INTEGERSインテジャーズスマートフォン用の表示で見るINTEGERS数、特に整数に関する記事。重要な発想の転換について書かれています。何もないところからいきなり歴史的大難問を解くのは難しいでしょう。今となっては我々はSzemerédiの定理という等差数列に関する大定理を手中にしています。これを足掛かりにGreen-Taoの定理の攻略を目指します。そのために、何故Szemerédiの定理からGreen-Taoの定理が出ないかを再度分析することから始めましょう。任意の長さの等差数列を含む。上漸近密度が正であることが整数列が任意の長さの等差数列を含むための十分条件であるという主張です。あがいてもこの主張だけからはGreen-Taoの定理は出ません。前回証明したようにこれは次の主張と同値です*1。満たす任意の実数とする。数学的には同値であることが証明されていても、言ってることは異なります*2。こちらの主張に基づいてGreen-Taoの定理が出ないことを再度分析しましょう。先ほども使ったのですが、素数分布に関する定理−1を前提とします。対して−2が成り立つかを考察します。等差数列を含むことが言えます。存在しか保証していないので、その有界の範囲を逸脱して2が成立しない可能性を否定できません。存在性における定量性の欠如が原因であることが読み取れます。そこで、次のような発展的問題を考えるべきであるという発想が生まれます。対する漸近挙動を具体的に求めよ。これに対して、次のような結果が得られています。存在してが示されたとしましょう。1についてはより精密な公式である素数定理が知られています。等差数列を含むことが従います。存在してが成り立つであろう。大きい可能性があるので、素数定理を使うだけでは先ほどのようには上手くいきそうにありません。ところが、"W-トリック"と呼ばれる上手い手法によって、この仮説からでもGreen-Taoの定理を導出できることがわかります。成り立つようなものとする。