TeXTeX資料置き場サイトマップ数学と物理で人生は変わります!ここでは大学受験合格から大学で必須とされる理系科目の基礎の習得をサポートしています。専門的な数学と物理について勉強したいけど、どういう風に勉強したらいいかわからないといった学部生や社会人のための指導を目的に活動しています。線型代数の線型の意味って何でしょうか?数学2018.07.24線型代数の線型の意味って何でしょうか?ベクトル空間とか線型空間とか言ったりしますが、これらは実は同じものなのです。線型代数は大学で一番初めに勉強する科目の一つですが、あんまり良くわからないよって方も多いのではないでしょうか。今日はそんな線型代数がわかると何が楽しいかや、何で線型代数は大事なのかについて語っていこうと思います。厳密性は考えずに気楽に考えていきたいと思います。何かを学ぶ上でモチベーションはすごく大事だと思います。そもそも線型ってどういう意味なのか考えてみたことはありますか?ベクトルと行列はどういう関係にあるのでしょう?今回はこの疑問を通して線型代数の重要性について説明していきたいと思います。関連ベクトル空間(線型空間)とは私は数学の人間ですし先ずは、定義を書いておこうと思います。これを講義の一番初めに見せられて、トラウマになっている人もいますが、意味さえわかれば怖いものは何もありません。この定義のどの辺に具体的な行列とかベクトルが関係しているのかさっぱりわからなくなって、線型代数を諦めたという人も聞くぐらいですので、数学に対する免疫がない人がやるには抽象的すぎるのかも知れません。線型代数の目標の一つは下の定義が自然だと思えるようになることです。上のベクトル(線型)空間であるとは任意のとに対して以下の加法群とスカラー倍の構造を持つことである。(1)即ち和とスカラー倍が定義されている集合のことをベクトル空間という。上の定義の意味は簡単でまとめるとこうです。スカラー倍が定義できる以上です。簡単だと感じてくれたら嬉しく思います。この定義が難しいと思う原因はこれらの具体例についてはたくさんあるけど、どれも違って見えてしまうということだと思っています。何を隠そう全ては実数空間のことなのです。線型空間とベクトル空間は同じ意味ですが、線型ベクトルです。いうよりむしろ線型性を持つものをベクトルと呼ぶわけです。具体的には次元実数空間はベクトル空間です。平面ですね!この場合ベクトルは矢印で表せます。ここでベクトルと言っているのは次元実数空間の元のことです。どんなに一見複雑そうに見えてもベクトル空間と呼ばれるものには矢印っぽい性質があるよって事がわかるので定義は偉大なのです。線型=一次=”簡単”線型代数の線型とは簡単という意味である。1つ答えを書くと線型代数の線型とは一次式とか一次関数とかの一次という意味合いで使われることが多いです。線型代数は難しいものを簡単にしようとした結果生まれたとも言えます。いうのは中学校で習う一次関数です。この一次の係数が行列になります。ただの数やんって思った方もいるかも知れませんが、彼もれっきとしたの行列です。2変数に拡張してみましょう!ここでいうところのが行列です。Jacobi行列といいます。ここではも行列と思うことも出来ますが、敢えて区別してベクトルと呼びます。理由は後で説明します。1変数関数が直線に対して、2変数関数は平面の方程式になります。どちらも曲がっていないからこそ扱いやすい式なのです。1次であるということはそれだけ扱いやすい式であり2次関数くらいまでは実は線型代数でもどうにかなります。一般の関数を近似値で評価するときに一番初めに考える考える手法です。線型代数は関数を調べる武器という側面があるのです。関数の極値を判定なんかもできます。ベクトル空間はたった2つの特徴で全て決まる線型代数とは関数を簡略化して変化量を調べることが出来るわけですが、シンプルだという証拠にベクトル空間は次のたった2つの情報で決まってしまいます。次元なんとベクトル空間は上に挙げたたった2つのことで決まる自明な空間のことだったのです。今回体といっているのはスカラーのことです。実数体での話をしているので実質ベクトル空間を決めるのは次元だけです。今は話の都合上実数体しか考えないですが、複素数体を考えたりはします。次元という言葉を簡単に説明するとベクトル空間の独立な方向の数です。厳密には証明しなければなりませんが、次元という量はベクトル空間に対してただ1つ定まります。あるベクトル空間を考えましょう。こいつの次元がたまたまだとわかったとします。このときは次元実数空間と線型同型であるといいます。平たくいうとベクトル空間として見れば何も変わらないよということです。全てのの線型写像は行列で書けるのです。ここで線型写像という言葉が出てきました。線型写像というのはベクトルをベクトルに変換するもののことです。行列のことを一次変換ということもあります。線型写像としてを行列と呼び、を変換させられるベクトルと呼んだわけです。線型空間の定義からはややこしい印象を持った方もいるかも知れませんが、所詮なのです。どんなに一つ一つが矢印っぽくなくても、一見変な風に見えても抽象ベクトル空間の定義さえ満たしていれば所詮なのです。これがどんなに素晴らしいことかはまた次の機会に説明したいと思います。線型写像についても次回はもう少し詳しく説明したいと思います。今回のところはPDFも現在作成中なので、完成したら上げようと思います。多様体についてある程度知っている読者向けに書いてみました。)この記事へのコメントはありません。この記事へのトラックバックはありません。URL返信をキャンセルする。