Lattice Point Function

ഒരു പൂർണസംഖ്യ(n)യെ രണ്ടു പൂർണസംഖ്യകളുടെ വർഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി ഏതേതുവിധത്തിലെല്ലാം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്നതിന്റെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഈ ഫലനം. γ(n) എന്നാണിതിന്റെ ചിഹ്നം. അതായത്, x+y = n എന്ന സമവാക്യം x, y, n എന്നിവ പൂർണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം നിർധാരണം ചെയ്യാവുന്നതിന്റെ എണ്ണം γ(n). ഉദാ. 1 = (+1) + 0 =0 + (+-1). അതുകൊണ്ട് γ(1) = 4. γ(n) ഗുണനാത്മകഫലനം (multiplicative function) അല്ല. നോ: അങ്കഗണിതഫലനം

ചില സംഖ്യകളെ (n), n = x + y എന്ന രൂപത്തിൽ n, x, y പൂർണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴികയില്ല. അതുകൊണ്ട് γ(n) ചുരുങ്ങിയത് പൂജ്യം ആകാം. അതായത് 

k n-നെ ആശ്രയിക്കാത്ത ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ. γ(n)-ന്റെ ഈ അളവുമാനത്തെക്കാൾ (order of magnitude) പഠനവിധേയത്വമുള്ളത് R(N)എന്നൊരു ഫലനമാണ്. x + y = N എന്ന വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയിൻമേലും അകത്തും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണമാണ് R(N) സൂചിപ്പിക്കുന്നതെന്ന് ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ വഴി മനസ്സിലാക്കാം. ഏകദേശം ആ വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണം ആയിരിക്കും R(N).

ഓയിലർ ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം
ജാലികബിന്ദു ഫലനം
മോബയസ് ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം
ഗോസ് തിയറം