が時間的に変化しない)に対しては前項[補足説明2]の“ポアソンの方程式”(11)と(12’)に帰着します。電荷や電流の無い真空中の変化する場に対しては右辺がゼロの“同次波動方程式”に帰着する。これはまさに真空中を伝播する電磁波を解とする方程式です。[補足説明1]非同次波動方程式(13)、(14)式の一般解は詳しく研究されていて良く知られている。(13)、(14)の解は、右辺をゼロとした同次波動方程式の解と、右辺を持つ非同次波動方程式の特殊解との和として表すことができる。特殊解を求めるためには全空間を無限に小さな領域に分割し、これらの体積要素の1つに位置している電荷要素と電流要素が作る場を決定する。場の方程式の線型性の為に実際の場は、これらすべての要素が作る場の和となる。gauge)をつけくわえました。すると電磁ポテンシャルが満たすべき方程式は対称的で綺麗な形の非同次波動方程式(13)、(14)式となった。その一般解はとなります。補足しますと、右辺の第二項として添えられている同次波動方程式の解は電荷や電流の存在しない空間に初期条件として与えられている電磁ポテンシャルそのものです。[補足説明2]最終的な電磁場EとHの解は、前述の電磁ポテンシャル解を(7)、(8)式に代入することで得られる。[補足説明3]そもそも“電磁ポテンシャルとは何か?”については前野氏の説明をご覧下さい。7.参考文献3.電磁ポテンシャルと相対性理論ここからいよいよ特殊相対性理論で見通しの良い4次元表現の話に入るのですが、本稿では4元ベクトルの定義とローレンツ変換式の表現を下記右側のものを用います。普通の教科書では左側の定義や表現が多いのですが、あえて前稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」6.の方針を踏襲します。“4元ベクトル”の定義を下記右側のものを利用します。そのため、“ローレンツ変換式”の表現も下記右側のものを使用します。そのため“ミンコフスキー時空”の“基本計量共変テンソル”と“基本計量反変テンソル”も下記右側のものになります。これらの取り決めにより、種々の4元量の第4成分に表れる“c”や“1/c”の付き方が普通の教科書と違ってきます。その違いの為に、かえって共変・反変や計量テンソルの意味が読み取りやすいと思います。“電磁気学の単位系”については以前述べたものを踏襲します。本稿では“非有利化Gauss単位系”で論じる。磁場を表す量としてBではなくHを用います。このようにするのはアインシュタインの原論分と比較しやすくし、ランダウ・リフシュツ著『場の古典論』を参照しやすくするためです。単位系の詳細については別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」5.(4)をご覧下さい。元では電磁ポテンシャルの満たすべき方程式は4成分からなる同型の方程式(13)、(14)式に帰着する。ところで、これらの方程式系の右辺の(jx,jy,jz,ρ)は、別稿「4元速度(4元運動量、4元電子流密度)、4元加速度と4元力」3.(2)で説明したように、“4元電流密度”としてローレンツ変換に従うことが解っている。電磁ポテンシャルの4成分(Ax,Ay,Az,φ/c)もローレンツ変換に従って変換される4元ベクトルを構成するのではないかと予想される。以下でこの予想が正しいことを確かめる。やり方としては別稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」3.(2)[補足説明4]で説明した方法を使えばよい。同形のスカラー方程式であることが解る。そこのやり方が使えます。ここでは、S系(x,y,z,t)のx軸の正方向に速度vで運動しているS’系(x’,y’,z’,t’)を考えます。t’は(x,y,z,t)の関数、x’、y’、z’も(x,y,z,t)の関数だから、微分法の性質よりが成り立つ。これを用いると“ローレンツゲージの条件式”はとなる。これはベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφ/cが座標(x,y,z,t)と全く同一のローレンツ変換に従って変換されれば、“ローレンツゲージの条件式”がローレンツ変換に対して形を変えないことを示している。このとき、(Ax,Ay,Az,φ/c)はローレンツ変換に従う“4元電磁ポテンシャル”ですが、このことは、後で解るようにミンコフスキー4次元時空に於ける4元反変ベクトルであることを示しています。このことについては[補足説明5]をご覧下さい。[補足説明1]別なやり方として、アインシュタインが求めている変換式(別稿「アインシュタインの相対性理論(1905年)」3.(1)を参照。アインシュタインはこの変換式をMaxwell方程式がローレンツ変換に対して不変であることから導いた。式中のvは座標系の移動速度であって荷電粒子の速度では無いことに注意。電磁場と電磁ポテンシャルの関係(7)、(8)式が、S系とS’系に付いて等しく成りたつローレンツ変換不変式とする。それぞれの座標系で以下の関係式が成り立つ。これらをアインシュタインが求めた変換式の左辺と右辺に代入する。[拡大図][拡大図]となるが、微分演算子の変換則を考慮すると、S’系表示とS系表示の間で成り立つ等式は、電磁ポテンシャルが前述のローレンツ変換式に従って変換されることを示している。[補足説明2][補足説明1]では[電磁場の変換式]と[微分演算の変換式]に[(7)(8)式がローレンツ変換不変]であることを用いて[電磁ポテンシャルの変換式]を導いたのですが、逆に[電磁ポテンシャルの変換式]と[微分演算の変換式]に[(7)(8)式がローレンツ変換不変]であることを用いて[電磁場の変換式]を導くこともできます。式変形の拡大版はこちら[補足説明3][補足説明1]で示した微分演算の変換式を良く眺めてみるとと表される。座標の微分演算はローレンツ逆変換の転置行列に従って変換される。ローレンツ変換に対して不変であることが解ります。条件式”がローレンツ変換不変であることは、“電磁ポテンシャル”が4元ベクトルを成していれば当然満たされることです。常にローレンツ変換不変のスカラーとなる。同形のスカラー方程式です。ローレンツ変換不変のスカラーであることが言えます。これは電荷保存則がローレンツ変換に対して不変である事を単に言っているだけではなくて、“電荷そのものがローレンツ変換に対して不変”であることを言っている。これはアインシュタインが1905年論文で強調している事柄です。[補足説明4][補足説明3]で示した微分演算は左から乗じられていますが、ローレンツ変換表示したときと置ける事実を用いていることに注意してください。[微分演算]と[ローレン逆変換行列の係数]の順番を勝手に入れ替えているわけではありません。一般に、時空微分演算が作用する行列の係数が時空座標(x,y,z,t)の関数のときには、作用する微分演算が縦行列か横行列であるかの違いと、作用する順番の違いは重要です。異なる意味を持っています。[補足説明5]ここでで定義した4元量(Ax,Ay,Az,φ/c)は、ローレンツ変換に従う。このことは、4元電磁ポテンシャルはミンコフスキー4次元時空に於ける4元反変ベクトル場を構成している事を意味します。“反変”とは座標変換(ローレンツ変化)と同じ変換に従って変換される量であることを意味します。このとき、後で解るように、“4元電磁ポテンシャル”(Ax,Ay,Az,φ/c)にミンコフスキー時空の基本計量共変テンソルを乗じてできるはローレンツ逆変換に従う4元共変ベクトルになります。その共変表現の電磁ポテンシャルを(Ax,Ay,Az,-cφ)≡(A1,A2,A3,A4)と書き、もとの4元反変ベクトルを(Ax,Ay,Az,φ/c)≡(A1,A2,A3,A4)と書くと解りやすいかも知れません。同じ4元電磁ポテンシャルと言っても反変表現と共変表現では、その定義式が違います。この当たりは4.(4)で詳しく説明しますので、そこを読まれた後にここの説明を振り返られて下さい。7.参考文献(2)電磁ポテンシャルの非同次波動方程式はローレンツ変換不変ベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφ/cで構成される4元成分(Ax,Ay,Az,φ/c)で表示された非同次波動方程式もローレンツ変換に対して不変に保たれる事が証明できる。その為にまず、偏微分に関して成り立つローレンツ変換関係を導く。ここでも、S系(x,y,z,t)のx軸の正方向に速度vで運動しているS’系(x’,y’,z’,t’)へのローレンツ変換を考える。t’は(x,y,z,t)の関数、x’、y’、z’も(x,y,z,t)の関数だから、微分法の性質よりが言える。波動方程式の演算子(“ダランベール演算子”と呼ばれる)はローレンツ変換に対して不変になる。そのため演算子の部分をローレンツ変換するととなる。