pencil2017年度高校入試の整数問題1今回は「2017年度高校入試の整数問題」と題し、今年の高校入試の数学から整数問題をピックアップしていきます。因みに高校入試数学で個人的にお気に入りの単元は(整数ではなく)図形分野です(笑)《問題》$999975$を素因数分解せよ。大問1(4))初手が重要です。\end{align}$と変形できる。\text{・・・(答)}$$(これらは手計算で素因数分解できる範囲ですよね?)下二桁が$75$だから$25$の倍数だ!と突っ走るとやや見通しが悪くなってしまいます。実際、$25$で割ると$39999$となり$3$の倍数であることは分かりますが、$13333$の素因数分解はそれほど容易ではありません。大学受験生に解かせたらどうなるのか気になるところです。続いても素因数分解の関わる問題です。《問題》$\sqrt{\dfrac{2520n}{11}}$の値が自然数になる最小の自然数$n$の値を求めなさい。大問1(5))大学入試でもありがちなタイプの整数問題ですね。$$\sqrt{\dfrac{2520n}{11}}=6\sqrt{\dfrac{70n}{11}}$$となる。$70$と$11$は互いに素であるから$n$は$11$の倍数であり、$n=11N$($N$は自然数)と置ける。N)$が平方数であることが必要であるから、そのような最小の自然数$N$は$70$となる。\text{・・・(答)}$$因みに本問と類似の問題で言えば、今年の公立高校入試で「$n$を正の整数とする。$\sqrt{45n}$が整数となる$n$の値のうち、最も小さいの$n$の値を求めなさい」(栃木県)「$\sqrt{\dfrac{180}{n}}$が整数となる自然数$n$をすべて求めよ」(奈良県)といった問題が出題されています。●さて、次の問題です。《問題》$n$を自然数とするとき、$\dfrac{n+110}{13}$と$\dfrac{240-n}{7}$の値がともに自然数となる$n$の値をすべて求めなさい。大問2(8))高校入試ですが、大学入試でも通用しそうな問題です。$n$は$239$以下の自然数でなければならない。式変形でき、それぞれの値が自然数となるためには、1「$n+6$が$13$の倍数である」2「$n-2$が$7$の倍数である」という二つの条件が同時に成立する必要がある。そこで$1$から$239$の間で条件1、2を満たすような整数を探す。$7$の倍数であればよい。$1$から$239$までに存在する$13$の倍数は$13$、$26$、$39$、$52$、$65$、$78$、$91$、$104$、$117$、$130$、$143$、$156$、$169$、$182$、$195$、$208$、$221$、$234$の$18$個であり、そのうち$8$を引くと$7$の倍数となるのは$78$、$169$の$2$つのみ。\end{cases}$$となる。\end{align}$$となる。$13$の倍数となる。は$13$、$26$、$39$のいずれかに一致する。なるのですが、解の候補が少ないのでこんな回り道をする必要はありません。(3)はやや難しいです。《問題》$2017$のように(i)$4$桁の自然数である。(ii)各桁の数の和が$10$である。(iii)各桁の数の積が$0$である。(iv)各桁の数がすべて異なる。いう$4$つをすべて満たす数を考える。(1)このような数のうち各位の数の中に$6$を含むものは何個あるか。(2)このような数は何個あるか。(3)このような数すべての和を求めよ。大問5)場合の数からの出題なので正確には整数問題ではありませんが取り上げてみます。《解答例》(1)各位の数の組み合わせは$0$、$1$、$3$、$6$に限られる。($6$、$0$は既に決定しているため、条件(ii)より、残りの数の和は$4$でなければなりませんが、$2$、$2$の組は条件(iv)に反するので不適です。&=18\end{align}$$となり、計$\color{red}{18}$個ある。\end{cases}$$の4パターンのみである。それぞれについて(1)同様に$18$通りの数が考えられるので、求める個数は計$\color{red}{72}$個。(3)各位の数の出現回数について場合を分けて考える。($\text{A}$)パターン($0$、$1$、$2$、$7$)の組が作る$4$桁の自然数を考える。このうち、一の位が$0$であるような数は$6$個(十、百、千の位で$1$、$2$、$7$の順列を考えると$6$通りとなる)である。一の位が$0$以外であるような数はそれぞれ$4$個(例えば十、百、千の位で$0$、$2$、$7$の順列を考えると、$0$は千の位にはならないので$4$通りとなる)である。\end{align}$$となる。十、百の位の和も同様なので和はそれぞれ$400$、$4000$となる。千の位は$0$以外なので、($\text{A}$)パターンに該当する$18$個の数のうち、そのような数はそれぞれ$6$個ずつある。\end{align}$$となる。以上より、($\text{A}$)パターンの数の総和は$64440$と求められる。これは他の各パターンについても同様なので、これを$4$倍して答えは$\color{red}{257760}$となる。いった数え上げるタイプの問題は高校生でも意外に苦戦するのではないでしょうか。$2017$年に因んだユニークな問題ですね。最後に、高校数学級の整数問題です。満たす自然数$m、n$($m<n$)を求めよ。整理すると$$mn=7m+7n$$となり、これを因数分解して$$(m-7)(n-7)=49$$を得る。\end{cases}$となるが、前者は$m$が負になるので不適。\text{・・・(答)}$$$7$が素数なので解の候補は多くありませんが、解き方を知らないとなかなか手が出ない問題だったと思います。さんいつもコメントありがとうございます。解く方法もありますね!(というより恐らくこちらの方が自然な解法かもしれません)2、3問目に関しては完全に私のケアレスミスです・・・。修正させて頂きました。ご指摘ありがとうございます。さんの4問目の解答例は数に相当慣れ親しんでいる中学生でないとなかなか発想できなさそうです。5問目は仰る通り、中学数学の範囲であれば条件を利用して候補を絞ってから地道に調べていくのが普通かもしれませんね。さん返信ありがとうございます。絞り込みについては、やはり教わっていない生徒がほとんどでしょうが、一方が1/14より大きくなければならないことは試行錯誤していれば気付けそうですね。出題サイドとしては、それくらいのことは気付いて欲しい、ということなのかもしれませんが・・・。因みに今年度の慶應志木は座標計算(大問5)が難問だったようです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/01/01記)明けましておめでとうございます。本年も魅力的なコンテンツを発信していけるように頑張っていきますので、どうぞ当サイトを宜しくお願い致します!当サイトについてのご意見ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。