不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题 体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作 用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案， 最终归结为不等式的求解或证明。 而不等式的证明， 方法灵活多样， 还和很多内容结合， 它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热 点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明 过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与 大家一起分享交流。本文通过对不等式的进一步研究，同时在前人的基础上对不等式的 证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些 常用的方法来解决，而笔者则是通过另外的一种方法来解，并且解题过程相对简单，在 正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。 关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法\n证明不等式的方法灵活多样， 内容丰富、 技巧性较强要依据题设、 题断的结构特点、 内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤， 技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系， 选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的 不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系 列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联 系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的． 通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解 析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问 题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素 质及创新意识． 1、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比 较法证明的。其难点在第二步的“变形”上，变形的目的是有利于第三步判断，求差比 较法变形的方向主要是分解因式、配方。 1）作差比较法的理论依据有：\na ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0.\n2）作商比较法的理论依据有： a b ? 0, a ? b ? ? 1. b 3）作差（商）比较法的步骤： 作差（商） ?变形 ?判断符号（与 1 的大小） 例 1：求证： 1 ? 2 x 4 ? 2 x 3 ? x 2 证明：法一：? (1 ? 2x 4 ) ? (2x 3 ? x 2 )\n? 2 x 3 ( x ? 1) ? ( x ? 1)(x ? 1) ? ( x ? 1)(2 x 3 ? x ? 1) ? ( x ? 1)(2 x 3 ? 2 x ? x ? 1) ? ( x ? 1) 2 (2 x 2 ? 2 x ? 1) 1 1 ? ( x ? 1) 2 [2( x ? ) 2 ? ] ? 0 2 2 4 3 2 ?1 ? 2 x ? 2 x ? x\n法二： 1 ? 2x 4 ? (2x 3 ? x 2 )\n? x 4 ? 2x3 ? x 2 ? x 4 ? 2x 2 ? 1 ? ( x 2 ? x) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 0 ?1 ? 2 x 4 ? 2 x 3 ? x 2\n说明： 法一的变形主要是因式分解， 其难点在于分解 2 x 3 ? x ? 1的因式， 判断 2 x 2 ? 2 x ? 1 的符号除用配方法外，还可用判别式法（此法我们后面再述） 。证法二的变形主要是配 方法，难点在于拆项，此法笔者又将其归纳为裂项法。通过本例，可以了解求差比较法 的全貌，以及关键的第二步变形。 例 2：已知 a ? 1, ? ? 0 ，求证： loga (a ? ? ) ? log( a?? ) (a ? 2? ) 证明：?\nlog( a ?? ) (a ? 2? ) loga (a ? ? )\n? log( a ?? ) (a ? 2? ) ? log( a?? ) a\n]2 ? [ log( a ? ? ) a (a ? 2? ) 2\nlog( a ? ? ) (a ? 2? ) ? log( a ? ? ) a 2 log( a ? ? ) (a ? 2a? )\n]2 ? 1 2 又 loga (a ? ? ) ? 0,? log( a ? ? ) (a ? 2? ) ? loga (a ? ? ). 2\nlog( a ? ? ) (a ? ? )\n说明：观察不等式的特点， a ? ? 充当了真数和底，联想到 loga N ?\n1 ，进而用了 logN a\n作商比较法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等， 我们再看： 例 3：若 a ? b ? c ? 0 ，求证： （1） a a b b ? b a a b （2） a 2a b 2b c 2c ? a b?c b a ?c c a ?b\na abb a 证明： （1）? a ? b ? c ? 0 ， a b ? ( ) a ?b b b a\n又 a ? b ? 0,?\na ? 1, a ? b ? 0 b\na a abb ? ( ) a ?b ? 1,即 b a ? 1, 又 ? a b b a ? 0 b a b a b b a ?a b ? a b\na a bb ? a b b a ? 0, bb c c ? b c c b ? 0, c c a a ? c a a c ? 0\na abb ? bb c c ? c c a a ? a bb a ? bc cb ? c a a c ? a 2 a b 2b c 2 c ? a b ? c b a ? c c a ?b\n2、综合法 利用某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这 种证明方法叫做综合法，综合法的思考路线是“由因导果” 。 例 4： （1）已知 a, b, c为不全相等的正数，求 证： b?c?a c?a?b a?b?c ? ? ?3 a b c （2）已知 a, b, c为不相等正数，且 abc ? 1 ，\n1 1 1 ? ? a b c b a c b a c 证明： （1）证法一： 左式 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 a b b c c a\n求证： a ? b ? c ?\n? a, b, c为不全相等的正数 ? b a b a ? ?2 ? ?2 a b a b c b c a 同理： ? ? 2, ? ? 2 b c a c\n且上面三个等号不能同时成立， b a c b a c ? （ ? )?( ? )?( ? )?3 ? 6?3 ? 3 a b b c c a a?b?c a?b?c a?b?c ? 2) ? ( ? 2) ? ( ? 2) 证法二： 左式 ? ( a b c\n1 1 1 ? (a ? b ? c)( ? ? ) ? 6 a b c ? a, b, c为不全等正数 1 1 1 1 ? （a ? b ? c)( ? ? ) ? 6 ? 33 abc ? 33 ?6 a b c abc ?9?6 ?3\nabc ? 1 （2）证法一：? a, b, c为不等正数，且\n? a? b? c? 1 1 1 ? ? bc ca ab 1 1 1 1 1 1 ? ? ? b c c a a b ? 1?1?1 ? ? ? 2 2 2 a b c\nabc ? 1 证法二：? a, b, c为不正数，且\n1 1 1 ab ? ac ab ? bc ac ? bc ? ? ? ? bc ? ac ? ab ? ? ? a b c 2 2 2 ? a 2 bc ? ab2 c ? abc2 ? a ? b ? c\n得证。 说明： （1）题两种方法的差别主要在于对不等式左边施行不同的恒等变形，其目的都是 为了有效地利用基本不等式，灵活地运用均值不等式，这也是综合法证明不等式的主要 技巧之一； （2）题是条件不等式的证明，要找出条件与结论之间的内在联系，分析已知与求证， 不等式左边与右边的差异与联系，去异求存同，找到证题的切入口，本题合理运用条件\nabc ? 1 的不同变形。\n3、分析法 从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转 化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可判定所 求证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，分析法的思路是“执果索因” 。 1 1 1 例 5：已知函数 f ( x) ? lg( ? 1), x ? (0, ) ，若 x1 , x 2 ? (0, )且x1 ? x 2 . x 2 2\nx ?x 1 求证： [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 2 ) 2 2\n证明：要证原不等式成立，只需证明 ( 事实上，? 0 ? x1 x 2 ?\n1 , x1 ? x 2 2\n1 1 2 ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x2\n1 1 2 ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x 2\n1 1 1 4 4 ? ? ? ? 2 x1 x 2 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2\n( x1 ? x 2 ) 2 (1 ? x1 x 2 ) ? ?0 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 2 即是( ? lg[( 1 1 2 ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x 2 1 1 2 ? 1)( ? 1)] ? lg( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x 2\nx ? x2 1 故 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 ) 2 2\n换元法是数学中的一个基本方法。 在不等式的证明过程中， 按照所证不等式的结构特点， 将不等式中的变量作适当的代换， 可使不等式的结构明朗， 从而使不等式变得容易证明， 这种方法称为换元法。换元法的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题 化为简单的、熟悉的命题。 换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证 明较为困难，但若通过换元法的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的 证明中，一般有增量换元、三角换元、和差换元、向量换元、利用对称性换元、借助几 何图形换元等几种方法。 1）增量换元 对对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量换元， 换元的目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。 1 1 4 ? ? . 例 6：已知 a ? b ? c, 求证： a?b b?c a?c 分析：考虑到 a ? c ? (a ? b) ? (b ? c) ，由此可以令 x ? a ? b ? 0, y ? b ? c ? 0, 这时问题转\n1 1 4 化为“ 若x, y ? 0, 证明 ? ? ” 。 x y x? y\n证明：令 x ? a ? b ? 0, y ? b ? c ? 0, a ? c ? x ? y ，下面只要证明：\n1 1 4 ? ? 即可。 x y x? y\n1 1 y x y x ? x, y ? 0,? ( ? )(x ? y) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 4(当且仅当 ? ,即x ? y,2b ? a ? c取等号） x y x y x y 1 1 4 1 1 4 ? ? ? ,即 ? ? 成立。 x y x? y a ?b b?c a ?c\n例 7：若 a ? b ? 0, 求证：2ab ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? a. 分析：如何利用已知不等式 a ? b ? 0 是证明本题的关键， 因为 a ? b ? 0 ? a ? b ? a ? b ? h(h ? 0) ? a ? b ? h(h ? 0) ， 这样可把已知的不等式关系 换成相等关系。 证明：? a ? b ? 0, 设a ? b ? h(h ? 0),\n则 2ab ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2b(b ? h) ? b 2 ? (b ? h) 2 ? b 2 ? b 2 ? 2nh ? h 2 ? 2bh ? b ? h ? a ? 2ab ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? a.\n2）三角换元 三角换元就是根据已知的一些三角等式、三角代换来解决题目中的某些问题，如，问题 中 若 已 知\nx 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0,??)),可设x ? a c ? o, y s ? as ? i\nx 2 ? y 2 ? 1, 可设x ? r c ? o, y s ? rs ? i ( rn? 1) ；若已知\nx2 y2 x2 y2 ? ? 1 或 ? ? 1， 则条件可 a2 b2 a2 b2\n? x ? a cos? , ? x ? a sec? , 设? 其中 ? 的范围取决于 x, y 的取值范围，等等。 或? ? y ? a sin ? ; ? y ? tan? ,\n例 8：已知 a, b, c, d都是实数，且 a 2 ? b 2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1, 求证： ac ? bd ? 1. 分析：由 a 2 ? b 2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1，可以联想到 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 的关系作三角代换。 证明：? a 2 ? b 2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1, 所以可设a ? sin ? , b ? cos? , c ? sin ? , d ? cos? ,\n? ac ? bd ? s i n ?s i n ? ?c o? s co? s ? cos ?(? ? ) , 又? cos(? ? ? ) ? 1,? ac ? bd ? 1，即原不等式成立。\na ? b a 2 ? b 2 a3 ? b 3 a 6 ? b 6 ? ? ? . 例 9：对任意实数 a, b, 求证： 2 2 2 2\n分 析 ： 对 于 任 意 实 数 a与 b ， 都 有 a ?\ns? a?b a ?b ,t ? , 则有 a ? s ? t , b ? s ? t 。 2 2\na?b a?b a?b a?b ? ,b ? ? ， 令 2 2 2 2\n证明：设 a ? s ? t , b ? s ? t ，下面只需证\ns(s 2 ? t 2 )(s 3 ? 3st 2 ) ? s 6 ? 15s 4t 2 ? 15s 2t 4 ? t 6 .\n? 右边 ? 左边 ? 11s 4 t 2 ? 12s 2 t 4 ? t 6 ? 0, ? s( s 2 ? t 2 )(s 3 ? 3st 2 ) ? s 6 ? 15s 4 t 2 ? 15s 2 t 4 ? t 6 , a ? b a 2 ? b 2 a3 ? b3 a 6 ? b6 ? ? ? . 2 2 2 2 得证。 4）向量换元 即\n例 10：已知 a, b ? R ? , a ? b ? 1, 求证：2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2. 分析：将不等式变形为 1? 2a ? 1 ? 1? 2b ? 1 ? 2 ? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ，观察其结构我们可 联想到学习两个向量的内积是有这样一个性质： a ? b ? a ? b 及a ? b ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 。\n证明：设 m ? (1,1), n ? ( 2a ? 1, 2b ? 1) ， 则有 m ? n ? 2a ? 1 ? 2b ? 1, m ? 2 , n ? 2a ? 1 ? 2b ? 1\n? a ? b ? 1,? n ? 2,由 性 质 m? n ? m ? n, 得 2a ? 1 ? 2a ? 1 ? 2 2. 5）利用对称性换元\n例 11：设 a, b, c ? R ? , 求证：abc ? (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? c). 分 析 ： 经 过 观 察 ， 我 们 发 现 ， 把 a, b, c 中 的 两 个 互 换 ， 不 等 式 不 变 ， 则 可 令\nx ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c, 则原不等式可化为： ( x ? y)( y ? z)(z ? x) ? 8xyz.\n证明：令 x ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c\n1 1 1 ( y ? z ), b ? ( x ? z ), c ? ( x ? y ) 2 2 2 ? ? a, b, c ? R ,?当xyz ? 0时，有 ( x ? y )( y ? z )(z ? x) ? 8 xyz. 则a ?\n当 xyz ? 0 时， 有 x, y, z ? R ? （否则 x, y, z 中必有两个不为正值， 不妨设 x ? 0, y ? 0 则 c ? 0 ， 这与 c ? 0 矛盾） 因此： x ? y ? 2 xy ? 0, y ? z ? 2 yz ? 0, z ? x ? 2 zx ? 0 则有： ( x ? y)( y ? z)(z ? x) ? 8xyz 综上，恒有 ( x ? y)( y ? z)(z ? x) ? 8xyz ， 把 x, y, z 的值代人上式得： abc ? (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? c).得证。 6）借助几何图形换元 例 12：已知 a, b, c 是 ?ABC 三边的长，求证： a 3b ? b 3 c ? c 3 a ? a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 . 分析：如图，作 ?ABC的内切圆，设 D, E, F为切点 ，令 x ? BD, y ? CD, z ? AE. （其中 ，则原不等式可转化为： x, y, z ? R ? ）\ny2 z2 x2 ? z ) ? ( ? x) ? ( ? y ) ? 2 x ? 2 y ? 2 z z x y\n再利用均值不等式： a ? b ? 2 ab 。\n证明：设 D, E, F 为切点，令 x ? BD, y ? CD, z ? AE. 则原不等式可化为（1）的形式，又 因为 x, y, z ? R ? ，则有， 等式成立。得证。 7）代数换元 例 13：已知 a, b, c ? R ? ，且 a ? b ? c ? 1, 求证：3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? 3 2. 分析：引入参数，配凑成二次方程转化为二次不等式 证明：设 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? k. 则可令 3a ? 1 ?\nk k k ? t1 , 3b ? 1 ? ? t 2 , 3c ? 1 ? ? t 3 , 其中 t1 ? t 2 ? t 3 ? 0. 3 3 3\ny2 z2 x2 ? z ? 2 y, ? x ? 2 z, ? y ? 2 x. 所以（1）式成立，故原不 z x y\nk k k 所以 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? ( ? t1 ) 2 ? ( ?t 2 ) 2 ? ( ? t 3 ) 2 3 3 3\nk2 2 k2 2 2 2 2 2 2 ? k (t1 ? t 2 ? t 3 ) ? t1 ? t 2 ? t 3 ? ? (t1 ? t 2 ? t 3 ) 即6 ? 3 3 3\n所以 6 ?\nk2 ，解得 3\nk ? 3 2 ，即 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? 3 2 。得证。\n1 2 例 14：设 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1, 求证： ? ? 3 ? 2 2 x y\n分析：因为 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0, 所以用分式换元，转化为均值不等式证明。 证明：设 x ?\na b ,y ? (a ? 0, b ? 0) ，则 a?b a?b\n1 2 a ? b 2(a ? b) b 2a ? ? ? ? 3? ? ? 3? 2 2 ， x y a b a b\n1 2 ? ? 3? 2 2 x y\n对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比 值，然后代入求证式即可。 例 15：已知 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 4, 求证：x 2 ? y 2 ? z 2 ? 10. 证明：设 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 4 ? k ， 于是 x ? k ? 1, y ? k ? 2, z ? k ? 4 把 x, y, z 代入 x 2 ? y 2 ? z 2 得： 3k 2 ? 6k ? 13 ? 3(k 2 ? 2k ? 1) ? 10 ? 3(k ? 1) 2 ? 10 ? 10 。 得证。 5、放缩法 为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的 传递性达到证题的目的，这种方法称为放缩法，放缩时主要方法有： 1 3 1 1）舍去或加上一些项，如： (a ? ) 2 ? ? (a ? ) 2 . 2 4 2 2）将分子或分母放大（缩小） ，如：\n1 1 1 1 1 ? , 2 ? , ? 2 k (k ? 1) k k (k ? 1) k k 2 k ? k ?1 , 1 k ? 2 k ? k ?1 .(k ? N , k ? 1).\n例 16：设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ? 1).(n ? N ). 求证：\nn(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? . 2 2\n证明： an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ? 1) ? 1?1 ? 2 ? 2 ? ? n ? n\nn(n ? 1) . 2 k ? (k ? 1) .(k ? N ). 又? k ? k ? 1,? k (k ? 1) ? 2 ? 1? 2 ??? n ?\n? a n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? n 2 ? 2n (n ? 1) 2 ? 2 2 n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? ? an ? 。得证。 2 2 ?\n1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) ? ??? 2 2 2\n说明：在使用放缩法时，需要注意的是放缩要适度，不能放得过大或太小。 6、反证法 反证法就是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原命题成立，反证法 必须考虑各种与原命题相异的结论，缺少任何一个可能都是不完全的，如，要证不等式\nA ? B ,先假设 A ? B ，根据题设及其他性质推出矛盾，从而肯定 A ? B 成立。\n1 f (1) , f (2) , f (3) 不全小于 . 例 17：已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? b, 求证： 2 1 1 1 1 证明：假设 f (1) , f (2) , f (3) 全小于 ，即 f (1) ? , f (2) ? , f (3) ? , 2 2 2 2\n由于 f (1) ? 1 ? a ? b, f (2) ? 4 ? 2a ? b, f (3) ? 9 ? 3a ? b,\n? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2 ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.\nf (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? f (3) ? 2 f (2) ? 1 1 1 ? ? 2? ? 2 2 2 2\n显然， 2 ? 2 是错误的 故 f (1) , f (2) , f (3) 不全小于\n1 。得证。 2\n说明：对于存在、不都是、至少（多） 、不全小（大） 、某个（反面：任意的）等问题， 通常从正面难寻突破口，可变换角度，巧用反证法往往会见奇效。 7、判别式法 如果所要证明的不等式可转化为形如： y ?\na2 x 2 ? b2 x ? c2 的函数值域 ( x ? R) ，或转化 a1 x 2 ? b1 x ? c1\n为一元二次方程有实数根等问题，则可用判别式法达到证题目的。 1 2 例 18： 若 x, y, z ? R, 且x ? y ? z ? a, 用x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 (a ? 0) 求证 x, y, z 都是不大于 a 2 3 的非负数。 1 证明：由 z ? a ? x ? y, 代入 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ，可得 2\n1 2 x 2 ? 2(a ? y ) x ? y 2 ? (a ? y ) 2 ? a 2 ? 0 2 1 ? x ? R， ? ? ? 0,即4(a ? y ) 2 ? 8[ y 2 ? (a ? y ) 2 ? a 2 ] ? 0 2 2 化简得3 y ? 2ay ? 0, ? a ? 0， ?0 ? y ? 2 a 3 2 2 同理可得： 0 ? x ? a， 0 ? z ? a。得证。 3 3\n8、构造法 有些不等式可构造函数利用函数性质，或构造复数利用复数向量有关性质，或构造几何 图形利用集合知识，还可以构造数列利用数列相关性质来证明不等式。 1）利用函数的单调性\nx .( x ? 0) 的 形 式 ， 因 此 可 考 虑 函 数 1? x\n分 析 ： 由 不 等 号 两 边 形 式 可 归 纳 为 f ( x) ?\nf ( x) ? x 在 x ? 0 时的单调性。 1? x\n证明：构造函数 f ( x ) ?\nx x x1 ? x2 x ，设 0 ? x1 ? x2 ，? 1 ? 2 ? ?0 1? x 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )\n? f ( x) 在 x ? 0 上是增函数，且 a ? b ? a ? b\n令 x1 ? a ? b , x2 ? a ? b ，则有\na 1? a ?\nb 1? ? b\n2）构造复数利用复数向量有关性质 例 20：求证： a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .(a与c，b与d不同时相等 ) 证明：设 z1 ? a ? bi，z 2 ? c ? di，那么z1 ? z 2 ? (a ? c) ? (b ? d )i\nz2 ? c 2 ? d 2 由于 z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ，而 z1 ? a 2 ? b 2 ，\n则 z1 ? z 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2\n? 有 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 . 得证。\n9、用微分法证明不等式 微分在中学时又称为求导，用微分法其实就是用求导的方法来解决问题。 例 21：设函数 f ( x) ? a1 sin x ? a2 sin 2x ? ? ? an sin nx, 其中a1 , a2 ,?, an都为实数， n 为正 整数。已知对于一切实数 x ，有 f ( x) ? sin x ，试证： a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? 1. 分析：问题中的条件与结论不属于一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能 帮助解决此题，可以看出： a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? f / (0). 于是问题就转化为求证： f / (0) ? 1. 证明：因 f / ( x) ? a1 cos x ? 2a2 cos2x ? ? ? nan cosnx. 则 f / (0) ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan . 利用导数的定义得：\nf / (0) ?\nf ( x) ? f (0) ? x?0\nf ( x) f ( x) ? lim x x x ?0 sin x ? 1， x\n由于 f ( x) ? sin x, 所以 f / (0) ? lim\n即 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? 1. 得证。\n浅谈中学数学不等式的证明方法 - 本科生毕业论文 学专届题 院业别目 数学与计算机科学学院 数学与应用数学 2015 届 浅谈中学数学不等式的证明方法 ...\n中学数学不等式证明的方法 - 第2 3 卷第 2期 2013年 6月 临沧师范高\n中学数学不等式证明的方法 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 中学数学不等式证明的方法 作者:叶子琛 来源:《知音励志 教育版》2017 年第 05 期 摘要...\n浅谈中学几种常用证明不等式的方法 - 成绩: 江西科技师范大学 毕业论文 题 目:浅谈中学几种常用证明不等式的方法 (外文):On the method commonly used i...\n中学数学不等式的证明方法-2019年精选文档 - 中学数学不等式的证明方法 一、\n例谈中学数学中不等式的证明方法及技巧_泽碧啦 - 《西藏科技》 2012 年 11 期(总第 236 期) 科教论坛 例谈中学数学中不等式的证明方法及技巧 泽碧啦(西藏...\n数学所有不等式放缩技巧及证明方法 - 高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法 一、\n中学数学不等式证明方法探究 - 本文将通过实例来说明在不等式教学中能够培养学生的\n不等式证明中的几种新颖方法 - 不等式证明中的几种新颖方法 在不等式的证明中有我们熟悉的常用的方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法、 反证法等;除此之外...\n关键词:不等式证明;构造方法; 不等式的证明是中学数学中的一大难 证明不等式的十种构造方法四川师范大学附属中学(高中部) 黄光鑫(邮编:610066)摘要:本文主要介绍...\n2015级高一数学不等式证明的基本方法 - 不等式证明的基本方法 一、基本不等式\n基本不等式的证明 - 非常好的教案,极力推荐,... 基本不等式的证明_初二数学_数学_初中教育_教育专区。...在推导方法上也应该与一般式的证明有共性.这就是 本...\n中学数学代数中几种常见不等式证明论文 - 中学数学代数中几种常见不等式的证明 [摘要] 不等式是中学数学教学中的难点,也是竞赛的热点。它 以优美的形式、丰富的...\n不等式证明2(综合法)_初一数学_数学_初中教育_教育专区。课件 不等式证明( 不等式证明(二) 综合法 证明不等式: 证明不等式: a + b + c ≥ ab + bc +...\n湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案:不等式证明 教材:不等式证明综合练习 目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归” “类比” “换元”等数学思想...\n高中数学 《基本不等式的证明(1)》教案3 苏教版必修5.txt\n高中数学 《基本不等式的证明(1)》教案3 苏教版必修5_初二语文_语文_初中...平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释; 二、过程与方法 1.通过...\n5.4不等式证明综合法与分析法 - 中小学教育资源交流中心 a?b 2 http://www.k12zy.com 提供 【§5.4 不等式证明综合法与分析法】 例 1.设 a,b...\n中学数学 不等式的证明 ppt


Pre Article is 银色滚球 by in 未分类 & Next Article is 天上人间网站;\t想念,是爱情的滋味无法忘怀你的脸期待你再次出现我的眼前邀约,我期待哪一天能找个时间地点我要告诉你这奇妙的感觉爱情的滋味,酸中带甜在夜深人静的黑 ░加洁朵购物坊░用设计让生活多添一些乐趣│原来生活这样玩│创意小物韩国文具│送 这次介绍的是在日常生活中,我们不可欠缺的颜色,颜色已经融入在我们的食衣住行内,如正确选择服装的颜色、科学安排居室的色调、合理搭配不同颜色的食物,不仅能带来视觉的享受,而且能促进身心健康,以下是我整理的颜色相关资料与知识,希望对大家有帮助:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _红色个性：喜欢成为注意力的中心,性格外向、强硬、衝动、情绪化及乐观。炸猪排,一个躲进了高老庄,\n由人气部落客弯弯设计的2012台湾限量摄影包现身!! 明明就是爱其实,。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _橙色个性：你是一个筹划者,爱好群体生活、音乐、运动,尤爱尝试新款食品。 哈囉!广大的乡民好啊!有没有接过”来电隐藏电话”啊! 2014年9月”有人打隐藏电话来”,每次都只响一下就马上挂,接也接不到,也不显示号码,更不用说回电；而且每次打来的隐藏电话会间隔一段时间又打来,好像是同一人,例如: <-size:12px">Hokkaido 1/10＃东京-函馆day1 东京(新干线)-新青森(特急スーパー白鸟号)-函馆-大门横丁(けいちゃん,龙凤拉麵)旅行的意义就是在对生活倦怠时,看到行李箱就会有打包的衝动,梦想著在机场打转,通常这种对生活的疲乏,在呼吸到国外空气时就会完全的治癒。 ※ 地址或位置：赌博机县林口乡文化三路一段389号※ 店名：优馆精品休閒旅馆※ 消费价格：食玩客对折王住宿省200 休息省100< 清晨　听鸟鸣　仰望著天空　站在窗边　停了下来...闭上眼睛 听鸟鸣 大地的音乐合奏 让我想翩翩起舞...好自由 不被束缚的感觉. 真好！有多次见。\n如来派唐僧师徒四人带上八部天书和小白龙去东土大唐传教,在一路上遇到了各种妖怪,打来打去最后发现他们都是有后台的,无论怎麽作恶都不受惩罚。 拎著啤酒,拖著忐忑的步履。吃力的爬著楼梯,开启顶楼的门。原以为这是属于自己的小空间,想上来吹吹风。可惜,楼顶早已有人佔据。他,正在等人。等的并不是我。我的心情不好,他对我说：他等的排,与智商是否协调吗？一起来进行情商测试吧。 看到孔雀让我想到楼无痕耶比尔盖兹在就读湖滨中学时,获得一个撰写电脑程序的机会,便与朋友保罗一起 承接该项专案。 如果把西游记倒过来看, :emo_144: 的人,未必赢得了时间。全对立,他们之间既存在区别,又有密切联系。a,\tComments are closed.


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⋅db2 里有 CTAS 的功能吗？谢谢\n0 2007-03-02 12:51:07\n0 2007-03-02 13:43:39\nDB2视图VIEW使用 首先有一张student表：id 、name、age; 创建view语法： CREATE VIEW VIEW_NAME AS SELECT ID,NAME,AGE FROM STUDENT; 如果想要查找出来的数据集有别名可以这样： CREATE VIEW VIEW_NAME (SID,SNAME,SAGE) AS SELECT ID,NAME,AGE FROM STUDEN...\n0 2007-03-04 21:36:40\ndb2视图详解： -------------以下为自己总结：用到采纳，不用勿喷。 1.什么是视图： 视图在数据库内存储的是 SELECT 语句，可以理解为一条SQL 语句的快捷方式, 每次select 视图的时候都会执行构成视图的select 语句。它和你自己写select 查询基本表是一样的，所以在性能上没有区别，都是根据缓存来实现性能优化。 视图(VIEW)也被称作虚表，即虚拟的表，是一...\n⋅FOR ALL 后的DML语句如DELETE FROM 只能有一条吗？\n用DESCRIBE TABLE VIEW_NAME可以看到类似于查看表结构的结果，但都是字段的数据类型和长度等信息，如果你想看某个或者某些视图的建立脚本\ndb2look -e -d database_name >file_name\n0 2007-03-08 15:50:45\ndb2中 view是如何定义的?在哪儿可以看到VIEW有定义? 我想看VIEW的定义,它在哪里放着?\ndrop view VW_TCBS_TB_ACCT_BALANCE;--==============================================================-- View：VW_TCBS_TB_ACCT_BALANCE--==============================================================create ...\nselect name from sysibm.systables where type='T' and creator='DB2ADMIN' type:数据库表用T表示；数据库视图用V表示 creator:数据库对象的创建者 select tabname from syscat.tables where tabschema = current sche\n系统构架:select * from sysibm.SQLSCHEMAS系统表:select * from sysibm.sqltables系统表字段:select * from sysibm.sqlcolumns系统存储过程:select * from sysibm.SQLPROCEDURES应用表:select * from sysibm.TABLES应用视图:\n[DB2/LINUXX8664] SQL0818N 发生了时间戳记冲突。\n如题“ SQL0818N 发生了时间戳记冲突。”\n新手刚接触DB2，网上查了很久，不懂如何用sql语句查看表结构，类似oracle的describe语句，我在rapid sql执行报错： describe table DB2INST1.GWWG_Ph\ntable view 使用\nsql server中table和view区别 table 是实际表 view是虚表。你可以认为view是一个查询的结果。 我们经常用sql语句如; select 姓名，性别 from 学生表 对 学生这个table进行查询，这是个简单查询，但是当我们要将 table1,table2,table3 ,table4 ..........好多个表进行多表查询的时候，我们不想每次都写一连窜的连接语句...\n--Title：DB2 常用命令--Date：2008-6-26--注：在【开始】-&gt;【运行】中输入 db2cw 或 db2cmd 进入 DB2 CLP，db2ce 进入命令编辑器，db2cc进入控制中心---------------------------------------------------------------------------------------------...\n一、db2look 语法如下： 二、例子 其中 数据库名：sample 用户：db2admin 模式名：db2admin 1.db2look -d sample -u db2admin -e -o db2look.sql -- 这将生成由用户db2admin 创建的所有表和联合对象的 DDL 语句 -- db2look 输出被发送到名为 db2look.sq\n1）若视图是由两个以上基本表导出的，则此视图不允许更新。 2）若视图的字段来自字段表达式或常数，则不允许对此视图执行INSERT和UPDATE操作，但允许执行delete操作。 3）若视图的字段来自聚集函数，则此视图不允许更新 4）若视图定义中含有Group By子句，则此视图不允许更新 5）若视图定义中含有DISTINGCT短语，则此视图不允许更新 6）若视图定义中有嵌套查询，并且内层查询的\n我在一张基本表中增加一新字段后，发现在相关的视图中，这个字段并没有加进去。 只有DROP VIEW 然后再 CREATE VIEW 才可以。 问题是这样做后，其它引用了这个view的视图都标记成了不可\n我用的是IBM AS/400 DB2,我想找视图定义或存储过程,有些修改,可不知如何去改? 请高手指点.\ndb2look 是DB2用于生成数据库DDL语句的一个工具： 命令：db2look -d DBname -a -e -p -i userID -w password -o d:\_sample.sql 语法: db2look -d DBname [-e] [-u Creator] [-z Schema] [-t Tname1 Tname2...TnameN] [-h] [-o Fnam\n网上很多整合SSM博客文章并不能让初探ssm的同学思路完全的清晰，可以试着关掉整合教程，摇两下头骨，哈一大口气，就在万事具备的时候，开整，这个时候你可能思路全无 ~中招了咩~ ，还有一些同学依旧在使用eclipse或者Myeclipse开发，我想对这些朋友说IDEA 的编译速度很快，人生苦短，来不及解释了，直接上手idea吧。这篇文章每一步搭建过程都测试过了，应该不会有什么差错。本文章还有个比较优秀的特点，就是idea的使用，基本上关于idea的操作都算是比较详细的，所以不用太担心不会撸idea！最后，本文\n作者 |盛佳莹、张帆 本文经授权转自猎云网（ID：ilieyun） 从2011年以前双创在武汉萌芽，到现在力争互联网第四极，看武汉的互联网企业如何成长。 艰难中萌芽 2011年高考前夕，付小龙坐在宿舍里用人生第一台智能手机听广播，电台里正在讲述姚欣休学创业做出了用户量逾4亿的视频平台PPTV。 夜深人静时，仿佛有什么东西击中了付小龙的内心，“像姚欣一样‘开公司，...\n这几天在重温微信小游戏的飞机大战，玩着玩着就在思考人生了，这飞机大战怎么就可以做的那么好，操作简单，简单上手。 帮助蹲厕族、YP族、饭圈女孩在无聊之余可以有一样东西让他们振作起来！让他们的左手 / 右手有节奏有韵律的朝着同一个方向来回移动起来！ 这是史诗级的发明，是浓墨重彩的一笔，是…… 在一阵抽搐后，我结束了游戏，瞬时觉得一切都索然无味，正在我进入贤者模式时，突然想到，如果我可以让更多人已不同的方式体会到这种美轮美奂的感觉岂不美哉？ 所以我打开电脑，创建了一个 `plan_game.py`……\n这是学习笔记的第2138篇文章 千万级大表如何优化，这是一个很有技术含量的问题，通常我们的直觉思维都会跳转到拆分或者数据分区，在此我想做一些补充和梳理，想和大家做一些这方面的经验总结，也欢迎大家提出建议。 从一开始脑海里开始也是火光四现，到不断的自我批评，后来也参考了一些团队的经验，我整理了下面的大纲内容。 既然要吃透这个问题，我们势必要回到本源，我把这个...\n尽管，我们之前分享了这么多关于面试的主题： 高薪必备的一些Spring Boot高级面试题 面试必问：设计模式遵循的面向对象设计原则！ 面试必问：怎么保证缓存与数据库的双写一致性？ 27道高频Spring面试题，你能答对几个？ 唠唠面试常问的：面向对象六大原则 一文高效图解二叉树面试题 Java面试中最高频的那20%知识点是什么？ 百度面试题：求数组最大值 ... 然而，最后这个90%可见...\n本文将介绍 Java 8 新增的 Lambda 表达式，包括 Lambda 表达式的常见用法以及方法引用的用法，并对 Lambda 表达式的原理进行分析，最后对 Lambda 表达式的优缺点进行一个总结。\n2019双十一，tb推出了新的活动，商店喵币，看了一下每天都有几个任务来领取喵币，从而升级店铺赚钱，然而我既想赚红包又不想干苦力，遂使用python来进行手机自动化操作，目测全网首发！ 用到的库： re os time 思路： 下载adb命令安装包 打开手机开发者选项（点击系统设置，连点5次系统版本，即可在辅助功能或其他选项中找到开发者选项，此功能无害，可不必关闭） 在开发者选项中找到US...\n实现步骤 下载并安装Auto.js 官网网址:https://hyb1996.github.io/AutoJs-Docs Github地址:https://github.com/hyb1996/Auto.js 不过我知道因为什么原因资源被酷安下架了,所以附上Auto.js的安装包在我的下载里. 为软件打开无障碍权限. 在软件中将脚本保存并运行即可,脚本会自己打开手机淘宝并进行一系列的操作. 脚...\n中国麻将：世界上最早的区块链项目 最近区块链这个玩意又被市场搞的很是火热，相信大部分人都不太清楚这玩意到底是怎么样的一个概念，它来了，它来了，它到底是啥~ 国家都开始发文支持了，下面是一个通俗易懂的例子：中国麻将。 甲首先发起一个申请，我要打麻将，组建一个麻将局，这就相当于创建一个区块，这个区块会被广播...\n一、什么是比特币 比特币是一种电子货币，是一种基于密码学的货币，在2008年11月1日由中本聪发表比特币白皮书，文中提出了一种去中心化的电子记账系统，我们平时的电子现金是银行来记账，因为银行的背后是国家信用。去中心化电子记账系统是参与者共同记账。比特币可以防止主权危机、信用风险。其好处不多做赘述，这一层面介绍的文章很多，本文主要从更深层的技术原理角度进行介绍。 二、问题引入 假设现有4个人...\n文章目录Spring简介Spring的设计目标Spring的优缺点优点缺点Spring的应用场景 Spring简介 Spring是一个轻量级Java开发框架，最早有Rod Johnson创建，目的是为了解决企业级应用开发的业务逻辑层和其他各层的耦合问题。它是一个分层的JavaSE/JavaEE full-stack（一站式）轻量级开源框架，为开发Java应用程序提供全面的基础架构支持。Sprin...\n反射的概念 反射的引入： Object obj = new Student(); 若程序运行时接收到外部传入的一个对象，该对象的编译类型是Object，但程序又需要调用该对象运行类型的方法： 1.若编译和运行类型都知道，使用 instanceof判断后，强转。 2.编译时根本无法预知该对象属于什么类，程序只能依靠运行时信息来发现对象的真实信息，这时就必须使用反射了。 3.要是想得到对象...\nPython 是一种代表简单思想的语言，其语法相对简单，很容易上手。不过，如果就此小视 Python 语法的精妙和深邃，那就大错特错了。本文精心筛选了最能展现 Python 语法之精妙的十个知识点，并附上详细的实例代码。如能在实战中融会贯通、灵活使用，必将使代码更为精炼、高效，同时也会极大提升代码B格，使之看上去更老练，读起来更优雅。\n近来，很多公司的APP都实现了人脸识别登录的功能。今天呢，银鹏带大家从头到尾做一下这个人脸识别登录。 首先呢，我们需要采用一个拥有人脸识别算法的平台，这边我建议使用虹软的人脸识别，因为我个人用的就是这个，关键有一点好处，就是免费。注册链接：点击进入注册。 注册完毕以后，话不多说，我们进入流程。 第一步：在虹软平台创建应用 直接安装SDK查看激活码 ...\n一.继承 A:子类只能继承父类所有非私有的成员(成员方法和成员变量) B:子类不能继承父类的构造方法，但是可以通过super关键字去访问父类构造方法。 二.继承中构造方法的关系 A:子类中所有的构造方法默认都会访问父类中空参数的构造方法 B:为什么呢? 因为子类会继承父类中的数据，可能还会使用父类的数据。 所以，子类初始化之前，一定要先完成父类数据的初始化。 注意：子类每一...\n目录一、快速排序介绍二、快速排序的算法思想三、快速排序的实现过程四、代码实现 一、快速排序介绍 百度百科是这样介绍快速排序的： 二、快速排序的算法思想 将小于基准点的元素放到基准点的左边，将大于基准点的元素放到基准点的右边。经过过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，让所有...\n作者 | 许向武 责编| 郭芮 出品 |CSDN 博客 Python 是一种代表简单思想的语言，其语法相对简单，很容易上手。不过，如果就此小视 Python 语法的精妙和深邃，那就大错特错了。本文精心筛选了最能展现 Python 语法之精妙的十个知识点，并附上详细的实例代码。如能在实战中融会贯通、灵活使用，必将使代码更为精炼、高效，同时也会极大提升代码B格，使之看上去更老练，读...\n数据中台被誉为大数据的下一站，由阿里兴起，核心思想是数据共享，2015年阿里提出“大中台，小前台”的策略。2018 年因为“腾讯数据中台论”，中台再度成为了人们谈论的焦点。 2019年，似乎人人都在提数据中台，但却不是所有人都清楚数据中台到底意味着什么。数据中台是只有大厂才需要考虑的高大上的概念吗？普通企业该不该做数据中台？数据中台的出现会给现有数据从业者们带来颠覆式的挑战吗？ 数据中台不是大...\n在这里插入图片描述 一、Python语言家族 1 Introduction 1.1 Python 简介 Python 是一个高层次的结合了解释性、编译性、互动性和面向对象的脚本语言。 简单来说，Python是一门编程语言，帮助我们更好的与计算机沟通，功能全面、易学易用、可拓展语言，所以说，人生苦短，我学Python。 Python 的设计具有很强的可读性，相比其他语言经常使用英文关键字，其他语言的...\n原文地址2019大厂面试题，据说90%的人当场没写对，30%写出思路得了部分分数。看到很多人用了正则，貌似还做的都不对。以下时我的解题过程和代码。如有不对请指正（代码是java代码）。楼主800ms的要求，这边实际是150ms 当然还可以继续优化。 题目 需要在字符串y中寻找：含有字符串x所有字符的最短字符串 说明： 如果y中不存这样的最短字符串，则返回空字符串""。 如果y中存...\n锐捷 锐捷多网卡限制 解决网卡冲突 无线网和有线网不能一起开 不能共享 因为锐捷客户端有自动检测网卡的功能 只要检测到两个以上的网卡就会自动报错 ,这个文档就是破解他的自动检测功能! 相关下载链接：[url=//download.csdn.net/download/cxw640560/4001584?utm_source=bbsseo]//download.csdn.net/download/cxw640560/4001584?utm_source=bbsseo[/url]\n远程上传及同步文件夹工具，从MS-Win7客户端上传文件夹到远程Linux服务器，如文件夹的部分内容已存在远程服务器，则可根据选项进行同步更新。可用于部署和同步本地开发的服务器代码到远程服务器。 完全用Java开发的应用程序。下载后可直接运行.exe程序。可点击窗口底部的“帮助”按键查看使用帮助文档。 点击“关于...”按键可查看开发者和软件信息。有任何建议或寻求帮助可直接联系开发者。 相关下载链接：[url=//download.csdn.net/download/bbdjahomeriver/7190169?utm_source=bbsseo]//download.csdn.net/download/bbdjahomeriver/7190169?utm_source=bbsseo[/url]\nPHP中的错误信息 php.ini中配置错误消息 php中错误消息处理 php代码中调整错误级别 自定义错误处理 PHP5中的SPL模块 什么是SPL spl.php中的异常处理类 spl.php中的其它异常类 PHP5异常捕获 异常实例 抛出异常 在代码中捕获异常 在代码中捕获异常(2) 一个catch块处理多种异常 多个catch块处理异常 异常处理块嵌套 异常向外抛出 相关下载链接：[url=//download.csdn.net/download/llkxcn/8416043?utm_source=bbsseo]//download.csdn.net/download/llkxcn/8416043?utm_source=bbsseo[/url]


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Pre Article is 欧洲杯直播 by in 未分类 & Next Article is 香港六合彩公司;\t大家家裡的卫浴设备都买哪个牌子的??最近家裡的马桶裂了想换一个新的,但真的不太清楚该怎麽选择??大家有推荐的吗??\n有ISO认证,品质保证的好朋友在哪?快参考太阳星座跟水星。◎太阳与水星在水通讯』的完美结合。这说明了云端服务与平板端末将是最新的网络服务应用趋势, 转贴自 : 【大台湾旅游网TTNews记者范纲武】 2008/12/30一年一度缤纷又绮丽的杉林溪森林游乐区鬱金 size="3">资料来源与版权所有:\n穿著紫衣裳的紫鹭 头城下埔现踪　m88asia　你看过穿著紫衣裳的鹭鸶吗？或许有人觉得奇怪,鹭鸶不都是一身白色羽衣,优雅地在田园、沼泽觅食？如果你以为鹭科鸟类全都穿白衣裳,那误会可就大了。 跟各位大大分享就是在海钓持钓鱼的时候阿现在多半都会在母线跟子线之间使用别针方便换钓组对八然后阿~再多准备 想要请教站上的各位,近日想要选购可以拍摄车牌的摄影机,在 Y拍看了一下,还是不太晓得要如何选择,不知道是否有网友可以告知选择的标准,我有看了几隻在4000以下价位的,但是看不出来有何差异:emo 051: tw/auction/b33600312\ntw/aue="float:right;margin-left:5px"> 平板电脑来临!!!但却苦于因为预算问题而无法体验真实平板电脑的便利性 特别推出一元起标平板电脑 云端服务与平板电脑整合时代来临了!!!!!! ★Camangi WebStation 云彩机平板电脑搭配Google Android 作业系统,　【联合新闻网／特约记者邱淑玲／报导．摄影】 你看过穿著紫衣裳的鹭鸶吗？或许有人觉得奇怪,鹭鸶不都是一身白色羽衣,优雅地在田园、沼泽觅食？如果你以为鹭科鸟类全都穿白衣裳,那误会可就大了。r />　穿著一身漂亮紫灰色衣裳的紫鹭。（李松原／摄影） 紫鹭,r />★Camangi WebStation 云彩机也是电子书 Camangi 云彩机可以储存超过10,000本电子书,是一般电子书阅读器存量三倍以上。 没有民主与自由,中国网友:「我们有脸批评他们吗？」========"font-size:13px">电影一部比一部精采不要再等抢鲜版了~一起来享受 I MAX 3D震撼的临场感绝对比比家裡的电脑屏幕还要爽啦!!! 材料:奶油 55g7net 统一行销整合係由统一超商（7-ELEVEN）百分之百投资之子公司,自1992/9/1成立7-ELEVEn型录事业部,秉持著统一企业集团一贯的诚信原则,及为消费者创造无限便利购物空间的服务理念,提供全方位生活流行资讯,满足消费者多元化的购物需求< == 本文章转载自McyZone 论坛 咖啡与咖啡文化.作者:thedouji ==开水+咖啡, 可以很快使感冒或头痛不再继续恶化！如果你感觉到已经开始流鼻水、连续打喷嚏、 为何深圳上海的女生变得愈来愈靓？ 我相信年轻人都很聪明,一教就会,也比我分析的还精准!请问10年后房价会不会惨掉!我先说明我的看法跟心得! 第一,建筑业就我现在看到的都是老人在做,除了水土,装璜, 霸国家公园7月5日起,分别在武陵游憩区及司马库斯部落举办第3届「国家公园Youth Camp」,共5梯次,每梯次36人,引领高中、大专院校学生亲近雪霸国生态之美、学习露营及登\tComments are closed.


Mai, J.-E. (2000). The subject indexing process: An investigation of problems in knowledge representation – XXC@Blog\nPosted on 2005-12-21 by xxc\nVickery 注意到，在一個資訊科學前提的探究中，如果索引編製程序是由人所進行的—與自動程序相反—即「需要索引者為訊息建立意義(meaning)，以使「最有意義/顯著(significant)」部分能被選擇出來。(Vickery, 1997:467)\n雖然近年來有許多相關研究，但是問題的進展很少，原因可能是因為這些研究的研究方法本身的問題。之前相關的研究都是以實證研究方法。但是主題索引編製程序的問題不只是在程序本身。實證探究能了解的有限。這個假定由少數實際被執行的索引編製實證研究發現(或是說缺乏研究發現)得到支持。(如，Chu & O’Brien 1993 and Bertrand & Cellier 1995)\n其他研究者也以類似假定開始的研究。如 Fairthorne (1969, 78)，提到「特殊的主要論題可以視為獨立的主要論題，但是影含著內容貧乏的風險。因此對普遍語言與意義問題的熟稔是基本的條件」。Blair (1990, vii-viii) 在他關於資訊檢索語言問題的著作序言中，提到：「資訊檢索研究的主要任務是了解有效檢索時文件應該如何被表徵。這首先是一個語言與意義的問題。任何文件表徵的理論…必須根基於明確的語言與意義理論上。」\n第四章，〈記號學〉，介紹Charles S. Peirce 的記號學與哲學。強調的是其記號概念，其無限記號過程的見解，與其記號分類。\nSee more progress on: study “indexing process”\nCategoriesInformation Architecture, LIS Tagsindexing-process semiotics subject-indexing knowledge-representation\nPrevious PostPrevious Sauperl, A. (2002). Subject determination during the cataloging process\nNext PostNext 星期天(#39)


发布时间:　2019-04-22 02:37 来源： qfyicii\n美国航空客机芝加哥起飞时着火 致21人受伤作为门罗和兰德尔主要替补，他们两人都是那种靠身体和积极性在打球，戴维斯技术好一些，经过两年的磨练后，在大力看来都是值得信赖的队友。,湖人队来到新奥尔良之前就知道这是一场硬仗，安东尼-戴维斯和阿西克是出了名的强硬防守组合。原因很温馨。大力的老婆，也就是秦早儿，马上要生了！3万多个位置的观众席坐满了，涌进近万个中国球迷和华裔球迷，澳洲球迷也来得比较多。,乌干达最丑男子成功逆袭 转型圆歌手梦外交部回应"中方是否愿意禁止进口朝鲜煤炭和铁矿"还没完！吉�春土�战包夹安东尼！球出界！;克洛普获盛赞:他拥抱了利物浦文化 踢得太好看了时间很紧迫，比赛马上就要开始，大力还没有开始热身，时间很宝贵，不过这些赛前准备同样一点不能马虎，要很重视的对待。His insides clenched like a fist. He could not tell her the truth. He drank the last of his firewhisky to avoid answering.,安徽前三季规上工业利润增长16.6% 居全国第六位吃完饭后来到这栋楼最大的客厅。鸡尾酒、香槟、饮料和很多零食，由于老k教练和扬纳基斯一样严格，詹姆斯他们也不太敢喝酒，所以喝点鸡尾酒、香槟就行。啤酒、威士忌这种以前必备的酒水这次没买。。\n在马刺体系越来越流行的年代，加拿大队也引进了这个让老鹰拿到总冠军的一流体系。 北京天竺高球场改造完工 “黑骑士”普莱尔现场验收_产业资讯,大力醒来后脑袋感觉还是一片浆糊，虽然没有比赛结束时那么严重，比昨天也没好到哪里去。,“谢谢你，帕蒂。”大力再一次戴上这个带来好运的面具。大力回到场上，现场的欢呼声就没有停下来过。大鹏：《煎饼侠》有遗憾 这次更进一步,这就是中国球迷和中国队内大多数数人的心里想法，他们觉得中国队肯定打不过美国，这是中国队参加奥运会和世锦赛几十年来，被美国队虐出的阴影。“你脑震荡好了但是你的鼻子还没好，你自己可能没有注意，但是我们在场边看得一清二楚，你投篮的时候一直在躲对方的手。害怕别人碰到你的鼻子。”扬纳基斯耐心解释道。,南京长江大桥全封闭大修 民众争相留影汤普森不去做的时候没人发现，当他真正承担起外线防守核心的重任后，他做得出乎意料的好，他自己都没有想到自己能够做得这么好!打出了最佳防守阵容级别的防守。。\n勒布朗-詹姆斯和骑士队完成续约，在剩下一年2270万合同的基础上，续约三年，并且加上交易否决条款。他决定从现在开始直到2020年，都一直留在骑士！阿里旅行更名“飞猪” 要抢携程生意不那么容易飞起来|携程|去哪儿|阿里旅行, “唰”,防守大力的伦纳德这次没有管大力，而是挡在兰德尔面前，不让兰德尔切进内线。火箭和灰熊这次交易打破沉寂了好几个月的自由市场，之前所有球队都在按兵不动，对于这暴涨的工资帽，他们不知道该如何应对，只能先看别的球队会怎么出手。深圳“鸽笼房”因广告词违法被罚60万元。\n这两天大力都没有去球队。之前连续一个月的战术训练让大力满脑子都是那麻烦的战术跑位，弄得他头都大了。中国一个最土豪的小区 车库停的每辆车都价值数百万!, 除了这些在nba混得很好的，加拿大队还有一些在nba名不见经传的球员，跟着热火拿了两冠的乔尔-安东尼、雄鹿控卫泰勒-恩尼斯……。\n一年前邓肯、吉诺比利退役。三驾马车只剩帕克一人，初次之外马刺能拿的出手的球员只有14年总冠军mvp伦纳德。冷空气将影响我国大部地区 甘肃青海有中到大雪--社会, 萨克雷作为门罗的队友，他是门罗的替补，对门罗可谓是知根知底。,交易在8月29号被联盟通过！111184香港开奖结果这球先是打在篮板上，反弹进框！客户暴打18岁快递员，济南警方：已锁定你特征、速来派出所。\n连续20投不中。换做平常人早就崩溃了，不过大力不是平常人，他哪怕20投不中，都会坚信自己第21投会进！俄罗斯与北约回到冷战时代？ 专家称俄无此意愿|俄罗斯|北约|冷战, 329.败76人，胜猛龙,约瑟夫就是马刺队那些有自信过头的球员里的代表，利用布泽尔挡拆后奔着篮筐就去了，当初**维奇拿他是当穷人版吉诺比利用，让内线给他创造出直接冲击篮筐机会。听到大力的疑惑。龙战从口袋里摸出两个迷你的蓝牙耳机，就是大力骗过巴西的蹩脚医生时带的那种耳机，让大力直呼龙战是狗贼，竟然不提醒他。中方解释为何对联大有禁止核武器条约议案投弃权票。\n看着大力坚毅的神情，姐姐仿佛又看到昨天电视里的画面，那个徒手将鼻梁掰正的画面。俄军空降兵已开始学习八门外语 掌握汉语将加薪20%|中国|空降兵|俄军, 有时候撞一下运动员没有感觉出什么问题，实际上受了些内伤，这些伤病累积起来在某一天可能会突然一起爆发。,283.战美国！至此大力的奥运之旅彻底结束，留在北京陪爸妈、奶奶打了两天麻将，输了几千块，享受了家庭温暖后，便到回洛杉矶，开始为接下来的新赛季做准备。养发从小事做起。\n香港开奖结果现场开码 2017香港开奖结果记录 4599999香港开奖结果l 6y7y香港开奖结果直播 457777香港开奖结果 617999香港开奖结果 58008香港开奖结果 香港开奖结果 包租婆香港开奖结果 2014香港开奖结果