യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ശരിയായി ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുന്നത് രണ്ടു പടിയായാണ്. പൂജ്യത്തിനു മുമ്പായി കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടമായ "r" ഉസാഘ കാണേണ്ട "a", "b" എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഭാജകമാണ് എന്ന് തെളിയിക്കുകയാണ് ആദ്യത്തെ പടി. പൊതു ഭാജകമായതിനാൽ അത് ഉസാഘയായ "g"യെക്കാൾ വലുതായിരിക്കില്ല എന്ന് വരുന്നു. രണ്ടാമത്തെ പടിയിൽ "a", "b" എന്ന സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായുള്ള ഉസാഘയുൾപ്പെടെയുള്ള ഏത് ഭാജകവും "r"ന്റെയും ഭാജകമാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. അതിനാൽ ഉസാഘ ഈ സംഖ്യയെക്കാൾ ചെറുതോ അതിന് തുല്യമോ ആയിരിക്കണം. ഈ രണ്ട് പ്രസ്താവനകളും പരസ്പരവിരുദ്ധമാവാതിരിക്കാനുള്ള ഒരേയൊരു വഴി "r" = "g" ആവുകയാണ്.

ആദ്യ പടിയായി "a", "b" എന്നിവയുടെ ഭാജകമാണ് "r" എന്ന് ഇപ്രകാരം തെളിയിക്കാം. ആദ്യമായി, "r" അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ "r"ന്റെ ഭാജകമാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക
അവസാനത്തെ ശിഷ്ടമായ "r" പൂജ്യമായതിനാലാണിത്. ഇതിനു മുമ്പത്തെ പടിയിലെ സമവാക്യമെടുത്താൽ
വലതുഭാഗത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളും "r" ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ "r" അതിന്റെ അടുത്ത മുൻഗാമിയായ "r"ന്റെയും ഭാജകമാണെന്നു കാണാം. ഈ വിധത്തിൽ തുടരുകയാണെങ്കിൽ "r" അതിനു മുമ്പുള്ള എല്ലാ ശിഷ്ടങ്ങളുടെയും ഭാജകമാണെന്നു വരുന്നു, ഈ ശിഷ്ടങ്ങളിൽ "a", "b" എന്നിവയും പെടുന്നു എന്നത് പ്രധാനമാണ്. "r"നു മുമ്പ് ലഭിച്ച ശിഷ്ടങ്ങളായ "r", "r" മുതലായവയൊന്നും തന്നെ ശിഷ്ടം വരുന്നതിനാൽ "a" യുടെയോ "b" യുടെയോ ഭാജകങ്ങളാവില്ല. "r" എന്നത് "a", "b" എന്നിവയുടെ പൊതു ഭാജകമായതിനാൽ "r" ≤ "g".

"a", "b" എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഭാജകമായ ഏത് "c"യും അൽഗൊരിതത്തിലെ എല്ലാ ശിഷ്ടങ്ങളുടെയും ഭാജകമായിരിക്കും എന്ന് തെളിയിക്കുകയാണ് അടുത്ത പടി. നിർവചനമനുസരിച്ച് "a"യെയും "b"യെയും "c"യുടെ ഗുണിതങ്ങളായി എഴുതാം: "a" = "mc", "b" = "nc". ഇവിടെ "m", "n" എന്നിവ എണ്ണൽ സംഖ്യകളാണ്. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ പടിയെടുത്താൽ
അതായത്, "c" ആദ്യത്തെ പടിയിലെ ശിഷ്ടമായ "r"യുടെ ഭാജകമാണ്. ഇതേ വാദമുപയോഗിച്ചാൽ "c" ഇതെത്തുടർന്നു വരുന്ന പടികളിലെ ശിഷ്ടങ്ങളായ "r", "r" മുതലായവയുടെയും ഭാജകമാണെന്ന് കാണാം. അതായത്, "r"ന്റെ ഭാജകമാണ് ഉസാഘയായ "g" എന്നും, അതിനാൽത്തന്നെ "g" ≤ "r" എന്നും വരുന്നു. ഇതിന്റെ വിപരീതം ("r" ≤ "g") നേരത്തെ തെളിയിച്ചിട്ടുള്ളതിനാൽ "g" = "r" എന്ന് ലഭിക്കുന്നു. അതായത്, ഇതിനു മുമ്പുള്ള എല്ലാ ജോടികളുടെയും ഉസാഘ "g" തന്നെയാണ്:

ബെസു അനന്യത
ഗുണജങ്ങൾ
തെളിവ്
ഭിന്നകസംഖ്യകളും വാസ്തവികസംഖ്യകളും