S ಒಂದು ಗಣವಾದರೆ, ಜಿ : S ಘಿ S(S ಎಂಬ S ಘಿ S ನಿಂದ S ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಿತ್ರಣ ಜಿ ನ್ನು S ಮೇಲಿನ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರಿಂದ s1, s2 ( S ಆದರೆ ಜಿ (s1, s2) ಇದನ್ನು s1. s2 ಅಥವಾ s1, s2 ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ s1, s2( s ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. S ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ s1,s2,s3 ಗಳಿಗೂ (s1,s2). s3= s1. (s2.s3) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ನ್ನು ಒಂದು ಸಹವರ್ತನೀಯ (ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್) ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾ : 1 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳು ದ್ವಿಗುಣಪರಿಕರ್ಮಗಳು. 2.0ಯನ್ನುಳಿದು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಕಿ 0 ಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮ.
ಅರ್ಧ ಸಂಕುಲಗಳು (ಸಿಮಿಗ್ರೂಮ್ಸ್) : S ಒಂದು ಗಣವಾಗಿಯೂ ಜಿ ಅದರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ S,ಜಿ ಎಂಬ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಒಂದು ಅರ್ಧಸಂಕುಲವೆನಿಸುವುದು. ಉದಾ : 1 ಓ,+ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ 1,2,3... ಗಳ ಗಣ ಸಂಕಲನಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅರ್ಧ ಸಂಕುಲ. ಹೀಗೆಯೇ ಓ. ಎಂಬುದು ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಸಂಕುಲ. 2 S ಒಂದು ಗಣವೂ ಂ (S) ಎಂಬುದು S(S ಚಿತ್ರಣಗಳೆಲ್ಲವುಗಳ ಗಣವೂ ಆದರೆ ಂ (S) ಎಂಬುದು ಚಿತ್ರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೆಂಬ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಸಂಕುಲವಾಗಿರುವುದು.
ಏಕಾಂಶಗಳು : 1 ಓ . ನಲ್ಲಿರುವ 1 ಎಂಬುದು ಓ ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವ ಟಿ ನೊಂದಿಗೂ 1.ಟಿ=ಟಿ=ಟಿ.1 ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಓ. ನ ಏಕಾಂಶವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಓ, + ನಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಶವಿಲ್ಲವೆಂದು ಗಮನಿಸಿ.
ಸಮತ್ವ
ವಲಯಗಳು, ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು(ರಿಂಗ್ಸ್, ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಡೊಮೇನ್ಸ್ ಎಂಡ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್)
ಆದಿಶ (ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಗುಣಾಕಾರ
ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು