このことは別項「ミンコフスキーの4次元世界」3.(3)3.“乗法”を参照して下さい。“直積”の意味は4.(4)6.を参照して下さい。このとき下記の様にkijの指標を循環的に入れ替えたものを加え合わせたも、当然3階共変テンソルの(i、j、k)成分とみなすことができます。このことは別項「ミンコフスキーの4次元世界」3.(3)1.“加法・減法”を参照して下さい。ijkの指数の任意の組を入れ替えると符号が変わる“完全交代テンソル”(完全反対称テンソル)です。このことの証明は別稿「ミンコフスキーの4次元世界」3.(9)3.[補足説明1]を参照して下さい。ここは1.で説明した、Maxwellが“Treatiseの§615”に書き残した深謀遠慮に関係します。どの様に関係するのかは別稿「ミンコフスキーの4次元世界」4.(2)2.[補足説明3]を参照して下さい。[補足説明2]このとき次の事に注意して下さい。3階共変テンソルなので2階テンソルの様に“行列表現”で表すことはできません。そのテンソル方程式を5.(2)[補足説明3]の様に列ベクトル(演算子)と行列の積の形で表すこともできません。いままで用いてきた“行列表現”は便利で解りやすいのですが、もっと広範な座標変換を取り扱わなければならない一般相対性理論の世界では破綻します。破綻しますが、それが使える範囲ではとても便利で解りやすい表現法なので、使えるところには利用していきます。次章でも威力を発揮します。別稿「電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトル」2.(3)[補足説明3]で《電磁場のエネルギー収支》を表す“スカラー方程式”を説明した。別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」3.(3)5.[補足説明1]で《電磁場の運動量の収支》を表す“ベクトル方程式”を説明した。互いの関係はそれぞれの[補足説明]の中で注意しました。これらの方程式の構成要素をよくよく眺めてみて、さらに本稿3.(2)で説明した非同次波動方程式(ベクトル方程式+スカラー方程式)の4元化や、4.(2)で説明した“ローレンツ力の法則”の4元化のプロセスを振り返れば、上記の“スカラー方程式”と“ベクトル方程式”は4元的に統合されて、4元方程式となり、ローレンツ変換不変方程式を構成するのではないかと予想される。実際、そうであることを以下で確認する。そのためにまず、上記引用元の方程式を本稿で用いている“非有利化Gauss単位系”で導き直しておきます。そのとき磁場としてBではなくてHを用います。このようにするのはすでに述べたようにランダウ・リフシュツ著『場の古典論』との対応を考慮してのことです。エネルギー密度とポインティングベクトル」2.(3)の結論を非有利化Gauss単位系で導き直す。非有利化Gauss単位系でのMazwell方程式の(2)と(4)式を用いる。ここで、E・(4’)式+H・(2’)式の辺々を足し算する。成分表示にするととなります。ρvで置き換える表示も可能です。v=(vx,vy,vz)は電流密度要素の移動速度ベクトルです。応力(マクスウェルの応力)」3.(3)5.の説明をGauss単位系で議論し直すと、Maxwell応力テンソルはとなります。時間的な変化をする電磁場内の任意の体積領域Vの表面に働くMaxwellの応力の表面積分を考えます。それぞれのベクトル成分の表面力の和を計算する。Maxwellの応力テンソクの各行をそれぞれ一つのベクトルと見なしたとき、そのベクトルと領域表面の面要素ndSの内積を領域表面全体にわたって表面積分します。その表面積分をベクトル解析におけるガウスの定理により体積積分に直します。微少体積要素dVに対する微分型の方程式にするととなる。ρvで置き換える表示も可能です。v=(vx,vy,vz)は電流密度要素の移動速度ベクトルです。前節と前々節の結論を一緒に並べてみるととなる。この方程式の意味は別稿「電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトル」2.(3)[補足説明3]の《電磁場のエネルギー収支》を表す“スカラー方程式”と、別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」3.(3)5.[補足説明1]の《電磁場の運動量の収支》を表す“ベクトル方程式”の説明で尽くされています。空間次元に付いてはベクトル方程式として、時間次元に付いてはスカラー方程式として別個に解釈すればよい。これを行列表示の方程式にするととなります。右辺を上記の様に変形したのは、4.(2)で導入したローレンツの力の法則とその4元テンソル表示と結びつけるためです。そのとき得たテンソル方程式は[反変ベクトルの4元力]が[混合テンソルの電磁場テンソル]と[反変ベクトルの4元力(4元電流密度)]の積と結びつけられるものでした。それとの整合性を保つためには上記の様に変形する必要があります。右辺に表れる負符号を消すために両辺に-1を乗じるととなります。)に帰りであることに注意するととなる。今までの議論から、4元Div演算(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z,∂/∂t)は共変ベクトル、4元電流密度(jx,jy,jz,ρ)は反変ベクトル、右辺の[電磁4元テンソル]は2階混合テンソルであることは解っています。挟んでおかねばなりません。このGの働きは4元電流密度ベクトルを共変ベクトルに変換すると考えても良いし、あるいは[電磁4元テンソル]を2階共変テンソルにすると考えても良い。いずれにしても両方を掛け算して縮約したとき右辺は共変ベクトルに成ります。右辺の様子から左辺の[応力・運動量・エネルギーテンソル]は2階混合テンソルでなければならないことが解ります。共変ベクトルである、4元Div演算と[応力・運動量・エネルギーテンソル]を掛け算して縮約した結果が共変ベクトルに成らねばならないからです。この事実を用いると、必然的に[応力・運動量・エネルギーテンソル]の構成要素のローレンツ変換共変の座標変換公式が定まります。この方程式がローレンツ変換不変であることは簡単に証明できます。最終的に両辺とも1階共変ベクトルになります。左辺は“テンソルの発散”を意味します。このあたりについては、別稿「ミンコフスキーの4次元世界」4.(2)6.(ただし有利化Gauss単位系)もご覧下さい。乗じておくと、両辺のそれぞれのテンソルは2階反変テンソルになります。この場合にも、最終的に両辺とも1階反変ベクトルになり、左辺は“テンソルの発散”を意味する。普通の教科書ではこの形の記述が多い。このようにしても、方程式のローレンツ変換不変性は変わりません。乗じると2階共変テンソルとしての応力・運動量・エネルギーテンソルが得られます。乗じると混合テンソルとなる。この混合テンソルは前出のものとは形が違いますが、この左からG-1を乗じると前出の2階反変テンソルに、右からGを乗じると前出の2階共変テンソルに戻ります。このとき“応力・運動量・エネルギーテンソル”は2階反変と2階共変のいずれの表現でも“対称テンソル”になります。混合テンソルの表現では対称テンソルでもなければ交代(反対称)テンソルでもないことに注意して下さい。関係は互いに転置行列の関係になっている事に注意して下さい。元の2階共変、2階反変テンソルが対称テンソルの場合には常にそうなります。元の2階共変、2階反変テンソルが交代(反対称)テンソルの場合は、転置して符号を変えたものになります。電磁場テンソルがそうでした。混合テンソル表現の応力・運動量・エネルギーテンソルの対角要素の和は常に0となる性質があります。これは元の電磁場の成分表示に戻って対角要素を加算すれば簡単に確かめられます。この章の説明と別稿「ミンコフスキーの4次元世界」4.(2)6.と比較してみて下さい。そこと少し表現が異なりますが、それは基本計量テンソルの定義がここと異なるからです。用いている単位系もこちらは非有利化Gauss単位系ですが、参照先は有利化Gauss単位系の違いがあります。[補足説明3]ここで導いた方程式が正しいかどうかが、何かもっと別の根本的な原理から証明できるわけではありません。ここで統合したベクトル方程式とスカラー方程式は、もともとMazwellの電磁気学で個別に正しいだろうと思われていた式です。それらを統合したとき、その右辺の形を見ると4.(2)で導いた4元的なローレンツの力の法則の運動方程式に出てきた電磁場のテンソルが現れています。上記で説明した様に、この運動方程式がローレンツ変換不変であることを利用して応力・運動量・エネルギーテンソルに対するこの方程式はローレンツ変換に対して不変な形をしているはずだと考えたわけです。それだからこそ、これは[応力・運動量・エネルギーテンソル]という物理量に対して成り立つ正しい方程式だと予想されると言うことです。この方程式がローレンツ変換に対して不変であり相対性原理を満たしていれば電磁場のローレンツ変換式を始めとして、Maxwell方程式を含めたすべての電磁気学理論と矛盾なく共存することが確かめられるという事です。物理法則とは、現実の現象を旨く説明し且つその法則から導かれるすべての事柄が無矛盾で、その無矛盾性が未来永劫に渡って破綻することが無いだろうと予想されることでしか、その正当性を証明することはできないようなものです。ところで、この“応力・運動量・エネルギーテンソル”は一般相対性理論で中心的な役割を担います。[補足説明4](2018年10月追記)物理学の定理に“ネーターの定理”というものがあります。“系に連続的な対称性が在る場合それに対応する保存則が存在する”という定理です。具体的には、“時間の一様性からエネルギー保存則が導かれ、空間の一様性から運動量保存則が導かれる”と言うものです。ネーターがどの様に証明したのかは知らないのですが、このことの説明は例えばランダウ・リフシュツ著『力学』第2章に書かれています(引用1と引用2を参照)。この記述はランダウ流の説明なのでしょうが、それなりにもっともらしく書かれています。そこで、話は上記[補足説明2]に戻るのですが、ネーターの定理で言うエネルギー保存則は時間の一様性に基づいていました。運動量保存則は空間の一様性に基づいていました。ランダウ・リフシュツ著『場の古典論§32によると、それは可能の様です。私自身その詳細を完全に理解できているとは言い難いのですが、別稿で引用紹介しますのでご覧下さい。[補足説明5]“反変”と“共変”の違いや、“計量テンソル”というものを考えなければならなくなったのは、“ミンコフスキー時空”の特質によります。自然現象を記述する方程式はベクトル微分演算、ベクトル量、テンソル量の積の形の方程式(スカラー方程式、ベクトル方程式、テンソル方程式)で表現されます。“特殊相対性原理”により、それらの方程式が、座標変換に対して不変な形を保たねばなりませんそのとき方程式を構成するベクトル微分演算、ベクトル量、テンソル量の座標変換が“ローレン変換”で変換されるものと、“ローレンツ逆変換の転置行列”で変換されるものがあることが解りました。その事を方程式の中で旨く表し、かつ座標変換に対して方程式が不変の形を保つためには、ミンコフスキー時空の特質を表す“計量テンソル”というものも旨く利用して方程式を表さねば成らない事が解ったのです。このようなことは、ミンコフスキーの着想に従ってあらゆる物理量をミンコフスキー時空の特質にマッチした4元的な量として捕らえ直すことで初めて解ってきたことであり可能になったことです。物理方程式をこのような形で捕らえ直すことは、ミンコフスキー時空よりもさらに一般的なリーマン時空を取り扱わねばならない一般相対性理論に向かうには避けて通れない道です。アインシュタインは最初ミンコフスキーの4元化のプロセスを「余分な学識」とみなして評価していなかったのですが、1912年以降この4元化のプロセスは避けて通れない過程であることを理解して、特殊から一般相対論への移行を大いに容易にした点でミンコフスキーの業績を高く評価する事になります。それにしても、これらの4元化のプロセスには電磁ポテンシャル、電磁場テンソルの4元性が深く関わっています。方程式の4元化の見通しを得るには、最初に述べた、Maxwellが“Treatiseの§615”に書き残した深謀遠慮が必要だったのではないでしょうか。7.参考文献7.参考文献この稿を作るに当たって、下記文献を参考にしました。)「物理学を変えた二人の男(ファラデー、マクスウェル、場の発見)」岩波書店(2016年刊)とても面白い本です。下記訳本はIの古典論の部分のみです。残念な事に訳本では引用文献のリストが省略されています。原本リストの参照が必要です。1976年刊)この中の第8章“マクスウェル”p273~315を別稿で引用しています。太田浩一著「マクスウェル理論の基礎(相対論と電磁気学)」東京大学出版会(2002年刊)§5.1太田浩一著「マクスウェルの渦アインシュタインの時計(現代物理学の源流)」東京大学出版会(2005年刊)§4.1、§4.2かなりマニアックに詳しく説明されています。引用文献のリストは貴重です。Vol.II”マクスウェルの科学論文集です。Gauss単位系(磁場H)この中から§32~35“エネルギー・運動量テンソル”を別稿で引用。等価原理で、第6章は別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」で引用しています。[参考文献の追記(2019年4月)]最近読んだので紹介が遅れましたが、下記文献の該当章にも解りやすく詳しく説明されています。