偶数と有理数の個数は同じこの記事で言う「個数」とは、集合論で言う「濃度」を指します。ご存知の通り、「偶数」とは2の倍数のことを指す。「奇数」とは2で割り切れない整数のことを指す。偶数と奇数の個数が同じであることは、然程直観に反しないだろう。有理数はどうだろうか?「有理数」とは、整数同士の分数で表せる数である。見ての通り、「有理数」は偶数や奇数はおろか、整数以外の様々な分数をも含んでいる。すると一見偶数や奇数よりも有理数の方が圧倒的に多そうである。実際には「偶数と有理数の個数は同じ」なのである。いうことだろうか?そもそもどうやって「個数」を比べるのか?偶数も有理数も無限個存在するので、個数を数え上げて比較することはできない。やって比較するのだろうか?無限個の場合を考える前に、まずは有限個の場合の個数の比較方法を考える。ついて、どちらが要素の個数が多いかを比較する。要素を定めることができる。個数」であると言える。要素を対応付けようとしてみる。要素が必ず被ってしまう。個数」ではないと言える。個数」ではないということがわかった。個数」であるということである。このように、被りの無い対応付けが可能であるか否かを考えることで、個数が無限個になった場合でも、2つの個数の大小を比べることができる。ついて、どちらが要素の個数が多いかを比較する。上の例と同様に対応付けを考えると、次のようになる。いずれも被り無く要素を対応付けることができる。各要素とを一対一に対応付けることができる。個数」であると言える。偶数を“数えて”みる冒頭の命題「偶数と有理数の個数は同じ」に戻る。偶数と有理数の対応付けをしてもよいのだが、まずはより簡単な偶数と自然数との対応付けを考える。ここで、「自然数」とは次のような数である。いった具合に一方向に並べなければならない。(下図)ここで、正の偶数と負の偶数とを次のように交互に並べてみる。...このようにすることで、全ての偶数を一方向に並べることができる。すると、下図のように自然数と偶数との間に一対一の対応付けができる。これはすなわち、「偶数と自然数の個数は同じ」ということを意味する。有理数を“数えて”みる今度は有理数と自然数との対応付けを考える。負の数は一先ず置いておいて、まずは正の有理数のみを考える。有理数を自然数と対応付けるためには、偶数のときと同様に、有理数を一方向に並べなければならない。言え、有理数(分数)には分子と分母とがあり、一筋縄では並べられない。(下図)では、どのようにすれば並べられるのだろうか?答えは下図の矢印の通りである。表を斜めに見ていけば、有理数を並べることができる。上図の矢印の通りに有理数を並べると次のようになる。負の数も加えると、次のようになる。...斯くして全ての有理数を一方向に並べることができた。よって、下図のように自然数と有理数との間に一対一の対応付けができる。これはすなわち、「有理数と自然数の個数は同じ」ということを意味する。「偶数と自然数の個数は同じ」であり、かつ「有理数と自然数の個数は同じ」であるから、結局「偶数と有理数の個数は同じ」であると言える。全て同じ個数であると言うことができる。この個数のことを「可算無限濃度」と呼び、「א0」(アレフ・ゼロ)と表す。因みに、無理数や実数の個数は偶数や有理数とは異なり、もっと多い。(カントールの定理)無理数や実数の個数は「連続体濃度」と呼び、「א」(アレフ)と表す。いらすとや(みふねたかしさん)より。含める方が普通である。除く定義を採用しても特に問題は無い。雑学トップに戻る鵺帝国トップに戻る。