時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる。数学的な解釈アキレスの走行速度をv(m/s)、亀の歩行速度をrv(m/s)、亀はアキレスよりL(m)前方にいるとする。両者が同時にスタートして、アキレスが亀の出発点まで到達する時間は、(s)である。アキレスがその位置まで到達するのは、さらに(s)後であり、その時亀はさらにr2L(m)前方に存在する。それを無限に繰り返していくと、アキレスが亀の位置まで到達する時間の合計はとなる。この加算が無限に続くならば、すなわち時間は無限に存在し、「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない」という事になる。実際には加算が無限であっても、時間は無限ではない。アキレスが亀の最初の位置においつき、その時点での亀の位置にアキレスが追いつき、さらにその時点での亀の位置にアキレスがおいつき...という事をn回繰り返したと仮定すると、その時間はとなる。無限に加算した場合の総和はとなる。「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更しても良いと言われる。使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理(ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない)。この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。ID:3XFKIHyMO数学にも、「証明無しで使える事実」というものがある。これは未だに完全には定まっていない。人によって採用する公理が違ったりもする。現在主に使われている公理の1つに、ZF公理というものがある。実は、ZF公理ではこの行為ができるかどうかは証明できない、ということが証明されている。この行為ができるという公理を選択公理という。>>171のバナッハ=タルスキーの定理も、実はこの選択公理を採用して証明された。このように、選択公理を採用することで生じる直感に反する定理もいくつか知られている。ID:3XFKIHyMO現代の数学では、自然数の個数と有理数の個数は同じであるとされている。その理由は、全ての自然数と全ての有理数を1対1に対応づけることができるから。同様の考えで、自然数の個数より実数の個数の方が多い事も証明されている。実はこっちの証明の方がかなり難しい。ID:2eaggC9kO・任意の数x,y,zに対して(x+y)+z=x+(y+z)・任意の数x,yに対してx+y=y+x・何に足しても変わらない0という数が存在する・任意の数xに対して、xに足すと0になるような数-xが存在する。・任意の数x,y,zに対して、(xy)z=x(yz)・任意の数x,yに対してxy=yx・何にかけても変わらない1という数が存在する。・0以外の任意の数xに対して、かけると1になるような数1/xが存在する・任意の数x,y,zに対して、x(y+z)=xy+xz・0≠1以上の仮定のもと、1+1=0としても矛盾は生じない。・奇数なら3倍して1を足す・偶数なら2でわるという操作を繰り返す。3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→...13→40→20→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→...21→64→32→16→8→4→2→1→4→2→1→...などなど実は、どんな自然数から始めても必ず最後は4→2→1のループになると予想されているが、証明はされていない。ID:E86AYbtp0「ポアンカレ予想」という言葉を御存知だろうか。これは、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された数学における予想の一つである。その内容は、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、宇宙の形は概ね球体(ドーナツ型のような穴のある形、ではない)と言えるのではないか、という問題である。一世紀に渡って様々な数学者達が証明に挑んだが、誰一人としてそれを成し得た者は居なかった。アメリカのクレイ数学研究所が2000年に発表した「ミレニアム懸賞問題」(それぞれの分野で非常に重要かつ難しい7つの問題。100万ドルの懸賞金がかけられている)の一つに挙げられている事からも、その難解さが分かるだろう。そんな中、このポアンカレ予想について証明したとする論文が、インターネットの投稿サイトに公開された。論文を投稿したのは、旧ソ連出身の数学者グリゴリー・ペレルマン。世界中の数学者達は当初、この発表に驚きはしたものの、冗談の一つだろうと真に受けなかったという。冗談にしてはおかしい。どこにも矛盾が見当たらないのである。ID:E86AYbtp0数か月後、アメリカのプリンストン大学にて正式に発表会が開かれ、ペレルマンが呼ばれた。会場に現れた彼は、教室の巨大な黒板にものすごい速さで次々と公式を書き始め、証明についての講義を行った。物理学を使って証明してしまったのである。会場にいた大勢の数学者達は、ただ唖然とするばかりで、ペレルマンについていけなかったという。この瞬間、100年に及ぶ数学者達の恋が破れたのである。「証明が終わってしまったと落胆し、トポロジーが使われないことに落胆し、さらに証明が理解できないことに落胆した」ペレルマンはこの功績により、数学界におけるノーベル賞「フィールズ賞」を受賞するが、彼が会場に現れる事は無かった。彼は受賞を拒否してしまったと言うのである。懸賞金も受けとらずに。その後は誰も彼に連絡をとる事が出来ず、数学界からも姿を消してしまった。一説によれば彼は現在、故郷の森でキノコ狩りをして暮らしているという。彼はポアンカレ予想の証明の果てに何を見たのだろうか。彼は友人にこう語ったという。「今、興味を持っていることがある。08:42「1cmの針を、その内部で(はみ出さずに)1回転させることのできる」を満たす図形のうち、最も面積が小さいのはどういうものか?この問題の答えが、「いくらでも小さいものが作れる」だったのには驚いた。どんな数xが与えられても、面積がxより小さい図形があって、その中で、1cmの針をはみ出さずに回転させることができる。斜辺の長さが等しい直角三角形なだけで合同とは限らない。09:36>>4そこじゃねーよ。上で△AEF≡△AEGを示してるだろ。あの図だったら、交点Eは三角形の外に出来る。...2-1S=1/3で納得できない人が多いけど、実はその通り。いう式は本来成り立たない。次に「仮に」1÷3=0.333...が「成り立つならば」、1/3と0.333...は「同じ数値」を表している別記号である。同様に1と0.999...も「同じ数値」を表している別記号。09:51>>米2>>2は実際に図を描くと理解できる。する.とあるが、実際は絶対に交わらない。前提自体が間違っているんだ。09:51>>86、間違ってるよな?たとえば、123123123、は143で割り切れねーだろ。「奇数回」だと割り切れない(場合がほとんど)。0で割る事になり成立しない。「各桁の大きい数字を左から並べる」-「各桁の小さい数字を左から並べる」を繰りかえると6174に収束する。