Sharp stability estimates for quasi-autonomous evolution equations of hyperbolic type
We study the energy decay of the difference of two solutions for dissipative evolution problems of the type: u" + Lu + g(u') = h(t), t > 0, including wave and plate equations and ordinary differential equations. In the general case, when the damping term g behaves like a power of the velocity v!, the energy decreases like a negative power of time, multiplied by a constant depending on the initial energies. We provide estimates on these constants and prove their optimality. In the special case of the ordinary differential equation with periodic forcing, we establish, relying on a controllability-like technique, that the decay is in fact exponential, even under very weak damping. Resume. On etudie la decroissance de l'energie pour la difference de deux solutions dans des problemes devolution dissipatifs du type: u" + Lu + g{u') = h{t), t > 0. Ceci s'applique en particulier aux equations des ondes et des plaques et a des equations differentielles ordinaires. Dans le cas general, et lorsque le terme d'amortissement g se comporte comme une puissance de la velocite u', l'energie decroit comme une puissance negative du temps, que multiplie une constante dependant des energies initiales. On donne des estimations sur ces constantes et on prouve leur optimalite. Dans le cas de l'equation differentielle ordinaire avec un terme source periodique, on montre, en utilisant une technique de type controlabilite, que la decroissance en temps est en fait exponentielle, et ce meme en presence d'un amortissement tres faible. Received February 8, 1996. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary 35L70, 35L75, 35B35, 35B40; Secondary 34D05. E-mail address: soupletSmath.univ-parisl3.fr ©1999 Brown University 55