表すことにすると、が成り立つ。Eulerのトーシェント関数)。補題における十分増加速度が遅いという条件を満たすだけ遅いものとする。Chebyshev関数*3。対してと評価できることがわかった。小さく取れば、仮説のもとではと評価できる。素数のみからなる等差数列である。Q.E.D.このように、Szemerédiの定理はpotentiallyにはGreen-Taoの定理を包含していると期待され、後は仮説を証明すればよいだけとなりました。していません!の上からの評価に対する現状最良の結果がGowersのバウンドなのです。数学者はいつかは仮説の証明に取り組み、この方針によるGreen-Taoの定理の別証明を与えるべきではありますが、Gowersの結果を仮説の評価にまで改善することは極めて難しい問題なのです。上からの評価を具体的に与える方針は取らず、別の視点からSzemerédiの定理を拡張することを考えました。-トリックが使われるためこの話を挿入した次第です。満たせば、が成り立つ。いう不思議な記号へのツッコミはここでは置いておいて)。見るとSzemerédiの定理とは全く別物に見えますが、実は数学的には同値です*4。幾つかの点で違いや強く見える部分がありますが、最大の違いは定理が取り扱う対象の違いです。方が考察対象としてはるかに多い気がします。関数を考える方が一般性が高い気がするのです。満たす必要があります。すれば、が成り立ってしまいます。2.1で既に存在がわかっている状況になってしまうのです。あっても絶対に期待値条件をクリアできません。一般の関数を扱っているという高い任意性があるように見えて、特性関数達に定理を牛耳られている状況にあるのです。このような状況に陥る原因ははっきりしています。この条件こそが、より一般性の高い定理へと拡張されたがっているSezemerédiの定理に課せられた枷なのです。Green-Taoはこの枷を外すという発想を得ました。あることが使われていたため*6、極端に拡張することは難しいでしょう。あるような非負値関数」に置き換えてギリギリを攻めます。非負値関数列が測度であるとは、が成り立つときにいう。省略して書いていると解釈します。置き換えることによってSzemerédiの定理を拡張するというのがGreen-Taoのアイデアです。測度という緩い条件だけでは拡張することは難しく、更に線形形式条件と相関条件と呼ばれる条件を測度に課します(これら二条件を満たす測度のことを擬ランダム測度と呼ぶ)。後は論文の構成を軽く述べてこの記事を終えます。3.5)を定式化します。2.3を用いて証明します)。3.5を応用してGreen-Taoの定理を証明するのですが、そのためには適切な擬ランダム測度を構成する必要があります。Mangoldt関数およびGoldston-Yıldırımの切断約数和と呼ばれる関数を考えて*7、Goldston-Yıldırımの解析的整数論における結果を応用することによって擬ランダム測度を与えています。Appendixです。Goldston-Yıldırımの結果は引用に留めずに、self-containedに証明を書いてくれています。ここではよく見るSzemerédiの定理の主張を取り上げることにします。*2:一見すればこちらの方が強い主張に見えます。2.1は解説しましたが、逆向きの証明の解説は割愛しています。2.3の直接証明を解説したので、この割愛によってGreen-Taoの定理の証明にギャップが生じる心配はありません。-トリックのような上手い方法は度外視しています。数学的な証明には確率論的考察が必要となります。*6:Taoの論文では有界という特別な用語が用いられていました。