CommentsTweet黄金角について説明した前回の続きです。バランスの良い配置を定式化してみよう角度を一つ決めると、中心からn本の線を引いた時の配置が各nに対して定まります。5本の線を引いたときを考えます。配置の良い・悪い正五角形を作る、一番左の形が最もよく、間が狭い場所ができる右側の方が悪い形、と考えたいところです。そこで、各線を中心とする葉っぱを、互いに重ならない広さの幅にして並べたときに、どれくらいの面積をカバーするかで定式化してやることにします。具体的には、以下のように、最も近い線分の成す角度の扇形を並べてやった時に、円の面積の何割をカバーするかで、「カバー率」を定義します。表すことにしましょう。θを一つ定めるごとに、nの数列が一つ定まることになります。ときのカバー率をグラフ化してみました。黄金角のカバー率のグラフちょうど、フィボナッチ数列の数のときに、カバー率が大きくなっています。このグラフで注目したいのは、むしろカバー率が下がった時です。カバー率が下がった時も、0に近づくことはありません。下回らないことがわかりました。間を行ったり来たりします。黄金比)悪い角度のときのグラフと比較してみましょう。ときに1になりますが、nが31を超えたらカバー率は0です。このように、有理数はいつか0になるのでダメです。これは無理数ですが、黄金角のときと違い、0に近い値まで落ち込んでしまうことがあります。黄金角以外は全部ダメな角度なの?このように定義した、「カバー率」の観点でも、黄金角は優れた性質を持つ特別な角度だということが確認できました。黄金角以外にも、よい性質を持つ角度はあるのです。こちらのグラフをご覧ください。