ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯ Z, +. ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಈ [x] ಎಂಬ ಬಹುಪದಿಗಳ ವಲಯಗಳು ಇವುಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಇ ಒಂದು ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಶೂನ್ಯಗಣಾಂಶ ಚಿ ಯೊಂದಿಗೂ ಜ (ಚಿ) ಯೆಂದು ಸೂಚಿತವಾದ ನಾನೃಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರಲಿ; ಮತ್ತು ಇ ಗೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರತಿ ಚಿ(0, b(0 ಗಳಿಗೂ, (1) ಜ(ಚಿ) < ಅಥವಾ = ಜ(b) ಮತ್ತು (2) ಚಿ = qb + ಡಿ ಮತ್ತು ಡಿ = 0 ಅಥವಾ ಜ (ಡಿ) < ಜ (b) ಆಗಿರುವಂತೆ ಇ ಯಲ್ಲಿ q ಮತ್ತು ಡಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಗಣಾಂಶಗಳಿರುವ ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಇ ಯನ್ನು ಒಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುವೆವು. ಮುಂದೆ, ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟಗುಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.1 ಇ ಒಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯವೂ U ಅದರ ಒಂದು ಆದರ್ಶವೂ ಆಗಿರಲಿ. U ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶ u ಅನ್ನೂ u = u0x ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿ U ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ದತ್ತಗಣಾಂಶ uo ಮತ್ತು ಇ ಯ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಗಣಾಂಶ x ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇಂಥ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್) ಆದರ್ಶಗಳೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯವೂ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ವಲಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೋಶ (ಮೇಟ್ರಿಕ್ಸ್) ವಲಯಗಳು
ವಲಯಗಳು, ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು(ರಿಂಗ್ಸ್, ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಡೊಮೇನ್ಸ್ ಎಂಡ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್)
ಅವತರಣಿಕೆಯಿಂದ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯನ್) ವಲಯಗಳ