Representation theories of some towers of algebras related to the symmetric groups and their Hecke algebras
We study the representation theory of three towers of algebras which are related to the symmetric groups and their Hecke algebras. The first one is constructed as the algebras generated simultaneously by the elementary transpositions and the elementary sorting operators acting on permutations. The two others are the monoid algebras of nondecreasing functions and nondecreasing parking functions. For these three towers, we describe the structure of simple and indecomposable projective modules, together with the Cartan map. The Grothendieck algebras and coalgebras given respectively by the induction product and the restriction coproduct are also given explicitly. This yields some new interpretations of the classical bases of quasi-symmetric and noncommutative symmetric functions as well as some new bases. Resume. Nous etudions la theorie des representations de trois tours d’algebres liees aux groupes symetriques et a leurs algebres de Hecke. La premiere est formee des algebres engendrees par les transpositions elementaires ainsi que les operateurs de tris elementaires agissant sur les permutations. Les deux autres sont formees des algebres des monoides des fonctions croissantes et des fonctions de parking croissantes. Pour ces trois tours, nous donnons la structure des modules simples et projectifs indecomposables ainsi que l’application de Cartan. Nous calculons egalement explicitement les algebres et cogebres de Grothendieck pour le produit d’induction et le coproduit de restriction. Il en decoule de nouvelles interpretations de bases connues des fonctions quasi-symetriques et symetriques noncommutatives ainsi que des nouvelles bases.