関する帰納法で証明する。ときも成立することがわかる。絶対収束交代級数ならば、が成立する。和の順番を入れ替えて良いので、は容易にわかる。絶対収束交代級数ならば、が成立する。関する帰納法で証明する。ときは補題4に他ならない。ときに1が成立すると仮定する。ときの1が得られることが分かる。絶対収束交代級数なので、である。よって、補題2より2が示された。用いて表すとと書けることに注意する。単純極であり、他には極がないことは明らかなので、後はが複素平面全体で絶対局所一様収束することを示せばよい。ー3が成り立つことに注意する。