കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രീതിയിലും നിർവ്വചിക്കാം:

formula_3 എന്ന സമവാക്യമുപയോഗിച്ചാൽ ഇത് ആമുഖത്തിലെ നിർവചനത്തിന് സമമാണെന്ന് കാണാം. കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ എപ്പോഴും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കും എന്ന് ഈ സൂത്രവാക്യം തെളിയിക്കുന്നു.

കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ആവർത്തനബന്ധങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു:

nന്റെ ഉയർന്ന വിലകൾക്ക് കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളുടെ വളർച്ച ഇപ്രകാരമാണ്:

അതായത്, n അനന്തതയോടടുക്കുമ്പോൾ n-ആമത്തെ കാറ്റലാൻ സംഖ്യയുടെയും വലതുഭാഗത്തെ വ്യഞ്ജകത്തിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ സീമ 1 ആണ്. ഫാക്റ്റോറിയലുകളുടെ സ്റ്റേർലിങ് ഏകദേശനം ഉപയോഗിച്ചും ജനകഫലനം ഉപയോഗിച്ചും ഇത് തെളിയിക്കാം.

n-ന്റെ വില രണ്ടിന്റെ ഒരു പൂർണ്ണ ഘാതത്തിൽ നിന്ന് ഒന്ന് കുറവാകുമ്പോൾ ("n" = 2 − 1) മാത്രമേ "C" ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ ആകൂ, മറ്റെല്ലാ വിലകൾക്കും "C" ഇരട്ടസംഖ്യ ആയിരിക്കും. മാത്രമല്ല, "C" = 2, "C" = 5 എന്നിവ മാത്രമാണ് അഭാജ്യമായ കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ.

കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളെ സമാകലനം വഴിയും നിർവചിക്കാം

ഇവിടെ formula_8 ഹൗസ്ഡോർഫ് ആഘൂർണ പ്രശ്നത്തിന്റെ [0, 4] ഇടവേളയിലെ നിർദ്ധാരണമാണ് കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ എന്നതിനാലാണിത്.

സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ തെളിവ്
ഗുണധർമ്മങ്ങൾ
ചരിത്രം
സഞ്ചയനശാസ്ത്രം