ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。今度は、位置演算子の運動量表示です。p'\rangle$を求めます。「EMANの物理学」の掲示板で質問して、ようやく分かりました。その時の回答をもとに、記事を進めていきます。2\pi\delta(k)\tag{5}\]を用いた。\delta(x-x')\tag{7}\]と見比べると、符号が反転しているだけですね。正準交換関係の符号に由来しているのだろうか?後者に比べて、前者はイメージがわきにくいと思いますが、たとえば、自由粒子の状態(運動量固有状態)間の双極子遷移を考えると、このような式が出てきます。どのように表されるかを導く。運動量演算子の位置表示のところで出てきたこの式からスタート。\delta(x-x')\tag{4}\]の関係より決めた。運動量固有状態の位置表示における波動関数を意味し、(3)または(5)式は、それが平面波で表されることを示している。位置表示と運動量表示の間で波動関数の変換を行うことができる。\psi_\alpha(x)\tag{7.2}\]となる。位置表示と運動量表示の波動関数は、お互いにフーリエ変換で結ばれていることが分かる。運動量固有状態は、位置表示で見ると、平面波なのだから、当然と言えば当然ですね。シュレディンガー方程式を用いずに、このことが示せるというのは面白いです。固有ケットを導入する。p|p\rangle\tag{1}\]運動量演算子もエルミートだから直交していて、さらに規格化しておく。p|\alpha\rangle|^2$となると考えられる。p|\alpha\rangle\tag{4}\]は、運動量表示の波動関数とみなせる。1\tag{5}\]となる。\delta(x-x')\tag{1}\]を使うと、たとえば、波動関数から運動量の期待値を求めることができる。\psi_\alpha(x)\tag{3}\]と波動関数を用いて書き表せる。大学入学したての頃は、運動量の期待値が(3)式のように演算子を挟み込む形になっているという意味がどうにも腑に落ちなかった覚えがあります。飛躍があるような気がします。備忘録として書いておこうと思った箇所までなかなかたどりつけません^^;もう少しです。無限小並進演算子を施したものを考える。dx\right)|\alpha\rangle\tag{1}\]左辺を位置基底を使って変形。x}\psi_\alpha(x)\tag{5}\]というおなじみの式になる。\delta(x-x')\tag{6}\]が得られる。位置表示(座標表示)の波動関数について。「位置表示」で通します。中に見出される確率を表すと解釈することができる。後に運動量演算子の固有ケットを基底に取った場合の波動関数について述べるので、それと区別するために、これを「位置表示」と呼ぶことにする。\rangle$を波動関数で挟み込んで積分すればよい。\psi_\alpha(x)\tag{5}\]と簡単な形で表される。位置と運動量の交換関係を導きます。位置演算子の交換関係から。dx|x\rangle\tag{3}\]$|x\rangle$は完全系をなすから、以下の交換関係が得られる。\delta_{ij}\tag{6}\]となる。この導出を初めてサクライで知った時には、なるほどね~と感動した覚えがあります。普通は、波動関数に対する空間微分で運動量を定義して、そこから交換関係を導きますからね。論理の順序が変わると、とても新鮮です。導入した真の目的は、運動量演算子を定義したいから。古典力学では、無限小空間並進にあたる正準変換の生成子は運動量である。このあたりは、不勉強でよく理解していないのですが。理解したいのですが、時間があまりないので、先を急ぎます。dx\tag{2}\]となるそうです。関連してそうということが推測できる。次元は、$L^{-1}$。K\tag{4}\]と定義する。この値が1でないのは、質量、長さなどの単位が独立にマクロな量から決められているから。0$の極限で古典力学に帰結すればよいということでしょうね。dx\tag{5}\]と書き表せる。位置ケットを無限小距離だけ変位させる演算子。3次元ベクトルで考えているが、太字は面倒なので略記する。この演算子に要請される特徴を考える。演算子はユニタリである。並進を行ったことに等しい。変換を行うことに等しい。1\tag{5}\]このような要請を満たす演算子として、以下のように定義する。2次以上を無視すると、4つの特性を満たすことが証明できる。忘れないうちに簡単にまとめておきたいと思います。今回は簡単にエッセンスのみで。教科書は、JJサクライ[1]です。位置演算子とその固有状態である位置ケットを導入。位置演算子とは、位置を測定することに相当する演算子。見出される確率を表すと解釈できる。これは波動関数と同一のものであると考えられる。確かに、波動関数の2乗を空間積分したものは1となっている。位数剰余類体の定義3次ルンゲ・クッタ法鍵コメさんへコメントありがとうございます。titleお久しぶりです。お返事が遅くなってしまい、すみません。有用な情報をありがとうございました。最近、この系統の勉強をしていないため、すぐに頭に入りませんがdyne→いもむしさん逆関数の微分定理があるおひさです。この問題の答えがありました。定理と呼ばれています。9*Sum[10^(-n),{n,1,infinity}]=19*Integrate[10^(-x),{x,1,infinity}]≒0.39087...まだ不完全ふがいないぼくはつぶやくさんへはじめまして^^コメントありがとうございます。初めの式に出てくるハミルトニアンのベースは解析力学です。(02/26)数式が小さくて読みにくい方へのヒント当ブログでは、数式表示にMathJaxを利用しています。表示が小さすぎてお困りという方は、大きく表示する方法がありますので、こちらの記事をご参照ください。博士課程を修了して、研究を生業にしているものの、実験系のため、理論があまりにも分かっていないことに危機感を覚え、数年前に一念発起!相対論と量子論の基礎から、独学で勉強し直してます。物理好きという人生の原点を見つめ直し、いつかは、標準模型を理解したいという野望を抱きながら、さびついた頭でどこまでいけるのか、挑戦中!あくまでも、独習記なので、内容は間違ってる可能性大です。参考になさらないようお願いします!(汗)本家ブログでは、マイホーム建築日記とピアノの練習日記をつづっています。Millcreek!当ブログの2013/5/7以前の記事は、本家ブログの物理・数学関連の記事を抜粋移行したものですので、文章が不自然なところがありますが、ご了承ください。記事のコメントもそのまま残してありますが、不都合がありましたら、削除しますので、お知らせください。当ブログはリンクフリーです。最近記事のRSS最新コメントのRSS最新トラックバックのRSSリンク無断でリンクさせていただいているものを含みます。ご支障がございましたら、すぐに解除致しますので、コメントにてお知らせください。