ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。(2)オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法の話。e^{ix}\]という関数f(x)を考えます。ここで、いきなり、なんで???と言いたくなるでしょうけど、ここはぐっと我慢(笑)このf(x)を微分してみます。前を微分して、後ろを微分しないものと前を微分しないで、後ろを微分するものとを足すんでしたね。0なんと素晴らしいことに、微分したら0になってしまうんです。いうことは、f(x)は定数ってことになります。前についている余計な因子で両辺を割ってしまえばよいだけです。f(x)を考えたか?ということを振り返ってみます。eixを計算していることになるんですね。この値は、明らかに1になりますでも、オイラーの公式を使ってないのに(証明したい式なので、使ってはいけない)うまく1という答えを導き出しているのが、なかなかうまい証明ですよね!この証明、ただ一点を除いて、高校数学の範囲で説明できます。eixとやりましたが、虚数が指数になっているときの指数関数もこのように微分できるかどうかは保証されてません。結局、複素数の指数関数を高校では定義してないわけだから、しかたないんですよね。そもそも、複素数の指数関数をどう定義するかで証明も変わってきます。逆に、このオイラーの公式を定義式にしてしまう流儀もあります。すると、オイラーの公式を証明するのではなく、この公式を前提として、逆に、指数関数の指数法則や微分の公式がちゃんと成り立つかを証明することになりますね。高校生に説明するには、お勧めの方法ですね!他にもいくつかありますので、次回ご紹介します。「オイラーの等式」でしょう。「数学って、神秘的!」って思った記憶があります。入れるだけで出てきます。物理系ではこれを知らないと生きていけないぐらいに頻出の公式。たくさんの公式を覚えなくてはいけなくて、うんざりしてくるんですよね。置き換えるだけで、そんなもの何も覚えてなくても、すべて、これ一台で計算できてしまうというすぐれもの!(笑)・・・というわけで、この公式が重宝されるわけです。一般には、テイラー展開を使うと、簡単にできます。テイラー展開は、高校数学レベルだと、ちょっとハードル高いですよね。次回から、紹介していこうと思います。厳密な証明は、テイラー展開をしないとだめな気がするのですが、その理由は、その時に述べようと思います。理解を深めていこうと思います。(理解して書いてるわけではないので、内容はご注意ください)まずは、真空中のMaxwell方程式からスタート。\tag{4}\](2)と(3)を満足するように、(E、B)をポテンシャル(A、φ)で表現する。\tag{6}\]この時点で、(2)と(3)は自動的に成立するから、あとは、(1)と(4)にこれらを代入して、(1)と(4)の2つの式を(A,φ)による表現にしたものが場の方程式となる。\tag{8}\]この2つの式が、ポテンシャルで表現した場の方程式。適当にゲージ変換して、もっと見やすくすることを考える。知りたいのはEとBなんだから、どんなゲージを使っても、最終的に答えは同じだよね!という理解でいいのかな?少なくとも、古典論の範囲では、それでいいような気がします。\tag{10}\]となる。ここからは、僕の勝手な想像を多く含んでいるので、要注意!(9)を見ると、クーロンの法則(ポアソン方程式)そのものになっている。電荷分布の時間変化が瞬時に遠隔地のポテンシャルに伝わるということになる。実際に現象に現れるのはEとBだから、ポテンシャルが瞬時に変化しても構わない。遠隔地の電場と磁場が瞬時に変化するというわけではない・・・という理解で、いいのかな?次は、ローレンツゲージ。\tag{12}\]という見事なまでにすっきりした表現になる。この2つの式は、波動方程式の形になっているので、ポテンシャル(A、φ)は、電荷と電流の源から光速で伝わっていく波動状の解となる。分かっている気がするのは、ここまで。何なのかというのがよく分かりません。「場の量子化」の載っている本をあまり持っていなくて、困ったなあと思って、よく考えてみたら・・・シッフの最後にちょっとだけ載ってたのを思い出しました。「場の量子化」について、思いっきりアホな誤解をしてました(恥)場の量子化って、電磁場を量子化することだと思ってました。粒子系が量子化されたのがシュレディンガー方程式で、まだ、電磁場が連続量のポテンシャルとして入ってるだけの状態が半古典論。そこで、電磁場の方も量子化しようという話かと思ってました。場の量子論というのは電磁場に限らず、もっと広範囲の「場」の話のようです。粒子系の波動関数ψも波動場とみなして、もう一回量子化しようという話なんですね。「第二量子化」っていうんだ。今頃、わかりました(汗)とりあえず、いきなり電磁場を量子化しようとするから理解できないのかもしれません。シッフに基づいて、ちゃんと、一般的な場の量子化手法から学ぼうと思います。それにしても、難しくて訳分からなそうです。ゲージ前に予告した通り、ルードンの「光の量子論」で電磁場の量子化を勉強中。量子化する前に、電磁ポテンシャルでの表現を準備するところ。式変形は特に問題なく追えているのですが、ゲージの意味がいまいち分かりません!昔、電磁気学を勉強した時から「ゲージ変換」はやりましたが、その時もいまいち分かってなかったなあ。クーロンゲージとローレンツゲージ。今やっている電磁場の量子化では、クーロンゲージを使うみたいなのですが、なぜ、クーロンゲージを使うのかが分かりません。ネットの資料なども探し回って、分かったのがクーロンゲージの方が簡単で物理描像も分かりやすいとのことでした。相対論(ローレンツ変換)にも対応できるのですが、かなり高度な知識を要するということらしい。結局、クーロンゲージに変換したうえで、ヘルムホルツの定理を使って、場を縦成分と横成分に分解して、ごちゃごちゃやって、最終的に、ベクトルポテンシャルの場の方程式を□A=0(□は、ダランベルシアン)という波動方程式(?)の形にもっていくみたいなんですよ。ローレンツゲージだったら、もとから、□A=0という形ですよね。位数剰余類体の定義3次ルンゲ・クッタ法鍵コメさんへコメントありがとうございます。titleお久しぶりです。お返事が遅くなってしまい、すみません。有用な情報をありがとうございました。最近、この系統の勉強をしていないため、すぐに頭に入りませんがdyne→いもむしさん逆関数の微分定理があるおひさです。この問題の答えがありました。定理と呼ばれています。9*Sum[10^(-n),{n,1,infinity}]=19*Integrate[10^(-x),{x,1,infinity}]≒0.39087...まだ不完全ふがいないぼくはつぶやくさんへはじめまして^^コメントありがとうございます。初めの式に出てくるハミルトニアンのベースは解析力学です。(02/26)数式が小さくて読みにくい方へのヒント当ブログでは、数式表示にMathJaxを利用しています。表示が小さすぎてお困りという方は、大きく表示する方法がありますので、こちらの記事をご参照ください。博士課程を修了して、研究を生業にしているものの、実験系のため、理論があまりにも分かっていないことに危機感を覚え、数年前に一念発起!相対論と量子論の基礎から、独学で勉強し直してます。物理好きという人生の原点を見つめ直し、いつかは、標準模型を理解したいという野望を抱きながら、さびついた頭でどこまでいけるのか、挑戦中!あくまでも、独習記なので、内容は間違ってる可能性大です。参考になさらないようお願いします!(汗)本家ブログでは、マイホーム建築日記とピアノの練習日記をつづっています。Millcreek!当ブログの2013/5/7以前の記事は、本家ブログの物理・数学関連の記事を抜粋移行したものですので、文章が不自然なところがありますが、ご了承ください。記事のコメントもそのまま残してありますが、不都合がありましたら、削除しますので、お知らせください。当ブログはリンクフリーです。最近記事のRSS最新コメントのRSS最新トラックバックのRSSリンク無断でリンクさせていただいているものを含みます。ご支障がございましたら、すぐに解除致しますので、コメントにてお知らせください。