[補足説明6]本文の最後に出てきた式はアインシュタインの“光量子説”で言うところの“光子”のエネルギーについても成り立つ。そこでの“光束”を“光子”と見なすこともできて、K系でみた光子のエネルギーEと、同じ光子をK系に対して速度vで動くk系から見たときのエネルギーE’の関係を表していると解釈することもできる。3.(4)もご覧下さい。そのとき、アインシュタインの光量子説に従ってそれぞれのエネルギー表現E=hνとE’=hν’を適用するととなる。これは波動説に基づいて3.(2)2.ですでに求めている“Doppler効果の公式”と同じです。光のドップラー効果は波動説のみならず、光の粒子説でも完璧に説明できます。この事はすでに、2.(10)3.で説明して注意しました。補足すると、上式は光の進行方向と光源(又は観測者)の運動方向vが同一の場合でしたが、光速cとvが角度φを成す一般的な場合には、前記式の一つ前の式を用いればよい。これはもちろん3.(2)2.で、波動説に基づいてすでに求めている式に一致します。最後に得られた式は、2.(10)3.の最後でシュレーディンガーが強調している粒子説に基づく“相対論的な意味で厳密なドップラー公式”[脚注(‡)で示されている式]です。そこのvnはvcosθのことでここではθをφで表している。[補足説明7]本文の最後に出てきた式についてもう少し補足します。これは後に明らかになる(運動量ベクトル、質量[エネルギー])四次元量に対するローレンツ変換式からもっと一般的に導くことができます。3.(4)の(88’)式をご覧下さい。この式をx’軸の正方向に速度cで動く光の塊に対して適用する。その光の塊の運動量ベクトルとエネルギーを測定するk系は静止系Kのx軸の正方向へ速度vで動いているとする。“光の塊”に対しても上記の(運動量、質量)四次元量に対するローレンツ変換は正しい。そのためとなり、前記の結果が得られる。3.(4)を参照されたし。3.(4)あるいは4.(4)を参照)。ヒントを得た考察(1911年)でとても重要な働きをします。2.光の圧力[補足説明1]最初に、ここで必要なk系からK系への振幅と角度と振動数の変換公式を導く。これらの式は上記の式を逆に解けば良い。これらの式は、3.(2)2.[補足説明4]、3.(2)3.[補足説明2]、3.(2)4.[補足説明2]で繰り返し説明したように、相対性原理を満たしていることから、左端の式のvを-vに置きかえて、A’とA、φ’とφ、ν’とνを置きかえたものになっている。[補足説明2]文中のφ、φ’、φ”、φ’”は下図の関係にある。そのため、静止系Kにおける入射光と反射光(AとA’”、φとφ’”、νとν’”)の関係はとなる。これらの関係式の非相対論的な場合については別稿「ウィーンの変位則」3.(1)ですでに説明している。そこの式が相対性理論による厳密な式ではどのように補正されるかを確認されたし。アインシュシタインは淡々と説明していますが、ここの「動く完全反射鏡による光の反射」と「動く鏡に及ぼす光の圧力」は、当時の物理学にとって極めて重要な問題であった、“輻射の熱力学”に関係しています。相対性理論はそれに対して完璧な解答を与えた。[補足説明3]本文中の入射光と反射光のエネルギー差を計算するととなる。これは、エネルギー原理によれば、光の圧力Pが単位時間に鏡に対してなす仕事P・vに等しい。そのため“光の圧力”としてが得られる。鏡が静止している(つまりv=0)の場合に成り立つ式(ただしMKSA有理化単位系表現)は別稿「光の圧力」1.(4)3.ですでに求めているので参照されたし。そこの結論と完全に一致します。[補足説明4]ここでの議論の本質は以下の事柄にあります。鏡と供に運動する系で反射の現象を観測すると入射光と反射光の関係はでした。そのため入射光と反射光との間にエネルギーの変化はない。そのとき鏡も動いていないので鏡に対して成される仕事P・vはゼロです。仕事はゼロですが、圧力Pは働きます。実際、上記のエネルギー差を表す式に於いてv→0となっても、圧力を表す項が0になるわけではないことに注意して下さい。v→0のときの圧力は古典論の非相対論的議論における値と一致します。普通の粒子が(動く)反射壁にぶつかって反射される場合には、速度の大きさは変化します(別稿「断熱膨張の気体分子運動論」を参照)。光が動く鏡にぶつかって反射される場合には相対性原理により反射光もまた光速度cで進みます。相対性理論では、光のエネルギーが変化するのは光速度が変化するのではなくて振幅と振動数が変化することで変化します。真に正しい相対性理論では上記の様な議論をしなければならないと言うことです。非相対性理論による議論では、鏡の中の電荷と入射電磁波との相互作用から圧力が導き出された。そのとき別稿「光の圧力」2.(5)3.[補足説明2]や「シュテファン・ボルツマンの法則」2.(5)の様な説明が必要だった。相対性理論ではその様な不明瞭さは一切ない。明快であることに驚嘆します。含めた対処法を述べているのですが、あまりにもあっさりとした説明なので、具体的にどこまで見通しているのか測りかねます。電荷の不変性[補足説明1]上記赤波線部分の説明は解りにくいので補足する。アインシュタインが影響を受けたと様々な機会に述べているローレンツの1895年の冊子は有理化されたGauss単位系で記述されています。この論文は普通の(有理化されていない)Gauss単位系で記されていますのでdivE=4πρとなります。そのため上記の説明を付け加えている。ここは混乱しやすいところなので、以後は4πを付け加えた普通の表記に変換して(つまりアインシュタイン論文中のρを4πρで置きかえて)説明します。ついでに補足しますと、この時代は動電気学や電気工学の発展に伴い電磁気学単位系の主流は、“静電単位系”から“電磁単位系”に置き換わった時代です。実際、当時の実験物理学の論文のほとんどは電磁単位系を用いて書かれています。そのなのにアインシュタインがローレンツの流れを汲んだ“Gauss単位系”を用いたのは、それなりに深い意味があるのでしょう。それにしても26歳のアインシュタインは電磁気学およびその単位系について完璧に理解していたようですね。ローレンツ変換を行う。このとき、3.(1)[補足説明1]で求めたを用いるととなる。運動系kにおいて電荷密度ρ’であるものを静止系Kからみるとの様に見えるとすれば、電荷、電流が存在する場合のMaxwell方程式も、完全にローレンツ変換に対して不変であることになる。この式の意味は非常に解りにくいが、長さや時間や速度(2.(8)3.[補足説明2])といった物理量測定と同様に考えればよい。このとき、K系に対するk系の運動方向vに対して電荷の運動方向uはまったく独立に任意の方向を向いていて良いことに注意して下さい。その場合でも速度uに対してローレンツ変換を施せば、電流密度(ρu)を含むMaxwell方程式系がローレンツ変換に対して不変であることが導けるのです。3.(5)で説明しておりますので参照されてください。そこで明らかになるように、これらは“位置ベクトル(x,y,z)”と“時間t”のローレンツ変換式とまったく同じ形で変換されます。ローレンツ変換公式そのままです。上記の結論は[Maxewll方程式のローレンツ変換不変性から導かれた]ものですが、このことからも“電荷の不変性”は相対性理論から導かれる必然の結果であると言える。ここで注意して欲しいことは、[電荷不変の原理]はアインシュタインによって[光速不変の原理」と[自然法則の相対性原理]の二つの原理から導かれたのですが、[電荷不変の原理]は、その後のあらゆる実験・観察によって正しいことが確認されています。これは、[光速不変の原理」と[相対性原理]という二つの原理と並び立つ第三番目の原理と言っても良い。ローレンツ変換則は簡単に導かれます。ローレンツ変換不変性が確認できる。[補足説明4]別稿「マクスウェルによるアンペールの法則の拡張」で注意したように、Maxwell方程式から“電荷の保存則”が導ける。このとき、[補足説明1]で求めた電荷と速度の共変関係を用いれば“電荷の保存則”もローレンツ変換不変であることが確認できる。この事を逆に解釈すれば、[補足説明2]ではMaxwell方程式のローレンツ変換不変性より電荷密度の共変関係式を導いたのですが、“電荷の保存則”がローレンツ変換不変でなければならない事を用いても同様な共変関係式が導けるということです。このことは、電荷密度と電流密度ベクトルが一緒になって“4元電流密度”を構成することを用いると、もっと一般的に導ける。別稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」3.(2)[補足説明4]を参照されたし。[補足説明5]アインシュタインが段落の最後の文節で述べている“電荷の不変性”について補足する。ここの訳文は解りにくいのですが、おそらくアインシュタインはここで、“電荷密度は長さや質量と同様にローレンツ変換不変ではないが、電荷自体(任意の物体が持つ電気量)はローレンツ変換不変量で静止していても動いていても変化しない。”と言っているのだと思います。いつものように静止系Kに対して、そのx軸方向に速度vで移動する移動系kを考える。k系の原点に静止して存在する半径rの球が持つ電気量はとなる。この球を静止系Kから見ると、(2.(6)1.で説明したように)中心(vt,0,0)がx軸上を速度vで運動する楕円体となる。この楕円体の体積がであることと、K系における電荷密度がρであることを考慮すると、この楕円体の持つ電気量はとなる。このときK系に対して帯電した楕円体は速度vで動いていることに注意されたし。[補足説明1]で説明したuxがvと等しい特別な場合を考えると、前述の電荷密度の変換式はとなる。右側の式は、静止しているときの電荷密度がρ’の帯電物質が速度vで移動すると、電荷密度がρ(すなわちρ’の(1-v2/c2)-0.5倍)に増大したように見える事を意味する。ところで帯電物質の体積は運動すると、静止したときに比べて(1-v2/c2)0.5倍に縮んだように見えるのでしたから、この両方の効果を考慮すると、最初静止していた時に持っていた帯電物質の全電気量は、それが動いても同一の電気量を保持することになる。電荷とともに運動する座標系kから見て電荷の電気量が不変ならば、静止系Kから見て電荷の電気量は常に一定である。これは静止系Kで任意の速度で運動する電荷の電気量が運動速度に依存して変化することは無いことを言っている。後で質量という物理量は運動すると増大することが解りますが、電気量という物理量にはその様な変化は生じないという極めて重要な性質を導いたことになる。[補足説明6]上記の結論は重要です。これは『電子や陽子などの荷電粒子が持つ電荷(電気量)という属性はそれらの運動状態が変化しても不変である。これは後で説明する『(電子や陽子などの粒子が持つ)質量という属性は運動状態によって変化する。』とは異なっています。そのとき、質量が運動状態によって変化することが多くの実験・観察によって検証されていると同様に、電荷が不変量であるということも多くの実験・観察から検証されています。この性質の実験的検証について文献406「力学」p445の説明を引用。電磁気学(上巻)」§5.3“動いている電荷の測定”、§5.4“電荷の不変性”)により丁寧な説明がありますのでご覧下さい。アインシュタインは『電子や陽子などの様々な荷電粒子の持つ電荷はローレンツ変換不変である。』を、対流電流を考慮したMaxwell方程式のローレンツ変換不変性から導いたのですが、これは3.(3)1.[補足説明4]で説明したように、『“プランクの作用量子h”が不変量である。』が相対性理論から導けるのと同様に相対性理論の整合性が確認できる極めて重要な結論です。電子や陽子などの荷電粒子が分布する物質の体積要素、あるいは存在する空間領域が荷電粒子と共に動くと、相対性理論により、その体積は縮小します。そのとき電子や陽子などの様々な荷電粒子の持つ電荷がローレンツ変換不変であるということは、その体積要素における電荷密度は体積の減少に逆比例して増加する事を意味します。[補足説明2]の最後で注意した事や[補足説明5]はそのことを言っています。電荷がローレンツ変換に対して不変である事は、荷電粒子が発生する電場を異なった座標系で観測するとどのように変化するかという、電磁場のローレンツ変換に対する共変関係を規定します。電荷のローレンツ変換不変性を用いれば、3.(1)で導いたが逆に導けるのです。電磁気学(上巻)」§5.5“異なった座標系において測定される電場”、§5.6“一定速度で動いている点電荷の場”)の説明はとても教訓的ですのでご覧下さい。このことは、別稿「電磁場の相対性」で解りやすく説明していますので参照してください。最後にもう一度強調しますが、上記の話は“電荷”がローレンツ変換に対して不変であることを言っているのであって、“電荷密度”や“電流密度”についてではないことに注意してください。3.(5)を是非参照されたし。電子の力学[補足説明1]上記赤波線アンダーラインの注記は重要です。後で解るのですが、粒子の質量はその運動状態によって変化します。その可能性もあるので今はゆっくり動いている状況を考えている。その粒子に力が働くと加速されてその運動速度が大きくなります。その場合、電子がk系において静止し続けているという条件を満たさなくなります。静止しているという条件が成り立つごく最初の瞬間を考えている。アインシュタインは、ここで相対論的な力学を論じようとしている。ニュートンの運動方程式はガリレオ変換に関して不変だが、ローレンツ変換に関して不変ではありません。そのとき、v≪cの場合にローレンツ変換がガリレオ変換に近づいた様に、、v≪cの場合には未知の真に正しい力学の運動方程式もニュートンの運動方程式となるであろう。そのためローレンツ変換不変となる運動方程式がどのようになるかを、質量(可秤量物体)が静止しているk系でのニュートンの運動方程式から出発してK系で、しかもv≪cの場合にどのようになるかを推測しようとしている。[補足説明2]上記(A)式の導出を補足する。場合を考えているのでと近似できる。