/パウリのスピン行列の導出2018.11.04パウリのスピン行列の導出Tweet重要なお知らせお使いのブラウザのJavascriptは無効になっています。当ホームページでは、数式の表示にJavascriptを使用しています。そのため、Javascriptを有効にしていない場合、数式が正しく表示されません。電子は電荷量のほかにも、角速度の次元を持ったパラメータを持っている。このパラメータのことをスピンとよぶ。このスピンを表現するために、行列式を使った固有方程式が使われる。その固有方程式中の行列のことを、スピン行列とよぶ。この記事では、電子などの素粒子のスピン行列を導出する。前の記事では、軌道角運動量の固有方程式における方位量子数と磁気量子数の関係が、スピン演算子の固有方程式におけるスピン量子数とスピン磁気量子数に対応していることを示した。スピン量子数は半整数になり得ることに注意すると、スピン量子数とスピン磁気量子数の関係は次のように書ける。-s+1,...,s-1,s$$参考:軌道角運動量とスピン角運動量の違い例えば、電子のスピン量子数は、実験値より$$s=\frac{1}{2}$$となっている。\frac{1}{2}$$の2通り存在する。\(m_s=+1/2\)は上向きスピン、\(m_s=-1/2\)は下向きスピンに対応する。\right)$$と定義する。>\)を固有ベクトルとする固有方程式に含まれる行列のことである。参考:ブラベクトル・ケットベクトルの意味とはスピンの昇降演算子がスピンのベクトルに与える影響そもそも昇降演算子とは、固有ベクトルに作用することで、固有方程式の固有値を増減させるような演算子のことであった。>\)に軌道角運動量の昇降演算子\(\hat{L}_{\pm}\)を作用させたら、ケットベクトル中の磁気量子数\(m\)が増減した。>\)に作用させたら、スピン磁気量子数が増減するだろうと予想できる。>\)への遷移やその逆の遷移が起こるということになる。>\)が得られると考えられる。この式のスピンバージョンは次のようになる。\(l\)はスピン量子数\(s\)、\(m\)はスピン磁気量子数\(m_s\)に対応していることに気を付ければ、簡単に次の式が導けるはずだ。>$$一応前者の式の解説を載せる。1)\)の\(\pm\)の符号は正になる。元の\(\hat{L}_{\pm}\)に関する固有方程式に注目すれば、\(m_s\)に代入すべきは\(+1/2\)でなく\(-1/2\)であることもわかるだろう。後者の式も同様に考えれば求まる。>\)に\(\hat{s}_-\)を適応させたりすることには意味はない。そもそもその操作によって得られる状態が物理的に存在しないということである。したがって、次の式を得る。>=0$$昇降演算子の具体形スピンの昇降演算子\(\hat{s}_{\pm}\)は、具体的には次のような形になる。実際に上の式に代入して確かめてみよう。ときと同じように、昇降演算子を定義する。\hat{s}_x-i\hat{s}_y$$これを\(\hat{s}_x\)と\(\hat{s}_y\)に関する連立方程式として解くと、次の関係を得る。)$$あとはこの式の昇降演算子\(\hat{s}_{\pm}\)に、具体形を代入すればよい。以降、これを満たすスピン演算子\(\hat{s}_z\)を求める。\frac{1}{2}$$の2通りとなる。\(+1/2\)が上向きスピン、\(-1/2\)が下向きスピンに対応する。>\)の定義を考慮すると、z軸のスピン演算子を表す行列\(\hat{s}_z\)は次のように定義すれば都合が良い。>$$が成立しているといえる。以上で、z軸方向のスピン演算子が求められた。s}\)は、x,y,z軸のそれぞれの成分のスピン演算子\(\hat{s}_x,\)\(\hat{s}_y,\)\(\hat{s}_z\)をまとめたものである。s}=(\hat{s}_x,\hat{s}_y,\hat{s}_z)$$そして、今まで求めてきたように、\(\hat{s}_x,\)\(\hat{s}_y,\)\(\hat{s}_z\)はそれぞれ次のように定義される。\end{pmatrix}$$本によってはディラック定数\(ħ\)が抜けているものもあるため、その場合はその本や教授に従うこと。パウリのスピン行列は、スピン演算子の行列部分のことを指す。σ_z$$以上でパウリのスピン行列が求められた。スポンサーリンクより一般的なスピン行列の求め方ここまでは電子のような、スピン量子数が1/2のスピン演算子の求め方を紹介した。すべての素粒子のスピンが1/2というわけではない。光子のスピンは1であり、グラビトン(重力子)のスピンは2であるとされている。そのような粒子のスピン行列を求めようにも、上の方法では不可能である。次の方程式を利用すれば、1/2以外のスピン量子数を持つ素粒子のスピン演算子を求められる。_{m_s,m’_s}$$参考:角運動量の昇降演算子の交換関係と物理的意味についてこれらの導出についてだが、ここでは一番上の式のみ紹介する。他の式も同様に求められる。s,m’_s|\)をつければ良い。_{m_s,m’_s}\end{eqnarray}演算子とその行列表記について演算子\(\hat{A}\)の行列成分\(A_{ij}\)は次のように書けた。>$$ここからスピン行列を導出するには、上の固有方程式中のスピン磁気量子数\(m_s\)と\(m’_s\)が演算子の行列の行と列に対応していると考える。行列の行と列の数は、スピン磁気量子数の数と一致するといえる。このことから、求める行列は正方行列だとわかる。x,y軸成分のスピン行列1/2スピンのときと同様に、昇降演算子を経由してスピン行列を求める。_{m_s,m’_s}\)より、列番号が行番号+1になるような要素のみ0以外の数字になり得ることがわかる。\(s\)と\(m_s\)の関係を考えると、次の関係が予想できる。\end{eqnarray}同様にして、下降演算子\(\hat{s}_-\)も次のようになる。こちらは、行番号が列番号+1になるような要素のみ0以外の数字になり得る。\end{pmatrix}\end{eqnarray}例えばスピンが\(1\)の場合、上の行列中のsに1を代入すれば良い。\end{pmatrix}$$このように、s=1を代入すると、求める行列は3×3の正方行列となることが予想できる。したがって、この場合のスピンを表すベクトルは次の3種類が予想される。\right)=0$$を満たすような昇降演算子を求めれば良い。)$$を利用して、x,y成分のスピン行列を求めれば良い。_{m_s,m’_s}$$に注目する。_{m_s,m’_s}\)より、求めたい行列の行番号と列番号が同じでない要素はすべて0になることがわかる。前と同じように、\(m_s\)と\(m’_s\)がスピン行列の行と列に対応していると考える。スピン量子数\(s\)とスピン磁気量子数\(m_s\)の関係にも注意すると、求めるスピン行列\(\hat{s}_z\)は次のように書ける。\end{pmatrix}\end{eqnarray}例えばスピンが\(1\)の場合、上の行列中の\(s\)に1を代入すれば良い。\end{pmatrix}$$このように、s=1を代入すると、求める行列は3×3の正方行列となることが予想できる。したがって、この場合のスピンを表すベクトルは次の3種類が予想される。>$$を満たすように行列要素を求めていけば良い。その結果、次の行列を得られる。\end{pmatrix}$$まとめ・スピンとは、角運動量の次元を持つ素粒子のパラメータのことである。量子力学II』,講談社.村上雅人(2008)『なるほど量子力学III』,海鳴社.広告Tweet関連記事(広告含む)軌道角運動量とスピン角運動量の違い原子核のまわりに存在する電子は、軌道角運動量・スピン角運動量という2種類の角運動量をもつ。この2つの角運動量の和が、電子の総角運動量というこ...記事を読む【コラム】トンネル効果ってなに?壁をすり抜けるって本当?今回のコラムは、量子力学の「トンネル効果」です。関係まとめ消滅演算子\(\hat{a}\)は固有値を1つ下げ、生成演算子\(\hat{a}^†\)は固有値を1つ上げる性質をもつ。この記事では、下の7...記事を読むトンネル効果で人が壁をすり抜けられる確率トンネル効果というものを聞いたことがあるだろうか。説明すると、物体が通常では通り抜けできない壁を通り抜けてしまう現象のことである。スピン量子数の4種類存在する。これらの量子数は、電子の軌道やスピンの大きさの指定に役立っている...記事を読む角運動量の昇降演算子の交換関係と物理的意味について昇降演算子とは、固有方程式の固有値を変化させることができるような演算子のことである。固有値を上げるような演算子を上昇演算子、下げるような演算...記事を読むブラベクトル・ケットベクトルの意味とは量子力学には、「ブラベクトル」と「ケットベクト」というものを使う。ブラベクトルは\(<a|\)、ケットベクトルは\(|a>\)と...記事を読む量子コンピュータって何?普通のものと何が違うのか今回のコラムのテーマは、「量子コンピュータ」です。2017年11月20日、NTTが一般向けの国産の量子コンピュータを使ったシステムを...記事を読む量子力学SNSでもご購読できます。*メールアドレス(公開はされません。*次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。