 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാവുന്ന മിശ്രസംഖ്യകളാണ് ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ. ഇവിടെ , എന്നിവ സാധാരണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും എന്നത് -1 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലവുമാണ്. യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ പരിഷ്കരിച്ച രൂപമുപയോഗിച്ച് മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതിയിൽ ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘടകക്രിയ അനന്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.. എല്ലാ പൈതഗോറിയൻ ത്രയങ്ങളും കണ്ടുപിടിക്കാനും ഫെർമയുടെ രണ്ടു വർഗ്ഗ പ്രമേയം തെളിയിക്കാനും ഘടകക്രിയയുടെ അനന്യത ഉപയോഗിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ സഹായം കൂടാതെ തന്നെ മറ്റു വഴികളിലും ഇത്തരം പ്രമേയങ്ങൾ തെളിയിക്കാവുന്നതാണ്.

, എന്ന ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കാണാനുള്ള അൽഗൊരിതം സാധാരണ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കായുള്ള അൽഗൊരിതത്തിന് വളരെ സമാനമാണെങ്കിലും രണ്ട് വ്യത്യാസങ്ങളുണ്ട്. മുമ്പത്തെപ്പോലെത്തന്നെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ആമത്തെ പടിയിൽ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ആവർത്തനബന്ധമനുസരിക്കുന്ന എന്ന ഹരണഫലവും എന്ന ശിഷ്ടവും കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് ലക്ഷ്യം,
ഇവിടെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലെ ശിഷ്ടങ്ങൾ , എന്നിവയാണ്. ഓരോ പടിയിലും ശിഷ്ടം മുമ്പത്തേതിനെക്കാൾ കുറവായിരിക്കുകയും ചെയ്യും: . ഹരണഫലങ്ങളും ശിഷ്ടങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കു പകരം ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കും എന്നതാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കായുള്ള യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിൽ നിന്നുള്ള ആദ്യത്തെ വ്യത്യാസം.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ പല ഉപയോഗങ്ങളും ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും ഉപയോഗിക്കാം. ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കു മേൽ രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങളും ചൈനീസ് ശിഷ്ടപ്രമേയവും നിർദ്ധരിക്കുന്നതും സതതഭിന്നങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നതും ഉദാഹരണമാണ്.

ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ
ചരിത്രം
രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ
പ്രയോഗത്തിൽ