ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ മേൽ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ നിർവചിക്കാനാകും. ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പിനെ ഘടകഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ഹരണഫലഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. "G" യുടെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് "N" എന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഘടകഗ്രൂപ്പിനെ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കാം:
"G" ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് പകർന്നുകിട്ടുന്ന സഹഗണ ഗുണനം (അഥവാ സഹഗണ സങ്കലനം‌) ആണ് ഘടകഗ്രൂപ്പിലെ സംക്രിയ: ("gN") • ("hN") = ("gh")"N". ഈ സംക്രിയ വ്യക്തമായി നിർവചിതമായിരിക്കുന്നത് ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാവുമ്പോൾ മാത്രമാണ്.

ഏതൊരംഗത്തെയും അതിന്റെ സഹഗണത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്ന ഫലനമായ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതയായിരിക്കാൻ വേണ്ടിയാണ് സംക്രിയ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കുന്നത്. "eN " = "N" എന്ന സഹഗണമാണ് ഘടകഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം, "gN" എന്ന അംഗത്തിന്റെ വിപരീതം ("gN") = ("g")"N" എന്ന അംഗവും.

ഉദാഹരണമായി, എന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പെടുക്കുക. ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ "R" തന്നെയും "U" = f"R" എന്ന സഹഗണവുമാണ്. ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക വലതുഭാഗത്ത് കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. "R" = {id, r, r, r} എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പും അതിന്റെ ഘടകഗ്രൂപ്പും ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണ്, എന്നാൽ മാതൃഗ്രൂപ്പായ "D" ക്രമഗ്രൂപ്പല്ല. "R", എന്നീ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ നിന്ന് "D" നെ നിർമ്മിക്കുന്നതുപോലെ ചെറിയ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ നിന്ന് വലിയ ഗ്രൂപ്പുകളെ നിർമ്മിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന അമൂർത്ത ആശയമാണ് അർദ്ധനേർ ഉല്പന്നം.

ഉപഗ്രൂപ്പുകളെയും ഘടകഗ്രൂപ്പുകളെയുമുപയോഗിച്ച് ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിനെയും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ വഴി വർണ്ണിക്കാവുന്നതാണ്. ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പും അതിന്റെ ജനകങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്രഗ്രൂപ്പിനെ അതിന്റെ ബന്ധങ്ങളുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൊണ്ട് ഹരിച്ചുകിട്ടുന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പാണ്. D എന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകങ്ങൾ "r" എന്ന ഒരു 90° പരിക്രമണവും "f" എന്ന ഒരു പ്രതിഫലനവുമാണ് (ഉദാഹരണമായി, "r" = r, "f" = f എന്നെടുക്കാം) - അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റേതംഗത്തെയും ഈ അംഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ വിപരീതങ്ങളുടെയും മേൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ പ്രയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ അംഗങ്ങളോടൊപ്പം
എന്ന ബന്ധങ്ങളും കൂടി ഉപയോഗിച്ചാൽ ഗ്രൂപ്പിനെ പൂർണ്ണമായി വർണ്ണിക്കാം. ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാനും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സാധിക്കും.

ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ
ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളും
രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം : ഒരു സമമിതിഗ്രൂപ്പ്
ഗ്രൂപ്പ് : നിർവചനം