Waring Problem

നിസർഗസംഖ്യകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്ന രൂപങ്ങളെ (forms) കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്. അതായത്, ഏത് ഒറ്റ സംഖ്യയും രണ്ടു നിസർഗ സംഖ്യകളുടെ വർഗവ്യത്യാസത്തിനു തുല്യമായിരിക്കും: 7 = 4-3; 2n+1 = (n+1)-n. ഇതിൽ 7-നെ 4-3 എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാവ് എ.ഡി. മൂന്നാം ശ.-ത്തിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഡയോഫാന്റസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ്. 

1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2

എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തുനിന്ന് n എന്നതിന് 1, 2, 3, 4, ... എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ ക്രമത്തിൽ 1, 3, 6, 10, ... എന്നിവയാണ്. ഈ സംഖ്യകളെ ത്രിഭുജസംഖ്യകളെന്നു പറയുന്നു. ഇതുപോലെ ബഹുഭുജസംഖ്യകളെ n + 1/2(x-2)(n-n) എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം. ഇതിൽ n = 0, 1, 2... എന്നെടുത്താൽ വിവിധതരം ബഹുഭുജസംഖ്യകൾ കിട്ടുന്നു; x ന്റെ മൂല്യം 4 ആണെങ്കിൽ വർഗസംഖ്യകളായിരിക്കും കിട്ടുക. ഏതു വർഗസംഖ്യയും ത്രിഭുജസംഖ്യയോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടോ മൂന്നോ അത്തരം സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയോ ആയിരിക്കുമെന്ന് ഫെർമെ (1636) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പ്രസ്താവിക്കുകയുണ്ടായി. അതിൽ കവിഞ്ഞ്, ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും x രാശിയിലുള്ള x ബഹുഭുജസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും എന്നുകൂടി ഫെർമെയുടെ പ്രമേയം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും 4 വർഗസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കുമെന്ന് ലഗ്രാഞ്ചെ (1772) തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി; ത്രിഭുജസംഖ്യകൾക്കു ലീഷാണും (1798) മറ്റുള്ളവയ്ക്കു കോഷിയും (1813-15). ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും കവിഞ്ഞത് 9 ഘനമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും; അഥവാ കവിഞ്ഞത് 19 ചതുർമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക; കവിഞ്ഞത്, 37 പഞ്ചമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. 1770-ൽ ഇ.വെയറിങ് അഭിപ്രായപ്പെട്ടതാണിത്. ചുരുങ്ങിയത് എത്ര പദങ്ങൾ (terms) ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലുമുണ്ടായിരിക്കുമെന്ന പ്രശ്നം അവശേഷിച്ചു. ജി.എച്ച്. ഹാർഡി, ലിറ്റിൽവൂഡ്, രാമാനുജൻ എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം പിന്നീട് (1917) ഗഹനമായി പഠിച്ചത്. ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലും ഉണ്ടാകാവുന്ന k-രാശിയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ചുരുങ്ങിയത് g(k) ആണെങ്കിൽ, g(k)-യെ വെയറിങ് സ്ഥിരാങ്കമെന്നു പറയുന്നു. g(6)-ന്റെ മൂല്യം 184-ൽ താഴെയും g(7)-ന്റേത് 323-ൽ താഴെയും g(8)-ന്റേത് 596-ൽ താഴെയും ആയിരിക്കുമെന്ന് 1934-ൽ ആർ.ഡി. ജെയിംസ് തെളിയിച്ചു. ഐ.എം. വിനഗ്രഡോഫ് ചില ഗവേഷണഫലങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതിനെത്തുടർന്ന് യു.എസ്സിലെ എൽ.ഇ. ഡിക്സണും ഇന്ത്യയിലെ എസ്.എസ്. പിള്ളയും കുറെ പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി. 1936-ൽ അവർ സ്വതന്ത്രമായി ഈ പ്രശ്നം മിക്കവാറും പരിഹരിച്ചു. q=(3/2)എന്നിരിക്കട്ടെ. അവർ തെളിയിച്ചത് ഇതാണ്: 
g=2 + q-2; k≥7

400-ൽ താഴെയാണ് k-യുടെ മൂല്യമെങ്കിൽ ഇത് ശരിയായിരിക്കും. മറ്റുള്ള മൂല്യങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച വ്യവസ്ഥയാണ് താഴെ കാണുന്നത്:

1944-ൽ ഐ. നിവൻ ഈ വ്യവസ്ഥയിലും പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. 1940-ൽ എസ്.എസ്.പിള്ള തന്നെ g(6) = 73 എന്നു തെളിയിച്ചു. 1944 ആയപ്പോഴേക്കും k = 4, 5 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളൊഴികെ മറ്റെല്ലാം വെയറിങ് പ്രശ്നത്തിൽ പരിഹൃതങ്ങളായി.

റീമാൻ സീറ്റാഫലനം
അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി
അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങളും ജാലിക ബിന്ദുക്കളും
വെയറിങ് പ്രശ്നം