പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാത്രം നിർദ്ധാരണങ്ങളായി എടുക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ് ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ അലക്സാണ്ട്രിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന ഡയോഫാന്റസിന്റെ പേരിലാണ് ഇവ അറിയപ്പെടുന്നത്. രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് സാധാരണ ഗതിയിൽ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രൂപമാണുണ്ടാവുക
ഇവിടെ "a", "b", "c" എന്നിവ തന്നിരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്; "x", "y" എന്നിവ കണ്ടൂപിടിക്കേണ്ട പൂർണ്ണസംഖ്യകളും. ഇതിനെ മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിതമുപയോഗിച്ച് "x" നുള്ള സമവാക്യമായി എഴുതാം:
"a" യുടെയും "b" യുടെയും ഉസാഘയാണ് "g" എന്നിരിക്കട്ടെ. "ax" + "by" യിലെ രണ്ട് പദങ്ങളും "g" യുടെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ "c" യും ഗുണിതമായിരിക്കണമെന്നു വരുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടാവില്ല. സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടു ഭാഗത്തെയും "c"/"g" കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ സമവാക്യം ബെസു അനന്യതയുടെ രൂപത്തിലേക്കു മാറുന്നു
ഇവിടെ "s" ന്റെയും "t" യുടെയും വില വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം. ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു നിർദ്ധാരണം ഇങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം: "x" = "s" ("c"/"g"), "y" = "t" ("c"/"g").

സാധാരണ ഗതിയിൽ ഒരു രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം പൂജ്യമോ അനന്തമോ ആണ്. പരിഹാരങ്ങൾ അനന്തമാണെങ്കിൽ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം. ഒരേ രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണങ്ങളാണ് ("x", "y"), ("x", "y") എന്നു കരുതുക. അതായത്,
അഥവാ
അതായത്, രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുടെ "x" വിലകൾക്കിടയിലുള്ള കുറഞ്ഞ വ്യത്യാസം "b"/"g" യും "y" വിലകൾക്കിടയിലുള്ള കുറഞ്ഞ വ്യത്യാസം "a"/"g" യുമാണ്. അതായത്, സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണങ്ങളെ സാമാന്യരൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെയെഴുതാം:
"u" വിന്റെ വില എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമെടുത്താൽ ("x", "y") എന്ന ഒറ്റ നിർദ്ധാരണത്തിൽ നിന്ന് അനന്തം എണ്ണം പരിഹാരങ്ങളെല്ലാം കണ്ടുപിടിക്കാം. പരിഹാരത്തിലെ സംഖ്യകളെല്ലാം എണ്ണൽസംഖ്യകളാകണമെന്ന് നിഷ്കർഷിച്ചാൽ ("x" > 0, "y" > 0) പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണെന്നു വരാം. ചരങ്ങളെക്കാൾ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുള്ള ചില ഡയൊഫന്റൈൻ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് പരിമിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ മാത്രമുണ്ടാകാൻ ഈ നിഷ്കർഷ കാരണമാകാം; പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് പകരം വാസ്തവികസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ധരിക്കുന്ന രേഖീയ സമവാക്യ വ്യവസ്ഥകളിൽ ഇത് ഒരിക്കലും സംഭവിക്കില്ല.

വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം
ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ അൽഗൊരിതങ്ങൾ
രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ
ഉദാഹരണം