ഗണിതസങ്കല്പങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ വർഗ്ഗീകരണം നടത്തി പട്ടികകളുണ്ടാക്കാൻ ഗണിതജ്ഞർ ശ്രമിക്കാറുണ്ട്. എന്നാൽ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെ ഇപ്രകാരം വർഗ്ഗീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിതത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയമനുസരിച്ച് കോടി "p" എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യയായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളാണ് (Z). "p" കോടിയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളൊക്കെ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും, എന്നാൽ "p" കോടിയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾ ക്രമമാകണമെന്നില്ല (ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D ഉദാഹരണമാണ്). കമ്പ്യൂട്ടർ ആൾജിബ്ര സിസ്റ്റങ്ങളുപയോഗിച്ച് ചെറിയ ഗ്രൂപ്പുകളെയൊക്കെ പട്ടികപ്പെടുത്താനാകും, എന്നാൽ എല്ലാ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെയും ഇതുവരെ ഇങ്ങനെ വർഗ്ഗീകരിച്ച് പട്ടികപ്പെടുത്താൻ സാധിച്ചിട്ടില്ല.

എന്നിരുന്നാലും ഈ ദിശയിലേക്കുള്ള ഒരു പ്രധാന കാൽവെപ്പാണ് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം. തുച്ഛമല്ലാത്ത ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പും ആ ഗ്രൂപ്പു തന്നെയും ആണെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പിനെ ലളിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെയും നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾ കൊണ്ടാണെന്ന് ജോർഡാൻ-ഹോൾഡർ പ്രമേയം പറയുന്നു. ആധുനിക ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഒരു മുഖ്യമായ നേട്ടമായാണ് ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തെ കണക്കാക്കുന്നത്. 1983-ൽ ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ ആണ് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം വർഗ്ഗീകരിക്കപ്പെട്ടതായി പ്രഖ്യാപിച്ചത്. എന്നാൽ quasithin ഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ കാര്യം അദ്ദേഹം ശരിയായി മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നില്ല. ഈ പ്രത്യേക ഗ്രൂപ്പിന്റെ കാര്യത്തിൽ തെളിവു കണ്ടുപിടിച്ച മൈക്കൽ ആഷ്ബാക്കർ ആണ് 2004-ൽ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം പൂർത്തിയാക്കിയത്. പൂർണ്ണമായ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവ് നൂറോളം ഗണിതജ്ഞരുടെ നൂറുകണക്കിന് ലേഖനങ്ങളിലായി പതിനായിരക്കണക്കിന് പേജൂകളെടുത്തു. 1998-ലെ ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ ജേതാവായ റിച്ചാർഡ് ബോർച്ചെർഡ്സ് ഏറ്റവും വലിയ സ്പൊറാഡിക് ലളിതഗ്രൂപ്പായ മോൺസ്റ്റർ ഗ്രൂപ്പിന് മോഡ്യുലർ ഫലനങ്ങളുമായും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ സ്ട്രിങ് തിയറിയുമായും ഉള്ള അടിസ്ഥാനപരമായ ബന്ധം തെളിയിച്ചു.

പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം
ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ
അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ
ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപത