ないブログに表示されています。新しい記事を書く事で広告が消えます。大学に入ると微積分学の最初のほうでsupAについて学びます。わからなかったので簡単にまとめてみました。基本的に教科書に載ってることです。以下A⊆R,A≠∅とし,Aは上に有界とします。Aの上界には最小値がありそれを上限とする、というのがsupAの定義でした。それがよくわからなかったので以下の条件を考えました。c∈Rについて『c=supA』⇔『∀a∈A,a≦c』∧『∀ε>0,∃a∈A,c-aこの証明をしようと思います。条件を左から123とします。(i)2∧3⇒1について2よりcはAの上界である。このときsupA0よりc-asupA(ii)¬2∨¬3⇒¬1について¬2、つまり『∃a∈A,c2∧¬3のときを考える。『∃ε>0,∀a∈A,c-a>ε』のためそのεのひとつをε_0とする。c_0=c-(ε_0)/2とする。このとき∀a∈A,[c_0+(ε_0)/2-a>ε_0⇔c_0>a+(ε_0)/2>a]よってc_0以上より1⇔2∧3しかしふと疑問に思います、それは「supAは必ず存在するのか」ということです。supAの存在を示します。a∈A,x∈{Aの上界}とする。x∈AならそれがsupAである。このときx-a>0なのでδ=x-aとしよう。集合L_nをL_n={r∈R|r=x-(δk)/(2^n),0≦k≦2^n,rはAの上界}とする。x∈L_nなのでL_nは空でない有限集合。よってmin(L_n)は必ずとれてこれをx_nとする。このときL_n⊆L_(n+1)よりx_nは単調減少で下に有界のため収束値が存在しx_n→xである。∀a'∈A,∀n∈N,a'≦x_nよりxはAの上限である。∀yx_n-δ/(2^n)はAの上界ではない。よってxより小さい上界は存在しないためx=supAinfAについても同じ議論ができます。してみてはいかがでしょうか。Reserved.忍者ブログ[PR]。