പരിമിത എണ്ണം സംഖ്യകളുള്ള ഒരു ഗണവും ഗണത്തിലെ സംഖ്യകളുടെ മേൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന നാല് സംക്രിയകളും ചേർന്ന ബീജീയഘടനയാണ് പരിമിതക്ഷേത്രം. സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നിവയുടെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങളാണ് ഈ സംക്രിയകൾ, ഇവ സാധാരണ സംഖ്യകളെപ്പോലെ ക്രമനിയമം, സാഹചര്യനിയമം, വിതരണനിയമം എന്നിവ പാലിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണമായി, {0, 1, 2, …, 12} എന്ന പതിമൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഗണം മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിത സംക്രിയകൾക്കു കീഴിൽ ഒരു പരിമിതക്ഷേത്രമാണ്. ഈ ക്ഷേത്രത്തിൽ നാല് സംക്രിയകളും (സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം) മോഡ്യുലോ 13 ആയാണ് ചെയ്യുക. അതായത്, സംക്രിയയുടെ ഫലം 0 നും 12 നും ഇടയിലല്ലെങ്കിൽ അത്തരമൊരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതു വരെ 13 കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണമായി, 5 × 7 = 35 mod 13 = 9. ഇത്തരം പരിമിതക്ഷേത്രങ്ങൾ "p" എന്ന ഏത് അഭാജ്യസംഖ്യയുപയോഗിച്ചും നിർമ്മിക്കാം. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ നിർവ്വചനങ്ങളുപയോഗിച്ചാൽ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘാതങ്ങൾക്കും ("p") പരിമിതക്ഷേത്രങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുക സാധ്യമാണ്. പരിമിതക്ഷേത്രങ്ങൾ ഗാൽവ ക്ഷേത്രങ്ങൾ എന്ന പേരിലും അറിയപ്പെടുന്നു, ഇവയെ GF("p") എന്നോ GF("p") എന്നോ ആണ് സൂചിപ്പിക്കുക.

"a" ഇത്തരമൊരു ക്ഷേത്രത്തിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത അംഗമാണെങ്കിൽ അതിന് അനന്യമായ മോഡ്യുലർ ഗുണനവിപരീതം ഉണ്ടായിരിക്കും. "a" യുടെ മോഡ്യുലർ ഗുണനവിപരീതം എന്നത് എന്ന സമവാക്യം അനുസരിക്കുന്ന "a" എന്ന സംഖ്യയാണ്. "ax" ≡ 1 mod "m", എന്ന സർവ്വസമതയ്ക്ക് നിർദ്ധാരണം കാണുന്നതു വഴി ഈ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇത് താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യം നിർദ്ധരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്
ഈ സമവാക്യം മേൽ വിവരിച്ചതുപോലെ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് നിർദ്ധരിക്കാം. മൊഡ്യുലാർ ഗുണനവിപരീതങ്ങൾ കാണുന്നത് ഇകൊമേഴ്സിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ആർ.എസ്.എ. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ അവശ്യഭാഗമാണ്. ക്ഷേത്രങ്ങൾക്കു പകരം വലയങ്ങളാണ് ആർ.എസ്.എ. അൽഗൊരിതത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിലും വലയങ്ങളിലും (ഗുണനവിപരീതമുള്ള) അംഗങ്ങളുടെ ഗുണനവിപരീതം യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം. വാർത്താവിനിമയത്തിൽ തെറ്റുകൾ തിരുത്താനുപയോഗിക്കുന്ന എറർ കറക്റ്റിങ് കോഡുകളിലും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന് ഉപയോഗമുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, ഗാൽവ ക്ഷേത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ബി.സി.എച്. കോഡ്, റീഡ്-സോളമൻ കോഡ് എന്നിവ ഡീകോഡ് ചെയ്യാൻ ബെർൽകാംപ്-മാസ്സേ അൽഗൊരിതത്തിനു പകരമായി ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.

തെളിവ്
പടികളുടെ എണ്ണം
ഗുണനവിപരീതവും ആർഎസ്എ അൽഗൊരിതവും
സ്റ്റേൺ-ബ്രോക്കോട്ട് ട്രീ