目次付フレーム版アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)アインシュタインの1905年論文「運動物体の電気力学について」をもとにして、特殊相対性理論を説明します。準備としてBorn文献202の第V章をお読み下さい。私が長いあいだ相対性理論の“光速不変の原理”を納得できなかったのはここに書かれている事柄をあらかじめ学んでおかなかったからだと思っています。相対性理論を理解するにはこの引用文の最後でBornが述べている認識に到達することが大切なのではないでしょうか。この第V章はかなり長いのですが、どうぞ我慢してお読み下さい。本稿を読まれた後にEinstein文献108をお読みになることを勧めます。この本の前書きに述べられている様に、読み通すにはかなりの忍耐力と意志力が必要ですが読む価値のある本です。前記Bornの文献に倣って、この稿では電磁気学を全てGauss単位系で論じます。1.アインシュタインの源論文がGauss単位系で説明されているのでアインシュタイン論文と比較しやすい。2.Gauss単位系では場に関する量が全て同じ次元となり電気と磁気の双対性が良く、方程式の対称性が良くなる。3.アインシュタインが相対性理論を構築する際に拠り所としたローレンツ電子論の記述に最も適している。ガウス単位・MKSA有理化単位の全てに通じおくべき。単位系については別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」をご覧下さい。1.導入アインシュタインは最初に“物理法則に対する相対性原理”と“光速度一定の原理”を掲げて、話を始めます。観測するある座標系(K系とする)とそれに対して一定速度vで移動している座標系(k系orK’系とする)を考える。これらの座標系の様に、相手に対して互いに一定速度で動いている座標系を、“慣性系”という言う。それら互いに慣性系の関係にある座標系の座標値を用いて表した各座標系に於ける力学の運動方程式(ニュートンの“運動の第二法則”や“運動の第三法則(作用反作用の法則))”は、全て同じ形で表されることが知られている。これはガリレオ・ニュートンの相対性原理として知られているものですが、その詳細は文献205のp24~28をご覧下さい。このように力学現象を表す法則が座標系の選び方によらず全て同じ形式で表されることを“自然法則の相対性原理”という。ここでは互いに一定速度で動いている座標系に対してのもので、互いに加速度運動をしている座標系間についてのものではない。互いに等速度で動いている座標系に付いての相対性なので“特殊”相対性原理と言うことにする。この事は、力学的な現象をいくら詳しく調べてみても、自分たちが互いに等速度で動いている座標系の中のどの座標系に存在するのかを知ることができない事を意味する。我々は絶対的な空間を直接認識する何らの手段(少なくとも力学的な手段の中には)を持っていないことになる。アインシュタインは、その様に絶対的な空間を知ることができないという考え方に導かれて相対性理論を打ち立てた。そのとき大きな影響を受けたのがマッハの「力学」であったようです。アインシュタインはマッハの死去に際しての追悼文で、特に第II章§6と§7に述べられた考察を見ることを勧めている[Einstein,Phys.Zeits.,17,p102,1916年]。これらの節はマッハ「力学」の中でも特に有名なところなので別稿にて引用しておきます。この当たりはアインシュタインの自伝ノート[文献106]もご覧下さい。[補足説明]ニュートンの力学方程式はガリレオ変換に対しては、“物理法則の相対性原理”を満たしますが、後で説明する真に正しいローレンツ変換に対しては満たしません。マックスウェルの電気力学方程式はガリレオ変換に対しては“物理法則の相対性原理”を満たしませんが、ローレンツ変換に対しては満たします。このことは後に証明される。アインシュタインの言う“物理法則の相対性原理”を満たす真に正しい力学方程式や電気力学方程式がどのような形になるのかは、最初はまったく解っていないことに注意して下さい。アインシュタインは深い哲学的考察(文献302のランダウの導入部も参照)からこの原理が成り立つべきだと確信していたのです。この事に関してアインシュタイン自身は、後に1917年の文献108第5章で次のように述べている。(2)光速不変原理このような絶対的な空間というのが、物理学者や天文学者に強く意識されるようになったのは、19世紀に発達した光学や電磁気学が深く関わっています。電磁波や(光が電磁波の一種で在ると言う認識が確立して以降の)光の波が何を伝わるのかが重要な研究対象になってきます。その電磁波を伝える空間こそが絶対的な空間であり、光はその空間に対して等速度で伝わると考えていました。光や電磁波の性質を調べればそれを伝える絶対的な空間(光・電磁波はその空間を占めるエーテルを一定速度で伝わる)が解るに違いないと考えていた。多くの実験・観測が行われた。19世紀後半は、ニュートンの力学法則(運動方程式)とは別の、マクスウェルの電磁気学法則(電荷・電流と電場・磁場で記述される方程式系)が知られてきて、電磁気学的な現象はこの方程式系で正確に記述されるということが解ってきた。それはまさに、電磁場の波動である電波が発見され、光も電磁場の波動そのものであるという認識が確立した時代です。以下は文献205の第2章§2(p28~29)より引用。そのときアインシュタインは次のように考えた。(1)“物理法則は、互いに等速並進運動をしている全ての慣性系に対して同一の形式であるべきである。この第一の要請は前節で述べた、ガリレイ・ニュートンの相対性原理となんら変わるところが無いようにみえるが、彼はこの要請が力学的な現象ばかりではなく、電磁気現象や、その他全ての物理現象の法則に対しても成り立つべきだとした。これは革新的な考え方で、彼がこの考え方に到達するに当たってマッハの「力学」は大きな影響を与えたようです。その様に相対性原理を全ての物理現象に広げれば、絶対静止という特別な空間を占めるエーテルなどは考える必要がなくなり、絶対空間(エーテル)の存在を仮定して作り上げようとしていた多くの物理理論が抱えていた困難や疑問を解決できるだろうと予想した。この第一の要請を今後“アインシュタインの特殊相対性原理”と呼ぶことにする。特殊という言葉が付いているのは、この要請が互いに等速並進運動をする慣性系間のみに限られているからです。アインシュタインは第二の要請をします。それは、(2)“光は光源と観測者の相対速度に関係なく、全ての観測者に対して同一の値を持っている。この要請はなかなか解りにくいものですが、どのような慣性系に静止している観測者にとっても光の速度は光源の速度に関係なく同じ速度で進むというものです。これは、v/cの一次の精度において、あるいは二次の精度(マイケルソン・モーリーの実験)において繰り返された多くの光速度測定実験に於いて、観測者の移動速度に拠って光速度が変化する事を示す証拠が何も得られなかったという実験・観測結果をそのまま要請したものです。今後これを“光速度不変の原理”と呼ぶことにしましょう。[補足説明1]“光速度不変の原理”を納得・理解するのは難しい。確かに、最も素朴な形での光速度不変の原理はマックスウェルの電気力学方程式から受け継いでいます。その中に現れる不変定数cは、その電気力学方程式から導かれる波動方程式中の位相速度なのだから(3.(2)1.[補足説明1]を参照)。マックスウェルの電気力学方程式が前記の“物理法則の相対性原理”を満たしているのなら、“光速度不変の原理”は当然満たされていることになります。そのため、さらに光速度不変の原理を導入するのは二重の要請の様に見えます。マックスウェルの電磁場方程式はガリレオ変換に対する相対性原理を満たしてはいません。光速度が不変なのは、絶対的に静止した空間(エーテルはそこを満たしている)に対してのもので、それに対して慣性運動をしている任意の座標系に関して成り立つとは思っていなかったのです。エーテル空間を検出する多くの試みが繰り返された。アインシュタインの言う“光速度不変の原理”とは任意の慣性系から見た光速度に対して成り立つものです。“光速度不変の原理”はマックスウェルの電気力学方程式を含めた任意の物理法則に関して成り立つ相対性原理とは独立の要請であることに注意して下さい。光の速度が不変であることは、マックスウェルの電気力学方程式が正しいかどうかなどとは次元の違うもっと根源的な原理なのです。実際、ガリレオ変換に対して完全に相対性原理を満たしているニュートンの力学方程式は、ローレンツ変換に対してはv≪cの場合に近似的に相対性原理をみたしているに過ぎません。マックスウェルの電気力学方程式が相対性原理を完全に満たしているのかどうかは(ローレンツ変換がまだ発見されていない段階では)解らないことです。“物理法則の相対性原理”が根源的な要請だったと同じように、“光速度不変の原理”もそれと独立な根源的な要請なのです。アインシュタイン自身は後に1917年の文献108第7章で次のように述べている。後の1952年に、文献108の最終版に付け加えた附録5で次のように述べている。前記の二つの原理は、別々に考えると真であるように見えるのですが、この二つの要請は互いに矛盾する結果を導きます。それは時間に関して考察してみれば解ります。以下は文献205のp30~31より引用。この例はアインシュタインが最初に取り上げたもので、相対性理論の導入として特に有名なものです。繰り返しになりますが、文献212の佐藤先生の解説が解りやすいので引用しておきます。この説明の中で、光の速度は光源の速度に関係しない事に特に注意して下さい。最初のボールの例では二つのボールを打ち出す車内装置の速度にボールの速度は依存しています。そのように、ボールの速度がボールを打ち出す装置の速度(つまり電車の速度)に依存すれば、地上の人から見たボールの速度は電車の進行方向が速く、その逆方向が遅くなります。そのためボールは電車内の人から見ても、地上の人から見ても電車の前後の壁に同時に衝突します。[補足説明2]アインシュタインはここで説明した光速度が関係したときの矛盾に深く悩みます。一年近く悶々とした思考を続けます。この“同時性の矛盾”を解決する事こそが全ての鍵でした。その時の事情を文献107の京都講演で語っています。その中の友人との議論(p82)をご覧下さい。ここは引用されることが多い有名な箇所です。議論相手の友人はミケーレ・ベッソーで、1905年の論文でただ一人感謝を捧げている人です。このことからも時間の同時性に付いての考察がいかに重要だったかが読み取れます。ついでに補足しますと、文献503の中(p24)でゼーリッヒの“マッハ『力学』を知ったのはいつか”という質問に答えて、ローマ大学からスイス連邦工科大学の機械工学部に移ってきていた同窓のミケーレ・アンジェロ・ベッソー(彼はアンシュタインより6歳年長)がこの革命的な著作の中に物理学の核心を感じとり、たぶん1897年にアインシュタインの注意をこの本に向けさせたと語ったことが紹介されています。そのとき「この本は、基本概念および基礎法則に対する批判的態度のゆえに、のちに読んだ『熱学の諸原理』などよりもはるかに深く、はるかに永続的な影響をわたしに与えてくれた。話がベッソーのことに及んだとき、アインシュタインは「ヨーロッパ中に彼以上の共鳴板を見いだすことはできなかったであろう。」と賞賛した事を記している(p59)。[補足説明3]“光速度不変の原理”と“相対性原理”の二つが特殊相対性理論の中でどのような位置を占めるかを理解するのは難しい。すべてを学んだ後でないと解らないのですが、取りあえず以下の様に考えて下さい。『ニュートンの運動方程式』はガリレオ変換に対して不変ですから、その意味において、“相対性原理”を満たした物理法則です。『Maxellの電磁場方程式』はローレンツ変換に対して不変ですから、その意味に於いて“相対性原理”を満たした物理法則です。物理法則は“相対性原理”を満たさねば成らないと言う意味に於いては両方の物理法則とも満たしてします。問題はガリレオ変換が正しいのか、ローレンツ変換が正しいのかと言うことです。正しいのはローレンツ変換ですが、このローレンツ変換は何から導かれるかと言いますと、“光速度不変の原理”から導かれます(ただし、このとき“相対性原理”を援用しています)。これから、時間の相対性、長さの相対性が導かれるのですから“光速度不変の原理”は特殊相対性理論に於いて最も根本的な原理です。“光速度不変の原理”は“相対性原理”が依って立つ変換法則を導くときに利用する原理です。このローレンツ変換が導かれ確立したとき、“相対性原理”は元の『古典的なNewtonの運動方程式』はその原理を満たしていないことを明らかにします。そのため、ローレンツ変換を満たすように運動方程式を修正しなければならないのですが、その修正の仕方を教えてくれる指導原理が“相対性原理”です。その修正された正しい『相対論的な力学運動法則』を見つけるために“相対性原理”が働いて利用されている。Maxwell方程式もそのままではローレンツ変換に対する“相対性原理”を満たしません。Maxwell方程式がローレンツ変換に対して不変であるべきであると言う“相対性原理”を満たすためには、アインシュタインが導いたように電磁場もローレンツ変換共変の変換則で変換されねばなりません。電磁場もその様に変換されねばならないと言うことを導く所に“相対性原理”が働いて利用されている。“光速度不変の原理”は根本的な大原理で、それから導かれるローレンツ変換を様々な物理法則に適用して真に正しい物理法則を見つける所に“相対性原理”が働いている。これが特殊紙相対性理論に於いて“光速度不変の原理”と“相対性原理”が占める位置とその働きではないでしょうか。その二つの原理に対して、“相対論的な運動方程式”、“Maxwell方程式”、さらに電磁場中の荷電粒子に対する“ローレンツの力の法則”、等々・・・は物理法則(原理の一種)としては一段階低いレベルの法則・原理です。“相対論的な運動方程式、Maxwell方程式、ローレンツの力の法則、等々・・・”は、それぞれ限られた分野の限定的な現象に対してのみ有効な法則でしかありません。補足しますと、“物理学における原理”というものは、それが原理であることが先験的に解るものでは無く、いろいろな自然現象を観察し考察する内にそれが原理ではないかと、少しずつ解ってきて、それがいつとはなく原理として確立していくようなものだと思います。“光速度不変の原理”と“相対性原理”の関係も、それが互いに独立であるのか互いに依存しているのかが先験的に問題となる様なものでは無くて、互いに依存しており微妙にその役割・働き所も違うが確かに原理といって良い様なものであることが後から解る様なものでしょう。実際のところ、特殊相対性理論の元になるローレンツ変換は光速度不変の原理と相対性原理から導かれたものですから。時間の同時の概念は極めて解りにくい所なので、しつこい様ですが文献202第VI章§1(p221~224)からBornの説明を引用しておきます。前節で説明したように“絶対的な同時”の概念は意味を成さないのですが、“相対的な同時”は定義することができるし意味を持ちます。アインシュタインは以下のように“相対的な同時”を決めた。ここは文献205第2章§3(p31~33)の引用です。次に、アインシュタインは、時間のみならず長さも相対的なものだと説明します。このとき重要なのは、長さの相対性は時間の相対性と深く関係していることです。これは別稿「マイケルソン・モーリーの実験(1987年)」5.[補足説明3]で注意した、“ローレンツの収縮仮説が整合的に成り立つためには局所時が必要だった。”に関係する事柄です。ここの所も解りにくいところですが、文献212の佐藤先生の説明が秀逸ですので引用しておきます。佐藤先生は長さの相対性の説明に先立って時間の短縮の話から始められますが、ここに本質があります。上記の計算式はやがて導きます。“光時計”について文献208の説明を引用してもう少し補足しておきます。長さの縮みの計算式もやがで導きます。ここでは文献208の説明を引用してもう少し補足しておきます。この中で説明されている動いている物体の長さの測り方に注意して下さい。このようにして測らねばならないことに本質があります。この例を検討されれば、動いている物体の長さが縮むのは時間の相対性に関係することがお解りになると思います。[補足説明]以上で導入は終わりですが、ランダウの文献302導入部も興味深いので引用しておきます。最後にもう一度以下の事を強調したい。相対性理論が出て来る前の状況というのは、様々な物理学分野(特に電磁気学や光が関係する現象)に於いて理論的に旨く説明できない実験・観測結果がつぎづぎと集積していた時代でした。その矛盾を解決するための様々な模索が多くの人々に依って試みられていた。そのため相対性理論はやがて誰かによって発見されていたでしょう。そんな状況下で、アインシュタインが偉大だったのは、非常に一般的な哲学原理に基づいて時間と空間のとらえ方を革命的に変え、それまでに存在していた矛盾の全てを一気に解決してしまったことです。それ以後の物理学者に“物理学は相対性理論の元でのみ辻褄の合う理論が構築できる”を確信させたことです。この事についてホルトンは、文献510の論文(p81)で、下記引用のウィーンの言葉を紹介している。“・・・鋭い感覚をもつ物理学者のW.Wienは、はじめは相対論に同意できぬことを公表していたが、1909年になってようやく納得した。それも、明快な証拠が実験によって得られたからではなく、審美的な理由だった。次のようなWienの言葉はEinsteinなら高く買うにちがいない。『しかしながら、なによりもこの理論の正しさを訴えているのは、その内的な首尾一貫性である。これによって、自己矛盾を含まず、物理現象の全体に適用できるような基礎をおくことが可能となった。そのさい慣用の諸概念は変更を受けるのだが。ed.,Leipzig,B.G.Teubner1909年、p32)』・・・”そのウィーンが1912年にはアインシュタインとローレンツをノーベル賞に推薦(Paisの文献502p194~195参照)するのですから、かなり短い期間にこの理論の持つ威力が物理学者の間に浸透していったことが解る。このWienの認識が当時の有力な物理学者の平均的な状況であったのだろう。この当たりについてのインフェルトの説明。注意すべきは、Bornが文献202で、“一般にアインシュタインの名のみが相対性理論に結びつけられているのはアインシュタインの理論が発表以後も引き続いて発展を続けたためである。出発点に過ぎなかったのである。”と述べていることです。学ぶ必要があるのでしょう。実際、文献107や文献502などによると、アインシュタインは1907年頃にはすでに一般相対性理論の構築を模索し始めているようです。この当たりについてのインフェルトの説明。2.相対論的運動学ここから、いよいよ相対性理論(1905年論文「運動物体の電気力学について」)の説明に入ります。以下の訳文は文献103より引用した。原論文では光速をVで表しているが、ここではcに変更されています。挿入されている[実線で四角に囲った注]は内山先生による注記です。最初に前書き、および§1、§2の部分を引用します。ここは、簡潔な文体で相対性理論の本質を的確かつ見事に表現しており、歴史に残る名文です。名文ですので佐藤文隆先生の訳文と解説もお読み下さい。1.(1)[補足説明]で注意を喚起したものです。アインシュタインは下記の二つの場合を取り上げて説明している。最初の例は、“ファラデーの電磁誘導の法則”で説明できる。導線の位置の磁場が時間的に変化するために、その導線部分に誘導電場が生じて、導線中の電荷はその電場によって動かされる。二番目の例は、時間的に変化しない磁場中を導線が動き、その導線中の電荷に対して“ローレンツの力の法則”F=q/c[v×H](磁場をHで表したGauss単位系表示)による力が働き、導線中の電荷が動かされる。説明しましたようにとなる。この稿で利用しているGauss単位系では、上記式でε0=μ0=1、γ=cとなります。置きかえることになります。上で説明した二つの状況のどちらの導線中の電荷に対しても(ほぼ)全く同じ効果が生じるのですが、それを見る座標系によってMaxwell方程式系は全く異なった説明を与える。最初の例はファラデーの電磁誘導の法則、二番目の例はローレンツの力の法則に拠ることになる。アインシュタインはこの事に深く悩みますが、後で説明するようにK系で見える電場E=(Ex,Ey,Ez)と磁場H=(Hx,Hy,Hz)は、それに対して速度vで動くK’系(アインシュタインはk系と言っている)から見ると以下の変換式にしたがった電場E=(Ex’,Ey’,Ez’)と磁場H=(Hx’,Hy’,Hz’)として観測される事を相対性理論によって導きます。そのとき、K系でのMaxwell方程式を、後に説明する“ローレンツ変換”によってK’系での方程式に変換したとき、電場と磁場を上記の変換式にしたがって置き換えると、Maxwell方程式が全く同じ形になることに気付きます。して、電磁場に対するMawell方程式が相対性原理を満たしていることを確かめて、上記の現象を全て辻褄が合う形で説明することができたのです。この事についての詳細は3.電気学(1)をご覧下さい。[補足説明1-1](2019年10月30日追記)誤解の無いように補足しておきます。j’)が完全に等しいわけではありません。j’)は導線の帯電電荷密度(K系から見た場合のρとK’系から見た場合のρ’は少し異なります)と共にローレンツ変換によって互いに結びつけられます。互いに少し異なりますので“全く同じ効果が生じる”と言う言い方は語弊があります。“ほぼ同じ効果が生じる”と書くべきかも知れません。j’)や帯電電荷密度(ρとρ’はほとんどゼロと見なせる)の違いはほとんど有りません。その意味に於いて、両系で“全く同じ効果が生じる”と言っても良いということです。この当たりの詳細については別稿「電磁場の相対性」5.[補足説明2]をご覧下さい。そこの試験電荷qが上記図中の回路内の伝導電子と解釈されて下さい。その伝導電子が図中の力を受けて動き出して電流となり、それが再び「電磁場の相対性」5.[補足説明2]に説明する変換式で互いに結びつけられると考ます。[補足説明1-2](2019年11月12日追記)上記2つの見方を特殊相対性理論を用いて正しく関係付けるのはかなり難しいです。そのことについては別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」をご覧下さい。[補足説明2]上記Gauss単位系の方程式系に具体的な数値を代入するときの注意事項を補足する。ガウス単位系においては、電気的な量の定義は電荷に関するクーロンの法則による電気量qの定義から出発する。磁気的な量の定義としては今日では磁荷のクーロンの法則よりも、電流が生み出す電磁気力を磁気力の基本とする立場を取る。そのため磁気的な量も電気的な電流Iを定義することから出発する。それが電磁単位系の電流の定義である。そのとき電流は電気量を時間微分したものだから、そのままでは電気量という物理量に対して二通りの定義が存在することになってしまう。そのことを避けるために電磁単位で測った電流密度値に光速を掛けてから速度で割って静電単位の電気密度の定義に一致させる。そのため、ガウス単位系に於いて磁気的な量を定義するとき、磁荷の磁気力ではなくて、電流が生み出す電磁気力を磁気力の基本とする立場をとれば、ガウス単位系における電流や電流密度は電気的な量であるにもかかわらず電磁単位系のそれらと同じ次元と数値を持つことになる。MKSA有理化単位系からガウス単位系へ電流や電流密度の数値を変換するときの変換係数も電磁単位系の対応するものと同じになる。電磁単位の1単位の電気量は静電単位の1単位の電気量のc倍だから、測定数値としては電磁単位で測った値の方が1/c倍小さい。そのためc倍しておかなければいけない。この当たりはとても混乱するところですが、ガウス単位系で実際の数値を取り扱うときには注意しなければならない。ガウス単位系の電流単位も静電単位で定義した電気量に速度vを乗じたものであると定義すると、このような混乱は起こらないで前記の方程式系の表現がそのまま使える。今後はそちらの表現式を用いることにする。(2)原論文§1[補足説明1]以後の議論でアインシュタインは“静止した系(K系)”とか、それに対して“速度vで動いている系(k系)”という言い方をしばしばします。本来どちらの系が静止していて、どちらの系が動いているのかを判定する方法は無いのです。アインシュタインの上記の言い方は単に言い表し方を簡単化するために言っているだけであって、どちらが止まっていてどちらが運動しているかを定めているわけではないことに注意して下さい。読者が混乱せず理解しやすいように、そのように言っているだけです。解るのは、k系はK系に対して速度ベクトルvで動いており、K系はk系に対して速度ベクトル-vで動いているという相対的な運動だけです。この相対的な運動ならば互いに判定して定めることは出来ます。[補足説明2]アインシュタインは様々な機会に“空間”という言葉について説明してます。文献108第1部3章で、『さしあたり“空間”というあいまいな言葉をまったくのけてしまおう。いう言葉では、正直いって何一つ考えることができない。そのかわりに、“事実上剛体である基準体に対する運動”と置く。基準体(列車または地面)に対する位置はすでに前の章で詳しく定義してある。ここで述べている空間とは(剛体の)基準体そのもののことであり、前の2章で詳しく定義してある。解りやすく言えば、基準体に設置されている縦、横、上向きに互いに垂直になるように立てた物差しの棒そのものが空間だと言うことです。その物差しの棒で測られる縦横高さの量がその基準体で測られた空間の座標値だと言うことです。今後、“地面に静止する観測者”や、地面に対して速度vで移動する“列車に静止している観測者”や、列車に乗っている観測者から“前方に投げ出されたボール”というような物体が議論されるのですが、地面に設置している(縦、横、上向きの)物差しの棒のセット、列車に設置してある同様な物差しの棒のセット、ボールそのものにくっついている物差し棒のセットで測られる座標値がそれぞれの空間ということです。(3)原論文§2[補足説明1]アインシュタインは、ここではまだ時間の相対性、長さの相対性を述べるだけで、その証明やそれを表す式を具体的に与えてはいません。その理論式を求めるために必要なローレンツ変換式は次の§3で求められます。[補足説明2]アインシュタインは、§2節で有名な“光速不変の原理”を説明していますが、その定義文に“光速度は光源の移動速度に依らない”という但し書きと“光速度の測り方”の注意書きを付記しています。これらを付け加える必要があったのか?その深遠な理由については、別稿「アインシュタインの公式E=mc2の証明」3.[補足説明3]とそれに続く説明を参照して下さい。原論文第I部§3は有名なローレン変換式を導いている所でこの論文の中心です。難しい所なので繰り返し読まれることを勧めます。[補足説明0]上式の意味は解りにくいので補足する。ここでは(K系の時計で)時刻tにkの原点から発射された光がk座標系のある点に固定された鏡で反射されてk系の原点に帰る迄の現象を解析している。K系から見るとその原点は光が往復する間に速度vで動いている。その同一の現象をk系で見た場合とK系で見た場合を対比している。k系の原点とk系の座標x’の点(鏡が固定されている点)を結ぶ棒がK系から見てK系のX軸に沿って正方向へ速度vで動いていると考えればよい。その時k系の時計でτ(0,0,0,t)にk系の原点を出発してk系の座標点x’へ進む光をK系で見ている。K系ではその光は当然光速度cで進みます。それに対してk系の上記の棒(K系の物差しで測って長さx’≡l’の棒)は速度vで右に動いているのですから、その棒に取って光は速度(c-v)で追いついてくるように見えるわけです。そのK系から見たその光がk系の原点から出発後にk系上の鏡(座標x’)に到達する時刻はK系の時計での時刻になる。同様に考えると、x’に到着した後に、そこの鏡で反射してk系の原点に帰るまでの時間経過はK系の時計でとなります。K系から見て動いているk系の座標に付着した0-x’=長さl’の棒の動きは式の中でちゃんと考慮されています。そのとき式中のτはK系から見て動いているk系に付着している時計の指し示している時刻であることを忘れないで下さい。それはK系に対して静止している時計が指し示す時刻tの関数となります。解るように時計の存在する場所x’にも関係します。補足すると、式中のx’=l’はK系に静止している物差しで測ったk系における光の反射点とk系原点との間の距離です。実際、少し前の文節でアインシュタインが説明しているようにだったのですから。[補足説明1]上記の関係式については、1.(5)で佐藤先生が説明されている“光時計”、あるいは、そこで引用した文献208の説明を参照されて下さい。これから、すぐ後で必要になるが導かれます。[補足説明2]式変形を補足する。[補足説明3]上記を補足するとなるので、確かに成り立つ。この事についてもう少し補足する。この論文は1913年にSommerfeldとBlumenthalが編集した論文集に再掲載されるのですが、その版のこの箇所に、『(光速不変の原理から言える)K系で見た光の球面波とk系で見た光の球面波の同等性から(t,x,y,z)と(t’,x’,y’,z’)の間に成り立つローレンツ変換公式を簡単に導くことができる』という意味の注記がなされている。1917年出版の啓蒙書の附録の証明がその簡単な導出法です。実際、今日の教科書の多くはこの事(“光速不変の原理”)を用いて“ローレンツ変換公式”を導いています。文献211の説明が解りやすい。文献406「力学」の説明も教訓的です。文献305の説明も引用しておきます。それぞれの式変形は微妙に異なりますが、どれも同じ結論に導かれる。いずれの証明に於いても証明の途中で“相対性原理”を援用することは必要です。[補足説明4]上記の計算を補足する。