Infinity

ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ തുടർന്നു വരുന്ന മറ്റൊരു പൂർണസംഖ്യയുണ്ട്. ഈ ദർശനം തുടർന്നു പോയാൽ സ്വാഭാവികമായി തോന്നുന്ന ഒരു ആശയമാണ് അനന്തത. പൂർണസംഖ്യകൾ അനന്തമായി അനുസ്യൂതം തുടരുന്നുവെന്നൂഹിക്കാം. എന്നാൽ അഭാജ്യസംഖ്യകളും ഇതുപോലെ അനന്തമായി തുടരുന്നുണ്ടോയെന്ന് അല്പം ചിന്തിക്കേണ്ടിവരും. അഭാജ്യസംഖ്യകളും അപ്രകാരം തന്നെ തുടരുന്നുണ്ട്. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 എന്നു തുടങ്ങിയ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം അനന്തമാണ്. യൂക്ളിഡ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രാചാര്യൻ ഈ വസ്തുത തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം ഒന്നും വിടാതെ p എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യവരെ, തമ്മിൽ ഗുണിച്ചാൽ, ഈ ഗുണിതത്തെ p വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകൾകൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നു. എന്നാൽ ഈ ഗുണിതത്തിനോട് 1 ചേർത്തുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ p വരെയുള്ള ഏതൊരു അഭാജ്യസംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്നതിനാൽത്തന്നെ ആ സംഖ്യ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണന്നോ, അല്ലാത്തപക്ഷം അതിന് p യേക്കാൾ വലിയ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകം ഉണ്ടന്നോ മനസ്സിലാക്കാം. ഈ വാദം തുടരുന്നതായാൽ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്കപ്പുറത്ത് മറ്റൊന്നുണ്ടെന്നും അങ്ങനെ ആ അനുക്രമം അനന്തമായി തുടരുന്നുവെന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.

അനന്തതയുമായുള്ള ഈ ബന്ധം യഥാർഥമായ ചില പ്രശ്നങ്ങൾക്കു വഴിതെളിച്ചു. ഏതെങ്കിലുമൊരു പൂർണസംഖ്യക്ക് താഴെ ആ സംഖ്യയോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യതയുള്ള (relative prime), അതായത് ആ സംഖ്യയുമായി 1 ഒഴികെ പൊതുഘടകമില്ലാത്ത, സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, ഒരു സംഖ്യയുടെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അവയുടെ ആകെത്തുക എന്നീ പ്രശ്നങ്ങൾ അങ്കഗണിതഫലനംവഴി മനസ്സിലാക്കി. (n), d(n), (n) എന്നിവ ക്രമത്തിൽ ഈ ഫലനങ്ങളാണ്.

അനന്തത
റീമാൻ സീറ്റാഫലനം
വിഗണസംഖ്യകൾ -ഗണസംഖ്യകൾ-ഏകദേശനം
വെയറിങ് പ്രശ്നം