いう積分も汎関数です。汎関数であることは定義から明らかです。いう汎関数を次のように定義できます。この構成を施したものです。次の公式が成立します。なめらかではないかも知れません。なめらかかどうかは、次の命題から判断できます。lemma〉」と(ローカルに)呼ぶことにします。なめらかさ補題を示しましょう。⇒方向は明らかなので、逆方向を示します。'λ'はラムダ記法のラムダです。微分幾何の習慣に従い添字は上付きです。次の事実はよく知られています。クロネッカーのデルタです。関数pjはもちろんなめらかです。達はすべてなめらかになります。ライプニッツ法則を満たすR-線形写像です。∂i達の関数係数線形結合で書けることを示しましょう。theorem〉と呼ぶことにします。最初に、「微分はライプニッツ法則に支配されている」の内容を、補題としてまとめておきます。が点導分になることはすぐにわかります。よって、点導分補題から、と書けます。aの関数となるので、次のように書けます。これは、を意味します。Xを作用させて確認してみます。('//'は、等式変形に対するコメントです。いう一意的表示を持つことが分かりました。一点だけではなく領域(開集合全体)においても、ライプニッツ法則を満たす線形作用素は、我々が知っている「あの微分」(後述の方向微分)に限るのです。別な言い方をすると、代数的に定義された導分は、解析的に定義された微分に一致します。「接ベクトル場」というと、心に描くイメージは次のようなものでしょう。成分表示を、とします。いう写像で表現できます。これを接ベクトル場の仮の定義として採用します。いうなめらかな(C∞な)写像である。