表される有限族のことをいう。上漸近密度が正であるような集合とする。ある星座が無数に存在する。これは一応今回の主役ではないが、副産物として証明される。対して、期待値をと定義する。これまで同様ビッグオー記号やスモールオー記号を使用する。ように添え字を付ける形で表す。対してを満たすならば、が成り立つ。任意の形状について、それを含むような(集合として)より大きな形状に対して多次元版Szemerédiの定理の主張を証明できればよい。元達からなる形状に対して証明する。しては零でないことを保証できればよい。