このテンソル空間からもうひとつのテンソル空間へのテンソル(線形写像でした)を定めます。w∈W2つのテンソル因子を入れ替える線形写像です。線形写像はテンソルなので、置換からテンソルが定まることになります。isomorphism〉とか単に対称〈symmetry〉と呼びます。tensor〉とかでしょう。考えれば辻褄が合います。書きます(記号の乱用)。テンソル空間のあいだの同型写像だとみなせます。Vτ(n))となります。以下、置換をあたかもテンソル(テンソル空間のあいだの線形写像)のように扱います。テンソル計算において、置換を表現するのは難しく、混乱しがちです。添字をインデックスと解釈するなら、例えば次のような等式は意味を持ちます。定義する等式とみなして絵を描くなら:同じ状況をインデックスに頼らないで書くなら次のようでしょう。置いて、簡略に書くなら:今度は、添字をマーカーによる注釈と解釈してみます。注釈は取り払ってもかまわないので、イヤイヤッ、これは違う、ダメだ。添字の位置交換で置換を表現する方法は、添字をプロファイル注釈と解釈する方法と整合しないのです。テンソル計算において置換は頻出します。その置換を表現するために我々は添え字を使えません。明示的に置換(から定まるテンソル)を書くしかありません。置換で移り合う2つのテンソルはあまり区別しない習慣もあります。そこで、置換同値という概念を定義しましょう。τ;x;ρと書けることだとします。置換は(テンソル空間のあいだの線形写像としても)可逆なので、置換同値は実際に同値関係になります。対しても、それらが置換で移りあえるときに置換同値だとして、置換同値性を定義できます。伝統的テンソル計算では、置換同値性を明確には意識しないままに、なんとなく置換同値なモノは同一視していたのではないかと思います。いつでも同一視しているわけでもなく、たまに区別するので困ります。伝統的テンソル計算では、同じ添字が上下に現れたときに縮約を表します。我々は、このルールをそのまま採用し、基底に依存しない解釈をしました。新たに双対空間を表すマーカーを導入したので、別なタイプの縮約も定義できます。添字が同じ段(上と上、または下と下)にあっても縮約は可能です。次のルールを追加します。同じ段(上と上、または下と下)に、マイナス記号の有無だけが違うマーカーが出現したら、それは縮約を表す。現れているので縮約を表します。プロファイルの計算は:下の添字と下の添字で縮約する例も出しましょう。伝統的テンソル計算とは違って、三種の縮約が存在します。書いた場合、それは、我々の記法で次の3つの可能性があります。目の意味しか持ちません。このへんの混乱をうまく整理するために、アブラムスキーのネーム/コネームが使えます。quotes〉、疑似引用符〈quasi-quotation〉などと呼ばれます。プロファイル計算は次のようになります。ネーム化(ネームを作る操作)、反ネーム化(ネーム化の逆操作)、コネーム化、反コネーム化を絵でまとめておきます。反ネーム化、反コネーム化は一意的に決まるものではありません。ネーム化/コネーム化、置換、三種の縮約を組み合わせると、伝統的テンソル計算より柔軟で精密なテンソル計算を展開できます。実際の利用法は、また機会を改めて。今までの話は、添字をインデックスではなくてマーカーとみなすことからスタートしています。マーカーは、テンソルのプロファイルを注釈するものです。マーカーを付けても、テンソルの成分を取り出すことはできません、インデックスじゃないから。伝統的テンソル計算が分かりにくい原因のひとつは、添字がほんとにインデックスなのか、マーカー(注釈)として使用しているだけなのかが曖昧で、どっちつかずに使用されていることがあるでしょう(どっちつかずでも計算はできるのですが)。今回、マーカーとしての添字の使用法を切り出して明確化しました。テンソルに関する具体的な計算をするときは、基底を固定して、インデックスによる成分表示が必要です。それはマーカーの話ではありません。次は、インデックスとしての添字の使用法も明確化したいですね。*1:アブラムスキー/クックが発明したわけではなくて、絵による記述は連綿と続く歴史を持ちます。群論的なファインマン図」をどうぞ。アブラムスキー/クック流の特徴は、ディラックのブラケット記法と相性がいい点でしょう。*2:ここの説明は、若干「嘘も方便」のきらいがあります。このへんのことをちゃんと扱うには、テンソル空間が持つ(ベクトル空間に付加された)構造を正確に定義する必要があります。テンソル積としての普遍性を持つモノをテンソル空間と定義すればいいでしょう。複数の異なるテンソル空間構造が入ることをちゃんと示せます。*3:厳密に言えば、イコールではなくてベクトル空間の同型です。テンソル積の結合律や単位律から導かれる同型はイコール扱いすることがあります。*5:[追記]上下逆のコーナー引用符のTeX表記を、emkさんに教えていただきました。使った微分計算って快適じゃないよねー。「...2019-02-18統計的独立性と線形独立性を共通に語ることは出来るのか?統計的独立性は確率・統計において重要な概念です。速記用サイトと層の大きさやら作り方やら月別アーカイブはてなブログをはじめよう!m-hiyamaさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。