/解析力学によるエネルギー保存則の導出2018.03.07解析力学によるエネルギー保存則の導出Tweet重要なお知らせお使いのブラウザのJavascriptは無効になっています。当ホームページでは、数式の表示にJavascriptを使用しています。そのため、Javascriptを有効にしていない場合、数式が正しく表示されません。[mathjax]エネルギー保存則とは運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)の和が一定になるというものであった。この記事では、ラグランジアンを使って、解析力学的にこの法則を証明する。この記事を読む前に、下の記事を読んでおくことを強くおすすめする。ラグランジアンやラグランジュ方程式の導出が載っている。ラグランジアン\(L\)の定義$$L≡T-V$$ラグランジュ運動方程式$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\right)-\frac{∂L}{∂q_i}=0$$エネルギー保存則の導出ラグランジアンの時間微分エネルギー保存則とはエネルギーの和が時間変化しないことだから、\(L\)の時間微分を考えれば見通しがよくなりそうだ。ラグランジュ運動方程式の導出より、運動エネルギー\(T\)は速度\(\dot{q}_i\)と位置\(q_i\)、ポテンシャルエネルギーは位置\(q_i\)に依存するから、ラグランジアンは\(\dot{q}_i,q_i\)両方に依存する関数だといえる。ラグランジアン\(L\)が直接時刻\(t\)を含まない場合、\(L\)は次のように表現できる。$$L=L(q_1,\cdots,q_n,\dot{q_1},\cdots,\dot{q_n})$$変数\(\dot{q}_i,q_i\)は、どちらも時間\(t\)にのみ依存する。この\(L\)を、合成関数の微分を使って時間微分してみる。\frac{dL}{dt}&=&\sum_{i=1}^n\frac{∂L}{∂q_i}\frac{dq_i}{dt}+\sum_{i=1}^n\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\frac{d\dot{q}_i}{dt}\\&=&\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂L}{∂q_i}\dot{q}_i+\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\ddot{q}_i\right)・・・(1)\end{eqnarray}ラグランジュ運動方程式と時間微分ラグランジュ運動方程式の片方の項を移項して、次の式を得る。$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\right)=\frac{∂L}{∂q_i}$$これを式(1)に代入して変形する。\begin{eqnarray}\frac{dL}{dt}&=&\sum_{i=1}^n\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\right)\dot{q}_i+\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\frac{d\dot{q}_i}{dt}\right]\\&=&\sum_{i=1}^n\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)\right]\\&=&\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)\end{eqnarray}この式の左辺を右辺に移項する。$$\frac{d}{dt}\left[\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)-L\right]=0$$上の式は、カッコの中が時間\(t\)に依存しないことを意味する。このカッコ内を、時間に依存しない定数とみなすことができる。ここでは\(E\)とおくことにする。今求めたい式は\(T+V=(定数)\)だから、式(2)をエネルギー\(T,V\)で表さなければならない。式(2)にラグランジアンの定義式\(L=T-V\)を代入する。T≡\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\dot{q}_i^2\)で定義されたから、\(T\)を\(\dot{q}_i\)で微分すると、$$\sum_{i=1}^n\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}=\sum_{i=1}^nm_i\dot{q}_i$$上の2式を、式(3)の左辺に代入する。\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i-\frac{∂V}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)-(T-V)&=&\sum_{i=1}^n\left(m_i\dot{q}_i^2-0\right)-(T-V)\\&=&2\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2}m_i\dot{q}_i^2\right)-(T-V)\\&=&2T-(T-V)\\&=&T+V\end{eqnarray}式(3)の右辺を合わせると、$$T+V=E$$以上より、運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)は時間によらず一定という、エネルギー保存則が求まった。物体に働く力がつり合っていたり、全く力が働いていない場合、その物体は静止し...記事を読む波束と分散について波束とは、限られた範囲にだけ存在する波のことをいう。高校までは主に全く同じ波形が無限に続くような波を考えてきたが、このような波は現実...記事を読む万有引力と重力ポテンシャル質量\(m\)の粒子と質量\(M\)の粒子間に働く万有引力は、物体間の距離が\(r\)のとき、次のように表される。ハミルトニアン\(H\)とは、次のように定義される量のことである。速度に比例する空気抵抗の例は意外と身近に存在するが、その一つが雨粒である。今回は、比較的簡単な速度に比例する空気抵抗を見てみる。円運動と向心力・遠心力を理解するためには、観測者の状態による見かけ上の力を理解する必要がある。上の図では、同形の青い波が、奥にも複数存在する様子を表している。このような波では等位相面は平面になるため、...記事を読む力学SNSでもご購読できます。*メールアドレス(公開はされません。*次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。