"k"ആമത്തെ പടിയിൽ "r", "r" എന്നീ സംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് ഹരണഫലമായ "q"യും ശിഷ്ടമായ "r"യും കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് ചെയ്യേണ്ടത്.
ഇവിടെ "r"യുടെ കേവലവില "r"ന്റേതിനെക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം. യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണത്തിന് അടിസ്ഥാനമായ പ്രമേയം ഈ നിഷ്കർഷയോടെ ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് സാധ്യമാണെന്നും ഫലം അനന്യമാണെന്നും പറയുന്നു.

യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ മൂലരൂപത്തിൽ ആവർത്തിച്ച് വ്യവകലനം ചെയ്തുകൊണ്ടാണ് ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും കണ്ടിരുന്നത്. അതായത്, ഫലം "r"ൽ കുറവാവുന്നതു വരെ "r"ൽ നിന്ന് "r" ആവർത്തിച്ച് കുറയ്ക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം "r", "r" എന്നിവയെ പരസ്പരം വച്ചുമാറിയ ശേഷം പ്രക്രിയ തുടരുന്നു. ഇങ്ങനെ ആവർത്തിച്ച് വ്യവകലനം ചെയ്യുന്നതിനു പകരം ഒറ്റ ക്രിയകൊണ്ടുതന്നെ ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും കാണാൻ യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം വഴി സാധിക്കുന്നു. കാര്യക്ഷമത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനു പുറമെ, ഹരണഫലങ്ങൾ ആവശ്യമില്ലാത്തതിനാൽ ശിഷ്ടം മാത്രം നൽകുന്ന മോഡ്യുലോ സംക്രിയ ഉപയോഗിക്കാനും സാധിക്കുന്നു. അതിനാൽ യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം ഉപയോഗിച്ചുള്ള അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ക്രിയകളെ ഇപ്രകാരം എഴുതാം

ഭിന്നകസംഖ്യകളും വാസ്തവികസംഖ്യകളും
യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം
ഗണനപരമായ സങ്കീർണ്ണത
പശ്ചാത്തലം: ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം