আনুষ্ঠানিকভাৱে, দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্যৰ মতে, যদি প্ৰত্যেক উত্‌পাদন চেট formula_46 উত্তল আৰু প্ৰত্যেক পছন্দ সম্বন্ধ formula_47 উত্তল আৰু স্থানীয়ভাৱে অসন্তুষ্ট, তেন্তে প্ৰত্যেক ইচ্ছিত পাৰেট' ইষ্ট বিতৰণেই হস্তান্তৰৰ সৈতে এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা। এই বাক্য মূল্য সাম্যাৱস্থাৰ বাবে প্ৰমাণ কৰিবলৈ অতিৰিক্ত চৰ্তৰ প্ৰয়োজন।

প্ৰমাণ কৰিবলৈ দুটা কাম কৰিব লাগিব: প্ৰথমে, আমি প্ৰমাণ কৰিম যে প্ৰত্যেক পাৰেট'-ইষ্ট বিতৰণেই এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা, হস্তান্তৰৰ সৈতে; তাৰ পিছত, আমি সেই চৰ্তসমূহ প্ৰদান কৰিম য'ত কোনো মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য-সাম্যাৱস্থাও হয়।

হস্তান্তৰৰ সৈতে অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি বিতৰণ formula_48, এটি মূল্য সদিশ "p", আৰু সম্পত্তি সদিশ "w" (এক-ৰাশি হস্তান্তৰেৰে পোৱা) যাতে formula_49 (য'ত formula_50 পণ্যৰ মুঠ নিধি আৰু formula_51 ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠান "j" ৰ উত্‌পাদন) যাতে:

কেৱল দ্বিতীয় চৰ্তইহে ইয়াক মূল্য-সাম্যাৱস্থাতকৈ পৃথক কৰে। অসমতা ইয়াত দুৰ্বল (formula_56) যাৰ বাবে ই এক অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা। পাছলৈ ইয়াক বলৱান কৰি মূল্য সাম্যাৱস্থা লাভ কৰিব পৰা যাব।

মানি লওক formula_62 হ'ল উপভোক্তা "i" এ formula_58 তকৈ দৃঢ়ভাৱে পছন্দ কৰা বাণ্ডলসমূহৰৰ চেট। পছন্দ সম্বন্ধ formula_47 উত্তল বাবে এই চেটো উত্তল। "V" উত্তল কাৰণ প্ৰত্যেক formula_62 উত্তল। তেনেদৰেই formula_66, সকলো উত্‌পাদন চেট formula_67 ৰ ইউনিয়ন আৰু মুঠ নিধিৰ যোগফলো উত্তল কাৰণ প্ৰত্যেক formula_67 উত্তল। আমি এই কথাও জানো যে "V" আৰু formula_66 ৰ ইণ্টাৰ্চেক্সন সদস্যহীন, কাৰণ অন্যথা এনে এক বাণ্ডল আছে যাক সকলোৱে দৃঢ়ভাৱে formula_48 তকৈ পছন্দ কৰে আৰু যি সাধ্যও হয়। formula_48 ৰ পাৰেট' ইষ্টত্বই এই কথা অসম্ভৱ কৰি তুলে।.

এই দুই উত্তল, উমৈহতীয়া সদস্যহীন চেটে আমাক separating hyperplane উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ অনুমতি প্ৰদান কৰে। এই উপপাদ্যৰ মতে এনে এক মূল্য সদিশ formula_72 আৰু এনে এক সংখ্যা "r" আছে যাতে formula_73 প্ৰত্যেক formula_74 ৰ বাবে আৰু formula_75 প্ৰত্যেক formula_76 ৰ বাবে। আন শব্দত, এনে এক মূল্য সদিশ আছে, যিয়ে এনে এক অধি-সমতল সংজ্ঞায়িত কৰে যিয়ে এই দুই উত্তল চেটক পৃথক কৰে।

এতিয়া আমি যুক্তি দিওঁ যে যদি formula_77 প্ৰত্যেক "i" ৰ বাবে তেন্তে formula_78। এয়া স্থানীয় অসন্তুষ্টিৰ বাবে সত্য: এনে এক বাণ্ডল formula_79 থাকিব লাগিব যি formula_57 ৰ যিমান ইচ্ছিত সিমান ওচৰত আৰু যাক formula_58 তকৈ দৃঢ়ভাৱে অধিক পছন্দ কৰা হয়। সেয়ে ই formula_62 ৰ অংশ, আৰু সেয়েহে formula_83। যেতিয়া formula_84 তেতিয়া লিমিট ল'লে দুৰ্বল অসমতা সলনি নহয়, সেয়ে formula_78। In other words, formula_57 is in the closure of "V".

এই সম্বন্ধ ব্যৱহাৰ কৰি আমি দেখোঁ যে formula_58 ৰ বাবেও formula_88। আমি এই কথাও জানো যে formula_89, সেয়ে formula_90। এই দুই সত্য একত্ৰিত কৰি আমি পাওঁ formula_91। আমি এই সমীকৰণ ব্যৱহাৰ কৰি দেখুৱাব পাৰোঁ যে formula_92 এ হস্তান্তৰৰ সৈতে মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থাৰ সংজ্ঞাক সন্তুষ্ট কৰে।

যিহেতু formula_91 আৰু formula_94 আমি জানো যে যিকোনো ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠান j ৰ বাবে:

যিয়ে বুজাই যে formula_52। ঠিক তেনেদৰেই আমি জানো যে:

যিয়ে বুজাই যে formula_100। এই দুই বাক্যই পাৰেট' ইষ্টত্বত বিতৰণ যে সাধ্য, এই কথাৰ সৈতে, মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থাৰ তিনিওটি চৰ্ত পূৰ্ণ কৰে, যাক সমৰ্থন কৰা হৈছে সম্পত্তিৰ মান formula_101 ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰত্যেক "i" ৰ বাবে।

আমি এতিয়া সেই চৰ্ত সমূহ আলোচনা কৰোঁ যিয়ে সুনিশ্চিত কৰে যে এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য সাম্যাৱস্থাও হয়, অৰ্থাত্‌, সেই চৰ্ত যি পূৰ্ণ হ'লে "যদি formula_55 তেন্তে formula_56" এ সূচায় "যদি formula_55 তেন্তে formula_105"। এই কথা সত্য হ'বলৈ হ'লে আমি ধৰি ল'ব লাগিব যে উপভোগ চেট formula_106 উত্তল আৰু পছন্দ সমন্ধ formula_47 নিৰন্তৰ। তেন্তে এনে এক উপভোগ সদিশ formula_79 আছে যাতে formula_109 আৰু formula_110, এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য সাম্যাৱস্থাও হয়।

কাৰণ বুজিবলৈ, ধৰি লওক formula_55 আৰু formula_112, আৰু formula_57 ৰ অস্তিত্ব আছে। তেন্তে formula_106 ৰ উত্তলতাৰ বাবে, এনে এক বাণ্ডল formula_115 আছে যাতে formula_116। formula_47 ৰ নিৰন্তৰতাৰ বাবে ১ৰ নিকটৱৰ্তী formula_118 ৰ বাবে formula_119। এয়া এক অন্তৰ্বিৰোধ কাৰণ এই বাণ্ডলক formula_58 তকৈ পছন্দ কৰা হয় আৰু ব্যয় formula_9 তকৈ কম।

সেয়ে কোনো মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য সাম্যাৱস্থা হ'বলৈ এই চৰ্ত পৰ্যাপ্ত যে উপভোগ চেট উত্তল, পছন্দ সম্বন্ধ নিৰন্তৰ আৰু সদায় এটি "অধিক সস্তা" উপভোগ বাণ্ডল formula_79 ৰ অস্তিত্ব থাকে। এনে এক বাণ্ডলৰ অস্তিত্ব নিশ্চিত কৰিবলৈ প্ৰত্যেক গ্ৰাহক "i" ৰ সম্পত্তিৰ মান formula_9 ধনাত্মক আৰু ০ৰ অসমান ৰাখিলেই হ'ব।

প্ৰথম উপপাদ্যৰ প্ৰমাণ
প্ৰথম উপপাদ্যৰ নিহিতাৰ্থ
দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্যৰ প্ৰমাণ
লগতে চাওক