নাশ্বে পোণপ্ৰথমে নিজৰ থেচিচত ব্ৰাৱাৰৰ ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰিছিল। ১৯৫০ চনত তেওঁ আন এক গৱেষণাপত্ৰ প্ৰকাশ কৰি এক অন্য প্ৰমাণ প্ৰকাশ কৰিলে য'ত কাকুটানি ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰা হ'ল। তেওঁ ডেভিড গে'লে এনে সৰলীকৰণ সম্ভৱ বুলি মন কৰা বুলি উল্লেখ কৰিছিল।

নাশ্ব সম্যাৱস্থাৰ অস্তিত্ব প্ৰমাণ কৰিবলৈ ধৰি লওক formula_1 খেলুৱৈ i ৰ শ্ৰেষ্ঠতম্‌ প্ৰতিক্ৰিয়া আন সকলো খেলুৱৈৰ কাৰ্যনীতিৰ বাবে।

ইয়াত, formula_3, য'ত formula_4, এটি মিশ্ৰিত-কাৰ্যনীতি প্ৰ'ফাইল সকলো মিশ্ৰিত-কাৰ্যনীতিৰ চে'টত আৰু formula_5 খেলুৱৈ i ৰ প্ৰতিদান ফলন। এটি চে'ট-মানৰ ফলন formula_6 সংজ্ঞায়িত কৰক যাতে formula_7। নাশ্ব সাম্যাৱস্থাৰ অস্তিত্ব আৰু formula_8 ৰ এটি ফিক্স্‌ড পইণ্টৰ অস্তিত্ব সমাৰ্থক।

কাকুটানিৰ ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্যই এনে এক ফিক্স্‌ড পইণ্টৰ অস্তিত্ব নিশ্চিত কৰে যদি এই চাৰি চৰ্ত পূৰ্ণ হয়:


চৰ্ত একঃ এই চৰ্ত পূৰ্ণ হয় এই কাৰণে যে formula_13 এটি চিম্প্লেক্স হয় আৰু সেয়েহে সঘন। উত্তলতা খেলুৱৈসকলে কাৰ্যনীতি মিশ্ৰণ কৰাৰ ক্ষমতাৰপৰা আহে। formula_13 ৰ সদস্য আছে যদি খেলুৱৈসকলৰ কাৰ্যনীতি আছে।

চৰ্ত ২ আৰু ৩ পূৰ্ণ হয় বাৰ্জেৰ বৃহদায়িত উপপাদ্যৰ বাবে। যিহেতু formula_5 নিৰন্তৰ আৰু সঘন, formula_16 সদস্যহীন নহয় আৰু উচ্চ অৰ্ধ-নিৰন্তৰ।

চৰ্ত ৪ মিশ্ৰিত কৰ্যনীতিৰ বাবে পূৰ্ণ হয়। ধৰি লওক formula_17, তেন্তে formula_18। অৰ্থাত্‌ যদি দুই কাৰ্যনীতিয়ে প্ৰতিদান বৃহদায়িত কৰে, দুয়োৰে মিশ্ৰণেও একেই প্ৰতিদান প্ৰদান কৰিব।

সেয়েহে formula_19 ৰ এটি ফিক্স্‌ড পইণ্ট আছে, অৰ্থাত্‌ এটি নাশ্ব সাম্যাৱস্থা আছে।

যেতিয়া নাশ্বে এই কথা জন ভন নয়মেনক ১৯৪৯ত কৈছিলে, ভন নয়মেনে বিখ্যাতভাৱে এনেদৰে কৈ এই কথা খাৰিজ কৰিছিল, "এয়া নগণ্য, তুমি জানা। ই মাথো এটি ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য।" (See Nasar, 1998, p. 94.)

ব্ৰাৱাৰ ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি
লগতে চাওক
অস্তিত্বৰ প্ৰমাণ
কাকুটানি ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি