ടോഷ്യന്റ് വാലൻസ് ഫലനത്തിന്റെ വില ചുരുങ്ങിയത് 2 ആയിരിക്കും എന്ന പരികൽപനയാണ്‌ കാർമൈക്കൽ ടോഷ്യന്റ് ഫലന പരികൽപന (Carmichael's Totient Function Conjecture) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. അതായത്, ഒരു സംഖ്യയുടെ മാത്രം ടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിന്റെ വിലയായി വരുന്ന സംഖ്യകളൊന്നുമില്ല.

1907-ൽ റോബർട്ട് കാർമൈക്കൽ ആണ്‌ ഈ പരികൽപന നടത്തിയത്. ഇതിന്‌ ഒരു തെളിവും അദ്ദേഹം നൽകി. എന്നാൽ ഈ തെളിവ് തെറ്റാണെന്ന് അദ്ദേഹം തന്നെ 1922-ൽ കണ്ടെത്തി. അതിനുശേഷം ഈ പരികൽപന ഇതുവരെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. എന്നാൽ ഈ പരികൽപനയ്ക്ക് വിപരീതമായ സംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കപെടുകയും ചെയ്തിട്ടില്ല. കാർമൈക്കൽ ടോഷ്യന്റ് ഫലന പരികൽപനയ്ക്ക് വിപരീതമായി ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ അതിൽ ചുരുങ്ങിയത് ആയിരം കോടി അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

ലെഹ്‌മറുടെ ടോഷ്യന്റ് പ്രശ്നം
ഉദാഹരണം
കാർമൈക്കൽ ടോഷ്യന്റ് ഫലന പരികൽപന
കണ്ടെത്തുന്ന വിധം