ਸਾਰੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ H ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 4 ਵਾਲੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਤੁਲਨਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 2 ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਔਕਟੋਨੀਅਨਾਂ ਦੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 8 ਹੁੰਦੀ ਹੈ) ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਤੇ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸਲਈ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ H ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨੌਨ-ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਭਾਵੇਂ H ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀਆਂ ਨਕਲਾਂ ਰੱਖੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਹ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਲਜਬਰਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। 

ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਤਕਸੀਮ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰਾ ਰਚਦੇ ਹਨ। ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਨੌਨ-ਕਮਿਊਟੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਇਹ ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ ਵਰਗੀ ਬਣਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰੇ ਬਹੁਤ ਵਿਰਲੇ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫ੍ਰੋਬੀਨਿਉਸ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਤਿੰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: R,C, ਅਤੇ H। ਨੌਰਮ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨੌਰਮਡ ਅਲਜਬਰਾ ਬਣਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਨੌਰਮਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰੇ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਹੁਰਵਿਟਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਚਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: R,C,H ਅਤੇ O (ਔਕਟੋਨੀਅਨ)। ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਇੱਕ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਯੁਨਾਇਟਲ ਬਾਨਾਚ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ।

ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਦੋ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਪਲਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸੈੱਟ {±1, ±i, ±j, ±k} ਗੁਣਨਫਲ ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ Q8 ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ, R[Q8] ਦਾ ਕੋਸ਼ੰਟ ਰਿੰਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ 1 + (−1), i + (−i), j + (−j), ਅਤੇ k + (−k) ਰਾਹੀਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਂ ਵਿਚਲੀ ਪਹਿਲੀ ਰਕਮ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ 1, i, j, ਅਤੇ k ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਰਕਮ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ −1, −i, −j, ਅਤੇ –k ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ 1, i, j, ਅਤੇ k ਦੇ ਜੋੜ ਇਨਵਰਸ। 

ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਕਰਨ
ਚਾਰ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਗੁਣਨਫਲ
ਅਲਜਬਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ