離散自己相関は次のようになる。.}これらの定義は二乗可積分あるいは二乗可加算な信号、つまりエネルギーが有限な場合に有効である。エルゴード的でもある過程では、期待値の代わりに時間平均の極値を使うことができる。{x}}_{n-j}}これらの定義は定常的かつエルゴード的でない過程であっても、周期関数に適用して意味のある結果を得られるという利点がある。永遠に続く信号について短期間の自己相関解析を行うという方法もある(類似の手法として短時間フーリエ変換がある)。多次元の自己相関も同様に定義される。3次元での二乗可加算な離散信号の自己相関は次のように定義される。}).}信号から平均値を引いてから自己相関関数を求めた場合、その関数を自己共分散関数と呼ぶのが一般的である。特性[編集]以下では、1次元自己相関の特性のみを扱う。2次元以上の特性は1次元の特性から容易に導くことができる。これは定義から容易に証明できる。実関数であれば自己相関は偶関数である。複素関数であるとき、その自己相関はエルミート関数である。)\,}連続自己相関関数は原点でピーク値となり、実数値となる。これはコーシー・シュワルツの不等式から導かれる。離散の場合も同様である。周期関数の自己相関も周期的であり、元の関数と同じ周期である。ついて常にゼロ)の総和の自己相関は、各関数の自己相関の総和である。自己相関は相互相関の特殊例であり、相互相関の全特性を備えている。これはホワイトノイズの標本群が同じ標本群の時間をずらしたものと全く相関しないことを意味する。ウィーナー・ヒンチンの定理により、自己相関関数はフーリエ変換経由でスペクトル密度と関連付けられる。.}実数値関数において、シンメトリックな自己相関関数は実数のシンメトリックな変換を持つ。従って、ウィーナー・ヒンチンの定理は実数のコサインを使って以下のように定義しなおすことができる。.}回帰分析における自己相関[編集]時系列データによる回帰分析では、残差(residual)の自己相関が問題であり、t分布などで係数を推定する際の有意性の推定に偏りを生じさせる。一次自己相関の有無に関する古典的な検定としてダービー・ワトソン統計量がある。