3.特殊相対性理論(1)(2)(3)(4)マイケルソン・モーリーの実験(1887年)の特殊相対性理論による説明およその所は別稿「マイケルソン・モーリーの実験(1887年)」6.で説明しておりますが、ここでは特殊相対性理論に基づいて厳密に説明します。この稿の理解には、「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」と「ローレンツ変換とは何か[Einsteinのローレンツ変換導出法(1905年)への補足]」の知識が必要です。そちらをご理解の上でお読み下さい。1.実験観測装置の設定マイケルソン・モーリーの実験結果の特殊相対性理論による説明はかなり込み入っており正確に伝えるのは難しい。この実験結果が納得できないと言われる方の為に、できるだけ解りやすく説明します。伝えやすくするために実験の状況を以下のように簡略化します。地球表面に設置されたマイケルソン・モーリーの実験装置は、地球の自転と公転、さらに銀河系内の太陽系の運動に伴って宇宙空間の中をある速度で動いています。本当は回転運動を伴って動いているのですが、簡単のために、実験が行われている間は宇宙空間のある一定の方向に一定の速度v[m/s]で動いているとします。赤道表面の自転に伴う移動速度は464[m/s]程度です。地球が太陽の周りを公転することに伴う移動速度は30000[m/s]程度です。太陽の宇宙マイクロ波背景放射に対する移動速度は370000[m/s]程度です。ここでは宇宙空間に静止してる観測系とは宇宙マイクロ波背景放射空間に対して静止している系とします。すると、地球表面上のマイケルソン・モーリーの実験装置はその観測者に対して速度v=3700000[m/s]程度で移動していることになる。ここでは話を簡単にするために、光速度をc=300000000[m/s]とし、その光速度に対してきりの良い速度v=300000[m/s]でマイケルソン・モーリーの実検装置が移動しているとします。v/c=300000/300000000=1/1000とします。装置は真空の部屋の中に設置されており、空気などの媒質に伴う速度変化は無いとします。実際は空気中で行われた実験なのですが、そうすると話が込み入ってきますので今は真空中での話にします。空気中での実験でも同様に議論できますが、理解しやすくするために真空中での話にしています。実験装置と供に動く観測者はセシウム原子133Csの固有状態にもとずく原子時計で実験の様子を測定するとします。同様に宇宙空間に静止している観測者も同様な原子時計を持っており、その時計で観測者の目の前を速度vで移動していくマイケルソン・モーリーの実験装置の上で生じる現象を測定するとします。両方の観測者は同じ物質で作られた同じ物差し棒をそれぞれが持っていて、それを用いて装置の長さや光の速度を測定する。そのとき、実験装置とともに動く観測者は実験装置に対して静止している状態の物差し棒で実験装置の大きさ(縦横の光路長)や光の速度を測定します。宇宙空間に静止している観測者にとってマイケルソン・モーリーの実験装置は速度v=300000[m/s]で目の前を通り過ぎて行きます。宇宙空間に静止している物差し棒の前を通り過ぎる実験装置の長さを測るには、宇宙空間に静止している観測者の目の前を通り過ぎる実験装置の両端の位置を宇宙空間に静止している物差し棒の目盛を同時刻に読み取って、その目盛値の差から長さを読み取ることが必要です。これを実際にやるのは至難ですが、とにかくそうして測った値が装置の縦横の光路長であるとします。この方法の詳細については別稿2.(2)3.の説明をご覧下さい。マイケルソン・モーリーの実験装置は宇宙空間に静止している観測者の前を高速度で通り過ぎていきますので、上記の観測を実現するために以下のような設定にします。地球表面の実験室の空間には、装置のそれぞれの場所で起こった事象の位置を測定するために縦横にビッシリと物差し棒が敷き詰められている。空間的にも各事象が起こった時刻を記録するためにビッシリと時計が敷き詰められているとする。そのように配置されているすべての時計は同一時刻から同一のメカニズムで時を刻んでいるとします。宇宙空間に静止している観測者は、実験装置が通り過ぎていく経路に沿って縦横に隙間無くビッシリと莫大な人員が配置されているとする。観測者の配置経路に沿って物差し棒が十分な長さに渡って縦横に敷設されており、時計も莫大な数が隙間無くビッシリと配置されているとする。そのように配置されているすべての時計は同一時刻から同一のメカニズムで時を刻んでいるとします。宇宙空間の静止系に配置されている観測者全員が前記の原子時計を持っており、その前に物差し棒が存在する。目の前を通過する実験装置上で起きる出来事を、丁度その事象が目の前で起こったことを目撃する観測者がその目の前の物差し棒の目盛値と各自が持っている時計の時刻を読み取って記録するとします。このとき、それぞれの観測系に敷き詰められている時計は、アインシュタインが論文の最初に説明している光信号を用いる方法ですべて合わされているとします。光の発射点が光を発射した瞬間に宇宙空間に静止している座標系の原点が発射点の位置を通過し、そのとき両観測系の時刻が0に合わされたとします。ここで注意して欲しいことは、互いの時計の時刻を合わせるには、上記の光信号を用いる方法しか無いということに注意して下さい。同じメカニズムで時を刻む時計を原点の位置で沢山作って、原点ですべての時計の時刻を合わせてから、それを各座標点の位置に運んだのでは駄目なのです。時計をその様にして加速度運動を伴って動かすと時計の時を刻む自然現象の進みが変化します(このことは一般相対性理論による)ので、時計を動かす間に時刻が狂ってしまうからです。マイケルソン・モーリーの実験では反射鏡で反射を繰り返して光路長を11mとしていますが、話を簡単にするために、反射鏡を用いないで縦横の長さが10mの光路棒を用いることにします。マイケルソン・モーリーの実験では縦横の長さを厳密に等しくすることは難しいので、装置全体を90°回転させて干渉縞の移動を調べましたが、ここでは話を簡単にするために、装置が進行する方向と、それに垂直な方向の光路長が厳密に等しい10mであるとし、装置を回転させることなく両方向の光束の時間差を測定することにします。今後、宇宙マイクロ波背景放射空間を静止系(K系)と呼び、地球上の実験装置を運動系(k系)と呼ぶことにする。以下で用いる”光束”とは”光の塊り”を意味する。絶対静止の空間が存在し、光を伝える媒質であるエーテルはその空間を満たしている。光はそのエーテル中を一定の速度で伝わる。その考え方が正しいのなら、そのエーテル空間に対して運動している地球に付属する運動系(k系)で、光が伝わる様子を観測すると以下の事態が生じると思っていた。下図のような直角に交差する光路棒からなる装置を考え、装置全体はエーテル空間に対して光路棒A→Bの方向に一定速度(v=300000[m/s])で動いているとする。装置上の交点Aでパルス状の光球面波を発射し、A点からそれぞれ一定の距離(L=10m)だけ離れたB点とC点にある反射鏡で光を反射させる。A点から発射やされたパルス状の光束が、B点とC点でそれぞれ反射されて最初のA点に帰ってくる現象を観測する。エーテル理論に従うと同じ距離を往復する光束であっても、装置がエーテルに対して動いているのでA→B→Aと進む光束とA→C→Aと進む光束ではA点に帰着する時刻が異なる。大多数の物理学者は、その帰着時間のずれを実験で確かめることができと予測した。[補足説明]マイケルソンとモーリーは、1つの光束をハーフミラーで二つに分けて用いましたが、ここではバルス状の球面波で考えます。前記の予測をもう少し詳しく説明する。1.A→B→Aと進む光A→B→Aと進む光束について考える。A点を時刻をt0(=0としている)に出発する光束がB点(図中のB’点)に達する時刻をt1、再びA点(図中のA”点)に帰ってくる時刻をt2とする。見やすくする為に、光速度cに対して装置移動速度vを拡大した図にしています。今後出て来るすべての図は、その点に注意されてご覧下さい。図から明らかなようにt1はとなる。B’点で反射した光束が最初の発射点A”にもどる時刻t2はとなる。2.A→C→Aと進む光A→C→Aと進む光束について考える。A点を時刻をt0(=0)に出発する光束がC点(図中のC*’点)に達する時刻をt1*、再びA点(図中のA*”点)に帰ってくる時刻をt2*とする。図から明らかなようにt1*はとなる。C*’点で反射した光束が最初の発射点A*”にもどる時刻t2*はとなる。前記の計算から解るように、古典的エーテル理論では帰着時間に時間差Δtが生じる。最初の設定値を用いて実際の値を計算してみると程度の時間差が生じる。この時間差を直接測定することは現在の技術を持ってしても不可能ですが、マイケルソン干渉計を用いれば確認できる時間差です。この時間差内に光は3.0×108[m/s]×3.3×10-14[s]=1.0×10-5[m]程度進みますが、可視光の波長は5.5×10-7[m]程度ですから、1.0×10-5[m]は可視光波長の20倍程度の距離となります。これほど僅かの時間差でも確認できるマイケルソン干渉計の能力に今更ながら驚かされます。マイケルソン・モーリーの実験はこれほど僅かな時間差でも確認できる実験だったのです。ところが、実験では到着時間の差は観測されなかった。A→B→Aと進む光とA→C→Aと進む光はまったく同時に帰着したのです。これはとても不思議な結果でした。[補足説明]実際の実験では以下の事情がありました。1.ABとACの長さを完全に等しくする事は不可能です。2.装置が絶対静止空間(エーテル空間)に対してどの方向に動いているかを見極めることは難しい。3.マイケルソンの干渉計を用いないと時間差を判定するのは難しい。そのため、マイケルソンとモーリーは実験装置全体を回転させ、マイケルソン干渉計を用いてA→B→Aと進む光とA→C→Aと進む光の到着時間の差の“変化”を観測しました。装置速度vとしては、当時知られていた地球の公転速度v=30000[m/s]を採用しました。ところが、その“変化”はまったく生じなかったのです。その当たりの詳細は別稿「マイケルソン・モーリーの実験(1887年)」をご覧下さい。光はあらゆる慣性系から見て、同じ速度で伝播していく。これを“光速不変の原理”と言う。そのとき、古典論で言う絶対静止の空間や光を伝える媒質であるエーテルなどは必要としない。それぞれの慣性系で同一の光束を観測したとき、各慣性系から見た光の速度とはそれぞれの慣性系に対して静止している物差し棒と時計で測定した速度の事です。それらが等しくなることを“光速不変の原理”は言っています。地球の観測者に取ってAB=AC(≡L=10mとする)であり、“光速不変の原理”(光速≡c=300000000[m/s]とする)から以下のことが言える。時刻τ0=τ0*(=0とする)にA点を出発して、A→B→Aと進む光束がB点に到達する時刻τ1はであり、A点に帰着する時刻τ2はとなります。同様に、A→C→Aと進む光束がC点に到着する時刻τ1*はであり、A点に帰着する時刻τ2*はとなります。A→B→Aと進む光とA→C→Aと進む光は同時にA点に帰着します。マイケルソン・モーリーの実験が示す通りの事が生じます。静止系(K系)から見て、時刻t0=t0*=0にA点を出発する光束を観測する。1.A→B→Aと進む光K系から見ると、光路棒ABは光束の進行と供に下図の様に動いていく。K系から見ると光路棒ABはAからBの方向へ動いていますので、相対性理論によるとK系で観測する実際の光路長はLではなくて少し縮んだ長さになります。[補足説明1]運動系(k系)と供に運動している棒の長さを静止系(K系)から測るときの方法については、別稿「ローレンツ変換とは何か[Einsteinのローレンツ変換導出法(1905年)への補足]」2.(2)3.を参照して下さい。実際にどのくらい縮むのか計算してみる。5.0×10-6[m]ほど縮んでいます。これは可視光の波長の10倍程度ですから、この収縮量を測定するのは難しい。光路棒ABが縮んでいる為に、K系の時計で観測すると、光束がB’点に到達する時刻t1はであり、A”点に帰着する時刻t2はとなります。[補足説明2]式中で用いられている光速cについて補足します。運動系(k系)で見たときの速度がcの光束を静止系(K系)から見るのだから、同じ光速度cを用いるのはおかしいのではないかと思われるかもしれませんが、それは大丈夫です。静止系に存在する物差し棒の長さは運動系中にある物差し棒の長さと違っており、静止系の時計の進み具合も運動系の時計と違います。静止系の物差し棒と時計で測定すると光速度は確かに同じ値c=300000000[m/s]となります。ここのところは解りにくいかもしれませんが、別稿「ローレンツ変換とは何か[Einsteinのローレンツ変換導出法(1905年)への補足]」2.(2)2.や、2.(3)2.で説明しておりますのでご覧ください。[補足説明3]互いの慣性系の移動速度vについて補足します。互いに他の慣性系を見たとき相手の時計は遅れ、物差し棒は縮んで見えるのに、互いの慣性系の移動速度を両系で同じ値vを用いて良いのだろうかと疑問に思われるかもしれませんが、その点も大丈夫です。ここのところも解りにくいところですが、、別稿「ローレンツ変換とは何か[Einsteinのローレンツ変換導出法(1905年)への補足]」3.(4)で説明する図や、そこの[補足説明1]を参照されると、両慣性系で同じvを用いても良いことが解ります。2.A→C→Aと進む光この場合は下図の様になります。このとき光路棒ACは進行方向に対して垂直に立った状態で移動しますから、長さの縮みは有りません。そのため、この図は2.(2)2.で説明した状況とまったく同じになります。そこと同様な議論により光束がC*’点に到達する時刻t1*はとなり、A*”点に帰着する時刻t2*はとなります。[補足説明]進行方向に垂直な方向の光路棒は縮みませんから、ここの部分でもk系から見た光速度cとの整合性を疑われるかもしれません。このことは別稿「マイケルソン・モーリーの実験(1887年)」6.(2)[補足説明]ですでに説明しております。慣性系ごとの時計の進み具合が異なることを思い出せば了解できます。このことは、、別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」1.(5)の「光時計」の説明からも了解できます。上記の結果から解る様に、A→B’→A”と進む光とA→C*’→A*”と進む光は同時にA”=A*”点に帰着します。静止系(K系のことですが、今は宇宙マイクロ波背景放射空間としている)から見てもマイケルソン・モーリーの実験が示す通りの事が生じます。3.特殊相対性理論(1)(2)(3)(4)(4)まとめ光束がA点を出発する時刻をk系の時計でτ0=0、K系の時計でt0=0としていますが、もちろんそれらの時刻はA点の位置にその瞬間に存在するk系の時計とK系の時計で計っています。K系の時計はA点の位置をB→Aの方向へ高速で移動していますが、最初述べたようにK系の座標軸(物差し棒)に沿って沢山の時計が並べて有りますから、その瞬間にA点の位置をたまたま通過する時計の時刻です。以下も同様に考えて下さい。A→B→AAからBの方向に出発した光束がB点に達したとき、B点にあるk系の時計の時刻はτ1=L/cを指しており、その瞬間にB’点の位置を通過しているK系の時計はt1=L/(c−v)を指しています。同じ光束が最初のA点に帰ったときにA点にあるk系の時計の時刻はτ2=2L/cを指しており、その瞬間にA”点の位置を通過しているK系の時計の時刻はt2=2L/(c2−v2)0.5を指しています。A→C→A同様に、A点をCの方向に出発した光束がC点に達したとき、C点にあるk系の時計の時刻はτ1*=L/cを指しており、その瞬間にC*’点の位置を通過しているK系の時計はt1*=L(1−v2/c2)/(c−v)を指しています。同じ光束が最初のA点に帰ったときにA点にあるk系の時計の時刻はτ2*=2L/cを指しており、その瞬間にA*”点の位置を通過しているK系の時計の時刻はt2*=2L/(c2−v2)0.5を指しています。τ2=τ2*=2L/cであり、t2=t2*=2L/(c2−v2)0.5ですから、k系からみても、K系から見てもA→B→Aと進む光束とA→C→Aと進む光束は同時にA点に帰ってくる。マイケルソン・モーリーの実験結果を完璧に説明します。このことは、一点で同時に生じる出来事は、どの慣性系から見ても同時に生じることを示しています。2.(2)3.で説明したように、A→B→AとA→C→Aで光の復帰時刻に差があれば、その差からvが求まり、絶対静止空間(エーテル空間)の存在を検出できるわけですが、(v/c)の二次の精度においてもその様な差分は検出できなかったのですから、絶対静止空間(エーテル空間)の存在を確かめることはできなかったわけです。以下の事柄に注目して下さい。τ1=τ1*=L/cですが、t1≠t1*でありt1もt1*もL/cと異なります。離れた点で生じる出来事は、ある慣性系で見たとき同時刻であっても、別の慣性系から見ると同時刻ではない。これは理解しにくいことですが、その様なことが起こっても場所が離れていますから因果律に矛盾することは有りません。これは相対性理論が予言する新しい事実です。このとき、特殊相対性理論の予言する片道の光到達時刻(t1とt1*)の差を検出することができれば速度vが決定できます。vが解ればマイケルソン・モーリーの実験装置の絶対静止空間(エーテル空間)に対する運動が判別できると思われるかもしれませんが、それはできません。ここで求まるvはあくまでk系に存在するマイケルソン・モーリーの実験装置のK系に対する速度であって、絶対静止空間に対するものではありません。実際、立場を変えて同じ実験装置をK系の実験者に貸し与えて同じ実験をしてもらい、k系から観測するとまったく同様な片道到着時刻差が出てきます。上記で求まるvは単にk系とK系の“相対速度”を示しているに過ぎません。その時刻差が測定できたとしても(k系に在る)マイケルソン・モーリーの実検装置を観測する慣性系(K系)の状況(相対速度v)が変われば如何様にでもその片道到着時刻差は変化(v→0になれば時刻差→0となる)しますから、その様な離れた場所で生じる事象の時刻の違いをとやかく言っても何の意味もありません。これは丁度ある恒星に対する地球の公転運動の状況が変われば光行差の値は変わってきますが、その光行差の現象から絶対静止空間(エーテル空間)を見いだすことができないのと同じです。Aに再び帰着する時刻は、(A→B→Aと進む光束とA→C→Aと進む光束がたとえ同時に帰着しても)k系の時計が示す時刻τ2=τ2*=2L/cと、K系の時計が示す時刻t2=t2*=2L/(c2−v2)0.5は異なる。同じ現象を見てもK系から見るかk系から見るかによって起きた時刻は異なる。これも相対性理論が予言する新しい事実です。光の帰着は、k系にとってもK系にとっても一点で同時に生じる事ですから、両系の時計でその事象の生じた時刻を測定できます。両系の時計が示す時刻の差が、(実際に行うのは難しいが)原理的には検出できます。その時刻差から求まるvは上記で説明した二つの系の“相対速度”です。実際、立場を変えて同じ実験装置をK系の実験者に貸し与えて同じ実験をしてもらいk系から観測するとまったく同様な到着時刻差が出てきますから、この時刻差も相対的なものです。そのとき、相対速度vが大きくなれば到着時刻差が大きくなり、v→0となれば、到着時刻差は無くなります。相対性理論は、“絶対静止の空間を確かめることはできない。その様なものを必要としない。アインシュタンイは、“すべての慣性系で共通な時間が存在するという思いこみは根拠のないことであって、そういった絶対時間は存在しない”ことに気付きました。実験事実である“光速不変の原理”と、因果律を満たすために必要な“一点で同時に起きた出来事は、どの慣性系から見ても同時に起きる”という要請を用いてローレンツ変換公式を導きました。1905年論文のローレンツ変換導出過程を子細に検討すると、まさにそうしていることが解ります。[補足説明]上記の論理を説明する例として“ガレージのパラドックス”というものがあります。それは固有の長さL=20mの車を奥行きW=10mのガレージに収納できるかという問題です。相対性理論によると動いている自動車の長さは縮みますからその長さが10mに縮むまで加速して高速度で入り口のドアが開いているガレージーへ突進させれば良い。ガレージの管理者から見ると自動車は長さ10mに縮んでいますから、自動車がガレージの中に入った瞬間に出口側のドアを開け、入り口側のドアを閉めます。すると確かに、その瞬間自動車はガレージの中に収納されています。所で、相対性理論によると、動いている自動車に乗っている人にとって自動車は長さL=20mのままです。地面とガレージが自動車の方へものすごい速度で突進している事になります。そのとき相対性理論が教える所によると自動車の運転手にとってガレージの奥行きはW=5mに縮んでいます。本当に自動車はガレージの中に収納できるのでしょうか。相対性理論によると長さL=20mの自動車に向かってガレージが突進してきて、自動車の先端がガレージの後側のドアに接した瞬間に後側のドアが開きます。そのとき、自動車の後端はまだガレージの外に出っ張っていますがやがてガレージが更に進んできて、カレージ入口側のドアが自動車の後端を通り過ぎる瞬間が来ます。その瞬間にガレージ入口側のドアが閉まるのです。その様にしてガレージは自動車の外を通過するのですが、自動車の乗客に取ってガレージが自動車をすっぽり包み込む瞬間があるわけではありません。自動車の中央部をガレージが通過しているとき、自動車の先端はガレージの後ドアの先に突き出ていますし、自動車の後端はガレージの入口の向こう側に突き出て残っています。それが自動車の乗客が測定するとガレージの奥行きが5mであると言うことです。この現象をミンコフスキー時空図で説明すると下図の様になります。[拡大図はこちら][尺度曲線記入版]同じ現象を自動車系が直交するミンコフスキー時空図で表示すると以下のようになります。[拡大図はこちら][尺度曲線記入版]こちらの図の方が、短く縮んだガレージが接近してきて静止している自動車を通過していく様子が解りやすい。図から読み取れる様に、ガレージの後出口が静止している自動車の先端を通過する時刻と、ガレージの前入口が自動車の後端を通過する時刻は自動車系の時間で異なった時刻に生じます。自動車系から見て自動車がすべてカレージの中に収まる瞬間はありません。それに対してガレージ系から見ると自動車がガレージ内に収まる瞬間はあります。これらの図の描き方については、別項Born著「アインシュタインの相対性理論」の2.(1)[補足説明]、及び2.(3)[補足説明]を参照されながら4.(1)の図の説明をご覧ください。この現象の両方の座標系での説明に論理的な矛盾は全くありません。自動車の先端がガレージの出口に達することと、そのとき出口のドアが開くことは、自動車運転手もガレージ管理人も同時に起きることと認識しています。自動車の後端がガレージの入口を通過することと入口のドアが閉まることは、どちらの観測者も同時に起きることと認識しています。そのとき、入口ドアが閉まるのと出口ドアが開くのはガレージ管理者にとっては同時刻に起きますが、自動車運転手に取っては同時刻ではなく少しずれて起きます。両者の認識の違いは離れた場所で起こることなので論理矛盾を生じることはありません。これが相対性理論による説明です。マイケルソン・モーリーの実験の説明にもこれと同じ論理が使われています。以上説明した様に、マイケルソン・モーリーの実験結果を特殊相対性理論を用いて理解するのは結構難しい。特殊相対性理論が予言する“互いの慣性系で測定される時間や長さは相対的なものである”はとても不思議な事です。そこには論理的な矛盾はありません。特殊相対性理論は驚くべき事実を次々と予言します。そこで説明している事柄は、素粒子・高エネルギー物理学や天体物理学で不可欠のものです。3.特殊相対性理論(1)(2)(3)(4)。