ബെസു അനന്യത ഉപയോഗിച്ച് "a", "b" എന്ന രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘയായ "g" യെ വേറൊരു തരത്തിൽ നിർവചിക്കാം. "u", "v" എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി വരുന്ന വിധത്തിൽ "ua" + "vb" എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമെടുക്കുക. "a" യും "b" യും "g" യുടെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ ഈ ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെല്ലാം തന്നെ "g" യുടെ ഗുണിതങ്ങളാണ്. "a", "b" എന്നിവയുടെ ഏത് പൊതു ഘടകത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ് — അതായത്, ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെല്ലാം തന്നെ ഏത് പൊതു ഘടകത്തിന്റെയും ഗുണിതമായി വരും. എന്നാൽ മറ്റ് പൊതു ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഉസാഘ ഈ ഗണത്തിലെ അംഗമാണെന്ന് ബെസു അനന്യത പറയുന്നു (ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൽ ബെസു അനന്യതയിലെ ഗുണോത്തരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് "u" = "s", "v" = "t" എന്നെടുത്താൽ കിട്ടുന്ന അംഗത്തിന്റെ വില "g" ആയിരിക്കും‌). "g" യുടെ ഗുണിതമാണ് ഓരോ അംഗവും എന്നതിനാൽ മറ്റ് പൊതു ഘടകങ്ങളൊന്നും ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളാവാൻ സാധിക്കില്ല. "g" യുടെ ഗുണിതങ്ങളെല്ലാം തന്നെ ഗണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്നും എളുപ്പത്തിൽ നിരീക്ഷിക്കാം, "mg" എന്ന ഗുണിതം ലഭിക്കാൻ "u" = "ms", "v" = "mt" എന്ന ഗുണോത്തരങ്ങളെടുത്താൽ മതിയാവും. ബെസു അനന്യതയെ "m" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഇത് തെളിയിക്കാം
"ua" + "vb" എന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഉസാഘയുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗണം തന്നെയാണെന്ന് ഇതുവഴി കാണാം. അതായത്, "a", "b" എന്ന സംഖ്യകളെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെക്കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് തുക കണ്ടാൽ ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗണം gcd("a", "b") യുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗണമാണ്. അതിനാൽ "a", "b" എന്നിവയുടെ ഗുണജത്തിന്റെ (ideal) ജനകമാണ് (generator) അവയുടെ ഉസാഘയായ "g". ഉസാഘയുടെ ഈ നിർവചനമാണ് ആധുനിക അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിലെ സങ്കല്പങ്ങളായ പ്രിൻസിപൽ ഗുണജങ്ങൾ (ഒറ്റ അംഗം ജനകമായുള്ള ഗുണജം), പ്രിൻസിപൽ ഗുണജ മണ്ഡലം (ഓരോ ഗുണജവും പ്രിൻസിപൽ ആയുള്ള മണ്ഡലം) എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനം.

ഈ ഫലമുപയോഗിച്ച് ചില ഗണിതപ്രശ്നങ്ങൾ നിർവചിക്കാനാകും. ഉദാഹരണമായി "a", "b" വ്യാപ്തമുള്ള രണ്ട് ഗ്ലാസുകളെടൂക്കുക. ആദ്യത്തെ ഗ്ലാസ്സിന്റെ "u" ഗുണിതങ്ങളും രണ്ടാമത്തെ ഗ്ലാസ്സിന്റെ "v" ഗുണിതങ്ങളും കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്താൽ "ua" + "vb" എന്ന തരത്തിലെഴുതാവുന്ന ഏത് വ്യാപ്തവും കൃത്യമായി അളക്കാൻ സാധിക്കും. ഈ അളവുകളെല്ലാം തന്നെ "g" = gcd("a", "b") യുടെ ഗുണിതങ്ങളാണെന്ന് കാണാം.

ഗുണജങ്ങൾ
പടികളുടെ എണ്ണം
രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ
യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം