/反射の法則とスネルの法則の導出2018.03.15反射の法則とスネルの法則の導出Tweet重要なお知らせお使いのブラウザのJavascriptは無効になっています。当ホームページでは、数式の表示にJavascriptを使用しています。そのため、Javascriptを有効にしていない場合、数式が正しく表示されません。反射の法則$$θ_{in}=θ_r$$屈折の法則(スネルの法則)$$n_{in}sin{θ_{in}}=n_tsin{θ_t}$$この記事では、平面波が上の2つの法則を満たすことを示す。波の屈折と位相差について入射角\(θ_{in}\)で物体に入射する平面波を考える。黒い矢印は平面波が進む方向を表しているため、等位相面はこの矢印に対して垂直になる。波動関数をそれぞれ\(ψ_{in},ψ_r,ψ_t\)とおく。すべて直線\(z=0\)上で交わる。この\(z=0\)上ですべての波が連続でないといけないから、直線\(z=0\)上におけるすべての波の位相は等しくなる。r}-ωt$$すべての式に\(ωt\)を加える。r}\)はすべて同じであることに注目する。波数ベクトルの各成分はそれぞれ等しくなることがわかる。$$k_{inx}=k_{rx}=k_{tx}・・・(2)$$$$k_{iny}=k_{ry}=k_{ty}・・・(3)$$今、入射波は\(xz\)平面上を通る場合を考えているから、入射波の波数ベクトルのy軸方向成分\(k_{iny}\)は0になる。式(3)より、反射波と透過波の波数ベクトルのy軸方向成分も0になるといえる。すべて\(xz\)平面上にあることを意味している。x軸方向の波数ベクトル入射波の波数ベクトルの大きさ\(k_{in}\)と、この波数ベクトルのx軸方向の大きさ\(k_{inx}\)は、上の図から次のように書けることがわかる。$$k_{in}sinθ_{in}=k_{inx}・・・(5)$$反射波・透過波でも同様の関係が求まる。$$k_{r}sinθ_{r}=k_{rx}・・・(6)$$$$k_{t}sinθ_{t}=k_{tx}・・・(7)$$式(5),(6),(7)を式(2)に代入する。平面波の分散関係は、次の式で表された。角振動数は共通だから、代入後の式を角振動数\(ω\)で割ってみる。$$\frac{1}{v_{in}}sinθ_{in}=\frac{1}{v_{r}}sinθ_{r}=\frac{1}{v_{t}}sinθ_{t}・・・(9)$$ここで、入射波と反射波は同じ物質中を通っているから、入射波と反射波の速さは同じになる。このことと式(9)を考慮すると、次の式を得る。$$sinθ_{in}=sinθ_{r}$$\(θ_{in},θ_{r}\)は両方とも0°よりも大きく90°よりも小さいから、$$θ_{in}=θ_{r}$$この式は、入射角と反射角が等しいことを表す。この法則を反射の法則という。入射波と透過波の関係について、式(9)を変形することで次の式が求まる。$$\frac{sinθ_{in}}{sinθ_{t}}=\frac{v_{in}}{v_{t}}≡n・・・(10)$$上の式ように定義された\(n\)を、入射波側の物質に対する透過波側の物質の相対屈折率とよぶ。真空中の光速を\(c\)とすると、速度\(v_a\)で波が進む物質\(a\)の屈折率\(n_a\)は、次のように定義される。$$n_a=\frac{c}{v_a}$$このような、真空に対する屈折率\(n_a\)のことを、物質\(a\)の絶対屈折率とよぶ。物質\(a\)に対する物質\(b\)の相対屈折率\(n_{ab}\)は、\(n_{ab}=\frac{v_a}{v_b}\)であった。これを用いて相対屈折率を絶対屈折率で表すと、次のようになる。n_{ab}&=&\frac{v_a}{v_b}\\&=&\frac{\frac{c}{n_a}}{\frac{c}{n_b}}\\&=&\frac{n_b}{n_a}・・・(11)\end{eqnarray}この式(11)を、式(10)の相対屈折率に導入すると、$$\frac{sinθ_{in}}{sinθ_{t}}=\frac{v_{in}}{v_{t}}=\frac{n_t}{n_{in}}$$この式を変形させて、$$n_{in}sinθ_{in}=n_tsinθ_t$$スネルの法則はよくこの形で用いられる。物質ごとに絶対屈折率は異なるが、これは物質ごとに波が通過する速度が異なるからである。等式\(λ=\frac{2πv}{ω}\)と、角振動数\(ω\)が屈折によって変化しないことより、波の速さ\(v\)が変わると波長\(λ\)も変化することがわかる。屈折前後で波長が変化するには、波は屈折するしかないため、波は屈折するのである。上図は、2種類の波が重なり合ってうなりが発生している様子を表している。波の振幅を赤い点線で結んだが、群速度\(v_g\)とは、この赤...記事を読むケプラーの法則の概要と証明ケプラーの法則とは、惑星の運動に関する法則である。この法則を使いこなせるようになれば、惑星の運動を簡単に考えることができる。...記事を読む波束と分散について波束とは、限られた範囲にだけ存在する波のことをいう。調和振動子とは、単振動をする系のことである。調和振動子のポテンシャルエネルギーは、次のように与えられる。...記事を読む波動方程式を弦の振動から導出してみた通常、連続的な物体の運動を考えるときは、その物体を細かく分解して考える。今回考える弦の振動も例外ではない。円運動と向心力・遠心力を理解するためには、観測者の状態による見かけ上の力を理解する必要がある。向心力は、物体が円運動をするために必要な力で、...記事を読む力学SNSでもご購読できます。*メールアドレス(公開はされません。*次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。