ഒരു ചരത്തിനുമേലുള്ള ("x" എന്നെടുക്കുക) ബഹുപദങ്ങളെ കൂട്ടുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനു പുറമെ അവയെ അച്ഛേദ്യ ബഹുപദങ്ങളുടെ (അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്ക് സമാനമായ അംഗങ്ങളാണിവ) ഗുണനഫലമായി എഴുതാനും സാധിക്കും. , എന്ന ബഹുപദങ്ങളുടെ പൊതുവായ അച്ഛേദ്യ ബഹുപദ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമാണ് അവയുടെ ബഹുപദ ഉസാഘയായ . യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് ബഹുപദ ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കാം. പൂർണ്ണസംഖ്യകളൂടെ അൽഗൊരിതത്തിന് സമാനമായാണ് ഇവിടെയും ഉസാഘ കാണുന്നത്. ആമത്തെ പടിയിൽ ഹരണഫലമായ എന്ന ബഹുപദവും എന്ന ശിഷ്ട ബഹുപദവും കണ്ടുപിടിക്കുന്നു. ഇവ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ആവർത്തനബന്ധം അനുസരിക്കുന്നു,
, എന്ന വിലകളോടെയാണ് അൽഗൊരിതം ആരംഭിക്കുന്നത്. ന്റെ ആദ്യത്തെ പദം ന്റെ ആദ്യത്തെ പദത്തിന് തുല്യമാവുന്ന തരത്തിലാണ് ഹരണഫലം കാണുന്നത്. ഓരോ പടിയിലും ഹരണഫല ബഹുപദത്തിന്റെ കൃതി കുറഞ്ഞുവരുമെന്ന് ഇത് ഉറപ്പുവരുത്തുന്നു.: . ബഹുപദങ്ങളുടെ കൃതി ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിൽ കുറവാവുകയില്ല എന്നതിനാൽ അൽഗൊരിതം പരിമിത എണ്ണം പടികൾക്കു ശേഷം അവസാനിക്കും. ഏറ്റവുമൊടുവിൽ ലഭിക്കുന്ന പൂജ്യമല്ലാത്ത ശിഷ്ടമാണ് ന്റെയും ന്റെയും ഉസാഘ.

ഉദാഹരണമായി, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന നാലം കൃതി ബഹുപദങ്ങളുടെ (ഇവയുടെ ഘടകക്രിയ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു) ഉസാഘ കാണുന്നതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ മേൽ വിവരിച്ച ഉപയോഗങ്ങളിൽ പലതും ബഹുപദങ്ങൾക്കും ഉപയോഗിക്കാം. ബഹുപദങ്ങളുടെ രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധരിക്കാനും ചൈനീസ് ശിഷ്ട പ്രമേയത്തിനും അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാം, ബഹുപദങ്ങളുടെ സതതഭിന്നങ്ങൾ നിർവചിക്കുകയും ചെയ്യാം. ബഹപദങ്ങളുടെ യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതത്തിന് വേറെയും ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യത്തിന് ഏതെങ്കിലും ഇടവേയിൽ നിർദ്ധാരണം കാണാൻ സഹായിക്കുന്ന സ്റ്റുർമ് ശൃംഖല ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയതാണ്. കണ്ട്രോൾ തിയറി യിലെ റൂത്ത്-ഹുർവിറ്റ്സ് സ്ഥിരത മാനദണ്ഡത്തിൽ സ്റ്റുർമ് ശൃംഖല ഉപയോഗിക്കുന്നു.

യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാൻ ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണോത്തരങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളോ വാസ്തവികസംഖ്യകളോ മിശ്രസംഖ്യകൾ പോലുമോ ആകണമെന്ന് നിർബന്ധമില്ല. മേൽ വിവരിച്ച പരിമിത ക്ഷേത്രങ്ങൾ () പോലുള്ള ഏതെങ്കിലും ക്ഷേത്രത്തിലെ അംഗങ്ങൾ ഗുണോത്തരങ്ങളായ ബഹുപദങ്ങൾക്കുമേലും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാം. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കു മേൽ അൽഗൊരിതം പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് മേലെ പറഞ്ഞതെല്ലാം ഇത്തരം ബഹുപദങ്ങളുടെ കാര്യത്തിലും ശരിയായി വരുന്നു..

ബഹുപദങ്ങൾ
ചിത്രീകരണം
ശരാശരി
ശിഷ്ടത്തിന്റെ കുറഞ്ഞ കേവലവില ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി