CS-2122L上の丸めセレクタ。左のツマミで切り上げ・四捨五入・切り捨てのいずれかを選択し、右のツマミで小数点以下の桁数を選択する。事務用電卓の中には、この機種のように計算結果を指定した桁数に丸めて表示できるものもある。端数処理(はすうしょり)とは、与えられた数値を、ある一定の丸め幅の整数倍の数値に置き換えることである。平たく、丸め(まるめ)ともいう。常用的には、十進法で10となる数値の累乗(...100、10、1、0.1、0.01...)が丸め幅とされることが多いが、十進法以外のN進法についても同様である。めは任意の丸め幅に対し可能だが、以下では特にことわらない限り、丸め幅を1とする。任意の丸め幅で丸めるには、丸める前に丸め幅で割り、丸めた後に丸め幅をかける。正数について述べるが、負数についても適宜述べる。整数部分をそのまま残し、小数点以下を0とする丸めを切り捨てという。それに対し、小数点以下が0でなかった場合整数部分を1増やし、小数点以下を0とする丸めを切り上げという。負の数を考えると、切り捨て・切り上げに準ずる丸めは、4種類ある。それぞれ「○○への丸め」と呼ばれる。符号を無視して絶対値を丸める場合、切り捨ては、常に0へ近づく(または変わらない。切り捨て・切り上げというと、これらをさす。切り捨て・切り上げは、最も計算が単純な丸めである。その一方で、丸め誤差の上界が1(最大が1近い)と大きい。悪いことに、誤差が常に同じ符号であるというバイアスがあり、丸めた数を多数足し合わせると、個数に比例して丸め誤差が累積する。この欠点のため、限られた目的にしか使われない。数値が増えては困る/減っては困る場合は、切り捨てや切り上げが使われる。安全基準は、常に安全な方に丸められる。誤差や不確かさは、切り上げられる。見なされる恐れがあるときは、切り捨てられる。見なされる恐れがあるときは、切り上げられる。丸め誤差を小さく抑えるには、常に最も近い整数(2つある場合はそのうちどちらか)に丸めればいい。nearest)」という。「最近接丸め」というと、後述する「偶数への丸め」を意味することが多いので注意。0.5や、十二進法の0.6など)で、切り捨て・切り上げの半分になる。バイアスも、端数がランダム([0,1)で一様分布)の場合は発生しない。端数がランダムでなく端数が半分小数が有限の割合で発生する場合のみバイアスが発生するが、それでも、切り上げ・切り捨てより格段に少ない(端数が全て小数化すると半数になる、十進法0.5のデータを四捨五入する、十二進法0.6のデータを五捨六入するいったワーストケースでは同じ程度になる)。端数が0.5未満なら切り捨て、0.5以上なら切り上げる「半数切り上げ」の丸めを「四捨五入」という。8401で規則Bとして定められている[1]。以上ならば切り上げることに相当することから来ている。一般にはR丸めとも言う。あるということは記数法に無関係な、量(数量)としての関係だからである。小数点からずれた位置での丸めは記数法の影響が大きいが、小数点のひとつ左にある「ーの位の桁」の重みが1である、ということは記数法の影響を受けない。)正数に対しては、0.5を足して切り捨てるという、単純なアルゴリズムで得られる。負数に対して正常な結果を得ようとすれば、切り捨ては負の無限大への丸めである必要がある(0への丸めだと、たとえば−2が−1に丸められてしまう)。0.5を足して負への無限大へ丸めると、端数が0.5の場合に絶対値が減る(たとえば、−1.5は−1へと丸められる)。8401では、負数は絶対値として丸める(−1.5は−2へと丸められる)。実際に、コンピュータで負の数に「0.5を足して切り捨て」た場合どうなるかは、負数と切り捨ての実装による[1]。0.5以下なら切り捨て、0.5超なら切り上げる丸めを「五捨五超入」という。0.5は常に切り上げられる四捨五入とは逆の特徴を持つ。端数がランダムでない場合は、わずかに負のバイアスが発生しうる。正の数に対しては、0.5を引いて切り上げることで得られる。even)[2][3]は、端数が0.5より小さいなら切り捨て、端数が0.5より大きいならは切り上げ、端数がちょうど0.5なら切り捨てと切り上げのうち結果が偶数となる方へ丸める。8401で規則Aとして定められていて、規則B(四捨五入)より「望ましい」とされている[1]。四捨五入ではバイアスが発生する、端数0.5のデータが有限割合で存在する場合でも、バイアスがないのが特徴であり、多数足し合わせても丸め誤差が特定の側に偏って累積することがない(偶数+0.5は現れるが奇数+0.5は現れない、といったような特徴があるデータであれば、やはりバイアスはあらわれる)。「偶数丸め」「最近接丸め」とも呼ばれる。31-0で定められていることから「ISO丸め」ともいう。rounding)」、「銀行丸め」ともいう[5]。5が切り捨てられたり切り上げられたりするので「五捨五入」と呼ばれたり、端数がちょうど0.5の場合に整数部分が偶数なら「ゼロへの丸め」奇数なら「無限大への丸め」[6]になるので「偶捨奇入」と呼ばれたりもする。odd)[2]は、偶数への丸めの対称である。端数が0.5より小さいなら切り捨て、端数が0.5より大きいならは切り上げという点は最近接丸めとして同様だが、端数がちょうど0.5なら切り捨てと切り上げのうち結果が奇数となる方へ丸める、という点が偶数への丸めの逆である。四捨五入ではバイアスが発生する、端数0.5のデータが有限割合で存在する場合でも、バイアスがないのが特徴であり、多数足し合わせても丸め誤差が特定の側に偏って累積することがない(偶数+0.5は現れるが奇数+0.5は現れない、といったような特徴があるデータであれば、やはりバイアスはあらわれる)。5以下ならば切り捨て、6以上ならば切り上げる丸めを「五捨六入」という。後述するように五捨六入は十進法と十二進法では異なり、十進法では「半数切り捨て」が五捨六入で、十二進法では「半数切り上げ」が五捨六入である。この節では、十進法で「半数切り捨て」を指す五捨六入について述べる。0.4を足して切り捨てることで得られる。0.55が0へ丸められることから、五捨六入が最近接丸めではないことがわかる。端数がランダムなデータに対しは、やや強い負のバイアスがあるため、そのようなデータに対し五捨六入が使われることはまずない。五捨六入が実用的なのは、端数が0.1の整数倍のみを取りうる場合に限られる。この場合の五捨六入は、0.1〜0.5で切り捨て、0.6〜0.9で切り上げ(0.5超0.6未満は発生しない)なので、最近接丸めの一種の五捨五超入と同じ結果となる。麻雀のとあるローカルルールでは、最終的な得失点を五捨六入する。この場合の端数は常に0.1の整数倍(100の倍数を、1000の倍数に丸める)なので、丸め結果は五捨五超入である。コンピュータでは、プロセッサによっては四捨五入と五捨六入を均等に使い分け、バイアスを0にする工夫がなされているものがある。四捨六入編集アルシーアル麻雀の得点計算では、かつて端数処理が行われる前の段階の計算による得点を丸めるときに四捨六入と呼ばれるものが採用されていた。これは丸める桁が必ず偶数になるためであり、実質的には最近接丸めである。#偶数への丸めが「四捨六入」と呼ばれる事例もある。スウェディッシュ・ラウンディング編集ニュージーランドでは現金での支払いの際、スウェディッシュ・ラウンディングと呼ばれる方法で端数処理が行われている。「スウェディッシュ・ラウンディング」とは、十進法で二捨三入や七捨八入と呼ばれる方法である。5を単位とした端数が3未満なら切り捨て、3以上なら切り上げとなる。端数がランダムな場合は、五捨六入と同様に非実用的である。通常は、1刻みのデータに対し5を丸め幅として丸めるので、その結果は最近接値への丸めである。754で丸めモードとして定められている最近接丸め(偶数)0への丸め正の無限大への丸め負の無限大への丸めの4つを「IEEE丸め」と総称する。乱数丸め編集[0,1)の一様乱数を発生させ、端数以上なら切り捨て、端数より小さければ切り上げる。一様乱数を足して切り捨てることで得られる。丸め誤差は上界が1だが、分布が0近くに集まっているため、ランダムなデータに対する平均二乗誤差は切り捨て・切り上げよりは少ない。任意の分布の端数に対して、バイアスがないのが特長である。0~0.5の間に端数が多かったとすると、偶数への丸めでは負のバイアスが生まれるが、乱数丸めではバイアスがない。ディザの一種として使われる。二進法では、切り捨てた後LSBをセットするという、簡単なアルゴリズムで得られる。丸め誤差は切り捨て・切り上げと同程度で大きいが、ランダムなデータに対してはバイアスがないという性質は持っている。同じ数値を2回以上丸めてはいけない。偶数への丸めの場合で、切り捨て過ぎてしまう例と、切り上げ過ぎてしまう例を説明する。丸められなければならない。なり、切り捨て過ぎになる。丸められなければならない。なり、切り上げ過ぎになる。簡単な原則のように思えるかもしれないが、時に難しい問題を引き起こすことがある。だいたい0.5」というような値になった時、それが「0.5ちょうどか、もしかしたら少し小さい」という場合は切り捨てできるが、それと対称的であるにもかかわらず「0.5ちょうどか、もしかしたら少し大きい」という場合は、「もしかしたら」の部分をはっきりさせなければ、正しい丸めができない。だいたい0.5」では逆になる。桁にする場合を考える。低レベルの丸め編集choppingは、あるビット以下を全て0にする。これは最も計算が簡単な丸めで、正の数に対しては切捨てとなる。負数に対する動作は負数の方式によるが、2の補数表現では負の無限大への丸めとなる。choppingは、下位ビットを明示的に0にするほか、たとえば32ビットレジスタの上位16ビットを16ビットレジスタとして使うなどでも得られる。choppingのあと、有効桁の中でのLSBをセットすると、フォン・ノイマン丸めとなる。同様にビット操作で実装されるものであるが、プログラミング言語の関数などで丸めの機能が提供されている。FPUで実装されていることも多い。通常は、丸め関数の丸め幅は1で、それ以外の丸め幅に対しては、丸め前に丸め幅で割り丸め後に丸め幅を掛ける、というのが一般的なレシピである。これは、割ったり掛けたりするのはプログラマの責任であり、処理系は「小数点以下の丸め」のみに責任を持つ、という明確な責任の分界点のあらわれである。第2引数以降で丸め幅を指定できる環境もある(が、次で述べるように問題がある)。Ruby(やPHP)など一部の言語のライブラリでは、(十進で)小数点以下何桁目で丸める、ということを引数で指定できるものがあるが、仕様に問題がある。いう値は表現できない。内部的には「丸めた」結果とは本来は言えないものだからである。そのような計算に関する、いくつかのモデルの立て方は考えられるが[8]、いずれにしろ元々の要求のほうが無理としたほうが妥当である。丸め関数が返す値は、小数点以下が全てゼロの値、という意味では整数だが、型は引数と同様に浮動小数点型というものも多い。正確に表現できる整数の範囲のほうが広いためである。trunc編集floor関数(緑)とceil関数(赤)多くの環境では、床関数(負の無限大へ)、天井関数(正の無限大へ)、切り落とし関数(0へ)が実装されている(床関数と天井関数)。それぞれの関数名には、次のようなものが使われる。trunc、truncate、fixこれらは、4つのIEEE丸めモードのうち3つに対応している。4つ目の偶数への丸めの実装率は、これらより劣る。IEEE丸めに含まれない無限大への丸めが実装されている環境は少ない。最近接丸めは、多くの環境にroundという関数がある。どの最近接丸めかを定めている一般的となっている標準(デファクトスタンダード)は存在しないので注意が必要である。四捨五入か偶数への丸めであるが[9]、明示的に選択できないことも多い。(int)浮動小数点型から整数型へのキャストなどによる型変換では、処理が単純な切り捨てになるものが多く、負の場合は実装による。C言語のmodf関数は、実数を整数部と小数部に分割する。整数部は0への丸めである。3010-1993(C89)のもの)C言語およびそれと同じ仕様の言語では、キャストなどによる浮動小数点型から整数型への型変換においては、その値は小数部が捨てられる(§6.2.1.3)。よって「0への丸め」が行われる。C89では、数学ライブラリ(§7.5)に床関数floorと天井関数ceilがあり(§7.5.6)、浮動小数点型において正方向への丸めと負方向への丸めが計算できる。C99では、四捨五入関数roundをはじめとして、fegetround/fesetround(これはmath.hではなくfenv.h)による丸めモードの取得と設定など、大幅な強化が図られている。なる(なってもおかしくない)ので注意が必要である。ような値になるためである。テーブルメーカーのジレンマ編集この項目「端数処理」は途中まで翻訳されたものです。(原文:en:Rounding#Table-maker.27s_dilemma)翻訳作業に協力して下さる方を求めています。ノートページや履歴、翻訳のガイドラインも参照してください。要約欄への翻訳情報の記入をお忘れなく。(2017年11月)ウィリアム・カハンは端数処理の(あまり意識されていなかった)難しさを示し、「テーブルメーカーのジレンマ」[10]というフレーズを提案した。これは「#2回以上の丸めの禁止」の節で『「もしかしたら」の部分をはっきりさせなければ、正しい丸めができない』と説明した内容の「はっきりさせる」ために必要なコストについて(実は)「オーダーを見積もる」ことすら不可能だ、という話である。カハンが指摘した後には、具体的に著しく「悪い例」としてどういう値があるか、といったサーベイ[11]などが行われている。その一例を示しながらカハン曰く、そこにおいてオーバーフロー・アンダーフローをしないとき正しく丸められたy^wを全ての2つの浮動小数点数の引数に対して計算するのにどれだけのコストがかかるかだれも知らない。reputableな数学ライブラリは初等超越関数を多くの場合わずかに1/2ulpを超えるのに収まりほとんど常に十分1ulpに収まるように計算する。どれだけの計算がかかるかだれも知らないからだ...。transcendental表現を計算し既定の桁数に正しく丸めるのにどれだけの余分な数字をcarryしなければならないかを予想する一般的な方法はない。ある有限の桁数が最終的に十分であるという(正しいとしても)事実すらも深い定理かもしれない。この事実の帰結として、標準規格では以下のようになっている。Multiply-Add、平方根、剰余(浮動小数点剰余)について、「無限の精度で演算し、それを正しく丸めた結果」を要求し、また標準に沿っていると保証する実装はそれを保証しなければならない。一方で、より複雑な関数(演算)に対しては1985年版の仕様では同様な要求は示されず、それらに対しては典型的には「最終bitの範囲内(いわゆる「1ULP」)」の正しさは無い。2008年版ではいくつかの更新があった。Gelfond–Schneider理論およびLindemann–Weierstrass理論を用いることにより、standardな初等関数の多くは非ゼロの有理数の引数を与えられた時transcendentalな結果を返すことを証明されている。それゆえそのような関数を正しく丸めることは常に可能である。ある与えられた精度に対してリミットを決定すること、正しく丸められた結果が保証される前に、は多くの計算時間を要求するかもしれない。いくつかのパッケージは正しい丸めを提供する。MPFRパッケージは正しく丸められた任意精度の結果を与える。他のいくつかのパッケージは倍精度において正しい丸めの初等関数を実装している。(4つの丸めモードをサポートし、それは証明されている。)それについて丸められた値がどれだけの桁を計算してもdetarminedになりえないような計算可能な数が存在する。特定のインスタンスは与えられることはないがしかしこれは停止問題のundecidabilityからをfollowする。ゴールドバッハのconjectureが真でかつ証明不可能であれば、次の値を次の整数まで丸めた結果は決定できない。ここでnは4より大きい2つの素数の和でないような最初の偶数か、あるいはもしそのような数が無ければ0結果はもしそのような数が存在すれば1、存在しなければ0である。丸め前の値はしかしconjectureが証明不可能であっても与えられた任意の精度で近似できる。...)によってそれぞれ規定や定めがあり[12]、それに従って端数処理が取り扱われる。解説」1章一般事項にそれぞれ諸雑費及び端数処理の方法が記載されている[13]。(共通編)』「P特−2−月−8」、「特−2−月−30」、「特−3−日−2」に記載された記述規定に基づく。「積算の数量は、設計図書から読みとることのできる設計数量によることを原則とする」としている。計画数量を必要とする場合は、その旨明記することになっている。所要数量で表示する必要のあるときには、その割増率についても規定している。小数点以下3位を四捨五入する。そのまま計算すると非常に細かい数値となる。積算上では長さの計測は「m」が単位であるから、端数が多いとそれだけ作業効率がわるいばかりか計算違いのもとにもなりやすい。積算精度を勘案して小数点以下3位を四捨五入し、「cm」の位までとしている。計算数値の端数についても小数点以下3位を四捨五入する。最後の内訳書に対応する数量で端数処理を行う。後者は便法による計算としている。いずれの方法によってもよいことになっている。mmまで計測することとしている。コンクリートの断面寸法も小数点以下3位まで計測し,木材の所要数量(体積)を求める場合もこの規定の適用外となっている。体積m3および質量tであり,表示される数量の端数については、小数点以下2位を四捨五入して小数点以下1位とする。四捨五入して整数とする、などがある。諸雑費をプラス計上せず切捨て、などの処置で端数を調整しているのが一般的である。いう用語を採用している文献は、現在のところ発見できていない。詳細は、ノートを参照。負の数の場合も含めた明示的表現としては、そうなる。続いていても、下の桁で上の桁からの桁借りが発生するかもしれない。いったような場合の下の桁の扱いをどうすべきか、といった点も問題になる(前述のようなちょうど境界だった場合、下の桁は必ずしも無意味とは言えないかもしれない)。偶数への丸めが推奨されてはおり、徐々に標準となってゆくと思われる[要出典]。Microsoftの一部の環境など、仕様で明示しているものもある。C99もC++11もJavaもECMAScript(JavaScript)も異なるルールを仕様に定めている。このフレーズに含まれる「テーブルメーカー」とは、「数表」を計算し、それを出版せんと企てる者、という意味である。数表は一般に、それに印刷されている桁数の範囲内は必ず正しいものでなければならないことが要求される(であろう)という背景がある。上限と下限の両方を計算することで結果がある範囲内に必ずあることを保証するといったような手法が、数表の正確さのために活用されてきた、という歴史がある。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。