Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. - PDF Ingyenes letöltés
Download "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon."
1 Matematika I. NÉV: Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 sin 2 3t dt, (ii) 3e s/2 ds, (iii) 2 3 x 2 4 dx. A {b n } sorozat monoton nő. (ii) A g(x) függvény differenciálható a 1 pontban. (iii) A korlátos E számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim s(t) = 5. t 3 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).
2 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 5 1. a) Határozzuk meg a n 2 sor összegét. n 2 n=3 b) Konvergens-e ( 1) n 2n 3 n 2 n + 5. n=2 2. Oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x. 2pt 3. Határozzuk meg (x + 3y) dx + 2yx dy értéket, ahol γ az O( 1, 2) középpontú, r = 2 sugarú negatív γ irányítasú körvonal A( 1, ) és B(1, 2) pontjait összekötő körív. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 3xy + y 3 függvény szélsőértékeit a ( 1, 1), (2, 1), ( 1, 2), és (2, 2) 2pt 2pt pontok által kijelölt zárt négyszögön. 3pt
3 Matematika I. NÉV: A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 2, a n = 5a n 1 4 (n > 1) rekurzív sorozatot. 1pt n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. 1pt n 3 + 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 8 x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt 2 xcos(1 + 2x) dx, (ii) ue 1 u2 du, (iii) t t dt. A (c n ) sorozat korlátos. (ii) A g(t) függvény monoton nő [a, b] n. (iii) Az f(x) nek az x = 3 pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim L(p) =. p 2 (v) Integrálfüggvény.
4 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. A tanult módon vizsgáljuk a (2x 5) n 2 3 n sort. 2pt n + 2 n=1 2. Oldjuk meg: (x 2 x)y 1 = y 2, y(1) =. 2pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = xy + 3y függvény f x (1, 1), f y (, 3) parciális deriváltjait. x 2y 4. Határozzuk meg 2x + 1 háromszög. H 2pt dxy értékét, ahol H a (2, ), (, 1) és (, ) pontok által kijelölt zárt 3pt
5 Matematika I. NÉV: A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 3, a n = 3a n a n (n > 1) rekurzív sorozatot. 1pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 7 2 x függvénynek az a = 1 pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, majd ennek segítségével becsüljük meg 7 2 értékét. 1pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x2 1 x függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (λ + x)e λx dx (λ ), (ii) 2 y 2 + 6y + 9 dy, (iii) t t2 + 2 dt. Az {x n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az {a n } sorozat Cauchy-sorozat. (iii) A h(x) függvény konvex az [1, 4] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 2 (v) Darboux féle felső integrál.
6 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = 3 2x függvényt. 3n 2 + n 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim n 3 2n 2 = pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xlnx 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 costsin 3 t dt, (ii) y y dy, (iii) 1 3 z 2 + 2z + 2 dz. Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) A B számhalmaznak a 2 infimuma. (iii) Az f(x) függvénynek helyi minimuma van c ben. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Cauchy féle maradéktag.
7 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Ábrázoljuk az F(x) := n=1 n + 3 n2 n (x 1/2) n 3 + n= 3 (n + 1)4 n (x + 1/2)2n 1 függvény értelmezési tartományát (= a két konvergenciatartomány metszete). 2. Oldjuk meg: xy y = 3x 2y, y(1) = 2. 2pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = yx + 2y függvény f x(2, 1), f xx(, 1) 3pt parciális deriváltjait. 2pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 2x y 2 + 4y függvény szélsőértékeit a (, ), (2, 6) és (2, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2pt
8 Matematika I. NÉV: Határozzuk meg az f(x) = x 2 (x 5) 3 szélsőértékeit a [ 1, 3] halmazon. 7pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt n lim 8n 3 n 5, n ( ) 2n 3 2n 1 (ii) lim. n 2n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 lnx függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 33pt sin 2t t dt, (ii) 1 dz z 2 + 3z + 2, (iii) 2t 1 t t dt. Az {a n } sorozat alulról korlátos. (ii) Az E számhalmaznak a 1 supremuma. (iii) Az f(x) függvénynek konkáv a [1, 5] on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen).
9 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. Határozzuk meg az f(x) = x 2 + 2x függvénynek az x = 3 pontba húzott érintőegyenesének az egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt 2 n + n 5 lim n n 3 5 n, 1 x 3 (ii) lim x 1 x A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 1 függvényt. 1 1 x2 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 x + 1 x 2 4x + 4 dx, (ii) xe x2 /2 dx, (iii) t lnt dt. A {c n } sorozat konvergál az A számhoz. (ii) Az f(x) függvénynek helyi maximuma van 1 ben. (iii) A g(x) függvény differenciálható a c pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim s 1 + g(s) = 3. (v) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [ 1, 3] on.
10 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 2 2n n 1. a) Határozzuk meg a 3 3n+1 sor összegét. n=2 b) Konvergens-e ( 1) n n + 1 2n5 + 3n. 2pt n=3 2. Oldjuk meg: y + 2y + 2y = e x sin x 2x. 3pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = 2x + 3y függvény iránymenti deriváltját a P(1, 2) pontban, az U(4, 3) irányban. 2pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = xye (x2 +y 2 )/2 függvény szélsőértékeit. 2pt
11 Matematika I. NÉV:... n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. 7pt n 3 + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = n n 3 1 cosx, (ii) lim x x 2. x e x (1 x) függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: u 3 + 2u u 2 1 du, (ii) 2 v 1 3 dv, (iii) 1 3 v 2 z dz. Az {y n } sorozat határértéke 1. (ii) Az R(x) szigorúan monoton csökkenő a [, 3] on. (iii) Az f(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 1 helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(t) =. t 2 + (v) Az integrálható f(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.
12 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. Határozzuk meg a b n = 2n 3 sorozat infimumat, supremumat. 3n 11 7pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt lim n n , (ii) lim n n ( ) n+1 3n n 3 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (3p + 1)sin p dp, (ii) 1 2t 2 (t 3 + 1) 5 dt, (iii) 2y + 1 y y dy. lim n c n =. (ii) A 1 alsó korlátja g(x) nek. (iii) Az E halmaz megszámlálhatóan végtelen. (iv) A környezetes definíció alapján lim h(z) =. z (v) Darboux-féle alsó integrál (részletesen).
13 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Ha ( 1) n n 6n 2 1 konvergens, akkor becsüljük meg az értékét 1 2 pontossággal. n=1 2. Oldjuk meg: xy + y lnx = y lny. 3pt x 2 y 3. Határozzuk meg dx+yx dy értéket, ahol γ az A(1, 1) és B( 1, 3) pontokat összekötő szakasz x + 2y γ (A B). 2pt x2 /9 4. A megfelelő sorfejtés első 4 tagjának segítségével becsüljük meg x 3 dx értékét. 2pt 2 2pt
14 Matematika I. NÉV: Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f(x) = x 2 3x függvény deriváltját az x = 2 helyen. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = ( lim n3 1 ( ) n 1 n + 3 n 2 + 2n), (ii) lim. n n 2n 1 x 2 függvényt. 1 (x 1) 2 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 ds s 2 2s + 2, (ii) 1 1 t 2 3t dt, (iii) e xy dy. A c szám korlátja az {x n } sorozatnak. (ii) s(t) konvex [ 1, 2] on. (iii) A korlátos H számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).
15 Matematika I. NÉV:... B csoport 2n Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n = 2. 6pt 2. Határozzuk meg az f(x) = arcsinx függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg arcsin1/2 értékét. 9pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = (x 5) 3 x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 v 2 (1 + 2v 3 dv, (ii) ) 11 1 du u 3 + u 2, (iii) 2 1 y ln(2 + 3y) dy. Az {a n } sorozat szigorúan monoton csökkenő. (ii) A h(x) függvény lineárisan approximálható a 2 pontban. (iii) A {c n } sorozat részsorozata a {b n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim g(t) = 3. t 2 (v) A Lagrange féle maradéktag (részletesen).
16 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. A tanult módon vizsgáljuk a n=1 2 n n 1 n 2 (3x + 1) n 2 sort. 2pt 2. Oldjuk meg: y + y = e x + 4x. 2pt x 2 y 2xy 2 3. Határozzuk meg lim (x,y) A x 2 + y 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 1), c) A = (2, ), d) A = (, ). 2pt xy 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (, ), (4, 2) és (, 4) pontok által kijelölt zárt 2y + 1 háromszög. H 3pt
17 Matematika I. NÉV: Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = n n infimum és a supremum értékét. sorozatot, majd adjuk meg az 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 3x függvény szélsőértékeit a [ 1, 2] halmazon. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x x 2 4 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 1pt 2 1 2t 2 + 3t + 1 dt, (ii) e 1 u ln 2 u du, (iii) v 2 + 3v 2 v dv. A 2 szám felső korlátja az (y n ) sorozatnak. (ii) A 2 szám torlódási pontja a (c n ) sorozatnak. (iii) g folytonos a [ 2, 3) on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) A [c, d] egy beosztása, a beosztás finomsága.
18 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 4, a n = 2a n (n > 1) rekurzív sorozatot. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt n lim 3 n n, n ( ) n+1 2n 3 (ii) lim. n 3n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 3 xlnx függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt t cos2πt dt, (ii) 3 2 s 2 (s 2 ds, (iii) 4s + 3) 3 1 2y 2 + y y 3 + 2y 2 dy. lim n x n = 1. (ii) A h(y) függvény folytonos a 2 pontban. (iii) f(x) lineárisan approximálható x ban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 1. x (v) Az E számhalmaz felsőhatár tulajdonságú.
19 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Oldjuk meg ( ln(x + 1) + (x y + 1)e y) y + ln(x + 1) + x + y x + 1 e y =. 2. Oldjuk meg 2y + (y ) 3 y =, y(1) = 1, y (1) = 4. 22pt 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 1 x 2 /4 dx értékét. 23pt x + y 4. Határozzuk meg x + 1 dxy értékét, ahol H az y =, és az y = 4x x2 görbék által határolt zárt síkrész. H 22pt 23pt
20 Kalkulus I. NÉV: Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f(x) = x 2 4x függvény deriváltját az x = 1 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt ( lim n2 3 ( ) 2n 1 n + 3 n 2 λn), (ii) lim. n n 2n 1 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xln 2 x függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt xcos(2x 1) dx, (ii) 3 2 s 1 s 2 2s + a ds, (iii) 1 1 t 2 2t dt. A 3 korlátja az {x n } sorozatnak. (ii) F(z) konvex [α, β] n. (iii) A korlátos E számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim g(y) =. y (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).
21 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Határozzuk meg a xy da integrált, ahol H az A(1, 1), B(, ) és C(1, 2) pontok által megha- y + 3 tározott háromszög. H 2pt 2. Oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x, y() = 1, y () = 2. 2pt 2 3. Határozzuk meg dx + 2xy dy értéket, ahol γ x2 γ a) az O(, ) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait összekötő körív. b) az A( 1, 1), B(, 2) és C(1, 1) pontokat összekötő tört szakasz (A B C). 3pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 3xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3), és (3, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2pt
22 Kalkulus I. NÉV: A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 3, a n = 3a n 1 2 (n > 1) rekurzív sorozatot. 1pt 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt sin 4 (ax 1)cos(ax 1) dx, (ii) 3 2 (s 1)ln(2s + 1) ds, (iii) 2 1 t 3 1 t 2 + 2t dt. Az (y n ) sorozat korlátos. (ii) Az f(t) függvény monoton nő [ 2, 3] on. (iii) A T(z) függvényneknek a z = 2 pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim y 1 g(y) =. (v) Integrálfüggvény (részletesen).
23 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Határozzuk meg a da integrált, ahol H az A(1, 1), B(3, ) és C(3, 2) pontok által meghatározott háromszög. H 2xy y + 3 2pt 2. Oldjuk meg: xy + y 2 + y =, y(2) = 3.. 2pt 2 3. Határozzuk meg dx + 2xy dy értéket, ahol γ x2 γ a) az O(, ) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P(1, 3), Q( 2, 2) pontjait összekötő körív (P Q). b) az A(1, 1), B(2, 3) és C(2, 1) pontokat összekötő tört szakasz (A B C). 3pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 + 3xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3), és ( 3, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2pt
24 Kalkulus I. NÉV: Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = 2n 3 8 3n infimumát és supremumát is. 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = sorozatot. Adjuk meg a sorozat 1pt 3x függvényt. 17pt (2 x) 2 Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 1/3 ln(3t + 1) dt, (ii) π/4 sin 2 s ds, (iii) 2 x 3 x 2 + 3x + 2 dx. A {b n } sorozat monoton növő. (ii) A g(x) függvény differenciálható a 1 pontban. (iii) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [c, d] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim s(t) = 5. t 3 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).
25 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Ábrázoljuk az F(x) := n=1 n + 3 n 2 (x 1) n+1 + n= n 3 2 n (x 1)n függvény értelmezési tartományát. 3pt 2. Oldjuk meg: y 2y = 3e 2x 5x + 1, y() = 2, y () = 1. 2pt 3. Oldjuk meg: xy y = x 4 2x 3 sin x. 2pt x 3 2xy Határozzuk meg lim (x,y) A x 2 y xy 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 3), c) A = (1, ), d) A = (, ). 2pt
26 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg az f(x) = ln (2 x) függvénynek az a = 1 pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, Lagrange-féle maradéktagját, majd becsüljük meg ln 3/2 értékét. 1pt 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 x 2 függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 2 x x + 2 dx, (ii) 3 1 u + 2 u 3 3u 2 du, (iii) 5t 2 7 2t 3 dt. Az {a n } sorozat konvergál 2 höz. (ii) A h(t) függvénynek helyi maximuma van 3 ban. (iii) Az f(t) függvény folytonos a 4 pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim x 3 f(x) =. (v) Az integrálható g(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.
27 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 4 1. a) Határozzuk meg a n 2 sor összegét. + n 2 n=3 b) Konvergens-e ( 1) n+1 3 2n n 2 n + 5. n=1 2. Oldjuk meg: (x + 1)y y x xex =, y(1) = e. 2pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = 2x 2 y y függvény f x( 2, 3), f y (1/2, 5) parciális deriváltjait. 2pt 4. Határozzuk meg 3yx dx + (2x y) dy értéket, ahol γ az O(2, 1) középpontú, r = 2 sugarú pozitív γ irányítású körvonal A(2, 3) és B(, 1) pontjait összekötő körív. 2 2
28 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt lim n n 8n 3 5 n, (ii) lim n 3 2n2 + e 3 n. 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe 1/x2 függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 2 1 z + 2 z 2 6z + 9 dz, (ii) xe 5x dx, (iii) e 2 e lny lny y dy. A {c n } sorozat szigorúan monoton csökken. (ii) Az f(x) függvény lineárisan approximálható az 1 pontban. (iii) A {b n } sorozat torlódási pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim x 2 f(x) = 5. (v) A Lagrange féle maradéktag.
29 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 3 2n n 5 1. a) Határozzuk meg a 3 3n+2 sor összegét. n=2 3 n n + 1 b) A tanult módon vizsgáljuk a 2n 2 5 (x + 3)n 2 sort. 2. Oldjuk meg: ln(y 2 + 1) + n= 2y(x 1) y y =. 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = yx y függvény iránymenti deriváltját 2 2pt a P(2, 5) pontban, az U(2, 3) irányban. 2pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 xy + y 2 2x függvény szélsőértékeit a (, ), (2, 4), és (3, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2
30 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg az f(x) = 3 2x 2 függvénynek az x = 1 koordinátájú pontjához húzott érintő egyenesének egyenletét. 2. Határozzuk meg f(x) = x 3 4x 2 + 4x nek a [ 3, 1] zárt intervallumon fölvett szélsőértékeit. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 3x2 függvényt. 17pt (1 x) 2 Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt xe 1 x2 dx, (ii) e 1 lnz z dz, (iii) 2 1 t 2 + 4t + 5 dt. A 5 fölső korlátja az {a n } sorozatnak. (ii) A h(t) függvénynek helyi maximuma van 3 ban. (iii) Az E halmaznak a 4 infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).
31 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Legyen f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2. Határozzuk meg f szélsőértékeit. 2pt 2. Oldjuk meg: x 2 y + 2xy = lnx, y(1) =, y (1) = 2. 2pt 1 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 1 x2 dx értékét. 2pt 9 x + 2y 4. Határozzuk meg dxdy értékét, ahol H a ( 2, ), ( 1, 2) és (, ) pontok által meghatáro- x + 3 zott zárt háromszög. H 3pt
32 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt n 2 + 3n 2π n 9 1 lim n 3, (ii) lim 1 5n n 2 n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x + e 1/x függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 1 3 t 3 t 2 + 3t dt, (ii) π/4 (3x 1)sin2x dx, (iii) 2 5v 2 (2 8v 3 ) 15 dv. Az {b n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az f(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 2 helyen. (iii) A h(x) függvény folytonos a ( 3, 4] on. (iv) A környezetes definíció alapján lim x 1 f(x) =. (v) Az [c, d] egy beosztása, a beosztás finomsága.
33 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x 2 y függvény f x(1, 3), f y( 5, 2) parciális deriváltjait. 2pt 2. Oldjuk meg: (x + 1)y y x xex =, y(1) = e. 2pt sin 3x 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg 1 x 4 dx értékét Határozzuk meg (x + 3y) dx 2y dy értéket, ahol γ a ( 3, 2) és (1, 3) pontokat összekötő 2x y szakasz (A B). γ 2 2