y成分(16)式と、z成分(17)式の両辺はそのままの形でローレンツ変換される。構成される4つの非同次波動方程式は、ローレンツ変換によりとなるので、ローレンツ変換不変な形をしている。[補足説明1]これまでに説明したように、(jx,jy,jz,ρ)と(Ax,Ay,Az,φ/c)が4元ベクトルとしてローレンツ変換に従うのですから、この二つの4元量により構成される4元的な非同次波動方程式がローレンツ変換不変であるのは当たり前です。空間の各点ごとに与えられているスカラー場がρであり、φ/cの場です。同じ空間の同じ点ごとに(jx,jy,jz)と(Ax,Ay,Az)のベクトル場が与えられています。これらの量をS系から観測するか、S系に対して等速度で動いているS’系から観測するかの問題なのですが、S’系から見た(j’x,j’y,j’z,ρ’)と(A’x,A’y,A’z,φ’/c)はそれぞれのS系での値をローレンツ変換した値を持つと言うだけです。S系での(Ax,Ay,Az,φ/c)はS系で与えられている(jx,jy,jz,ρ)の分布状況に拠って非同次波動方程式によって定められたものです。S’系での(A’x,A’y,A’z,φ’/c)はS系で与えられている(j’x,j’y,j’z,ρ’)の分布状況に拠って非同次波動方程式に拠って定められたものです。(jx,jy,jz,ρ)と(Ax,Ay,Az,φ/c)が4元反変ベクトルとして同一のローレンツ変換に従うのですから、互いの関係を規定する非同次波動方程式が“ローレンツ変換不変”であってしかるべきです。[補足説明2]波動方程式が真に正しい物理法則を表しており“相対性原理”を満たしているのなら、波動方程式は二つの慣性系で同じ形になる。そのことから逆に座標変換法則(ローレンツ変換)を導くことが出来る。(2016年刊)のp41~47の説明を引用。“Lorentz変換”(p6~10)より引用。新しい時空変数に移っても同じ形を保つことを最初に示したのはウォルデマール・フォークト(1887年)だそうです。詳細は上記引用先をご覧下さい。正しい間違え方」丸善(2001年刊)によると、いわゆるローレンツ変換を最初に書き記したのは上記のフャークトと言うことになります。フッツジェラルド(1889年)、ラーモア(1898、1900年)、などが同様な変換式をローレンツ(1899年)以前に導入しているそうです。微分演算子のローレンツ変換式を適用して説明しました。ダランベール演算子に関しても同様な議論が出来ます。ここで、ダランベール演算子は4元時空微分演算子ベクトルの自分自身の内積のような微分演算子です。間に挟まないといけません。しないと方程式の係数も合いません。このように計量テンソルを用いて反変と共変の性質を変換しておかないと旨くローレンツ変換不変の方程式表現に成らないのです。上式の行列表示を展開してみれば確かに電磁ポテンシャルの非同次波動方程式となる。これがローレンツ変換に対して不変式であることは直ちに解ります。式変形途中のLとGの行列積関係式は別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換」3.(3)[補足説明3]を参照。[補足説明4][補足説明3]では両辺の右側から計量テンソルGをかけた形の方程式にしたが、これは省略して下記の形でも良い。ダランベール演算子はスカラー演算子だから、それを作用させるベクトルは共変でも反変でも良かったのです。どちらの場合も同じベクトル方程式になるのですから。この形のとき、これがローレンツ変換不変式であることの確認は以下のようになる。確かにローレンツ変換不変式であることが解る。7.参考文献4.電磁場は4×4=16成分の4元テンソル場(1)何故テンソル場なのか(Ax,Ay,Az,φ/c)から(7)、(8)式によって定められる電磁場(EとH)も、(Ax,Ay,Az,φ/c)が定められている同じ時空点での場の表現を与えます。(jx,jy,jz,ρ)や(Ax,Ay,Az,φ/c)が定まっている同じ時空点での6成分からなる場を表すものです。6成分から構成されますから、その場は単なる“スカラー場”でも無ければ“ベクトル場”でもありません。S’系での電磁場(E’とH’)の値はアインシュタインが最初に導いたように、S系の同一点でそれぞれを表す電磁場(EとH)からローレンツ共変の変換式に拠って導かれました(別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」3.(1)を復習されたし)。それはEとHの6成分からなるローレンツ変換共変の変換式ですが、決して4元ベクトルを変換するローレンツ変換と同じではありません。別稿「4元速度、4元加速度と4元力」で説明したように、三次元速度や三次元力がローレンツ変換共変の変換式に従うが決してローレンツ変換そのものに従って変換されているわけではありませんでした。このとき、三次元速度の時間微分を固有時による微分にして、さらに第4成分としてdt/dτを付け加えて“4元速度”とするとローレンツ変換に従うようになりました。三次元力も第4成分として仕事率を付け加えて“4元力”にするとローレンツ変換に従うようになりました。6成分からなる電磁場(EとH)も、何らかの新規の見方に拠って、たとえば4×4=16成分の“テンソル場”のようなものと見なすことによって、ローレンツ変換に従う様にできないのでしょうか?別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.で説明した応力テンソル場の配列は単なる数学的な工夫でしか無いのですが、3×3=9個の量に拠って各点の状況を定める場の一種でした。それと同じように、電磁場も4×4=16個の量に拠って各点の状況を定めるテンソル場と見なそうと言うのです。その為にはテンソル場の成分のローレンツ変換とは何を意味するのか見つけなければ成りません。テンソル場の座標変換公式とはどの様な形になるのか見つける必要があります。前項で述べたテンソル場の座標変換公式を見つけるには、4元ベクトルである4元力や4元速度と電磁場(EとH)が関係している物理法則を利用すればよい。そのための格好の物理法則が“ローレンツの力の法則”です。4元力の3次元表示は別項「4元速度、4元加速度と4元力」5.(3)で説明したようにでした。ここで、S’系はS系のx軸に沿って速度Vでx軸の正方向へ移動しているとしてます。その移動速度を電荷の移動速度vと混同しないように大文字の“V”で現しています。上記成分表示式の分母の平方根記号内のvは座標系の移動速度ではなくて“電荷の移動速度”です。それは座標時を固有時に置き換える関係で出てきた速度なのですから。電荷の移動速度vは座標系の移動速度Vとは何の関係もありません。表現を“ローレンツの力の法則”により電磁場(EとH)と3次元速度vによる表現に置き換えるとと成ります(電磁場中で電荷に対して成される仕事が電場によるものしか現れないのは、磁場による力が電荷の移動方向に対してつねに垂直にしか働かないからです)。同様にして4元力のすべての成分を書き記すととなります。最後の項は“4元速度”の表現にしてある。4元速度の3次元表示と4元表示の関係は別項「4元速度、4元加速度と4元力」2.(3)を復習されたし。これを行列表示するととなります。最後の項は行列(4行4列)とベクトル(4行1列)の積の形で表してある。このように考えると、電場Eと磁場Hは一緒になって“4元テンソル場”を構成していることが解る。テンソル場には元々別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.で説明した以上の意味はありませんので、これをテンソル場と見なして何の不都合もありません。これは、電磁テンソル場の中で運動する荷電粒子には電磁テンソル場によってどの様な力が働くかを示しているベクトル方程式です。[補足説明1]上記の電磁テンソル場は普通の教科書の表記と少し違いますが、それは4元ベクトルの第4成分の定義を普通の教科書と違って定義していることと、単位系として(MKSA有利化単位系ではなくて)非有利化gauss単位系を用いているからです。4元ベクトル量の定義として別稿「4元速度、4元加速度と4元力」6.(1)で説明した右側のものを用い、“ローレンツの力の法則”をMKSA有利化単位系での形に変更すると、普通の教科書の表記と一致することが確かめられます。[補足説明2]ここで、ベクトルの表現を(4行1列)ではなくて、(1行4列)で現すととなります。この場合の電磁テンソル場は最初のテンソル場の“転置行列”に成ります。これは、別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.でテンソルを導入したとき説明した事情と同じで、行列の積の定義による制約から生じることです。“共変ベクトル”表示と関係するわけではありませ。これは単に縦に並べるか、横に並べるかの違いを意味するだけです。その当たりは、4.(4)5.を参照して下さい。“テンソルとは複数の成分をもち,空間の座標変換に対していくつかのベクトルの成分の積に対応した変換をうけるものをいう。ように同じ添字が2度現われる場合は,その添字についての和をとる(縮約)ものと約束(これを“アインシュタインの規約”という)してΣを省略した。上の添字がM個,下の添字がN個なら階テンソルとよばれる。tensor)とも呼ばれる。tensor)という。同種のテンソルの和はやはり同種のテンソルであり、またベクトルの内積を一般化した意味での縮約を上の添字と下の添字の対について行ない、例えば次のように別種のテンソルを作ることができる。導入すれば、テンソルの添字は、例えばのように上下できる。とき反対称(交代)テンソルという。《これらの意味の詳細は4.(4)“テンソルとは何か”を参照して下さい。以下の議論では、ベクトルやテンソルの“成分添え字”の上下の位置も考慮して添え字を付けることにする。前項の結論を用いれば電磁4元テンソル場のローレンツ変換とは何かが判明します。