5000/5000

Character limit: 5000

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটির এই প্রমাণগুলির জন্য অবশ্যই বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে নিম্নলিখিত দুটি তথ্য ব্যবহার করতে হবে যা বীজগণিত নয় তবে কেবলমাত্র একটি অল্প পরিমাণ বিশ্লেষণের প্রয়োজন (আরও স্পষ্টতই, উভয় ক্ষেত্রে মধ্যবর্তী মানের উপপাদ্য):

চতুর্থ সূত্রের সাথে দ্বিতীয় সত্যটি বাস্তব চতুষ্কোণ বহুবচনগুলির উপপাদ্যকে বোঝায়। অন্য কথায়, মৌলিক উপপাদ্যের বীজগণিত প্রমাণগুলি প্রমাণ করে যে আর যদি কোনও বাস্তব-বদ্ধ ক্ষেত্র হয় তবে এর প্রসার সি = আর (− − 1) বীজগণিতভাবে বন্ধ রয়েছে।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, "সত্যিকারের সহগ সহ প্রতিটি অ-ধ্রুব বহিরাগত পি (জেড) এর একটি জটিল মূল রয়েছে" এই বিবৃতিটি পরীক্ষা করার পক্ষে এটি যথেষ্ট। এই বিবৃতিটি সবচেয়ে বড় অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার কে যেমন 2 কে পি (জেড) এর ডিগ্রি এনকে ভাগ করে তোলে তা অন্তর্ভুক্ত করে প্রমাণিত হতে পারে। একটি পি (জেড) এর zn এর সহগ হবে এবং এফ সি এর উপর p (z) এর বিভাজন ক্ষেত্র হোক; অন্য কথায়, ক্ষেত্রের এফ এ সি থাকে এবং এফ এ z1, z2, ..., zn উপাদান থাকে
যদি কে = 0 হয়, তবে n বিজোড় হয়, এবং p (z) এর প্রকৃত মূল থাকে। এখন, ধরুন যে এন = 2 কিলোমিটার (এম বিজোড় এবং কে> 0 সহ) এবং উপপাদ্যটি ইতিমধ্যে প্রমাণিত হয়েছে যখন বহুবর্ষের ডিগ্রিতে 2k - 1 মিটার ′ এম ′ বিজোড় ফর্ম থাকে। একটি আসল সংখ্যার জন্য, সংজ্ঞা দিন:
তারপরে কিউটি (জেড) এর সহগগুলি হ'ল বাস্তব সহগের সাথে জিগুলিতে প্রতিসম বহুমাত্রিক। অতএব, তারা প্রাথমিক প্রতিসামগ্রী বহুপদীতে অর্থাত্ −a1, a2, ..., (−1) নানে আসল সহগের সাথে বহুবচন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। সুতরাং qt (z) এর প্রকৃত সহগ রয়েছে। তদুপরি, Qt (z) ডিগ্রিটি n (n - 1) / 2 = 2k k 1m (n - 1), এবং m (n - 1) একটি বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং, আনয়ন অনুমান ব্যবহার করে, qt এর কমপক্ষে একটি জটিল মূল রয়েছে; অন্য কথায়, zi + zj + tzizj {1, ..., n from থেকে দুটি আলাদা উপাদান i এবং j এর জন্য জটিল} জোড় (আই, জে) এর চেয়ে বেশি আসল সংখ্যা যেহেতু পাওয়া যায়, ততই আলাদা আলাদা আলাদা আলাদা টি এবং এর সন্ধান করতে পারে যে zi + zj + tizizj এবং zi + zj + szizj জটিল (একই আই এবং জে)। সুতরাং, zi + zj এবং zizj উভয়ই জটিল সংখ্যা। প্রতিটি জটিল সংখ্যার একটি জটিল বর্গমূল রয়েছে তা যাচাই করা সহজ, সুতরাং ডিগ্রি 2 এর প্রতিটি জটিল বহুবর্ষে চতুর্ভুজ সূত্রের দ্বারা একটি জটিল মূল থাকে। এটি অনুসরণ করে যে zi এবং zj জটিল সংখ্যা, যেহেতু এগুলি মূলত চতুর্ভুজ বহুপদী z2 - (zi + zj) z + zizj।

জোসেফ শিপম্যান ২০০ 2007 সালে দেখিয়েছিলেন যে বিজোড় ডিগ্রি বহুপদীগুলির শিকড় রয়েছে এমন ধারণা প্রয়োজনের তুলনায় আরও শক্তিশালী; প্রাইম ডিগ্রির বহুভুজ শিকড়ের যে কোনও ক্ষেত্রটি বীজগণিতভাবে বন্ধ রয়েছে (সুতরাং "বিজোড়" "বিজোড় প্রাইম" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে এবং তদুপরি এটি সমস্ত বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্র ধারণ করে)। [9] বীজগণিতভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলির অডিওম্যাটাইজেশনের জন্য, এটি সর্বোত্তম সম্ভব, কারণ একটি একক প্রাইমকে বাদ দেওয়া হলে সেখানে প্রতিবিম্ব উদাহরণ রয়েছে। তবে এই পাল্টে উদাহরণগুলি বর্গমূলের উপর নির্ভর করে −1 এর উপর। যদি আমরা এমন ক্ষেত্র গ্রহণ করি যেখানে −1 এর কোনও বর্গমূল নেই, এবং ডিগ্রিটির প্রতিটি বহুপদী N ∈ আমার একটি শিকড় আছে, যেখানে আমি বিজোড় সংখ্যার কোনও নির্দিষ্ট অসীম সেট, তবে বিজোড় ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদী f (x) এর মূল থাকে ( যেহেতু (x2 + 1) কেএফ (এক্স) এর মূল রয়েছে, সেখানে কে বেছে নেওয়া হয়েছে যাতে ডিগ্রি (চ) + 2 কে ∈ আই)। মহসেন আলিয়াবাদী ২০১৩ সালে শিপম্যানের ফলাফলকে সাধারণীকরণ করেছেন [সন্দেহজনক - আলোচনা করুন], একটি স্বতন্ত্র প্রমাণ সরবরাহ করেছেন যে একটি স্বেচ্ছাসেবী ক্ষেত্রের (যে কোনও বৈশিষ্ট্যযুক্ত) বীজগণিতভাবে বন্ধ করার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত হ'ল এটি প্রাইম ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদী জন্য একটি মূল রয়েছে। [10]

গ্যালোইস তত্ত্ব ব্যবহার করে মৌলিক উপপাদ্যের আর একটি বীজগণিত প্রমাণ দেওয়া যেতে পারে। এটি দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট যে সি এর কোনও সঠিক সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের এক্সটেনশন নেই ১১ কে / সি একটি সীমাবদ্ধ এক্সটেনশন হতে দিন। যেহেতু কে ওভার আর এর স্বাভাবিক বন্ধন এখনও সি (বা আর) এর উপর সসীম ডিগ্রি রয়েছে, তাই আমরা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ধরে নিতে পারি যে কে আর এর একটি সাধারণ বর্ধন (তাই এটি একটি গ্যালোইজ এক্সটেনশন, ক্ষেত্রের প্রতিটি বীজগণিত এক্সটেনশন হিসাবে) বৈশিষ্ট্য 0 এর বিভাজ্য)। জি এই এক্সটেনশনের গ্যালোইস গোষ্ঠী হোক এবং এইচকে জি এর একটি সিলো 2-উপ-গোষ্ঠী হতে দিন, যাতে এইচ এর ক্রম 2 হয় এবং G এর মধ্যে H এর সূচকটি বিজোড় হয়। গ্যালোইস তত্ত্বের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, কে / আর এর একটি আত্মবিশ্বাসের এল উপস্থিত রয়েছে যেমন গাল (কে / এল) = এইচ। [এল: আর] = [জি: এইচ] বিজোড় এবং এখানে কোনও অরেখযোগ্য অপরিবর্তনীয় বাস্তব নেই বিজোড় ডিগ্রির বহুভুজ, আমাদের অবশ্যই এল = আর থাকা উচিত, সুতরাং [কে: আর] এবং [কে: সি] 2 এর শক্তি > 1 এর দ্বন্দ্বের মাধ্যমে ধরে নেওয়া, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে 2-গ্রুপ গাল (কে / সি) সূচক 2 এর একটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, সুতরাং সেখানে ডিগ্রি 2 এর একটি সুবেশন এম উপস্থিত থাকে তবে যাইহোক, সি এর ডিগ্রি 2 এর কোনও এক্সটেনশন নেই, কারণ উপরে উল্লিখিত হিসাবে প্রতিটি চতুর্ভুজ জটিল বহুবর্ষের একটি জটিল মূল রয়েছে। এইটা দেখানো

জ্যামিতিক প্রমাণ
জটিল-বিশ্লেষণমূলক প্রমাণ
বীজগণিত প্রমাণ
প্রমাণ