নিচে সমস্ত প্রমাণ কিছু বিশ্লেষণ জড়িত, বা কমপক্ষে বাস্তব বা জটিল ফাংশন ধারাবাহিকতার টপোলজিকাল ধারণা। কিছু কিছু পৃথক বা এমনকি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন ব্যবহার করে। এই সত্যটি এই মন্তব্যটির দিকে নিয়ে গেছে যে বীজগণিতের মূল তত্ত্বটি মৌলিক নয়, বীজগণিতের উপপাদ্যও নয়।

তাত্ত্বিকের কিছু প্রমাণ কেবল প্রমাণ করে যে বাস্তব সহগের সাথে যে কোনও অ-ধ্রুবক বহুপদী কিছু জটিল মূল থাকে। সাধারণ ক্ষেত্রে এটি উপপাদ্য প্রতিষ্ঠার জন্য যথেষ্ট কারণ, জটিল সহগের সাথে একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী পি (জেড) দেওয়া হয়েছে, বহুপক্ষীয়

formula_7

কেবলমাত্র প্রকৃত সহগ রয়েছে এবং, z যদি Q (z) এর শূন্য হয়, তবে z বা এর সংযোগটি p (z) এর মূল হয়।

উপপাদকের অ-বীজগণিত প্রমাণগুলির একটি বৃহত সংখ্যক সত্যটি (কখনও কখনও "বৃদ্ধি লেমমা" নামে পরিচিত) ব্যবহার করে যে একটি এন-ত্র ডিগ্রি বহুপদী ফাংশন পি (জেড) যার প্রভাবশালী সহগ 1 হয় যখন zn এর মতো আচরণ করে যথেষ্ট বড়। আরও সুনির্দিষ্ট বিবৃতিটি হ'ল: এখানে কিছু ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা রয়েছে যা

formula_8|z|<|p(z)|<formula_9|z|

যখন |z| > R

বীজগণিত প্রমাণ
প্রমাণ
জটিল-বিশ্লেষণমূলক প্রমাণ
জ্যামিতিক প্রমাণ