லியோவில் செய்த ஆய்வுகளில் எண் e முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக்கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடு எதையும் சரிசெய்யாது என்ற தீர்வை இருந்தது. ஆனால் e ஒரு விஞ்சிய எண் என்று காட்டுவதற்கு இது போதவே போதாது. அதற்கு, முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக்கொண்ட எந்த பல்லுருப்புச்சமன்பாட்டையும் அது சரி செய்யாது என்று காட்டவேண்டும். இந்த சாதனையைப் புரிந்தவர் சார்ல்ஸ் <MASK> (1822 - 1901). அவருடைய இந்த நிறுவல் 1873 இல் ஒரு 30-பக்க நூலாகப் பிரசுரமாகியது.
இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்
லாம்பர்ட் ஹெர்மைட் ஆய்லர் லிண்டெமன்