സങ്കലനം, ഗുണനം എന്ന് വിളിക്കാവുന്ന രണ്ട് ദ്വയാങ്കസംക്രിയകൾ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ള എന്ന ഗണത്തെ അതൊരു ക്രമവിനിമേയ വലയമായിരിക്കുകയും അതിനുമേൽ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഒരു സാമാന്യരൂപം നിർവചിക്കാൻ സാധിക്കുകയും ചെയ്താൽ യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലം എന്നു വിളിക്കാം. സങ്കലനം, ഗുണനം എന്ന പേരുകളിൽ അറിയപ്പെടുന്നുവെങ്കിലും സംക്രിയകൾ സാധാരണ സംഖ്യകൾക്കുമേലുള്ള സംക്രിയകൾക്ക് സമാനമാകണമെന്നില്ല; ഗ്രൂപ്പുകളിലോ മോണോയ്ഡുകളിലോ ഉള്ളതുപോലെ സാമാന്യ സംക്രിയകളുമാകാം. എന്നിരുന്നാലും ഈ സംക്രിയകൾ അങ്കഗണിതത്തിലേതുപോലെ ക്രമനിയമം, സാഹചര്യനിയമം, വിതരണനിയമം എന്നിവ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം നിർവചിക്കാനായി ഇതിനു പുറമെ ലെ അംഗങ്ങളെ ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്ക് കൊണ്ടുചെല്ലുന്ന എന്ന "യൂക്ലിഡിയൻ ഫലന"വും നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ലെ , എന്ന ഏത് അംഗങ്ങളെടുത്താലും എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന , എന്ന അംഗങ്ങളെ ൽ തന്നെ കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കുകയും ആയിരിക്കുകയും വേണം. ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് മുകളിൽ ഉപയോഗിച്ച norm യൂക്ലിഡിയൻ ഫലനത്തിന് ഉദാഹരണമാണ്. എന്ന ഫലനം ഗണത്തിനനുസരിച്ച് സംഖ്യകളുടെ പരിമാണമോ ബഹുപദങ്ങളുടെ കൃതിയോ ഒക്കെയാവാം. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഓരോ പടിയിലും "f" ന്റെ വില കുറഞ്ഞുവരുന്നു എന്നതാണ് പ്രധാനം; പൂജ്യത്തിൽ കുറയാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യയായതിനാൽ പരിമിത എണ്ണം പടികൾക്കു ശേഷം അൽഗൊരിതം അവസാനിക്കുകം. പൂജ്യത്തിൽ കുറയാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ശൂന്യമല്ലാത്ത ഏത് ഗണത്തിലും ഏറ്റവും ചെറിയ ഒരു അംഗമുണ്ട് എന്ന well-ordering principle ആണ് ഇതിനടിസ്ഥാനം.

അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങളിലൊക്കെയും സാധുവാണ്. അതായത്, ഒരു യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലത്തിലെ ഏത് അംഗത്തെയും വീണ്ടും ലഘൂകരിക്കാനാകാത്ത അംഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി അനന്യമായ രീതിയിൽ ഘടകക്രിയ ചെയ്യാനാകും. എല്ലാ യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങളും അനന്യ ഘടകക്രിയാ മണ്ഡലങ്ങളാണ് (unique factorization domain - UFD), എന്നാൽ അനന്യ ഘടകക്രിയാ മണ്ഡലങ്ങളെല്ലാം യൂക്ലിഡിയൻ ആയിരിക്കണമെന്നില്ല. ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെയും ഉസാഘ കാണാൻ സാധിക്കുന്ന ഉസാഘ മണ്ഡലങ്ങളുടെ (GCD domain) ഉപക്ലാസ്സുകളാണ് യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങളും UFD കളും. അതായത്, ഉസാഘ മണ്ഡലങ്ങളിൽ അംഗജോടികൾക്കെല്ലാം ഉസാഘയുണ്ടെങ്കിലും അത് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടാൻ സാധിക്കണമെന്നില്ല. യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങളെല്ലാം പ്രിൻസിപൽ ഗുണജ മണ്ഡലങ്ങളാണ് (PID) - എല്ലാ ഗുണജങ്ങളും പ്രിൻസിപൽ ഗുണജങ്ങളായുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യാ മണ്ഡലങ്ങളാണ് (integral domain) ഇവ. എല്ലാ പ്രിൻസിപൽ ഗുണജ മണ്ഡലങ്ങളും യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങളാവണമെന്നില്ല.

യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങളിലെ അനന്യമായ ഘടകക്രിയയ്ക്ക് വളരെയധികം ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലെ അനന്യ ഘടകക്രിയ പൈതഗോറിയൻ ത്രയങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കാനും ഫെർമയുടെ രണ്ട് വർഗ്ഗ പ്രമേയം തെളിയിക്കാനും ഉപയോഗിക്കാം. ഫെർമയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ ഗബ്രിയേൽ ലാമേ 1847-ൽ ശ്രമിച്ചത് അനന്യ ഘടകക്രിയയുപയോഗിച്ചായിരുന്നു. , എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി വരുന്ന എന്ന സംഖ്യകളുടെ (ഇവിടെ എന്നത് 1 ന്റെ ആം മൂലമാണ്. അതായത്, ) അനന്യ ഘടകക്രിയയുപയോഗിക്കാനാണ് ലാമേ ശ്രമിച്ചത്. എന്നാൽ ന്റെ ചില വിലകൾക്ക് മാത്രമേ അനന്യ ഘടകക്രിയ സാധ്യമാവുകയും ഈ വിധത്തിൽ ഫെർമയുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനാവുകയും ചെയ്യൂ. ആയി വരുന്ന ഐസൻസ്റ്റൈൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉദാഹരണമാണ്. ന്റെ എല്ലാ വിലകൾക്കും അനന്യ ഘടകക്രിയ സാധ്യമല്ല എന്നതിനാൽ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനുള്ള ഈ ശ്രമം പരാജയപ്പെട്ടു. ചില സൈക്ലോടോമിക് ക്ഷേത്രങ്ങളിൽ അനന്യ ഘടകക്രിയ സാധ്യമല്ല എന്നതാണ് ഏൺസ്റ്റ് കുമ്മർ ഗുണജസംഖ്യകൾ എന്ന ആശയവും പിന്നീട് റിച്ചാർഡ് ഡെഡെകിൻഡ് ഗുണജങ്ങളും കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചത്.

യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങൾ
വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം
ഗുണനവിപരീതവും ആർഎസ്എ അൽഗൊരിതവും
ബഹുപദങ്ങൾ