3}\right)^{3}}}}}}が求まる。3}\right)^{3}}}}},(k=0,1,2)}が解として知られるようになった。z)という因数分解からもカルダノの方法を説明することができる。z)という三次の多項式の因数分解が計算できる。この計算はカルダノの方法と同じである。3}\right)^{3}<0}の時に負の数の平方根が現れる。つの異なる実数解を持つ条件である。実数解しかないのにも関わらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。カルダノは負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。Bombelli)は、この場合を詳しく研究し1572年に出版した『代数学』(Algebra)に記した。形式的な計算ではあるものの、当時はまだ知られていない虚数の計算と同じであった。解に持つ方程式を例にあげた。解に持つことを説明した。irreducibilis)と呼んだ。この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下す事は不可能であるため、全て徒労に終わった。ビエタの解[編集]解法を代数的なものに限らないのであれば、還元不能の場合の解も虚数を使わずに書けることが知られている。2a}\right)}という解が得られる。この解のことをビエタの解という。