ശിഷ്ടത്തിന്റെ ഋണവിലകളും കൂടി ഉപയോഗിക്കുന്ന തരത്തിലും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം പ്രയോഗവൽക്കരിക്കാം. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഒരു പടിയിൽ ലഭിക്കുന്ന ഹരണഫലത്തോട് 1 കൂട്ടുകയാണെങ്കിൽ ശിഷ്ടം ഋണസംഖ്യയായി മാറും. ഈ ഋണശിഷ്ടത്തിന്റെ കേവലവില ഹരണഫലത്തോട് 1 കൂട്ടാതെ ലഭിക്കുന്ന ധനശിഷ്ടത്തെക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ പരിഷ്കരിച്ച ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടാണ് ഈ അൽഗൊരിതം പുരോഗമിക്കുന്നത്. ഇതുവരെ
എന്ന സമവാക്യത്തിൽ ആണെന്നായിരുന്നു നാം കല്പിച്ചിരുന്നത്. എന്നാൽ ഇതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി ഒരു ഋണശിഷ്ടം ഇപ്രകാരം കണ്ടുപിടിക്കാം:

അഥവാ ആണെങ്കിൽ
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഷ്യങ്ങളിലും വച്ച് ഇതിനാണ് ഏറ്റവും കുറവ് പടികൾ ആവശ്യമായി വരിക എന്ന് ലിയോപോൾഡ് ക്രോണെക്കർ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "a", "b" എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കാണാനാവശ്യമായ പടികളുടെ എണ്ണം ഏറ്റവും കുറവാകുന്നത് formula_3 ആവുന്ന തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോഴാണ് (ഇവിടെ formula_4 സുവർണ്ണാനുപാതമാണ്).

തെളിവ്
രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ
പ്രയോഗത്തിൽ
ശിഷ്ടത്തിന്റെ കുറഞ്ഞ കേവലവില ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി