統的記法をそのまま採用します。テンソルである」のような言い方を許容します。愚痴ったのが一昨日の記事「なぜにテンソル記法は意味不明なのか」です。3階のテンソルである。背後にベクトル空間や線形写像を想定したとき、書かれた/発話された言葉を背後のベクトル空間/線形写像と正確に結びつけることが出来ないのです。結びつけることが出来るにしても、そこで使われる技法は暗黙的であり、明示的な定義やアルゴリズムではありません。これが、テンソル記法の「意味不明問題」です。アイディアと方法テンソル記法の「意味不明問題」を解決するために使うアイディアは次の2つです。上付き添字〈superscript〉、下付き添字〈subscript〉の解釈を、インデックスからマーカー(後述)に変える。マーカーに対して、双対を表す構文(ここではマイナス記号)を導入する。目は既に使われているかも知れません。二番目の構文は僕は見たことがありません(でも、どこかの誰かが使っているかも)。新規の構文〈シンタックス〉は以上の2つです。構文(書き方)に対する意味〈セマンティクス〉は、公理的・抽象的な線形代数により与えます。基底は一切使いません。ような伝統的記法は、基底の選択・固定を前提にしていますが、上付き添字/下付き添字の解釈を変えるので、基底は不要になります。上付き添字/下付き添字を基底と関連付ける方法が無意味だとか不要だとは言ってません。具体的な計算では必須な方法です。今回は「基底を使わない解釈と方法を採用するよ」ってだけです。基底を使わない公理的・抽象的な線形代数は、抽象性ゆえに難しいです。Coecke〉によるお絵描き線形代数を使います。diagram〉で記述しています。アブラムスキー/クック流の描き方*1で絵を描くことにします。お絵描き量子力学/お絵描き線形代数を事前に知っている必要はありませんが、興味があれば次の記事をどうそ。量子絵図主義」また、アブラムスキーによるネームとコネームという概念を使います。インデックス(番号やラベル)だと教えられ、そう思っているでしょう。その発想をやめましょう。番号やラベルの集合上を動くのではなくて、単なる記号です。その記号はベクトル空間と結び付いています。ベクトル空間と結び付いた記号をマーカー〈marker〉と呼ぶことにします。マーカー(単なる記号)とベクトル空間の結び付きは、次の形で宣言することにします。Wマーカーは、ベクトル空間(の名前)の別名だと思ってください。別名ベクトル空間の別名として宣言されたマーカーの使い途は二種類あります。テンソルのプロファイル情報を注釈するため。テンソルに対する縮約演算を記述するため。「テンソルのプロファイル情報」は後で説明しますが、今ここでは「注釈」という言葉に注目してください。そのレイアウトも含めて注釈になります。注釈は、情報を提供しますが、それ以上の役割を持ちません。次の等式は、省略やゴマカシなしに厳密に成立します。注釈は(あれば助かりますが)なくてもかまわないので、すぐ上の等式の意味は、なのです。こりゃ絶対に成立しますよね。」という理由だけではなくて、注釈情報も左右同じなのです。別名なので、別名の代わりに正式名称で注釈を書けば:やはり絶対に成立します。space〉とは、いくつかのベクトル空間のテンソル積として書かれたベクトル空間のことだとします。テンソル積(何もしない)として書かれたベクトル空間さらに特別な場合として、次のように考えます。0個のベクトル空間のテンソル積として書かれたベクトル空間ここで注意しなくてはならないのは、テンソル空間は、それを構成するテンソル積因子の情報を伴っていることです。「そのテンソル空間は、何個のベクトル空間をどのようにテンソル積したのか?」という質問に答えられる必要があります。複数のテンソル空間構造があります。テンソル積として書かれたベクトル空間テンソル空間を構成しているテンソル積因子の情報も書き添えて、次のように区別しましょう。整数6の因数分解だけのテンソル空間構造があります*2。して扱うのが普通です*3。繰り返し言うと、テンソル空間には、テンソル積因子の情報が組み込まれています。その意味で単なるベクトル空間とは違います。特別なテンソル空間として、単一のベクトル空間をテンソル積因子とするテンソル空間があります。テンソルである」の正確な意味を与えましょう。テンソル〈tensor〉とは、テンソル空間のあいだの線形写像です。これを次のように書きます。単なる線形写像として同じであっても、テンソル空間のあいだの写像としては次の2つは違います。W))は、テンソル空間としての構造が違うので、同じテンソル(テンソル空間のあいだの写像)とはみなさないのです。ような、域のテンソル空間と余域のテンソル空間の指定を(テンソルの)プロファイル〈profile〉と呼びます。この書き方は冗長なので、次のように短く書いてもいいとします。x')は異なります(同じになり得ません)。「テンソルとは、テンソル空間の要素ではないのか?」と思った人もいるでしょう。確かにそのような定義もあります。テンソル空間の要素は、特別なテンソル(線形写像)とみなせます。次の形の線形写像と1:1に対応します。ここから先は、要素を表に出さずに、対応するテンソルで話を進めます。書かなくてもよい」という規則を採用します。これはとても便利な規則です。Wプロファイル注釈これですっかり準備ができました。ここからは、今までに導入した概念(マーカー、テンソル空間、テンソル、プロファイル)を使って、伝統的記法に合理的な解釈を与えます。固定して、次のマーカー宣言を常に前提します。テンソルそのものであり、上下添字はプロファイル情報を注釈すると解釈します。絵も描いてみると次のようになります。絵で、テンソル(テンソル空間のあいだの線形写像でした)は丸、四角、三角などの印で表現します。テンソル空間の因子ベクトル空間は、マーカーでラベルされたワイヤー〈ストリング〉で表します。描画の方向がさまざまなので、描画方向は“旗”で示します。ワイヤーになり、線形写像としての方向は下から上への方向(旗の棒の方向)。別名だったので、正式名称に置き換える。線形写像としての方向は左から右への方向(旗)。絵と旗についてもっと詳しく知りたいなら以下の記事を参照してください。絵算の描画方向を示すために旗を使うことにしたプロファイル注釈の解釈例を幾つか追加しておきましょう。矢印の左または右に何も書いてない所はRが省略されてます。→テンソルのテンソル積2つのテンソルを単に併置した場合、それはテンソル(線形写像)のテンソル積を意味するとします。プロファイル注釈が付いた形です。プロファイルの計算を取り出すと、次のように行なえます。V冗長になりますが、マーカーによる注釈と矢印によるプロファイルを両方とも書くと次のようになります。3つのテンソルのテンソル積の例を挙げれば:プロファイルの計算は次のようです。テンソル積のプロファイルを注釈するマーカーでは、同じマーカーが2個以上出現しないように気をつけてください。マーカー文字が足りないなら追加して使います。マーカーと宣言されていました。マーカーはどうしましょうか。マーカーを流用することにします。区別が付かなくなるので、次の約束をします。マーカーとして使ってよい。いうプロファイルを持つテンソルは、次のように書けます。ここでのマイナス記号に負の数や符号反転や引き算の意味はありません。双対空間のマーカーにはマイナスが付くだけです*4。マイナス記号の約束により、「なぜにテンソル記法は意味不明なのか」に出した曖昧な例の曖昧性は解消します。この3つがしばしば(意図的または不注意に)混同されるのは、密接な関係(写像とそのネーム/コネームの関係)があるからです。それについては後述します。この約束(アインシュタイン規約)に、新しい解釈を与えます。縮約〈contraction〉といいます。j)のワイヤーは繋ぎます。ワイヤーを繋ぐ操作は、抽象的線形代数のなかで基底を使わずにキチンと定義できます。以下が縮約(ワイヤーを繋ぐ操作)の定義です。セミコロンは、線形写像の結合〈合成〉の図式順記号です。今ここで深入りするのはやめときます。使って抽象的に定義した縮約を、基底による成分表示で表現すると、実際にインデックスによる総和になっています。これは、証明が必要な定理ですが、今日は割愛します。定義は次のように書けます。これを成分表示すると、対角成分の総和、つまりトレースになります。n次の置換を次のように表すことが多いです。