受験生や就活中の方を含め多くの学生の皆さんに関係するようなニュース、子育てを行う親御さんにも役立つニュース全般をまとめていきます。管理人の地元・熊本県の高校をはじめ、全国の主要進学高校の大学進学実績を徹底的に比較・検証していきます。当ブログはPC向けのサイトです。当ブログは管理人にとってはただの暇つぶしですので、気の向いたときにしか更新しません。分野別学習目次」へようこそ!主に中学受験を考えている小学生を対象とした小学校の算数の学習を助けるためのページです。「算数が苦手で困っている」といった小学生の方や、保護者の方にとって最善の解決策となるサイトを目指しています。各単元をクリックすると記事を読むことが出来ます。twitterをやられている方はこちらもフォローよろしくお願いします。円すいの展開図を学ぶ。参照サイト様働きアリ大阪で20年以上に渡って中学、高校入試の指導を行ってこられた先生による学習サイトを参考にしています。90°30°60°の直角三角形、辺の長さで成り立つ関係式3つの角が90°、30°、60°の直角三角形の辺のうち、一番長い辺(斜辺(しゃへん))と一番短い辺とは常に長さが2:1になります。角BACを30°と60°に分ける線をひき、辺BCと交わる点をMとします。三角形AMCで、角の和は180°ですから、角AMCも60°となり、三角形AMCは正三角形になります。辺ACの長さを1とすると、辺AMの長さも辺MCの長さも1です。三角形ABMは角ABM=角BAM=30°となり、2つの角の大きさが等しいので二等辺三角形です。AM=BMとなり、AM=1ですからBM=1です。以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。中心が点Oである円の直径の両端を点B、点C、とし、円周上の一点を点Aとします。このとき、角BOCは180°であり、どんなときでも角BACはその半分の90°になります。その性質を利用して、底辺が直径のBCで、角ABC=30°、角ACB=60°の、円に接する直角三角形ABCをかきます。半径の長さは等しいので、OC=OAです。三角形AOCでOC=OAだから、二等辺三角形の性質より角OACも60°になります。三角形AOCの角の和は180°だから、角AOCも60°となり、三角形AOCは正三角形です。辺ACの長さを1とすると、OAの長さも、OCの長さも1です。次に、半径の長さは等しいのでOA=BOとなり、BOの長さも1です。以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。例題:かげをつけた部分の面積を求めなさい。(解き方と解答)曲線部分があるとき、小学生は、「おうぎ形」の面積を求める以外に面積を求める方法はありません。すると、中心角が150°のおうぎ形から三角形の面積をひいたら求められることがわかってきます。半径が10cmで、中心角が150°のおうぎ形の面積を求めます。10×10×3.14×150/360=314×5/12=785/6・・・(1)次に、三角形ABOの面積を求めます。底辺BOの長さは10cmです。高さは、頂点AからBCに垂直にひいたAHの長さです。ところが、三角形AOHは、90°、30°、60°の直角三角形ですから、AO:AH=2:1になります。AO=BO=10cmだから、AH=5cmです。取り上げる問題は、2問とも時間内に私が解けなかった問題です。(解答を見ないで自分だけの力で解けたら「師匠」と呼ばせていただきますのでチャレンジしてみてください。AとFを結ぶ直線上にあります。xの角の大きさは何度ですか。(解答)ACが正方形の対角線だから三角形DACは直角二等辺三角形であり、角DACや角DCAが45°であることはわかります。それがわかった後、いろいろ考えたのですが、すぐにはわかりませんでした。AFとDEの交点をHとします。角度の問題は、求めたい角度に関係のある三角形を見つけて、その三角形で考えるのが鉄則です。三角形DHCで考えましたが、角DCH=45°はわかるものの角HDCが求められません。三角形DAHで考えても、角ADHを求められません。残ったのは、三角形HEFです。ここで、中学入試のむずかしい問題で使う、「正三角形の利用」ではないかと思いつきました。角度や面積の問題で特にむずかしい問題を解くとき、正三角形の角度が60°であること、頂点から垂直な線を底辺に引くと辺を二等分できること、角も二等分されて30°になることなどを使うことがあります。この問題でも、次のように線をかき込んで正三角形を作ったら、やっと解けました。正方形ABCDの対角線ACとBDの交点をIとします。正方形DEFGの対角線DFをひき、点BとFも結びます。正方形ですからACとBDは垂直であり、DIの長さはBDの半分です。ゆえに、DIの長さはDFの半分でもあります。すると、三角形DIFは、角DIFが90°で、辺DI:辺DF=1:2となり、角IDF=60°、角DFI=30°の直角三角形であることがわかります(また、三角形DBFは正三角形です)。ここまでわかったので、いよいよ三角形HEF(図の青色の部分)の角度を求めていきます。角HEFは正方形の角で90°です。以上より、xは105°となります。この問題は、教育開発出版の新小学問題集に掲載されている灘中学の問題ですが、さすがというかなんというか、私は最初お手上げでした。次の問題は同じページにのっている早稲田の問題ですが、これも私はすぐには解けませんでした。2か所の角度がわかりました。x、yの角度はそれぞれ何度ですか。(解答)この問題は、わかったら「なあんだ」と思える問題ですが、どうやって解くかを思いつかないと苦戦します。問題1と同様、このままではおそらく解けません。補助線をかき込む必要があります。私も解けるまでにずいぶん苦しんだので、あなたも苦しんでください。どこに線を引いたら解けるかはすぐには教えません。中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。今回は数列の問題です。例題:次のように、ある規則にしたがって左から順に数字が並んでいます。10,11,12,28,29,30,46,47,48,...(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。(3)300は第3段目の何番目の数ですか。5,13,21,29,37,45,53,61,69,...(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。代表的な数列と、その解き方を知っておこう。等差数列で何番目かの数を求めるとき5,13,21,29,37,...の数列は、8ずつ増えています。このような数列を、差が8で等しいので、等差数列といいます。最初の数がaで、bずつ増える等差数列では、n番目の数はa+b×(n-1)の式で求められます。5,13,21,29,37,...の数列の100番目の数は何かというと、5+8×(100-1)となります。なる理由ですが、植木算の一種と考えたらわかります。8ずつ増えていますが、増える個数は、2番目の数で1回、3番目の数で2回、4番目の数で3回と、常に1少ない個数です。最初が5で、n番目だとそれより1だけ少ない(n-1)だけ8ずつ増えるので、5,13,21,29,37,...の数列だと、n番目の数は5+8×(n-1)です。等差数列では、最初の数がaで、bずつ増えるとき、n番目の数はa+b×(n-1)です。等差数列で、数列の和を求めるとき例えば5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和を求めるとき、最もやさしい方法は、同じ数列とは逆に並べたものを、もとの数列にたす方法です。5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の下に、逆の順にした77,69,61,53,45,37,29,21,13,5を書きます。上と下の、(5+77),(13+69),...の和はすべて82です。和が82の組が10組あるので、82×10、これは同じものの和を2倍したものだから、実際の5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和はその半分です。82×10÷2=410だということになります。最初の数のaに最後の数のa+b×(n-1)をたしたものであるa+a+b×(n-1)のn倍を2でわると求めることができるということです。5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の10個の数列の和は、(5+77)×10÷2=410です。5,6,8,11,15,20,26,33,41,...(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。代表的な数列と、その解き方を知っておこう。決まった数ずつ増える数列で何番目かの数を求めるとき5,6,8,11,15,20,26,33,41,...の数列は、5,5+1,6+2,8+3,...というふうに、前の項より1,2,3,4,...と増えている数列です。この数列では、5,6,8,11,15,20,26,33,41,...を、5,5+1,5+1+2,5+1+2+3,5+1+2+3+4,...と書き直します。すると、n番目の数は、最初の数の5に、1+2+3+...+(n-1)を加えた数だということになります。最初がaで、前の項より1,2,3,4,...と増えていく数列のn番目は、a+1+2+3+...+(n-1)だということです。5,6,8,11,15,20,26,33,41,...の数列の35番目の数は、5+(1+2+3+...+34)=5+(1+34)×34÷2=5+595=600答えは600です。最後の問題は、数列を、規則性の考え方も使って解く問題です。10,11,12,28,29,30,46,47,48,...(3)300は第3段目の何番目の数ですか。第3段目の数列は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),...と、3個の数ごとの組になっています。各組の最初である、10,28,46...は、10から始まって、18ずつ増える数列です。300が何番目の組にあたるかを見つけるために、(300-10)÷18を計算します。290÷18=16あまり2最初の10から始まって、18を16回たした組ですから、17番目の組であることがわかります。各組は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),...というふうに、(n,n+1,n+2)となっています。290÷18=16あまり2で、あまりが2なので、17番目の組の3番目の数が300です。3個ずつ、16組あったあとの3番目の数なので、300は、3×16+3=51番目の数だということになります。知っておいたほうがよい、その他の数列(1)1,4,9,16,25,36,49...1×1,2×2,3×3,4×4,5×5,6×6,7×7,...と、同じ数をかけた数の列です(同じ数をかけることを2乗といいます)。知っていないと、案外よく出題されます。(2)1,3,9,27,81,...前の数に決まった数をかける数列(例にあげたものは3をかけています)です。小学生範囲ではあまり出題されません。(3)1,1,2,3,5,8,13,21,...1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,...と、直前にある2つの数の和が並んだ数列です。フィボナッチ数列とよばれる有名な数列です。中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。例題1:数が次のように規則正しくならんでいます。1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,...(1)最初から153番目の数は何ですか。(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。(解き方)1、まず、規則を見つける(1,2,3,2,1),(2,3,4,3,2),(3,4,5,4,3),(4,5,6,5,4),(5,6,...数が5個ずつ組になっていて、n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)となっていることを見つけておきます。2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する(1)最初から153番目の数は何ですか。数が5個ずつ組になっているから、153を5でわって、153が何番目の組にふくまれるかを見つけます。153÷5=30あまり3153は、30組あった後の31番目の組の3個目の数です。n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)だから、31番目の組にふくまれる数は(31,32,33,32,31)です。この組の3個目の数だから33が求める数です。3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。最後の組がどんな数でできているかを見つけます。200÷5=40最後の組は40番目の組であり、(40,41,42,41,40)です。一の位が1である数は、最初が(1,2,3,2,1)。次が(9,10,11,10,9)、(10,11,12,11,10)、(11,12,13,12,11)。次が(19,20,21,20,19)、(20,21,22,21,20)、(21,22,23,22,21)。次が(29,30,31,30,29)、(30,31,32,31,30)、(31,32,33,32,31)。最後が(39,40,41,40,39)、(40,41,42,41,40)。一の位が1である数の個数は、最初が2個。次が、1個+2個+2個の5個。