Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Kombinatorische Optimierung', 'Problem (Graphentheorie)', 'Reise- und Routenplanung'], 'Das Problem des Handlungsreisenden (auch Problem des Handelsreisenden, Botenproblem, Rundreiseproblem, engl. \' oder \' (TSP)) ist ein kombinatorisches Optimierungsproblem des "Operations Research" und der theoretischen Informatik. Die Aufgabe besteht darin, eine Reihenfolge für den Besuch mehrerer Orte so zu wählen, dass keine Station außer der ersten mehr als einmal besucht wird, die gesamte Reisestrecke des Handlungsreisenden möglichst kurz und die erste Station gleich der letzten Station ist.', 'Seit seiner ersten Erwähnung als mathematisches Problem im Jahre 1930 haben sich viele Forscher damit befasst und neue Optimierungsverfahren daran entwickelt und erprobt, die momentan auch für andere Optimierungsprobleme eingesetzt werden. Heute steht eine Vielzahl von heuristischen und exakten Methoden zur Verfügung, mit denen auch schwierige Fälle mit mehreren tausend Städten optimal gelöst wurden.', 'Das Problem des Handlungsreisenden tritt schon in seiner Reinform in vielen praktischen Anwendungen auf, beispielsweise in der Tourenplanung, in der Logistik oder im Design von Mikrochips. Noch häufiger tritt es allerdings als Unterproblem auf, wie zum Beispiel bei der Verteilung von Waren, bei der Planung von Touren eines Kunden- oder Pannendienstes oder bei der Genom-Sequenzierung. Dabei sind die Begriffe „Stadt“ und „Entfernung“ nicht wörtlich zu nehmen, vielmehr repräsentieren die Städte beispielsweise zu besuchende Kunden, Bohrlöcher oder DNA-Teilstränge, während Entfernung für Reisezeit, Kosten oder den Grad der Übereinstimmung zweier DNA-Stränge steht. In vielen praktischen Anwendungen müssen zudem Zusatzbedingungen wie Zeitfenster oder eingeschränkte Ressourcen beachtet werden, was die Lösung des Problems erheblich erschwert.', 'Das Problem des Handlungsreisenden ist ein NP-schweres Problem. Unter der bislang unbewiesenen Annahme, dass die Komplexitätsklassen P und NP verschieden sind, gilt demnach, dass kein Algorithmus existiert, der eine kürzeste Rundreise in polynomieller Worst-case-Laufzeit bestimmt.', 'Geschichte.', 'Wann das Problem des Handlungsreisenden erstmals wissenschaftlich untersucht wurde, ist unklar. Aus dem Jahre 1832 ist ein Handbuch für Handlungsreisende bekannt (Titel: "Der Handlungsreisende – wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiß zu sein – von einem alten Commis-Voyageur"), in dem das Problem erwähnt, aber nicht mathematisch behandelt wird. Darin werden Beispieltouren für einige Regionen Deutschlands und der Schweiz vorgeschlagen.', 'Als Vorläufer des Problems kann das "Icosian Game" von William Rowan Hamilton aus dem 19. Jahrhundert angesehen werden, bei dem es galt, in einem Graphen Touren zwischen 20 Knoten zu finden. Die erste explizite Erwähnung als mathematisches Optimierungsproblem scheint auf Karl Menger zurückführbar zu sein, der dieses 1930 in einem mathematischen Kolloquium in Wien formulierte:', 'Bald darauf wurde die heute übliche Bezeichnung "Travelling Salesman Problem" durch Hassler Whitney von der Princeton University eingeführt.', 'Neben der einfachen Definition und Verständlichkeit der Aufgabenstellung zeichnet sich das Problem des Handlungsreisenden dadurch aus, dass die Bestimmung "guter" Lösungen vergleichsweise leicht ist, während das Finden einer beweisbar "optimalen" Lösung sehr schwierig ist.', 'Daher ist das Studium dieses Problems seit der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts weniger durch direkte Anwendungen motiviert – es dient als eine Art Spielwiese zur Entwicklung von Optimierungsverfahren.', 'Viele heutige Standardmethoden der ganzzahligen linearen Optimierung, wie Schnittebenenverfahren, Branch-and-Cut und verschiedene heuristische Ansätze, wurden am Beispiel des TSP entwickelt und getestet.', 'Seit den 1950er Jahren gewann das Problem des Handlungsreisenden in Europa als auch in den USA an Popularität. Herausragende Beiträge leisteten George Dantzig, Delbert Ray Fulkerson und Selmer M. Johnson, die 1954 am Institut der RAND Corporation in Santa Monica die erste Formulierung des Problems als ganzzahliges lineares Programm als auch ein Schnittebenenverfahren zu dessen Lösung entwickelten. Sie berechneten eine Tour für ein konkretes Rundreiseproblem (eine sogenannte "Probleminstanz") mit 49 Städten und bewiesen, dass es keine kürzere Tour gibt. In den 1960er und 1970er Jahren befassten sich viele interdisziplinäre Forschergruppen mit Anwendungen des Problems unter anderem in der Informatik, den Wirtschaftswissenschaften, der Chemie und der Biologie.', 'Richard M. Karp bewies im Jahre 1972 die NP-Vollständigkeit des Hamiltonkreisproblems, aus der sich leicht die NP-Äquivalenz des TSP ableiten lässt. Damit lieferte er eine theoretische Begründung für die schwere Lösbarkeit dieses Problems in der Praxis.', 'Größere Fortschritte wurden Ende der 1970er und 1980er Jahre erzielt, als Martin Grötschel, Manfred Padberg, Giovanni Rinaldi und andere mit neuen Schnittebenen und einem Branch-and-Cut-Verfahren einige Probleminstanzen mit bis zu 2392 Städten optimal lösten.', 'Ein 1976 unabhängig von Nicos Christofides und Anatoli I. Serdjukow beschriebener Algorithmus ergab eine Rundreise, die maximal um die Hälfte länger ist als die optimale Tour.', 'In den 1990er Jahren begannen David Applegate, Robert Bixby, Vašek Chvátal und William Cook mit der Entwicklung des Programms "Concorde", das an vielen Lösungsrekorden beteiligt war. Gerhard Reinelt stellte 1991 die TSPLIB bereit, eine Sammlung verschieden schwerer standardisierter Testinstanzen, womit viele Forschergruppen ihre Resultate vergleichen konnten. Im Jahre 2006 berechnete Cook mit anderen eine beweisbar kürzeste Tour durch 85.900 Städte eines Layoutproblems für integrierte Schaltkreise, was die bislang größte optimal gelöste TSPLIB-Instanz ist. Für andere Instanzen mit Millionen Städten bestimmten sie mit zusätzlichen Dekompositionstechniken Touren, deren Länge beweisbar weniger als 1 % vom Optimum entfernt liegt.', 'András Sebö von der Universität Grenoble und Jens Vygen von der Universität Bonn stellten 2014 mit einem Algorithmus, welcher eine polynomielle Laufzeit besitzt, einen neuen Rekord im Bereich der Heuristiken mit Gütegarantie auf: Ihr neuartiger, "Schöne-Ohren-Zerlegung" genannter Algorithmus bestimmt Lösungen des Graph-TSP, die höchstens 1,4-mal so lang sind wie die optimale Rundreisestrecke, was eine neue Bestmarke darstellt.', 'Mathematische Beschreibung.', 'Modellierung als Graph.', 'Damit mathematische Verfahren zur Lösung verwendet werden können, muss eine reale Situation zunächst durch ein einfaches Modell abgebildet werden. Das Problem des Handlungsreisenden lässt sich mit Hilfe eines Graphen modellieren, das heißt: durch Knoten und Kanten. Dabei repräsentieren die Knoten (im Bild: A bis D) die Städte, während jede Kante formula_1 zwischen zwei Knoten formula_2 und formula_3 eine Verbindung zwischen diesen Städten beschreibt. Zu jeder Kante formula_1 gibt es eine Länge formula_5 (im Bild: 20, 42, …), die sich je nach Zusammenhang beispielsweise als geographische Länge einer Verbindung, als Reisezeit oder als Kosten einer Reise zwischen zwei Städten interpretieren lässt. Eine "Tour" (auch Hamiltonkreis genannt) ist ein Kreis in diesem Graphen, der jeden Knoten genau einmal enthält. Ziel ist es, eine möglichst kurze Tour zu finden.', 'Um die Untersuchung des Problems zu vereinfachen und um sicherzustellen, dass es eine Tour gibt, wird meist angenommen, dass der Graph vollständig ist, dass also zwischen je zwei Knoten immer eine Kante existiert. Dies lässt sich dadurch erreichen, dass überall dort, wo keine Kante existiert, eine künstliche, sehr lange Kante eingefügt wird. Aufgrund ihrer hohen Länge wird eine solche Kante nie in einer kürzesten Tour vorkommen, es sei denn, es gäbe sonst keine Tour.', 'Je nach Eigenschaften der Kantengewichte werden noch unterschiedliche Spezialfälle des Problems unterschieden, von denen die wichtigsten das "symmetrische" und das "metrische" TSP sind.', 'Asymmetrisches und symmetrisches TSP.', 'Beim allgemeinen "asymmetrischen TSP" können die Kanten in Hin- und Rückrichtung unterschiedliche Längen haben, so dass dieses Problem mit Hilfe eines gerichteten Graphen modelliert werden muss. Es reicht also nicht, bloß von der Verbindung zwischen zwei Knoten und ihrer Länge zu sprechen; zusätzlich muss noch die Richtung angegeben werden.', 'Beim "symmetrischen TSP" dagegen sind für alle Knotenpaare formula_1 die Kantenlängen in beide Richtungen identisch, d. h., es gilt formula_7. Als Konsequenz davon hat jede Tour in beide Richtungen dieselbe Länge. Die Symmetrie halbiert also die Anzahl der möglichen Touren. Ein symmetrisches TSP wird üblicherweise mit Hilfe eines ungerichteten Graphen modelliert (wie im Bild). Ein Problem des Handlungsreisenden zwischen realen Städten kann asymmetrisch oder symmetrisch sein, je nachdem, ob beispielsweise durch Baustellen oder Einbahnstraßen der Weg in eine Richtung länger dauert als in die andere oder nicht. Ebenso könnte die Reise zu Wasser oder in der Luft unterschiedlichen Strömungen ausgesetzt sein.', 'Metrisches TSP.', 'Ein symmetrisches TSP heißt "metrisch", wenn zusätzlich seine Kantenlängen die Dreiecksungleichung erfüllen. Anschaulich bedeutet dies, dass sich Umwege nicht lohnen, weil die direkte Verbindung von formula_2 nach formula_3 nie länger ist als der Weg von formula_2 nach formula_3 über einen dritten Knoten formula_12:', 'Solche Kantenlängen definieren eine Pseudometrik auf der Knotenmenge, also ein Entfernungsmaß, das die intuitiv von einem Abstand erwarteten Bedingungen erfüllt. Mehrere in der Praxis häufig auftretende Distanzfunktionen sind Pseudometriken, erfüllen also die Dreiecksungleichung:', 'Die letzten beiden Metriken finden beispielsweise Anwendung beim Bohren von Leiterplatten, wo ein Bohrer, der eine vorgegebene Menge von Löchern in möglichst kurzer Zeit abarbeiten muss, in beide Dimensionen unabhängig bewegt werden kann, um von einem Loch zum nächsten zu gelangen. Die Manhattan-Metrik entspricht dem Fall, dass die Bewegung in beide Richtungen nacheinander erfolgt, während bei der Maximum-Metrik beide Bewegungen gleichzeitig erfolgen und die Gesamtzeit von der jeweils längeren Strecke in x- bzw. y-Richtung bestimmt wird.', 'Ein nicht-metrisches TSP kann zum Beispiel vorliegen, wenn die Dauer einer Reise minimiert werden soll und auf verschiedenen Strecken verschiedene: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück