m=2のとき、(4,3,5)5-3=2m=3のとき、(6,8,10)10-8=2m=4のとき、(8,15,17)17-15=2m=5のとき、(10,24,26)26-24=2この性質により、プラトンによる解は決まる。方程式x2+y2=z2を満たす自然数の解(x,y,z)で、z-y=2となるものを求めるには、次を解けばよい。(∵z-y=2より、z=y+2)x2+y2=y2+4y2+4x2=4y2+4x2=4(y2+1)よって、xは偶数である(∵偶数の2乗は偶数、奇数の2乗は奇数だから)。mは偶数なので、x=2mとおける。†ユークリッドの『原論』の第2巻の命題5は、次のようなものである。[定理]線分AB上に中心Cと、もう一点Dをとる。ADとBDを辺とする長方形と、CDを一辺とする正方形の面積を合わせると、ACを一辺とする正方形の面積に等しい。AD=a,BD=bとおけば、次の関係を意味する。←(*)[補講]『原論』ではこのような代数的な結果も幾何の定理として述べられ、幾何学的証明が与えられている。これがギリシャ数学の特徴の1つである。◇[補講](*)において、nを奇数の自然数とし、a=n2,b=1とすると、次のようになる。よって、ピタゴラスの結果を得る。◇[補講](*)において、mを偶数の自然数とし、a=2m2,b=2とすると、次のようになる。よって、プラトンの結果を得る。すれば、次のようになる。kq^2}{2})")はピタゴラス数である。†[定理]m,n,kを整数とする。ように書け、その際mとnは互いに素で、一方は偶数、他方は奇数である。←(*)の整数解、kを整数とすると(ka,kb,kc)も(*)の解である。(ka,kb,kc)が解なら、(a,b,c)も解である。したがって、最大公約数が1であるような整数解を決定すればよい。以後は、(a,b,c)は(*)の整数解で、最大公約数が1と仮定する。(i)a,bが共に偶数はありえないことを示す。a,bが共に偶数と仮定すると、(*)より、cも偶数になり、最大公約数が1という仮定に反する。(ii)a,bが共に奇数はあり得ないことを示す。a,bが共に奇数と仮定すると、(*)より、cは偶数である(∵(*)より)。そこで、cは2c1と書ける。よって、(右辺)=(c2=4c12は4で割り切れる。a=2a1+1,b=2b1+1と書ける。よって、(左辺)=a2+b2=4(a12+a1+b12+b1)+2左辺は4で割り切れないので、矛盾が生じた。(i)(ii)より、以後はaを奇数、bを偶数であるとする。(*)より、cは奇数になる。←(**)a,cが共に奇数なので、b,c+a,c-aはすべて偶数である。そこで、次のように書き直せる。両方が素数pで割れると、その和c、差aもpで割れ、(**)によりbもpで割れることになり矛盾するからである。(***)の左辺は平方数であるから、右辺も平方数である。それぞれ平方数になる。割るものが存在することになり矛盾が生じるからである。