বদ্ধ তলের শ্রেণীবিন্যাস ১৮৬০ সাল থেকেই জানা আছে আর এখন এর কিছুসংখ্যক প্রমাণ আছে। টপোলজিক্যাল ও সংযুক্ত করতে সক্ষম এমন প্রমাণ সাধারনভাবে কঠিম ফলের উপর নির্ভর করে যা বলে প্রত্যেক সংকুচিত ২ ম্যানিফোল্ড একটি সিমপ্লিসিয়াল জটিলতার প্রতি হোমোফোরিক হয়। শ্রেনীবিন্যাসের সবচেয়ে সাধারন প্রমাণ হল তা-ই যা প্রত্যেক ট্রায়াঙ্গুলেট করা তলকে সাধারন অবস্থা পর্যন্ত আনে। একটি সাধারন প্রমাণ, যা সাধারন অবস্থা বাদ দেয়, তা ১৯৯২ সালে জন কনওয়ে কর্তৃক আবিষ্কৃত হয়, যাকে উনি জিরো টলারেন্স প্রমাণ বলেন। 
একটি জ্যামিতিক প্রমাণ যা আরও শক্তিশালী জ্যামিতিক ফল দেয় সেটা হল ইউনিফর্মাইজেশন তত্ত্ব। এটা কেবল রিম্যান তলের ক্ষেত্রে ১৮৮০ থেকে ১৯৯০ সালের মধ্যে ফেলিক্স ক্লেইন, পল কব ও হ্যানরি পইনক্যায়ার কর্তৃক প্রমাণিত হয়েছিল। 
মনোয়েড গঠন
প্রমান
রিম্যান তল
সংজ্ঞা ও উদাহরণ