ところが、相対性理論および量子理論でスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは復活します。その当たりの説明を木幡文献2.p130~131より引用。Magnetism”の第4部のことて、方程式を表す記号(A)~(L)は1965年論文の(A)~(H)とは異なっています。)上記Maxwellの深謀遠慮§615(p254)は以下に引用。電磁単位系だからD=εE、真空中でH=Bとなっていることに注意。これらは、私たちが検討している量の間の主要な関係とみなされる。これらの数式のいくつかを排除するように組み合わせることもできますが、現在の我々の目的は数学的公式系の簡潔化ではなく、私たちが持っている知識のすべての関係を表現することです。有用なアイデアを表現している方程式を削除することは、我々の探求の現段階においては、利益というよりもむしろ損失となるでしょう。方程式(A)と(E)を組み合わせることによって得ることができる一つの結論があり、それは非常に重要です。場の中に円形電流以外の形での磁石が存在しないと仮定すると、磁気力(H)と磁気誘導(B)の間でこれまでに保持していた区別は消滅する。これらの量が互いに異なった量であるのは、磁化された物質の中だけだからです。私たちの数学的方法が個々の分子内で何が起こっているのかを説明できると仮定すれば、円形電流以外の何者も見いださないでしょうし、磁気力(H)と磁気誘導(B)がどこでも同じであることを見いだすでしょう。静電単位系または電磁単位系を常に測定に利用できるようにするためには、係数μをそのままにしておき、その値は電磁単位系では1であることを覚えておかねば成らない。科学史の研究者に取って上に引用した“§615の赤記コメント”は結構有名な箇所で、いろいろな解釈がされています。この文章の中程ではベクトルポテンシャルの定義式(A)とMaxwellが(変位電流を用いて)拡張したアンペールの法則(E)からベクトルポテンシャルAについて重要な関係式(非同次の波動方程式)が得られる事を、後半では別稿「マクスウェルによるアンペールの法則の拡張」(2)で説明したことやHとBの違いを静電単位系と電磁単位系との関係で注意している。いずれにしても前半でMaxwellが述べた事(電磁ポテンシャルAとφを基礎として導入し、且つそれを最後まで残しておいた事)は正しかった。[補足説明1]上記方程式系中の(B)は2.(2)1.で出てくるノイマンの電気力Eの表現よりもさらに拡張されており、運動している物体の場合への拡張を含む-[B×v]の項が追加されている。gauge)を用いており、スカラーポテンシャルの満足する方程式は非同次の波動方程式ではなくてポアソンの方程式になる(文献5.p278)。そのためスカラーポテンシャルの解は時間の遅延項を含まない式となり、現実の現象に合わない。そのことはマクスウェル自身も認識していたようで、1968年論文の中で、いろいろな改良を試みているようです。開発された様々な数学的テクニックは電磁気学の研究と相補いながら発展する。和で表すことができる。[ヘルムホルツの定理]は重要です。様々な電磁気的現象の考察を進めるなかで電場、磁場という場の考え方が重要に成ってくる。(これは発散に基づく場v1、渦糸(電流)に基づく場v2といっても良い)に相当するのではないかということは何人かの研究者は気づいていた。Kelvin)も電気現象を熱現象や弾性現象との類似性から研究する過程で気づいていた。Thomsonは1847年の論文で弾性変位を表すベクトルの分布が静電気系の電気力の分布の類似と考えることができることや、磁気誘導Bとの関係にあるベクトルAを弾性変位と同一視することもできる事を指摘した。この考え方はやがてMaxwellに引き継がれる。実際、MaxwellはファラデーとW.トムソンから多くの啓発を受けて、電磁気学現象を表す数式表現を追求していきます。Whittaker文献5.第8章“マクスウェル”が詳しいので別稿で引用しています。複雑な電磁気学的現象の数学的表現を見つけ出すには、様々な現象が示す混沌のなからか試行錯誤を繰り返しながら手探りで進めて行かねば成りません。そのためMaxwellの発見過程はたどるのはなかなか大変で、それを説明したWhittakerの文章を理解するのはかなり難しい。そのとき本稿に関係する部分を読み解く鍵は下記別稿で説明した事柄ですから、これらのリンク先を復習されながらお読み下さい。gauge)”を採用しますが、その条件式を最初に示したのはリーマンとローレンツのようです。Lorenz(1829年~1891年)です。L.V.Lorenzがこの条件式を提示したいきさつはホィティカーの説明が解りやすいので以下に引用します。同等であることの証明は別稿「線形振動子による電磁波の放出」1.(2)1.を参照されたし。一般解」をご覧下さい。xの偏微分をx’の偏微分に置き換えると負符号が前に出る。ここの計算手順については別稿「線形振動子による電磁波の放出」1.(2)2.を参照されたし。L.V.Lorenzの論文は電磁場を明示的に用いていないので解りにくくてローレンツがマクスウェルとほとんど同等の電磁場の理論に到達していた事がなかなか読み取れません。そのため彼の業績はあまり知られることが無く歴史の中に埋もれてしまっています。実際、上記のようにホィティカーはLorenzの論文をあまり高く評価していません。太田先生が解説されている様に、[遅延ポテンシャルの導入]と[電磁ポテンシャルの一体化(4元化)]に関してもっと評価されても良いのかもしれません。ベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφが合わさって4元的な量になる(3.(1)参照)ことを示しているのですから。太田先生が文献7.第4章§4.1~4.2で詳しく解説されていますので、それを導きの糸にしてLorenz論文(英訳版)をお読みになられて下さい。Maxwell自身はリーマンとローレンツ(Lorenz)の論文はしっかり理解しており、正確に評価していた様です。それは1968年に書いた論文や1973年の著書中の記述から解る(文献7.参照)。呼ばれるゲージ条件のもとで理論に組み込まれているようです。gaugeのかわりにとする場合です。Maxwellは1.の深謀遠慮の訳文で注意したように、かれはベクトルポテンシャルに関して非同時波動方程式を導いており、さらに後の部分では、金属中に進入する電磁場の議論でオームの法則から生じる一階時間微分の項も含む非同次波動方程式も考察しています。彼には今日言われているクーロンゲージに従ったという意識はありません。以下では、ヘヴィサイドとヘルツが整えた今日のMaxwell方程式系から出発して、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAを導入します。最初に、ヘヴィサイドやヘルツが整理して導いたMaxwell方程式系を復習します。この方程式系は別稿「マクスウェルによるアンペールの法則の拡張」(1)にて説明しておりますが、本稿では“Gauss単位系”で論じる事にします。有利化されていないGauss単位系です。話を簡単にするためにH.A.Lorentzに従って、電媒質、磁媒質を考慮した表記を避けて、真空中に電荷と電流のみが存在する明晰な形で説明します。磁場を表す量としてBではなくHを用います。著『エーテルと電気の歴史』やランダウ・リフシュツ著『場の古典論』などを参照しやすくするためです。単位系の詳細については別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」5.(4)をご覧下さい。真空中ではHとBは同じ量となる。そのため以下の法則が成り立つ。常に成り立つ)が言えるので、なるベクトル関数Aが存在する。これを《Maxwell方程式(2)》に代入するととなるスカラー関数φが存在する。常に成り立つ)ことを用いた。1.で説明した様に、これらの“(7)式、(8)式はもともと、Maxwell自身が最も基本的な関係と捉えていたもの”です。今日φがスカラーポテンシャル、Aがベクトルポテンシャルと言われるものですが、まとめて“電磁ポテンシャル”と呼ぶ。(7)、(8)式を用いて《Maxwell方程式(1)》を変形するととなる。《Maxwell方程式(4)》を変形するととなる。上で用いたベクトル演算公式の証明はこちら。ところで、その定義式から解るように電磁ポテンシャルには任意性があります。加えたも定義式(7)と(8)を満足します。そのことは上式を定義式に代入してみればとなるので簡単に確かめられる。transformation)と言います。観測可能な量である電場Eや磁場Hはゲージ変換しても、その値を変えません。このように電磁ポテンシャルが持つ任意性を“ゲージ自由度”といいます。実際の電場Eや磁場Hを定めるAやφを確定するには、その自由度を制限するさらなる条件が必要で、その制約条件を“ゲージ条件”と言います。Maxwellの理論の至らなかった所は、結局この自由度が存在することを見抜けなかった所にあるのかも知れません。以下で二つの場合を検討します。gauge“クーロンゲージ”と呼ばれるゲージ条件はとすることです。この式が成り立つ場合にはとなりますので、与えられたA0からこの式により任意関数χを決めることができます。このχを用いてゲージ条件を確定します。このゲージ条件のもとで(9)、(10)式はとなります。このとき(9’)式は(10’)式を見る限りスカラーポテンシャルφが時間的な変動する解も含んでいる方程式に見えます。電荷密度ρの分布状況が時間的に変化する場合も含んでいるように見えます。特殊相対性理論から解る様に電荷密度ρの分布の時間的変化がタイムラグ無しに直ちに全空間のスカラーポテンシャルの状況を決めることはできません。あらゆる信号は光速度以上で伝わることはできないのですからスカラーポテンシャルの変動には必ず時間的な遅れが生じます。(9’)式の“ポアソンの方程式”は電荷密度の分布が時間的に変化しない静的な場合のみ正しい式で、電荷分布が時間的に変化する場合のφを定めることはできません。それは電荷分布が静的である事を意味します。クーロンゲージを選択することは∂φ/∂t=0とすることと同じです。(9’)(11’)は以下のようになります。これは、電流密度の時間的変動によるベクトルポテンシャルAの時間的な変動解も含んでいますから(11)(12)式を代入して(8)式から導かれる電場Eには動的な成分も含まれる事になります。そのためこの方程式系の解は、静的な電荷密度分布による静電場の解と、電流密度の時間的な変動から生じる動的な電場と磁場の解を重ね合わせたものになります。ここで注意して欲しい事は、時間的に変化する電流密度が作る場でも常にdivA=0となる(つまりゲージ条件を満たす)ベクトル場Aが解として存在することです。著『エーテルと電気の歴史』p278で説明されている様に、Maxwellはこのクーロンゲージに相当する理論を展開したのですが、これはかなり特殊な状況です。彼が何故このようなゲージ条件を採用したのか良く解りませんが、以下の事情だったのではないでしょしうか?別稿5.(3)2.でも述べたようにMaxwellの理論が展開された1860年代はJ.J.Thomsonによる電子の発見(1897年)よりも遙か昔です。Maxwellの電磁気学理論は、電荷の実態が何か良く分かっていない時代の電媒質(誘電体)中心の立場に立つものです。実際、Maxwell自身も「自分の理論によるとすべての電荷は、媒質の偏極のおつりのようなものである("TreatiseI"p167)」と述べています。電荷が単独に存在してその分布を自由に変えるという発想はなかったのでしょう。無限の速度で伝達して状況に反映されるという遠隔作用の考え方が物理理論に於いて支配的だったのですから、たとえ場の考え方に移行したMaxwellにとっても電荷の作用が無限大速度でスカラーポテンシャルの分布に反映するという考え方に抵抗は無かったのかも知れません。Maxwell自身が電磁波が有限の速度でしか伝播しないという考えに到達するのはもう少し後になってからですから。当時すでに電流の概念はありましたし、電流は電荷の移動であるという考え方はありました。Maxwell理論の中でも独立した存在[(12)式として]で理論の中に現れます。Maxwellの考えている電荷や電流は電媒質の中に埋もれておりその実態は明瞭ではありません。ところで、Maxwellの提示した(11)式は現実の現象と合わない矛盾を抱えています。p38で説明されているように、このことは後に議論のまととなったようで、これがポテンシャルφやAを取り除いたEとHによる電磁場方程式が生まれた一つの理由かも知れません。Maxwell自身もこの不都合には気付いていたようですが!いずれにしても、(ローレンツH.A.Lorentzが看破した)今日の電磁気学では、真空中での電荷と電流の概念が中心的な役割を担います。ローレンツによって示された電磁気学の新しい解釈は、それまで混沌としていた多くの事柄を極めて明瞭な形で理解することを可能にした。その当たりはアインシュタインの説明(同じくセグレの引用文)を参照されて下さい。すると(12)式はとなります。この場合には“静的な電荷分布”と“定常的な電流分布”により、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAが完全に決定されます。これらの解は時間的に変動しませんから、これを(7)、(8)式に適用して得られる電磁場は時間的に変動しない静的なものとなります。その具体的な解法は別稿「カルマン渦列(動的安定解析)」2.(3)をご覧下さい。[補足説明3]上記[補足説明2]で説明した状況(すなわち静電荷と定常電流のみが存在)のとき、Maxwellの方程式はとなります。相当することを意味します。和で表すことができる。著「エーテルと電気の歴史(上・下巻)」第8章“マクスウェル”中にしばしば出てくる“発散的な場”と“循環的な場”はこの渦なしの場E(あるいはφ)と発散のない場H(あるいはA)を指している。gauge電荷分布や電流分布の時間的に変化に対応して、スカラーポテンシャルφやベクトルポテンシャルAが時間的に変化する解が得られる方程式系にするために、L.V.Lorenzが採用したゲージ条件がです。gauge)”と呼ばれています。この場合には、となるが、この右辺は既知のφ0とA0だから、この方程式を解いてχを決めればゲージ条件が確定します。