ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ സമമിതികൾ വിശദീകരിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ. സമമിതികൾ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിലേതുപോലെ ജ്യാമിതീയമോ ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണങ്ങളുടേതുപോലെ ബീജീയമോ ആകാം. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തെ സമമിതികളുടെ പഠനമായി കാണാവുന്നതാണ്. സമമിതികൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ പഠനത്തിൽ വളരെയേറെ സഹായിക്കുന്നു. ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ ഗ്രൂപ്പ് നിയമത്തിനനുസൃതമായ ഏതെങ്കിലും ക്രിയ ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പ് ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, താഴെ വലതുഭാഗത്തായി കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഘടനയുടെമേൽ (2,3,7) ത്രികോണഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യുന്ന ക്രിയ പച്ചനിറത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളെ (മറ്റുള്ളവയെയും) ക്രമചയത്തിന് വിധേയമാക്കുകയാണ്. ഗ്രൂപ്പ് പ്രവർത്തനം വഴി ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടന അത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഗണിതവസ്തുവിന്റെ ഘടനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ക്രിസ്റ്റലോഗ്രഫി മുതലായ രസതന്ത്രശാഖകളിൽ സ്പേസ് ഗ്രൂപ്പുകളും പോയിന്റ് ഗ്രൂപ്പുകളും തന്മാത്രകളുടെയും പരലുകളുടെയും സമമിതികൾ വിശദീകരിക്കുന്നു. ഇവയുടെ രാസ, ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ നിശ്ചയിക്കുന്നതിൽ സമമിതികൾക്ക് പ്രധാന പങ്കുണ്ട്. ഈ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള ക്വാണ്ടം ഭൗതിക പഠനം എളുപ്പമാക്കാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം സഹായിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, ചില ക്വാണ്ടം നിലകൾക്കിടയിൽ പ്രകാശിക അവസ്ഥാന്തരണം സാധ്യമല്ലെന്ന് നിലകളുടെ സമമിതികളിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ചില അവസരങ്ങളിൽ തന്മാത്രകൾക്ക് സമമിതിയിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നത് പ്രവചിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സാധിക്കുന്നു. ഉയർന്ന സമമിതിയുള്ള ചില തന്മാത്രകൾ അസ്ഥിരമായിരിക്കുമെന്നും അതിനാൽ സമമിതി കുറയ്ക്കാൻ വേണ്ടി അവ ജ്യാമിതീയഘടനയിൽ വ്യത്യാസം വരുത്തുമെന്നും ഹെർമൻ ആർതർ യാൻ, എഡ്വേഡ് ടെല്ലർ എന്നിവർ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ചു. ഈ പ്രതിഭാസത്തെ യാൻ-ടെല്ലർ പ്രഭാവം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അവസ്ഥാന്തരണത്തിന് വിധേയമാകുന്ന വസ്തുക്കളുടെ ഭൗതികസവിശേഷതകളിലെ വ്യത്യാസം പ്രവചിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സഹായം തേടാം. ഉദാഹരണമായി, ക്യൂബിക് പരലാകൃതിയിൽ നിന്ന് ടെട്രാഹെഡ്രൽ പരലാകൃതിയിലേക്ക് ഒരു വസ്തൂ മാറുമ്പോൾ അതിന്റെ സമമിതിയിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നു. പാരാഇലക്ട്രിക് അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഫെറോഇലക്ട്രിക് അവസ്ഥയിലേക്ക് ക്യൂറി താപനിലയിൽ വച്ച് പദാർത്ഥങ്ങൾക്ക് അവസ്ഥാന്തരണമുണ്ടാവുമ്പോൾ അവ ഉയർന്ന സമമിതിയുള്ള അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് താഴ്ന്ന സമമിതിയുള്ള അവസ്ഥയിലേക്കാണ് മാറുന്നത്.

കണികാഭൗതികത്തിലും സമമിതിനഷ്ടം പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നുണ്ട്. ഇത് ഗോൾഡ്സ്റ്റോൺ ബോസോണുകളുടെ ആവിർഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

മാത്യൂ ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള പരിബദ്ധ സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ കോഡിങ്ങ് സിദ്ധാന്തത്തിലും ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. സിഡി പ്ലെയറുകളിലും അയക്കുന്ന വിവരങ്ങളിലെ തെറ്റുകൾ തിരുത്തുന്നതിലും ഇത് ഉപയോഗം കാണുന്നു. ഡിഫറെൻഷ്യൽ ഗാൽവ സിദ്ധാന്തം, ജ്യാമിതീയ നിശ്ചരസിദ്ധാന്തം എന്നിവയും സമമിതിഗ്രൂപ്പുകളുടെ പ്രയോഗമേഖലകളാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ
സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ
സഹഗണം
പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം