a + 0i + 0j + 0k ਦੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਕੋਈ ਨੰਬਰ, ਜਿੱਥੇ a ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਨੰਬਰ ਜੋ 0 + bi + cj + dk ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ b, c, ਅਤੇ d ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੋਣ, ਅਤੇ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨਾਂ b, c, ਜਾਂ d ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨੰਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a + bi + cj + dk ਕੋਈ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ a ਨੂੰ ਇਸਦਾ ਸਕੇਲਰ ਹਿੱਸਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ bi + cj + dk ਨੂੰ ਇਸਦਾ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਹਿੱਸਾ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਾ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਹਰੇਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਆਮ ਗੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ, ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ R ਦੇ ਕਿਸੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 

ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਾ, ਦਰਅਸਲ, ਇੱਕ “ਐਕਸੀਅਲ” (ਧੁਰੇ ਵਾਲਾ) ਵੈਕਟਰ ਜਾਂ “ਸੂਡੋਵੈਕਟਰ” ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੋਈ ਸਧਾਰਣ ਜਾਂ “ਪੋਲਰ” ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਜਿਵੇਂ ਐੱਸ.ਐੱਲ. ਅਲਟਮਾੱਨ ਦੁਆਰਾ ਅਪਣੀ 1986 ਸੰਨ ਦੀ ਪੁਸਕਤ “ਰੋਟੇਸ਼ਨਜ਼,ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਜ਼ ਐਂਡ ਡਬਲ ਗਰੁੱਪਸ” ਦੇ ਚੈਪਟਰ 12 ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਗੁਆਏ ਬਗੈਰ, ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਰਾਹੀਂ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ (ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ “ਸਿਮੀਲਰਟੀ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮ” ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਗਲਤਫਹਿਮੀ ਨਹੀਂ ਪੈਦਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ। ਕਿਸੇ ਬਾਇਨਰੀ (180 ਡਿਗਰੀ) ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਧੁਰਾ, ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪੋਲਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 

ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਕਿਹਾ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ (ਜੋ ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਵਾਲੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ) ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਕਿਹਾ। 

ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹਿੱਸੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ,

ਤਾਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ:

ਜਿੱਥੇ "•" ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ ਅਤੇ "×" ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ।

ਬਰਾਓਇਰ ਗਰੁੱਪ
ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ
ਵਿਵਸਿਥ ਸੂਚੀ ਅਕਾਰ
ਹੈਮਿਲਟਨ ਗੁਣਨਫਲ