意味については記事末に補足)条件1は、必要なものが全てそろっていること条件2は、余分なものが無いことを表します。ことを次元と言います。基底の取り方はたくさんありますが、ベクトルの本数は基底の取り方によらないので、次元が定義できます。x+2y+z=0\right\}$の基底と次元を求めよ。組全体がなす空間)それでは、解答です。満たす実数の組全体はどのような集合でしょうか。うち2つは自由に動くことができます。固定してやると、$x=-y_0-2z_0$に定まります。実数全体を動く)と表現できます。これを書き換えると、$y_0\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+z_0\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$となります。全てのベクトルを表現できることが分かります。これらが一次独立であることも簡単に分かります。基底であるための2つの条件を満たしています。変数の数が多い場合も、連立方程式を解いて緑色の式のような表現を得ることで、基底と次元を求めることができます。+a_n\overrightarrow{v_n}$を一次結合と言います。一次独立であると言います。注:場合によっては複素数や別の体について考えることもあります。