തൽസമകവും വിപരീതങ്ങളും അദ്വിതീയമാണ് എന്നുള്ളത് ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളുടെ അനന്തരഫലമാണ്. അതായത്, ഗ്രൂപ്പിൽ ഒരു തൽസമക അംഗമേ ഉണ്ടാകൂ. ഒരോ അംഗത്തിനും ഒരു വിപരീതം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ താനും.

("G", •) എന്ന ഗ്രൂപ്പിൽ "a" എന്ന അംഗത്തിന്റെ വിപരീതം അദ്വിതീയമാണെന്ന് ഇപ്രകാരം തെളിയിക്കാം. "a" യ്ക്ക് "b", "c" എന്ന രണ്ട് വിപരീതങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക. എങ്കിൽ

അതായത്, "a" യുടെ വിപരീതങ്ങളായ "b" യും "c" യും തുല്യമാണെന്നു വരുന്നു - "a" യുടെ വിപരിതം അദ്വിതീയമാണ്. ഇതുപോലെത്തന്നെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകവും അദ്വിതീയമാണെന്ന് തെളിയിക്കാം. "G" എന്ന ഗ്രൂപ്പിന് "e", "f" എന്നീ രണ്ട് തൽസമകങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക. എങ്കിൽ "e" = "e" • "f" = "f" എന്ന് വരുന്നു, അതായത്, "e" യും "f" ഉം തുല്യമാണ്.

ഗ്രൂപ്പ് : നിർവചനം
ഉപഗ്രൂപ്പ്
ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപത
തൽസമകവും വിപരിതങ്ങളും അദ്വിതീയമാണ്