ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ഗണിതത്തിനകത്തും പുറത്തും വളരെയേറെ ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളുമുണ്ട്. മുകളിൽ വിവരിച്ച പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പ് ഗ്രൂപ്പുകളെ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ ആദ്യപടിയാണ്. സങ്കലനത്തിനു പകരം ഗുണനം സംക്രിയയായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് ഗുണനഗ്രൂപ്പുകൾ. അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിൽ പ്രാധാന്യമുള്ള ഘടനകളുടെ അടിസ്ഥാനമാണിവ.

ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് മറ്റ് ഗണിതശാഖകളിലും പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി ആ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നത് ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളെ കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, ഹെൻറി പോങ്കാരെ ബീജീയ സംസ്ഥിതി എന്ന ശാഖക്ക് തുടക്കം കുറിച്ചത് അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം മുന്നോട്ടുവച്ചുകൊണ്ടാണ്. ഈ ആശയമുപയോഗിച്ച് സംസ്ഥിതിയിലെ സാമീപ്യം, സന്തതി മുതലായ ആശയങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താനാകുന്നു. ഉദാഹരണമായി, അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ വളയങ്ങളാണ്. വലതുഭാഗത്തെ രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം ഒരു പ്രതലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദു നീക്കിയാൽ കിട്ടുന്ന ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളായ വളയങ്ങളെ കാണിക്കുന്നു. നീല വളയത്തെ സന്തതമായി ചുരുക്കിക്കൊണ്ട് ഒരു ബിന്ദുവായി മാറ്റാമെന്നതിനാൽ അത് null-homotopic ആണ്, അതിനാൽ അപ്രധാനവും. എന്നാൽ ഓറഞ്ച് നിറത്തിലെ വളയത്ത് ഇങ്ങനെ ചുരുക്കുന്നതിൽ നിന്ന് കേന്ദ്രത്തിലെ ബിന്ദു തടയുന്നു. ബിന്ദു ഒഴിവാക്കിയ പ്രതലത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ് അനന്തവും ചാക്രികവുമാണ്. ഓറഞ്ച് വളയം (അഥവാ നീക്കപ്പെട്ട ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും ഒരു തവണ കറങ്ങുന്ന ഏതെങ്കിലും വളയം) ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകമാണ്. അതായത്, അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിന് പ്രതലത്തിലെ തുള കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.

ബഹിർവലയഗ്രൂപ്പുകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെ പഠിക്കാൻ ജ്യാമിതീയ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്ന ശാഖ ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളെ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ബീജീയജ്യാമിതി, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം എന്നിവ ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ശാഖകളാണ്.

മേല്പറഞ്ഞ ശാഖകളിലേതുപോലെ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് സൈദ്ധാന്തികപ്രാധാന്യം മാത്രമല്ല ഉള്ളത്. അമൂർത്ത ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളെയും കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ അൽഗൊരിതങ്ങളെയും പ്രായോഗികതലത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ശാഖയാണ് ഗൂഢശാസ്ത്രം. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളാണ് ഗൂഢശാസ്ത്രത്തിൽ കൂടുതലായി കൈകാര്യം ചെയ്യപ്പെടുന്നത്.

ഗണിതത്തിനു പുറമെ ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് എന്നീ ശാസ്ത്രശാഖകളിലും വിവിധ ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളും
കൂടുതൽ ഘടനയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾ
ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ
ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണം : പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ