\}$を次のように定める。$\displaystyle\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$がnによらないことを示せ。すべての$n=2,3,4,\cdots$に対し、$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ。\}$を次のように定める。すべての$n=1,2,3,\cdots$に対し、$p_n=q_{2n-1}$を示せ。【考え方】まず、$p_n$がどういう数列なのか、少し書き出してみましょう。与えられた式をそのまま使うと、$p_3=5$、$p_4=13$、$p_5=34$となります。残念ですが、正直これだけではよくわかりません。(1)で与えられている式が$n$によらないということは、$n$がどんな値であっても答えが変わらないので、$n=1$のときを考えてみると、3になることがわかります。これを直接算出するのは難しそうです。そのため、与えられている式の$n$と$n+1$バージョンを比較して、差が0になるとか割り算の答えが1になるなどを示す方針で考えましょう。漸化式を代入してもいいのですが、2乗があってちょっと計算が大変です。見ると、漸化式の分子と、与えられている式の分子でかぶっているところがあるので、このことを利用して変形していきましょう。(2)は(1)を使います。(3)は数学的帰納法で示していきます。