Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Analysis'], 'Die Differential- oder Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Während eine stetige Funktion ihren Eingabewerten kontinuierlich gewisse Ausgangswerte zuordnet, wird durch die Differentialrechnung ermittelt, wie stark sich die Ausgabewerte nach sehr kleinen Veränderungen der Eingabewerte ändern. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird.', 'Die Ableitung einer Funktion dient der Darstellung lokaler Veränderungen einer Funktion und ist gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung. Anstatt von der Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten, dessen geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist nach der Vorstellung von Leibniz der Proportionalitätsfaktor zwischen "infinitesimalen" Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls "infinitesimalen" Änderungen des Funktionswertes. Eine Funktion wird als differenzierbar bezeichnet, wenn ein solcher Proportionalitätsfaktor existiert. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird mit der Ableitung in dem Punkt eine lineare Näherung der Funktion gewonnen. Die Linearisierung einer möglicherweise komplizierten Funktion hat den Vorteil, dass eine einfacher behandelbare Funktion entsteht als die ursprüngliche Funktion oder überhaupt erst eine Handhabbarkeit.', 'In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse.', 'In der Sprache der Geometrie ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle formula_1 kann man als die Steigung der Tangente im Punkt formula_2 des Graphen von formula_3 definieren.', 'In der Sprache der Arithmetik schreibt man formula_4 für die Ableitung einer Funktion formula_5 an der Stelle formula_6. Sie gibt an, um welchen Faktor von formula_7 sich formula_5 ungefähr ändert, wenn sich formula_6 um einen „kleinen“ Betrag formula_7 ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff "Grenzwert" oder "Limes" verwendet.', 'Einführung.', 'Heranführung anhand eines Beispiels.', 'Fährt ein Auto auf einer Straße, so kann anhand dieses Sachverhalts eine Tabelle erstellt werden, in der zu jedem Zeitpunkt die Strecke, die seit dem Beginn der Aufzeichnung zurückgelegt wurde, eingetragen wird. In der Praxis ist es zweckmäßig, eine solche Tabelle nicht zu engmaschig zu führen, d. h. zum Beispiel in einem Zeitraum von 1 Minute nur alle 3 Sekunden einen neuen Eintrag zu machen, was lediglich 20 Messungen erfordern würde. Jedoch kann eine solche Tabelle theoretisch beliebig engmaschig gestaltet werden, wenn jeder Zeitpunkt berücksichtigt werden soll. Dabei gehen die vormals diskreten, also mit einem Abstand behafteten Daten, in ein Kontinuum über. Die "Gegenwart" wird dann als Zeit"punkt", d. h. als ein unendlich kurzer Zeitabschnitt, interpretiert. Gleichzeitig hat das Auto aber zu jedem Zeitpunkt eine theoretisch bekannte Strecke zurückgelegt, und wenn es nicht bis zum Stillstand abbremst oder gar zurück fährt, wird die Strecke kontinuierlich ansteigen, also zu keinem Zeitpunkt dieselbe sein wie zu einem anderen.', 'Die Motivation hinter dem Begriff der "Ableitung" einer Weg-Zeit-Kurve oder -Funktion ist, dass nun angegeben werden kann, "wie schnell" sich das Auto zu einem momentanen Zeitpunkt bewegt. Aus einem Weg-Zeit-Verlauf soll also der passende Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf "abgeleitet" werden. Hintergrund ist, dass die Geschwindigkeit ein Maß dafür ist, "wie stark" sich die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit "ändert". Bei einer hohen Geschwindigkeit ist ein starker Anstieg in der Kurve zu sehen, während eine niedrige Geschwindigkeit zu wenig Veränderung führt. Da "jedem" Messpunkt auch eine Strecke zugeordnet wurde, sollte eine solche Analyse grundsätzlich möglich sein, denn mit dem Wissen über die zurückgelegte Strecke formula_11 innerhalb einem Zeitintervall formula_12 gilt für die Geschwindigkeit', 'Sind also formula_14 und formula_15 zwei unterschiedliche Zeitpunkte, so lautet „die Geschwindigkeit“ des Autos im Zeitintervall zwischen diesen', 'Die Differenzen in Zähler und Nenner müssen gebildet werden, da man sich nur für die innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls formula_17 zurückgelegte Strecke formula_18 interessiert. Dennoch liefert dieser Ansatz kein vollständiges Bild, da zunächst nur Geschwindigkeiten für Zeitintervalle mit auseinander liegendem Anfangs- und Endpunkt gemessen wurden. Eine "momentane" Geschwindigkeit, vergleichbar mit einem Blitzerfoto, hingegen bezöge sich auf ein "unendlich kurzes Zeitintervall". Dementsprechend ist der oben stehende Begriff „Geschwindigkeit“ durch „durchschnittliche Geschwindigkeit“ zu präzisieren. Auch wenn mit echten Zeitintervallen, also diskreten Daten, gearbeitet wird, vereinfacht sich das Modell insofern, als für ein Auto innerhalb der betrachteten Intervalle keine schlagartige Ortsänderung und keine schlagartige Geschwindigkeitsänderung möglich ist. (Auch eine Vollbremsung benötigt Zeit, und zwar länger als die Zeit, in der die Reifen quietschen.) Damit ist auch in der Zeichnung der stillschweigend "durchgehend" eingetragene Kurvenzug ohne Sprung und ohne Knick gerechtfertigt.', 'Soll hingegen zu einem „perfekt passenden“ Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf übergegangen werden, so muss der Terminus „durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Zeitintervall“ durch „Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt“ ersetzt werden. Dazu muss zunächst ein Zeitpunkt formula_14 gewählt werden. Die Idee ist nun, „ausgedehnte Zeitintervalle“ in einem "Grenzwertprozess" gegen ein unendlich kurzes Zeitintervall laufen zu lassen und zu studieren, was mit den betroffenen durchschnittlichen Geschwindigkeiten passiert. Obwohl der Nenner formula_17 dabei gegen 0 strebt, ist dies anschaulich kein Problem, da sich das Auto in kürzer werdenden Zeitabschnitten bei stetigem Verlauf immer weniger weit bewegen kann, womit sich Zähler und Nenner gleichzeitig verkleinern, und im Grenzprozess ein unbestimmter Term „formula_21“ entsteht. Dieser kann unter Umständen als Grenzwert Sinn ergeben, beispielsweise drücken', 'exakt "dieselben" Geschwindigkeiten aus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten beim Studium der Geschwindigkeiten. Entweder, sie lassen in dem betrachteten Grenzwertprozess "keine" Tendenz erkennen, sich einem bestimmten endlichen Wert anzunähern. In diesem Fall kann der Bewegung des Autos "keine zum Zeitpunkt formula_14 gültige Geschwindigkeit" zugeordnet werden, d. h., der Term „formula_21“ hat hier keinen eindeutigen Sinn. Gibt es hingegen eine zunehmende Stabilisierung in Richtung auf einen festen Wert, so "existiert" der Grenzwert', 'und drückt die exakt im Zeitpunkt formula_14 bestehende Geschwindigkeit aus. Der unbestimmte Term „formula_21“ nimmt in diesem Fall einen eindeutigen Wert an. Die dabei entstehende Momentangeschwindigkeit wird auch als Ableitung von formula_28 an der Stelle formula_14 bezeichnet; für diese wird häufig das Symbol formula_30 benutzt. Mit dem Grenzwert wird die Momentangeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt definiert als', 'Prinzip der Differentialrechnung.', 'Das Beispiel des letzten Abschnitts ist dann besonders einfach, wenn die Zunahme der zurückgelegten Strecke mit der Zeit "gleichförmig", also linear verläuft. Dann liegt speziell eine Proportionalität zwischen der "Veränderung" der Strecke und der "Veränderung" der Zeit vor. Die "relative Veränderung" der Strecke, also ihre Zunahme im Verhältnis zur Zunahme der Zeit, ist bei dieser Bewegung immer gleichbleibend. Die "mittlere" Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt auch die "momentane" Geschwindigkeit. Beispielsweise legt das Auto zwischen 0 und 1 Sekunden eine gleich lange Strecke zurück wie zwischen 9 und 10 Sekunden und die zehnfache Strecke zwischen 0 und 10 Sekunden. Als Proportionalitätsfaktor über den ganzen Weg gilt die konstante Geschwindigkeit formula_32, wobei sie im nebenstehenden Bild formula_33 beträgt. Die zwischen beliebig weit auseinanderliegenden Zeitpunkten formula_34 und formula_35 zurückgelegte Strecke beträgt', 'Allgemein bewegt sich das Auto in der Zeitspanne formula_12 um die Strecke formula_38 vorwärts. Speziell bei formula_39 ergibt sich ein Wegstück formula_40.', 'Falls der Startwert bei formula_41 nicht formula_42 sondern formula_43 beträgt, ändert dies nichts, da sich in der Beziehung formula_44 die Konstante formula_45 durch die Differenzbildung aus formula_11 stets heraussubtrahiert. Auch anschaulich ist dies bekannt: Die Startposition des Autos ist unerheblich für seine Geschwindigkeit.', 'Werden statt der Variablen formula_34 und formula_28 allgemein die Variablen formula_6 und formula_50 betrachtet, so lässt sich also festhalten:', 'Schwieriger wird es, wenn eine Bewegung "nicht gleichförmig" verläuft. Dann ist das Diagramm der Zeit-Strecken-Funktion nicht geradlinig. Für derartige Verläufe muss der Ableitungsbegriff erweitert werden. Denn es gibt keinen Proportionalitätsfaktor, der "überall" die lokale relative Veränderung ausdrückt. Als einzig mögliche Strategie ist die Gewinnung einer linearen Näherung für die nicht-lineare Funktion gefunden worden, zumindest an einer interessierenden Stelle. (Im nächsten Bild ist das die Stelle formula_57.) Damit wird das Problem auf eine wenigstens an dieser Stelle lineare Funktion zurückgeführt. Die Methode der Linearisierung ist die Grundlage für den eigentlichen Kalkül der Differentialrechnung. Sie ist in der Analysis von sehr großer Bedeutung, da sie dabei hilft, komplizierte Vorgänge lokal auf leichter verständliche Vorgänge, nämlich lineare Vorgänge, zu reduzieren.', 'Die Strategie soll exemplarisch an der nicht-linearen Funktion formula_58 erläutert werden. Die Tabelle zeigt Werte für diese Funktion und für ihre: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück