2016.11.15円錐の体積と表面積の求め方(公式)について、現役の慶應生がスマホでもパソコンでも見やすい図を使いながら解説します。この記事を読めば、数学が苦手な人でも円錐の体積・表面積の求め方(公式)が必ず理解できるでしょう。円錐の表面積の公式はあまり知られていないので、ぜひこの機会に学習しておきましょう!最後には、円錐に関する練習問題も用意した充実の内容なので、ぜひ最後までご覧ください。【目次】1:円錐の体積の求め方(公式)2:円錐の表面積の求め方3:知っておくと便利!円錐の表面積の公式4:円錐の体積に関する練習問題5:円錐の表面積に関する練習問題1:円錐の体積の求め方まずは円錐の体積の求め方から解説していきます。円錐の体積は、「底面積×高さ×1/3」で求めることができます。※円錐の体積がなぜ「底面積×高さ×1/3」で求められるのか?についての証明は特に学習しないので、本記事では円錐の体積の公式の証明は割愛します。r2π・h・1/3となります。表せるので、r2πとなりますね。以上が円錐の体積の求め方(公式)です。次は、円錐の表面積の求め方を解説します。円錐の表面積は、円錐の底面積と側面積を合計することで求められます。よって、円錐の表面積を求めるには、底面積と側面積を別々に求めて合計するというのが定石です。下の図のように、半径がr、母線がmの円錐を例に、底面積と側面積を別々に求めていきましょう。求めることができます。よって、求める底面積は、r2π・・・1となります。円錐の側面積を求める次は側面積を求めましょう。円錐の展開図は以下のようになっているので、円錐の側面積は扇型であることがわかりますね。ここで、扇型の面積の求め方は覚えていますか?以下の図のような扇型があるとき、この扇型の面積は、1/2・rLで求めることができました。※扇型の面積の求め方を忘れた人は、扇型について解説した記事をご覧ください。今回は、上記の図で言うところのLがわかっていないので、まずはLを求めましょう。Lは円錐の底面の周の長さ(円周)に等しいですね。よって、L=2rπとなります。よって、円錐の側面積は1/2・m・2rπ=mrπ・・・2となります。以上より、円錐の底面積と側面積を求めることができました。円錐の表面積=底面積+側面積をもとにして、円錐の表面積を求めました。先ほどのように、半径r、母線mの円錐の表面積をもう一度考えてみましょう。πr(m+r)となりますね。これは円錐の表面積の公式なので、そのまま暗記するのもOKです!ただ、円錐の表面積の公式は少し覚えにくいので、忘れても大丈夫なように、「円錐の表面積=底面積+側面積」を忘れないようにしておきましょう!4:円錐の体積に関する練習問題この章からは、円錐の体積、表面積に関する問題を解いて見ましょう!まずは円錐の体積に関する問題からです。下の図のように、半径が3、母線が5の円錐があるとき、この円錐の体積を求めよ。解答&解説この円錐では、半径はわかっていますが、高さがわかりませんね。底面積×高さ×1/3が適用できません。円錐の頂点から真下に垂線を下ろします。右半分の円錐に注目すると、以下のようになりますね。垂線の長さが、円錐の高さになります。垂線下ろしているので、直角三角形となりますね。よって、三平方の定理が使えます。※三平方の定理があまり理解できていない人は、三平方の定理について解説した記事をご覧ください。三平方の定理より、この円錐の高さ(下ろした垂線の長さ)は4になりますね。これで円錐の高さが求められました。したがって、求める円錐の体積は、32π・4・1/3=12π・・・(答)となります。最後は円錐の表面積に関する練習問題です。下の図のように、半径が3、母線が5の円錐があるとき、この円錐の表面積を求めよ。円錐の表面積の公式を使うのもOKですが、ここでは定石通り、底面積と側面積を求めてから円錐の表面積を求めてみます。底面積=32π=9π・・・1ですね。次に、側面積を求めます。円錐の展開図を考えて、下の図におけるLを求めます。Lは円の円周に等しいので、L=3・2・π=6πです。15π・・・2となります。以上で、底面積と側面積が求められました。よって、円錐の表面積は、1+2=9π+15π=24π・・・(答)となります。底面積+側面積で円錐の表面積を求めるのに、加えて、円錐の表面積の公式を使った場合もみてみましょう。πr(m+r)でした。24π・・・(答)となり、「底面積+側面積」で求めた値と等しくなっていますね。円錐の表面積の公式は便利なのでぜひ覚えておいてください!いかがでしたか?円錐の体積・表面積の求め方に関する解説は以上になります。※アンケート実施期間:2019年11月19日~受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している、高校生のための「受験応援メディア」です。著作権は受験のミカタおよび株式会社パンタグラフに帰属しています。権利者の許諾なく、私的使用の範囲を越えて複製したり、領布・公衆送信(送信可視化を含む)等をおこなうことは法律で固く禁じられています。Reserved.プッシュ通知をオンにして、受験のミカタの新しい記事や、プレゼントキャンペーンの情報などをいち早く手に入れましょう。プッシュ通知を許可するホーム画面に。