CLT)は、確率論・統計学における極限定理の一つ。大数の法則によると、ある母集団から無作為抽出された標本平均はサンプルのサイズを大きくすると真の平均に近づく。これに対し中心極限定理は標本平均と真の平均との誤差を論ずるものである。多くの場合、母集団の分布がどんな分布であっても、その誤差はサンプルのサイズを大きくしたとき近似的に正規分布に従う。標本の分布に分散が存在しないときには、極限が正規分布と異なる場合もある。統計学における基本定理であり、例えば世論調査における必要サンプルのサイズの算出等に用いられる。(1922)による[1]。特性関数(とレヴィの連続性定理(English版))を用いることにより証明できる。Xn}を独立同分布に従う確率変数とする。分布の平均をμ、分散をσ2とする。Xnを考えると、平均と分散はそれぞれ、nμ、nσ2となる。Y_j,[/math]を考える。[/math]最後の等式は全てのYjが同等であることから導いた。\right)[/math]のテイラー展開を考える。[/math]となる。早く0に収束する関数を表す。\infty[/math]における極限が以下のように求められる。1)の特性関数である。1)に収束することを意味する。厳密に特性関数の収束と確率分布関数の収束の対応関係が成り立つことはレヴィの連続性定理(English版)により保証される。収束することが証明された。