സമതലത്തെ ആസ്പദമാക്കി, അതായത് R എന്ന തലത്തെ സംബന്ധിച്ച്, ഈ തത്ത്വം തെളിയിക്കുന്ന മാർഗ്ഗം ഉപയോഗിച്ചു തന്നെ സാമാന്യമായ യൂക്ളിഡിയാതലങ്ങൾക്കും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ഇതിന്റെ പ്രണേതാക്കൾ ബോൽസാനോ, വെയർസ്റ്റ്രോസ് എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ്.

R-എന്ന n-മാനതലത്തിലെ ഓരോ ബന്ധിത (bounded) അനന്തഗണത്തിനും ഒരു സീമാബിന്ദുവെങ്കിലുമുണ്ട്.

A എന്ന ഗണം ബന്ധിതമായതിനാൽ അതുൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സംവൃത സമചതുരം (S) കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഈ ചതുരത്തെ നാലു തുല്യ സമചതുരങ്ങളായി തിരിക്കാം (ചിത്രം 2). ഇതിൽ ഏതെങ്കിലുമൊരു ചതുരത്തിന് (S), A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളാൻ കഴിയും. A അനന്തമായതിനാൽ ഇതു സാധ്യമാണ്. S-നെ വീണ്ടും നാലു തുല്യഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കുക. ഇവയിലൊന്നിൽ A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ലഘുചതുരം തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം. അങ്ങനെ S, S, S, S ... എന്നു ചുരുങ്ങിവരുന്ന ഗണങ്ങളുടെ അനുക്രമം ഉണ്ടാകുന്നു. n വർധിപ്പിച്ചുകൊണ്ടു പോയാൽ S- എന്ന ചതുരത്തിന്റെ വശം ചെറുതായി വരികയും സീമ 0 ആയിത്തീരുകയും ചെയ്യും. S-ൽ നിന്ന് (a,b) എന്നൊരു ബിന്ദു, S-ൽ നിന്നു മറ്റൊരു ബിന്ദു (a, b), S-ൽ നിന്നു (a, b) അങ്ങനെ S-ൽ നിന്നു (a, b) (ഈ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്) എന്നിവ ക്രമത്തിലെടുത്താൽ അത് ഒരു കോഷി അനുക്രമമായിരിക്കും. S-ന്റെ വശത്തിനു സീമ 0 ആയിരിക്കുന്നതാണ് അതിനു കാരണം. അതുകൊണ്ട് (a,b) എന്നൊരു ബിന്ദു Rതലത്തിലുണ്ടാകുന്നു.അതിനുള്ളവ്യവസ്ഥ n സീമ →∞(a,b), = (a, b) എന്നതാണ്. N ((a, b), ε) എന്ന ഓരോ സാമീപ്യത്തിലും A യിലെ (a,b) എന്നീ അനന്തം വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ, (a, b) എന്ന ബിന്ദു A യുടെ സീമാബിന്ദുവാണ് (ചിത്രം 2).

ബോൽസാനോ-വെയർസ്റ്റ്രോസ് തത്ത്വം
സ്വഭാവം
കോഷി അനുക്രമങ്ങൾ
ഏകദിഷ്ടഫലനങ്ങൾ