上限の定義より、収束する点の集合に属さない、すなわち発散する。対して、収束かつ発散することになり矛盾。右辺も収束するかどうか分からないんですね。証明で絶対収束しないとしか言えなくなってしまうので、それも困る。いうわけで、このような証明法になったのでしょうね。する級数は必ず収束する。元の数列の部分和もコーシー列である。部分和の数列が上に有界であることが必要かつ十分である。(証明概略)正項級数の部分和は単調増加であるから、上に有界であれば収束する。逆に、級数が収束すれば、有界である。