സാധാരണ ഗതിയിൽ എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കാണാനാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിലും വാസ്തവികസംഖ്യകൾക്കായും ബഹുപദങ്ങൾ, ദ്വിമാന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, ഹുർവിറ്റ്സ് ക്വാട്ടേർണിയനുകൾ മുതലായ ഗണിതഘടനകൾക്കായും അൽഗൊരിതത്തെ സാമാന്യവത്കരിക്കാം. ഇത്തരം ഗണിതഘടനകളിൽ അനന്യമായ ഘടകക്രിയ സാധ്യമാണ് എന്ന് തെളിയിക്കാൻ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതായത്, ഘടനയിലെ അംഗങ്ങളെ അച്ഛേദ്യമായ അംഗങ്ങളാക്കി (ഘടനയിൽ അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്ക് സമാനമായ അംഗങ്ങളാണിവ) ഘടകക്രിയ നടത്താൻ ഒരു വഴിയേ ഉള്ളൂ എന്ന് തെളിയിക്കാം. സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ പല തെളിവുകളുടെയും അടിസ്ഥാനം അനന്യമായ ഘടകക്രിയയാണ്.

സാമാന്യവത്കരണങ്ങൾ
പശ്ചാത്തലം: ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം
ക്രമവിനിമേയമല്ലാത്ത വലയങ്ങൾ
ഗണനപരമായ സങ്കീർണ്ണത