സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന അൽഗൊരിതങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പഴക്കമേറിയവയിലാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ സ്ഥാനം. ക്രിസ്തുവിനും മുന്നൂറുവർഷത്തോളം മുമ്പ് യൂക്ലിഡ് എഴുതിയ എലിമെന്റ്സ് എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഈ അൽഗൊരിതം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു (ഏഴാം പുസ്തകം വാദം 1-2, പത്താം പുസ്തകം വാദം 2-3). ഏഴാം പുസ്തകത്തിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കുവേണ്ടിയും പത്താം പുസ്തകത്തിൽ രേഖാഖണ്ഡങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾക്കു വേണ്ടിയുമാണ് അൽഗൊരിതം ആസൂത്രണം ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കാണുന്നതിന് സമാനമാണ് ഇങ്ങനെ നീളങ്ങളുടെ ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കുന്നത്. എന്നാൽ യൂക്ലിഡിന്റെ കാലത്ത് വാസ്തവികസംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം ഉരുത്തിരിഞ്ഞിട്ടില്ലായിരുന്നു. "a", "b" എന്നീ നീളങ്ങളുടെ ഉസാഘ "g" അവയെ രണ്ടിനെയും പൂൂർണ്ണസംഖ്യ എണ്ണം ഭാഗങ്ങളായി അളക്കാൻ സാധിക്കുന്ന ഏറ്റവും വലിയ നീളമാണ്. അതായത്, "a", "b" എന്നിവ രണ്ടും "g"യുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗുണിതങ്ങളായി വരുന്ന തരത്തിലുള്ള ഏറ്റവും വലിയ നീളമാണ് "g".

ഈ അൽഗൊരിതം കണ്ടുപിടിച്ചത് യൂക്ലിഡ് ആയിരിക്കാൻ സാധ്യതയില്ല, മുൻകാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ കണ്ടെത്തലുകൾ "എലിമെന്റ്സിൽ" സമാഹരിച്ച കൂട്ടത്തിലുള്ളതാവാം. പൈതഗോറിയൻ സ്കൂളിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചെഴുതിയ ഒരു ഗ്രന്ഥത്തിൽ നിന്നാണ് എലിമെന്റ്സിലെ ഏഴാം പുസ്തകം ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ചരിത്രകാരനുമായ ബി. എൽ. ഫാൻ ഡെർ വേർഡൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ക്രിസ്തുവിന് 375 വർഷം മുമ്പ് നിഡസിലെ യുഡോക്സസിന് ഈ അൽഗൊരിതത്തെക്കുറിച്ച് അറിയുമായിരുന്നിരിക്കാം. യൂക്ലിഡും അരിസ്റ്റോട്ടിലും ἀνθυφαίρεσις (ആന്റിഫൈറസിസ് അഥവാ വ്യുൽക്രമ വ്യവകലനം) എന്ന സാങ്കേതികപദം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതിനാൽ യൂഡോക്സസിനും മുമ്പുതന്നെ അൽഗൊരിതം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിരിക്കാനും സാധ്യതയുണ്ട്.

നൂറ്റാണ്ടുകൾക്കു ശേഷം ഇന്ത്യയിലും ചൈനയിലും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം വീണ്ടും സ്വതന്ത്രമായി കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടു. ജ്യോതിഃശാസ്ത്രത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താനും കൃത്യതയാർന്ന കലണ്ടറുകൾ ഉണ്ടാക്കാനും വേണ്ടി ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധരിക്കുന്നതിനായായിരുന്നു ഇത്. ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധരിക്കുന്നതിൽ വളരെ ഫലപ്രദമായതിനാൽ അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ജ്യോതിഃശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ ആര്യഭടൻ അൽഗൊരിതത്തെ വിശേഷിപ്പിച്ചത് "തവിടുപൊടിയാക്കുന്നത്" (pulverizer) എന്നായിരുന്നു. ചൈനീസ് ശിഷ്ടപ്രമേയത്തിന്റെ ഒരു വിശിഷ്ടഭാഷ്യം (special case) "സുൻസി സുവാൻജിങ് (Sunzi Suanjing)" എന്ന ചൈനീസ് ഗ്രന്ഥത്തിൽ മുമ്പേ വിവരിച്ചിരുന്നുവെങ്കിലും 1247-ൽ ക്വിൻ ജിയുഷാവോ ആണ് "ഷുഷു ജിയുസാങ് (Shushu Jiuzhang 數書九章)" എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ പ്രമേയത്തിന്റെ സാമാന്യഭാഷ്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. യൂറോപ്പിൽ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ആദ്യമായി വിവരിക്കപ്പെടുന്നത് ക്ലോദ് ഗസ്പാർദ് ബാഷെ ദെ മെസിറിയാക് എഴുതിയ "പ്രോബ്ലെം പ്ലെയ്സാന്ത് എ ദെലെക്താബ്ല് (Problèmes plaisants et délectables, ഹൃദ്യവും ആസ്വാദ്യവുമായ പ്രശ്നങ്ങൾ)" എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ രണ്ടാം പതിപ്പിലാണ്. ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധരിക്കാനും സതതഭിന്നങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാനുമാണ് യൂറോപ്പിൽ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ വികസിതരൂപം (വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം) പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ നിക്കോളാസ് സോണ്ടേർസണായിരുന്നു. സതതഭിന്നങ്ങൾ കാര്യക്ഷമമായി കണക്കുകൂട്ടാൻ വേണ്ടി റോജർ കോട്സ് ആണ് ഈ രീതി കണ്ടുപിടിച്ചത് എന്നാണ് സോണ്ടേഴ്സൺ പറഞ്ഞത്.

പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗോസ്സിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, ഐസൻസ്റ്റൈൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മുതലായ പുതിയ സംഖ്യാവ്യവസ്ഥകൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്. 1815-ൽ ഗോസ്സിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ അനന്യമായി ഘടകക്രിയ ചെയ്യാമെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ് ഈ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിച്ചു (1832-ലാണ് ഈ ഫലം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്). 1801-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച തന്റെ "ഡിസ്ക്വിസിഷൻസ് അരിത്മെറ്റികേ (Disquisitiones Arithmeticae)" എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഗോസ്സ് അൽഗൊരിതത്തെ മുമ്പേ പരാമർശിച്ചിരുന്നുവെങ്കിലും അത് സതതഭിന്നങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു രീതി എന്ന നിലയിലായിരുന്നു. പീറ്റർ ഗുസ്താവ് ലെജോൻ ദിരിക്ലേ ആണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തെ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനശിലയായി വിവരിച്ചത്. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കു മാത്രമല്ല, യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാൻ സാധിക്കുന്ന മറ്റേത് സംഖ്യാവ്യവസ്ഥയും അനന്യമായ ഘടകക്രിയ ഉൾപ്പെടെയുള്ള സംഖ്യസിദ്ധാന്തപ്രമേയങ്ങൾ അനുസരിക്കും എന്ന് ദിരിക്ലേ നിരീക്ഷിച്ചു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ദിരിക്ലേയുടെ പ്രഭാഷണങ്ങൾ സംശോധനം ചെയ്യുകയും വ്യാപിപ്പിക്കുകയും ചെയ്ത റിച്ചാർഡ് ഡെഡിക്കിന്റ് ബീജീയ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ പുതിയ സാമാന്യവൽക്കരണത്തെക്കുറിച്ച് പഠിക്കാൻ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിച്ചു. ഗോസ്സിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനന്യമായ ഘടകക്രിയ ഉപയോഗിച്ച് ഡെഡിക്കിന്റ് ഫെർമയുടെ രണ്ട് വർഗ്ഗ പ്രമേയം ആദ്യമായി തെളിയിച്ചു. യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്ന സംഖ്യാവ്യവസ്ഥകളായ യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലങ്ങളെ നിർവചിച്ചതും ഡെഡിക്കിന്റ് തന്നെ. പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തോടെ ഡെഡിക്കിന്റിന്റെ ഗുണജങ്ങളുടെ സാമാന്യസിദ്ധാന്തം യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തെക്കാൾ പ്രചാരം നേടി.

പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം വേറെയും ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി. ഒരു ബഹുപദത്തിന് ഏതെങ്കിലും ഇടവേളയിൽ എത്ര വാസ്തവിക നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന സ്റ്റുർമ് ശൃംഖലകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിന് ഈ അൽഗൊരിതം സഹായകമാണെന്ന് 1829-ൽ ചാൾസ് സ്റ്റുർമ് തെളിയിച്ചു. ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യാഗണത്തിലെ സംഖ്യകളെ ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഗുണോത്തരങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് തുക കണ്ടാലാണ് (അത് സാധ്യമെങ്കിൽ) പൂജ്യം ഫലമായി ലഭിക്കുക എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന Integer relation അൽഗൊരിതങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേതാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം. യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ പിൻഗാമികളായി ഈ ആവശ്യത്തിനായി മറ്റനേകം അൽഗൊരിതങ്ങൾ അടൂത്തകാലത്തായി കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ട്.

1969-ൽ കോളും ഡേവിയും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി രണ്ടുപേർക്കു കളിക്കാവുന്ന ഒരു കളി വികസിപ്പിച്ചു. "യൂക്ലിഡിന്റെ കളി (The game of Euclid)" എന്നാണ് ഇതിന്റെ പേര്. "a", "b" വീതം എണ്ണം കല്ലുകളുള്ള രണ്ട് കൂമ്പാരങ്ങളാണ് കളിയുടെ തുടക്കത്തിലുണ്ടാവുക. ഓരോ കളിക്കാരിയും അവരുടെ അവസരമെത്തുമ്പോൾ ചെറിയ കൂമ്പാരത്തിന്റെ ഒരു ഗുണിതം എണ്ണം കല്ലുകൾ വലിയ കൂമ്പാരത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു അവസരത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ കൂമ്പാരങ്ങളിൽ "x", "y" വീതം കല്ലുകളാണുള്ളതെന്നും "x" നെക്കാളും ചെറുതാണ് "y" എന്നും ഇരിക്കട്ടെ. അടുത്ത അവസരത്തിൽ കളിക്കാരി "x" കല്ലുകളുള്ള വലിയ കൂമ്പാരത്തിൽ നിന്നും ചെറിയ കൂമ്പാരത്തിലെ കല്ലുകളുടെ എണ്ണമായ "y" യുടെ "m" ഇരട്ടി കുറച്ച് "x" − "my" കല്ലുകൾ ബാക്കിയാക്കുന്നു (ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തിൽ കുറവാകുന്നത് അനുവദിനീയമല്ല). ഒരു കൂമ്പാരത്തിലെ കല്ലുകളെല്ലാം നീക്കുന്ന കളിക്കാരിയാണ് കളിയിലെ വിജയി. ഈ കളിയിൽ രണ്ടുപേരും നന്നായി കളിച്ചാൽ ആരാണ് ജയിക്കുകയെന്നും എങ്ങനെയാണ് ജയം കരസ്ഥമാക്കാൻ കഴിയുക എന്നും തുടക്കത്തിലെ കല്ലുകളിലെ എണ്ണത്തിൽ നിന്നു തന്നെ കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഒരു പടിയുടെ സങ്കീർണ്ണത
ശരാശരി
വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം
ചരിത്രം