जेव्हा मोजणी, संरचना, अवकाश आणि बदल यांच्याशी संबंधित क्लिष्ट समस्या उभ्या ठाकतात तेव्हा गणित प्रगटते. प्राचीन काळी जमिनीची मोजणी, कर, खगोलशास्त्र इत्यादींमध्ये या समस्यांची सुरुवात झाली. आज विज्ञानातील सर्व शाखांत निर्माण होणाऱ्या समस्या गणिताच्या वापराने सुटू शकतात. तसेच, खुद्द गणितातही अनेक मनोरंजक समस्या प्रगटतात. अनंताश्रयी कलनाचा शोध लावणाऱ्यांपैकी न्यूटन हा एक मानला जातो. फेनमन पथ कलनाचा शोध फेनमनने भौतिकशास्त्रातील अंतर्दृष्टी आणि तर्काच्या साहाय्याने लावला. सांप्रत काळी भौतिकशास्त्रात, ब्रह्मांडशास्त्राशी संबंधित तंतुसिद्धान्तामुळे गणितात नवनिर्मिती होत आहे. गणिताचा काही भाग हा एखाद्या विशिष्ट शाखेशीच निगडित असतो आणि तेथेच त्याचा वापर होतो. परंतु, बहुतेक वेळा ज्ञानाच्या एखाद्या शाखेतील प्रेरणेने विकसित झालेले गणित इतर शाखांमध्येही उपयोगी पडते आणि गणितातील विविधोपयोगी भव्य कोठाराचा भाग बनते. अगदी शुद्धतम गणिताचासुद्धा उपयोजित शाखांमध्ये कुठे ना कुठे उपयोग होतोच. या अद्भुत सत्याला स्तिमित होऊन यूजिन विगनर या भौतिकीतील शास्त्रज्ञाने गणिताची अतर्क्य कार्यक्षमता (| इंग्रजी दुवा) असे संबोधले आहे.

ज्ञानाच्या इतर शाखांप्रमाणेच गणिताच्या देदीप्यमान विकासामुळे त्यांतही वैशेषीकरण झाले आहे. मुळात शुद्ध गणित आणि उपयोजित गणित या दोन प्रमुख शाखा होत्या. आता मात्र, गणिताच्या नाना उपयोजित शाखांचा गणिताबाहेरील परंपरांशी संगम होऊन सांख्यिकी, क्रियन संशोधन आणि संगणन विज्ञानासारख्या अनेक नवीन विषयांची निर्मिती झाली आहे.

अनेक गणिती, गणिताच्या नेटकेपणाबद्दल म्हणजेच त्याच्या कलात्मक आणि उस्फूर्त सौंदर्याबद्दल बोलतात. गणिताच्या साधेपणाला आणि व्यापकत्वाला विशेष महत्त्व दिले जाते. चतुरपणे मांडलेली सिद्धता (उदाहरणार्थ, जसे मूळ संख्या अनंत असल्याची युक्लिडची सिद्धता) किंवा आकडेमोड सोपी करण्याच्या पद्धती (जसे चपळ फोरियर रूपांतर) यांतही सौंदर्य आहे. जी. एच. हार्डीने "एका गणितीचे वक्तव्य" या आपल्या पुस्तकात म्हटले आहे की सौंदर्याचे हे निकषच शुद्धगणिताचा अभ्यास करण्यासाठी पुरेसे आहेत. नेटक्या प्रमेयांच्या सिद्धता शोधण्यासाठी गणिती विशेष प्रयत्न करतात. पॉल इरडॉजने या प्रकारास "देवांच्या गणितविषयावरील आवडत्या पुस्तकातील प्रमेयांचा शोध" असे म्हटले आहे. बऱ्याच लोकांना गणिती समस्या उकलण्यास आवडते. अशानेच गणिताचे रंजकत्व आणि लोकप्रियता समजते कि ज्यामुळे गणिताची भीती कमी होण्यास मदत होईल.

व्युत्पत्ती
नोटेशन, भाषा आणि तर्काधिष्ठता
फर्माचे "शेवटचे प्रमेय"
प्रेरणा, शुद्ध व उपयोजित गणित, आणि सौंदर्यशास्त्र