তমোপদার্থের পক্ষে সবচেয়ে শক্তিশালী প্রমাণ এসেছে সর্পিল ছায়াপথ থেকে। এ ধরনের ছায়াপথের তারাগুলো বণ্টিত থাকে কেন্দ্রে অবস্থিত একটি গোলকাকার বাল্জ এবং একটি সরু চাকতিতে। বাল্জের পরই চাকতি শুরু হয়। ছায়াপথের মধ্যকার তারা এবং গ্যাসের কক্ষীয় আবর্তন বেগ তাদের থেকে আসা তড়িচ্চুম্বকীয় বিকিরণের ডপলার সরণ থেকে নির্ণয় করা যায়। কেন্দ্র থেকে বিভিন্ন ব্যাসার্ধ্যে অবস্থিত গ্যাসের গতিবেগ নির্ণয় করে ব্যাসার্ধ্য বনাম বেগের একটি লেখচিত্র আঁকা সম্ভব যাকে বলা হয় ছায়াপথের ঘূর্ণন বক্র। চাকতিতে সাধারণত প্রচুর নিরপেক্ষ হাইড্রোজেন গ্যাস থাকে এবং তাদের বিস্তৃতি তারার চেয়ে অনেক দূর পর্যন্ত। উপরন্তু এসব গ্যাস থেকে আসা ২১ সেন্টিমিটার তরঙ্গদৈর্ঘ্যের বেতার তরঙ্গের ডপলার সরণ থেকে তাদের বেগ নির্ণয় সম্ভব। এজন্যই ঘূর্ণন বেগের লেখচিত্র আঁকার জন্য অনেক সময়ই নিরপেক্ষ হাইড্রোজেন গ্যাস ব্যবহার করা হয়।

এমন একটি ঘূর্ণন লেখ পাশের চিত্রে দেখানো হয়েছে। সকল সর্পিলাকার ছায়াপথের ঘূর্ণন বক্রই এমন হয়। লেখ থেকে দেখা যাচ্ছে, গ্যাসের কক্ষীয় বেগ কেন্দ্র থেকে বাইরের দিকে বাড়তে থাকে এবং একটি নির্দিষ্ট বেগে পৌঁছুনোর পর আর পরিবর্তিত হয় না। এমনকি অনেক দূর পর্যন্তও সকল বস্তুকে একই বেগে আবর্তিত হতে দেখা যায়। ১৯৭০ সালেই কেন ফ্রিম্যান এমন ঘূর্ণন বক্র তৈরি করতে সমর্থ হয়েছিলেন। এটি সম্পূর্ণ অনাকাঙ্ক্ষিত ছিল। কারণ ছায়াপথের চাকতির উজ্জ্বলতা কেন্দ্র থেকে যত বাইরের দিকে যাওয়া যায় তত কমতে থাকে। অর্থাৎ অধিকাংশ তারা এবং সেহেতু দৃশ্যমান ভর কেন্দ্রের কাছাকাছি একটি অঞ্চলে ঘনীভূত। ব্যাসার্ধ্যের সাথে সাথে পদার্থের পরিমাণ কমতে থাকে। কেপলারীয় ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র অনুসারে আমরা জানি,
যেখানে v ঘূর্ণন বেগ, G মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, M ছায়াপথের মোট ভর এবং r ব্যাসার্ধ্য। সূত্র থেকে দেখা যাচ্ছে ব্যাসার্ধ্য বাড়লে বেগ কমতে থাকার কথা। এই সূত্র বাল্জের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে না, কারণ সেখানে কেপলারীয় ঘূর্ণনের তুলনায় তারা এবং গ্যাসের বেগের বিচ্ছুরণ বেশি প্রভাবশালী। তাই লেখচিত্রের প্রথম অংশে ব্যাসার্ধ্যের সাথে বাড়তে থাকে। যে ব্যাসার্ধ্যে বেগ ধ্রুব হয় সেখান থেকে কেপলারীয় গতি প্রযোজ্য। তাই হিসেব মতে সেখান থেকে ব্যাসার্ধ্যের সাথে সাথে বেগ কমার কথা যা নীল ড্যাশ রেখাটি দিয়ে দেখানো হয়েছে। অর্থাৎ এই সূত্র অনুযায়ী একটি লেখচিত্র আঁকলে তা নীল রেখাটির মত হতো। কিন্তু পর্যবেক্ষণে পাওয়া যায় লাল রেখাটি, অর্থাৎ বেগ কমে না। সূত্র থেকে আরও দেখা যাচ্ছে ছায়াপথের মোট ভর M যদি বাড়ানো হয় তাহলে বেগ বেড়ে যায়। সুতরাং নীলের বদলে লাল রেখাটি পাওয়ার একটি উপায় হচ্ছে ভর বৃদ্ধি, অর্থাৎ প্রয়োজন অতিরিক্ত ভরের। এই অতিরিক্ত ভরই তমোপদার্থ।

ঠিক কতটুকু অতিরিক্ত ভর থাকলে লাল রেখা পাওয়া যাবে সেটা সহজেই পরিমাপ করা সম্ভব। সেটা করেই দেখা গেছে তমোপদার্থের পরিমাণ দৃশ্যমান পদার্থের তুলনায় অনেক বেশি। বেগ ধ্রুব রাখার জন্য ব্যাসার্ধ্যের সাথে সাথে উক্ত ব্যাসার্ধ্যের ভেতর অবস্থিত মোট তমোপদার্থের পরিমাণ বাড়তে হবে। উপরের সূত্র থেকেই দেখা যাচ্ছে v ধ্রুব রাখতে হলে,
হতে হবে যেখানেformula_3হচ্ছে r ব্যাসার্ধ্যের ভেতর অবস্থিত তমোপদার্থের মোট ভর। পরোক্ষ উপায়ে তমোপদার্থ শনাক্ত করার জন্য আকাশগঙ্গা সবচেয়ে উপযুক্ত মাধ্যম। আকাশগঙ্গার ঘূর্ণন লেখ আঁকলে দেখা যায়, চাকতির প্রায় সকল তারার বেগ সেকেন্ডে আনুমানিক ২২০ কিলোমিটার।

পর্যবেক্ষণমূলক প্রমাণ
ছায়াপথে বেগের বিচ্ছুরণ
ছায়াপথের ঘূর্ণন বক্র
তমোপদার্থের বণ্টন