മുകളിൽ കൊടുത്തിട്ടുള്ള "എളുപ്പത്തിൽ" എന്ന വാക്ക് കുറച്ചുകൂടി വിശദീകരിയ്ക്കണം. തന്നിട്ടുള്ള ഒരു പണി എളുപ്പത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കുക എന്നാൽ ആ പണി ചെയ്യാൻ "ബഹുപദ" (polynomial) സമയസങ്കീർണതയുള്ള ഒരു വഴി (അൽഗോരിതം) ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിന്റെ അർത്ഥം. ബഹുപദം എളുപ്പമാണെങ്കിൽ എന്താണ് കഠിനം? ഈ പ്രശ്നം ചർച്ച ചെയ്യുന്ന ചുറ്റുപാടിൽ ഉളവാകുന്ന മറ്റൊരു സങ്കീർണതാ ടൈപ്പ് എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ സങ്കീർണതയാണ്. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളെ "കഠിനമായ" പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നു വിളിയ്ക്കുന്നു. ബഹുപദസങ്കീർണതയോടെ പരിഹരിയ്ക്കാൻ സാധിയ്ക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഗണത്തെ P ക്ലാസ് അഥവാ P ടൈപ്പ് പ്രശ്നങ്ങൾ എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത്തരത്തിൽ ബഹുപദ സങ്കീർണതയോടെ പരിഹരിയ്ക്കാൻ സാധിയ്ക്കാത്ത ചില പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഇവയിൽ (കഠിനപ്രശ്നങ്ങളിൽ ചിലതിനെ, എല്ലാത്തിനെയും അല്ല) ചിലതിന്റെ ഉത്തരങ്ങൾ കിട്ടിയാൽ അവ ശരിയാണോ എന്ന് ബഹുപദ സങ്കീർണതയോടെ തന്നെ "ഒത്തു നോക്കാൻ" കഴിഞ്ഞേക്കും. അതായത് ചില കഠിന പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയാണോ എന്ന് നോക്കൽ എളുപ്പമാണ്. ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഗണത്തെ NP ക്ലാസ് പ്രശ്നങ്ങൾ എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു. നോൺ-ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് പോളിനോമിയൽ ടൈം എന്നാണ് NP എന്നതിന്റെ മുഴുവൻ രൂപം.

സുഡോകു കളി ഉദാഹരണമായി എടുക്കുക. ഒരു സുഡോകു ബോർഡിൽ വിവിധ സംഖ്യകൾ നിറച്ച് ആരെങ്കിലും തന്നാൽ അത് ശരിയാണോ എന്ന് നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിയ്ക്കാം. ഓരോരോ വരിയും നിരയും പരിഗണിച്ചു അവയിലെ അക്കങ്ങൾ എല്ലാം പത്തിൽ താഴെ ആണെന്നും അവ ഒന്നും തന്നെ ആവർത്തിയ്ക്കുന്നില്ല എന്ന് കണ്ടെത്തിയാൽ മതി. എത്ര വരിയും നിരയുമുണ്ടോ അത്രയ്ക്കും ചെക്കുകൾ നടത്തിയാൽ മാത്രം മതി. അതായത് ഒരു സുഡോക്കുവിന്റെ ഉത്തരം ശരിയാണോ എന്ന് ചെക്ക് ചെയ്യാനുള്ള അൽഗോരിതത്തിന്റെ സമയ സങ്കീർണത സുഡോകു കളത്തിന്റെ വലിപ്പത്തിന് രേഖീയ അനുപാതത്തിൽ ആണ്. എന്നാൽ ഇത്തരം ഒരു ബോർഡ് തന്നാൽ അതിന്റെ ശരിയായ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിയ്ക്കാനുള്ള ഏറ്റവും മികച്ച അൽഗോരിതം പോലും എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ സമയം എടുക്കും. അതായത് സുഡോകു ഇപ്പോൾ NP ക്ലാസ്സിൽ പെട്ട ഒരു പ്രശ്നമാണ് (പരിഹരിയ്ക്കാൻ കഠിനം, എന്നാൽ ഉത്തരം കിട്ടിയാൽ ശരിയാണോ എന്ന് നോക്കാൻ എളുപ്പം). ഇത് ഇപ്പോൾ P ക്ലാസ്സിൽ പെടുന്നില്ല. 

ഇത്തരത്തിൽ എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരം ചെക്ക് ചെയ്യാൻ പറ്റുന്ന, എന്നാൽ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിയ്ക്കാൻ പറ്റാത്ത ആയിരക്കണക്കിന് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഇതിൽ ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിനെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിയ്ക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ ഈ ഗണത്തിലെ മറ്റെല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളെയും എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിയ്ക്കാൻ സാധിയ്ക്കും എന്ന ഗവേഷകർ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഈ പ്രത്യേകതയെ NP കമ്പ്ലീറ്റ്നെസ് എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു. ദശാബ്ദങ്ങളായി ഇവയ്ക്ക് ബഹുപദ സങ്കീർണതയുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമം നടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും ഇതു വരെ ഒന്നും കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല. അതിനാൽ ഇത്തരം അൽഗോരിതങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ സാധ്യമല്ല എന്ന് ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിശ്വസിയ്ക്കുന്നു. എന്നാൽ സാധ്യമല്ല എന്ന് തെളിയിയ്ക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

മുകളിൽ കൊടുത്തിട്ടുള്ള വിവരണത്തിൽ നിന്നും "P" ക്ലാസ് പ്രശ്നങ്ങൾ എല്ലാം തന്നെ "NP" പ്രശ്നങ്ങൾ തന്നെയാണെന്ന് കാണാം. അതായത് ബഹുപദ സങ്കീർണതയുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ എല്ലാം തന്നെ ബഹുപദ സങ്കീർണതയോടെ തന്നെ ഒത്തുനോക്കാൻ സാധിയ്ക്കുമല്ലോ. എന്നാൽ എല്ലാ "NP" പ്രശ്നങ്ങളും ഇപ്പോഴത്തെ അറിവ് വെച്ച് "P" ക്ലാസ്സിൽ പെടുന്നില്ല. ഇതിനെ ഗണിതശാസ്‌ത്രപരമായി ഇങ്ങനെ എഴുതാം.

P ⊆ NP -> ഇത് നമുക്കറിയാം

NP ⊆ P -> ഇത് നമുക്കറിയില്ല

ഗണസിദ്ധാന്തത്തിൽ രണ്ടു ഗണങ്ങൾ തുല്യമാകണമെങ്കിൽ ഈ രണ്ടു ഉപഗണബന്ധങ്ങളും സത്യവാക്യം ആയിരിയ്ക്കണം. ഈ രണ്ടു ബന്ധങ്ങളെയും അനുബന്ധമായ ചോദ്യത്തെയും ചുരുക്കി ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു:

P = NP?

ഇതാണ് "പി വേഴ്സസ് എൻ പി പ്രശ്നം" എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

P = NP? എന്ന പ്രശ്നത്തിന് അതേ എന്നാണ് ഉത്തരം എങ്കിൽ സുഡോകു പോലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിയ്ക്കാനുള്ള ബഹുപദ സങ്കീർണതയുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ ലഭിയ്ക്കും. അല്ല എന്നാണെങ്കിൽ ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരിയ്ക്കലും എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിയ്ക്കാൻ പറ്റില്ല എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ സാധിയ്ക്കും.

അനന്തരഫലങ്ങൾ
ആദ്യകാല രൂപങ്ങൾ
തെളിവിനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ
വിവരണം