അനന്തശ്രേണികളുടെയും കലനത്തിന്റെയും പഠനമേഖലകളിൽ കേരളീയ ഗണിതജ്ഞന്മാരുടെ സംഭാവനകൾ നിരവധിയാണ്.അതിലൊന്ന് താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയശ്രേണിയാണ്

എന്നാൽ ഈ സൂത്രവാക്യം പത്താം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇറാഖിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന അൽ ഹാസൻ (ഇബ്ന് അൽ ഹായ്തം) (965-1039) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രഞജ്ഞന്റെ കൃതികളിൽ കണ്ടിട്ടുണ്ട് .

കേരള സരണി ഗണിതീയ ആഗമനം (mathematical induction) എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സൂത്ര വാക്യത്തിന് തെളിവ് അവതരിപ്പിച്ചു:

അവകലനവും സമാകലനവും ആവിഷ്കരിക്കുന്നതിനു മുൻപ് തന്നെ, അവർ സമാനമായ പരികല്പനകൾ ഉപയോഗിച്ച് formula_4, formula_5, and formula_6 എന്നിവക്കുള്ള (Taylor-Maclaurin) അനന്തശ്രേണികൾ ആവിഷ്ക്കരിച്ചു.

തന്ത്രസംഗ്രഹ-വാക്യത്തിൽ ഈ അനന്തശ്രേണി പദ്യ രൂപത്തിൽ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. അത് ഒരു സമവാക്യ രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
അത് സാധാരണ രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന് 
വൃത്ത ചാപത്തിന്റെ നീളം കാണുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് കേരള സരണി ഇവ തെളിയിച്ചു. (അക്കാലത്ത് ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ (Leibniz) വിസ്തീർണം കാണുന്ന രീതി ആവിഷകരിച്ചിട്ടുണ്ടായിരുന്നില്ല.) 
അവർ formula_14-ന്റെ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് formula_15-ന് ഒരു അനന്തശ്രേണി കണ്ടുപിടിച്ചു. ഇതു പിൽക്കാലം Gregory series എന്ന പേരിൽ അറിയുവാൻ ഇടയായി.

അനന്തശ്രേണികളുടെ ഫയിനൈറ്റ് അപ്പ്രൊക്സിമേഷന്റെ കുറവിന് (error) അവർ നൽകിയ സുത്രവാക്യം ശ്രദ്ധേയമാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ശ്രേണിയുടെ കുറവ് formula_17, ( "n" ഒറ്റ സംഖ്യയും "i = 1, 2, 3") ആണെങ്കിൽ:

അവർ formula_20-ന്റെ വികസിത രൂപം ഉപയോഗിച്ച് formula_15:-ന് അതി വേഗം കൺവെർജ് ചെയയുന്ന ഈ ശ്രേണി കണ്ടെത്തി:
ഈ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് formula_15-ന് ഒൻപതു ദശാംശം വരെ ശരിയായ ഈ അനുപാതമായി സൂചിപ്പിച്ചു: formula_24. അവർ സീമ (Limit) എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഈ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടുപിടിച്ചു. കേരള സരണിയിലെ ഗണിതജ്ഞർ ചില ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളെ (trigonometric functions) അവകലനം ചെയ്യാനുള്ള രീതി കണ്ടുപിടിച്ചു. എന്നാൽ ഫലനം എന്ന ആശയമോ ലോഗരിതം, എക്സ്പൊനെന്‌ഷ്യൽ എന്ന ഫലനങ്ങളോ അന്ന് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നില്ല. കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെ പറ്റി ആദ്യമായി (1835) വിശദമായി എഴുതിയത് സി.എം. വിഷ് (C. M. Whish) എന്ന ഇംഗ്ലീഷുകാരൻ ആണ്. J. Warren-ന്റെ 1825 യിലെ കലാ സങ്കലിത യിൽ കേരളത്തിലെ ജ്യോതി ശാസ്ത്രജ്ഞർ അനന്ത ശ്രേണി കണ്ടുപിടിച്ചതായി പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ട്. വിഷ് കേരളത്തിലെ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞർ ""laid the foundation for a complete system of fluxions"" എന്നാണ് എഴുതിയത്. അതുപോലെ അവരുടെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഉള്ള ""fluxional forms and series to be found in no work of foreign countries.""എന്നും എഴുതിഎന്നാൽ വിഷ്-ന്റെ ലേഖനത്തിന് പ്രചാരം ലഭിച്ചില്ല. കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ ഒരു ശതാബ്ദത്തിനു ശേഷം സി. രാജഗോപാലും സഹപ്രവർത്തകരും കൂടെ വെളിച്ചത്തു കൊണ്ടുവന്നു. അവരുടെ രണ്ടു ലേഖനങ്ങളിൽ യുക്തിഭാഷയിൽ ആർക് ടാൻ (arctan) ശ്രേണിക്ക് കൊടുതത്തിട്ടുള്ള ഉപപത്തി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. യുക്തിഭാഷയിൽ സൈൻ (sine) കോസൈൻ (cosine) ഘാതശ്രേണികൾക്കുള്ള (Power Series) ഉപപത്തിയുടെ വിവരണം ഒരു ലേഖനത്തിൽ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. രണ്ടു ലേഖനങ്ങളിൽ ആർക് ടാൻ (arctan), സൈൻ (sine), കോസൈൻ (cosine) ശ്രേണികൾ തന്ത്രസംഗ്രഹയിൽ നിന്ന് പദ്യ രൂപത്തിൽ ഉദ്ധരിക്കുകയും അവ ഇംഗ്ലീഷിലേക്ക് പരിഭാഷ ചെയ്യുകയും ചെയ്തു.

പുതുമന സോമയാജി
സംഭാവനകൾ
അനന്തശ്രേണിയും കലനവും
ഹരിദത്തൻ