この定理自体は素数定理から即座に従いますが、素数定理の初等的証明と深い関係があります。INTEGERSにおいて素数定理の初等的証明に関するSelbergとErdősの関係について少し解説しました。二人は独立に論文を出版(!!)のようになっているようです。Selbergによる証明は上記記事において既に解説しました。証明を解説しようと思います*1。Chebyshev関数とするとき、ここで使用した不等式を利用することによって定理2は次の定理と同値であることがわかる。次の二つの事実は前提知識として用いる。