பிரம்மகுப்தாவின் எண்ணக் கருத்துக்களால் ஊக்கமடைந்த 9 ஆம் நூற்றாண்டு <MASK> கணிதவியலாளர் முகம்மத் இபின் மூசா அல் குவாரிஸ்மி, நேர்மத் தீர்வுகளைக் காணும் வாய்ப்பாடுகளின் தொகுப்பினை உருவாக்கினார். வடிவவியல் நிறுவல்களைத் தரும்போது ஒவ்வொரு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கும் ஒன்று அல்லது இரண்டு எண்மதிப்புகளைத் தீர்வுகளாக ஏற்றுக்கொள்வதன் மூலம் அல் குவாரிஸ்மி,  பொது இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு முழுமையான தீர்வு காணும் வழிமுறையில் மேலும் கொஞ்சம் முன்னேறியுள்ளார். மேலும் அவர் வர்க்க நிரப்பி முறையையும் விளக்கியுள்ளார். அவரது சமகாலத்து மத்திய ஆசிய கணிதவியலாளர் இபுன் டர்க் நிரூபித்த, தன்மைகாட்டி நேர்ம எண்ணாக இருக்க வேண்டிய உண்மையை அவர் அங்கீகரித்தார். வடிவவியல் வரைபடங்கள்மூலம் இபுன் டர்க், தன்மைகாட்டி எதிர்மமாக இருந்தால் அந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வுகள் கிடையாது என்பதை நிறுவியுள்ளார். அல்-குவாரிஸ்மி, இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எதிர்ம தீர்வுகளை ஒத்துக் கொள்ளவில்லை.
இருபடிச் சமன்பாடு
பாரசீக ஸ்பெயின் எகிப்திய இந்தியா