iPhoneと本と数学となんやかんやとコンテンツへスキップiPhoneと本と数学となんやかんやとあなたになんやかんやな、なんやかんやを﻿メニューとウィジェットこの人が書いてます@choiyakiiPhoneと本と数学となんやかんやについて書いています。数学ダメなら別のアプローチを試みる毎日、数検の勉強をしています。問題があり、その答えを求めるためにあれこれ考える。求めるもの・与えられた条件を確認し、自分の知識や理解とそれらを照らし合わせて、方針を考えていきます。忘れていることがけっこうあるので、手探りではあるものの確かこんな感じやったよなーとか思いながら。方針を立てて解き進めても、答えまでたどりつけないこともあるわけで。数学の問題では、「解答」があります。自分で解けなかったとき、そこでついつい解答を見てしまいたいという衝動に駆られてしまいます。話は変わりますが、ここで、『超一流になるのは才能か努力か?』という本の一節をひきます。こんな壁にぶつかるだろう。前に進む方法がわからないという状態だ。迂回したり突き破ったりすることが不可能な壁というのは幻想である。その壁を越えられないことなんてなく、越えられない壁は幻想だ、と言い切っています。壁を乗り越えるためにできることは何か。別の方向から攻めてみること何かを上達させていきたいとき、同じ方法でダメなら、別のアプローチを試してみる。上達の壁を乗り越えるのは、それが最もいいのだそう。すればより上達することができるのか。それって、明確な答えがわからないぶん、簡単ではない。何度も試しててダメな方法を繰り返すより、違う方法を試みる方が建設的で、前に進むためには必要に思います。明確な答えがわからないことに対して何度も違うアプローチを試すって難しく思います。答えがあるのかすらわかっていないので、常に「不毛なことをしているのではないか?」という疑念は消えないわけで。その点、数学では答えがあるのがわかってる。少なくとも、与えられた問題を解くぶんには、答えが必ず存在します。解答を見たくなる気持ちをグッとこらえるようにしたい。答えまでたどりつけなかったときは、別のアプローチを考えるいいチャンスだから。別のアプローチを考えることなく解答を読んでしまうのはもったいないから。同じものを別の視点から見るってのは、簡単なことではありません。人って見方を固定してしまいがちなので。1回考えたことに対して、別のアプローチを考えてみるってのは、すごく必要なことだと思います。ダメなら別のアプローチを試みることは、基本的な姿勢として持っておきたいこと。数学の問題を解くときに実践していきたいと思います。お読みいただきありがとうございました。1級を目標に、数学を勉強しようと思います大学時代、ゼミの先生に「卒業後に働き出すことを考えると、数学の力は今がピークだから」と言われていました。できるだけ数学の力を衰えさせないように、少しでも学ぶ時間をとりつづけてきましたが、先生のおっしゃるとおりで、知識の面でも思考力の面でも、徐々にあの大学の頃よりも落ちていっている感じがしてなりません。数学を勉強する時間をとってはいましたが、何かしら目標らしいものを定めず、強いて言えば「この本を読み切ろう」ことをゆるい目標とするくらいでした。やってもう10年近く。学び方を変えてもいいかな、と思い始めました。受験生の時、毎日勉強していましたが、けっこう楽しめていた記憶もあり、試験に向けて勉強する、ということをしてみようと思い立ちました。受けてみようかな、となったわけです。とって何かいいことがあるわけではないですが、「合格」という目標を目指して数学を学んでいくのもいいかな、という思いでちょっと挑戦してみようと思います。今だからこそできる数学の学び方というのがあると感じるのも数検を受けようと決意した1つの理由です。受験生の時、大学生の時、働き始めてからと、それぞれだいぶと違った学び方をしてきました。その中で、受験生の時とは比べ物にならないくらい、数学について理解してきたと思っています。大学のときと比べるとだいーぶ劣るとはいえ、試験の「合格」を目指して勉強していた受験生のときとは全然違う見方で、捉え方で、数学を学べるという確信があります。そのことにワクワクしていて、今から楽しみです。おわりに次の試験日は、4月12日。楽しく学んでいければな、その中で、数学の魅力をまた再発見できればな、と思います。お読みいただきありがとうございました。数学から学んだこと思いつかないこともある。ー数学からぼくが学んだこと4-数学はこれまで、何百年も、何千年もかけて発展してきました。ぼくたちが学ぶ数学は、数学にたずさわる多くのかたがたが、年月をかけて整えてきたものです。「あーでもないこーでもない」と苦心したうえに出来上がった道なはずです。数学が何百年も、何千年もかけて発展してきた道を、ぼくたちは10数年で進んでいきます。考えると、これって、ものすごいスピードです。過去の数学的知見を最短コースで学ぶことができる道が、ぼくたちには与えられている。その道を歩いていくと、確かにスピーディーにいろんな数学の内容を学ぶことができるかに見えます。数学を学んでいて、こう思ったことが一度や二度はあるはず。数学の理路整然な様を見たとき。証明を理解しようとあがいているとき。問題が解けず、解答・解説を読んできるとき。思いつかないと感じるのは、整えられた道を進むがゆえだと思うんです。何百年、何千年の発展の歴史を、10数年で学ぼうとするがゆえだと思うんです。ある概念が定義され、その次にはその定義から導かれる定理の証明に入っていく。その定理からまた新たな定理が導かれていく。して、スススーっと進んでいってしまう。新しい定義がどんどん出てきて、定理がポンポンと生まれ、問題に鮮やかな解答が与えられていくってのを見せられ続けると、「そんなん思いつかへんわ」だらけになってしまいます。数学が「思いつき」や「ひらめき」だけを頼りに発展したもののように感じてしまいます。数学は、できあがっているその最中から、発展を遂げているまさにそのときから、ぼくたちが学ぶ数学のように整っていたのでしょうか。「あーでもないこーでもない」という苦心を経て、整理されてきたはず。定義というのは、ただやみくもにされていくものではありません。それを定義する理由が、必然性があります。定理というのは、ぽっと出現するものではありません。ある事柄を定め、それについて考えに考えて考え抜いた末に出てきたものです。「思いつき」や「ひらめき」には、必ずその背景が、思いつく理由が、ひらめくストーリーが隠されています。その思いつく理由は、とても単純な疑問であったりします。ひらめいたストーリーは、シンプルな問いから生まれていたりします。自然に抱く小さな疑問。そこから数学の世界は広がっていってるんです。その背景を知らずに、ストーリーに触れずに数学を学んでいくのは、なんともったいないことか。整えられている道を歩んでいると、その道が昔は全然整えられておらず、でこぼこであった事実を想像する事は確かに簡単ではありません。あったように、はじめから整った状態であったように思ってしまいます。整えられすぎているがゆえに、「思い付き」や「ひらめき」の連続であるかのように錯覚してしまいます。「そんなん思いつかへんわ」と感じることは、ある意味仕方のないこと。思いつかないこともあるに決まってます。すごい年月をかけて発展してきた数学を、ものすごいスピードで学んでいくわけですから。「そんなん思いつかへんわ」と感じ、思いつかないから覚えちゃえってなっちゃうのは、ぼくは嫌なんです。そんな数学、楽しくない。「思いつかへんわ」ってなって、もう数学イヤってなってしまうのが悲しい。数学はすごくおもしろいのに。「思いつかへんわ」と思っても、そこで見切りをつけないでほしいんです。思いつかないと感じても、一度立ち止まり、「思いついた理由がどこかにあるはず」ととらえてみてほしいんです。「あーでもないこーでもない」と考えてみてほしいんです。「確かに思いつかないかもしれない。思いついた理由がどこかにあるはず」と考え、数学に触れていったほうが、驚きや発見と出会う機会は格段に増えます。考えるのもいいかもしれません。「ひらめきなんてないはず」と。ストーリーを明らかにするために、いったん立ち止まり、考えてみる。それができるか否かで、数学の楽しさは大きく違ってくるように思います。「「”ひらめき”はいらない」」という視点で眺めることができるようになると、それまで思考停止の要因であった「そんなん思いつかへんわ」が、思考を進めるトリガーとなってくれます。「そんなん思いつかへんわ」。「ひらめきなんてない」はず。「そう思いつく理由を、ひらめいたわけを明らかにしてやろう」と。思いつく理由さがしや、ひらめきいたわけを明らかにしていく術として、「条件と求めるものを確認」することや「ツッコミを入れる」ことなんかが役立ってくれるのではないか、と思います。連載のおわりに数学のおもしろさを、もっとたくさんの人に感じてほしい。楽しみ方を知ってほしい。いう思いから、「数学からぼくが学んだこと」を書きました。ぼくは、数学をおもしろいと、楽しいと感じています。感じるようになったのか。いったことを学んできてそんな思いに至ったのか。それが少しでも伝わればいいな、と考えての連載でした。いいから、数学を楽しむ一助になれば、うれしい限りです。お読みいただきありがとうございました。数学から学んだこと思いつかないこともある。「”ひらめき”は必要でない」という目で数学を眺める。ストーリーを読み解く気持ちで解説を追う。していくと、問題の解説や定理の証明を読んでいるとき、ことあるごとに「ここはなぜこう考えるのか?」「式を変形すると確かに成り立つ。式を変形しようと思うのか?」などの疑問を抱くようになります。”ひらめき”は必要ではないと思うということは、すべてに対し、「そう考えていく理由があるはず、手がかりがあるはず」と考え、「そう考えていく理由はなにか?」を問い、その答えを探していくことになります。ぼくはこれを、「ツッコミを入れる」と言っています。ことあるごとに「(そう考えていく理由は)なんでやろう?」と問うていくわけですから。\theta}\)の値を求めよ。条件と求めるものを確認し、さらに考える。わからない、解き進めれないことだってあります。はじめからなんだって解けちゃう、なんてことはありません。そこで解説を読んでいってみます。一行目には、こんな式変形が書かれていました。\theta}\)解答を読み、こう考えるかもしれません。「なんでこう式変形するんやろう?」「なぜこう式変形しようと思うんやろう?」と。「なんで?」というちょっとした疑問を大切にしてほしいな、と思います。ツッコミを入れ、考えてみてほしいな、と思います。\theta}\)と式変形しています。したら、「なぜこう式変形しようと思うんやろう?」と考えながら式を眺ると、すぐにその理由がわかる人が多いかもしれません。ここでは丁寧に、式変形の理由を考えていきます。条件と求めるものを確認しましょう。\theta}\)の値となります。\theta\)の関係式が与えられている。このままでは、求めるものに対して、条件を利用することができそうにありません。\theta\)を登場させるかしたい。できれば、条件を利用することができそうだから。\theta\)を登場させるか。\theta\)との関係を表す式が必要なことに変わりない。\theta}\)という関係式を登場させて、式変形していこうと思うわけです。\theta}\)をそのまま代入できるので、話が単純に進んでいきそう。\theta}\)というふうに進んでいっている、ということになります。\theta}\)を使ってみようかな、というとても単純な動機を出発点にしているわけですね。「そう考えていく理由はなにか?」を問う。ささやかな疑問を大切にし、「なんでやねん」と積極的にツッコミを入れていく。考えていく理由に注目し、解説の流れを、そこにあるストーリーを読み解く。いう目で定義や定理、定理の証明、問題の解説をながめ、ツッコミを入れ、理由が明らかになったとき、一つにつながる感覚を覚えます。道筋が見えるようになってきます。これこれこういう理由で、この考えが出てくる、と。道筋が明らかになること。これらは、理解を深いレベルに掘り下げてくれます。深く理解したことは、忘れにくく、また、自分でその理解を使えるようにもなります。自分の足で、道筋を追えるようになる、ということです。小さな疑問を大切にし、「そう考えていく理由はなにか?」を問えば問うほどに、ツッコミを入れれば入れるほどに、自分の足で進む力はついていきます。「あ、前もこんな風に考え、進んでたな」「以前もこの理由で考えてったことあったな」という、既視感を得ることも多くなってきます。「つながり」の部分がしっかり結びついているので、考えの流れを自分で追うことができるようになる。それは、「自分で考えていく力」が育っていっていることに他ならないと思うのです。一つにつながった瞬間「なるほど!」と自分の中にピシッと走るものがあります。この感覚は、強烈です。この快感は、学ぶことでしか味わうことはできない。つながる感覚、つながる快感を得たいから、学ぼうと思えるのかもしれません。ツッコミを入れ、考え、理解する。このプロセスを経るか経ないかで、数学に対する向き合い方が大きく変わってしまうように感じます。関西人になったつもりで、ことあるごとに「なんでやねん!」とツッコミを入れて欲しいな、と思います。お読みいただきありがとうございました。“とりあえず”・”なんとなく”進むのではなく、まずは、「条件と求めるものを確認」し、今自分のいる場所と、向かうべき目的地を確認する。こんな当たり前のことが、実はとても大切です。「条件と求めるもの」は、最初に確認しさえすればいい、というものでもありません。間違った道を進んでいることに気付いた時にも、再度「条件と求めるものを確認」するという行為は、別の一歩を探る手がかりとなってくれます。「条件と求めるものを確認」することは、「ひらめき」に頼らず、一歩一歩着実に進んでいくための基本にもなってきます。12)\)を通る2次関数の方程式を求めよ。この問題の解答を眺めてみます。こんな風に書かれていることが多いはず。解)求める2次関数の方程式は、\(y=a(x-p)^2\)とおける。問題を自分で解くことができずに解答をひらいた人は、この一行を見ると、もしかすると「なんでいきなりそうおけるってわかるねん!」とツッコミを入れたくなるかもしれません。実際ぼくはそうでした。「なんでいきなりそうおけるってわかるねん、なんでそうおこうと思うねん」とモヤモヤしながらも、問題の解答を覚え、とりあえずその問題については解けるようにする、というスタンスで数学を勉強していました。モヤモヤを抱いたままなのですっきりせず、楽しく学ぶことなんてできませんでした。そんなぼくは恩師に出会い、「条件と求めるものを確認」することの大切さを学びました。それに加え、「”ひらめき”は必要ではない」ということも。「条件と求めるものを確認」してみましょう。求めたいのは、「2次関数の方程式」なわけです。「2次関数の方程式」ってのはいったいなんなのか。疑問を持つことができれば、次に進んでいくことができます。2次関数の方程式は\(y=ax^2+bx+c\)という形をしています。\(a=0\)だと、\(x^2\)が消えてしまい、次数が\(2\)の項がなくなり、「2次」の関数ではなくなってしまうからです。2次関数では、もう一つの表現方法も大切です。それが、\(y=a(x-p)^2+q\)という形。q)\)とわかるように式変形したものになります。この二つの表し方は基本的な事柄で、2次関数を学ぶと必ずでてくること。ひらめく類のことではありません。次は条件をみてみます。「\(x\)軸に接し」と書かれています。これは、「頂点が\(x\)軸上にある」ということ。条件として、”頂点に関すること”が与えられていることがわかりました。求めたい2次関数には二つの表現がありました。q)\)である\(y=a(x-p)^2+q\)です。条件を読むと、”頂点に関する情報”が与えられていました。q)\)である、\(y=a(x-p)^2+q\)という方が使えそうです。「頂点が\(x\)軸上にある」ので、頂点の\(y\)座標は\(0\)です。q)\)の、\(q=0\)。なると、\(y=a(x-p)^2+q\)の\(q\)が\(0\)であることから、求める2次関数の方程式は\(y=a(x-p)^2\)という形をしているはずだ、とわかります。いうことで、解)の一行目にあるように、「求める2次関数の方程式は、\(y=a(x-p)^2\)とおける」わけです。混み入った話になってしまいました。混み入った話になったものの、”ひらめき”が必要となる部分は、一切ないように思います。「条件と求めるものを確認」する。それに、自分の知識を組み合わせて思考を進めていく。数学のそういう側面が伝わってほしいな、と思います。「”ひらめき”が必要ではない」と学び、実際の問題たちを通してそれを実感してから、ぼくは数学がすごく楽しくなりました。問題の解説というのは、はじめから最後まで忠実に組み立てられた”流れ”があることがわかったからです。それはもう、よくできた「ストーリー」です。これは数学の”問題”に限ったことではありません。数学で学ぶいかなる”定義”や”定理”においてもそう。自分では答えまでのストーリーを組み立てることができないかもしれない。自力では結末まで進めないかもしれない。そのストーリーを理解し、味わうことはできる。いう思いで数学を学んでいます。数学の魅力的なストーリーたちが、どんどん語られ、味わわれていけばいいな、と願っています。魅力的なストーリーを、その魅力を失わせることなく、伝えることができるようになりたいと思っています。お読みいただきありがとうございました。「条件と求めるものを確認」してみましょう。求める2次関数の方程式を、\(y=a(x-p)^2\)とおきます。先ほど確認したように、条件にて、”頂点に関する情報”として「\(x\)軸に接する」と与えられており、このことから、「頂点の\(y\)座標が\(0\)となるので、\(y=a(x-p)^2\)とおける」のでした。12)\)を通る」とあります。2)\)の\(y\)座標である\(2\)になる、ということ。2)\)の\(x\)座標、\(y\)座標を代入した式が成り立つ、ということです。3)\)を通ることから、\(x=2\)と\(y=3\)を代入した式、\(3=a(2-p)^2\)が成り立ちます。12)\)を通ることから、\(12=a(-1-p)^2\)が成り立ちます。あとは、この2つの式を利用して、\(a\)と\(p\)の2つの文字の値を求めていきます。2つの未知数\(a\)と\(p\)に対して、2つの式を導くことができました。2つの式があれば、2つの未知数\(a\)と\(p\)の値を求めることができるはずです。&12=\frac{3}{(2-p)^2}(-1-p)^2\end{eqnarray}\]これを解いていきます。このとき、求める2次関数は\(y=3(x-1)^2\)。\frac{1}{3}\)。\frac{1}{3}(x-5)^2\)。\frac{1}{3}(x-5)^2\)であることがわかりました。