ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。(2)フーリエ級数の証明の続き。ゼロに収束することを示します。d\xi\tag{4}\]と書ける。第一項の積分を考える。値に一致するので、問題ない。以下のように変形する。区分的に滑らかという仮定から、この微分は収束するため、この因子は区分的に連続である。f(x+0)}{\xi}\frac{\xi/2}{\sin(\xi/2)}\]の部分は、区分的に連続である。おいて、ゼロに収束する。(4)式第2項についても、同様の過程を経て、ゼロに収束することが分かる。以上で題意は証明された。(1)さて、フーリエ級数の証明のための準備が相整いましたので、さっそく、証明に入りたいと思います。f(x-0)}{2}\]に収束する。d\xi\tag{5}\]積分区間を[-π,0][0,π]に分割。おいて、ゼロに収束することを示すことにする。長くなってきたので、続きは次回。12:37ディリクレ核フーリエ級数を証明するために、もう一つ準備しておかなければならないものがディリクレ核。デルタ関数のように振る舞うもの。2\pi\delta(x)\tag{2}\]というような感じ。物理屋的センスでは、イコールでつないじゃってもいいんでしょうね。ディリクレ核の性質を調べておきます。e^{-ix/2}}\tag{5}\]sinに置き換えればよい。項の積分値はすべて、exp(ikx)の2πの周期性より0。項のみが残り、積分値は2π。(2)リーマン・ルベーグの補題の証明の続き。前回は、「区分的になめらか」という条件をつけましたが、フーリエ級数の証明には、「区分的に連続」という緩い条件で証明しておかなくてはなりません。証明したいのは、これ。