おいて、すでに証明したようにx2+y2+z2-c2t2はローレンツ変換に対して不変であった。yとzはそのままy’とz’に変換されるので結局がローレンツ変換に対して不変である事を証明すればよい。これはローレンツ逆変換を用いれば簡単に証明できる。(9)、(10)節で取り上げる事柄は、後に説明するアインシュタインの1905年論文の方がより明快で解りやすい。ここで紹介するSommerfeldの説明も教訓的です。そのため、彼の著書「光学」の§10、§11をそのまま引用しています。それに続く§12も重要なので(11)節として引用紹介します。Sommerfeld文献402アインシュタインは1905年論文のII.“電気力学の部”で光の電磁波説にもとずく波動論で光行差の現象を説明しています。アインシュタインが光行差を第II部で論じたのは、波面と波のエネルギーの進行方向との関係についての深い考察にもとづくためだと思われます(その当たりについては3.(2)3.[補足説明5]を参照)。光はアインシュタインが発見(彼は直前に光量子の論文を発表)した光量子説にもとずく粒子であると見なすこともできます。そのとき、光を光速度で移動する粒子であると考えると、電磁気学を持ち出さなくても、ここまでに説明した相対論的な運動学的な知識のみで光行差の現象は完璧に説明できます。別稿「ブラッドリーが光行差を見つけた方法」4.(2)で説明したようにブラッドリーは元々粒子説で説明していたのですが、ここで説明する光粒子は古典的な粒子ではなくて、どの座標系から見ても光速度cで移動する(相対論的な速度合成則を満足する)粒子であることに注意してください。以下はSommerfeldの文献402からの引用です。下記の(3)式は2.(8)3.ですでに導いた式であることに注意されてお読み下さい。[補足説明1]ここは何を言っているのか解りにくいが、要するに2.(8)3で説明した速度に関するローレンツ変換を実施しているだけです。そこの(vx,vy,vz)を(ux,uy,uz)へ、(vx’,vy’,vz’)を(ux’,uy’,uz’)へ置きかえた式を用いればよい。このとき注意して欲しいことは、ローレンツ逆変換を用いて得られる上記右側の式は、次で証明するu’=cであることを考慮すると、左側のローレンツ変換から得られる式のvを-vに置き換えでαをα’に置きかえた式になっていることです。光源が動いて観測者が静止しているとみなしてもまったく同じ結論が得られる“相対性原理”を完全に満たしている。左側の式を直接逆に解いても右側の式が得られる。これは、ガリレオ変換に従う古典的な光行差理論では成り立たないことです(3.(2)3.[補足説明3]を参照)。[補足説明2]Sommerfeldが粒子論によって求めた結論(4)式は、次節§11で求める波動論による結論(7a)と一致します。これは、3.(2)3.でアインシュタインが波動論によって求めた結論とも一致します。実際、(4)式を変形するととなるので、α→φ、α’→φ’を考慮すると、アインシュタインが求めた結果と完全に一致する。[補足説明3]ここでは、光を粒子と見なして、相対論的な運動学の結論を用いて、光行差の現象を相対論的に説明しました。そのとき、この光はNewtonの光粒子説の粒子とは根本的に異なる事に注意してください。この光粒子は、光を放射する物体(恒星)の運動速度によらず、つねに光速度cで進む。c+v=c(c;光速度、v;光源の速度)が成り立つ粒子です。波動説による説明Sommerfeldの説明を引用。これは光の電磁波説に基づくものですが少し難しい。そのため、アインシュタインの1905年論文第II部§7[3.(2)1.~2.波動説によるドップラー効果の説明]を平行して読まれることを勧めます。そちらの方がより明快で解りやすい。上記の横ドップラー効果の公式は光源が存在する静止系から見てα=90°の場合の式であって、観測者の系から見てα’=90°の場合の公式は異なります。そのことに関して注意深い考察が必要です。3.(2)2.[補足説明3]をご覧下さい。[補足説明1]Sommerfeldの上記の結論(7)式の第3式は、3.(2)2.で説明するアインシュタインが導くとまったく同じあることはから直ちに確認できます。相対論的なドップラー効果は“光速不変の原理”と“運動している波源や観測者の時間が遅くなる”ことからも導くことができます。その詳細は3.(2)2.[補足説明4]を参照されたし。[補足説明2]上記の初等的ドップラー効果の公式(10)を復習(説明1、説明2、説明3)しておきます。2.時間の遅れ(横ドップラー効果)の検証実験<1>横ドップラー効果(Sommerfeldの文献301より)横方向のドップラー効果の測定実験について補足しておきます。[補足説明]上記Ivesの実験の説明は解りにくい。このことの正確な意味については3.(2)2.[補足説明3]をご覧下さい。上記のIvesとStilwellの1938年論文と1941年論文はこちらを参照。この話題の詳細については下記のページを参照されたし。http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/727<2>μ粒子の時間の遅れ(Sommerfeldの文献301より)μ粒子観測による時間の伸びの観測の報告です。前項Sommerfeld著「電磁気学」§27Dの続きです。原論文はRossi_Hall_1941年、Rasetti_1941年を参照されたし。[補足説明]今日ではμ中間子という呼び方はしない。レブトンの一種でμ粒子(ミューオン)と呼ぶ。湯川の予言した中間子はπ中間子と呼ばれているが、その固有寿命はμ粒子よりも二桁短い(約2.6×10-8s)。そのため<3>の説明の様にμ粒子と違ってパイ中間子は地表までほとんど届きません。π中間子については<4>を参照。p59の図1をご覧下さい。地上まで届く宇宙線のほとんどはμ粒子です。これは透過性が高いためかなりの厚さの岩盤も透過します。そのことは最近(2016~2017年)、その透過性を用いてエジプトのクフ王のピラミッドを透視して内部に隠された空間があることが発見されたことで話題になった。2017年<3>μ粒子の時間の遅れ(竹内淳の文献211より)同じくμ粒子の崩壊時間の変化についての説明です。<4>π中間子の時間の遅れ(文献406より)下記もπ中間子の時間の遅れの観測結果の報告です。粒子説による説明ドップラー効果が光の粒子説に基づいても説明できることを最初に示したのはシュレーディンガーです。光学」講談社(1969年刊)の第II章§16p88~89で説明されているのですが、A.Sommerfeld著「原子構造とスペクトル線I(上巻)」講談社(1973年刊)の第1章§7p56~58の説明の方がより解りやすいので、こちらから引用します。この(1)式については、2.(10)1.[補足説明2]に記した説明3を復習されたし。脚注(‡)で示されている“相対論的な意味で厳密なドップラー公式”については、3.(10)1.の(9)式、あるいは粒子説に基づくものとしては3.(3)1.[補足説明6]を参照されたし。[補足説明]このように、光行差やドップラー効果は、“光量子”としての光に相対性理論を適用することで極めて旨く説明できる。この事は特殊相対性理論が量子論と完璧な整合性を持っていることを示している。実際、アインシュタインは、1905年論文第II部§8で、“光の集まりのエネルギーと振動数とが同じ法則に従って観測者の運動状態と供に変化することは、注目に値する。(11)フレネルの随伴係数1.Pais文献502の説明この事について、パイスは文献502のp184で次のように述べている。Magnetism”Addison-Wesley,Reading,Mass.,1955年(訳本は文献303.)のChap.11の事。前記のように、“フレネルの公式”の相対性理論による説明はラウエによって最初に与えられた。その詳細をSommerfeldの文献402から引用して紹介します。[補足説明]上記引用文の最後にSommerfeldが述べていることを補足しておきます。第6章の様になります。随伴係数を相対性理論を用いた電子論的で厳密な証明をするには、媒質中の光の位相速度がc/nとなる様に重ね合わさる二次波を放出する原子の移動速度に相対論的な速度合成法則を適用することになります。元々の二次波を出す原子と同じ速度で移動する観測系から見て媒質中の速度がc/nになることは二次波を出す原子の存在によって生じたのですから、媒質中の速度がc/nになるという事実に二次波を出す原子の運動学を相対論的に考慮すればそれで完全に正しい結論が得られるのです。分散性媒質に付いても同様です。3.アインシュタインの説明アインシュタイン自身は、後の文献108(1917年刊)で、以下のように説明している。アインシュタインの説明と同じなのですが、佐藤文隆先生の説明も以下に引用。[補足説明1]アインシュタインは、このフィゾーの実験結果を完璧に説明できたことこそが、相対性理論の明白な実験的証拠と考えていたようです。enough)”と語っている。(文献510のホルトンp89-89の引用も参照)そのことからも、1905年の論文を書いた時点でラウエの指摘は当然気付いていたでしょう。それなのになぜ論文中に書き込まなかったのでしょうか?私の推察ですが、フィゾーの実験が相対性理論によってあまりにも簡単かつ完璧に説明できたことに半信半疑だったのではないでしょうか。持って行かねばならない面倒さ故に書かなかったのでしょう。実際、アインシュタインはローレンツが1895年の冊子で展開しているフィゾーの実験結果およびフレネルの随伴係数を電子論で説明するメカニズム(2.(11)2.[補足説明]参照)を完璧に理解していたのですから。このフィゾーの実験の説明は後(1907年)にラウエによって指摘されるのですが、アインシュタインは他人の業績に対してとやかく言うような了見の狭い人ではなかったので、この事を論文に書かなかったことについて言い訳したりすることはありませんでした。本当の所は上記の通りだったのではないかと思います。アインシュタインは1907年の総説論文(文献113)でフィゾーの実験を取り上げるのですが、前書き(p68~69)で、“これはラウエ氏によって気付かされた”とラウエを讃えています。アインシュタインらしいですね。[補足説明2]ラウエについて補足する。彼はアインシュタインと相対性理論について討論するためにベルンを訪問した最初の物理学者であり、また相対性理論の解説本を最初に(1911年)書いた人です。プランクおよびラウエとアインシュタインの初期の関わりについては、アーミンの文献504が興味深いので引用する。3.相対論的電磁気学この部分は、1905年論文のメインテーマです。文献103は単位系を電磁単位系に改竄しているので、ここは文献101[Gauss単位系、ただし光速Vをcに、(ξ,η,ζ,τ)を(x’,y’,z’,t’)に書き換え、さらに電場をE=(Ex,Ey,Ez)で、磁場をH=(Hx,Hy,Hz)で表す]から引用して説明します。このとき、光速cを波の進行方向の除弦(a,b,c)のcと混同しないように赤記しています。同様に、エネルギーEと運動量Pも、電場ベクトルEや圧力Pと混同しないように赤記することにします。Gauss単位系を採用するのかは、この稿の最初で説明しました。相対性理論が難しくて解りにくいのも単位系の混乱にあるように思いますので、もう少し補足します。[補足説明]Gauss単位系ではEとDは全く同じ次元となり、さらに同じ数値となります。HとBも同様に同じ次元、同じ数値となります。そのためDや、HとBの両方を導入する必要は無くなります。それゆえに静電単位系やMKSA単位系で出て来る、電磁気学で最も解りにくい、E-H対応系かE-B対応系かは問題になりません。B)の二つの量で議論できるからです。そのためこの稿では電場をE=(Ex,Ey,Ez)で表し、磁場をH=(Hx,Hy,Hz)で表すことにします。ここではDやBを導入する必要はなくて全てEとHで論じることができます。この事については別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」5.(3)を参照されて下さい。そこでも説明しましたように、Gauss単位系ではローレンツ力をF=qE+q/c[v×H]あるいはF=qE+q/c[v×B]のどちらの形で表しても良いのですが、この稿では磁気的な場としては“磁束密度”Bではなくて“磁場”Hを採用していますので全て前者の表現を採用する事にします。上記の様に二つの量EとHで電磁気学が表現できることは、ローレンツがあらゆる電磁気現象を真空中の場と電荷のみに還元したことによります。それまで電磁気学を混乱させていたMaxwell、Hertz以来の電媒質、磁媒質を排除して真空中の場と電荷のみで電磁気学が書きあらわせたことが、相対性理論の発見に本質的な役割を果たしたようです。この事は別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」5.(3)2.で引用したアインシュタインの文章の赤波線の部分や別稿で引用したShanklandの文章中のアインシュタインからの手紙(手紙の全文はこちらを参照)の内容に関係します。これらの文章を読むと、アインシュタインが特殊相対性理論を建設できた要因として、彼が“ローレンツの電子論を深く学んでいたこと”が、もう一つの“時間の相対性に気付いたこと”と並んで極めて重要であったことが解ります。EやHに付け加えてDやBも絡んでいたら、とても特殊相対性理論の認識には至らなかったでしょう。ランダウ・リフシュツの「場の古典論」がGauss単位系を採用しているのも、この当たりの見通しを良くするためだろうと思われます。補足しますとローレンツは有理化したGauss単位系を用いています。この当たりに関しては、Sommerfeldの文献301§8の解説をお読み下さい。Maxwell方程式のローレンツ変換不変性の証明ここでは、前述の様に記号を置き換えて引用していますが、アインシュタインの元論文では、電場E=(Ex,Ey,Ez)が(X,Y,Z)で表され、磁場H=(Hx,Hy,Hz)が(L,M,N)で表されています。アインシュタインが電場、磁場を(X,Y,Z)、(L,M,N)と表したのは当時の慣習にしたがったからです。ヘルツ、プランク、ポアンカレ、ローレンツなど皆その様に表しています。K座標系(x,y,z,t)に対して速度vで動いているk座標系での変数(x’,y’,z’,t’)は(ξ,η,ζ,τ)で表されています。そのため源論文と比較されるときには注意して下さい。[補足説明1]t’は(x,y,z,t)の関数、x’、y’、z’も(x,y,z,t)の関数だから、微分法の性質よりが成り立つ。[補足説明2]“電荷が存在しないとき”にはdivE=0、divH=0が成り立つので上記の公式を用いるとが言える。上記の関係式を用いるとマックスウェルが拡張したアンペールの法則はとなる。同様(詳細は3.(4)[補足説明3]参照)にしてファラデーの電磁誘導の法則はとなる。[補足説明4]前記[補足説明3]で得られた式を用いると、divE=0はとなる。同様にして、divH=0はとなる。このとき、後で求まるローレンツ変換に対する電場・磁場の共変式を用いれば、上記の結論はとなり、これらの方程式もローレンツ変換不変であることが確認できる(詳細は3.(4)[補足説明2]および3.(4)[補足説明3]参照)。[補足説明5]上記関係式を補足する。前記の関係式を(Ex,Ey,Ez)、(Hx,Hy,Hz)に付いて解くとが得られる。最初の式のvを-vに置きかえ、ダッシュ’つきの量から’を取り除き、’が付いていない量に’をつけるとk系からK系への変換式としてが得られる。上記二つの表現は等価でなければならないのでが得られる。アインシュタインは、上記の関係式を導くための例として(Ex,Ey,Ez)=(0,0,0)、(Hx,Hy,Hz)=(0,0,Hz)の場合を取り上げている。このとき、前記のローレンツ変換式により(Ex’,Ey’,Ez’)、(Hx’,Hy’,Hz’)求めるととなるのであるが、電荷の運動方向が反対の場合に、それぞれの電荷ρが静止している座標系に移るととなる電場が生じる。このとき、生ずる電場の方向は、よく知られている“ローレンツの力の法則”を満たすためには上図の様に成らねばならない。そのため以下の等式が成り立つことが解る。よって前記の関係式が導かれる。[補足説明7]上記赤波線アンダーラインの“はじめの3つ”とはの事です。1.(古い表現法)は上記の右辺を意味する。そのため、1.の文中の“電気単位極には電気力の外に「動電力」が働き”の“電気力”は上記に電気量ρを乗じたρEの部分であり“「動電力」”はρ/c[v×H]の部分を意味する。2.(新しい表現法)とは上記の左辺を意味する。そのため、2.の文中の“それに作用する力は、単位極の場所に存在する電気力に等しい”は、左辺のぺクトルE’にρを乗じたρE’を意味する。アインシュタインは、当時ローレンツにより発見されたローレンツの力の法則が、特殊相対性理論の必然の結果として導き出されることを注意している。次の文節で同様なことが中の“「動磁力」”=m/c[v×E]についても成り立つと説明しています。単極の磁荷mは存在ないのでそこは注意が必要です。[補足説明8]“ローレンツ力”について補足する。2.(1)[補足説明1]で説明したように、Gauss単位系で表現した電磁気学の法則はとなる。この事から明らかな様にマックスウェルの電磁場方程式に現れる電荷や電流は場を生ずる源として存在するのであって、場がそれらの電荷や電流にどのような力を及ぼすのかは示していません。その力の法則は、元々の“クーロンの法則”や“アンペールの電流要素間に働く力の法則”の中には含まれているのですが、その力の法則を電磁場方程式とは独立なものとして導き出したのがローレンツの電子論です。してこそ、電媒質、磁媒質の複雑な場の中に埋もれていた電磁気学現象を真空中の電磁場とそれを生みだし克つ、それから力を受ける電荷・電流に分離して極めて明快な形に電磁気学を組み立て直すことができたのです。“ローレンツの力の法則”は、元々“マックスウェルの電磁場方程式”とはまったく独立な法則です。そのとき、アインシュタインの特殊相対性理論によると、マックスウェルの電磁場方程式系が“相対性原理”を満たす(つまりローレンツ変換に拠って不変である)事を要請すると必然的にローレンツの力の法則を導き出せる。相対性理論の整合性が見事に成り立っている実例であるとアインシュタインは述べている。アインシュタインがこの論文に「運動物体の電気力学について」という題目を付けた理由です。[補足説明9]上記“単極機械”とは“ファラデーの単極発電機”のことです。ファラデーは1821年に、下図の実験をして下記(1)~(3)の現象が生じる事を発見した。上図の装置の磁石または金属円盤を回転させると(1)円盤を固定して磁石を回転すると誘導電流は流れない。(2)磁石を固定して円盤を回転すると誘導電流が流れる。(3)磁石と円盤を一緒に回転すると誘導電流が流れる。このとき(1)と(2)、(3)の関係は不思議で、2.(1)[補足説明1]で述べた“相対性”に矛盾するように見えます。これも当時の物理学者を悩ました問題でした。アインシュタインは、以下のように考えればこの現象は明らかだと言っている。磁力線は磁石から出ているのですが、磁力線そのものものが磁石と一緒に回転するという考え方は間違っている。磁場というのはまさに場そのものであり、上記の例で磁石が回転しても磁場が回転するわけではない。そのため磁石が回転してもしなくても、磁場の様子は上記(1)~(3)の場合に全て同じになり、時間的に変化するわけではない。その時、金属円盤が回転するかしないかの違いが重要であって、金属円盤が回転する場合にはローレンツ力により円盤と外周の間に電位差が生じて電流が流れる。こちらの引用文もご覧下さい。この当たりについては文献407第III巻§13-1~6や§17-1~4の説明が興味深いのでご覧下さい。Doppler効果と光行差1.光の波動解のローレンツ変換[補足説明1]上記の解は、“Maxwell方程式”を変形して得られる“波動方程式”を解くことにより得られる。波動方程式は、電荷が存在しない場合のMaxwell方程式を変形すれば導ける。(1)式の両辺をtで偏微分した後に(2)、(3)式を用いて変形する。同様に、(2)式の両辺をtで偏微分したものに(1)、(4)式を適用するとが得られる。一般解」3.で説明した“波動方程式”の形をしている。そのため、この解として位相速度cで伝わる“平面波”解が存在する。ここで以下の事に注意して欲しい。前節で証明したようにMaxwell方程式はどの慣性系でも同じ形に表された。ここで導いた波動方程式はMaxwell方程式から導かれるものですから、波動方程式もどの慣性系で見ても同じ形になる。この事は、波の位相速度を表すcはローレンツ変換に対して不変の定数だから、光の伝播速度がどの慣性系で見ても同じであることを意味する。[補足説明2]“波動方程式”(5)の解としてを仮定しよう。ここで、(Ex0,Ey0,Ez0)は波の振幅ベクトルのx,y,z成分であり、(a,b,c)は波面の法線方向を表す単位ベクトル(sと置く)のx,y,z成分(法線の方向予弦)です。そのとき方向余弦に関しては、ピタゴラスの定理により、a2+b2+c2=1が成り立つ。解(7)式が(5)式を満足することは代入してみれば直ちに確認できる。(7)の第1式を(5)の第1式に代入するととなる。他の成分に関しても同様。同様に、“波動方程式”(6)の解としてが得られる。ここで、(Hx0,Hy0,Hz0)は波の振幅ベクトルのx,y,z成分であり、(a,b,c)は波面の法線方向を表す単位ベクトルsのx,y,z成分(方向予弦)です。a2+b2+c2=1が成り立つ。ここで位相Φについてもう少し補足する。多くの本では位相Φをの様に表している。2.(5)1.で引用したSommerfeldの本もこちらの表現を用いている。この形の解について別稿「偏光とは何か」2.や「慣性重力波とロスビー波、そして赤道波」2.(3)3.と比較するときには注意されたし。(7)(8)式は、波の伝播方向を表すベクトルsに垂直な平面内で波の位相が全て等しい“平面波”を表す。実際、位置(x,y,z)の時刻tに於ける位相Φ1はとなるが、ベクトルsに垂直に(x,y,z)から任意距離(Δx,Δy,Δz)=Δr離れた点の時刻tに於ける位相Φ2は下記の様に常にΦ1と一致する。このとき“二つのベクトルが直交すれば、その内積はゼロとなる”(別稿「ベクトルの内積と外積の成分表示」を参照)を用いた。[補足説明3]前記の解(7)、(8)式は、“Maxwell方程式”(1)~(4)式も満足しなければならない。関係を満たさねばならない。(2)式に(7)(8)式を代入しての関係式が得られる。[補足説明4]前記の(9)(10)式から、以下の事柄が証明できる。同様に(2)電場振幅ベクトルE0と磁場振幅ベクトルH0は互いに垂直(E0⊥H0)。(3)電場振幅ベクトルE0、磁場振幅ベクトルH0、法線ベクトルsの位置関係は、ベクトルE0からベクトルH0へ右ねじを回したときネジが進む方向がsベクトルの方向になっている([E0×H0]=|E0|・|H0|s)。これらの関係式は光(電磁場)が横波であることを示している。光についてはフレネルが、電磁波についてはヘルツが独創的な実験・考察に基づいて明らかにした。(4)電場の振幅ベクトルE0の絶対値と磁場の振幅ベクトルH0の絶対値は等しい(|E0|=|H0|)。この事はGauss単位系の場合に言えるのであって、他の単位系ではc倍が絡んできます。これらの事柄の簡単な場合の証明は別稿「電磁波の伝播」3.ですでに説明しておりますのでご覧下さい。[補足説明5]上式を導く。このとき、ω’は系kにおける波の角振動数、(a’,b’,c’)は系kにおける波の進行方向を規定する単位ベクトルs’と解釈できる。実際となるので、(a’,b’,c’)が単位ベクトルであることは直ちに確認できる。[補足説明6]このときΦ=Φ’であることに注意されたし。Φは(x,y,z,t)で表されΦ’が(x’,y’,z’,t’)で表されているということであって両者は同じものです。これを用いるととなる。これらの式に電場と磁場の共変関係式を用いるととなり、波動方程式の共変的な解が得られる。[補足説明7](2018年3月追記)3.(2)1.[補足説明2]で位相Φを角振動数ωと波数ベクトル(kx,ky,kz)で表すことを紹介した。このやり方で定義すると、前述の位相Φを表す要素のローレンツ変換共変の変換式はとなる。ローレンツ変換に対して不変の形を保つべきである。変換法則を求めるときにアインシュタインが用いた方法です。いずれにしても、この変換則は(kx,ky,kz,ω/c2)が時空座標(x,y,z,t)と全く同じローレンツ変換に従う事を示している。波数ベクトルkは角振動数ω/c2と一緒になって“4元ベクトル”を構成する。4元ベクトルに付いては別稿「4元速度、4元加速度と4元力」を参照されたし。前項で求めたω→ω’は静止系Kから運動系kへ移ったときに光(電気力学的波)の角振動数が変化すること表している。これは波を動きながら眺めたときに波の振動数が変化したように見える“ドップラー効果”そのものを表している。そのことに関してアインシュタインは以下の様に説明している。[補足説明1]角振動数を振動数の関係に直すととなる。今は、静止系であるK系に対して観測者(k系)が速度vで動く方向をx軸の正方向としている。K系に於いてk系の原点にいる観測者に向かって進む光の伝播方向ベクトルsとK系のx軸が成す角度をφとするとa=cosφだからとなる。これが論文中の式です。ここで、φ=0°(光源と観測者が互いに遠ざかる)の場合にはcosφ=1だからとなる。この場合光の振動数は小さくなり、波長は長くなる“赤方偏移”となる。φ=180°(光源と観測者が互いに近づく)の場合にはcosφ=-1だから上記の公式のvを-vに置きかえた式になることに注意されたし。この場合光の振動数は大きくなり、波長は短くなる“青方偏移”となる。観測者が光源に光速度で近づくと観測する光の振動数は無限大になることを意味する。これは古い絶対静止空間のエーテル理論から得られるドップラー公式の示す結果と異なる。古いエーテル理論(説明1、説明2、説明3)では、v→-cとともにν’→2νとなるだけです。[補足説明2]上記の式と古いエーテル理論のドップラー公式との関係を補足する。言えるときにはとなる。これは、高校物理で習う音のドップラー効果の公式(説明1、説明2、説明3)を思い出せば解るように、古典的な絶対静止空間のエーテル中に静止した光源に対して、観測者が(エーテル中を)速度vで遠ざかる場合の公式に一致する。それ故に、ドップラー効果の観測で相対性理論とエーテル理論の優劣を確かめるには、v/cの二次以上の観測精度が必要です。ちなみに、古典的エーテル理論のドップラー公式によると(説明2の記号で)となりますから、波長のずれはありません。[補足説明3]ここで更に注目すべきはφ=90°の場合です。観測者が光線の進行方向に対して直角に動いている場合にもとなり、v/cの二次の効果に伴う“横方向のドップラー効果”が現れる。上記の式はK系で見た光の伝播方向とx軸とが成す角φが90°の場合で“青方偏移”となる。このとき、次の光行差の項で説明するように、観測者が動きながらK系の光源を見る場合v/cの一次の大きさで光のやってくる方向が変化します。k系から見て、k系のy’軸に沿ってk系の原点にいる観測者にやってくる光(つまりk系での角度φ’=90°の場合)のドップラー効果は上式とは異なります。φ=90°で見るのか、φ’=90°で見るのかはv/cの二次のオーダーで異なりますから、“横方向のドップラー効果”を調べるためにはその当たりを厳密に論じなければなりません。この点を明記していない解説書もあり、混乱を招くところですので注意されて下さい。φ’=90°で見る場合に上記の公式を書き換えるには、前記の公式のaをa’に変換すればよい。厳密にφ’=90°の方向から運動光源を見たとき“赤方偏移”のドップラー効果が見られることになる。このとき、k系のx’軸からφ’=90°の方向の(つまりy’軸の正方向からy’軸に沿ってやってくる)光線を見ることになるのですが、K系からみると静止していた光源はk系から見るとk系のx軸の負方向に速度-vで動いています。k系の観測者にやってくる光線の方向に対して厳密に直角方向に動いている光源からやってくる光を観測することになります。上記のは、最初に求めたをνについて解き、その式のvを-vにして、νとν’を入れ替え、aをa’としたものに等しいことに注意されたし。これは観測者がいる系を静止系Kと見なし、光源がK系に対して-vで移動している運動系kに静止していると見なした場合のドップラー効果を現す式です。この意味でも相対性理論の整合性が確認できる。このようにk系に於いて光がやってくる方向から厳密に90°の方向に動きながら見た場合(k系の観測者にやってくる光線の方向に対して厳密に直角方向に動いている光源からやってくる光を観測する場合と言っても良い)、ν’はνよりも小さくなり“赤方偏移”を生じる。これが真の“横方向のドップラー効果”です。これは動いている物の時間がに従って伸長するために生じる。これは古典的なエーテル理論では決して現れない効果ですからこれが確かめられれば相対性理論の実験的証拠となる。古典的エーテル理論で現れないことは古典的なドップラー公式を(説明3)で復習して下さい。そこの説明ではvが逆ですから、そこの公式のvを-vに置き換えた式が上記の相対論的ドップラー効果の式に対応します。古典的な式は相対論的な式てv/cの二次の項を省略したものになっており、相対性理論は古典的な理論の自然な拡張になっています。1907年、これはwikiにあります)。[陽極線についてはBornの文献202§8のp126を参照]しかし、横ドップラー効果の測定は極めて困難です。その理由は、観測方向がカナル線に対して直角からわずかに狂っても縦のドップラー効果の寄与が生じて来て、横ドップラー効果を覆い隠してしまうからです。角度がどの程度厳密に90°でなければならないのかは先に説明しましたが、この困難さから長い間測定できなかった。横ドップラー効果は、IvesとStilwellが1938年に、Ottingが1939年に、カナル線(陽極線)を用いて確かめたのですが、特別な工夫をすることで成功した。彼らの工夫とは、カナル線から互いに反対方向に放射される光線に対する縦ドップラー効果の寄与は、大きさは等しく反対に作用することに着目して、カナル線から互いに反対方向に放射される光線を同時に測定して平均を取って縦ドップラー効果の影響を消去してしまうというものです。これが、2.(10)2.<1>で引用した文献301§27DでSommerfeldが説明している事柄です。前記[補足説明2]で説明したものです。この方法に拠って、横ドップラー効果は確かめられた。時間の伸長も直接的に確かめられた。[補足説明4]相対論以前の古典的なドップラー公式(説明1、説明2、説明3)は、光源が動く場合と観測者が動く場合では異なる結果を与えた。相対性理論では光源と観測者の相対的な速度vのみに関係してどちらが動いていて、どちら静止しているかには関係しない。これこそが特殊相対性理論が言っていることで、ドップラー効果をいくら観測してもどちらが静止していて、どちらが動いているのかを決めることはできないのです。[補足説明1]では光源が静止した系に対して観測者が速度vで動くとしてこれらの公式を導いたのですが、相対性理論では、これらの公式は観測者が静止していて、光源が動いている場合でも同じにになります。以下でその当たりを補足する。相対性理論によると光はどの慣性系からみても同じ光速度で伝播する。この事実がドップラー効果に於いてどのように説明されるのかを確認する。“観測者(observer)”と“光源(source)”が相対速度vで互いに遠ざかる場合と、互いに近づく場合に分けて考察する。ここでは古典論の説明1のやり方で説明するが、古典論の説明2のやり方でも同様です。(1)観測者と光源が相対速度vで遠ざかる場合(a)観測者が静止している系から眺める。(つまり静止している観測者から光源が速度vで遠ざかる場合)このときには、光源が速度vで動いているために、光源の時間は遅れて見える。そのため光源の発する光の振動数は本来のν0よりも小さいνとなる。観測者に取ってその小さくなった振動数νの光を発しながら光源は速度vで遠ざかるのです。そのため観測者が観測する振動数ν’は下記のようになる。そのとき光の信号は観測者に対して光速度cで伝播してくることに注意。(b)光源が静止している系から眺める。(つまり静止している光源から観測者が速度vで遠ざかる場合)このとき光源の時間で1秒経つ間に観測者が観測する波の数はνとなる。ところがこのとき、光源が静止している系(光はその系で測ってcで進む)から動いている観測者を見ると、観測者の時計はゆっくりと時を刻む様に見える。観測者にとっては、光源の1秒よりも少ない時間しか経っていない。観測者にとっての1秒間に観測する波の数はνを倍したものとなる。そのため観測者の時計で1秒間に観測する波の数ν’は下記のようになる。上記の(a)と(b)はまったく同じ答えを与えることに注意されたし。このとき、観測者から見ると光源に対する光の速度はc+vになっているように見えますが、相対性理論に拠ると光源から見た光の速度はcであることは何度も注意[2.(7)や2.(8)3.]しました。相対性理論の速度合成則によると観測者から速度vで動く光源に移って見たときの光速度がcのとき、同じ光の伝播を観測者から見るとcで伝播するように見えるのです。別稿「フィゾーが運動媒質中の光速度(随伴係数)を測定した方法(1851年)」4.(2)5.[補足説明]を復習して下さい。そこのエーテル空間を光源と置きかえれば理解していただけると思います。(2)観測者と光源が相対速度vで近づく場合(a)観測者が静止している系から眺める。(つまり静止している観測者に光源が速度vで近づく場合)このときには、光源が速度vで動いているために、光源の時間は遅れて見える。そのため光源の発する光の振動数は本来のν0よりも小さいνとなる。観測者に取ってその小さくなった振動数νの光を発しながら光源は速度vで近づくのです。そのため観測者が観測する振動数ν’は下記のようになる。そのとき観測者に対して光の信号は光速度cで伝播してくることに注意。(b)光源が静止している系から眺める。(つまり静止している光源に観測者が速度vで近づく場合)このとき光源の時間で1秒経つ間に観測者が観測する波の数はνとなる。ところがこのとき、光源が静止している系(光はその系で測ってcで進む)から動いている観測者を見ると、観測者の時計はゆっくりと時を刻む様に見える。観測者にとっては、光源の1秒よりも少ない時間しか経っていない。観測者にとっての1秒間に観測する波の数はνを倍したものとなる。そのため観測者の時計で1秒間に観測する波の数ν’は下記のようになる。上記の(a)と(b)はまったく同じ答えを与えることに注意されたし。(1)と(2)の関係はvを-vで置きかえたものになっていることに注意されたし。これらの事実は、ドップラー効果の現象をいくら詳しく解析しても光源と観測者のどちらが動いていて、どちらが静止しているのかを判定することはできないことを意味します。これこそが、相対性理論が主張していることです。相対性理論以前の古典的ドップラー効果の公式では、音源と観測者の相対的な速度vは同じでも、波を伝える空気に対して音源が動く場合と観測者が動く場合では、νの観測結果は異なったことに注意して下さい。そのため古典論によるとドップラー効果の観測から空気層の存在を知ることができるし、その空気層に対して観測者がどのように動いているのかを知ることができたのです。ところが、相対性理論に拠ると光を伝えるエーテル空間(絶対静止空間)を知ることはできないのです。このとき、さらに、観測者あるいは光源が静止している“それぞれの慣性系に於いて光速度が一定”であるという事実と“時間の相対性”が旨く整合的に関係していることに注意されたし。[補足説明5]相対論的なドップラー効果は、膨張宇宙の発見に於いて、重要な役割を果たした。このとき、波長のずれの相対的な変化を“赤方偏移”zといいで表す。ここではφをのように定めている。そのとき、膨張宇宙論では遠くの銀河は常に天の川銀河からの視線方向に遠ざかっているためとなります。そのため、前述の式よりが成り立つ。この式を用いれば“赤方偏移”zの観測値から銀河の遠ざかる速度vが計算できる。[補足説明4]で注意したようにドップラー効果の赤方偏移には、銀河が運動していることに伴う時間の遅れの効果が含まれている。遠方銀河の時間は遅れて見えることに注意されたし。そのとき何度も注意したように、遠方銀河が速度vで動いているのか、天の川銀河が速度-vで動いているのかの違いは判別できません。[補足説明6]“宇宙の背景輻射”は観測方向によってドップラー遷移することが知られている。この事を用いると、背景輻射の中での太陽の運動方向とその速度を知ることができる。そのことの解りやすい説明が江沢先生の文献207§2.3.6に在りますので別稿で引用しておきます。実際、スムート(Smoot)、ゴレンシュタイン(Gorenstein)、マラー(Muller)は観測によって、太陽は背景輻射に対して390±60km/sの速さで獅子座の局部銀河団に向かって動いている事を確かめた。1977年https://ned.ipac.caltech.edu/level5/March03/Weiss/Weiss_contents.htmlこの太陽の速度(地球から観測する場合には、太陽のまわりを公転する地球の速度30km/sも考慮する)を打ち消す速度で走る検出器から見れば、背景輻射は1/3000の精度で等方的で、温度2.7Kのプランク分布によく合うことが確かめられた。1989年に打ち上げられた衛星COBEは、宇宙マイクロ波背景放射の赤方変位量の双極子成分をさらに精度良く観測して、ビッグバンに起源を持つ宇宙マイクロ波背景放射に対して太陽系は速度370km/sで、銀河系は速度550km/sで動いていることを明らかにした。2010年刊より)これは一見すると、絶対静止空間(エーテル空間)が検出できて相対性原理に矛盾するように見えますがそんなことはありません。それは以下の例を考察すれば了解できます。下図の様に光源AとBが一定距離だけ離れて静止して、それぞれが原子中電子のエネルギー順位間遷移に伴って放出される特定振動数の光を発しているとする。その中間にいる観測者がAの方に速度vで動いている場合と速度vでBの方に動いている場合では、それぞれの光源から来る光のドップラー遷移の様子は異なる。観測者が静止していて、光源AとBが一緒にAからBの方向、あるいはBからAの方向に速度vで動く場合でもまったく同様な結果を与えます。観測者がA、Bに対して相対的にAの方へ動くのかBの方へ動くのかは検出できるが、観測者が動いているのか、あるいはA、Bが動いているのかの判別はできないのです。光源AとBが背景輻射の場だと考えれば同じことです。そのとき、相対論以前の古典的なドップラー効果の理論では、観測者が動く場合と光源が動く場合では、ドップラー効果の現れ方が異なります。そのためどちらが動いているかが判別できる(つまり絶対静止のエーテル空間が識別できる)のでした。そのこととの違いに注意して下さい。前項で求めた(a,b,c)→(a’,b’,c’)は静止系Kから運動系kへ移ったときに光(電気力学的波)の進行方向が変化する事を表している。これは波を動きながら眺めたときに波がやってくる方向が変化して見える“光行差”の現象を表している。そのことに関してアインシュタインは以下の様に説明している。[補足説明1]アインシュタンイの言う角度φ’は下右図の値です。下図左図のφが前項ドップラー効果で言うφです。上記の式は3.(2)1.[補足説明5]で求めたの関係式において、a=cosφ、a’=cosφ’と置けば直ちに求まる。これは静止系Kに静止する光源を運動系kから見た場合に光りがやってくる方向が見かけ上変化するという“光行差”の現象を表している。このとき、φ=90°(つまりcosφ=0)の場合にはとなる。[補足説明2]このとき、この式をcosφについて解くととなるが、これは最初の式のvを-vで置きかえてφとφ’を入れ替えた式になっていることに注意されたし。これはの関係を意味しています。光行差の現象は完全に“相対的”で、光行差の現象からは絶対静止空間(そこをエーテルは満たす)を検出することはできないのです。これが別稿「マイケルソン・モーリーの実験」1.(2)で述べたレーナルトの批判に対する答えです。Maxwell方程式、およびそれから導かれる波動方程式はローレンツ変換に対して不変だから、光行差の現象が絶対静止空間(そこをエーテルが満たしており、光速度はそのエーテル中を一定速度で伝わる)を見つける方法を与えることは無いということです。このことは2.(9)[補足説明1]ですでに説明しました。[補足説明3]ちなみに、古典的なエーテル理論(つまりエーテルが存在する絶対静止の空間があり、地球はそれに対して動いている)を厳密に解く。別稿で説明した図のθとθ-qをここでの記号φとφ’に変更すると下記の式が得られる。これはガリレオ変換で得られる式であることに注意して下さい。実際にガリレオ変換を用いるととなります。このとき注意して欲しいことは、ガリレオ逆変換を用いて得られる上記右側の式は、一見すると左側のガリレオ変換から得られる式のvを-vに置き換え、φとφ’を入れ替えた式になっている様に見えます。x’y’)平面内に限られるときにはとなります。いずれにしてもu’≠cとなり、等しくないのです。Maxwell方程式、およびそれから導かれる波動方程式はガリレオ変換に対して不変ではないから、光源が動いて観測者が静止しているとみなすと同じ結論が得られません。絶対静止空間を見つける方法を与える。光行差の現象を極めて精度良く観測できて、観測値が厳密にこの式に従って角度変化するのなら絶対静止空間を検出することができます。方程式系が不変かどうかは、真に正しいローレン変換に対してであって、残念ながらガリレオ変換に対してではないのです。[補足説明4]別稿「ブラッドリーが光行差を見つけた方法」1.(2)[補足説明]で、次のように説明しました。「今日、地球は太陽のまわりの公転運動のみならず、太陽系の銀河回転運動に伴う速度や、銀河自体の移動に伴う速度ベクトルが重なった運動をしていることが解っています。観測する恒星も銀河系内を高速で移動しています。そのため、光行差を観測する1つの星に対して地球は単純な円運動をしているわけではありません。そのとき、上記の様に光行差の観測値が地球の公転運動(つまり問題の恒星と地球の相対的な運動)にのみ関係している様に見えるというのはとても不思議な事です。起源」p177~178によると、19世紀に入ると恒星位置をまとめた星表の編纂において、その位置精度を高める補正因子として、大気による屈折の影響はもちろんのこと、[光行差]、[宇宙空間内における太陽系の運動]、[恒星自身の固有運動]が重要であることが、明確に認識される様に成った事が紹介されている。三者相互の間の運動が存在するときの光の伝播の仕方を明らかにすることは極めて重要な問題となっていたのです。ここでの議論を読まれれば上記の疑問が相対性理論で完璧に解決されることが解ります。光行差に伴う恒星の見え方の変化は、恒星と地球の相対的な運動のみに関係していて、恒星や地球が銀河系や宇宙空間の中でどのような動きをしているかにはまったく関係しないのです。恒星と地球がやり取りする光のやり取りの様子は恒星と地球の相対的な関係のみに関係しているのです。これはとても不思議ですが、光はその様な性質をもっているのです。enough)”と言った理由です。[補足説明5]別稿「マイケルソン・モーリーの実験」1.(2)[補足説明2]で、つきのように説明しました。立場に立ってエアリーの実験を眺めれば、この結論は当然である。いま望遠鏡を恒星の見かけの位置の方向に向ければ、その恒星から発射された光は望遠鏡の方向に平行に鏡筒内に入射してくる。鏡筒を水で満たしていても、光はレンズに垂直(従って水面にも垂直)に入射するのだから、光は鏡筒の内部に水が無かったときと同じ方向に進む。エアリーの実験の観測者(地球)の静止系からながめれば、それは“入射角が0の入射光の屈折角は0である”という周知の事実を表しているにすぎない。・・・』と説明される。」パウリの説明は難解ですが、以下の事を言っている。別稿で引用したBornの文献202の第IV章§10で説明されている様に、“エーテル理論では、エーテルに対して移動する観測者にとって光線の方向(つまり波のエネルギーが伝播する方向)は波面が伝播する方向(つまり波面に垂直な方向)とは必ずしも一致しない。”これは古いエーテル理論が抱える大きな疑問点でした。ところがこの節で見てきたように、相対性理論では、全ての慣性系の観測者にとってエネルギーが移動する方向である光線の方向は波面に垂直となる。従って上記の疑問点は完璧に解決される(ここはBornの文献202のp298を参照)。k系での波動解についても成り立つからことから言えることです。アインシュタインが“光行差を相対性理論が完璧に説明できた事が、その理論の正当性を確信する上で充分でした”と言った理由だと思います。[補足説明6]最後に、相対性理論の光行差公式と別稿「ブラッドリーが光行差を見つけた方法」1.(2)で説明した古典的なエーテル理論による公式との関係を補足します。相対論的光行差の公式として、前記のアインシュタインの求めた形ではなくて、2.(9)で説明したSommerfeldの形を用いる(これが前記の公式と等価であることは2.(9)[補足説明2]で証明した)。この式でv/cの二次の項を省略すれば、3.(2)3.[補足説明3]で求めたエーテル理論(ガリレオ変換)による厳密解となります。v≪cの場合には、相対論(ローレンツ変換)とエーテル理論(ガリレオ変換)との差はほとんどなくなります。そのため、別稿で説明した古典論の結果が近似解としてそのまま得られます。記号φ、φ’とそこでの記号θ、θ-qとの対応関係に注意して下さい。4.光の振幅の変化[補足説明1]K系における電気力(電場)の振幅をAとすればで表される。同様にk系における振幅をA’とすればとなる。3.(2)1.で得た関係式を用いるとk系における値をK系における値と関係づけることができる。磁気力(磁場)の振幅に付いても同じ関係が成り立つことは、同様にして証明できる。[補足説明2]観測者が光源から遠ざかる場合はφ=0°だからa=cosφ=cos0°=1となるので、前記の式はとなる。そのため、観測者が遠ざかる速度vが光速cに近づくと、A’→0なり、光源は限りなく暗くなる様に見える。観測者が光源に近づく場合はφ=180°だからa=cosφ=cos180°=-1となるので、前記の式はとなる。このとき前記のvを-vに置きかえれば後記の式となり、この場合も“相対性原理”を完璧に満たしていることに注意されたし。そのため、近づく速度vが光速cに近づくと、A’→∞となり、光源は無限の強度で輝く様に見える。これらの予言は古典論からは決して出てこないもので、相対性理論の驚くべき成果です。このとき、観測者に向かって伝播してくる光の速度は、光源に対する観測者の運動状態によらず常に一定値cであることに注意して下さい。この事を考慮すると、“エネルギー保存則”に矛盾しないためには上記の様にならなければならい。実際、光源が遠ざかる場合と近づく場合では、その光源から単位時間に観測者に届くエネルギー量に関して上記の関係が成り立たないとおかしな事になります。このことは、膨張宇宙の発見と相まって、宇宙論における大問題であった“オルバースのパラドックス”を完璧に解決する。光線のエネルギーと輻射圧1.光のエネルギーの変換則[補足説明1]光線の束が持つエネルギー密度(単位体積当たりの光のエネルギー)は別稿「光の圧力(輻射圧)」2.(5)1.でとなることを説明した。これを、この稿で用いている有理化されていないGauss単位系(別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」5.(3)3.の対応表を参照)で表すととなります。[補足説明2](a,b,c)を静止系Kにおける光の法線方向の単位ベクトルとすると、光速度cで動いている球体表面はで表される。この球面を運動系kから眺めるとどのように表されるかを調べる。K系からk系へ変換するのにローレンツ逆変換を用いるのであるが、計算を簡単にするためにt’=0における形を調べるととなる。これは一つの楕円体曲面を表す。[補足説明3]文中に記されている楕円体の体積は以下のようにして求まる。二次元楕円の場合(別稿「質点の二次元運動」2.(3)(b)参照)と同様に、適当な座標変換(x’,y’,z’)→(x”,y”,z”)をして、楕円体曲面の標準形に変換する。この方法は理系大学に進学して、『代数幾何学』を履修すると全員習いますので、適当な『代数幾何学』の教科書を参照されて下さい。実際の計算はかなり面倒ですが、その結果はとなります。標準形に直すことができれば楕円体の体積公式に上記の関係式を適用すれば良い。球体Sの体積はとなる。これらを用いれば文中のが求まる。[補足説明4]この文節の最後で、アインシュシタインはエネルギーの変換則が、すでに求めた振動数の変換則と完全に同じである事を注意している。このことに関してパイスの文献502(p186~187)7-5の解説は興味深い。これは、相対性理論が(アインシュタインがこの論文の直前に発表した)“光量子仮説”や(プランクが1900年に発表した)“エネルギー量子仮説”におけるE=hν(hは普遍定数)と完全な整合性を持っていることを示している。『相対性理論に従って現在の座標系から運動する座標系に移されていくとき、長さ・時間・エネルギー・振動数などのあらゆる量が変わるのだが、“プランクの作用量子h”は不変量のままである。アインシュタインの論文を注意深く読んだプランクは、この事に強く引きつけられたに違いない。この当たりについてパイスは文献502p191~192で次のように説明している上記文中のラウエの[L1]論文はこちらを参照、プランクの[P6]論文はこちらを参照。ルイスとトルマンの[L5]論文についてはこちらを参照。[補足説明5]ここで得られた式は静止系Kから見た“光線塊”の持つエネルギーEは運動系K’から見るとE’の様になるということを言っている。同じ“光線塊”の持つエネルギーでも、それを観測する慣性系に拠って異なると言っている。これは古典論からいくと不思議なことですが、相対性理論からいくと当たり前で、そうでなければなりません。相対性理論の大原理は光の速度はどの慣性系から見ても常に一定値cだからです。K系で見た“光線塊”がx軸に沿って速度cで移動しているとします。今はK’系はK系のx軸方向に速度vで動いているとしていますので、上記式中の光線の進行方向とx軸との角度を表すφは0でcosφ=1となり、EとE’の差はφ=0のとき一番大きくなります。“光線塊”のエネルギーが観測する慣性系に拠ってことなることは、次の事実を考えたら明らかです。同じ“光線塊”をK系とK’系で観測します。そのときK’系に静止しているx’軸に垂直な面(K系では当然x軸の正方向へ速度vで移動する面となる)を考える。その同じ面を単位時間に通過するエネルギーはK系から見ても、K’系から見ても同じでなければなりません。同じ事象をK系の時計で計った時間とK’系の時計で測った時間は異なりますから正確に論じるにはそのことも考慮しなければなりませんが。そのとき“光線塊”の速度はK系でもK’系でも同じ速度cです。ところが透過する面はK系では遠ざかり、K’系では静止しています。光線塊の移動速度が両系で同じcで在ることを考慮すると、この事はまさに“光線塊”のエネルギーがK系で見た場合の方がK’系で見た場合よりも大きくなければならない事を言っています。このことは3.(2)4.[補足説明2]すでに注意したことです。K系から見た“光線塊”がx軸の正方向へ速度vで遠ざかっている同じ面を同じエネルギー量で通過するためには、光線塊のエネルギー量は当然K’系で見た場合より多くなければならないのです。このように考えれば、φ→90°(つまりcosφ→0)となると、E’→E(1-v2/c2)-0.5へ近づく理由も明らかです。ここで、E’→Eでは無いのはもちろん時間の相対性に因ります。“エネルギー”、“振動数”、“振幅”などがローレンツ変換に対して不変ではないのは、“光の速度がどの慣性系から見ても同じ速度cで伝わる”としたからです。エネルギー保存則がどの慣性系から見ても成り立つためにはそうでなければならないのです。“光速不変の原理”は、常識では理解できませんが、これこそが相対性理論を理解する鍵です。最初に説明した、あるいは別稿でも説明する、Bornの文章の『この中間で生ずることは純粋に仮想的であり、あるいはもっと正確に表現すれば、任意的である。このことは、理論家はその判断にしたがって、位相、場あるいは類似の量を、物質について観測される変化に簡単明瞭な関係をうちたてるのに役立つという制限のもとで、真空に賦与することができることを意味する。』、あるいはSommerfeldの文章の『我々の目は“光波をみる”と学校で教えられたが、それは迷信である。われわれの目がみるのは、入射光量子の大きさhνに従ってわれわれの視覚的印象の多色の世界を生ずる網膜での光電過程である。』をもう一度噛み締めて下さい。いった事柄は光速不変の原理からいくらでも出てきます。アインシュタインは相対性理論が予言するこれらの事実に気づき・驚いたに違いない。彼は、時間の相対性(ローレンツ変換)を発見した後の論文発表までの5週間に、おそらく寝る間も惜しんで、それらの驚嘆すべき事柄の確認計算を実行したと思われます。この事から“質量”という属性もローレンツ変換に対して不変では無いことが証明できます。