ഗ്രൂപ്പ് എന്ന അമൂർത്തമായ ആശയം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് ഗണിതത്തിലെ വിവിധ ശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള ആശയങ്ങളുടെ സമ്മേളനമായാണ്. നാലിൽ കൂടുതൽ കൃതിയുള്ള ബഹുപദസമവാക്യങ്ങൾക്ക് പൊതുവായുള്ള നിർധാരണം കണ്ടെത്താനുള്ള ശ്രമങ്ങളാണ് ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആദ്യകാലപ്രചോദനമായത്. പൗളോ റഫ്ഫിനി, ജോസഫ്-ലൂയി ലഗ്രാഞ്ജ് എന്നിവരുടെ സംഭാവനകൾ വിപുലീകരിച്ച പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഇവാരിസ്റ്റെ ഗാൽവ ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ മൂലങ്ങളുടെ സമമിതിഗ്രൂപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് ബഹുപദസമവാക്യം നിർധരിക്കുന്നത് സാധ്യമാകാനുള്ള നിബന്ധനകൾ കണ്ടുപിടിച്ചു. ഈ ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ചില മൂലങ്ങളുടെ ക്രമചയങ്ങളാണ്. ഗാൽവ ജീവിച്ചിരുന്ന കാലത്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ തള്ളിക്കളഞ്ഞതിനാൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണശേഷമാണ് അവ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. അഗസ്റ്റിൻ ലൂയി കൗച്ചി ക്രമചയഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ പഠിച്ചു. ആർതർ കെയ്ലിയുടെ 1854-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ = 1" ആണ് പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ ആദ്യത്തെ അമൂർത്തനിർവചനം നൽകിയത്.

ഗ്രൂപ്പുകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ട മറ്റൊരു ശാഖ ജ്യാമിതി ആയിരുന്നു. സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫെലിക്സ് ക്ലൈന്റെ എർലാങ്ങൻ പദ്ധതിയുടെ ഭാഗമായിരുന്നു. അതിവലയജ്യാമിതി, പ്രക്ഷേപജ്യാമിതി മുതലായ നവീന ജ്യാമിതികളുടെ ആവിർഭാവത്തിനുശേഷം ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് വിവിധ ജ്യാമിതികളെ വർഗ്ഗീകരിക്കാനാണ് ക്ലൈൻ ശ്രമിച്ചത്. ഈ ആശയങ്ങളെ തുടർന്ന് വിപുലീകരിച്ച സോഫസ് ലീ ലീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ പഠനത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ചു.

സംഖ്യാസിദ്ധാന്തവും ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിന് സംഭാവനകൾ നൽകി. ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ് 1798-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച "Disquisitiones Arithmeticae" എന്ന സംഖ്യാസിദ്ധാന്തഗ്രന്ഥത്തിൽ അസ്പഷ്ടമായും പിന്നീട് ല്യോപോൾഡ് ക്രോണെക്കർ സ്പഷ്ടമായിത്തന്നെയും ഉപയോഗിച്ചു. 1847-ൽ ഫെർ‌മയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിച്ച ഏൺസ്റ്റ് കുമ്മർ സംഖ്യകളെ അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകങ്ങളായി ഘടകീകരിക്കുന്നത് വിശദീകരിക്കുന്ന ക്ലാസ് ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉപയോഗിച്ചു.

വിവിധ ശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള ഈ ആശയങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്ന ഗണിതശാഖയാക്കി ഒരുമിച്ചുചേർക്കുന്നത് ആരംഭിച്ചത് കാമിൽ ജോർഡാൻ 1870-ൽ എഴുതിയ "Traité des substitutions et des équations algébriques" എന്ന ഗ്രന്ധത്തോടെയാണ്. 1870-ൽ വാൽത്തെർ ഫോൺ ഡിക്ക് അമൂർത്തഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ആദ്യമായി ആധുനിക നിർവചനം നൽകി. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ നടത്തിയ ഫെർഡിനാൻഡ് ജോർജ് ഫ്രോബീനിയസ്, വില്യം ബേൺസൈഡ് എന്നിവരും റിച്ചാർഡ് ബ്രോവർ, ഐസക് ഷൂർ എന്നിവരുടെ പഠനങ്ങളും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടോടെ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഇടയിൽ പൊതുസമ്മിതി നേടുന്നതിൽ സഹായിച്ചു. ഹെർമൻ വെയ്ൽ, ഏലീ കാർട്ടൻ ഉൾപ്പെടെയുള്ളവർ ലീ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം വിപുലീകരിച്ചു. ലീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ടയായ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളുടെ പഠനം 1930-കളിൽ ക്ലോഡ് ഷെവാലെ തുടങ്ങിവെക്കുകയും അർമാൻഡ് ബോറെൽ, ഴാക് റ്റിറ്റ്സ് എന്നിവർ അത് മുന്നോട്ടുകൊണ്ടുപോവുകയും ചെയ്തു.

ഷിക്കാഗോ സർവകലാശാലയുടെ 1960-61 ലെ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്ത വർഷാചരണത്തിന്റെ ഭാഗമായി ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ, ജോൺ ജി. തൊംപ്സൺ, വാൾട്ടർ ഫെയ്റ്റ് ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തജ്ഞർ ഒരുമിച്ചു. ഇവരുടെ കൂട്ടായ്മയാണ് മറ്റനേകം ഗണിതജ്ഞരുടെ സഹായത്തോടെ 1982-ൽ എല്ലാ പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെയും വർഗ്ഗീകരണം സാധിച്ചെടുത്തത്. വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവിന്റെ വലിപ്പത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിൽ ഭാഗഭാക്കായ ഗവേഷകരുടെ എണ്ണത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഈ പദ്ധതി അതുവരെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരുന്ന എല്ലാ ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളെയും കവച്ചുവെച്ചു. ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവ് ലളിതവൽകരിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ഇപ്പോഴും നടന്നുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്. മറ്റനേകം ശാസ്ത്ര, ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളെ സ്വാധീനിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഇന്നും ഏറെ ഗവേഷണങ്ങൾ നടക്കുന്ന വിഷയമാണ്.

ഉപഗ്രൂപ്പ്
അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ
ചരിത്രം
ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾ