下回ることがありません。これらは、黄金角と同じくらい良い角度と言えるでしょう。実際、前回の投稿で紹介したアニメーションでこれらの角度を入れると、きれいな形を形成します。黄金角は無数にあった!!黄金角は、137.5度のことなので、その他の「良い角度」を準黄金角と呼ぶことにしましょう。準黄金角を、以下の性質を持つ角度とします。要するに、最初の数枚はバランスが悪かったとしても、葉っぱの枚数が多くなれば配置がバランス良くなる角度、ということです。上記のグラフに示したのは、準黄金角の中でも特によい性質を持つもので、この条件が全てのnに対して成り立つものです。検証した結果、準黄金角は、以下の形で表せるようです。(必要十分条件であることが厳密に証明できたわけではありませんが、もしかしたら良く知られた事実なのかもしれません。倍の角度として表せる。約数」mとkは任意なので、適当に選ぶことができます。kを決めると、aはkの約数なので、いくつかの候補に絞られます。mとkを動かすと、色々な角度に変えられます。その結果、準黄金角は、0°~360°までの間にびっしりと存在することになりそうです。どんなに狭い区間をとってもその間に有理数が無数にあるのにも関わらず、実数の「ほとんど全て」が無理数であるのと同じです。準黄金角も、ごくごく限定された条件を満たす角度であるにも関わらず、いくらでも存在するのです。準黄金角の条件の「あるNが存在して・・・」のNが大きすぎれば、実質的には「悪い角度」となるのですが。植物の性質を知るのに役立つかもしれない?植物によっては、「黄金角になっていないじゃないか!!」と言いたくなるものはたくさんありそうです。前回の投稿で示したアロエがそうです。あんなにくっきり5角形の模様が見えるのは、どうも黄金角っぽくありません。0.2に近い準黄金角を選べば、中心は5角形っぽいけれど、外側に広がるとバランスのよい感じになります。以下の図は、前回の投稿のアニメーションの「良い角度1」の角度を「アロエ」の角度にして色を変えたものです。アロエの葉っぱを増やした場合ご覧の通り、中心付近は5本のらせんがくっきりと見られますが、外側は均一な感じになっています。この、準黄金角の考え方を使えば、黄金角で説明できない植物のパターンを、「例外」で片付けずに説明できる場合もあるのではないでしょうか。アロエが本当にこの角度で葉を出しながら成長しているかどうかはわかりませんけどね。Ochiai数学科出身のソフトウェアエンジニアです。タローと呼ばれています。撮影できる、全天球パノラマ写真の球面印刷のサービスをやっています。球面プリントサービスあと、写真やイラストを切り絵にするサービスも。