basis)は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの(有限個の)線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。緩やかな言い方をすれば、基底は(基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして)「座標系」を定めるようなベクトルの集合である[1]。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ(ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である)。一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数(濃度)のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。青とオレンジがこの基底の元である。緑のベクトルは基底ベクトルの一次結合で表されており、故にこの三者は線型従属である。張る(生成する)ものを言う。成り立つようにできる。何れも満足することを言う。座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。述べた意味で線型独立性を持つ。二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは(適当な構造を追加しない限り)極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。基底ベクトルを特定の「順序」で並べることが便利なことがよくある(例えば、線型写像の基底に関する変換行列を考える場合など)。用いられる(短く「順序基底」や「順序付き基底」などともいう)。求めることを意味する。線型独立性を持つことである。二元集合である場合など)である。張ることが必要十分である。複数の異なる基底を含むのが普通である。基底であるためには、以下に挙げるような互いに同値な条件のうちの何れか一つ(従って全部)を満足することが必要十分である。