図の中で示される曲線は、山の斜面を滑らせられたスノーボードの軌跡です。スノーボードは全く同じポイントから滑りましたが、それは初期状態にほとんど起因しない全く異なる地点に達します。カオス理論は異常なまでの複雑さを理解する必要のある(かなり難しい)理論です。カオスは非常に難しく、この中の説明だけでカオスについて正確にかつ簡単に説明することは非常に難しいことですが、以降の説明で、少しでもカオスの正しいイメージを持っていただければ幸いです。この例は(カオス理論の父と言われる)ローレンツによって書かれた本から抜粋したものです。この図の中で示される曲線は斜面上方から滑らせられたスノーボードの軌跡です。スノーボードは全く同じポイントから滑りましたが、それは初期状態にほとんど起因しない全く異なるポイントに達します。この現象は、必ずといってよいほど存在することが確認されております。カオス理論は異常なまでの複雑さを理解する必要のある理論でして、かなり難しい理論であると言えます。カオス理論の解説それでは、SiCECA(CENTE)の研究・開発でも入力信号(解析対象)としております『音声』を対象としてカオスについてなるべくわかりやすく、カオスとはどういうものか、カオスをとらえ客観的な数値として状態の変化を示すとはどういうことかについて説明していきます。上の図は、人間の発話音声信号です。これらの2つの図は、言葉に表した『あ』の音の波形を示しています。左の図は、正常な時の波形で、右の図が疲労時の波形を示します。一般には、恐らく正常な時の声と疲労した声を聞き分けることが容易であると思います。被験者の中には、右の図のそれのような波形であっても、正常な状態である人もいます。右の図の中の波形は左の図の波形にいくつかの種類のノイズを加えることにより、比較的容易に人為的に作ることができます。実際にはこのように波形を見ただけでは、『見た目は似ているが、厳密な波形は同じではない』程度のことはわかりますが、どれほど『揺らいでいる』とか、どれほど『状態が違う』とか、定量的に表現することはできません。上の図は、人間の発話音声のパワースペクトルを表したものです。これらの2つの図は、正常な『あ』の音、および疲労時の『あ』音のパワースペクトルを示しています。疲れている時には『低周波領域』にノイズがのり、1番目、2番目、3番目のピークが若干高くなり、5番目、6番目のピークは逆に低くなっているように思われます。すべてのピークの周波数はほとんど変わりません。これを見て、周波数分析などの従来の方法により、正常な時と疲れているときの声を識別することは難しいことがわかるかと思います。上の図は、発話音声のストレンジ・アトラクター(ターケンス・プロット)です。これらの2つの図は、人間の音声の特性を示しています。これらの2つの図はストレンジ・アトラクターあるいはターケンス・プロットと呼ばれます。これらの図から、正常な音声(左の図)より疲労した声(右の図)のほうが、より多くの変動があることがわかります。右図の多数のスパイク波形から、疲労した音声には多くの雑音が含まれていることがわかります。軌跡の幅は、変動の程度を意味します。疲労した音声は、より高い程度の変動を確認することができます。カオス理論では、この軌跡の安定度を示すのにリアプノフ指数という値を用います。この場合の軌跡の変動の程度は、疲労による人間の音声に含まれる雑音、揺らぎの度合いを示していると言えます。実は、このアトラクタの図そのものは、定性的にカオスらしさを表すものであり、定量的にカオス性を示すリアプノフ指数の計算について、次に説明します。この図は、先ほどのストレンジ・アトラクタの軌跡の変動の程度を示すリアプノフ指数の計算方法を示しています。この図を構成する、点の分布が、ある(発展)時間後にどのように変化したかを観測し、その変化率を求めることにより定量的にカオス性を表現することができることになります。以下にリアプノフ指数の計算手順をご説明します。1)まずはじめに、軌跡上にある「ある点」に着目し、そこから「ある(微小の)距離」以内にある点(近傍点)というものを探します。Separation)を計算します。一般的に、近傍点は固まりで多く存在します。人間の発話音声のステオレンジ・アトラクタの場合も多くの近傍点の固まりが存在します。ンプリングした音声データの場合、数百の固まりで近傍点が存在します。最新の高速なPCを使ったとしても、数秒の計算時間を要することになります。これらの図は、ターケンスプロットの表示方法を示すものです。この例は、サイン波を2次元空間に埋め込んだ場合のものです。ターケンス・プロット上のすべてのX軸とY軸の点の組み合わせが、左の図に示されるサイン波を表しています。『埋め込み遅延時間:Td』と呼ばれるある一定の時間差を持っています。『埋め込み発展時間:Tau』もまた左図に示すように一定となります。人間の発話音声のストレンジアトアクタでは、左図に示されたすべての点がアトラクタ上に表されます。音声波形のすべての点は4つ以上の要素の値を表しています。それぞれの要素はまったく異なる固有の遅延時間を持っています。Pn+3と埋め込み点が移動していきます。このように点の移動が繰り返され、最終的に人間の発話音声のストレンジ・アトラクタが描かれます。上段の図は、ホワイト・ノイズをターケンス・プロット表示した例です。ホワイト・ノイズの場合、ターケンス・プロットを描くことはできません。埋め込み点の移動が、無限に長い時間であれば全空間をカバーするかもしれませんが、軌道変化に規則性を見出すことができません。下段の図は、米国マサチュセッツ工科大学のローレンツ教授が発見したカオス学において非常に歴史的に重要な図です。波形は、ある種のランダムな雑音から成るとされていた。ものではないと思うようになりました。さあ、いかがでしょうか。カオス理論についてお解りいただけましたでしょうか。