これらを用いるととなる。これと電磁場のローレンツ変換共変式を最初の式に適用すれば、本文の(A)式が得られる。ここの説明に納得できない方は、江沢文献405§4.4を引用しておきますのでご覧下さい。解りやすく説明されています。アインシュタインは1907年に『放射能学および電子学年報』に寄せた総説論文のIII.質点の力学(電子)で解りやすく明快に(A)式を導いていますので、そちらも参照されて下さい。[補足説明3]ここには難しい事があります。等速度運動をする物体しか議論しないときには、K系とk系で見た物体の速度の変換はそれぞれの系に対して静止する時計の示す時間で関係付けられた。物体が加速度運動するとき、ある慣性系Kからみた物体の固有時間はそのK系から見た速度に応じて変化する。そのとき、力が生み出す加速度を測定する時間とは、慣性系Kに静止している時計の示す時間に対してのものか、それとも物体固体に付属する固有時間に対してのものかということです。相対論的速度の合成則から行くと加速度を求める時のd/dtで微分する速度成分はdx/dtではなくて、dx/dt’を使うべきかもしれません。そのときのt’はそのときのK系から見た速度vに応じて縮んで見える運動物体に固有の時間です。加速度が一定の運動(双曲線運動)などを論じる場合には重要。この当たりについては、パウリ文献501の§26、§32の(3)や(6)、§37などをご覧下さい。以下の議論は慣性系Kに静止している時計の示す時間に対してのものなので、縦質量と横質量の違いが生じてくる。このことに関しては[補足説明5]を参照されたし。[補足説明4]直前文の赤波線アンダーライン部分は重要です。先の部分は当時話題となっていた電子の電磁質量の速度変化に付いてのKaufmannの実験とその説明理論を意識しての注意だろう(広重文献509p205)。次の部分で、これが一般の質量を持つ物体に対する相対論的な力学方程式を与えると注意している。ここは、間違いではないのですが、この論文で唯一歯切れの悪い所です。電子に作用する力は運動系kで測定し、加速度は静止系Kで測定するという解りにくい説明をしています。力の定義が相対論的でないのです。本来のK系での力を用いるべきで、そうするとy、z成分の運動方程式の両辺のβが消去できて、左辺にβの一乗のみが残る。この論文の1913年再掲載版(Sommerfeld編集)の上記力の定義の所に『プランク(M.Planck)が最初指摘したように、このような力の定義は便利ではない。運動量とエネルギーの法則が最も簡単な形をとるように力を定義する方が適切である。この論文集はSommerfeldの提案で、アーヘン時代の同僚であるO.Blumenthalの骨折りで出版されたものです。この論文集の1905年論文には(別の編集人により後に繰り返し出版される相対性理論関係の論文集にも収録されることになる)“有名な注記”が数カ所に渡って成されています。これらはかなり本質的な注記ですから、編集者が勝手に書き加えたものではなくて、おそらくSommerfeldの依頼を受けてEinstein自身が書き加えたものでしょう。文献507に紹介されているSommerfeldとEinsteinの文通の様子などから推察するに、この論文集に収録する論文の選定についてもEinsteinは相談を受けたでしょう。この注記の意味は解りにくいが、要するに力の定義を本文のようではなくて、プランクが指摘したのように定義した方が適切であったと言っている。すると相対論的(つまりローレンツ変換に対して不変)な力学運動方程式は、今日的な表現であるという形になる。このときv≪cの場合にはとなり、μは定数だから、時間微分の前に出せて古典的なニュートンの運動方程式に移行し、上記の相対論的な運動方程式が自然な拡張となっていることが解る。このように、運動量pを用いて運動方程式を表現すれば、上記の様に定義される“相対論的質量”が運動方程式中において方向によって変化することはない。これをさらに時間微分を実施してのように変形して、無理に古い形のニュートンの運動方程式に対応させようとするから、“縦質量”と“横質量”の違いが生じてくるのであって、“運動量の時間変化が力に比例する”という新しい表現のままで置いておけば、その様な不条理は無くなる。実際、Planckは、この趣旨にそった修正をして、さらに得られた方程式がLagrange形式で書ける事を示して、相対論的な力学方程式の正しさを基礎付けた。詳細についてはプランクの論文「相対性原理と力学の基本方程式」(1906年)をご覧下さい。2.で説明しています。導く方法は、N.LewisとC.Tolmanの論文「相対性原理と非Newton力学」(1909年)で示された。[補足説明5]ここの縦質量と横質量は非常に解りにくい。上記の表記法は、電子の位置を静止系Kの時間tの関数として表したのものです。その代わりに電子に付属する固有時間の関数として表すと、上記の様な電子の走る方向と、それと垂直な方向との不揃いはなくなる。この事に関して文献103の内山先生の解説を引用。(23.6)式は静止系Kでの力Fと、力を測定する瞬間に運動電子が静止しているk系での力F’の変換式です。k系に於いても電子が動いている一般的な力の変換式は別稿「電磁場の相対性」5.[補足説明3]を参照されたし。ここで内山先生の解説を引用したのですが、正直なところ私には固有時を仲介にする証明の利点が良く解りません。一般相対性理論を見越してこのような説明をされたのでしょう。その当たりにつきましては、別稿「4元速度、4元加速度と4元力」5.(4)2.をご覧下さい。[補足説明6]上記の積分を補足する。この式のWは静電気力の場が電子に与えた仕事ですから、電子が得た運動エネルギーであると解釈することができる。見なせる場合には上式はとなり、確かに通常の運動エネルギーの式となる。繋がるヒントが隠されています。この論文を発表した6月の時点のアインシュタインはまだ気付いていないのですが、すぐ後にその重大性に気付いて9月に追加の論文「物体の慣性はそのエネルギーに依存するか?」を発表します。[補足説明7]ここは、磁気的な屈曲Amと電気的な屈曲Aeの定義が明記されていないので解りにくい。文面から推察するに(A)式において、EyとHz成分のみがゼロでない状況を考えている。そのためとなるが、電子はx軸の正方向へ運動しているとしているので、EyとHzの大きさを適当に調節すれば電子の運動に屈曲作用が生じない状況を探すことができる。そのとき、電子の速度vを別な方法で測定して、その速度vとEy、Hzの大きさが以下の関係式を満たすことが解れば、ローレンツの力の法則を確認できると言っている。そのように考えると、Ae、AmはAe∝1/Ey、Am∝1/Hzに関係する量を意味するのだろう。アインシュタインは1907年に『放射能学および電子学年報』に寄せた総説論文のIII.質点の力学(電子)§10カウフマンの実験の項で電気的屈曲Aeおよび磁気的屈曲Amの定義を与えていますので、詳しくはそちらを参照して下さい。これは次に述べるような相対性理論が予言する新たな効果を確かめる実験ではないが、ローレンツの力の法則が相対性理論に於いても成り立っている事を確認する実験です。この事は相対性理論以前の電磁気学で当然成り立っているのですが、電磁気学のMaxwell方程式がもともと相対性理論を満たしていることを考慮すれば、その意味において相対性理論(電磁場のローレンツ変換共変性)を確かめる実験であると言える。[補足説明8]これは、前記Wに関する式から直ちに出て来る結論です。加速電圧が大きくなれば到達速度は大きくなるのですが、到達速度vがcに近づくと、いくら加速電圧を大きくしても到達できる速度が頭打ちになることを示している。これは後に多くの素粒子加速実験で確かめられることになる。[補足説明9]いまK系には電気力は存在せず、磁気力Hzのみが存在するときには(A)式よりとなる。所で電子はx軸の正方向へ速度vで運動しているので、上記の式は電子にy軸の負方向への偏向力が働くことを示している。次の瞬間には電子の運動方向は変化するが、その方向に垂直に偏向力は働き続ける。そのため電子の描く軌道は円軌道となる。高校物理で習うように、円運動を続ける為に必要な向心加速度aと円運動の半径Rと運動速度vの間にはの関係がある。これが上記第2式の右辺と等しくなければならないのでとなる。これも、相対性理論以前の式とは異なるので、Hz、v、Rを測定すれば相対性理論の実験的な裏付けが得られるはずだと言っている。これは後に円形電子加速器で実際に確認される。電子加速器は相対性理論に従って設計されているということです。4.(3)などを参照されたし。[補足説明10]最後に謝辞を捧げているM.Bessoに付いては、1.(2)[補足説明2]をご覧下さい。