Arithmetical Functions and Lattice Points

അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ മൂല്യത്തിൽ ആധാരസംഖ്യയുടെ വലിപ്പച്ചെറുപ്പമനുസരിച്ചുണ്ടാകുന്ന മാറ്റങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനം ഈ ശാഖയിലെ പ്രധാന വശമാണ്. n-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞതും n-നോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യവുമായ പൂർണ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, അതായത് ø (n), n-നേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുമെന്നത് വളരെ എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാം: ø(n) < n ഈ അസമതാവാക്യത്തെ മെച്ചപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അതുപോലെ d(n) എന്ന ഘടകഫലന (divisor function) ത്തിന്റെ മൂല്യം, n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോൾ, 2 ആണ്; അതായത് d(n)-ന്റെ അല്പതമ സീമ 2. σ(n), μ(n),&gama; (n) എന്നീ അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളും ഇവയുടെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങളും പഠനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്. അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറിയിലെ ഏറ്റവും മൌലികമായ പ്രശ്നം അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി (Prime Number Theorem) എന്നതാണ്. ഓയിലർ, സീഗൽ, ഷെബിഷെഫ്, ലാന്റോ, സെൽബർഗ്, വിനഗ്രഡോഫ് എന്നിവരെല്ലാം ഈ പ്രമേയത്തിനു ഭേദഗതികൾ നല്കിയിട്ടുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യാ ശ്രേണി അനന്തമായി തുടരുന്നു. അതിനാൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു ക്ളിപ്തസംഖ്യയ്ക്കു താഴെ എത്ര അഭാജ്യസംഖ്യകളുണ്ടായിരിക്കുമെന്നു മനസ്സിലാക്കേണ്ടതാവശ്യമായി വരുന്നു. ഇതിനൊരു ഫോർമുല തീർക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ ഏകദേശനിലയിൽ തിട്ടപ്പടുത്താൻ ശ്രമം നടന്നു. ഇതിന്റെ ഫലമായിട്ടാണ് ഈ പ്രസിദ്ധമായ പ്രമിതി രൂപപ്പെട്ടത്. f(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനം ആണെങ്കിൽ താഴെയുള്ള

F(N)=Σf(n)

എന്ന ആകെത്തുകയ്ക്ക് ആകലനഫലനം (summatory function) എന്നു പറയാം. അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ ഗതിവിഗതികൾ പഠിക്കാൻ ആകലനഫലനവും അതിന്റെ ശരാശരി ഫലനവും (average function) ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ചില അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങൾക്കു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനങ്ങളുണ്ട്. എളുപ്പത്തിൽ ഗ്രഹിക്കാവുന്ന ജ്യാമിതീയ മാർഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ വിശ്ളേഷണ പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം കാണാൻ കഴിയും. n-മാന യുക്ളീഡിയ പ്രതലത്തിലെ (n-Dimensional Euclidean Space) പൂർണ സംഖ്യാനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുള്ള (Integer co-ordinates) ബിന്ദുവാണ് ജാലികബിന്ദു. ഒരു പ്രത്യേക തലത്തിലെ ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ ഗതിവിഗതികൾ തിട്ടപ്പെടുത്താൻ കഴിയും.

വിഗണസംഖ്യകൾ -ഗണസംഖ്യകൾ-ഏകദേശനം
ജാലികബിന്ദു ഫലനം
അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി
അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങളും ജാലിക ബിന്ദുക്കളും