「塵劫記」であって、「塵却記」ではないことに注意。寛永4年(1627年)に、京都の角倉【すみのくら】一族出身の吉田光由によって出版された。光由は、寛文12年に没するまでの間に重数回も増補や改訂を重ねている。その理由は色々な説があるが、その時々の経済生活に適合させることにあったとされる。計算問題中の物の値段をそのときの物価にスライドさせたり、経済活動の変化に応じて問題を差し替えたりしている。ひとつの理由は、偽版対策であったのかもしれない。江戸時代を代表する通俗算書であると同時に、寺子屋の「算」の往来物の代表でもある。寺子屋では『改算記』も広く用いられていた。『塵劫記』には、その類本が極めて多く約400種類近く存在する。その変化は庶民の要求に応える形に変わっていった庶民化の現象という点もあるが、原著者の意図を無視した塵却記の崩壊ともいえる。光由は問題の選定・配列などにおいて学習上の配慮・工夫を施していた。変容した結果そうした工夫が無視された。『塵劫記』はそろばんだけでなく、仮名や漢字に慣れるためのテキストとしても最適であった。文章問題が多かったが、「誰が何をどれだけ賀って、いくら払った」というパターン化された内容なので、少ない語彙でも読めたのである。これからくずし字を自力で読めるようになりたい人は、『塵劫記』を読むとよいかもしれない。和算とくずし字の両方が学べて、一石二鳥である。「二二が四」(あるいは「一一が一」)から始っている。江戸時代の子どもたちもその順で覚えていった。九九は元々大きな数の組み合わせから次第に小さな方に進んでいた。現在とは異なり、小さな数が先で大きな数が後という組み合わせしか載っていない。「二三が六」はあっても「三二が六」はない。これは八算【はっさん】に影響している。とき、土地の面積を求めよ。一間=六尺五寸とする。[答]辺の長さが五十八[間]=58×6.5[尺]=377[尺]、二十五[間]=25×6.5[尺]=162.5[尺]のとき、その面積は61262.5[尺2]である。これを42.25で割ると、坪単位に変換できる。†[問]横2間半、縦が六間、棟までの高さニ間の蔵がある。この蔵の中に米はいくら入るか。[答]蔵の容積は2.5×2×6=30[間3]である。1[間3]には米が36石納められるので、蔵の中には30×36=1,080[石]を納めることができる。†[例]金弐十両あたり、壱ヶ月で利息が壱分のとき、年利はいくつ?[答]金は4分で1両になるので、金20両は80分になる。元金20両に対して毎月1分かかるということは、元金に対して毎月80分の1が利息になる。年利ならこれを12倍して、12/80=0.15と計算される。年利は15パーセントになる。◇[補講]江戸時代の頃、借金の証文などは勝手に改竄されては困るため、大字【だいじ】と呼ばれる漢数字が使われていた。この大字の知識は『塵劫記』にも書かれている。米俵を三角形に積んだ姿を杉形【すぎなり】という。杉の木の形に似ているからである。このとき、米俵の数の総数を計算するには、一番下の1列がxのときに、x(x+1)/2を計算すればよい。これは現代でいう等差数列の和の計算で明らかである。烏算は特に数学的に価値があるわけではないが、9という数を使うので有名である。[問]九九九匹の烏が、九九九浦で各々九九九声ずつ鳴いたとすると、鳴き声は全部で何声になるか。†[問]8つの入れ子鍋を使う。大きさは1升から8升まであり、値段は2升鍋なら1升鍋の2倍、3升鍋なら1升鍋の3倍、...というように容積に比例するとする。このとき、総額が43匁2分ならば、1升鍋の値段はいくらか?[答]まず鍋の容積の合計を求めると、1升から8升までの足し算なので36升(=(8+1)8/2)になる。その36升が43匁2分なので、割り算をすれば1升鍋の値段は1匁2分になる。◇[補講]入れ子算の応用に抜き入れ子算がある。7つ入れ子鍋のうち、3升鍋だけが抜けているというような設定である。†[問]まだ七歳であるが評判の美人を見はじめた三十男が、娘の親に結婚の許しを請うたところ「年齢が違いすぎる。娘の歳の二倍以下なら許そうものを」という返事であった。そこで男は一計を案じ、男の歳が娘の二倍以下に成り得たら結婚を認めてもらう約束を得た。男が結婚ができた年齢は何歳か。[答]xを現在から結婚が可能になるまでの年月とする。このとき、30+x≦2(7+x)の連立不等式を解く。するとx≧16になる。よって、最短で16年後に男は結婚が可能になる。そのときの男の年齢は46歳(=30+16)、女の年齢は23歳である。『徒然草』にもその名は登場したが、『塵劫記』の普及で内容が知れ渡った。内容は次の通りである。あるところに先妻【せんさい】の子(継子)が15人、後妻【ごさい】の子が15人おり、都合30人のうち誰か1人に遺産を相続させるために、父母は彼らを輪のように並べた。その上で、数え始めの子供の位置から時計回りに数えて、10番目に来る子を次々に外していく。して1人ずつ減らし、最後に残った1人に相続させるという方法を考える。始めてみると、異変が起きる。継子だけ14人も立て続けにはじき飛ばされてしまった。最後の1人になった継子は、たまらず手を挙げた。あまりにも一方的なので、これから先は改めて自分から数え始めてもらいたいと提案したのである。その注文に応じたたところ、今度は後妻の子が15人とも一気に取り除かれてしまった。して途中で提案した継子が最終的に勝ち残ったのである。数学的な原理は複雑である。江戸時代では、一般に米を運ぶとき、運賃は運ぶ米の中から払うことになっていた。[問]舟一艘に米250石を積んで運ぶとき、運ぶ米100石につき7石が運賃である。その運賃は運ぶ米の250石から支払うものとすれば、運賃はいくらか。馬で旅をする時、旅人が4人で馬も4頭なら、何の問題も起こらない。3頭しか馬を調達できなかったらどうだろうか。公平にするためには、徒歩で移動する人を交代にする必要がある。その配分を決めるために、算術が役に立つ。[問]6里(今でいう24km長)の道のりを、4人の旅人が、3頭の馬に乗り合わせながら進む。皆が徒歩と馬を同じ割合で載りあうとすれば、1人あたり何里歩き、何里馬に乗ればよいか?[解]まず6里の道のりに馬の頭数の3をかけて、馬が歩く距離の合計18里を求める。それを人数で割れば、1人が馬に乗る距離の合計が決定する。今4人いるので、18里÷4人で1人あたり4.5里を馬に乗ることになる。1人あたり1.5里は徒歩になるということである。頭数で割ると、交替の目安となる距離も確定される。4.5里÷3で1.5里と計算され、1.5里ごとに馬に乗れる人を交代すればよいわけである。旅人算とは、A地点とB地点から、2人が異なるスピードで歩いて中間のC地点で出会うときに、そのCの位置はどこかを問う問題である。2人が同じ方向に進むタイプの旅人算もある。[問]1日10里歩く牛が出発してから3日後に、1日15里歩く馬が出発したときに、追いつくのは何日目か?[答]牛が3日で歩く距離は、10里×3日=30里と計算できる。次に、1日の移動距離の差は5里(=15里-10里)である。よって、30里の差が埋まる日数は、30里÷5里=6日と計算できる。[別解]x日後に追いつくとして考えると、10(x+1)=15xという方程式が成り立つ。これを解けばx=6が得られる。◇この旅人算を現代風にアレンジしたのが、時計算である。進みの早い長針Aの時刻(位置)と遅い短針Bの時刻が示されて、これより後に2つの針がぴったり重なるCの時刻を問う。長針が旅人で、先を行く短針という旅人に追いつくまでのレースである。旅人算が速度を扱うのに対して、時計算では角度で考えるのが一般的である。†[問]盗賊の一味が、橋の下で戦利品の絹織物を山分けしている。不公平にならないように8反ずつ分けてみたところ、7反不足した。1人あたり1反減らし、7反ずつで分けてみると、今度は8反余った。このとき、盗賊は何人で、絹織物は何反あるか?[答]図で考える。8反ずつ分けると7反足りない。次に、7反ずつ分けると8反余る。分け方の違いによる絹の枚数の違いの和は、盗人の人数と等しい。[別解]盗賊の数をxとすると、8x-7=7x+8という方程式が成り立つ。これを計算すると、x=15人と判明する。後は容易に絹の総数を15×8−7=113反と計算できる。†イエズス会の宣教師を経由して国内に伝わった西洋流の問題として、油分け算がある。『塵劫記』では、サイズの異なる3つの枡(10升、7升、3升)を使い分けて油を移し変えながら、最後には10升(=1斗)の油を半分に(5升と5升に)分ける問題である。←上記の操作の結果3升枡→7升枡(7,3,0)10升枡→3升枡(4,3,3)3升枡→7升枡(4,6,0)10升枡→3升枡(1,6,3)3升枡→7升枡(1,7,2)7升枡→10升枡(8,0,2)3升枡→7升枡(8,2,0)10升枡→3升枡(5,2,3)3升枡→7升枡(5,5,0)『塵劫記』のパロディ本だった江戸中期の『大通人好記』【だいつうじんこうき】では、油分け算は頭の体操になるが、ちっとも生活の役に立たないとケチをつけている。本気で5升ずつに分けたいならば、1升枡だけを使えば十分であるといったようにである。自分と相手で取り分けるならば、相手に与える分を夜に軽量すればよいとアドバイスする。油は熱膨張率が高く、夜に増えて朝方は減るからである。よって、前の晩に測った相手の油は、翌朝になれば4升9合に目減りし、自分のほうは5升1合になって儲かるというものである。相似を利用して、木の高さを目測できる。四つん這いになった人が、股の間から木を見通す。腰を直角に折り、木のてっぺんが見える位置を探せば、そこから木までの距離と木の高さが等しくなる。人物(頭・腰・足)が描く三角形と、全体(木のてっぺん・木の根本・人物の頭)が描く三角形が相似になっている。[補講]四つん這いになる人の姿は図案化され、印籠に描くデザインにもなったほどポピュラー。股の下から覗く方法と同様に、町見術でも三角形の相似を用いる。正しい位置まで自分が移動するという手間はいらないが、目測したデータの比率を元に自分で計算しなければならない。測定者は糸の一端を口にくわえて、もう一端を左手で前方にピンと伸ばす。その手からは糸が垂れ下がる。先端に重りをつけておいて、地面に対して垂直になるようにする。糸には目盛りが振ってあり、物差しとして利用できるとする。AB=既知(目盛りより)、BC=既知(目盛りより)、AD=未知(測りたい距離)、DE=既知(相手の身長*1より)である。このとき、三角形の相似の関係より、AB:BC=AD:DEが成り立つので、ADが計算できる。町見術があれば、2人の間に川が流れていても計算できる。目的地まで一直線で見通せる平地なら、町見術で距離を計算できる。曲がりくねった道の距離や、高低差があるときの距離を測るときは、円盤を転がしていた。円盤の円周が1間(=約1.818m)になるように製作しておく。この円盤の半径は58cm弱である。これを転がして60回転すれば、60間=1町と測定できる。60回転ごとに杭を打っておけば後で計算も楽になる。江戸時代の成人男子の平均的な身長は5尺=150cm強である。そろばん(4414d)。