Дана робота – спроба розробити серію факультативних занять із математики для учнів 6-9 класів за темою « Діофантові рівняння», які містять різнорівневі завдання з теми і ознайомлять дітей із основними способами розв’язання таких рівнянь . Задачі, які зводяться до розв’язання діофантових рівнянь, часто зустрічаються на олімпіадах різних рівнів і є однією з найулюбленіших тем у теоретико-числових дослідженнях математиків. Розв’язання діофантових рівнянь сприяє розвитку теоретичного та логічного мислення школярів. Робота призначена для вчителів математики середніх і старших класів.\nМихальчук Оксана Олександрівна, вчитель, Ізюмська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів\n№ 11 Ізюмської міської ради Харківської області, спеціаліст вищої категорії.\nДана робота – спроба розробити серію факультативних занять із математики для учнів 6-9 класів за темою « Діофантові рівняння», які містять різнорівневі завдання з теми і ознайомлять дітей із основними способами розв’язання таких рівнянь . Задачі, які зводяться до розв’язання діофантових рівнянь, часто зустрічаються на олімпіадах різних рівнів і є однією з найулюбленіших тем у теоретико-числових дослідженнях математиків. Розв’язання діофантових рівнянь сприяє розвитку теоретичного та логічного мислення школярів.\nРобота призначена для вчителів математики середніх і старших класів.\nМатематичні основи розв’язування діофантових рівнянь………………….…6\n1.1.Рівняння першого степеня з двома невідомими……………………………….6\n1.2. Рівняння другого степеня………………………………………………………7\n1.2.1. Приклад розв’язування рівняння другого степеня з трьома невідомими…7\n1.2.2. Рівняння другого степеня з двома невідомими……………………………..9\n1.3. Рівняння з двома невідомими степеня вище другого……………………...…9\n2. Методика підготовки учнів до розв’язання олімпіадних задач, пов’язаних із діофантовими рівняннями………………………………..…………………..10\n2.1. Принципи відбору теоретичного матеріалу………………………………..10\n2.2. Найпростіші методи розв’язування діофантових рівнянь………………….11\n3.1. Розробки факультативних занять за темою «Діофантові рівняння»….…..11\n3.1.1. Заняття № 1……………………………………………………………….….11\n3.1.2. Заняття № 2…………………………………………………………………..14\n3.1.3. Заняття № 3……………………………………………………………….….18\n3.1.4. Заняття № 4………………………………………………………………..…20\n3.1.5. Заняття № 5………………………………………………………………....24\n3.1.6. Заняття № 6………………………………………………………………….29\nТеорія чисел вивчає насамперед арифметичні властивості чисел натурального ряду, іншими словами, цілих додатних чисел, і належить до старовинних розділів математики. Однією із центральних задач так званої аналітичної теорії чисел є задача про розподіл простих чисел у натуральному ряду. Простим числом називається будь – яке ціле додатне число, більше одиниці, що поділяється тільки на себе і одиницю. Задача про розподіл простих чисел у натуральному ряду полягає у вивченні правильності поведінки кількості простих чисел, менших деякого числа , при великих значеннях . Перший результат у цьому напрямку ми знаходимо ще у Евкліда ( ст. до н.е.), саме доведення нескінченності ряду простих чисел; другий результат після Евкліда був отриманий видатним російським математиком П.Л.Чебишевим у другій половині ст. Інша основна задача теорії чисел - це задача про подачу цілих чисел у вигляді суми цілих чисел певного типу, наприклад, проблема подачі непарних чисел у вигляді суми трьох простих чисел, яка була розв’язана сучасним представником теорії чисел - радянським математиком І.М.Віноградовим .\nДана робота присвячена одному із найбільш цікавих розділів теорії чисел, а саме - розв’язуванню рівнянь у цілих числах або діофантових рівнянь.\nРозв’язок у цілих числах алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами більш ніж із одним невідомим являє собою одну із складніших проблем теорії чисел. Цими задачами багато займались самі видатні математики давнини: грецький математик Піфагор ( ст. до н.е. ); кращі математики більш близької до нас доби –П.Ферма ( ст.), Л.Ейлер ( ст. ), Ж.Л.Лагранж ( ст.) та інші.\nОдним із математиків, що займались цією проблемою, був давньогрецький математик Діофант Олександрійський, праці якого мали велике значення для алгебри та теорії чисел. До нашого часу не з’ясовані ні рік народження, ні дата смерті Діофанта ; вважають, що він жив у ст. н.е. В одному із давніх рукописних збірників задач у віршах життя Діофанта описується у вигляді наступної алгебраїчної загадки, що являє собою надпис на його могилі:\nПрах Диофанта гробница покоит; дивись ей – камень,\nЗадача – загадка зводиться до складання і розв’язування рівняння:\nзвідки - ось скільки років жив Діофант.\nІз робіт Діофанта найважливішою є „Арифметика”, з 13 книг якої тільки 6 збереглися до наших днів. Ці книги були відкриті у Венеції у 1463 р. Регіомонтаном, котрий у зв’язку з цим писав, що у праці Діофанта зосереджено „увесь колір арифметики, мистецтва невідомої”.\nУ збережених книгах Діофанта міститься 189 задач із розв’язанням. У першій книзі викладені задачі, що зводяться до визначених рівнянь першого та другого степенів. Інші п’ять книг містять в основному невизначені рівняння. У цих книгах ще нема систематичної теорії невизначених рівнянь, методи розв’язування змінюються від випадку до випадку. Діофант задовольняється будь – яким одним розв’язком, цілим або дробовим, аби він було додатнім.\nМетоди розв’язання невизначених рівнянь складають основний вклад Діофанта у математику. Відомо, що у символіці Діофанта був один тільки знак для невідомого. Розв’язуючи невизначене рівняння, він використовував у якості декількох невідомих довільні числа, замість яких можна було взяти і будь – які інші, що і зберігало характер загальності його розв’язку .\nНе дивлячись на зусилля багатьох поколінь видатних математиків, у цій області відсутні загальні методи. Проблема розв’язування рівнянь у цілих числах вирішена до кінця тільки для рівнянь другого степеня з двома невідомими. Слід зазначити, що для рівнянь будь – якого степеня з одним невідомим вона не представляє суттєвого інтересу, бо ця задача може бути розв’язана за допомогою кінцевого числа спроб. Для рівнянь вищих степенів із двома та більше невідомими дуже складна не тільки задача знаходження усіх розв’язків у цілих числах, але і більш проста задача встановлення існування кінцевої або нескінченної множини таких розв’язків.\nРозв’язання рівнянь у цілих числах має не тільки теоретичний інтерес. Такі рівняння іноді зустрічаються у фізиці та практиці людини. Крім того діофантові рівняння і задачі, які зводяться до діофантових рівнянь досить часто зустрічаються в завданнях математичних олімпіад різних рівнів . Оскільки діофантові рівняння не вивчаються в основному курсі математики в школі, доцільно організовувати знайомство учнів з основними ідеями, пов’язаними з діофантовими рівняннями, на факультативних заняттях.\nТому, метою роботи було розробити серію факультативних занять, на яких учні зможуть оволодіти методами розв’язування олімпіадних задач, пов’язаних із діофантовими рівняннями. Для досягнення цієї мети було поставлено такі завдання:\nпроаналізувати математичні основи теорії діофантових рівнянь і відібрати теоретичний матеріал, з яким доцільно познайомити учнів;\nвиділити основні методи розв’язування задач, пов’язаних із діофантовими рівняннями;\nпідібрати різнорівневу систему завдань для відпрацювання кожного методу;\nрозробити систему занять по ознайомленню учнів із завданнями, які зводяться до діофантових рівнянь і розробити методичні рекомендації по проведенню цих занять.\n1. Математичні основи розв’язування діофантових рівнянь.\n1.1. Рівняння першого степеня з двома невідомими.\nСпочатку розглянемо рівняння першого степеня з одним невідомим\nНехай коефіцієнти рівняння та – цілі числа. Зрозуміло, що розв’язок цього рівняння буде цілим числом тільки в тому випадку, коли буде ділитись на без залишку. Таким чином, рівняння (1) не завжди має розв’язки у цілих числах.\nТак само і рівняння, степінь яких вище одиниці. Але питання про знаходження цілих коренів рівняння n-го степеня з цілими коефіцієнтами\nДійсно, нехай – цілий корінь цього рівняння.\nЗ останньої рівності видно , що а0 ділиться на а без залишку ; отже, кожний цілий корінь рівняння (2) є дільником вільного вільного члена рівняння. Для знаходження цілих розв’язків рівняння треба вибрати ті з дільників , котрі при підстановці у рівняння перетворюють його у тотожність.\nЗначно більший інтерес являє розв’язання у цілих числах рівнянь з багатьма невідомими.\nОтже, розглянемо рівняння першого степеня з двома невідомими\nде і - цілі числа, відмінні від нуля, а - довільне ціле. Будемо вважати, що коефіцієнти та не мають спільних дільників, крім одиниці. Дійсно, якщо найбільший спільний дільник цих коефіцієнтів відмінний від одиниці, то справджуються рівності , ; рівняння (3) приймає вигляд і має мати цілі розв’язки тільки в тому випадку, коли ділиться на . Таким чином, у випадку усі коефіцієнти рівняння (3) повинні ділитись на без залишку, і, скоротивши (3) на , прийдемо до рівняння , , коефіцієнти якого та взаємно прості.\nРозглянемо спочатку випадок, коли . Рівняння (3) матиме вигляд:\nРозв’язуючи це рівняння відносно , отримаємо . Зрозуміло, що буде приймати цілі значення лише в тому випадку, коли ділиться на без остачі. Але будь-яке ціле , що кратне , можна записати у вигляді: , де приймає довільні цілі значення . Підставимо це значення у попереднє рівняння , тоді , і ми отримаємо формули, що містять всі цілі розв’язки рівняння (3’) : .\nПерейдемо до випадку . Для знаходження всіх цілих розв’язків рівняння (3) достатньо знайти будь-який один його розв’язок , тобто знайти такі цілі числа , для яких .\nТеорема I. (без доведення) Нехай і взаємно прості і - будь-який розв’язок рівняння (3). Тоді формули (4) при дають усі розв’язки рівняння (3).\n1.2.Рівняння другого степеня.\n1.2.1. Приклад розв’язування рівняння другого степеня з трьома невідомими.\nПриклад. Розглянемо рівняння другого степеня з трьома невідомими:\nГеометрично розв’язок цього рівняння у цілих числах можна подати як знаходження всіх піфагорових трикутників, тобто прямокутних трикутників, у яких катети і гіпотенуза виражені цілими числами.\nПозначимо через найбільший спільний дільник чисел та : . Тоді , і рівняння (5) прийме вигляд\nЗвідси випливає, що ділиться на і, значить кратне :\nТепер рівняння (5) можна записати у вигляді\nСкоротивши на , одержимо\nМи прийшли до рівняння того ж виду, що і початкове, причому тепер величини не мають спільних дільників, крім 1. Таким чином, при розв’язанні рівняння (5) можна обмежитись випадком, коли взаємно прості. Отже, нехай НСД . Тоді, хоча б одна з величин та (наприклад, ) буде непарною.\nПеренесемо у праву частину рівняння (5), отримаємо\nПозначимо через найбільший спільний дільник виразів та , тоді\nде і взаємно прості.\nПідставляючи в (6) значення та , отримаємо . Так як числа і не мають спільних дільників, то одержана рівність можлива лише у випадку , коли і будуть повними квадратами: ,\nі тоді (8)\nЗнайдемо тепер та із рівностей (7) . Додавання цих рівностей дає\nВіднімаючи другу рівність (7) від першої отримаємо\nВ силу непарності із (15) маємо, що і також непарні. Більш того, так як інакше з рівностей та випливало б, що величини та мають спільний дільник , що суперечить припущенню про їх взаємну простоту. Числа та пов’язані із взаємно простими числами та рівностями і в силу цього самі взаємно прості; ,бо ,що зрозуміло із рівностей (7).\nПідставляючи у рівності (8) – (10) ,отримаємо формули:\nщо дають при непарних взаємно простих та усі вільні від спільних дільників трійки цілих додатних чисел , що задовольняють рівнянню (5) . Простою підстановкою та у рівняння (5) легко перевірити, що при будь- яких та числа (11) задовольняють цьому рівнянню.\nЗвідси випливають рівності, які часто зустрічаються:\nЯк вже було сказано, формули (11) дають тільки ті розв’язки рівняння , в яких числа та не мають спільних дільників. Всі інші цілі додатні розв’язки цього рівняння можна отримати, якщо помножити розв’язки, що містяться у формулах (11), на довільний спільний множник .\nТим самим шляхом , яким ми одержали усі розв’язки рівняння (5), можуть бути одержані і всі розв’язки інших рівнянь того ж типу.\n1.2.2. Рівняння другого степеня з двома невідомими.\nТеорема II(без доведення). Будь – який розв’язок рівняння (12) при додатному та ірраціональному має вигляд\nа - найменший розв’язок.\nНаприклад, найменшим розв’язком рівняння буде , , усі розв’язки цього рівняння будуть міститись у формулах:\nЗвідки при , ми отримуємо розв’язки: .\nВідмітимо, що числа та із зростанням n зростають із швидкістю геометричної прогресії із знаменником ,так як внаслідок рівності ( )( )=1 ми можемо стверджувати, що 0< < <1 і тому\n( ) завжди прямує до 0 із зростанням n.\nТЕОРЕМА III(без доведення). При будь-якому цілому додатному А та ірраціональному рівняння (12) має розв`язок , , .\nУ випадку другого степеня пари цілих чисел, які можуть бути розв’язками рівняння, зустрічаються значно рідше, ніж пари цілих чисел, що можуть бути розв’язками рівняння першого степеня.\n1.3. Рівняння з двома невідомими степеня вище другого.\na0xn + a1xn-1y + a2xn-2y2 + … + anyn , (14)\nде n – ціле число, більше за 2, і всі числа a0, a1, a2, …, an, c – цілі числа.\nРівняння з двома невідомими степеня вище другого майже завжди можуть мати тільки кінцеву кількість розв’язків у цілих числах х та у.\n.Алгебраїчні рівняння вищих порядків із трьома невідомими.\nЯкщо для рівнянь з двома невідомими ми можемо дати відповідь на питання про існування кінцевої або нескінченої кількості розв’язків у цілих числах, то для рівнянь вищих порядків з кількістю невідомих більше ніж два дати відповідь на це питання ми можемо лише для деяких окремих класів рівнянь. Видатний французький математик П’єр Ферма висловив твердження, що рівняння\nxn + yn = zn (15)\nпри цілому n 2 не має розв’язків у цілих додатніх числах x, y та z (випадок xyz = 0 виключається додатністю x, y, z.\nТаким чином, загальна теорія розв’язування рівнянь у цілих числах повністю розроблена тільки для рівнянь першого та другого степенів із двома невідомими. Для рівнянь вищих степенів з двома та більш невідомими дуже складна не тільки задача знаходження усіх розв’язків у цілих числах, але і більш проста задача встановлення існування кінцевої або нескінченної множини таких розв’язків.\nНа факультативних заняттях доцільно познайомити учнів з найпростішими випадками діофантових рівнянь та методами їх розв’язування, із загальними методами розв’язування лінійних діофантових рівнянь.\n2. Методика підготовки учнів до розв’язання олімпіадних задач, пов’язаних із діофантовими рівняннями.\n2.1. Принципи відбору теоретичного матеріалу:\nПринцип науковості та посильної складності, який передбачає відповідність запропонованого матеріалу рівню сучасної науки, збереження наукової системи у певній послідовності, а також міжпредметних зв’язків разом із врахуванням у процесі навчання вікових та індивідуальних особливостей учнів.\nПринцип розвитку теоретичного мислення. Передбачає розвиток теоретичного та логічного мислення учнів.\nПринцип систематичності. Реалізується за допомогою цільової і логічної систематизації, які повинні допомогти учням оволодіти системними знаннями.\nПринцип переходу від навчання до самонавчання і розвиток пізнавальних сил учнів. Сутність цього принципу полягає у пристосуванні навчання до змісту та рівня знань та вмінь, навичок кожного учня з метою виховання творчого підходу при вивченні кожного питання, вміння критично оцінювати результати своєї роботи, здатність до самоконтролю та самонавчання.\nПрактична важливість і зв’язок матеріалу із досвідом учнів. Передбачає можливість подання матеріалу на основі вивченого учнями раніше та можливість запропонувати учням нові нестандартні методи розв’язання математичних задач з метою активізувати процес навчання.\nПерспективне значення матеріалу. Передбачає можливість використовувати його у подальшій учбовій діяльності.\n2.2. Найпростіші методи розв’язування діофантових рівнянь.\nМетод повного перебору.\nВикористання властивостей подільності.\nВиділення цілої частини.\n3.1. Розробка факультативних занять за темою «Діофантові рівняння».\n3.1.1. Заняття № 1.\nТема уроку: Діофант та діофантові рівняння. Розв’язування діофантових рівнянь методом повного перебору.\nТип уроку : Засвоєння нових знань, вмінь\nМета уроку: - ознайомити учнів із поняттям діофантового рівняння;\n- сформувати вміння розв’язувати діофантові рівняння,\nвикористовуючи метод повного перебору.\nПерший етап даного уроку треба присвятити ознайомленню учнів із питаннями історії діофантових рівнянь. Для цього доцільно запропонувати учням самостійно підготувати реферат за темою «Про Діофанта та діофантові рівняння».\nОзначення: Діофантові рівняння – алгебраїчні рівняння або системи рівнянь із раціональними коефіцієнтами, розв’язки яких знаходять у цілих або раціональних числах. Зазвичай припускають, що діофантові рівняння мають кількість невідомих більшу, ніж кількість рівнянь, у зв’язку з цим вони також називаються невизначеними рівняннями.\nНайпростішими методами розв’язування діофантових рівнянь є:\n- метод повного перебору;\n- метод, пов’язаний із використанням властивостей подільності чисел;\n- метод, пов’язаний із виділенням цілої частини або метод розсіювання.\nНайбільш простим методом розв’язання діофантових рівнянь є метод повного перебору, тому заняття слід почати із розгляду декількох рівнянь, що розв’язуються за допомогою цього методу.\nЗадача 1: знайти двозначне число, яке дорівнює подвоєному добутку його цифр.\nПозначимо шукане двозначне число через (риска над значенням числа, що записане за допомогою цифр та , ставиться для того, щоб відрізнити цей запис від запису добутку ). Так як число містить десятків і одиниць, то: .\nЗа умовою задачі : або .\nВраховуючи, що та - цифри , шуканий результат можна отримати за допомогою повного перебору усіх можливих значень , тобто у останню рівність треба просто послідовно підставити замість значення . Виконавши підстанови, впевнюємося, що лише одне значення задовольняє рівність. В цьому випадку , тобто:\nВідповідь : шукане число 36.\nОтже, метод повного перебору полягає в наступному: у рівняння треба підставити послідовно усі можливі значення невідомих і вибрати ті, що дають цілі розв’язки рівняння.\nПісля розгляду задачі 1 слід розглянути більш складну задачу, пов’язану із повним перебором.\nЗадача 2: Знайти усі двозначні числа, кожне з яких на 9 більше суми квадратів його цифр.\nРозв’язання: Позначимо шукане двозначне число через . Тоді за умовою задачі:\nабо ( , - цифри).\nПерепишемо це рівняння у вигляді:\nВважаємо, що це квадратне рівняння відносно . Воно буде мати розв’язок тільки при невід’ємному дискримінанті:\nРозв’язуючи цю нерівність, отримуємо:\nЦій умові задовольняють лише цифри .\nЦю нерівність розв’язувати зовсім необов’язково, можна просто перевірити, що із всіх цифр цій нерівності задовольняють лише цифри .\nРозглянемо, чи має це рівняння розв’язки в цілих числах при таких значеннях :\nПри рівняння має вигляд:\nТоді ; , тобто умові задачі задовольняють числа 10 і 90.\nТоді ; , тобто умові задачі задовольняють числа 11 і 91.\nТоді , тобто в цьому випадку рівняння не має розв’язків в цілих числах.\nТоді і в цьому випадку рівняння не має розв’язків в цілих числах.\nТоді ; , тобто умові задачі задовольняють числа 34 і 74.\nВідповідь: шукані двозначні числа: 10, 11, 34, 74, 90, 91.\nДослідження цього рівняння можна організувати іншим способом:\nПослідовно підставляємо замість значення: .\nПри : ; ; ; ;\nПри : ; - не має цілих значень.\nПри значення виразу , тобто рівняння не має дійсних розв’язків.\nУчням треба показати обидва способи, і обов’язково зробити висновок про раціональність.\nЗадача 3: Два двоцифрові числа 46 і 96 мають цікаву особливість: їх добуток не змінює величину, якщо цифри чисел переставити.\nДійсно, . Треба з’ясувати чи існують ще інші пари двозначних чисел з аналогічною властивістю. Як відшукати їх всі?\nПозначимо цифри шуканих чисел через і , і . Складемо рівняння:\nРозкриваємо дужки та спрощуємо:\n, , , - цілі числа .\nДля пошуку розв’язків складаємо із 9 цифр усі пари із рівними добутками.\nПрибравши всі добутки, вибираємо тільки потрібні:\nУсього рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві шукані групи чисел. Наприклад, із рівності складаємо одне рішення:\nІз рівності знаходимо два рішення:\nТаким чином відшукуємо наступні 14 розв’язків :\nВідповідь: Пари двоцифрових чисел, добуток яких не змінюється при перестановці цифр чисел, наступні 12 і 42, 12 і 36, 12 і 84, 13 і 62, 13 і 93, 14 і 82, 23 і 64, 23 і 96, 24 і 63, 24 і 84, 26 і 93, 34 і 86, 36 і 84, 46 і 96.\nЦій приклад треба почати на уроці: розібрати умову задачі, скласти рівняння, розглянути ідею розв’язування, а вже громіздкі обчислення та безпосередній перебір залишити додому.\n3.1.2. Заняття № 2.\nТема уроку: Розв’язування діофантових рівнянь, використовуючи властивості подільності.\nМета уроку: формування вміння розв’язувати діофантові рівняння за допомогою властивостей подільності чисел; продовження формування вміння розв’язувати тестові задачі.\nПочати урок слід з перевірки домашнього завдання.\nДалі доцільно підвести дітей до висновку, що вивчений ними на минулому уроці метод не завжди раціональний, займає багато часу. Його зручно використовувати лише у випадках невеликого перебору.\nБільш поширеним та дієвим найпростішим методом розв’язування діофантових рівнянь є метод, пов’язаний із властивостями подільності чисел.\nРівняння, що розв’язуються таким методом можна поділити на окремі групи. Кожній групі доцільно присвятити по цілому уроку. Метод доцільно детально розбирати на конкретних прикладах. Спочатку треба розглянути приклад з попереднього уроку.\nЗадача1. Знайти двозначне число, яке дорівнює подвоєному добутку його цифр.\nРозв’язання: Склавши рівняння, маємо:\nЯкщо уважно придивиться, то можна побачити, що вираз - ціле число.\nОтже, - парна цифра (ділиться на 2), більша 5 ( , бо інакше отримаємо ), тобто необхідно перевірити тільки значення , . При отримуємо . Не задовольняє умові задачі і , бо у цьому випадку рівність дає .\nТреба звернути увагу учнів на те, що проста оцінка виразу (використали властивість подільності) звела перебор до мінімуму.\nОтже, метод використання подільності чисел при розв’язуванні діофантових рівнянь полягає у наступному: треба рівняння представити у такому вигляді, щоб можна було легко оцінити вираз, використовуючи властивості подільності чисел, і вже потім конкретно перебирати декілька значень.\nЗадача2: Хлопці збирали гриби. Один з них знайшов 6 грибів, а інші по 13 грибів кожний. На наступний день кількість хлопців була іншою, один з них знайшов 5 грибів, а інші по 10 грибів кожний. Скільки хлопчиків збирали гриби у перший і другий день, якщо кількість зібраних грибів у обох була однакова? Відомо, що це ціле число більше за і менше за 200.\nДля розв’язання цієї задачі достатньо введення двох невідомих.\nНехай у перший день збирали гриби хлопців, а у другий - хлопців.\nТоді за умовою задачі отримуємо рівняння:\nВиразимо одне невідоме через інше (у даному випадку зручніше виразити через , так як коефіцієнт біля дорівнює 10, а подільність на 10 легко перевірити):\nДалі можна використати метод повного перебору, а саме послідовно перебрати натуральні значення і шукати ті з них, для яких значення буде цілим. Однак цей шлях дуже громіздкий.\nЛегко бачити, що для подільності на 10 число повинно закінчуватися цифрою 0, але тоді число повинно закінчуватися цифрою 2. Так як останню цифра добутку одержуємо, коли множимо останні цифри множників,значить, число повинно закінчуватись цифрою 4, тобто число може бути рівним 4; 14; 24; ...\nАле з умови задачі відомо, зо кількість грибів, зібраних у перший день, більша, ніж 100 і менша, ніж 200.\nПідставляємо у вираз виділені значення , бачимо, що цій умові задовольняє лише . Тоді .\nВідповідь : у перший день збирали гриби 14 хлопців, а у другий 18 хлопців.\nЗадача 3. «Продаж курей» (старовинна задача). Три сестри прийшли на ринок із курьми. Одна принесла на продаж 10 курей, друга 16, третя 26. До полудня вони продали частину своїх курей за однією і тією ж ціною. Після полудня, побоюючись, що не всі кури будуть продані, вони знизили ціну та розпродали залишишок курей знов по однаковій ціні. Додому усі троє повернулися з однаковою виручкою: кожна сестра отримала від продажу 35 карбованців.\nЗа якою ціною вони продавали курей до і після полудня?\nПозначимо кількість курей, що продала кожна сестра до полудня через , , . У другій половині дня вони продали , , курей. Ціну до полудня позначимо через , після полудня через .\nКількість проданих курей\nПерша сестра виручила:\nДруга: , отже, .\nТретя: , отже, .\nПеретворимо ці три рівняння:\nВіднімемо від третього рівняння перше, потім друге, отримаємо послідовно:\nРозділимо перше із цих рівнянь на друге:\nТак як , , - цілі числа, то і різниця , - теж цілі числа.\nОтже, для існування рівності необхідно, щоб ділилось на 8, а на 5. Отже .\nВідмітимо, що число - не тільки ціле, але й додатне, бо (у протилежному випадку перша сестра не могла б отримати грошей стільки ж, скільки третя).\nПри цілих і додатних і остання нерівність задовольняється тільки в одному випадку: коли і .\n, , знаходимо: , .\nТепер повертаючись до рівняння:\nі підставляючи у них знайдені значення , , визнамо ціни зі якими продавали курей:\nОтже, курей продавали до полудня по 3 крб. 75 коп., після полудня по 1 крб. 25 коп.\nДля самостійної роботи учнів:\nЗадача 4: який прямокутник? Сторони прямокутника виражаються цілими числами. Якої довжини повинні вони бути, щоб периметр прямокутника чисельно дорівнює його площі?\nПозначимо сторони прямокутника через та , складаємо рівняння:\nЗвідси випливає :\nТак як і мають бути додатними, то додатним повинно бути і число , тобто 2.\nПеретворимо вираз так :\nТак як повинно бути цілим числом, то вираз повинен бути цілим.\nАле при це можливо лише, якщо . Відповідними значеннями будуть .\nВідповідь : шукана фігура є або прямокутник зі сторонами 3 та 6, або квадрат із стороною 4.\nЗадача 5 : Знайти всі натуральні , при яких дріб буде цілим числом.\nПерепишемо наш дріб:\nЗа умовою це ціле число, отже - ціле число.\nТоді цілий дільник числа 10. Цілими дільниками числа 10 є числа ; ; ; . Прирівнюючи послідовно до кожного з цих чисел та вибираючи тільки натуральні розв’язки отриманих рівнянь, одержуємо, що при натуральних дріб буде цілим числом.\n3.1.3 . Заняття № 3.\nТема уроку: Розв’язування діофантових рівнянь із використанням властивостей подільності чисел.\nМета уроку: формування вміння розв’язувати діофантові рівняння, використовуючи властивості подільності чисел.\nНа цьому уроці слід розглянути ще одну групу рівнянь, що розв’язуються методом використання властивостей подільності чисел.\nУрок слід почати із розгляду приклада та детального його пояснення.\nЗадача 1. Знайти усі пари цілих чисел, що задовольняють рівнянню:\nПредставимо число 7 у вигляді добутку його дільників:\nТепер перше рівняння можна переписати у вигляді двох систем:\nРозв’язком системи а) є пара чисел: , . Розв’язком системи б) є пара чисел: , .\nДруге рівняння можна переписати теж у вигляді двох систем:\nРозв’язком системи в) є пара чисел: , . Розв’язком системи г) є пара чисел: , .\nОтже, розв’язками вихідного рівняння є пари чисел: ; ; ; .\nОднак вже у другому прикладі одразу такий метод застосувати неможливо. Спочатку треба перетворити вираз, а вже потім застосовувати запропонований метод.\nЗадача 2. . Знайти цілі розв’язки.\nПеренесемо у ліву частину рівняння:\nЛегко бачити, що у лівій частині маємо різницю квадратів:\nОтже, наше рівняння має вигляд:\nЗамінимо дане рівняння рядом систем:\nРозв’язавши ці системи, можна переконатися, що рівняння не має розв’язків у цілих числах.\nЦі системи розв’язувати зовсім не обов’язково. Слід тільки уважно придивитись і побачити, що сума та різниця тих самих цілих чисел у відповіді дають числа однієї парності (або сума та різниця це парні числа, або сума та різниця це непарні числа), а в нашому випадку жодна із систем не відповідає цій властивості, тобто одразу видно, що жодна із систем немає розв’язків у цілих числах.\nЗасвоєння учнями розглянутих прикладів, дозволяє розглянути більш складні приклади цього типу.\nЗадача 3. Розв’язати рівняння в цілих числах.\nЗробимо доцільні перетворення рівняння, що вже більш складні, ніж у попередньому прикладі:\nТепер залишилося тільки перебрати усі можливі розкладення числа 4 у добуток цілих множників.\nРозв’язками цих систем, та нашого вихідного рівняння є пари чисел:\nПриклади для самостійної роботи учнів:\nЗадача 4. Знайти усі пари натуральних чисел, що задовольняють рівнянню:\nПеретворимо ліву частину нашого рівняння:\nРозкладемо число 105 на множники:\nТака рівність (при натуральних значеннях і ) можлива тільки у наступних випадках:\n(при натуральних значеннях і , тому система\nне може мати розв’язків у натуральних числах).\nРозв’язуючи ці системи, отримуємо наступні розв’язки вихідного рівняння:\nЗадача 5. Знайти цілі розв’язки рівняння:\nПеретворимо дане рівняння:\nДане рівняння можна замінити на такі системи:\nРозв’язками цих систем і нашого вихідного рівняння є пари чисел:\nРозв’язати рівняння в цілих числах:\nб) у цілих натуральних числах.\n1) Рівняння перетворюється:\n3.1.4.Заняття № 4.\nТема уроку: Задачі, що зводяться до розв’язування рівнянь із одним невідомим у цілих числах, використовуючи властивості подільності чисел.\n- продовження формування вміння розв’язувати текстові задачі\n- сформувати вміння розв’язувати задачі, що зводяться до розв’язування рівнянь у цілих числах.\nНа початковому етапі уроку слід перевірити домашнє завдання.\nСформувати алгоритми розв’язування діофантових рівнянь, використовуючи властивості подільності чисел.\nЗадача 1: Фірма заказала 143 комп’ютери, для того щоб розподілити їх між своїми філіями порівну. Однак потім фірма вирішила відкрити ще дві філії, і в результаті кожна філія отримала на 2 комп’ютери менше.\nСкільки у фірми стало філій?\nПозначимо початкову кількість філій через . Тоді за умовою задачі кожна філія повинна була отримати комп’ютера. Але філій стало , і, отже кожна філія отримала комп’ютери.\nЗа умовою задачі кожна філія отримала на 2 комп’ютери менше.\nЗгадаємо, що - кількість філій фірми і, отже – це натуральне число. Крім того та - теж натуральні числа, оскільки кожне із них – це кількість комп’ютерів.\nОтже, числа та - дільники числа 143. Залишається знайти усі дільники числа 143 та вибрати такі два дільники, один із яких на 2 більше другого.\nУ числа 143 лише чотири дільники:\nПеребравши усі можливі пари дільників, легко побачити, що умові задовольняє лише пара чисел 11; 13.\nОтже , а .\nВідповідь: у фірмі стало 13 філій.\nЗадача 2: Андрійко задумав деяке натуральне число. Борис запропонував йому піднести це число до другого степеня, після цього додати задумане число і назвати результат. Результат дорівнював 90. Як Борису дізнатись, яке число задумав Андрій?\nПозначимо задумане число через . Тоді можна скласти рівняння:\nТепер ясно, що треба знайти натуральне число таке, що при множенні його на наступне натуральне число у добутку будемо мати 90. Такі два натуральні числа неважко підібрати – це 9 та 10.\nЗдається, що задача розв’язана, але це не так. Раптом є ще будь-яке натуральне число, що задовольняє умові ? Бо в даному випадку ми не перебирали усі можливі варіанти розв’язків, а лише підібрали відповідь.\nДля того, щоб впевнитись у відсутності іншого такого числа, треба провести додаткові міркування: якщо то , тоді добуток більше , тобто більше 90.\nАналогічно: не може бути менше 9, бо в цьому випадку добуток . Отже могло бути задумане лише число 9.\nВідповідь: задумане число 9.\nДуже часто в олімпіадних задачах зустрічаються такі, що зводяться до розв’язування системи нелінійних рівнянь, що мають кількість невідомих більшу ніж кількість рівнянь, у цілих числах. Тому у курс обов’язково треба включити такі завдання для загального ознайомлення. Деякі системи зводяться до розв’язування діофантового рівняння, використовуючи властивості подільності чисел. Пропонуємо включити декілька систем у цей урок.\nПриклад 1: Розв’язати в натуральних числах:\nВіднімемо почленно із першого рівняння системи друге:\nТепер треба перетворити ліву частину таким чином, щоб отримати добуток многочленів:\nТепер за звичною системою: розглянемо усі розкладення числа 48 на дільники.\nМаємо ряд систем:\nРозв’язавши ці системи, знаходимо два розв’язки у натуральних числах рівняння:\nТепер треба повернутися до вихідної системи, з метою її розв’язків. Для цього у будь-яке рівняння системи підставляємо отримані пари чисел і знаходимо розв’язки самої системи, а саме:\nПідставимо наші пари чисел у перше рівняння системи:\nЯкщо , , то . Тобто, розв’язком системи в цьому випадку є трійка чисел: .\nПриклад 2: Знайти усі натуральні , , , що задовольняють системі:\nВіднімемо перше рівняння від другого:\nПеретворимо ліву частину у добуток многочленів:\nЗ цього рівняння отримуємо дві системи:\nДля першої системи:\nПідставляємо ці значення ц вихідну систему і отримаємо, в цьому випадку, розв’язок у вигляді: .\nПриклад: Знайти натуральний розв’язок рівняння: .\nДільники числа 6: .\nНас задовольняють два числа, які відрізняються на одиницю і у добутку дають число 6. Легко бачити, що це числа 3 і 2.\nПриклад 3: знайти натуральні розв’язки рівняння:\n1) Знайти натуральний корінь рівняння:\n2) Знайти усі цілі корені рівняння:\n3) Знайти натуральні корені рівняння:\n3.1.5.Заняття № 5.\nТема уроку: Розв’язування діофантових рівнянь методом виділення цілої частини.\n- сформувати вміння розв’язувати діофантові рівняння методом виділення цілої частини.\n- продовження формування вміння розв’язувати текстові задачі.\nМетод виділення цілої частини – є загальним методом для розв’язання у цілих числах невизначених (діофантових) рівнянь. Він був названий у Індії методом розсіювання (роздроблення). Натяки саме на таке розв’язування зустрічаються вперше у працях індійського астронома Аріабхатти, подібне розв’язування виклали індійські математики Брахмагупта та Бхагкара, бо саме у Індії невизначені рівняння розв’язувалися із астрономічними запросами та календарними розрахунками, тому ними займались астрономи та математики.\nВикористаємо цей метод для розв’язування наступних задач.\nЗадача 1: Знайти два цілих числа, якщо відомо, що різниця добутків першого на 19 і другого на 8 дорівнює 13.\nУ задачі треба знайти усі цілі розв’язки рівняння: (1).\nВиразимо - невідоме з найменшим за абсолютною величиною коефіцієнтом- через , отримаємо: (2).\nТепер треба дізнатись, при яких цілих значеннях відповідні значення є також цілими числами. Перепишемо рівняння (2) у наступному вигляді: (3).\nЗ таким прийомом ми вже зустрічалися при розгляді попереднього метода. Із (3) випливає, що при цілому приймає цілі значення тільки в тому випадку, якщо вираз є цілим числом, наприклад .\nПоклавши (4), питання зводимо до розв’язку у цілих числах рівняння (4) з двома невідомими і ; його можна записати так:\nЦе рівняння у порівнянні із вихідним має перевагу: 3 – найменша із абсолютних величин коефіцієнтів при невідомих – менша, ніж у (1), тобто 8. Це було досягнуто завдяки тому, що коефіцієнт при (19) було замінено залишком від ділення на 8.\nПродовжуючи аналогічним способом, ми із (5) отримаємо:\nОтже, невідоме при цілому тільки тоді приймає цілі значення, коли є ціле число, скажемо :\nЦе саме просте із всіх розглянутих невизначених рівнянь, бо один із коефіцієнтів дорівнює одиниці.\nІз (11) отримаємо:\nЗвідси видно, що приймає цілі значення при будь яких цілих значеннях . Із рівностей (6), (9), (12), (3) шляхом послідовних підстановок можна знайти наступні вирази для невідомих і рівняння (1):\nТаким чином формули:\n, при дають цілі розв’язки рівняння (1).\nНаведемо приклади розв’язків у таблиці.\nЦей прийом майже повністю співпадає із методом індійців і був названий ними методом розсіювання саме тому, що невизначене рівняння зводиться до ланцюга рівнянь із все меншими, за абсолютною величиною, коефіцієнтами.\nЦей приклад треба розглядати дуже детально, записувати пояснення до кожного кроку, бо розв’язання є алгоритмом розв’язку діофантових рівнянь таким методом.\nДо розв’язування таких невизначених рівнянь зводяться іноді задачі, пов’язані із практикою і повсякденною діяльністю людини.\nЗадача 2: Чоловік купує у магазині річ вартістю у 19 крб. У нього є лише 15 купюр по три крб., у касира лише 20 купюр по п’ять крб. Чи можна розрахуватися і як?\nЗадача зводиться до розв’язку у цілих додатних числах числах діофантового рівняння:\nБільш того , бо\nВ силу того, що і повинні бути додатними, та враховуючи умову задачі, легко встановити, що\nтобто може приймати тільки два значення: 0; 1. Звідси випливають два можливі розв’язки.\nДля самостійного розв’язку учнів:\nЗадача 3: Чи можна зважити 28 г деякої речовини на терезах, маючи тільки чотири ваги масою 3 г і сім - масою 5г?\nРозв’яжемо діофантове рівняння:\nІз умови задачі випливає, що не може набувати від’ємні значення (бо це призведе до від’ємного ).\nТакож , отже, .\nОднак і суперечить умові задачі, тобто за умовою . Таким чином, можливо лише . При цьому , єдиний розв’язок задачі.\nБагато старовинних способів відгадування чисел і дат народження засновано на розв’язанні діофантових рівнянь.\nВи пропонуєте товаришу помножити число дати його народження на 12, а номер місяця – на 31. Він повідомляє вам суму обох добутків, а ви розраховуєте по ній дату народження друга.\nЯкщо, наприклад, товариш ваш народився 9 лютого, то він робить наступне:\nЦе останнє число, 170, він вам повідомляє, а ви з’ясовуєте задуману дату. Як?\nЗадача зводиться до розв’язку невизначеного рівняння:\nУ цілих і додатних числах, причому число місяця не більше 31, а номер місяця не більше 12.\nЗнаючи, що і знаходимо границі для : .\nОтже: , , .\nДата народження 9-е число другого місяця, тобто 9 лютого.\nЗадача 5: Знайти дату народження, якщо сума добутків дорівнює 330.\nРозв’яжемо невизначене рівняння:\nЗа допомогою метода розсіювання отримаємо:\nЛегко констатувати, що єдине рішення\nОтже, дата народження: 12-е число, 6-го місяця, тобто 12 червня.\nЗадача 6: Треба на один карбованець купити 40 штук поштових марок: по одній копійці – по 4-и копійки і по 12 копійок. Скільки марок кожної ціни можна купити?\nУ даному випадку маємо два рівняння із трьома невідомими:\nде: - кількість марок по копійці;\n- по 4 копійки;\n- по 12 копійок.\nВіднімемо із першого рівняння друге, одержимомо одне рівняння з двома невідомими:\nПідставимо вирази для і у друге із вихідних рівнянь:\nТак як , , .\nОтже, марки можна купити двома способами.\nПеред тим як задати цю задачу додому треба зробити коментар до неї, а саме пояснити як скласти систему рівнянь.\nДругу аналогічну задачу задати без коментарю.\nНа 5 крб. купити 100 різних фруктів. Ціни на фрукти такі:\nСкільки фруктів кожного роду було куплено?\nВідповідь: 1 кавун, 39 яблук, 60 слив.\n3.1.6. Заняття № 6.\nТема уроку: Загальна схема розв’язування лінійних діофантових рівнянь.\n- ознайомити учнів із поняттям лінійного діофантового рівняння та загальною схемою його розв’язання.\n- сформувати вміння розв’язувати лінійні діофантові рівняння, використовуючи загальну схему їх розв’язання.\nПісля того, коли учні усвідомили найпростіші методи розв’язування діофантових рівнянь, слід перейти до більш складного матеріалу, а саме до специфічних методів розв’язування лінійних діофантових рівнянь.\nДля більш глибокого усвідомлення учнями загальної схеми розв’язування лінійних діофантових рівнянь, розглянемо її застосування на прикладі.\nПриклад 1: Розв’язати рівняння у цілих числах.\nЗнайдемо спочатку будь-який конкретний розв’язок цього рівняння, звичайним підбором:\n, - це конкретний розв’язок нашого рівняння (один з багатьох, не більше!) отже,\nТепер віднімемо одне рівняння від другого:\nУ останньому рівнянні позначимо через , а через , тобто:\nЗвідси легко бачити, що ділиться на 3, а на 5.\nОтже, покладемо , тоді , тут , очевидно, може бути будь-яким цілим числом. Тепер, якщо повернутися назад, до заміни, ми одержимо набір розв’язків:\n, де може бути будь-яким цілим числом.\nОстанні вирази для та і є загальним розв’язком даного лінійного рівняння в цілих числах.\nПісля розгляду приклада, доцільно показати учням лінійне рівняння та його розв’язки у загальному вигляді.\nТеорема: Якщо пара цілих чисел , задовольняє рівнянню:\n, де , , - цілі числа і НСД , то , , де - довільне ціле число, є спільним розв’язком цього рівняння в цілих числах.\nПриклад 2: Розв’язати рівняння у цілих числах: .\nНСД , також 15 не ділиться на НСД , тобто це рівняння не має розв’язків у цілих числах.\nЗвичайно, інших розв’язків рівняння не має, цей момент учні повинні дуже чітко усвідомлювати.\nНе розуміючи того, що пари вичерпують усі розв’язки даного рівняння, неможливо рухатися далі.\nДоводити цю теорему недоцільно, бо розв’язання конкретного лінійного рівняння по суті і є доведенням цієї теореми, а доцільно запропонувати самостійно розв’язати приклад з повним виведенням формул для загального розв’язку.\nПриклад 3: Розв’язати рівняння в цілих числах.\nРозділимо обидві частини рівняння на НСД , отримаємо рівносильне рівняння:\nЗнайдемо конкретний розв’язок даного рівняння:\nТак як , отже , - конкретний розв’язок нашого рівняння.\nПочленно віднімемо одне рівняння від другого:\nПозначимо за , а за .\nТепер видно, що ділиться на 1, а - кратне 4, а отже можна покласти, що:\n, де може бути будь яким цілим числом.\nНаступні приклади краще розв’язувати використовуючи сформульовану теорему.\nПриклад 4: Розв’язати рівняння в цілих числах.\nЗа теоремою, треба знайти будь-який конкретний розв’язок рівняння.\nТак як , то , - конкретний розв’язок даного рівняння.\nОтже, за теоремою:\nЗ нашого рівняння: , .\n, де - довільне ціле число.\nПриклади: Знайти цілі розв’язки рівнянь:\nЗнайдемо конкретний розв’язок рівняння:\n, - конкретний розв’язок рівняння. Для даного рівняння , .\nЗнайдемо конкретний розв’язок:\n. Отже , - конкретний розв’язок рівняння.\nДля цього рівняння , .\nДля даного рівняння , .\n1. Розв’язати рівняння у цілих числах (вивести формули для загального розв’язку).\n2. Розв’язати рівняння у цілих числах:\nПроблема розв’язування діофантових рівнянь являє собою одну з найбільш складних та цікавих проблем теорії чисел. Тому дуже багато математиків у своїх роботах приділяють особливу увагу питанням розв’язку діофантових рівнянь. Це стосується як вчених давнини: Піфагора, Діофанта Олександрійського, Брахмагупти, Пхаскари, так і вчених більш близької доби: П. Ферма, Ж.Л. Лагранжа.\nОднак, ця проблема розв’язана не до кінця. Лише для рівнянь другого степеню з двома невідомими вона розв’язана повністю. Це означає, що немає такого алгоритму, користуючись яким можна було б про всяке діофантове рівняння сказати, чи розв’язане воно в цілих числах. Якби такий алгоритм існував, то достатньо було б його застосувати до рівняння Ферма, щоб питання про розв’язаність чи нерозв’язаність цього рівняння в цілих числах було з’ясоване. Але загального порядку дій немає, і теорема Ферма продовжує хвилювати уми математиків.\nІ все ж не слід відмовлятись від спроб знайти доведення теореми. Адже заняття математикою – це своєрідна безпрограшна лотерея. Не розв’язавши проблеми, ви, однак завжди знайдете багато важливих і корисних результатів.\nЗавдання, які зводяться до діофантових рівнянь, дуже часто зустрічаються на математичних олімпіадах різних рівнів. Тому доцільно познайомити учнів з основними поняттями, пов’язаними із діофантовими рівняннями та ідеями розв’язування задач, які до них зводяться.\nВ даній роботі виділено основні методи розв’язування задач, пов’язаних із діофантовими рівняннями; підібрано різнорівневу систему завдань для відпрацювання кожного методу; розроблено систему занять по ознайомленню учнів із завданнями, що зводяться до таких рівнянь.\nЗа рахунок того, що в роботі підібрано різнорівневу систему вправ, розроблені матеріали можна використовувати при роботі з учнями як 6-7 так і 8-9 класів.Розроблені матеріали частково апробувалися під час підготовки до II етапу олімпіади з математики учнів 8-9 класів Ізюмської ЗОШ I-III ступенів №11.\nКованцов М.І. Математична хрестоматія. Алгебра і початки аналізу. – 1977. – с.25, 91-92.\nМиронюк В., Ясінський М. Методика розв’язування олімпіадних задач, пов’язаних з показниковими та степенево-показниковими діофантовими рівняннями. // Математика в школі. – 2005. – №3 . – с.47-49.\nМалинин В. Решение уравнений в натуральных числах. //Математика. – 2001. – №2. – с.25-28.\nЧерепинський О. Розв’язування рівнянь у цілих числах. // Математика. – 2005. – №29-30. – с.22-26.\nТищенко В.В. Діофантові рівняння. http://klasnaocinka.com.ua/ru/article/diafantovi-rivnyannya-tvorcha-robota.html\nЧемерис М І. http://metodportal.net/node/5645


Володарка після смерті читати книгу онлайн на Букнет\nПодобається 240 Нагородити 8\n615 531 34221\nПублікація: 22.12.2019 — 19.02.2020\nАвтор обкладинки: ANnneta\nВсього гілок: 210\nНаталия Золотоверхая 17.02.2020, 21:13:06\nАаа! Раптом світлі загребуть її з собою?\nШвидше викладайте продовження, бо я не спатиму, а в мене ж клятий аудит:(\nНаталия Золотоверхая 17.02.2020, 23:15:04\nРина Ских, все, ви мене заспокоїли, піду спати:)\nЛилия Антонова 17.02.2020, 21:39:48\nОй! Відчуваю, що хтось помандрує до Світлих земель... Дякую!\nРина Ских 17.02.2020, 21:41:09\nЛилия Антонова, все може бути)))\nЯнгол Смерті 17.02.2020, 18:29:32\nОго оце поворот надіюсь світлі її не знайдуть дуже боюся за злату(((\nРина Ских 17.02.2020, 19:21:31\nЯнгол Смерті, нуу... навряд вони їй нашкодять у будь-якому випадку))\nРина 17.02.2020, 16:35:39\nДякую за продовження. Герої забули про свої прямі обов"язки. Від ТАКИХ охоронців користі ніякої. Хоча подробиці розмови між Златою і Рінальдо будуть цікавими (особливо думка обох сторін).Чекаємо на наступну главу. Автору - успіху і натхнення.\nРина Ских 17.02.2020, 17:02:47\nРина, дякую)) завтра дізнаємося, що ж сталося між Златою та Рінальдо))\nOlga Vlad 17.02.2020, 13:30:25\nУуу, ляпас і чоловіча гордість. Ха-ха. Не дивно, що він такий злий )\nРина Ских 17.02.2020, 14:47:28\nOlga Vlad, ну, сам нарвався))\nРина 16.02.2020, 16:03:13\nДякую за продовження.Не розумію ставлення темних до полонених світлих. Якщо вже була схожа ситуація ( захоплення світлих і вбивство попереднього спадкоємця) , то повинен був залишитися страх не повторити ті події. А здається , що їм все одно . Особливо дивує охорона: під час свята треба підсилювати кількість стражі і наполягати на їх пильності ... А що роблять герої ? Та і Злата сама собі шкодить. Їй же казали про світлих ( що вони хочуть її загибелі) , а вона пішла до них побалакати мов до друзів. Чи до неї дійде лише тоді коли її шматувати будуть? Сподіваюся що героїня у наступних главах схаменеться і почне розважливо думати , а не тільки плисти за течією і жаліти себе . Чому не користується своїми силами ? Еррор же чимось її наділив ( спів чи навіювання голосом ?). Автору - натхнення і високого польоту фантазії!\nРина Ских 17.02.2020, 14:47:18\nРина, та повинен вже скоро прокинутися)))) надто міцно вже спить))) а дорослішати ось-ось доведеться терміново)\nAlisa 17.02.2020, 12:10:14\nУх ти ж блін, Рінальдо ти дибіл •́ ‿ ,•̀ Коли продоооовжееення?\nРина Ских 17.02.2020, 14:46:25\nAlisa, завтра буде новий розділ)))\nВиктория Сивочуб 17.02.2020, 10:47:26\nНу що ж, місцевому божеству було скучно, от тепер хай тримається міцніш. :-) Бо щось підказує, що Злата трошки( або зовсім не трошки) підправе тихе життя цього миру. Чекаю на продовження. Творчого натхнення вам !\nРина Ских 17.02.2020, 11:24:21\nВиктория Сивочуб, зі Златою йому точно тепер нудно не буде ніколи))))\nGhost 17.02.2020, 04:41:48\nУже нетерпиться прочитати продовження.Дуже дякую за те , що друга частина буде безкоштовною\nРина Ских 17.02.2020, 11:23:49\nGhost, рада, що книга настільки захопила))\nНаталия Золотоверхая 16.02.2020, 20:32:52\nой, починаю хвилюватися за безпеку Злати\nхоч би світлі їй не нашкодили\nРина Ских 16.02.2020, 20:40:52\nНаталия Золотоверхая, поки вона на балу, їй нічого не загрожує - Світлі не посунуть у натовп))\nМарія Стефанишин 16.02.2020, 16:42:06\nРина Ских 16.02.2020, 17:01:05\nМарія Стефанишин, будь ласка))\nМарго Толок 16.02.2020, 15:56:27\nдуже цікаво і лячно що ж буде з Златою чи викрадуть її світлі і чи врятують "особисті" охоронці(кірсан, Лоран,і,Деярд)?\nМарго Толок 16.02.2020, 16:26:01\nРина Ских, дякую заспокоїли\nValentina Petrik 16.02.2020, 13:41:52\nКожного дня чекаю на продовження і дуже вдячна, що друга книга також буде безкоштовно. Натхнення та успіхів в їх написанні)\nРина Ских 16.02.2020, 13:53:08\nValentina Petrik, дякую))))\nМарго Толок 16.02.2020, 09:38:58\nчекаю не дочекаюсь закінчення ♥ і дякую за продовження дуже цікавої заплутаної фентезі-історії\nРина Ских 16.02.2020, 11:58:57\nМарго Толок, дякую)) рада, що подобається)\nOlga Vlad 15.02.2020, 23:59:21\nВау! Чудові новини! Переживаю за Злату... треба боротися, якби важко і страшно не було. Думки світлих цікаві. З нетерпінням чекаю, щоб таке ви придумали для нас у наступній частині)\nРина Ских 16.02.2020, 11:58:44\nOlga Vlad, дякую))) по плану у нас бал)))\nAlisa 15.02.2020, 16:02:45\nВони ж дізнаються що Злата Спадкоємиця, так? Цікаво, яка у них буде реакція ಠಿ_ಠ\nРина Ских 15.02.2020, 17:32:31\nAlisa 15.02.2020, 14:49:34\nЗлатооо, не здавайся! ヾ(*’Ｏ’*)/ Рінальдо, як же ж ти помиляєшся (─.─||）Вона не змирилась, вона грає роль ಠ◡ಠ\nРина Ских 15.02.2020, 16:17:07\nAlisa, досить вдало грає)))\nВлад 14.02.2020, 23:49:25\nРозділ 44 Ну та(то) не мої проблеми.\nВлад 14.02.2020, 23:47:37\nРозділ 34. Але як же вона розлютила мене тим, що (не) послухалася і пішла до полонених!\nРина Ских 14.02.2020, 23:48:30\nВика 13.02.2020, 15:44:06\nВелике дякую вам за продовження!!! Якби можна було ставити зірочки за кожний розділ, я б робила це без всяких сумнівів. Захопливий сюжет і прекрасний талант автора зробили з цією книгою просто щось!\nВика 14.02.2020, 21:37:45\nІ за продовження теж дякую!!! Могла б читати вічно... Але, на жаль, розділи не такі. °~°\nІрина Павлівна Окренець 13.02.2020, 23:25:33\nюхууу!! приголомшливі новини наша люба авторко!!! чекаємо з нетерпінням!!! всього найкращого))\nРина Ских 13.02.2020, 23:36:08\nІрина Павлівна Окренець, дякую))) і вам))\nТатьяна Ивко 13.02.2020, 23:01:32\nРиночко, ви молодчина! Дуже цiкава i захоплива iсторiя. Натхнення вам та успiхiв! З нетерпiнням чекаю наступнi частини!\nРина Ских 13.02.2020, 23:35:56\nТатьяна Ивко, дякую)) рада, що настільки сподобалося))\nGhost 13.02.2020, 21:10:47\nКнига дуже цікава.Шкода Злату недають їй правити,свободу майже забрали.\nРина Ских 13.02.2020, 21:51:43\nGhost, дякую)) так буде не завжди, але боротися потрібно вже зараз, щоб не стало гірше)\nУляна Мельниченко Романюк 13.02.2020, 20:45:18\nЦе чудова новина!!!! Я у захваті від вашої книги.\nРина Ских 13.02.2020, 21:51:17\nУляна Мельниченко Романюк, дякую)) дуже приємно))\nВісенна 13.02.2020, 20:28:03\nЯкі чудові новини у кінці))) З нетерпінням чекаю))) Надіюсь кірсан хоч щось почне розуміти у стосунках, крім своїх "хотілок", а Злата таки втре цим зарозумілим хлопам носа))\nРина Ских 13.02.2020, 21:51:06\nВісенна, Злата взагалі ще всім покаже))\nЕлена Грицай 13.02.2020, 21:33:39\nAlisa 12.02.2020, 23:14:32\nЕльфійка дура якась ಠಗಠ Мені Рінальдо стало шкода, можливо Злата зможе загоїти його душевні рани і зрозуміти його ಠωಠ\nРина Ских 13.02.2020, 21:32:57\nAlisa, ооо, вітаю, бажаю всього найкращого)))\nВлад 13.02.2020, 13:34:23\nРозділ 32 ... і я залишився без зовсім без грошей (як на мене одне, без, зайве)\nРина Ских 13.02.2020, 17:26:56\nВлад, дякую, виправила))\nРина 13.02.2020, 12:51:50\nДякую за нові глави.Автору - успіхів і натхнення! Оце інтрига закрутилася: напад, світлі,залежність від травички , підготовка до балу...Ще кірсан зі своїм минулим...Златі треба все проаналізувати і зробити висновки з розповіді вампіра\nРина Ских 13.02.2020, 17:26:47\nРина, дякую)) еге ж, і звалилося все знову на Злату)))


Новини Львова: П’яний водій травмував двох львів’ян\nП’яний водій травмував двох львів’ян\n13:30 15 листопада 2019 р.\nПатрульні зареєстрували минулої ночі на Львівщині чотири ДТП з постраждалими, в яких травмувалися п’ятеро людей, а одна загинула.\nПро це повідомили в п’ятницю, 15 листопада, в управлінні патрульної поліції Львівської області, де також розповіли, що однак з таких автотрощ трапилася на вулиці Володимира Великого. Там у аварії за участі трьох автомобілів травмувалися троє людей.\nКоли патрульні приїхали на місце, учасники ДТП розповіли, що на червоне світло світлофора зупинилися автомобілі «Mitsubishi Lancer» та «Opel Vectra». Третій автомобіль, «Peugeot Partner», їхав позаду й, зі слів водіїв, в’їхав в «Opel», а той, своєю чергою, – в «Mitsubishi».\nПатрульні зауважили у 46-річного водія «Peugeot» ознаки алкогольного сп’яніння. Медики ушпиталили його, а також 35-річну водійку першої автівки та 31-річну пасажирку другої.\nЯк інформував «Щоденний Львів», правоохоронці розшукали водія, який збив 83-річну львів’янку.


Новорічний ярмарок handmade пройде у Львові в грудні\n17:07 22 Листопада 2014\nУнікальний ярмарок виробів ручної роботи збере у Львові майстрів handmade з різних куточків України. Досвідчені майстри зможуть представити тут свої роботи, новачки – проявити себе та набратися досвіду, а дорослі і маленькі львів’яни – вибрати оригінальні подарунки до зимових свят. Захід відбуватиметься 20-21 грудня.\nУ Львові є сотні майстрів, які творять вироби ручної роботи у різних техніках, проте їхні вироби доступні лише вузькому колу людей. Тож мета ярмарку «Lvivhandmade New Year» – познайомити львів’ян з чудовими майстрами, які працюють у місті та представити унікальні вироби ручної роботи, повідомили tvoemisto.tv у пресс-службі Львівської міської ради.\nВишивка, декупаж, гачкування, мило та косметика ручної роботи, виготовлення листівок, горняток і різноманітних прикрас – усе це та багато іншого представлять на виставці-ярмарку.\nБезпосередньо на виставці кожен відвідувач матиме можливість поспілкуватися з майстром, який виконав ту чи іншу роботу, а також навчитися створювати цікаві вироби на безкоштовних майстер-класах.\nБлагодійні майстер-класи проведуть учні школи-інтернату №2. Ярмарок пройде у приміщенні ТЦ «Інтерсіті», що на проспекті Чорновола 67.\nТЕГИ: Новий рік, діти, ярмарок, виставка, майстер-клас, handmade


понеділок, 18 жовтня 2021, 22:39\nПредставник української делегації в Тристоронній контактній групі Сергій Гармаш не виключає загрози повномашстабного вторгнення в Україну з боку Росії, проте переконаний, що наша держава спроможна дати гідну відсіч агресору.\nПро це, передає Укрінформ, Гармаш заявив в інтерв'ю радіо Свобода.\n"Якщо брати загальний тренд, то ось те загострення на Донбасі чому відбувається? Тому що вони бачать, що дипломатично і політично вони не можуть нічого досягнути. Їм залишається єдиний інструмент тиску на Україну – це воєнний. Це на Донбасі", - сказав Гармаш.\nПри цьому він висловив думку, що в глобальному вимірі "Путін все ж таки дуже багато втрачає зараз". Серйозною проблемою для нього, вважає Гармаш, може стати і інтеграція Білорусі, і суд щодо МН17, який може ухвалити рішення, несприятливі для російської верхівки.\n"Тобто загальний тренд такий, що Путін постійно змушений доводити, що він – сильна фігура, що він, скажемо, "помітив" цю територію і він тут господар. І, зрештою, чим далі ми від Росії, тим більше у нього буде бажання все-таки притягнути нас до себе і змусити нас підкорятися, потрапити під вплив Росії. Я думаю, що, зрештою, у нього не залишиться іншого інструменту, як, дійсно, якась військова операція", - сказав представник української делегації у ТКГ.\nПри цьому Гармаш висловив переконання, що сьогодні "час втрачено для того, щоб нас поставити на коліна саме воєнним шляхом".\nНа запитання, як Україні дати відсіч Путіну, якщо військова операція таки відбудеться, політик відповів: "Ми ж готуємо свої ЗСУ. Ми готуємо навіть законодавство під територіальну оборону. Тобто я вважаю, що Україна готується. І буквально вчора я читав про можливість надання США "Залізного куполу". Я думаю, що це може застосовуватися не тільки на Донбасі, але і закрити той же ж Київ".\nЯк повідомлялось, 10 вересня Президент Володимир Зеленський під час форуму YES, відповідаючи на запитання журналістів щодо ймовірності повномасштабної війни з Росією, заявив, що така ймовірність є, хоча це - "найстрашніше, що він може уявити".\nПрессекретар Президента України Сергій Никифоров в ефірі телеканалу "Дом" заявив, що зустрічі Зеленського з Путіним не буде без обговорення питання Криму. За його словами, Зеленський хотів би зустрітися з Путіним, однак російська сторона не готова обговорювати питання Криму, а без обговорення питання окупованих територій зустріч не матиме сенсу.\nПутін Росія Війна Гармаш


Міліція підтверджує, що полювання на Золочівщині завершилось вбивством | Львівський портал\nМіліція підтверджує, що полювання на Золочівщині завершилось вбивством\n01 Липня 2013, 17:09 |\nЯк повідомив сьогодні під час прес-конференції начальник Головного управління МВСУ у Львівській області Олександр Рудяк, під час інциденту у Золочівському районі одна особа загинула, а ще одну – було поранено. Останній уже перебуває вдома, передає кореспондент «Львівського порталу»\nВідповідаючи на запитання, Олександр Рудяк сказав, що усі учасники інциденту займалися браконьєрством на території мисливського угіддя. Зокрема, при загиблому правоохоронці виявили рушницю.\nВодночас головний правоохоронець Львівщини відмовився коментувати інформацію про те, що стрілець є посадовцем районного управління юстиції. «Це громадян України 1973 року народження, житель Золочівського району», – сказав він.\nТакож на запитання, чи стрілець був на підпитку, О.Рудяк відповів, що це має встановити експертиза.\nЗа словами Рудяка, чоловік, який стріляв начебто у кабана сам побіг надавати допомогу потерпілим. Один з потерпілих отримав поранення у шию, несумісне із життям, відтак помер на місці події. А про характер поранення другого чоловіка – головний правоохоронець Львівщини відмовився розповісти.\nВодночас О.Рудяк повідомив, що стосовно цього чоловіка, який стріляв, обрано запобіжний захід – застава у 20 неоподаткованих мінімумів. Порушено кримінальне провадження за статтею «ненавмисне убивство».\nДжерело фото: oreninform


Академія Аналітики ПУМБ – практичний досвід та перша робота | Національний університет «Львівська політехніка»\n6 трав. 2021, 15:49\nВідділ працевлаштування та зв’язків з виробництвом Львівської політехніки\nВідділ працевлаштування Львівської політехніки анонсує набір студентів на проект Першого Українського Міжнародного Банку (ПУМБ) – онлайн-курс Академії Аналітики ПУМБ.\nБанк ПУМБ – великий і соціально відповідальний бізнес, який, насамперед, вбачає у цьому проекті соціальну складову. Цей безкоштовний навчальний проект покликаний дати студентам практичний досвід і можливість отримати першу роботу.\nОнлайн-курс «Аналітика даних від ПУМБ» триватиме 1 місяць. Навчання відбуватиметься в будні, з 16:00 (2–3 години на день) на практичних кейсах реального банку. Ментори – провідні експерти з аналітики ПУМБ та професори Київської школи економіки (KSE).\nНавчальна програма складається з двох модулів, кожен тривалістю в середньому два тижні. Практичний досвід, одна або дві прицільні спеціалізації, як-от Data analyst, Data scientist, Business analyst.\nАкадемія Аналітики ПУМБ – це навчальний проект для студентів від III курсу та випускників (18–25 років) таких спеціальностей, як економічна кібернетика, прикладний системний аналіз, математичний аналіз та інших, спрямованих на аналітику.\nОсновна вимога до кандидатів – вміння працювати з базами даних. Після завершення курсу та фінального тестування – сертифікат про проходження курсу. Кращі студенти будуть запрошенні на роботу в ПУМБ.\nНавчання стартує з червня 2021 року. Заявки приймають із 1 до 22 травня. Для участі потрібно подати заявку та пройти співбесіду.


На Кіровоградщині рибалок закликають закрити сезон плідної риболовлі\n/На Кіровоградщині рибалок закликають закрити сезон плідної риболовлі\nРятувальники Кіровоградщини посилено проводять роз’яснювальні заходи на ще вкритих кригою водоймах, щоб пояснити рибалкам, наскільки небезпечним є льодовий покрив у період весняної відлиги.\nТак, 13 березня рятувальники Маловисківського та Компаніївського районів прийшли до місцевих ставків для розмови із любителями підлідного вилову риби, повідомляють у прес-службі У ДСНС, інформує ТРИБУНА.\nПротягом зимового та початку весняного періоду рятувальники Кіровоградщини неодноразово відвідували місця, обрані рибалками для реалізації непереборного бажання зловити якнайбільше рибин.\nТому всі постійні завсідники цих місць добре знають правила безпеки, проте відмовлятись від небезпечного хобі не мають бажання. Виходити чи не виходити на лід – це рішення приймає кожен рибалка самостійно та свідомо, проте ніколи не зайвим буде нагадати громадянам, які становлять групу ризику щодо небезпеки загибелі на воді, що легковажити заходами безпеки на кризі – це свідомо йти на смерть.\nНа завершення розмови рибалки Кіровоградщини отримали листівки застережного змісту.\nДетальніше в цій категорії: « Від "Кіровоградгаз" знову йдуть погрози про масове відключення кропивничан від тепла\tУ Кропивницькому деякі вулиці відключать від електропостачання »


5.2. Телекомунікаційні технології створення і передавання документів : Документаційне забезпечення менеджменту : Бібліотека для студентів\n5.2. Телекомунікаційні технології створення і передавання документів\nСучасні інформаційні технології спрямовані на значне підвищення ефективності роботи менеджера в процесі накопи-чення і переробки інформації як в індивідуальному режимі, так і в колективній роботі. До сучасних електронних інформацій-них технологій створення і передачі інформації, в тому числі документованої, можна віднести:\n♦ інтегровані персональні комп’ютери (електронна пошта);\n♦ засоби телекомунікаційного зв’язку (телеграфний, теле-тайпний, телексний зв’язок):\n♦ факсимільний зв’язок.\nЕлектронні повідомлення (листи) - це документи, що пе-редаються в електронній формі за допомогою електронної по-шти. Електронна пошта дозволяє здійснювати обмін даними між користувачами персональних комп’ютерів (ПК), а також аналізувати, обробляти і зберігати одержану або створену і відправлену інформацію. Електронну пошту використовують як для пересилання повідомлень користувачами комп’ютерної мережі в межах певної організації, так і для її передачі іншим\nорганізаціям, що мають необхідні засоби електронного зв’яз-ку. Відповідно до Закону України “Про електронні докумен-ти та електронний документообіг” датою і часом відправлен-ня електронного документа вважається дата і час його передавання відправником (певною особою або спеціальною службою). Електронний документ вважається одержаним ад-ресатом з моменту надходження авторові відповідного елект-ронного повідомлення. Якщо попередньою домовленістю між суб’єктами електронного документообігу не визначено поря-док підтвердження факту одержання електронного докумен-та, воно може бути здійснено в будь-якому порядку автома-тизованим чи іншим способом в електронній формі або у формі паперового документа. Таке підтвердження повинно містити дані про факт і час одержання електронного докумен-та і про відправника цього підтвердження. В разі неотриман-ня автором підтвердження вважається, що електронний доку-мент не одержаний адресатом.\nАдресат одержує зображення документа (електронне по-відомлення) на екрані персонального комп’ютера або у виг-ляді копії на першому носії, яка роздруковується за допомо-гою друкарського пристрою - принтера. Встановлення цілісності електронного документа полягає в перевірці елек-тронного цифрового підпису при наявності у адресата про-грамного забезпечення для його ідентифікації. Право засвід-чення ідентичності електронного підпису встановлюється чинним законодавством.\nТаким чином, електронна пошта надає можливість листуван-\nня з іншими абонентами мережі або з абонентами міжнародних\nмереж (Internet, Wnet, BINET, Compu Serse та інш.), a також:\n♦ забезпечує взаємодію через електронні поштові скринь-\nки і дошки оголошень. Кожному абоненту надається\nіндивідуальна “поштова скринька” на одному з серверів\nелектронної пошти з унікальним ідентифікатором - ад-\nресою електронної пошти. Обмін електронними по-\nвідомленнями здійснюється через систему серверів\n♦ уможливлює оперативний доступ до нормативної та іншої інформації, що зберігається в базах даних певної системи;\n♦ дає змогу обмінюватись повідомленнями з абонентами інших мереж.<


Топ-3 найбільш шкідливих для здоров'я людини каш: лікарі розвіяли популярні міфи\nТоп-3 найбільш шкідливих для здоров’я людини каш: лікарі розвіяли популярні міфи\nЗ дитинства нас вчили, що каші – винятково корисний для здоров’я продукт харчування. Однак, як виявилося, деякі зі звичних круп – чиста отрута для людини!\nЧасте вживання в їжу каш, про які мова піде нижче, спроможні завдати більше шкоди організму дорослого або дитини, ніж користі. Щоб не стати жертвою власних помилок, необхідно знати, які каші вважають найбільш шкідливими для здоров’я.\nВітамінів, мінералів, білка в манній каші міститься мізерно мало. Дуже багато в манці глютену, який у великих кількостях здатний викликати в організмі людини схильність до різноманітних алергічних реакцій. Манна каша багата на фітинову кислоту, яка не дозволяє організму засвоїти продукт.\nБілий шліфований рис – ще один не самий корисний для нашого здоров’я продукт харчування. Він викликає схильність до цукрового діабету, підриває роботу ендокринної системи і виводить з організму вітаміни та мікроелементи. Дієтологи рекомендують їсти рисову кашу не частіше одного разу в тиждень, а то і рідше.\nНебезпечною для організму є вівсянка швидкого приготування. За зручність у вигляді «залив окропом і з’їв» доведеться розплачуватися здоров’ям. Так, вівсяні пластівці швидкого приготування (які не треба варити) втрачають властивість поліпшувати обмін речовин і налагоджувати травлення. Навіть насититися, щоб не відчувати голоду через пару годин, у вас не вийде. Дуже скоро після сніданку вівсянкою ви знову захочете їсти.\nДізнайтеся також, як правильно готувати гречану кашу, щоб вона принесла організму максимальну користь.\n[Усього: 4 Середній: 2.8]\nНазвана хвороба, що провокує найвищу смертність від COVID — 19\nМалишева розповіла про простий засіб для міцного імунітету\n”Приховати відсутність манікюру”: Комаровський висміяв політиків за носіння рукавичок під час…\nКомаровський про скасування карантину в травні: Повинні бути самі суворі, драконівські…\nSerega 27.04.2020 28.04.2020\nНевролог розповів про незворотні наслідки коронавируса для організму\nНе на вулиці і не в громадських місцях: Комаровський назвав місце,…\nУ пацієнтів психіатричної лікарні в Стрільчій не було симптомів коронавірусу


Вісім ознак того, що ви п'єте недостатньо води - Главред\nВісім ознак того, що ви п'єте недостатньо води\n17 травня 2021, 10:34\nПитна вода важлива для кожної системи вашого організму.\nЩоб бути на висоті, вам потрібно пити воду / Pixabay\nЗа даними Геологічної служби США (USGS), людина на 60 відсотків складається з вода, і вода служить будівельним матеріалом для кожної з ваших клітин.\n"Вода допомагає їжі переміщатися по шлунково-кишковому тракту, сприяє всмоктуванню і транспортуванню поживних речовин в клітини, життєво важлива для фізичної і розумової працездатності і допомагає регулювати температуру тіла, серед іншого", - говорить дієтолог Ліббі Міллс, представник Академія харчування і дієтології, повідомляє LIVESTRONG.com.\nІншими словами: "щоб бути на висоті, вам потрібно повністю пити воду", говорить Міллс.\nчитайте такожНавіщо волоссю рисова вода і як її приготувати\nОтже, як дізнатися, чи зневоднені ви? Ось деякі симптоми недостатнього вживання води. Якщо ви помітили що-небудь, наповніть свій стакан і випийте. "Для більшості з нас є сенс мати додатковий стакан води", - говорить Міллс.\n1. Ви хочете пити\nХоча це може здатися очевидним, " спрага-це перша природна реакція організму на те, що вам потрібно випити води, і це ознака - принаймні, до певної міри - того, що є деяке зневоднення", - говорить Міллс.\nВона пояснює, що відбувається досить крутий фізіологічний процес: коли починається зневоднення, електроліти (мінерали, такі як натрій і калій) у вашому кровотоці стають більш концентрованими, що дає сигнал спраги вашому мозку. Також знижується вироблення слини, і виникає відчуття сухості в роті.\n2. Ви не так багато пісяєте\nЗа словами Міллса, коли електроліти концентруються у вашому кровотоці, ваш мозок дає команду гіпофізу вивільнити антидіуретичний гормон, який дає вказівки ниркам виділяти менше води і не виробляти стільки сечі.\nОтже, як часто потрібно писати? За даними Національного інституту діабету, захворювань травної системи та нирок (NIDDK), це трохи залежить від людини та дня, але якщо ви належним чином гідратовані, вам, як правило, потрібно писати кожні три години.\n3. Ви не пройшли аналіз сечі\nНормальний колір сечі блідо-жовтий, згідно з NIDDK.\nМіллс каже, що якщо ваша сеча має темно-жовтий колір або темніший, то, безумовно,потрібно пити.\n4. Ви відчуваєте себе млявим\n"Нестача енергії-ознака зневоднення", - говорить Міллс.\nУ невеликому перехресному дослідженні, проведеному в січні 2013 року в британському журналі харчування, було виявлено, що позбавлення води, яке призвело до легкого зневоднення, збільшує сплутаність свідомості і стомлюваність і знижує пильність. Але питна вода відразу ж допомагала учасникам відчути себе бадьоріше.\n5. Потрібні перекуси\nВам потрібно їсти, і ніхто ніколи не скаже вам пити воду замість їжі.\nОднак "люди виявляють, що, якщо вони належним чином зволожені, вони можуть довше залишатися ситими між прийомами їжі", - говорить Міллс.\nЄ обмежені докази того, що вживання води може допомогти в схудненні, хоча необхідні додаткові дослідження, і найбільший ефект спостерігається, коли люди замінюють калорійні напої простою водою, згідно з оглядом шести рандомізованих контрольованих випробувань в Nutricion Hospitalaria за грудень 2019 р..\nЗа словами Міллса, якщо ви відчуваєте, що хочете перекусити, потрібно випити спочатку склянку води.\n6. У вас болить голова\nЗа даними Національного фонду головного болю, зневоднення може викликати головні болі і мігрені.\nЯкщо ви отримуєте їх регулярно і знаєте, що для початку не п'єте достатньо води, одне з перевірених природних засобів від головних болів-збільшити денну норму H2O. зволоження не може повністю позбавити від головних болів, але, згідно з дослідженням, проведеним в серпні 2012 року в Family Practice, було виявлено, що воно допомагає зменшити негативний вплив мігрені на якість життя людей.\n7. Ваша шкіра суха\nЯк зазначає USGS, ваша шкіра на 64% складається з води.\n"Вода-це природний зволожуючий крем для шкіри. І хоча здорова, зволожена шкіра виглядає красиво, вона також діє як бар'єр для захисту тіла", - говорить Міллс.\nЯкщо у вас зневоднення, ви можете помітити сухість і бляклість шкіри. Згідно з невеликим дослідженням 2015 року, проведеним в журналі Clinical, Cosmetic and Investigational Dermatology, збільшення споживання води - якщо ви зараз п'єте недостатньо - може допомогти поліпшити здоров'я і зволоження шкіри.\n8. У вас запор\nЗгідно Johns Hopkins Medicine, нестача рідини-часта причина запорів. Ще одне природне засіб-це пити більше.\n"Отримання достатньої кількості води полегшить весь процес травлення, включаючи виведення", - говорить Міллс.\nПоряд з споживанням більшої кількості клітковини і регулярною фізичною активністю, зосередьтеся на досягненні норми води для поліпшення BM.\nЗараз ви переглядаєте новину «Вісім ознак того, що ви п'єте недостатньо води». Інші новини медицини читайте в розділі «Здоров'я». Якщо ви знайшли помилку, видiлiть її мишкою та натисніть Ctrl + Enter. Якщо ви знайшли помилку, видiлiть її мишкою та натисніть Ctrl + Enter\nДень батька 2021: привітання з Днем тата та картинки з Днем батька Цей фрукт допомагає знизити тиск: лікар пояснив, як не звести користь нанівець Гороскоп на завтра 16 червня 2021 всіх знаків Зодіаку: автокатастрофи та втрата частини капіталу Гороскоп на 19 червня 2021 всіх знаків Зодіаку: три успіхи та робочий провал Світ на порозі тривожних подій: чому слід готуватися до загострення відносин Заходу і Росії\nОсобливий статус Донбасу і Конституція: у Кравчука розкрили плани щодо перезапуску Мінських угод


Сумчани поскаржилися на забруднення водойм урочища «Олдиш» – Сумські Дебати\nСумчани поскаржилися на забруднення водойм урочища «Олдиш»\n17:36 / 07 сентября 2021\nМайже щоосені протягом останніх кількох років до Державної екологічної інспекції у Сумській області надходять скарги громадян на загибель водних біоресурсів, неприроднє забарвлення та незадовільний стан озер, розташованих в урочищі «Олдиш» м. Суми.\nДнями Інспекція теж отримала звернення про ймовірність чергового забруднення зазначених водойм. Тож сьогодні, 7 вересня, екоінспектори виїхали на місце задля обстеження водоймі їх прибережних смуг та відбору проб води для подальшого визначення показників їх якості та властивостей.\nУ ході візуального огляду водного дзеркала та узбережжя фактів загибелі риби чи ознак задухи виявлено не було.\nУ «більшому озері» станом на сьогодні вода достатньо прозора та візуально чиста. Також за допомогою спецобладнання було встановлено, що вона досить насичена киснем, оскільки його рівень більш, ніж в 1,5 рази вищій за мінімальну граничнодопустиму концентрацію (ГДК) для водойм рибогосподарського призначення. У «меншому озері» ситуація дещо гірша: вода вже набула легкого зеленуватого відтінку, а рівень розчиненого в ній кисню наразі становить 4 мг/дм3, при ГДК : > 6 мг/дм3.\nУсі проби води, відібрані з трьох створів, уже взято в роботу. Для здійснення повного аналізу відділу інструментально-лабораторного контролю Держекоінспекції знадобиться 5 діб. Відтак, вже у понеділок Інспекція оприлюднить результати своїх досліджень.\n← Коли завершаться дорожні роботи по вул. 20 років Перемоги в Сумах?\nНа Сумщині затримали розшукуваного Інтерполом громадянина Молдови →


Команда ЕКОПАН почала будівництво двоповерхового будинку в Німеччині | Экопан\nНовини та акції Команда ЕКОПАН почала будівництво двоповерхового будинку в Німеччині\nКоманда ЕКОПАН почала будівництво двоповерхового будинку в Німеччині\nКоманда ЕКОПАН почала будівництво будинку з СІП панелей в Німеччині, загальною площею – 165 м2.\nЦей будинок – втілення раціональності і комфорту. Економічний, функціональний, внутрішнє планування передбачає максимальне використання простору. Будинок розрахований для комфортного проживання сім’ї з 5-ти осіб.\nУ проекті на першому рівні чітко виділена денна зона. Тут розташовані простора кухня, вітальня, кабінет, гардероб і санвузол. Кухня і простора вітальня знаходяться в прекрасному поєднанні з їдальнею, де великі засклені вікна дозволяють господарям будинку насолоджуватися прекрасними пейзажами під час обідів і вечерь. Проект передбачає вихід їх вітальні на терасу з перголой, що дає деякий додатковий рівень комфорту.\nТакож одним з важливих переваг нашого проекту є дві дворівневі дитячі кімнати, в яких виділені ігрові та спальні зони. Дитячі кімнати розташовані на другому рівні будинку.\nГоловна особливість проекту – напівпідвальний поверх, який використовується як окрема квартира, з окремим входом! Проект квартири передбачає вільне планування, панорамні вікна, окремий вихід на терасу і ділянку. Також на поверсі знаходиться технічне приміщення (пральня та котельня).\nВласна архітектурна студія здійснить розробку проектів по-вашому індивідуальному замовленню. А професійна команда будівельників ЕКОПАН в короткі терміни зробить будівництво будинку вашої позначки.\nБудуємо з ЕКОПАН – економічно, швидко, вигідно!\nPreviousВесна – пора будувати будинок\nNextЗафіксуй вартість свого будинку в 2018 – будуй в 2019!


Усі теги. mechwarrior online. GECID.com\nШукати в знайденому тег: action free-to-play mmo mmorpg online piranha games\nТеги: mechwarrior online piranha games action mmo\nВідбувся офіційний запуск MechWarrior Online\nВідкрите бета-тестування ММО-екшену MechWarrior Online підійшло до завершення. Компанії Piranha Games і Infinite Game Publishing оголосили про офіційний запуск проекту та приготували парочку івентів із приводу цієї події.\nПерший з них одержав назву Operation 24. Це своєрідний квест, за умовою якого користувач повинен до 1-ого жовтня взяти участь в 24 іграх, при цьому результат значення не має. За це він одержить ексклюзивний предмет.\nДругий івент буде проходити в Сан-Франциско в концертному клубі Mezzanine 26-ого вересня. Навряд чи комусь із читачів даної новини вдасться туди потрапити, тому простежити за ходом заходу можна буде на сайті Twitch.tv.\nFree-to-play ММО MechWarrior Online розроблялася більше двох років. У жовтні 2012-ого вона перейшла у фазу відкритого бета-тестування і з тих пір до неї було випущено 29 патчів. У цей час у проект грає 1,3 мільйони людей. Розробники планують випускати оновлення кожні два тижні. Апдейти будуть містити в собі зміни інтерфейсу, нові режими та багато чого іншого.\nТеги: mechwarrior online piranha games online free-to-play mmo action\nНовий контент для MechWarrior Online - матчі 8х8 і семидесятитонний Ілля Муромець\nInfinite Game Publishing і Piranha Games повідомляють про ряд змін в ігровому процесі MechWarrior Online.\nПо-перше, командні бої тепер можуть проходити за схемою 8 на 8. Нагадаємо, раніше в групі могло бути тільки чотири пілота.\nПо-друге, у грі з'явилося важкий героїчний мех Ілля Муромець. Семидесятиметрова, важкоброньована для свого класу, махина Григорія Коваленко побудована на основі шасі Cataphract. Мех озброєний шістьма одиницями важкої, середньої і легкої зброї, розвиває швидкість 64.8 км/год і, навіть враховуючи відсутність пружних двигунів, являє собою ласий шматочок.\nЯк і у інших героїчних мехів, придбати Іллю Муромця можна тільки за реальні кошти.\nОстанній приємний бонус - на честь свят, що насуваються, гравці можуть прикрасити кабіну свого хутра гірляндами і новорічними іграшками серед яких механічний Санта і ельфи.\nТеги: mechwarrior online piranha games online\nУ новому відео гри MechWarrior Online розробники з Piranha Games представили гравцям багато геймплея свого умовно-безкоштовного проекту, а також докладний опис ігрової карти River City.\nГра MechWarrior Online розробляється на движку CryEngine 3 і все ще знаходиться в стадії закритого бета-тестування.\nТеги: mechwarrior online piranha games mmo action\nMechwarrior Online – відео-щоденник розробників\nПредставник Piranha Games у відео-щоденнику розробників, розповідає про основні елементи, на яких буде триматися ця гра – відчуття реальності керування величезною машиною, змінених принципах інформаційної війни, які зроблять всі класи меха корисними на полі бою, соціальній взаємодії і багато цікавого.\nТакож представлена одна з локацій гри – морозні руїни міста, у непередбачених погодних умовах якого дуже знадобляться тепловізори, а бій буде сильно відрізнятися від бою в «нормальних» умовах.\nТеги: mechwarrior online action mmorpg piranha games


Магазин автозапчастин, оптом і роздріб, запчастини з Польщі - WestPart\nВас вітає інтернет-магазин ВестПарт\nМагазин автозапчастин ВестПарт\nШукаєте якісні та недорогі автозапчастини для іномарки? Плануєте самостійну заміну авто вузлів чи хочете поповнити запаси СТО? Необхідна швидка доставка автозапчастин з Польщі в населені пункти України? Магазин автозапчастин ВестПарт пропонує великий асортимент продукції відомого польського виробника Polcar та інших європейських брендів, які виготовляють кузовні деталі, оптику для авто, двигуни та інші системи для іномарок.\nЯк купити запчастини з Польщі\nВам більше не доведеться їхати за кордон, щоб привезти запчастини з Польщі. Не буде потреби шукати логістичні компанії які здійснюють доставку деталей для машин з Європи. Адже все необхідне можна придбати і в Україні. Достатньо лише зазирнути у наш каталог.\nНаш магазин автозапчастин в Луцьку пропонує широкий вибір деталей польського виробника Polcar та інших постачальників з Європи.\nЩоб замовити авто деталі вам необхідно:\nПерейти в каталог виробника, обравши марку вашого авто.\nОзнайомитись з пропозиціями у відповідному розділі авто деталей.\nПеревірити, чи відповідають характеристики деталі тим, що встановлені в вашому авто.\nОформити замовлення через корзину чи зателефонувати нашим менеджерам.\nДля зручності вибору на сайті є фільтр за марками, моделями авто, вузлами авто деталей, номенклатурними номерами виробів, які виготовляє польський виробник. Введіть відомі вам параметри, щоб швидше знайти необхідні запчастини.\nПереваги купівлі в ВестПарт\nВ той час, коли інші інтернет-магазини автозапчастин пропонують широкий асортимент дорогих деталей чи аналогів невідомих виробників. Коли авто майстерні переконують своїх клієнтів, що знайти автозапчастини до іномарки можна тільки під замовлення з Європи. Коли ринок авто деталей переповнений продукцією сумнівної якості, яка має невеликий термін придатності, що цілком виправдано вартістю.\nМи пропонуємо запчастини Polcar, які користуються популярністю у країнах Європи за свою помірну ціну та високу якість. Купуючи Полкар, ви можете бути впевнені, що без зайвих витрат подовжити експлуатаційний термін свого транспортного засобу.\nКупувати в ВестПарт надійно і зручно. Адже ми пропонуємо:\nЛише оригінальну продукцію європейських виробників.\nДоступну ціну завдяки прямому постачанню.\nМожливість придбати автозапчастини оптом та вроздріб.\nШвидку доставку по Україні.\nМи співпрацюємо з приватними замовниками, власниками СТО, ретейлерами ринку товарів для авто. Замовляти деталі ви можете в необхідній кількості за каталогом. Для цього додайте необхідний товар у корзину чи зв’яжіться з нами за телефоном.\nІ пам’ятайте: лише якісні запчастини захистять ваше авто та збережуть ваше життя на дорозі.\nАвтозапчастини оптом від Westpart\nВи власник автопарку або СТО? Ви дбайливий господар, який купує все необхідне «про запас»? У вас своя торгова точка? Тоді ласкаво просимо в наш інтернет-магазин! У нас ви купите автозапчастини оптом і в роздріб за доступною ціною. На нашому сайті представлена продукція польського бренду Polcar (Полкар) та ряду інших європейських виробників.\nКомпанія WestPart - постачальник автозапчастин з 2010 року. З одного боку, це невеликий термін. З іншого - нам вдалося «пережити» багатьох конкурентів, ми багато чому навчилися і стали кращими.\nІснує кілька причин, щоб купити запчастини для автомобіля саме у нас:\nв нашому інтернет-магазині представлені тільки оригінальні запчастини Polcar та інших європейських багато інших виробників. Ми є найбільшими постачальниками кузовних запчастин Polcar і прагнемо стати їхнім предствавниками в Україні. А тому націнка на кузовні деталі "полкар" - мінімальна.\nЗа більш ніж 10 років на ринку, ми виробили алгоритм, що дозволяє максимально швидко здійснювати доставку в будь-який населений пункт України зручною для вас поштовою службою. Якщо ви не отримаєте своє замовлення вчасно, то зможете від нього відмовитися.\nПри оформленні замовлення відображається остаточна ціна на автозапчастини. Вона ні в якому разі не зміниться.\nУ нас працюють тільки професіонали своєї справи: оптові та роздрібні менеджери, логісти, програмісти, юристи, водії, бухгалтери. Завдяки досвіду роботи та відповідальності наша команда контролює весь процес покупки запчастин: від вашого кліка на кнопку «Купити» до передачі поштовій службі. Це означає, що ніяких помилок не буде.\nМи продаємо автозапчастини оптом тв в роздріб по всій Україні. На сьогоднішній день кількість наших клієнтів перевищує 2000. Багато з них стали вже постійними. З деякими фірмами та роздрібними покупцями ми працюємо з моменту створення інтернет-магазину і до сьогодні.\nДля клієнтів у нас діє дисконтна система. Чим більша сума вашого щомісячного замовлення, тим більша знижка для оптових клієнтів (на суму від 25 000грн/міс. отримати знижку можна за тел. +38 095 21 22 433 Сергій).\nОптові клієнти можуть підключатися безпосередньо до нашої бази по веб-сервісу для спрощення оформлення замовлень.\nУ нас є кілька систем навігації: пошук по номеру запчастини, запит менеджеру по він-коду, марці і моделі авто. В крайньому випадку, ви можете зателефонувати менеджеру, який проконсультує і допоможе з вибором.\nЯк уже писалося вище, на нашому сайті представлені автозапчастини Polcar та інші виробники. Познайомимося з ними ближче.\nКомпанія Полкар - найбільший і найстаріших дистриб'ютор автозапчастин в Європі. Вона володіє величезними складами площею в 133тис. кв.м, співпрацює з заводами-виробниками безпосередньо, розвиває власний бренд SRL. Каталог Polcar дуже великий. У ньому представлені запчастини для систем охолодження, охоронні елементи, дзеркала, газові пружини, резонатори, паливні, експлуатаційні, кузовні запчастини і т.д.\nСпівпрацюючи з нами, ви можете купити автозапчастини оптом та в роздріб в Україні за привабливою ціною і отримати висококласне обслуговування. Постійні замовлення - це не тільки персональна знижка, а й індивідуальний підхід. Ми знаємо потреби клієнтів, які працюють з нами довгий час, тому може дуже точно підібрати все необхідне, крім того, якщо чогось не виявиться на складі, доставимо в короткий термін або знайдемо аналог.\nЗв'яжіться з нашими менеджерами по телефону або електронній пошті, щоб отримати відповіді на всі питання.


15 ужгородців, із початку року, постраждали від укусів собак (ВІДЕО) | Новини\nНапередодні в Ужгороді від укусу собак постраждала ужгородка та її маленький домашній улюблениць.\nТрапилось це під час вечірньої прогулянки на Київській набережній.\nВласника собак правоохоронці вже знайшли, йому загрожує штраф від 3 до 5 неоподаткованих мінімумів доходів громадян.\nЗагалом з початку року до ужгородських лікарів звернулось вже 15 осіб з травмами від укусу собак. В усіх випадках собаки були безпритульними.\nБільше дивіться у сюжеті 21 каналу:\nЧитайте також: Артефакти минулого: закарпатські рятувальники продовжують знаходити боєприпаси минулого століття\nсобаки укус постраждали Ужгород


Універсальні антифрикційні мастила смазки Prista® LiMo EP та Prista® LiMo EP 2 G виготовляється шляхом згущення мінеральної базової оливи літієвим милом 12-гідрооксистеаринової кислоти з додаванням пакету присадок та 3% високодисперсного дисульфіду молібдена (MoS2) з розміром часток в межах 0.65-0.75 μm.\nМастило Prista® LiMo EP 2 G виготовляється шляхом загущення літієвим милом мінеральної базової оливи з індексом в’язкості ISO 150 з додаванням графіту. До складу мастила входять антиоксиданти, інгібітори іржі та корозії, протизадирні та протизносні присадки, а також поліпшувачі, що забезпечують стійкість до механічної деструкції та водостійкість. Додавання твердих компонентів забезпечує додатковий захист від зносу, навіть в умовах шокових навантажень.\nМастила призначені для застосування там, де вимагається надійний захист механізмів тертя, що працюють в умовах високих та шокових навантажень. Основні сфери застосування – будівельна, гірничодобувна промисловість, сільське господарство. Рекомендовані для змащування підшипників ковзання та кочення усіх типів, втулок підшипників, роликовий конвеєрів (рольгангів), шарнірних з‘єднань зі сталою швидкістю руху, ресор, ланцюгових та зубчатих передач, що працюють при високих навантаженнях та ін.\nДіапазон робочих температур: від -25°С до +130°С, та до 140°С (за умови частішого змащування).\n• стійкість до механічної деструкції – мастила тривалий час зберігають свою консистенцію, запобігаючи подальшій втраті змащувальної здатності та витіканню.\n• дуже хороша стійкість до вимивання водою та антикорозійні властивості – захищають поверхню підшипників від корозії навіть в умовах забруднення мастила водою.\n• висока працездатність – завдяки протизадирним (ЕР) присадкам мастила витримують високі навантаження та зберігається цілісність мастильного шару\n• широка сфера застосування в індустрії та автомобільній промисловості\nВиди упаковок: бочка 180 kg, відро 15 kg, каністра 4 kg, пластиковий картридж 0.800 kg


Amino shake slim Mango купити Київ, Україна: ціна, відгуки - амінокислотний напій зі смаком манго - Foht-Diet Нове Життя\nЯк отримати кешбек 34.4 грн?\nАмінокислоти - це з'єднання з яких складаються білки - основні будівельні елементи м'язів, шкіри, кісток і тканин. Амінокислоти беруть участь в цілому ряді життєвоважливих процесів для підтримки нормального функціонування організму в цілому.\nОбсяг / Упаковка: 100 г.\nФормула напою містить збалансоване поєднання амінокислот, ферментів, вітамінів і мінералів, які активують захисні функції організму, підвищують імунітет, сприяють зміцненню м'язів, покращують стан нігтів, волосся та шкіри, прискорюють обмін речовин, знімають втому, позбавляють від підшкірного жиру і дарують заряд енергії на весь день. Амінокислотний напій - це ідеальний засіб, щоб привести тіло в порядок.\nЗ чого складається. Склад на одну порцію (10 г): L-карнітин (1000 мг), лейцин (400 мг), ізолейцин (200 мг), аргінін (200 мг), валін (200 мг), тирозин (200 мг), папаїн (10 мг), бромелайн (10 мг), Вітамін Е (токоферол) (3,738 мг), тіамін (Вітамін В1) (0,6041 мг), рибофлавіну (Вітамін В2) (0,693 мг), піридоксин (Вітамін В6) (0,833 мг) , ніацинамід (Вітамін В3) (7 мг), фолієва кислота (0,154 мг), пантотенова кислота (3,962 мг), Вітамін С (22,68 мг), біотин (53,41 мкг), Вітамін В12 (0,4879 мкг) , залізо (312 мкг), мідь (18,66 мкг), магній (15,9 мкг), цинк (155,7 мкг), селен (0,855 мкг), йодид (2,262 мкг), мальтодекстрин, ароматизатор харчовий, лимонна кислота , підсолоджувач, харчовий барвник. ин (7,1 г), ароматизатор харчовий (кокос), ксантанова камедь, підсолоджувач, лимонна кислота.\nПапаин - протеолітичний фермент рослинного походження, що сприяє поліпшенню травлення. Бромелайн впливає на обмін жирів, підтримує обмін речовин в організмі на високому рівні. Ефективний бромелайн для схуднення і здатний вплинути на зниження маси тіла.\nБромелайн - позбавляє від нервових розладів, безсоння, знімає ревматичні болі і судоми, також нормалізує гормональний баланс. Пассифлора ефективна при підвищеному кров'яному тиску. Допомагає відновлювати роботу серця при порушеннях в діяльності серцево-судинної системи.\nМідь - мікроелемент, який бере участь у формуванні еритроцитів і гемоглобіну - основних компонентів крові, а самі кровоносні судини робить еластичними і міцними. Мідь є важливим антиоксидантом в складі ферментів, завдяки чому впливає на вироблення колагену, меланіну, гістаміну, а також веде боротьбу з вільними радикалами. Бере участь у виробленні енергії за рахунок переробки білків, жирів і вуглеводів, що потрапляють в організм з їжею. Забезпечує правильну роботу залоз, що беруть участь в процесі травлення. -\nМагній - бере участь у безлічі біохімічних реакцій в організмі. Він потрібен для повноцінного вироблення енергії, засвоєння глюкози, синтезу білків, передачі нервового сигналу, побудові кісткової тканини. Магній знижує збудливість нервової системи, є протизапальним і протиалергічну елементом, допомагає захищати організм від інфекцій, грає роль в процесах згортання крові, регуляції роботи внутрішніх органів. Магній відповідає за стабільну роботу серцевого м'яза і кровоносної системи.\nЯк застосовувати: змішати 10 г (2 ч. Л.) З 200 мл води. Приймати за 15-30 хв до їди.


Вино зміцнює кістки | NewsMarket - Новини України та світу\nНовини здоров’я. 20 жовтня. У любителів вина з’явилася ще одна причина не відмовляти собі в улюбленому напої. Келих вина в день може зміцнити кістки і знизити ризик розвитку остеопорозу, стверджують британські вчені.\nВино позитивно впливає на міцність кісток\nДослідники, що вивчали зв’язок між раціоном харчування і ризиком переломів, з’ясували, що вино в помірних кількостях позитивно впливає на міцність кісток хребта.\nІнші алкогольні напої, такі як пиво або горілка, не надають на кісткову тканину того ж ефекту.\nХоча цілий ряд наукових праць вказує на те, що алкоголь може бути корисний для здоров’я, зловживання спиртним, навпаки, є одним з основних факторів ризику виснаження кісткової тканини і переломів.\nУ роботі взяли участь 1000 пар близнюків-жінок. Учені відзначили, що у тих з них, хто періодично пив вино, щільність кісток хребта і стегнової кістки була вищою, ніж у тих, хто віддавав перевагу іншим алкогольним напоям.\nДослідники не виявили ніякого суттєвого зв’язку між вживанням великої кількості фруктів і овочів і ризиком розвитку остеопорозу, проте традиційна західна дієта, що включає смажену рибу, чипси, запечену квасолю, м’ясні пироги та інші м’ясні страви, виявилася руйнівною для кісток.\nПоки що невідомо, чому вино позитивно впливає на міцність кісток, проте учені припускають, що це може бути пов’язано з поліфенолами, що містяться в шкірці червоного винограду, а не з алкогольним компонентом напою.\nОстеопороз – це хвороба, при якій зменшується щільність кісткової речовини. Вона розвивається у кожної третьої жінки і у кожного дванадцятого чоловіка. Особливому ризику піддаються жінки, що приймають стероїди, що курять, п’ють у великих кількостях і мають спадкову схильність.\nУ діловій соцмережі LinkedIn можна шукати однокласників


Купити Шкіра меблева ANTIQUE коричневий CANNELLA 0,8-1,0 Італія в магазині шкіри і фурнітури AligoGroup в Києві, Україні\nШкіра меблева ANTIQUE коричневий CANNELLA 0,8-1,0 Італія\nКолекцію ANTIQUE виробляють зі шкіри великої рогатої худоби (великої рогатої худоби) азіатського походження. Благородні кольори з двоколірним ефектом бі-колор (bicolor) і ідеальне обличчя з середнім зернистим тисненням типу мадрас (madras) відкриває перед колекцією ANTIQUE двері розкішних старовинних замків і дорогих апартаментів. Товщина мм 0,8 - 1,0 ідеально підходить для оббивки меблів. Середній розмір шкури 3,8-4,0 кв. м. У наявності 6 КВІТІВ .. Для вашої зручності ми підібрали максимально співпадає колір з пантона FASHION HOME + INTERIORS PANTONE 18-1142 TPG LEATHER BROWN. * Візуалізовані кольору тільки для довідки і можуть відрізнятися від реальних.


Полозов попередив, що РФ надалі загрожує звільненим українським морякам — 5 канал\nЗа словами адковата, справу проти військовополонених російські слідчі не закрили\nРосія може оголосити визволених із полону моряків у міжнародний розшук. Про це заявив їхній адвокат Микола Полозов.\nКрім того, зі слів Полозова, до кінця року Росія готова передати Україні захоплені кораблі. Йдеться про катери "Бердянськ" та "Нікополь", а також буксир "Яни Капу". Але наразі це не дозволяє їхній технічний стан. Повернення кораблів - це одна з вимог Міжнародного трибуналу, яку Росія досі не виконала.\nНагадаємо, 25 листопада торік російські силовики захопили три українських кораблі та 24-х моряків, які прямували з Одеси до Маріуполя. Моряків відправили до СІЗО за нібито незаконний перетин державного кордону Росії. Попри рішення міжнародного трибуналу ООН з морського права, додому військовополонені повернулись в межах масштабного обміну ув'язненими в форматі 35 на 35 на початку вересня.\nморяки злочини Росії Росія


Наш Вінницький національний технічний університет на 23 місці серед 200 вищих навчальних закладів країни. Торік ВНТУ був на 25-й позиції, позаторік — на 28-й позиції цього рейтингу.\nЦентр міжнародних проектів «Євроосвіта» у партнерстві з міжнародною групою експертів представив 11-й академічний рейтинг вищих навчальних закладів України «Топ- 200 Україна».\nКоманда національного рейтингу «Топ 200 Україна» наголошує, в сучасних умовах на перше місце мають виходити реальні інноваційні досягнення університетів, які роблять внесок в прогрес суспільства і забезпечують його середньострокові і довгострокові перспективи.\nУ найближчі 5-10 років більшість традиційних професій буде зникати і на їх місце будуть приходити нові, університети продовжують і навіть нарощують підготовку за застарілими програмами і методиками. Тому найважливішими критеріями рейтингування університетів на сучасному етапі стають їх реальна інноваційна діяльність, їх тісний зв'язок з розвинутим ринком праці та досягнення світового рівня.\nВарто сказати, що вихідні дані для визначення вказаного рейтингу були надані безпосередньо університетами та отримані з незалежних Web - ресурсів.\nОтож, у 2017 році знову одноосібним лідером рейтингу «ТОП-200 України» став Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут» імені Ігоря Сікорського. Друге місце у рейтингу посів Київський національний університет імені Тараса Шевченка — як і минулоріч.\nЗауважимо, Вінницький національний медичний університет ім. М.І. Пирогова — 26-й у цьому рейтингу. ВНМУ піднявся на три сходинки порівняно зі своєю минулорічною позицією.\nОдразу за ВНМУ — Донецький національний університет імені Василя Стуса, котрий у рейтингу 27-й.\nВінницький національний аграрний університет — ВНАУ й нині 129-й, як і торік.\nВінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського — 158-й. Торік був 162-м.


Ювілейний альбом Світлани Лободи «H2LO» став платиновим : М1\nЮвілейний альбом Світлани Лободи «H2LO» став платиновим\nЧерез тиждень після офіційної прем'єри нова платівка співачки розійшлася величезним тиражем.\nВихід «H2LO» став однією з найбільш очікуваних подій цієї весни і викликав справжній ажіотаж серед шанувальників творчості LOBODA. Через годину після релізу платівка посіла перше місце в iTunes семи країн і піднялася в топ-3 Apple Music, а через тиждень досягла платинового статусу, що є абсолютним рекордом для поп-індустрії СНД останніх років.\nХіт «Твои глаза», що вийшов синглом у вересні минулого року, також отримав статус платинового: кількість проданих копій треку склали понад 200 тисяч.\nТакому успіху п’ятого ювілейного альбому «Співачки року» передувала довга і складна робота. Буквально за рік до випуску платівки LOBODA практично повністю змінила аранжування пісень і музичну структуру альбому, в який, на загальний подив, потрапило всього кілька популярних треків артистки.\nЗа зізнанням самої Світлани, у гонитві за модним і ні на що не схожим матеріалом, який би гарантовано сподобався слухачам, часто доводилося працювати в режимі нон-стоп.\nLOBODA: «Мені подобається одне з правил життя Sade: “Якщо випускаєш один альбом за 10 років, він зобов'язаний бути хорошим”. Ми працювали по 24 години на добу, але це того варте».\nМіж собою Світлана і продюсер співачки Нателла Крапівіна жартують — альбом «H2LO» практично «написаний кров'ю».\n«Ми мало не згоріли, поки його писали. Матеріал у ньому настільки різноманітний, що один саундпродюсер не міг би впоратися, працювала ціла компанія професіоналів. Це дуже ускладнює процес, зате, коли ти одягаєш навушники і вмикаєш альбом, у тебе немає відчуття, що це десять пісень на одну мелодію. У нас дуже різні пісні, різні історії й долі. І заспівані вони ніби різними жінками... У нас в країні чимало талановитих авторів, але від демо-версії до того, що почують люди на радіо і в альбомі, проходить ціле життя і буквально ллється кров. Наприклад, добре всім відомий трек “К черту любовь” спочатку називався “Голодный раненый волк” (посміхається). Ось до такої міри переробляємо»,— згадує роботу над «H2LO» Нателла Крапівіна в інтерв'ю для Karabas Live.