ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ(R) ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਕੇਲਰ 1, ਦੋ ਔਰਥੋਗਨਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ "σ" ਅਤੇ "σ" , ਅਤੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸੂਡੋਸਕੇਲਰ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਦੱਸੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ;

Cℓ(R) ਦੇ ਇਵਨ ਦਰਜਾਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹੋਏ (ਗਰੇਡਿਡ) ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇਵਨ ਸਬਅਲਜਬਰਾ Cℓ(R), ਇਸਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ 1 ਅਤੇ "σ""σ" ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, Cℓ(R) ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ C ਦੀ ਫੀਲਡ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਇੱਕ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਜ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ), ਜਿਸਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਕਿਸੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਰਿਵਰਸ (ਉਲਟ) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

ਜੋ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੁਆਰਾ, ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਕਾਰਜ (ਐਕਸ਼ਨ), ਜੋ Cℓ(R) ਦੇ 1-ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਨਰਲ ਵੈਕਟਰ ਤੋਂ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵੈਕਟਰ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾਂ ਬਣਾ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਜਿੱਥੇ "γ" ਚਿੰਨ γ ਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਣ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। γ ਦੇ ਸਪਿੱਨੌਰ φ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਸਧਾਰਣ ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ (ਜਿਸਤ) ਦਰਜੇ ਵਾਲੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਕਿਵੇਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉੱਤੇ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਫਟਾਫਟ ਜਾਂਚ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਧਾਰਣ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਜੂਗੇਟ-ਕਮਿਉਟ (ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਵੰਧ ਰੱਖਦੇ) ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ γ(φ) = γφ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਧਾਰਣ ਵੈਕਟਰਾਂ ਊੱਤੇ γ ਦੀ ਕ੍ਰਿਆ, ਇਸਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਦੇ ਸਕੁਏਅਰ (ਵਰਗ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੱਧਰੀਆਂ (ਪਲੇਨ) ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ । ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਉਣਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸਬੰਧਤ ਕਾਰਜ ਰਾਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਲੌਗਰਿਥਮਿਕ ਬਰਾਂਚਿੰਗ ਕਾਰਣ, ਕਿਸੇ ਚਿੰਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਤਾ ਭਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਚੁਣ ਲੈਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਪਲੇਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।

ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਨਾਜਾਇਜ਼ ਲਾਭ ਉਠਾਉਣਾ ਆਮ ਗੱਲ ਹੋ ਗਈ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ (ਜੋ ਸਿਰਫ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਛੱਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਦੁਰ-ਉਪਯੋਗ ਰਾਹੀਂ, ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਅਕਸਰ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ “ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦਾ ਕਾਰਜ” ਬਾਰੇ ਬੋਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਣ ਸੈਟਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਅਜਿਹੇ ਕਥਨ ਅਰਥਹੀਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । ਪਰ 2 ਜਾਂ 3 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ (ਜਿਵੇਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਸ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਫੇਰ ਵੀ ਇਹ ਅਰਥ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ।





ਦੋ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ
ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ
ਨਤੀਜੇ
ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ