[定理]実係数の代数方程式f(x)=0の解は、複素数平面上で実軸対称に分布する。それらすべてを含む最小凸領域は、実軸に関して対称である。すると、任意の複素数αに対して、次が成り立つ。̄αは同時に解になるか、あるいはどちらも解にならないかのどちらかである。□[定理]実係数のn次方程式f(x)=0において、解の個数は重複度も数えるものとすれば、次が成り立つ。(1)虚数解の個数は偶数(0個を含む)である。(2)nが偶数ならば、実数解の個数は偶数(0個を含む)である。(3)nが奇数ならば、実数解の個数は個数である。この場合、少なくとも1つの実数解を持つ。†[定理]2次方程式の解と係数の関係2次方程式ax2+bx+c=0に2つの解をα、βとすれば、次が成り立つ。n次方程式にもこれと同様の結果が成り立つ。すれば、次が成り立つ。†[定理]代数方程式f(x)=0の解の重心は、f'(x)=0の解の重心と一致する。f(x)が実係数ならば、その回の重心は実軸上にある。[証明]f(x)の解をα1,...,αnとすると、解と係数の関係より、次が成り立つ。両辺をnで割ると、左辺は解の重心となる。f'(x)=0の解をβ1,...,βn-1とすると、解と係数の関係より、次が成り立つ。←(*)両辺をn-1で割ると、左辺は解の重心となる。←(**)(*)の右辺と(**)の右辺は同じ値なので、両者は一致する。f(x)が実係数ならば、α1,...,αnは実軸対称に分布しているから、その重心は実軸上にある。