গণনার দিক থেকে কার্যকর ৩×৩ ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণের একটি উপায় হচ্ছে-

(যেখানে স্কেলার formula_162 এর সাথে, ম্যাট্রিক্স formula_140 এর সংমিশ্রণ অনুচিত)।

যদি নির্ণায়ক অশূন্য হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য হয়, যেখানে উপরিল্লিখিত ম্যাট্রিক্সের ডান পাশের মধ্যবর্তী ম্যাট্রিক্সটির উপাদানগুলির মান হবে,

সারুসের নিয়ম প্রয়োগ করে নিম্নোক্তভাবে formula_140 এর নির্ণায়ক বের করা যায়:

কেইলি-হ্যামিলটন বিশ্লেষণ থেকে পাওয়া যায়:

formula_167।

সাধারণ ৩×৩ বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে ক্রস গুণফল এবং ত্রিমাত্রিক গুণফল দ্বারা অর্থপূর্ণভাবে প্রকাশ করা যায়। যদি কোন ম্যাট্রিক্স formula_168 (কলাম ভেক্টর formula_169 দ্বারা গঠিত) বিপরীতযোগ্য হয়, তাহলে এর বিপরীত ম্যট্রিক্সটি হবে:

লক্ষ্য রাখতে হবে যে, formula_171 হচ্ছে formula_172, formula_173, এবং formula_174 এর ত্রিমাত্রিক গুণফলের সমান- যা এর সারি বা কলাম দ্বারা গঠিত প্যারালেলেপাইপেড ("parallelepiped") এর আয়তন এর সমান:

সূত্রটির যথার্থতা যাচাই করা যায় ক্রস ও ত্রিমাত্রিক গুণফলের বৈশিষ্ট্যাবলি থেকে এবং গুচ্ছের ("group") জন্য সেগুলো ব্যবহার করলে, বাম ও ডান বিপরীতদ্বয় সর্বদা সমাপতিত হয়। সজ্ঞামূলকভাবে, ক্রস গুণফল হবার কারণে formula_176 এর প্রতিটি সারিই formula_140 এর বাকি দুই কলামের সাথে লম্বভাবে থাকে (ফলস্বরূপ, formula_178 এর কর্ণ-বহির্ভূত পদগুলো শূন্য হয়)।

formula_175 দ্বারা ভাগ করলে,

formula_178 এর কর্ণস্থ পদগুলোর মান হয় ১।

উদাহরণস্বরূপ, প্রথম কর্ণ হচ্ছে:

formula_181।

বিশ্লেষণাত্মক সমাধান
রিগ্রেশন/ লঘিষ্ঠ বর্গ
৪ × ৪ ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণ
৩ × ৩ ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণ