[補足説明5]上記計算を補足すると、上端に対しては下端に対してはとなる。以上が原論文の§3ですが、ここの説明は微妙に解りにくい。内山先生の解説も添付しておきますのでご覧下さい。これがアインシュタインの説明より解りやすいかどうかはなんとも言えません。ローレンツ変換そのものについては別稿「ローレンツ変換とは何か[Einsteinのローレンツ変換導出法(1905年)への補足]」で詳しく説明しておりますのでご覧下さい。(5)矢野文献205のローレンツ変換説明アインシュタインは後(1918年)に文献108の附録1「ローレンツ変換の簡単な導き方」でもっと解りやすい説明をしています。解説本の多くはこれを利用していますが、その中で文献205第2章§4(p33~39)の矢野先生の説明が解りやすい。繰り返しになりますが、大事な所なので以下に引用しておきます。原論文の(ξ,η,ζ,τ)が(x’,y’,z’,t’)に置き換えらていることに注意されてお読み下さい。[補足説明1]実際に、互いに他を解いた形になっているところを補足する。未知数x,tの二元連立方程式を解けば良い。[補足説明2]ここの式変形は解りにくいので補足する。下図の様に静止系Kに対してX軸方向に速度vで移動するK’系と、そのK’系に対してさらにX’軸方向にv’で移動するK”系を考える。そのときK系からみたK”系の移動速度をv”とする。そのとき、ローレンツ変換となります。このとき、速度vと速度v’の和は、相対性理論に従うと上記で表されるv”になる事を示している。[補足説明3]上記の“vの代わりに-vを代入したものが逆変換(つまり群論で言う逆元)である”ことの証明は、vに関係したローレンツ変換に引き続いて、-vが関係したローレンツ変換を行うと、それが恒等変換(群論で言うところの単位元)となることを言えば良い。それは上記の[補足説明2]の変換式のv’を-vに置き換えればv”=0となることから簡単に確かめられる。[補足説明4]ここで群について説明する。composition)c=ab、c∈Gが定義され、次の3法則を満たすときGは“群”であるという。1.Gの任意の元a、b、cに対して(ab)c=a(bc)となる(結合法則)2.Gに元eがあって、Gの任意の元aに対しae=ea=aとなる。element)という。3.Gの任意の元aに対しある元a’がGにあって、aa’=a’a=eとなる。a’をaの逆元といい、ふつうa-1と書く。この3法則のもとでは単位元eもaの逆元a-1も一意に定まる。可換法則ab=baが成り立つときは可換群という。算法が加法である可換群を加群という。群Gが有限個の元からなるときは有限群、そうでないとき無限群という。Gの部分集合HでGの算法に関して群になるものをGの部分群(subgroup)という。Gの任意の部分集合Sに対し、Sの元のべきSn(n=0、1、...)全体はSを含む最小の部分群である。これをSによって生成された部分群という。SがGの1つの元からなる場合は巡回群である。代数系や線形変換などの変換は、いずれも“群”の性格をもつ。“一般ローレンツ変換”に関しては別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」をご覧下さい。(6)原論文§4ここから、再び文献103からの引用。1.長さの縮み[補足説明1]長さの収縮を表す式の意味は非常に解りにくい。アインシュタインの文献108第I部12章の説明をご覧下さい。[補足説明2]文献301よりLorentzの収縮は非常に理解しにくい所です。この収縮が“実際に起こる”ことなのか、あるいは“見かけ上のもの”なのかと言うことがしばしば問題とされるが、この問いは相対性理論に於いて、相互に運動している二つの物体のどちらが静止していて、どちらが運動しているのかと問うことと同様に意味の無いことです。今までの議論で静止系とか、それに対して速度vで運動する運動系と言ってきたのは、単に言い表し方を簡単化するために言ってきただけであって、本来どちらが止まっていてどちらが運動しているかを判定するすべはなかったことを思い出して下さい。自分に対して動いている物の長さを測ると確かに収縮しているのだと言うことです。そのとき、自分に対して動いている物の長さを測るには前記の§2.長さと時間の相対性で説明されているような方法(あるいは1.(5)で引用した方法)を用いるしか無いことに注意して下さい。[補足説明3]Paisは文献502p183で、アインシュタンイの1911年論文Phys.Zeitschr.12,509(1911)の次の言葉を紹介している。『ローレンツ収縮が存在するのか、しないのかという問題は、人々を混乱させる。それは[棒とともに]動く観測者にとって存在しないという意味において、“本当には”存在しない;けれども原理的には静止観測者によってそれが示されうるという意味で、“本当に”存在する』Pauliは文献501p51で、この論文中の思考実験を紹介している。これは教育的なので以下に引用する。[補足説明4]文献301よりここで述べられている様に、運動している半径aの球は、運動方向の短軸がとなる回転楕円体に扁平化してしまう。Wiss,V巻,p277~279)の結論として、変形可能な電子の仮説を提唱した。[この大論文はネットから無料ダウンロード可です。2.時間の遅れ[補足説明1]時間の収縮を表す式の意味は非常に解りにくい。アインシュタインの文献108第I部12章の説明をご覧下さい。このことは、時計を持ち運ぶことにより離れた地点における時刻を揃える方法は、一般的に不可能であることを意味している。運搬速度がゼロの極限でのみ、それは正しい結果を与えるのだから。[補足説明2]下記の“平衡輪式時計”と言う言葉は、同じメカニズムの二つの時計というときの時計が“振り子時計”の様なものでは無いのだと言うことを表すために用いられています。要するに、原子固有の振動数などを用いる今日の原子時計の様な、時を刻むメカニズムが周囲の状況・環境に影響されない、ものを想定している。1913年]の該当ページに脚注として『赤道と極では重力加速度が異なるために、重力を利用した振り子時計の様なものは地球と一緒になって一つの物理系と見なすべきもので、ここでの議論からは除外しなければならない。』という趣旨の記述を付け加えている。[補足説明3]この時点でのアインシュタインはまだ気付いていないのですが、上記の地球を周回する時計の例には注意すべき点が多々あります。アインシュタインは後に互いに加速度運動をする系に対しても成り立つ一般相対性理論を発見するのですが、この例の様に互いに加速度運動をする時計の遅れを、特殊相対性理論によって見積るには注意が必要です。一般相対性理論では重力場中に存在するだけで時間が遅れるのですから、更に注意深い考察が必要です。この事に関して、文献203のメラーの説明を引用しておきます。一般相対性理論によらないと正確に説明できないのですが、文献207§2.4.3で江沢先生がとても解りやすく解説して下さっていますので別稿で引用しておきます。理解するにはミンコフスキー座標を利用するのが得策なのでその説明§2.4.1も合わせて引用します。ミンコフスキー座標についてはBorn文献第VI章の説明も秀逸です。文献214§4(d)の内山先生の説明も解りやすく秀逸ですので合わせてご覧下さい。この問題については、別稿「双子のパラドックスと一般相対性理論」もご覧下さい。experiment)。このことの詳しい説明は別稿§3-2を参照されたし。この実験については戸田先生の解説が解りやすいので別ページで引用。同様な実験が1975年9月~1976年1月にかけてメリーランド大学のC.アレーの研究グループによりさらに高精度で行われた。それにより特殊相対性理論による時間の遅れの効果と、一般相対性理論による時間の進みの効果がきわめて正確に確かめられた。このことの詳しい説明は別稿§3-2-2を参照されたし。(7)原論文§5[補足説明1]上式の導出は下記参照。この式は、更に次のように変形できる。これが、普通の教科書に書かれている速度変換公式(2.(8)3.[補足説明1]参照)です。[補足説明2]上式の導出は下記参照[補足説明3]上式の導出はとなる。ここは、相対性理論で最も不思議なところですので、普通の本の式変形を用いて補足しておきます。今、K系のx軸方向にk系は速度vで動いている。そのときk系のx’軸(論文ではX軸となっている)はx軸方向とする。k系から見てx’軸の正方向に速度wで動く物体をK系から見たら上記のUで動くように見える。このときUをcで割った式を変形するととなる。このときw、vが正でかつ<cである限り、右辺の第二項の分子の両因子は常に1より小さく、分母は常に1より大きいので、第二項は1より常に小さくなる。そのため右辺は常に1より小さくなり、U<cが成り立つ。これはwとvが両方とも0.5cよりも大きくても成り立つので常識で推し量るととても不思議なことです。ついでにもう一つ補足しておく。前記の公式を下式左辺のUに代入して展開計算すると直ちに右側の関係に関係付けられる。これも、種々の公式の証明に使える便利な関係式です。[補足説明4]このことが、別稿「フィゾーが運動媒質中の光速度(随伴係数)を測定した方法(1851年)」4.(2)5.[補足説明]で注意した事柄です。アインシュタインは光速度が示すこの性質に驚嘆します。そのために、2.(3)で説明した“光速度不変の原理”の定義文に、“光速度は光源の運動に無関係”というただし書きと“光速の測り方”の注意書きを付け加えたのだろう。光速度が光源の運動に無関係であることが実験・観察により検証されるのは、別項で説明した様にもっと後になってからのことです。[補足説明5]上記赤波線部分は、矢野先生の引用文2.(5)を参照されたし。(8)矢野文献205の説明アインシュタイン論文§4、§5の説明は明快で解りやすいのですが、文献205第2章§5(p39~45)から引用してもう一度説明します。原論文の(ξ,η,ζ,τ)が(x’,y’,z’,t’)に置き換えらていることに注意されてお読み下さい。3.速度の合成[補足説明1]上記の式は、多くの本でと表されているものです。これはK’系から見て(vx’,vy’,vz’)で動いている物体は、K系から見ると(vx,vy,vz)で動いているように見えることを意味しています。上式を逆に解いてと書くと、これはK系から見て(vx,vy,vz)で動いている様に見える物体は、K’系から見ると(vx’,vy’,vz’)で動いているように見えることを意味しています。これはもちろん前出の式に於いてK’系が静止しており、K系がK’系のx’軸方向に-vで移動しているときに得られる式に一致します。このとき、これらの式中のvはK系から見たK’系のx軸方向への移動速度であることを忘れないでください。K系に対するK’系の移動方向に垂直な方向の速度成分vyやvzも、K’系から見ると変化します。K座標系からみたK’座標系はx軸方向しか縮まないのに、y方向やz方向に関しても変化するのは不思議に見えますが、これはK’系の時計がK系からみ見ると遅れるためです。[補足説明2]この速度の合成則も解りにくい所ですから補足しておきます。2.(2)[補足説明2]で述べたようにアインシュタインの言う空間座標とは以下のことでした。速度の合成則に於いて“地面に静止する観測者”や、地面に対して速度vで移動する“列車に静止している観測者”や、列車に乗っている観測者から速度v’で“前方に投げ出されたボール”というような物体が議論されます。そのとき、観測者が立っている地面に設置している(縦、横、上向きの)物差しの棒のセット、列車に設置してある同様な物差しの棒のセット、ボールそのものにくっついている物差し棒のセットが空間そのものを意味します。それらの物差し棒のセットで測られる座標値がそれぞれの空間ということです。同じ物差し棒のセットを三組準備して、互いに静止している時に地面、列車、ボールのそれぞれにくっつけます。同じメカニズムで時を刻む時計を三個準備してそれぞにくっつけます。その後に、地面に対して速度vで列車を動かし、さらにその列車から見て速度v’でボールを投げ出す。そのとき、速度vは静止した地面の物差し棒のセットと地面にある時計で測られた列車(あるいは列車に付随している物差し棒セット)の速度値であり、速度v’は列車にくっついている物差し棒のセットと列車に乗せてある時計で測られたボールの速度値です。そのとき、同じボールを地面に設置してある物差し棒と地面にある時計で測ったボールの速度がv”だと言うことです。相対性理論に従うと動いている物差し棒は縮むし、時計は遅れるのですから、そのことを考慮すると速度の合成則に示すような関係が成り立つということです。この当たりについて、ミンコフスキー図を用いた解りやすい説明を別項「Born“アインシュタインの相対性理論”第VI章」6.(2)[補足説明]でしていますのでご覧ください。4.世界距離のローレンツ変換不変性ガリレオ変換では距離の長さがガリレオ変換で不変に保たれたのですが、ローレンツ変換では時間間隔を含めた世界距離という量がローレンツ変換不変性を保ちます。これは2.(4)[補足説明3]で述べた事柄をもう少し一般的に言い換えたものです。K系において質点が時刻t1に場所(x1,y1,z1)に存在し、時刻t2に場所(x2,y2,z2)に移動したとする。そのときで定義される量Δsを“世界距離”と呼ぶ。このとき、k系において対応する状況は質点が時刻t1’に場所(x1’,y1’,z1’)に存在し、時刻t2’に場所(x2’,y2’,z2’)に移動することである。k系において対応する世界距離Δs’はとなる。