)がを満たすと仮定する。このとき、三角不等式よりが成り立つ。個しか選ぶことができない*3ことから主張が従う。対して補題の主張が成立している。Q.E.D.前記事命題の証明とする。Waerdenの定理によって存在する整数。well-definedであることは補題の主張からわかる。等差数列は同じ色で塗られている。対してと評価でき、第五帰着(言い換え)の主張が証明された。以上で、前記事の命題の証明が完了する。