上下と入れ替わっていることに注意して下さい。添え字の位置の上下入れ替わりは重要です。座標変換の変換則の形が異なるからです。実際、この混合テンソルの座標変換規則はとなります。同じ2階混合テンソルと言っても前者の場合と座標変換規則が異なります。両者の違いは行列要素に付けた添え字の上下の位置関係が逆転していることで読み取れます。これの座標変換則はとなります。両方とも右上に付けられていることに注意して下さい。添え字の位置関係とテンソルの座標変換則が対応しています。あることを示しています。4.(4)5.で述べた様に任意の共変ベクトルにG-1をかけると、[G-1の上付き添え字]と[G-1をかけられたテンソルの下付添え字]が縮約されて[上付き添え字]の反変ベクトルに成ったのです。これの座標変換則はとなります。両方とも右下に付けられていることに注意して下さい。添え字の位置関係とテンソルの座標変換則が対応しています。あることを示しています。かけると、[Gの下付き添え字]と[Gをかけられたテンソルの上付添え字]が縮約されて[下付き添え字]の共変ベクトルに成ったのです。乗じることで、テンソルの添え字を下げたり上げたりできます。そのとき、左側から乗じると左側の添え字が、右側から乗じると右側の添え字が上げ下げされます。添え字の上げ下げに付いて幾つか例を挙げて説明します。証明には別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明した関係式を用いればよい。なることは以下のようにして解ります。はで新しい座標系へ変換されます。新しい座標へ変換されるときの変換則はとなります。変換則に従って変換されていることを示している。なることは以下のようにして解ります。はで新しい座標系へ変換されます。新しい座標へ変換されるときの変換則はとなります。変換則に従って変換されていることを示している。なることは以下のようにして解ります。はで新しい座標系へ変換されます。新しい座標へ変換されるときの変換則はとなります。変換則に従って変換されていることを示している。なることは以下のようにして解ります。はで新しい座標系へ変換されます。新しい座標へ変換されるときの変換則はとなります。変換則に従って変換されていることを示している。他の組み合わせについても同様に証明できます。7.参考文献5.Maxwell方程式(1)Maxwell方程式2.(3)1.で説明したMaxwell方程式を以下の様に並べてみると及びの二つのグループに分けられる。)前節二つのグループのうち前者は4.(2)で導いた電磁場テンソルと旨く対応しているので、直ちに以下の行列形式の方程式であることが解る。乗じておかねば成りません。このように計量テンソルを用いて反変と共変の性質を変換しておかないと方程式の係数も旨く合いませんし、ローレンツ変換不変の方程式表現に成りません。そのようにしておくとベクトルとテンソルの積に伴う縮約により、両辺共に1階の共変ベクトルになります。実際、これはとなり、元の方程式系を表しています。この4元テンソル方程式がローレンツ変換不変の方程式であることは直ちに解ります。乗じた下記の形でも良い。このようにすると電磁場4元テンソルは2階反変テンソルになりますが、方程式の係数も旨く変換されてつじつまが合っていることに注意して下さい。普通の教科書では、この形の記述が多い。実際、この形でもとなり、元の方程式系と同じであることが解ります。この形のとき、これがローレンツ変換不変式であることの確認は以下のようになる。[補足説明2]2階混合テンソルの左側からミンコフスキー時空計量テンソル(2階共変テンソル)を乗じると、2階共変テンソルが得られます。このようにできることは、4.(4)7.で説明しました。様に右側に付ける指数の上下で表して電磁場テンソルの表現をまとめておきます。異なった表現になることに注して下さい。これらは下記の変換によって互いに関係づけられています。交代(反対称)テンソルでもなければ対称テンソルでもないことに注意して下さい。関係は互いに転置して符号を逆にしたものになっています。[補足説明3]で表すと、[補足説明1]で導いた“テンソル方程式”はと表せます。ついての縮約に“アインシュタインの規約”を適用しています。)次に、(1)節二つのグループのうち後者について考える。変形していくととなります。この表現は解りにくいが、(0,1)階共変テンソル(1階共変ベクトル)と(0,2)階共変テンソルの“直積”から作られる(0,3)階共変テンソルの“テンソル方程式”を表している。このテンソルは4×4×4=64個の成分を持ちます。あることを示している。このとき、テンソル方程式の形から解るように64個成分それぞれが一つのテンソル方程式の1成分ですから方程式が64個あることになります。64個の方程式の内で独立なのは4個だけです。それは(i,j,k)として(1,2,3)(1,2,4)(1,3,4)(2,3,4)を持つものです。なることは別稿「ミンコフスキーの4次元世界」4.(2)2.[補足説明2]を、あるいは別稿「対称テンソルと反対称テンソルの独立成分の数」2.(2)を参照して下さい。この独立な4個が最初のMaxwell方程式の4式に相当します。表すと、これはに従って新しい座標系に変換されます。成り立てば座標変換した新しい座標系に於いてもが成り立ちますから、上記のテンソル方程式はローレンツ変換に対して不変となります。あるというテンソルの重要な性質を表している。