ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。(3)オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法をいろいろ探しています。前回は、Wikipedidaに載っていた素晴らしい方法を紹介しました。今回は、こちらの本に載っていた証明。基礎事項を一からすべて説明してくれるという面白い本です。基本的には、テーラー展開できちんと証明するのを目的としているようです。この本の中に、別の証明という形でコラムのように掲載されていた証明があったので、そちらに少しアレンジを加えて、紹介します。eixとなることを証明する。(x)という微分方程式ができる。これは、高校で習う(今は習うかどうかは知りませんが・・・)唯一のパターンである変数分離形の微分方程式。eixと導いています。(うろ覚えなので、細部は違うかもしれませんが・・・)すごくあっさり証明できてしまうのですが、この方法では複素の対数関数logを使ってるのが分かりにくいかなと思います。Cというように解くのが普通な気がします。これが複素数になると、絶対値つけなくていいの?となって、混乱が生じてしまいます。いう変数変換を行います。なるように狙っています。変数変換は、高校数学の範囲でも、置換積分などで慣れていると思うので、そんなに違和感はないでしょう。(z)とかくことにします。いうように、微分しても形が変わらない関数になります。言いたいところですが、ez以外にありえないということを証明しなければ、他の関数も存在する可能性が出てしまいます。以外にないということを示します。(実際には、Cという任意定数がつきます)ここからの証明は、こちらの本を参考にしています。