他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。ラジアンの扇形の面積を2つの三角形の面積ではさんだり[9]、弧長を線分の長さではさんだりして[10][11]、いわゆるはさみうちの原理から証明する方法がある。これは一般的な日本の高校の教科書[12][13]にも載っているものであるが、循環論法であるため論理が破綻しているという主張がなされることがある[14][15]。ここで問題となるのは、証明に面積やラジアン、弧長が利用されていることである。面積について言えば、面積は積分によって定義されるものであるとすると、扇形の面積を求めるには三角関数の積分が必要となる。三角関数の積分をするには三角関数の微分ができなければならないが、三角関数を微分するにはもとの極限が必要になる。このことが循環論法と呼ばれているのである。あることを自明な概念と考えてしまえば循環論法にはならないが、これはいくつかの決められた公理・定義から論理的演繹のみによって証明されたものだけを正しいと考える現代数学の思想とは相反するものである。この無限級数の収束半径は無限大である(すなわち任意の実数や複素数で収束する))。このように定義された三角関数が、本来持つべき幾何学的な性質を有しているかどうかは全く明らかなことではない。単位円周への(「反時計まわりの」)全単射であることを示すことができる。三角関数は以下のように無限乗積として書ける。三角関数は以下のように部分分数に展開される。function)と呼ぶ。