/角運動量の昇降演算子の交換関係と物理的意味について2018.10.29角運動量の昇降演算子の交換関係と物理的意味についてTweet重要なお知らせお使いのブラウザのJavascriptは無効になっています。当ホームページでは、数式の表示にJavascriptを使用しています。そのため、Javascriptを有効にしていない場合、数式が正しく表示されません。昇降演算子とは、固有方程式の固有値を変化させることができるような演算子のことである。固有値を上げるような演算子を上昇演算子、下げるような演算子を下降演算子とよぶ。この記事では、角運動量演算子の昇降演算子の定義と、その物理的意味を紹介する。角運動量の上昇演算子を\(\hat{L}_+\)、下降演算子を\(\hat{L}_-\)と表すと、これらは次のように定義される。物理的意味を探る準備として、まずは次の主要な交換関係を導く。_{ijk}\)は、完全反対称テンソルと呼ばれるものである。添字\(i,j,k\)には数字の\(1,2,3\)のどれかが入る。\hat{L}_k$$という式は、いくつかの式をまとめて表現したものである。添字i,j,kに入り得る数字1,2,3は、それぞれx軸、y軸、z軸に対応する。ここで、x軸・y軸・z軸が対応しているのはそれぞれ数字1,2,3であって、添字i,j,kに対応しているのではないことに注意する。添字はあくまで数字1,2,3(x,y,z軸)の入れ物に過ぎないということである。\hat{L}_z$$の導出を行う。軌道角運動量の各軸成分の具体形は下の記事を参照してください。\hat{L}_z$$の導出が完了した。\hat{L}_y$$も導出できる。次のような同じ軸成分の角運動量の交換関係は0になる。\hat{L}_k$$である。}\)の導出5行目で上の公式を使っている。次の固有方程式を満たす。$$\hat{L}_zY(θ,φ)=mħY_l^m(θ,φ)$$式中の\(Y_l^m(θ,φ)\)は球面調和関数というものである。\(l,\)\(m\)はそれぞれ方位量子数と磁気量子数である。\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P^m_l(cosθ)e^{imφ}$$以降の変形では球面調和関数の量子数に注目してほしいため、ここではこの球面調和関数をケットベクトルを使って次のように表すことにする。Y_l^m(θ,φ)$$これを使って最初の固有方程式を書き換える。>\)に演算子\(\hat{L}_z\)を適応させた場合もしケットベクトルを、昇降演算子を適応させたものに入れ替えたらどうなるだろうか。\!>)$$上で導出した公式を利用すると、この式の左辺は次のように変形できる。>)\end{eqnarray}この固有方程式から、ケットベクトルに昇降演算子を適応させると、\(\hat{L}_z\)による固有値が\(ħ\)だけ増減することがわかる。固有値が変化するということはつまり、ケットベクトルの量子数mの値が次のように変化しているということになる。L}^2\)を適応してみる。L}^2\)を適応させる前後で固有値が変化しないことを意味する。L}^2\)を適応させても量子数\(l\)は変わらない」ということになる。このことを1つの数式でまとめると次のようになる。\(C_{\pm}\)は定数である。>$$ケットベクトルは球面調和関数の書き換えであったが、球面調和関数は波動関数を極座標で表したときの角度成分を表しているものであった。したがって、昇降演算子をブラベクトルに作用させることで、波動関数の量子数を増減させることができるといえる。>$$に含まれる\(C_{\pm}\)はまだ求められていないので、これを求めてみる。上と同じように、まずは下準備として次の有名な交換関係などの導出を行う。ħ)\end{eqnarray}\(C_{\pm}\)の導出ブラケットベクトルを用いて、次の内積を計算する。1)}(θ,φ)|^2=1$$に規格化されていることに注意する。>$$まとめ・昇降演算子を次のように定義した。i\hat{L}_y$$・昇降演算子をブラベクトルに作用させることで、波動関数の量子数を増減させることができる。・昇降演算子を作用させる前後の関係式は、次のようになる。この式は、光の振動数\(ν\)とエネルギー\(E\)の関係式である。\(h\)はプランク定数で、次の定数となっている。...記事を読む量子コンピュータって何?普通のものと何が違うのか今回のコラムのテーマは、「量子コンピュータ」です。量子力学の有名な原理として、不確定性原理がある。これは、粒子の正確な位置と運動量を同時に観測することはできないことを意味している。絶対零度とは、熱力学における絶対温度Kの最低となる温度のことである。この絶対零度は摂氏-273.15°Cである。光電効果には、外部光電効果と内部光電効果と光起電力効果の3種類ある。アインシュタインがノーベル賞を受賞したきっかけ...記事を読む原子の構造―電子軌道と原子核について原子の構造を大雑把に説明すると、「原子核の周りに電子が存在しているような粒子」となる。消滅演算子\(\hat{a}\)と生成演算子\(\hat{a}^†\)、個数演算子\(\hat{N}\)は、次のように定義される。...記事を読む量子力学SNSでもご購読できます。*メールアドレス(公開はされません。*次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。