CommentsTweet今さら感があるのですが、今年の東大の数学の入試問題では、2015年にちなんでこんな問題が出たそうです。5問いきなり2015で考えると難しいので、1,2,3,・・・と順番に考えていって、規則性を見つけるのがこういう問題のセオリーですが、さて、その規則とは?問題の解答自体を解説しても面白くないので、その規則を可視化したものをご紹介します。パスカルの三角形パスカルの三角形を、2で割った余りで色づけしてみます。Excel方眼紙を使って、条件付き書式でいっぺんに色づけします。Excelポイントは、パスカルの三角形を下まで書いた後で2で割るのではなく、1行ずつ2で割った余りを出して行けばよいことです。試験中はExcelなんて使えませんが、手計算で10行目くらいまでは簡単に書けるでしょう。すれば法則が見えてきます。150行くらいを描画したのがこちらになります。パスカルの三角形ご覧の通り、非常に規則的な形をしています。小さい三角形が繰り返し現れ、小さい三角形のパターンを大きい三角形が同じように繰り返しています。これを踏まえた上で、2015行目がどうなっているかを類推すれば、問題は解けるでしょう。2ではなく、3,4,5,・・・の余りだとどうなるか?ここからが本題です。パスカルの三角形を、2で割った余りで色づけしたらこのような面白い模様になりましたが、3,4,5,・・・の余りだと、どんな模様が現れるのでしょうか?実際にやってみましょう。一気に3から16まで見ていきます。面白い形ができましたね!何とも不思議な形ですが、よく見比べると以下の特徴が見えてきます。素数のときは整った形になる素数のn乗のときも、ある程度整った形になる合成数の時は、複雑な形になる。約数の模様を重ねたような形になる3番目の補足です。6の三角形とパターンが同じですよね。6で割った余りが5というように、2で割った余りが何で3で割った余りが何か、で特徴づけられることから、このような重ねあわせたものが6で割った余りの模様になることが説明できます。群論の言葉で言うと、が成り立つことから、このような重ね合わせの仕組みが説明できます。逆に言うと、ちょっと強引ですが、この法則を可視化したのがこの三角形模様とも言えるでしょう。非可換群の場合はどうなるのだろうか?ですね。上の2つから下の値が決まるので、本当は群である必要すらないのですが、広すぎてわからなくなるので、とりあえず群で考えましょう。単純な非可換群である、3次対称群で描画してみたところ、このようになりました。上の頂点を一つの値から始めると、巡回部分群が現れるだけになってしまうので、別のサイクルの元を2つ隣に並べたところから始めています。パターンとは違う、複雑な図形になりました。非可換群なので、左右非対称になっていますね。穴ぼこだらけで、スポンジボブっぽい感じです。ときの図形がうっすらと現れていることです。正規部分群に持ち、となることから説明できます。同じ結果になることからわかります。これを一般化すると、ある群で作ったパスカルの三角形は、その商群で作ったパスカルの三角形のパターンを内部に持つと言えそうです。正規部分群を持たない群だったら?正規部分群を持たない群つまり、非可解群と言えば、5次の交代群がありますね。それでは見ていただきましょう。5次の交代群で作ったパスカルの三角形です。5次交代群のパスカルの三角形(小)いやー、複雑ですね。これまでとは大きく違う、乱雑な並びです。進んだら規則的な模様が現れるかと思って、三角形の下の方まで描画してみたのですが、それでもこんな感じでした。5次交代群のパスカルの三角形これは複雑です。この感じだと、これより複雑な群を作っても、見た目はあまり変わらないでしょうね。先ほどの3次対称群と違うのは、穴ぼこがあまりないことです。任意の群で作ったパスカルの三角形には、いくらでも大きな「穴」があるが証明できます。5次の交代群のパスカルの三角形にも、もっと下の方まで行けば、いくらでも大きな穴があるということになります。5次の交代群のパスカルの三角形には、規則が全くないようですが、そうではなく、例えば以下のように左端4列だけを見てみれば、繰り返し同じ模様が現れていることが分かります。左から5列、6列、・・・で見ても、繰り返し同じ模様が現れますが、その周期が指数関数的に長くなるので、見た目には周期的な模様には見えないのです。この周期に合わせるように、段々大きな穴ぼこが現れてきます。左4列の図中には、緑色の小さい三角形(3ブロックから成るもの)が、周期の端に現れています。「無理矢理2015にちなんだ問題なんか作っちゃって~」と思ってしまいましたが、奥にはこんな話が待っていたんですね。このあたりの話を一般化した研究も、よく知りませんがきっとあるのでしょう。前回の記事で、パスカルの三角形を色分けすると様々な不思議な模様が現れるのを見ました。今回は、それを応用して平面を埋めつくすパターンを考えてみましょう。Ochiai数学科出身のソフトウェアエンジニアです。タローと呼ばれています。撮影できる、全天球パノラマ写真の球面印刷のサービスをやっています。球面プリントサービスあと、写真やイラストを切り絵にするサービスも。