n=3のとき、(3,4,5)5-4=1n=5のとき、(5,12,13)13-12=1n=7のとき、(7,24,25)25-24=1n=9のとき、(9,40,41)41-40=1この性質により、ピタゴラスによる解は決まる。方程式x2+y2=z2を満たす自然数の解(x,y,z)で、z-y=1となるものを求めるには、次を解けばよい。(∵z-y=1より、z=y+1)x2+y2=y2+2y+1x2=2y+1よって、xは奇数である(∵偶数の2乗は偶数、奇数の2乗は奇数だから)。nは奇数なので、x=nとおける。後にプラトンは偶数2mから出発して、次のピタゴラス数を得た。[定理]プラトンによるピタゴラス数m:整数とする。このとき、ピタゴラス数は次の形になる。[例]m=2のとき、(4,3,5)m=3のとき、(6,8,10)m=4のとき、(8,15,17)m=5のとき、(10,24,26)◇[補講]プラトンによるピタゴラス数で本質的に新しい組は、mが偶数の場合だけである。m=3のときのピタゴラス数(6,8,10)は、(3,4,5)を2倍したものである。◇[補講]プラトンの結果では、次が成り立つ。