9.参考文献こちらのバージョンをご利用になると鮮明に印刷されます。電磁気学の単位系が難しいのは、何種類もの単位系が並立することの中に電磁気学の本質があるからです。歴史的に多くの単位系が提案され用いられてきたが、それらの中で理解しておかねばならないものは下記の四つです。(1)静電単位系(2)電磁単位系(3)ガウス単位系(4)MKSA単位系(いわゆる国際(SI)単位系)このうち(1)〜(3)はCGS単位(cm、g、s)で、(4)はMKS単位(m、kg、s)で表わされる。(1)(2)は歴史的な意味しか無いと思うかも知れないが、(1)と(2)の単位系の定義には電磁気学の根幹に関わる事柄が含まれており、また今日用いられている(4)のMKSA単位系は(2)の電磁単位系が発展したものであるからこれらは必須の習得すべき単位系です。同種と考えられる量でも、単位系によって次元と数字係数が異なり、電磁気の諸法則(マクスウェル方程式等)に現われる係数も変わる。逆にこの係数の相違によって単位系の基本的特徴を示すことができる。単位の学習で最も重要な事柄は絶対単位(絶対測定)の概念である。初期の電磁気学では、電荷や磁荷の実態が何も解っていない状況の下で、電磁気現象が示す不可思議な現象を記述するために様々な物理量を導入しなければならなかった。そのとき、電荷も磁荷もその実態は知られていないのだから、新たな物理量を定義するにはそれまでに確立していた長さ・質量・時間の概念に基づいて定義するしかない。電磁気学で成り立つ種々の法則というのは、新しい物理量を定義が確立している古い物理量[力やエネルギー(つまり長さ・質量・時間)]に結びつける関係式のことである。電磁気学における新物理量は、古い物理量(次元)の組み合わせで定義される。究極的に長さ・質量・時間に還元される。してこそ、新しい物理量を絶対的に、つまり誰が・何時・何処で測っても同一の値として、測定できるわけである。そのように単位の定義が確定している長さ・質量・時間に関係づけて新物理量を定義・導入した単位系を絶対単位系といい、それらの量によって測定する事を絶対測定という。最初に導入された(1)静電単位系と(2)電磁単位系はその様な絶対単位系である。[絶対測定の意味については別稿「ガウスによる地磁気の絶対測定」や「絶対電位計と象限電位計の測定原理」で解りやすく説明しておりますので御覧ください。](3)比例係数と単位系の分類できるだけ簡単に解りやすくするために、真空中での電荷、電流について議論する。ベクトル量で、本来その方向が重要な意味をもつベクトル公式である。ここでは次元的な考察が中心なので角度や方向の関係は無視する。その大きさの関係は最も簡単な配置における方向での議論(高校物理で習うもの)と思って下さい。電荷の存在が最初に認識されたのは、帯電した2物体間に引力や斥力が働くことからである。いわゆる電荷に対するクーロンの法則ですが、この法則により新しい物理量である電気量qが定義できる。このとき比例定数をk1と置いても良いのですが、今日の慣例にしたがって1/ε0と置くことにする。次に、電荷と並んで磁荷というものについて電荷のクーロンの法則と類似の法則が成り立つことが解っている。この磁荷に対するクーロンの法則により、磁気的な量である磁気量mが定義される。磁荷は電荷とは明らかに異なった性質を示すので電気量とは異なった物理量と考えられる。そのため力の現れ方も電荷の場合と違っているので、その係数もk1とは異なるはずだ。この場合も慣例にしたがって比例定数をk2ではなくて、1/μ0と置くことにする。次にエルステッドにより発見された、電流の磁気作用を表す式を導入する。これはやがてビオ=サバール、アンペールやマクスウェルにより洗練された形にまとめられて一つの重要な法則に昇華するが、電気的な量と磁気的な量の間にある種の関係が存在する事を示す重要な法則である。簡単な表現で次のように表す。この場合も、比例定数k3を1/γと表す。dF''は電流要素による力の微少成分だが、電流が無限直線電流の場合高校物理で習うように(3')となる。これにファラデーが実験的に推察したことであるが、電流とは電気量の流れである事を表す式が付け加わる。(4)式は単位系の違いに影響されないので、定義式に比例定数は必要ない。単位系を決定づける関係式としては、これらの法則を変形したものを用いても良いし、(3)式の代わりにファラデーが発見した「電磁誘導の法則」を用いても良いが、とりあえず上記の(1)〜(4)式を用いると電気と磁気が関係した新しい物理量q、m、Iについて単位系を定めることができる。このとき、(1)式の電気量qと(2)式の磁気量mは全く異なった物理量と考えることができるので、それらの単位の取り方は別々に決めることができる。そのためε0とμ0の値は、それぞれの物理量の単位の定め方により全く独立に任意に定めることができる。そのとき(3)式は電気的な量(電流は電荷の流れ)と磁気的な量の相互作用による力の法則を表しているが、(1)、(2)式によりqとmの単位がすでに定められているので、γに関しては任意の値を取る訳にはいかず何らかの制約が存在し、ε0とμ0と何らかの関係で結びつけられるはずである。実際、4個の式(1)〜(4)に対して、未知量はq、m、I、ε0、μ0、γの6個であるから6個の内の二つは任意に定めることができる。その二つを定めると他はおのずと決まってくる。(1)〜(4)式をq、m、Iに付いて解いてそれらの未知量を消去すると、残った3個の未知量ε0、μ0、γに対するただ1個の式が得られる。今は次元的な考察なので、dsもrも同じ長さを、dqもqも同じ電気量を表すものとし、F、F'、F''がすべて同じ1[dyn]であるとして計算する。(1)×(2)÷(3')2の計算を左辺と右辺でそれぞれ実行するととなる。この(5)式の中の3個の未知量ε0、μ0、γのうち二つは任意に定めることができる。その二つの選び方と、その値の決め方で単位系の違いが生じてくる。今日単独の磁荷は存在しないことが解っているので、磁荷の代わりに電流要素を用いた議論をする。電荷に関するクーロンの力の法則を二つの部分に分割する。ここで、(2)式は静止している電荷に力を及ぼす場の成分[電場]の定義式であり、(3)式は電荷が電場を生じる、その作り方の法則である。それぞれに比例定数k1、k2が与えられているが、元々一つの(1)式を分割したものであるから一つにまとめることができる。実際この式でk1に1以外を与えても何の意味もない。電磁気学を作り上げるときの出発点の式だから最も簡単に1と置いた方がよい。結局一つの比例定数k2だけになるが、慣例にしたがってこれを普通1/ε0と置く。次に、電流要素間に働くアンペールの力の法則を用いる。この法則を二つの部分に分割する。ここで(5)式は電流I=nesv=ns×e×v(e:電気素量、n:電子の数密度、s:導線の断面積、v:電荷の移動速度)であることを考慮するとローレンツ力の磁束密度に関係した部分F=q[v×B]を意味する。動いている電荷に力を及ぼす場の成分[磁束密度]の定義である。慣例にしたがって比例係数k3を1/γと置く。(6)式はビオ=サバールの法則あるいはアンペールの法則であり、電流が磁束密度を生じる、その作り方を示す法則である。慣例にしたがって比例係数k4をμ0/γと置く。以上のものに付け加えて電流が電荷の流れであることを示す式が存在する。これは単位系には影響されない定義式なので比例定数は必要ない。ここで、本題に入る前にこれらの式について幾つかの注意をする。(4)式を分解した(5)式と(6)式でk3とk4の二つの比例定数が出てくる。このとき(5)と(6)はもともと一つの(4)式だったのだから、電場の場合と同様に一つの定数で置き換えたくなる。今度はそれはできない。(7)式により、電荷qと結びつけられており、(1)〜(3)の電気的な法則に結びつけられている。そのとき(1)式の静電気的な力Fと(4)式の動電気的な力F'はもともと独立な別個の法則に由来する力である。そのため、(4)式のF'が(1)式のFと独立であることを示すための比例定数を導入しておかねばならない。この比例定数が1/γであり、これは静電気的な定義(1)と動電気的な定義(4)の間を関係づける比例係数である(電気量と磁気量の次元関係を関係づける比例定数といってもよい)。これに加えて(4)式をBを仲介にして二つに分解したことに伴う比例定数μ0をk4の中に導入して置かねばならない。これは(3)式の1/ε0に相当する比例定数である。(4)式の比例定数には(1)式との関係で導入される比例定数1/γと(4)式の電流を力と結びつけて絶対定義することに伴う比例定数μ0の両方が含まれている。普通、比例定数k3を慣例により1/γと書き、(6)式の比例定数k4は慣例によりμ0/γと書く。(5)、(6)式のBをHに書き換えて、比例定数k3をμ0/γと書き、比例定数k4を1/γと書いてもよい。するとBではなくHを仲介にして分解することができる。(6)式は磁束密度Bの微少成分dBに関する式であるが、例えば無限直線電流では、この式はds'について積分して(6’)の様に書かれる(高校物理でならう)。(6)式はアンペールの法則であるが、これは電流によって磁気的な量である磁束密度B(Hを仲介にした場合は磁場H)が生じる事を言っており、まさしくこの法則こそ電気的な量と磁気的な量を結びつける関係式である。実際にはマックスウェルが修正して付け加えた変位電流の項をいれておかねばならないが、次元的な考察には無くても十分なのでこれで議論する。電気的な量と磁気的な量を結びつける関係式として、「アンペールの法則」とは独立の法則である「ファラデーの電磁誘導の法則」がある。この(8)式を(2)と(5)式の代わりに用いても良い。この場合にも電気量と磁気量の次元間を関係づける未定定数1/γを導入しておく必要がある。実際、(2)式のFと(5)式のF'を等しいと置くととなるので(8)式の比例定数は1/γで無ければならない。(1)〜(8)式を今日のMKSA有理化単位系(γ=1とする単位系)で表した[マクスウェルの方程式]、[ローレンツ力の式]と対応させるととなる。5.(3)3.の一覧表を参照されて、他の単位系の[マクスウェル方程式]、[ローレンツ力公式]に対応させてみるとε0、μ0、γの対応が明瞭になると思います。この中にdivB=0が含まれていないが、これは単独の磁極が存在しない、したがって磁流が存在しない事を示しており、(8')式と表裏一体の関係にあるので普通これを付け加えておく(別稿「マクスウェルによるアンペールの法則の拡張」参照)。これは(6')式とともにベクトル場Bを規定するものであり補い合う関係にあるので、この関係式から新たな比例定数を導入する事にはならない。前の対応表の中で(1)(3)式は静的な場合のみ正しい。(4)(6)式は定常的な場合のみ正しいことに注意。番号に’を付けた式は、時間的に変動する場に於いても真に正しい方程式である。以上で準備は整ったので、前項の最後に導いた式と同様な式が導けることを以下で示す。5個の式(2)(3)(5)(6)(7)に対して未知量はq、I、E、B(orH)、ε0、μ0、γの7個である。(5)式に(6)式を代入したものを(7)式で変形する。(2)、(3)式を代入して、未知量q、I、E、B(orH)を消去すると、未知量ε0、μ0、γが満足すべき条件式がただ1個残る。なり、前項と同様な関係式が得られる。このとき(2)と(5)式の代わりに(8)式を用いた場合、(8)式の(一周の距離)=ds、(面積)=ds2とするととなり、全く同様な式が得られる。4.(1)3.項で説明するように(9)式中の[速度の次元を持つ定数]は実験により定めることができる。実験によるとこの値は光速度となる。単位系の違いを(9)式に集約できることは多くの本(例えば文献2、3、4、7等)で説明されているが、特に文献7が詳しくて解りやすいので参照されたし。量を定義する式の比例定数をε0[真空中の誘電率(電束密度Dと電場Eの比)]、磁気的な量を定義する式の比例定数をμ0[真空の透磁率(磁束密度Bと磁場Hの比)]、電気的な量と磁気的な量の次元を関係づける比例定数をγとし、真空中の電磁波の伝播速度をc(光速)とすれば、それらの間にはなる関係が成り立つことになる。実験によって実測(つまり絶対測定)された光速cは、ほぼ3×1010cm/sという値です。この式の制限のもとでγ、ε0、μ0のうち2つは、次元まで含めて任意に選ぶことができる。その選び方と、その次元・値の決め方により各種の単位系が区別される。ところで、今日光速度を表すのに文字“c”を用いるのは、ラテン語のspeedを意味する“celeritas”に由来するようです。(http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SpeedOfLight/c.html)真空中の光速度cは普遍定数ですが、測定精度の向上に伴ってcの値が改訂されたとき、γ、ε0、μ0の内の最初に定めた二つは変わらないが、残りの一つの定数の値が改訂される可能性がある。以下の説明で≒で記述してある値がそれです。”cの値が改訂されたとき”という言い方には注意が必要。今日光速=2.99792458×108m/sと定められている。長さの単位の方が「光が1/299792458秒間に進む距離を1mとする」となっている。測定精度が向上すると長さがより正確に定められることになる。そのより正確になった1mの299792458倍が1s間に光が進む距離というわけです。普通は、独立に取れる2個の係数を一番簡単な無次元量にして、数値は1とする。他の取り方も考えられるがわざわざ難しくする事はないので、その定め方は妥当である。するとその係数が関係する式が定義する物理量を力(長さ・質量・時間)の関数として表せ絶対測定する事ができる。(1)静電単位系はε0=1、γ=1とする。となりμ0が次元を持つことになる。(2)電磁単位系はμ0=1、γ=1とする。となりε0が次元を持つことになる。(3)ガウス単位系はε0=1、μ0=1とする。となりγが次元を持つことになる。MKSA有理化単位系はγ=1とするが、もう一つ任意に選べるμ0についてμ0=4π×10-7N/A2としている。(4)MKSA有理化単位系はμ0=4π/107[N/A2orH/m]、γ=1とする。となりε0も次元を持つことになる。このような複雑な置き方をしたのかと言うと、歴史的ないきさつがあるからです。μ0に次元を与えることになったのは、基本的な次元として第4番目の次元[電流I]を導入したからです。新しい次元を導入したのは電気磁気現象が全く新しい物理的現象だからそれを特徴づけるためです。次に、10-7と言う小さな値にしたのは、この係数が定義(つまりそれまでに知られていた量である力に結びつけること)する電流という物理量が、実際に利用されている状況の大きさにマッチするようにするためです。4πをかけたのは、法則を表す公式が幾何学的状況とうまく対応するようにするためです。これらの事柄については5.章で詳しく説明する。4.補足説明ここでε0とμ0について重要な注意をしておく。1.(3)2.項の(3)式の右辺の分母に現れたε0を左辺に乗じて得られる量ε0Eは普通Dと置き換えられて電束密度と呼ばれる。そのように置き換えれば(3)式は比例定数を含まない根元的な式になる。このときの二つの式は(1)式を分解したものではなくて、もともと独立な二つの法則とみなせる事でする。(2)式は静止している電荷に力を及ぼす場の成分Eを定義する式であり、(3'')式は電荷qが作る場Dを定義する式です。電荷の実体が明らかになる前には、EとDは本来まったく異なる物理量で独立に決めることができた。実際(3'')式は誘電体のような電媒質のなかでも正しい式であり、qがその中で作る場はEではなくてDなのである。そのような電媒質中ではEとDはD=εEと表されるが、この時のεは周囲の媒質に依存し、場の強度や方向にも依存し、場の時間的な変動周期にも依存する複雑なテンソル量となる。一般の電媒質中ではEとDは独立な二つの量であり、その両者を結びつける付加条件方程式がD=εEである。真空中の電荷に対してのみεはε0という単なる定数になりDは単にEのε0倍であるという意味しか持たなくなる。同様に1.(3)2.項の(6)式の右辺の分子に現れたμ0を左辺に移項して得られる量B/μ0は普通Hと置き換えられて磁場と呼ばれる。そのように置き換えれば(5)、(6)式はの様な二つの独立な式になる。(5)式は動いている電荷に力を及ぼす場の成分Bを定義する式であり、(6'')式は電流Iが作る場Hを定義する式です。磁荷の実体が明らかになる前には、BとHは本来全く異なる物理量で独立に決めることができた。その中で作る場はBではなくてHなのである。そのような磁媒質中ではBとHはH=B/μと表されるが、この時のμは周囲の媒質に依存し、場の強度や方向にも依存し、場の時間的な変動周期にも依存する複雑なテンソル量となる。一般の磁媒質中ではBとHは独立な二つの量であり、その両者を結びつける付加条件方程式がH=B/μである。真空中の電流に対してのみμはμ0という単なる定数になりHは単にBをμ0で割ったものであるという意味しか持たなくなる。ここはこちらの一覧図[2013年3月追記]も参照されて下さい。この当たりはどの電磁気学の教科書にも詳しく説明してあるところですが、高校生が勉強されるには、参考文献10(下巻)の第9章「物質中の電場」、第10章「物質中の磁場」が適当だと思う。units、CGSesu系)γ=1、ε0=1、したがって、μ0≒1/c2=(1/9)×10-20s2/cm2としている。そのため真空中でB=(1/c2)Hとなり、BとHの変換係数としてc2が入ってくる。これは元々電気におけるクーロンの法則の比例定数を1とすることに由来する。電気量であると定義する。そのためクーロンの法則の比例定数k1は1になる。今日ではk1=1/ε0とおくことが慣例であるからε0=1とすることに相当する。このようにして新物理量である電気量qが導入・定義された。(注意)後で説明するガウス単位系との混同を避けるために、今日ではε0にεなる次元を与えて議論している(6.(1)の表参照)。これは混同を避けるための単なる符帳のようなもので、すべての次元εの部分を無次元の1で置き換えても差し支えない。単位[cm3/2g1/2s-2]と次元[L3/2M1/2T-2]が決まる。単位[cm-1s1]と次元[L-1T1]がきまる。単位[cm1/2g1/2s-1]と次元[L1/2M1/2T-1]が決まる。電場Eは高校物理で習う定義式を用いれば、その単位[cm-1/2g1/2s-1]と次元[L-1/2M1/2T-1]が決まる。電気的な量から磁気的な量の次元を求めるには、アンペールの法則か、ファラデーの電磁誘導の法則を用いればよい。1.(3)2.(6’)式のアンペールの法則を無限直線電流に適応した式を用いて、γ=1、μ0=1/c2を考慮すれば、磁束密度Bの単位は[cm-3/2g1/2]、次元は[L-3/2M1/2]となる。磁場Hの単位は[cm1/2g1/2s-2]、次元は[L1/2M1/2T-2]となる。μ0に次元を与えているので、この単位系ではBとHの次元が異なってくることに注意。磁荷の次元を求めるには1.(3)1.(2)式の磁荷についてのクーロンの法則を用いればよい。μ0=1/c2を考慮すれば、磁気量mの単位は[cm1/2g1/2]、次元は[L1/2M1/2]となる。この場合磁極に関するクーロンの法則には比例定数1/μ0=c2が掛かってくることに注意。磁気モーメント(電磁モーメント)や磁気双極子モーメントの単位や、次元はその定義式に従って求めればよい。このとき、この単位系では磁気モーメント(電磁モーメント)と磁気双極子モーメントの次元が異なることに注意(6.(1)、(2)の一覧表参照)。units、CGSemu系)γ=1、μ0=1、したがってε0≒1/c2=(1/9)×10-20s2/cm2としている。そのため真空中でD=(1/c2)Eとなり、DとEの変換係数としてc2が入ってくる。これは元々磁荷におけるクーロンの法則の比例定数を1とすることに由来する。磁極の強さであると定義する。そのためクーロンの法則の比例定数k2は1になる。今日ではk2=1/μ0と置くのが慣例であるのでμ0=1を意味する。このようにして新物理量である磁気量mが導入・定義された。(注意)後で説明するガウス単位系との混同を避けるために、今日ではμ0にμなる次元を与えて議論している(6.(1)の表参照)。これは混同を避けるための単なる符帳のようなもので、すべての次元μ0の部分を無次元の1で置き換えても差し支えない。[L-1/2M1/2T-1]を求めることができる。[L-1/2M1/2T-1]が定まる。この単位系ではBとHの次元は同じになることに注意。他の磁気的な量の次元はその定義式によって求めればよい。磁気的な量から電気的な量の次元を求めるには1.(3)1.の(3)式ビオ=サバールの法則、1.(3)2.の(5)式ローレンツ力の公式、(6)アンペールの法則、(8)電磁誘導の法則等の何れかを用いればよい。[L1/2M1/2T-1]が定まる。[L1/2M1/2]が定まる。定まればの公式を利用すれば、次々にR、V、E、・・・等の物理量の単位と次元が定まる(6.(1)、(2)の一覧表参照)。この時、電磁単位での電気量qを用いるとクーロンの法則に比例定数1/ε0=c2が掛かってくることに注意。電流として1単位の力を発揮する1単位の電気量は、もしその電荷が裸で存在したら静電的な力としては1単位の力のc2倍の巨大な力を発揮すると言うことです。ここで注意しておかねばならないのは、一単位の電荷の流れと言っても電流はそれと反対符号を持つ電荷に寄り添いながら動いているので、静電気的な正味の電気量は打ち消されて存在しない事です。実際には単独の磁極は存在しない。磁気の原因は円電流(究極的には電子スピン)に還元できる。そのため磁気的な量を定義するときの出発点として、磁荷による磁気力ではなくて、電流が生み出す電磁気力を磁気力の基本とする立場を今日では採用する。ここで電流による定義と磁荷による定義との整合性について説明する。電気量を電磁単位で最初に定義したのはウェーバー(1840年)です。彼が用いた方法は導線が単位の面積の周囲を囲んでいるとき、この導線の断面を単位の時間に単位の電気量が通過する割合で電流が流れたとき、遠方に生じる磁気作用は絶対単位の単位の磁荷が及ぼす作用と同じであるという事実を利用するものです。このことは次のようにして証明できる。電磁単位系では磁荷に対するクーロンの法則の比例定数μ0=1、ビオ=サバールの法則の比例定数γ=1とおくのですが、次節で述べるガウス単位系でも磁気的な量を電流の定義から定めていくのでμ0、γのまま論じる。それぞれの公式はとなる。