<MASK>, ஆய்லர், லாக்ராஞ்சி, லெஜாண்டர் மற்றும் பல 17 ஆம், 18 ஆம் நூற்றாண்டின் கோட்பாட்டாளர்கள் இருபடிய எச்சம் குறித்த பல தேற்றங்கள், அவற்றின் நிறுவல்கள் மற்றும் அனுமானங்களைக் கண்டறிந்திருந்தாலும் ஜெர்மானிய கணித வல்லுனர் காஸினால் அவர் அறிமுகப்படுத்திய  மாடுலோ எண் கணிதம் மூலம் விவரமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டது. இருபடிய எச்சம் குறித்த முறைப்படுத்தப்பட்ட அணுகுமுறை முதன்முதலில் கணிதவியலாளர் காசின் புத்தகத்தில் (§ IV Disquisitiones Arithmeticae (1801)) காணப்பட்டது. "இருபடிய எச்சம் (quadratic residue)" என்ற சொல் இப்புத்தகத்தில் பிரிவு 95 இல் தரப்பட்டுள்ளது. சிலசமயங்களில் ’இருபடிய’ என்ற அடைமொழியின்றி ’எச்சம்’ என்று மட்டும்கூட குறிப்பிடப்படலாம்.
இருபடிய எச்சம்
லாக்ராஞ்சி காஸினால் பெர்மா காசின்