A P. 5162. feladat
A P. 5162. feladat (2019. október)
P. 5162. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb oldallapjai síktükrök. A hasáb a vízszintes alaplapjának súlypontján átmenő, függőleges tengely körül \(\displaystyle T\) periódusidővel egyenletes forgómozgást végez. Az egyik oldallapjára vízszintes irányú, a forgástengely felé haladó lézersugár érkezik. A \(\displaystyle t=0\) pillanatban a lézersugár merőleges az egyik tükörre. Adjuk meg és ábrázoljuk a visszavert sugárnak a beeső sugárral bezárt szögét az idő függvényében a \(\displaystyle 0\le t\le T\) időtartamban!
Megoldás. Jelöljük a hasáb radiánban mért elfordulási szögét \(\displaystyle \varphi\)-vel, a lézersugár eltérülési szögét pedig \(\displaystyle \delta\)-val. (A megadott időintervallumban le \(\displaystyle 0\le\varphi\le 2\pi\), továbbá \(\displaystyle \varphi=2\pi t/T\). A \(\displaystyle \delta\) szöget nem a szokásos 0 és \(\displaystyle 2\pi\) közötti, hanem \(\displaystyle -\pi\) és \(\displaystyle +\pi\) közé eső értékekkel fogjuk megadni.
A \(\displaystyle t = 0\) pillanatban – a feladat szövege szerint – \(\displaystyle \varphi=0\), és nyilván \(\displaystyle \delta=0\). A tükrözési törvény szerint a \(\displaystyle \varphi\) szög növekedtével egy darabig \(\displaystyle \delta=2\varphi\), de ez csak addig igaz, amíg a lézersugár a hasáb oldalélére nem esik. Ez \(\displaystyle \varphi=\tfrac{1}{3}\pi=60^\circ\)-nál, \(\displaystyle t =T/6\) idő elteltével következik be. Ekkor a lézerfény hirtelen egy másik síktükörre esik, az eltérülés szöge \(\displaystyle +\tfrac43\pi\)-ről \(\displaystyle -\tfrac43\pi\)-re vált át. Ezután \(\displaystyle \varphi\) növekedtével \(\displaystyle \delta\) kétszeres ütemben növekszik, és ez egészen \(\displaystyle \varphi=\pi\)-ig tart (ekkor ér a lézerfény útjába a hasáb következő oldaléle), és ez ismétlődik a továbbiakban is. Az eltérülési szög és az elfordulás szöge, valamint az eltelt idő közötti kapcsolatot az alábbi grafikon mutatja:
A szakadási pontokban \(\displaystyle \delta\)-nak nincs határozott értéke, mert ilyenkor a fénysugár nem síktükörre, hanem egy vékony élre esik, ami nem határozott irányba tükrözi a fényt, hanem szanaszét szórja azt.
22 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott: Kardkovács Levente, Kozák 023 Áron, Nguyễn Đức Anh Quân, Schäffer Bálint, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Vass Bence.
3 pontot kapott: Bonifert Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Juhász Katalin, Ludányi Levente, Török 517 Mihály.