ഗുണനത്തിലും സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതം വേണം എന്നതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുനോക്കാം:
"b" പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഹരണഫലങ്ങളെ ഭിന്നകസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ Q എന്നാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഗുണനം സംക്രിയയായുള്ള ഭിന്നസംഖ്യാഗണം ഇപ്പോഴും ഒരു ഗ്രൂപ്പായിട്ടില്ല. കാരണം, ഭിന്നസംഖ്യയായ പൂജ്യത്തിന് ഗുണനവിപരിതമില്ല. അതായത്, "x" · 0 = 1 എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന "x" എന്ന ഭിന്നകമില്ലാത്തതിനാൽ (Q, ·) ഒരു ഗ്രൂപ്പല്ല.

എന്നാൽ പൂജ്യമൊഴികെയുള്ള ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗണമായ Q \ {0} = {"q" ∈ Q, "q" ≠ 0} ഗുണനത്തിനു കീഴിൽ ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു അഥവാ എന്നാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. സാഹചര്യനിയമവും തൽസമക അസ്തിത്വനിയമവും ഗുണനത്തിന്റെ പ്രത്യേകതകൾ മൂലം അനുസരിക്കപ്പെടുന്നു. പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരിക്കലും പൂജ്യമാകാത്തതിനാൽ സംവൃതിനിയമവും, "a"/"b" യുടെ ഗുണനവിപരിതം "b"/"a" ആയതിനാൽ വിപരീത അസ്തിത്വനിയമവും ഗ്രൂപ്പ് അനുസരിക്കുന്നു.

പൂജ്യമുൾപ്പെടെയുള്ള ഭിന്നകങ്ങളുടെ ഗണം സങ്കലനത്തിനുകീഴിലും ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്. ഒരേ ഗണത്തിൽ തന്നെ ഈവിധം സങ്കലനവും ഗുണനവും ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ബീജീയഘടനയായ വലയങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. Q ഗണത്തിലെപ്പോലെ വലയത്തിൽ ഹരണവും സാധ്യമാണെങ്കിൽ ബീജീയഘടനയെ ക്ഷേത്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ക്ഷേത്രങ്ങൾക്ക് അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിലും കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലും സുപ്രധാന സ്ഥാനമാണുള്ളത്. ഈ ബീജീയഘടനകളുടെ സവിശേഷതകൾ വിവരിക്കുന്നതിലും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ നിയമങ്ങൾ സഹായിക്കുന്നു.

സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ
പ്രാഥമിക ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം
സംഖ്യകൾ
ഭിന്നകങ്ങൾ