S系からS’系へのローレンツ変換の行列表現とS’系からS系へのローレンツ逆変換の行列表現を下記のように記す事にします。逆変換であることを表すために成分表示Lの右肩に-1を付けています。今S’系に於けるローレンツの力の法則を行列表示する。“ローレンツの力の法則”は相対性原理を満たしており、S’系においても同様な方程式で表せるとします。付けることでS’系での値である事を表しています。これをローレンツ変換に拠って変形していく。上記の式変形で用いた[ローレンツ逆変換行列]と[ローレンツ変換行列]の積が[単位行列]に成ることは、実際に行列の乗算を行ってみれば簡単に確認できます(別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換」3.(2)[補足説明3]など参照)。右辺の三つの4元テンソルの積は当然のことですがS系での電磁場4元テンソル場に一致しなければ成りません。この両辺について、それぞれ左からローレンツ変換行列を、右からローレンツ逆変換行列を乗じる。左辺に関してとなることを考慮すると、左辺はS’系での電磁4元テンソル場に帰る。そのため以下の式が得られる。これが最終的に求めたかった電磁4元テンソル場のローレンツ変換を表す式です。“電磁4元テンソル”の“ローレンツ変換”とは、“電磁4元テンソル”の右側からローレンツ逆変換行列を乗じ、左側からローレンツ変換行列を乗じる事です。[補足説明1]上記の「“ローレンツの力の法則”は相対性原理を満たしており、S’系においても同様な方程式で表せるとします。」の記述についてですが、“ローレンツの力の法則”が相対性原理を満たしているかどうかは先験的に解ることではありません。アインシュタインは電磁場のローレンツ変換共変の変換則を導くとき、Maxwell方程式がローレンツ変換不変であることを拠り所にして導きました。そのとき、Maxwell方程式が相対性原理を満たしているかどうかは先験的に保証されたものでは無かったことを思い出して下さい。それと同じで取りあえず相対性原理を満たしていると仮定して調べてみようと言うことです。[補足説明2]ここの証明法から解るように、テンソルに対するこのローレンツ変換手順は、電磁テンソル場以外の任意の4元テンソルに対しても適用できます。4元ベクトルAと4元ベクトルBをA=TBで結びつける任意の4元テンソル場Tに対して言えます。[補足説明3]証明過程の途中で出てきたはローレンツ逆変換を示している。“電磁4元テンソル”の“ローレンツ逆変換”とは、“電磁4元テンソル”の右側からローレンツ変換行列を乗じ、左側からローレンツ逆変換行列を乗じる事です。[補足説明4]テンソルの“ローレンツ変換”という言い方には注意が必要です。テンソルの成分をS系での値からS’系への値へ変換する“座標変換則”を意味しており、4元ベクトルの座標変換(いわゆるローレンツ変換)と同じ形をしているわけではありません。後の4.(4)6.で説明するように、もっと違う形の座標変換則で変換される4元テンソルもあります。ここで解ったのは“電磁4元テンソル”の変換則に付いてであることに注意して下さい。その当たりを本来のテンソルの定義との対応を見やすくするには、前記の表示を次のようにした方が良いかも知れない。付ける付けないとその上下の位置関係で、それが座標変換前あるいは変化後のテンソルかの判別できる。ローレンツ変換の行列表示もローレンツ変換あるいは逆変換のどちらかが直ちに判別できる。実際にそうなっていることを具体的な成分表示で確認してみます。別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換」1.(1)に記したローレンツ変換式とその逆変換式により、右辺を計算するととなる。これを、左辺のS’系に於ける電磁4元テンソル場の具体的表現であると等置すると、アインシュタインか求めた変換式(別稿「アインシュタインの相対性理論(1905年)」3.(1)を参照)が確かに成り立っていることが確認できる。ここで注意して欲しいのは、アインシュタインが導いた式のvは電荷の移動速度ではなくて“座標系の移動速度”だった事です。アインシュタインが導いた式と比較するときは、アインシュタインの電磁場変換式のvをVで置き換えて比較しなければ成りません。β中のvについても同様です。“4元ベクトル”を導入すると、“物体(電荷)の移動速度”と“座標系の移動速度”が錯綜して現れますがくれぐれも両者を混同しないで下さい。[補足説明1]ここでは特殊ローレンツ変換の場合で確認しましたが、別稿で求めた一般ローレンツ変換を用いると、電磁テンソル場のより一般的なローレンツ変換公式が得られます。7.参考文献(4)テンソルとは何か1.テンソルの定義テンソルとは或る座標点(時空点)に於けるベクトルAを同じ座標点(時空点)に於ける別なベクトルBに変換する関数の様なものでした。具体的に言うとそのテンソルTとベクトルAの内積を作って新たなベクトルB=TAを構成するようなもので、行列で表して行列の積の定義を利用すと旨く表せる様な量のことでした。テンソルTはベクトルAやベクトルBと同じ座標点(時空点)の各点で定義されているある種の場を表します。この当たりは別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.で説明した所です。そのときB=TAは一つの“ベクトル方程式”となり、一つの“物理的法則”を表します。ここで相対性理論により、あらゆる物理法則は座標変換(ローレンツ変換)に対してその形を変えない“相対性原理”を満たしているべきです。そのため、4.(3)1.で説明したようにテンソルTは座標変換に対しての様に変換されるべきものでした。逆にこのようなやり方の座標変換によって変換されるものをテンソルと定義しても良いでしょう。4.(3)[補足説明3]で引用したテンソルの定義はまさにそのことを言っています。“テンソルとは複数の成分をもち,空間の座標変換に対していくつかのベクトルの成分の積に対応した変換をうけるものをいう。ように同じ添字が2度現われる場合は,その添字についての和をとる(縮約)ものと約束(これを“アインシュタインの規約”という)してΣを省略した。2.4元電磁テンソル場はテンソル定義を満たしている4元電磁テンソル場がその定義を満たしていることを確認します。ここでの説明は別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)で説明した一般ローレンツ変換を用います。ベクトルAは或る時空点に於ける粒子の4元速度ベクトルであり、それは以下のように座標変換(ローレンツ変換)された。同様に、ベクトルBは同じ時空点に於ける(先の4元速度を持つ)粒子に働く4元力ベクトルで、以下のように座標変換(ローレンツ変換)される。所で、時空座標そのものは次のように変換された。そのため座標変換の行列要素をと置くことが出来る。この表現を用いるとローレンツ変換の行列要素はと置くことが出来る。ローレンツ逆変換はだから、その行列表現はとなる。これらの表現を用いると電磁テンソル場のローレンツ変換はとなる。文字表示を解りやすくするために(x,y,z,t)→(xx,xy,xz,xt)、(x’,y’,z’,t’)→(x’x,x’y,x’z,x’t)と置くことにし、かつ行列要素の計算式を4.(2)[補足説明2]で説明したsummation記号“Σ”を使った表示にすると各行列要素はとなる。重なった添え字に付いて和を取る“Σ”記号を省略する“アインシュタインの規約”に従った表示にするととなり、まさに(“2階混合テンソル”)の定義を満たしていることが確認できる。3.その他のテンソル4.(2)[補足説明3]の定義に従って様々なテンソルが得られる。本稿で議論している“4元力ベクトル”や“4元速度ベクトル”の座標変換はとなるので、です。そのとき、これらを横に並べて表示したものの座標変換はとなるだけで、やはりでテンソルの共変・反変は変わりません。後で解りますが、4元力ベクトルがとなる共変表示はのようにして求まります。この当たりの共変と反変の変換は4.(4)5.を参照して下さい。別稿「ミンコフスキーの4次元世界」4.(2)5.[補足説明]もご覧下さい。そこでは4元ベクトルの定義や計量テンソルの定義がここと異なりますので、表示形が少し違っています。[補足説明]それでは、3階のテンソルや4階のテンソルとはどの様なものであろうか。本稿で説明したベクトルA(1階テンソル)をベクトルB(1階テンソル)に変換するものが《2階のテンソル》Tであったから、《3階のテンソル》とはベクトル(1階テンソル)を2階テンソルに変換したり、逆に2階テンソルをベクトル(1階テンソルに変換するようなものです。その様に考えれば、《4階のテンソル》とは2階テンソルを2階テンソルに変換、あるいは1階テンソルを3階テンソルに変換、あるいは3階テンソルを1階テンソルに変換する様なものだと言えます。この当たりは“テンソルの商法則”と言われるものが関係するところで、別稿「ミンコフスキーの4次元世界」3.(4)などをご覧頂ければ解ります。テンソルとはテンソルの商法則を満たすようなものだと定義することもできます。そのときテンソル同志を乗じて“縮約”する操作はベクトルの“内積”の操作を拡張したようなものです。ベクトルは1階テンソルそのものだったからです。《1階のテンソル》とは、ベクトル(1階テンソル)に作用して(内積の操作により)0階のテンソル(スカラー)を生じる様なものだったからです。4.反変ベクトルと共変ベクトルテンソルの定義の中に“共変”や“反変”といった分けのわからない概念がでてきましたが、それは4.(2)[補足説明3]で説明しましたように4元ベクトルが従う座標変換の違いによって決まります。2.(1)~(3)をご覧下さい。変換行列がであるものです。ちなみに別稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」で説明した“4元変位、4元速度、4元運動量、4元電流密度、4元加速度、4元力”はすべて“ローレンツ変換行列”との積に従って変換されましたから、すべて“反変ベクトル”です。定義とは何なのでしょうか。その例はすでに出てきています。3.(1)[補足説明3]で出てきた4元座標微分演算がそうです。共変ベクトルを(1行4列)で表示すると変換行列は右側からかけることになって見かけ上ローレンツ逆変換となりますが、それは見かけ上そうなると言うことであって本来の変換行列はローレンツ逆変換の転置行列です。この変換行列は(L-1)tと表されますが、これはローレンツ変換Lやミンコフスキー時空計量テンソルGと以下の様な関係にあります。このことは別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明しました。それ以外にも重要な関係式をそこで説明しましたから適宜参照して下さい。今後は“反変ベクトル”を表すのに指標を右上に付け、“共変ベクトル”を表すのに指標を右下に付けることにします。そのように変換されることは(1行4列)の横表示であろうと、(4行1列)の縦表示であろうと変わりませんので、どちらの表現でも指標の位置は同じです。行列表示した方程式を座標変換するときには以下のようになります。◎[(1行4列)の横表示した“反変ベクトル”]の場合は右側から[ローレンツ変換行列の転置行列]をかける。[(1行4列)の横表示した“共変ベクトル”]の場合は右側から[ローレンツ逆変換逆行列の転置行列の転置行列(つまりローレンツ逆変換行列)]をかける。このあたりはすでに説明した幾つかの例(3.(1)[補足説明3]、3.(2)[補足説明3])で行っていますのでそれらを復習して下さい。[補足説明1]ベクトルに関して説明した反変・共変の定義は2階テンソルに関してもそのまま成り立ちます。実際、電磁4元テンソル場の座標変換則はで表されましたが、左からローレン変換行列を右側からローレンツ逆変換行列をかけています。このとき右側からかけた為に見かけ上“ローレンツ逆変換行列の転置行列”の“転置行列”、即ちただの“ローレンツ逆変換行列”をかけることになったのです。その当たりは、行列要素の計算式を4.(2)[補足説明2]で説明したsummation記号“Σ”を使った表示で見ると、ちゃんと混合テンソルの変換に成っていることが解ります。4元勾配ベクトルは座標変換に於いて“ローレンツ逆変換行列の転置行列”で変換されます。このことは偏微分の座標変換に伴う表現に帰ってみれば明らかです。4元勾配ベクトル”は“共変ベクトル”の代表例です。5.反変と共変の変換と計量テンソル別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明した計量テンソルGとローレンツ変換テンソルLの性質を利用すると反変ベクトルを共変ベクトルに変換するには元の反変ベクトルに計量テンソルGを乗じておけば良いことが解る。実際、反変4元ベクトルをAで表し、それをローレンツ変換したものをA’で表して、その変換式の両辺にGをかけるととなる。Lはローレンツ変換行列を表す。“ローレンツ逆変換の転置行列”によって新たな座標での4元ベクトルに変換されることを意味している。乗をじたものが共変ベクトルになります。乗じることになるからです。共変4元ベクトルの変換式に従っていることが解ります。同様にして、共変4元ベクトルをBで表し、それにローレンツ逆変換の転置行列で新しい座標系での4元ベクトルB’に変換したとする。“ローレンツ変換”によって新たな座標での4元ベクトルに変換されることを意味している。乗をじたものが反変ベクトルになります。乗じることになるからです。反変4元ベクトルの変換式に従っていることが解ります。以上をまとめると、反変4元ベクトルに“計量テンソル”を乗じると共変4元ベクトルになり、共変4元ベクトルに“計量テンソルの逆行列テンソル”を乗じると反変4元ベクトルになる事が解る。[補足説明1]別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明1]で説明したミンコフスキー4次元時空の4元座標ベクトルはローレンツ変換に従って新しい座標系の値に変換されましたから、これは[反変ベクトル]です。そのとき、[4次元座標ベクトル]と[同じ4次元座標ベクトルに計量テンソルをかけたもの]の積は[反変ベクトル]と[共変ベクトル]の内積となります。そのとき、これは座標変換で変わることのないスカラーと成るのでした。そのことは簡単に証明できました。二つの4元ベクトルがそれぞれにローレンツ変換に関わる性質と整合性を保つために上記の様に右側からかける4元ベクトルを共変ベクトルにしておかねば成らなかった。ついての和を取ることになっている。3.(2)[補足説明3]でダランベール演算子を含んだ電磁ポテンシャルの非同次波動方程式の行列表現に於いて微分演算子の内積の間に計量テンソルの逆行列G-1を挟んでおかねば成らなかったのも同じ理由です。そのときの電磁ポテンシャル(Ax,Ay,Az,φ/c)と4元電荷密度(jx,jy,jz,ρ)は添え字を下に付けていますが、反変4元ベクトルですから、本当は添え字を上に付けるべきだったことに注意して下さい。6.混合テンソル・反変テンソル・共変テンソル2階テンソルに付いても同様に反変、共変、混合テンソルが定義出来ます。混合テンソルですが、4.(4)4.[補足説明1]で説明した様に、4.(2)で導入した“電磁4元テンソル場”がその例です。それ以外に混合テンソルの例として、反変ベクトルA=(Ax,Ay,Az,At)と共変ベクトルB=(Bx,By,Bz,Bt)の“直積”があります。変換規則に従って座標変換されます。このとき反変ベクトルA=(Ax,Ay,Az,At)と共変ベクトルB=(Bx,By,Bz,Bt)のかける順番を入れ替えた“直積”もあります。