Rovásírás ROVÁSÍRÁS Műveletek rovásszámokkal
Műveletek rovásszámokkal
Iskolásoknak és érdeklődő lelkületű felnőtteknek
Írta: Barta József
A rovásszámjegyek és a számok írása
Kivonás - haladóknak
Számrendszerek, számolást segítő eszközök
- Ujjaink - mint számológép
- A "Gelosia módszer"
- Az "orosz módszer"
Szorzás rovásszámokkal
Ki állítja, hogy a rovásszámjegyekkel nem lehet számtani műveleteket végezni? A helyiértékes számokkal játszi könnyedséggel végezzük el a számtani alapműveleteket (ha muszáj), hiszen ezt az iskolában (remélhetőleg) megtanultuk, begyakoroltuk. Elődeink mindennapi életében is fontos szerepe volt a számtannak-mértannak. Az ősi írások nem helyiértékes számrendszereivel, mint például az ősi magyar rovásírás számaival, az etruszk vagy a római számokkal, természetesen ugyancsak kellett - és ebből következően lehetett - összeadni, kivonni. Ez nekünk ma már nem megy olyan könnyen, hisz elfeledtük, vagy soha nem is tanultunk rá módszereket. Sebaj, fogjunk hozzá!
Megszámolom, hány labdám van! Használom az ujjaimat, kergesgélés közben el ne felejtsem, hol tartok. Egy pöttyös az udvaron ( ), egy a szomszéd kertjében ( ), egy foci a virágágyásban ( ), egy pattogós a táskámban ( ), ja, és egy, ami a kútba pottyant tavaly ( ). Hohó, itt egy similabda a búcsúból ( )! A fiókban négy pingponglabda - hol is tartok? - hét ( ), nyolc ( ), kilenc ( ) és tíz ( ). Hogyan tovább? Mindkét kezem összes ujja foglalt! Cipő, zokni le? Nem, jobb lesz, ha az eddigieket leírom egy papírra, hogy el ne felejtsem és így felszabadulnak a kezeim.
A vonásokat ötösével csoportosítva írom le és vízszintesen áthúzom (ahogy nagypapa szokta) így könnyebb lesz kiolvasni a végén ( ). Újabb labdák - a gombfoci készletből két darab ( ), teniszlabda három darab ( ). Ezt is leírom a papírra, mert azt hiszem, nincs több ( ). De nem, várjunk csak: egy marcipánlabda a tortámról ( ). És a kutya játéka? Ez elég rossz bőrben van, de kellő jóindulattal még labdának nevezhető ( ). Elfogytak, nincs több, leírom a kettőt is ( ). Mennyi is összesen? 17 labda, ha nem tévedtem. 17 vonás kellett a szám leírásához. Lehetne ezt rövidíteni? Az ötös - "egy kéznyi" - csoportok jelölésére a rovásírásból megismert ötöst használom: ( ). Már csak 5 jel. Két ötös összeadva egy tizes, rovás-tizessel jelölöm: ( ). Így már csak 4 jel kellett.
A labdaszámolás több nagyon fontos tanulsággal szolgált. Először is megállapítást nyert, hogy igazi labda-nagyhatalom vagyok. Másodsorban kiderült, hogy a 17-et, mint mennyiséget, többféleképpen is ábrázolhatom írásban! Egészséges lustaságom azt súgja, hogy lehetőleg minél kevesebb jelet kelljen használni. A harmadik: ha én többféleképpen írhatom le ugyanazt a mennyiséget, akkor más is - ez bizony félreértésekre ad lehetőséget. Szükség van tehát a leírás módjának szabályozására. Végül pedig - ha már lúd, legyen kövér - szeretnék majd (majd..., később..., esetleg...) számtani műveleteket is végezni a leírt rovásszámokkal, és ehhez módszerek kellenek, s újabb szabályok...
Szusszanjunk egyet, mielőtt nekigyürkőznénk a számírási szabályok és a műveletek tárgyalásának. A soproni egyetemen járta ez a vicc: "A matematika tanszék vezetőjéhez, Moór Artúrhoz benyit a titkárnője, és azt mondja: - Professzor úr, egy koldus áll a bejáratnál és kéreget! A válasz nem késik: - Adjon neki három algebra feladványt!" Nos, én is adok Nektek néhány játékos (pihentető?) feladatot: mindegyikben egyetlen gyufaszál elmozdításával kell igazzá tenni az egyenletet. Ügyeljetek most is a helyes olvasási irányra! Az én megoldásaimat megtaláljátok a lap alján. Megoldások Kérem szépen, aki talál az enyémtől eltérő megfejtést, küldje el nekem a bartbox@t-online.hu címre. Előre is köszönöm, kellemes fejtörést!
a) IIIV=III-IV
b) X=III-IIIV
c) X=V+IIV
d) III-IIV=X
A rovásírás számai nem helyiértékes, hanem összeadásos - additív - (Brrr!) számok. Ez azt jelenti, hogy a bennük szereplő valamennyi jel értéke állandó, függetlenül a számban elfoglalt helyétől. A szám értékét a jelek értékének összeadásával kapjuk. A helyiértékes számok világában használt "0" (nulla) itt felesleges, nem használatos. A forrásokból ismert jelek két csoportba oszthatók.
és értékeik:
Segédjelek
* Az írásos emlékekben alig találjuk meg az 500-as jelét. Pedig a rovásszámok képzésének logikájából az következik, hogy kellett és kell lennie. Hogy szabadabban szárnyalhassunk a matematika tiszta kék egén (Hmm!), ajánlok egy jól valószínűsíthető segédjelet az 500-as értékre: . Bevezetésével már ezres számkörben tudunk műveleteket végezni. Megerősítésre találtam Bárczy Zoltán könyvecskéjében, az ott közölt ábécében található egy hasonló jel, ihletője feltehetően az egyik tászoktetői kő felirata.
Bárczy Zoltán ábécéje az 500-as jellel (Magyar rovásírás, 1971)
A tászoktetői 18. sz. kő (Bárczy Zoltán rajza)
Tovább tágulhatna mozgásterünk az alap- és segédjelek sorának további bővítésével, ám félő, hogy egyre kevesebben tartanának velünk szárnyalásunkban (Hmm!), ezért a további jel-ötleteimet megtartom magamnak "házi használatra". Nektek is javaslom, hogy ha a számtani műveletek végzése közben olyan értékkel találkoztok, melyre nem találtok jelet az ábécékben, találjatok ki rá egy alkalmi jelet.
Az ábécék jelei és az általam ismert forrásokban található kevés - és általában kétezernél kisebb - szám írásmódja, valamint matematikai megfontolások alapján 3 nagyon egyszerű szabályt lehet felállítani a rovásszámok képzésére. Ezek tulajdonképpen bármely additív (Brrr!) számrendszer számképzési szabályainak megfelelnek.
1. A jelek a betűírás irányával megegyező irányban csökkenő sorrendben állnak. (Tehát jobbról balra írásnál a számjegyek is jobbról balra csökkenő sorrendben íródnak.)
2. Az alapjelekből legfeljebb 4 állhat egy csoportban. (Hiszen pl. a jelölése már .)
3. A segédjelek mindig egyenként állnak. (A jelölése .)
A három szabály szerint az ismert jelek (és az 500-as!) felhasználásával a leírható legnagyobb szám a , vagyis a 4999. Az így felírt számokkal ebben a számtartományban elvégezhető a 4 számtani alapművelet is.
Ha van kedvetek, játsszunk egy kicsit: hogyan változik a számtartomány, ha ideiglenesen bevezetjük az ötezresre az , a tízezresre a jelet? A fenti szabályokat alkalmazva a felírható legnagyobb szám: , vagyis a 49999. Ha van kedved, folytasd!
Most én töröm a fejem! Attila, a hun nagyvezér hogyan vette számba százezernél is több katonáját? Hogyan tartotta számon javait, készleteit? Hogyan írt parancsot a péknek, ha például katonánként napi három cipóra volt szüksége két hónapon át egy hadjárathoz...? Nagyon hálás volnék, ha segítenétek ötleteitekkel... bartbox@t-online.hu
Friedrich Klára a rovásszámokkal kapcsolatban nem teljes mértékben ért egyet a fenti számképzési szabályokkal. Ő a kiejtés szerinti írásmódot alkalmazza a 2000, és az annál nagyobb számok lejegyzésére. Ez a módszer jól használható, a legtöbb természetes szám leírható vele, pl. a 12675 (tagolva: tizen_két_ezer_hat_száz_hetven_öt) így fest rovásszámokkal: _ _ _ _ _ _ , vagyis .
Ne ijedj meg, ha azt tapasztalod, hogy egy a kiejtés szerint felírt számmal nem tudsz elvégezni valamilyen számtani műveletet. A számot alakítsd át a fenti számképzési szabályoknak megfelelő alakúra, végezd el a műveletet, az eredményt pedig (ha akarod,) visszaírhatod kiejtés szerintire. Ha találkozol az 5000, 10000, stb. értékekkel, ezekhez egy-egy alkalmi jelet találj ki.
Jöjjenek (végre) a számtani alapműveletek. Vigyázat! Tudomány következik, kőkemény rettenet! Bátrak, tartsatok velem! Buksi mackók, irány a játszótér!
Az összeadás nagyon egyszerű szabályokra épül:
1. Az összeadandók (tagok) azonos értékű jeleit összeadom egymással. (Egyest az egyessel, ötöst az ötössel, stb.)
2. Egyszerűsítek a jelek összevonásával, kezdve a legkisebb értékű jelekkel. ( = , + = , = , és így tovább...)
3. A jeleket nagyság szerint jobbról balra csökkenő sorba rendezem. (Ez a végeredmény.)
Számoljuk ki, mennyi 78 + 49 ! Rovásszámokkal írva: . A számokat alkotó jeleket csoportokra bontva könnyen tudjuk elvégezni az összeadást. Én leírok minden lépést, de aki ügyesebb, az több műveletet fejben elvégez és nem ír annyit. A részeredmények nem "szabályos" számok!
1. Felírom az 1. tagot "széthúzva":
Felírom a 2. tagot "széthúzva":
2. Összeadom az azonos értékű jeleket:
3. Elvégzem a lehetséges összevonásokat:
"Beváltva":
4. Helyükre rendezem a jeleket:
5. Elvégzem az -esek összevonását:
6. Helyére rendezem a -as jelet:
Rendezem a számot, az eredmény:
Egy másik módszer, elvét tekintve az előzőhöz hasonló, ki-ki döntse el melyik tetszik neki jobban. Természetesen Nektek most sem muszáj ennyit írnotok, összevonhattok lépéseket fejben...
1. A megfelelő jeleket
összeadom:
2. Az egyeseket
összevonom:
3. Az ötösöket
Az tizeseket
Az ötveneseket
Nincs több összevonható tag, az eredmény:
A kivonás szabályai is egyszerűek, következnek az összeadásnál leírtakból. A kisebbítendőt és a kivonandót is alkotó részeire bontom és táblázatot készítek. Jöjjön ismét egy példa. Százas nagyságrend mehet? Rajta! 477 - 161 = ? Rovásszámokkal felírva (jobbról olvasva):
1. Felírom a kisebbítendőt :
Felírom a kivonandót :
2. A kisebbítendőből elhagyom azokat a jeleket,
amik a kivonandóban is szerepelnek:
3. Leírom a megmaradt jeleket:
Ugye, milyen egyszerű? Na persze, hiszen egy cikkíró igyekszik olyan számokat keresni, amelyeknél a dolgok "simán mennek". De mi van akkor, ha ez nem sikerül?
Előfordul, hogy a kivonandó valamelyik jelét nem tudjuk kivonni, mert a kisebbítendőben nincs annak megfelelő jel, vagy kevesebb van, mint a kivonandóban. Ilyenkor a nála egyel nagyobb jelet "fel kell váltani". Ha nincs eggyel, akkor a kettővel nagyobb jelet kell megkeresni, és a "felváltás" két lépcsős. Példák (jobbról balra olvasd!): = , + = vagy + = , = , és így tovább.... Nézzünk egy ilyen esetet, kicsit babrás lesz, de hajrá! 477 - 198 = ? Rovásszámokkal felírva (jobbról olvasva):
2. Kiejtem a mindkettőben meglévő jeleket:
3. Az egyszerűsítés után a kisebbítendő:
Az egyszerűsítés után a kivonandó:
A kisebbítendő egyik -asát "felváltom":
5. A kisebbítendő egyik -esét "felváltom":
6. A kisebbítendő egyik -esét "felváltom"
7. A "felváltások" után a kisebbítendő:
A változatlan kivonandó:
8. Elvégzem a kivonást:
(Kiejtem a mindkettőben meglévő jeleket)
9. Leírom a megmaradt jeleket:
A maják 20-as, a babiloniaiak 60-as számrendszert használtak (innen ered, hogy 1 óra = 60 perc = 60 x 60 mp). A 12-es számrendszerre utal a germán nyelvekben a "tucat" fogalma. Eltérő számrendszerekben ugyanazokra a feladatokra eltérő módszerek alakultak ki. Melyik a jobb? Attól függ, melyiket "gyakoroltuk be". A szokatlan gyakran félelmetes, de nem kell megijedni.
Az iskolában megtanultunk egy módszert a szorzásra. Ennek tökéletességébe és egyedüliségébe vetett hitünk erős bástyaként "védi" agyunkat az ismeretlen eljárásoktól. (Ne ijedj meg, nem lerombolni szeretném, csak bejutni!) Ám léteznek más módszerek, olyanok is, amikkel ki-ki esetleg könnyebben, gyorsabban boldogulna, érdemes tehát próbát tenni. A nem-helyiértékes rovásszámokkal való szorzásra az iskolában tanult eljárás nem alkalmas.
Elődeink sok mindent használtak számoláshoz: kavicsot, indát, pálcikát, csontokat, bármit, ami - az ujjaikon kívül - a kezük ügyébe került. Gyakran kőbe vésték, fába rótták... Később kialakultak a számolást megkönnyítő, (gépiesítő) módszerek és eszközök. Egyes afrikai törzseknél ha a férj vadászni indult, vágott két indát, s mindkettőre annyi csomót kötött, ahány napig távol kívánt maradni. Az egyiket elvitte, a másik a feleségnél maradt. Minden nap kibontottak egy csomót, így tudták a hazatérés napját. Az inkák csomóírást, kiput használtak feljegyzésre.
Kipuval számoló maja
A kavicsokkal történő számolásból fejlődött ki az abakusz, majd ebből a szorobán. Ezeknél rúdra fűzött golyók helyzete egy-egy számjegyet, a rudak egy-egy helyiértéket jelöltek. 1980-ban Moszkva legnagyobb áruházának pénztárosai még ezzel számoltak - döbbenetes gyorsasággal.
A logarléc még ötven évvel ezelőtt is a mérnökember "varázspálcája" volt. Egymás mellett elcsúsztatható logaritmikus skálájú vonalzók segítségével gyorsan és pontosan lehetett vele számolni. A zsebszámológépet pedig már nem kell nektek bemutatni.
Következzen most néhány szorzási módszer, "trükk".
Ujjaink - mint számológép
Alighanem a legősibb módszer, de ma is komoly vetélytársa az iskolai szorzótáblás módszernek. Az ujjainkkal fogunk számolni, egy kezünkön 0-tól 9-ig, az ábra szerint. Egyik kezünk a szorzandó, másik a szorzó lesz. Mennyi 9 x 7 ? Bal kezeden számolj el 9-ig (szorzandó) úgy, hogy közben egyesével nyitod az ujjaid 5-ig, majd zárod 9-ig. Most a jobb kezeden ugyanígy számold ki a 7-et (szorzó). Ezután bal kezeden a nyitott ujjakat (1) megszorzod a jobb kezeden nyitott ujjakkal (3) és az erdményhez hozzáadod az összes csukott ujjad számának tízszeresét. Sajnos csak az 5 és 10 közé eső számokat tudjunk így összeszorozni.
A "Gelosia módszer"
Feltehetően Indiából származik. Az ábra szerint egy táblázatot készítünk és beleírjuk a szorzandót és a szorzót. Mindkettő számjegyeit összeszorozzuk egymással, a részeredményeket beírjuk a megfelelő oszlop-sor kereszteződésekbe, az egyeseket az alsó háromszögbe, a tizeseket - ha nincs, akkor nullát - a felsőbe. Ezután az átlós mezőben lévő számjegyeket átlónként külön összeadjuk a jobb alsóval kezdve, úgy, hogy a maradékot - ha van - hozzáadjuk a következő sáv összegéhez. Elmagyarázni bonyolultabb, mint megcsinálni, érdemes kipróbálásra. 214 x 89 = 19046
Az "Gelosia módszer" bemutatására egy rövid film található az interneten, a YouTube oldalán. Ugrás a filmhez.
Egy "kínai"-ként említett szorzási módszert mutat be egy másik rövid film. Hasonló az elve, de talán még egyszerűbb, hiszen tisztán "grafikus" megoldást kínál akár nagyobb számok összeszorzására is. Szintén a YouTube oldalán található. Ugrás a filmhez.
Az "orosz módszer"
Már ismert volt Egyiptomban is, a rész-szorzatra bontás módszeréből alakulhatott ki. Az eljárás nagyon egyszerű. Az 1. lépés: írjuk le egymás mellé a szorzót és a szorzandót. Az egyiket - célszerűen a kisebbet (példánkban a szorzó = 35) - soronként lefelé haladva megfelezzük, a felezéskor esetleg maradó 1-et elhagyjuk. A másikat (példánkban a szorzandó = 63) szintén soronként lefelé haladva rendre megduplázzuk. A műveleteket addig ismételjük, amíg a "felezős" oszlopban elérünk 1-ig. A 2. lépés: megnézzük, hogy a "felezős" oszlop mely soraiban állnak páros számok. Ha találunk ilyet, akkor abban a sorban mind a két számot kihúzzuk. A 3. lépés: végül a "duplázós" oszlop megmaradt számait összeadjuk, ez a szorzás végeredménye. Mennyi 35 x 63 ?
1-3. lépések
párosok kihúzása
egy táblázatban
Az "orosz módszer" bemutatására több rövid film is található a YouTube oldalán, az egyik: ugrás a filmhez. A módszer jelentősége számunkra, hogy visszavezeti a magasabb rendű műveletet - a szorzást - az egyszerűbb összeadásra, ráadásul ezt többnyire akár fejben is el tudjuk végezni. Fejben számolunk (-Magunkban beszélünk? Hmm!) és csak a rész- és végeredményt kell leírnunk. Talán menne ez rovásszámokkal is...?
Kikapcsolódásnak ajánlok egy (nagggyonviccces) filmet, ez olyan módszert mutat, ami egyszerűen verhetetlen... Ugrás a filmhez.
Eljutottunk a rovás számokkal történő szorzás gyönyörűségéhez. Az "orosz módszer" lesz segítségünkre, mivel "számrendszer-független", a felezés-duplázás műveletei egyszerű összeadások, melyeket fejben tudunk elvégezni. Kis gyakorlással ez még a nagyobb számok esetén is viszonylag könnyen és gyorsan megy.
Próbáljuk ki: végezzünk el egy szorzást rovásszámokkal. A felezésnél-duplázásnál használjuk az összeadás-kivonás szabályait! Mennyi 13 x 26, vagyis: . Remélem értékelitek, hogy barátságosan kicsi számokat választottam. Nagyobb számokkal bizony sokáig el lehet bíbelődni, én ilyenkor az egyes soroknál a rész-számításokat külön végzem el, és csak az ellenőrzött részeredményeket írom be a táblázatba.
A szorzásra már megismertük az "orosz módszer" használatát. Most ennek "megfordításával" fogjuk az osztás műveletét végezni. Az eljárás ismertetését a könnyebb megértés miatt arab számokkal végzem. Lássuk, mennyi 2149 : 58 ? Táblázatot készítek 4 oszloppal. A sorok számát most még nem tudom, később fog kiderülni.
Kezdem az 1. oszlop kitöltésével. Legfölülre beírom az osztót (1.A = 58) és duplázom egymás alá (1.B = 116), (1.C = 232) és így tovább, egészen addig, amíg az eredmény nagyobb nem lesz az osztandónál (1.G = 3712). Több sorra nem lesz szükség, utolsó sorunk a G.
A 2. és 3. oszlopok kitöltése: a legalsó (G) sorba beírom az osztandót. Megkeresem az 1. oszlopban a legnagyobb, de 2149-nél kisebb számot (1.F = 1856). Ezt kivonom a 2149-ből, az eredményt beírom a 2. oszlopban ugyanebbe a sorba (2.F = 293), valamint beírok egy 1-est is a 3. oszlopban ugyanebbe a sorba (3.F = 1). Ezután a 2.F mezőből felfelé indulva megkeresem az 1. oszlopban a legnagyobb, de 293-nál kisebb számot. Az 1.E és a 1.D mezőkben nagyobb számok állnak, így ezek kimaradnak. Fölöttük a 1.C mezőben megtalálom a 232-t, ezt kivonom a 293-ból. Az eredményt beírom a megfelelő mezőbe (2.C = 61) és írok egy 1-est a 3.C mezőbe. Ezután a 2.C-ből felfelé indulva keresem az 1. oszlop legnagyobb, de 61-nél kisebb számát. Az 1.B mezőben nagyobb szám áll, így ez kimarad. Fölötte az 1.A mezőben megtalálom az 58-at, ezt kivonom a 61-ből. Az eredményt beírom a megfelelő mezőbe (2.A = 3) és írok egy 1-est a 3.A mezőbe.
Végül a 4. oszlop kitöltése jön, ez már nagyon könnyű. Legalulra "0" jelet írok, majd fölfelé haladva minden sorba beírom az alatta lévő szám kétszeresét, hozzáadva a 3. oszlop 1-esét is, ha van abban a sorban. Az oszlop legfelső száma az osztás eredménye (4.A = 37) és a 2. oszlop tetején találjuk az osztés maradékát (2.A = 3).
Amikor kipróbáljátok ezt a számolást, Nektek nem lesz szükségetek a a sorok betű-jeleire. Ez csak a magyarázathoz kellett, a számolásban nincs szerepe. De nézzük most a fenti példát, immár rovásszámokkal! Mennyi 2149 : 58 ? (bocsánat) A számolás menete teljességgel megegyezik az előbbiekkel. A részeredményeket beírtam a megfelelő mezőkbe, de a részlet számításokat külön firka-lapon végeztem el. Ezt nektek is ajánlom.
Ezzel küldetésünk véget ért, feladatunkat teljesítettük. Ujjaikkal, kezeinkkel számolgatva megérezhettük, miből ered a mennyiségek jelölése, miből alakulhattak ki a rovás számjegyek. Most már tudjátok Ti is a rovásszámok írásának szabályait. Könnyedén tudjuk rovás számainkat összeadni és kivonni, gond nélkül (Khmm!) osztunk és szorzunk velük. Megismertünk pár számolási módszert, ami segíthet az arab számokkal vívott csatáinkban is.
És a legfontosabb: bebizonyítottuk, hogy igenis lehet számolni a nem helyiértékes rovásszámokkal! Bár azt sajnos nem tudjuk, hogy nagyszerű őseink milyen eljárásokat használtak, de számolhattak, és hiszem, hogy számoltak is!
Köszönöm a figyelmeteket és várom észrevételeiteket a bartbox@t-online.hu címre.
Átdolgozott változat, készült 2008. december 19.
Az eredeti írás 2006-ban jelent meg Friedrich Klára Új Rovásírás Tankönyv és Szakköri Ötlettár c. kiadványában. Megtekintés
A gyufa-feladványok megfejtései (jobbról balra):