\varepsilon'\tag{11}\]となり、題意は証明されたことになる。階段関数の部分(第二項)とその誤差部分(第一項)に分けています。階段関数の部分は、それぞれの段で一定値なので積分ができて、ゼロに収束します。誤差が減っていき、こちらもゼロに収束します。(1)フーリエ級数の証明に入るための準備をしていこうと思います。リーマン・ルベーグの補題。λを大きくしていくと、sin関数はどんどん急速に振動していく。合計の面積は0になる。フーリエ級数の証明に用いるには、「区分的に連続」という条件が必要なのですが、その前に、簡単な「区分的になめらか」という条件で証明してみることにします。各々の連続微分可能な区間で0に収束することを証明すればよい。連続微分可能として以下を証明する。微分可能という条件より、部分積分が実行できる。(証明終了)区分的になめらかを仮定した場合は、部分積分できるから、あっさりと証明できました。区分的に連続の場合は、もう少し複雑になりますが、次回やってみたいと思います。続いて、フーリエ級数展開の式を導きます。f(x+2\pi)\tag{1}\]を考えます。これが、フーリエ基底を用いて、無限級数で展開できると仮定します。「=」ではなく、「~」を用いています。具体的な形を求めていきます。そのために、さらに、無限級数は項別積分可能であると仮定します。最終的に、この展開係数で級数展開可能かどうかという証明には用いません。素性のよい関数の場合は、どんな係数になるかというあたりを付けておこうという話です。u_k)\tag{3}\]となります。dx\tag{5'}\]となることが分かります。現時点では、これは上記の仮定が成立した場合の話。\}\tag{8}\]に収束することを証明していくことにします。12:56フーリエ基底いもむしさんに有意義なコメントをいただいたおかげで、フーリエ級数の論理の流れがだいぶ明確になってきましたのでさっそく、始めてみたいと思います。フーリエ級数展開の基底について。正規直交基底となることを確認します。内積は、以下で定義します。\delta_{mn}\tag{4}\]となり、正規直交性を示すことが分かります。12:53フーリエ級数の証明手順フーリエ級数が正しく元の関数を再現するという証明の手順がおおよそ分かってきたので、まず、その流れを概観しておこうと思います。フーリエ級数展開で表すところについて。フーリエ基底が正規直交系をなすことを確認。正規直交性から、フーリエ級数展開の係数を求めます。一様収束性が前提されていなければならないのですが、ここでは仮に前提しておいて、係数を求めます。して、与えられたf(x)に対するフーリエ級数展開が求められます。ここまでが証明以前の準備。ここからが証明の本編。仮に求めた係数を使ったフーリエ級数が元の関数に正しく収束するかを証明することになります。元の関数としては、「区分的になめらか」という条件をつけます。有限個の点で不連続であっても構わないが、そこでの片側微分が発散しないという条件。区分的連続な関数に対して、リーマン・ルベーグの補題を証明。「区分的に連続」という弱めの条件で証明しておくことが必要。それから、ディリクレ核の概念を導入。いくつかの性質を証明。ディリクレ核は、級数の部分和の形をしていて、N→∞でデルタ関数のふるまいをするようなもの。積分値を一定に保ったまま、ピークが先鋭化していくというようなもの。最後に、これらの準備をもとに、本丸である元の関数からフーリエ級数を引き算したものがN→∞で、ゼロに収束するということを証明。f(x-0)}{2}\]に収束することを証明します。実際には一様収束でなくても、問題はないと思っています。以上が証明の概観です。仕事では、日常的にフーリエ解析を使っています。今、仕事関連の知識を別ブログにまとめていて、悩んでしまいました。物理屋としては、デルタ関数なるものを登場させて、いい加減にすませてしまえば、(などと言っては、ディラク先生に怒られるかもしれませんが・・・笑)すごく分かりやすいのですが、x=0で無限大に発散してるにもかかわらず、連続関数っぽく描かれているあんな関数が数学では許されるわけありません。「超関数」という数学的扱いがあるようですが、それはさらに難しそうです。地道に収束性を証明していくんですが、これが結構、骨。「区分的に連続」とか「区分的になめらか」とかいう条件をきちんと考えなければならないこと。いう3種類があって、どの条件の時に、どのタイプの収束性を持つのかということ。収束性の証明の目途はついてきたかなといったところです。この機会に少しずつ、手順を追って、記事にしていきたいと思っています。位数剰余類体の定義3次ルンゲ・クッタ法鍵コメさんへコメントありがとうございます。titleお久しぶりです。お返事が遅くなってしまい、すみません。有用な情報をありがとうございました。最近、この系統の勉強をしていないため、すぐに頭に入りませんがdyne→いもむしさん逆関数の微分定理があるおひさです。この問題の答えがありました。定理と呼ばれています。9*Sum[10^(-n),{n,1,infinity}]=19*Integrate[10^(-x),{x,1,infinity}]≒0.39087...まだ不完全ふがいないぼくはつぶやくさんへはじめまして^^コメントありがとうございます。初めの式に出てくるハミルトニアンのベースは解析力学です。(02/26)数式が小さくて読みにくい方へのヒント当ブログでは、数式表示にMathJaxを利用しています。表示が小さすぎてお困りという方は、大きく表示する方法がありますので、こちらの記事をご参照ください。博士課程を修了して、研究を生業にしているものの、実験系のため、理論があまりにも分かっていないことに危機感を覚え、数年前に一念発起!相対論と量子論の基礎から、独学で勉強し直してます。物理好きという人生の原点を見つめ直し、いつかは、標準模型を理解したいという野望を抱きながら、さびついた頭でどこまでいけるのか、挑戦中!あくまでも、独習記なので、内容は間違ってる可能性大です。参考になさらないようお願いします!(汗)本家ブログでは、マイホーム建築日記とピアノの練習日記をつづっています。Millcreek!当ブログの2013/5/7以前の記事は、本家ブログの物理・数学関連の記事を抜粋移行したものですので、文章が不自然なところがありますが、ご了承ください。記事のコメントもそのまま残してありますが、不都合がありましたら、削除しますので、お知らせください。当ブログはリンクフリーです。最近記事のRSS最新コメントのRSS最新トラックバックのRSSリンク無断でリンクさせていただいているものを含みます。ご支障がございましたら、すぐに解除致しますので、コメントにてお知らせください。