১৯০০ সালে ডেভিড হিলবার্ট গণিত গবেষণার পরবর্তী শতাব্দীর কেন্দ্রীয় বলে মনে করে ২৩ টি সমস্যা দেখিয়েছিলেন। হিলবার্টের পঞ্চম সমস্যা টোপোলজিকাল স্পেসে তাদের ক্রিয়াকলাপ দ্বারা লাই গ্রুপগুলোর বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত: তাদের টোপোলজি কী পরিমাণে তাদের জ্যামিতি নির্ধারণের জন্য পর্যাপ্ত তথ্য সরবরাহ করে?

হিলবার্টের পঞ্চম সমস্যার (গ্লিসন দ্বারা সমাধান করা) "সীমাবদ্ধ" সংস্করণটি আরও, বিশেষভাবে জিজ্ঞাসা করে, স্থানীয়ভাবে ইউক্লিডিয়ান টপোলজিকাল গ্রুপটি একটি লাই গ্রুপ কিনা। এটি হলো, যদি কোনো গ্রুপ জি এর বহুসংখ্যক টপোলজিকাল কাঠামো থাকে, তবে কী সেই কাঠামোটিকে বাস্তব বিশ্লেষণকারী কাঠামোর মত শক্তিশালী করা যেতে পারে, যাতে জি এর কোনও প্রতিবেশী উপাদানের মধ্যে, গ্রুপ আইনটি এক-কেন্দ্রাভিমুখী পাওয়ার সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং তাই ওভারল্যাপিং প্রতিবেশী উপাদানগুলোর কি সামঞ্জস্যপূর্ণ পাওয়ার সিরিজের সংজ্ঞা রয়েছে? গ্লিসনের কাজ করার আগে, সমস্যাটির বিশেষ কেসগুলো অন্যান্যদের মধ্যে লুইটজেন এগবার্টাস জ্যান ব্রউউভার, জন ভন নিউম্যান, লেভ পন্ট্রিয়াগিন এবং গ্যারেট বিরখফ সমাধান করেছিলেন।
পঞ্চম সমস্যার প্রতি গ্লিসনের আগ্রহ ১৯৪০ এর দশকের শেষের দিকে শুরু হয়েছিল, যা তিনি জর্জ ম্যাকির কাছ থেকে নেওয়া একটি কোর্সের মাধ্যমে শুরু হয়েছিল। ১৯৪৯ সালে তিনি লাই গ্রুপের বৈশিষ্ট্য "কোনও ছোট উপদল নেই" (অভিন্ন প্রতিবেশী উপাদানের অস্তিত্বের মধ্যে কোনও উপদলের উপস্থিতি নেই) একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন যা শেষ পর্যন্ত এর সমাধানের জন্য গুরুত্বপূর্ণ হবে। এই বিষয়ে তার ১৯৫২ সালের গবেষণাপত্র এবং ডেন মন্টগোমেরি এবং লিও জিপ্পিনের একযোগে প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রের সাথে হিলবার্টের পঞ্চম সমস্যার সীমাবদ্ধ সংস্করণ সুনির্দিষ্টভাবে সমাধান করা হয়েছে, যা দেখায় যে স্থানীয়ভাবে ইউক্লিডিয়ান প্রতিটি গ্রুপই একটি লাই গ্রুপ। গ্লিসনের অবদান ছিল এটি প্রমাণ করার জন্য যখন জি এর কোনও ছোট উপদল সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য নেই; মন্টগোমেরি এবং জিপ্পিন স্থানীয়ভাবে ইউক্লিডিয়ান গ্রুপের প্রতিটি বৈশিষ্ট্য দেখিয়েছে। গ্লিসন যেভাবে গল্পটি বলেছেন, তার প্রমাণের মূল অন্তর্দৃষ্টিটি হলো একজাতীয় ক্রিয়াকলাপগুলো প্রায় সর্বত্রই স্বতন্ত্র। সমাধানটি সন্ধান করার পরে, এটি লিখতে তিনি এক সপ্তাহের ছুটি নিয়েছিলেন এবং এটি মন্টগোমেরি এবং জিপ্পিনের গবেষণাপত্রের পাশাপাশি অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিকসে মুদ্রিত হয়েছিল; আরও এক বছর পরে হিদেহিকো ইয়ামাবে অন্য একটি গবেষণাপত্রে গ্লিসনের প্রমাণ থেকে কিছু প্রযুক্তিগত শর্ত সরিয়ে নিয়েছিল। হিলবার্টের মূল গঠনের নিকটে হিলবার্টের পঞ্চম সমস্যার "বাধিত" সংস্করণ স্থানীয়ভাবে ইউক্লিডিয়ান গ্রুপ জি এবং অন্য একটি বহুগুণ এম উভয়কেই বিবেচনা করে, যার উপর জি ক্রমাগত ক্রিয়া চালাচ্ছে।

হিলবার্টের পঞ্চম সমস্যার "সীমাহীন" সংস্করণ হিলবার্টের মূল গঠনের কাছাকাছি, স্থানীয়ভাবে ইউক্লিডিয়ান গ্রুপ জি এবং অন্য একটি বহুগুণ এম উভয়কেই বিবেচনা করে, যার উপর জি ক্রমাগত ক্রিয়া চালাচ্ছে। হিলবার্ট জিজ্ঞাসা করেছিলেন, এই ক্ষেত্রে এম এবং জি এর ক্রিয়াকলাপকে সত্যিকারের বিশ্লেষণমূলক কাঠামো দেওয়া যেতে পারে কিনা। এটি দ্রুত অনুধাবন করা হয়েছিল যে উত্তরটি নেতিবাচক ছিল, যার পরে সীমাবদ্ধ সমস্যার দিকে মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করা হয়। যাইহোক, জি এবং এম সম্পর্কে কিছু অতিরিক্ত স্পষ্ট অনুমানের সাথে, গ্রুপ ক্রিয়া সম্পর্কে বাস্তব বিশ্লেষক কাঠামোর অস্তিত্ব প্রমাণ করা এখনও সম্ভব হতে পারে। হিলবার্ট – স্মিথ অনুমান, এখনও অমীমাংসিত, এই মামলার বাকী অসুবিধাগুলো গুপ্ত। 

হিলবার্টের পঞ্চম সমস্যা
অন্যান্য ক্ষেত্রসমূহ
কোডিং তত্ত্ব
কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান