ബെർട്രാന്റിന്റെ ബാലറ്റ് പ്രശ്നം നിർദ്ധരിക്കാനായി ആദ്യം ഉപയോഗിച്ച "ആന്ദ്രേയുടെ പ്രതിഫലന സൂത്രം" അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ഈ തെളിവ് (ദെസിരെ ആന്ദ്രേയുടെ പേരിലാണറിയപ്പെടുന്നതെങ്കിലും ഈ രീതി കണ്ടെത്തിയത് ഏബ്ലിയും മിറിമാനോഫുമാണ്).

"n" × "n" ജാലികയുടെ വികർണ്ണത്തിൽ തുടങ്ങുകയും അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന പഥങ്ങൾ എണ്ണിത്തിട്ടപ്പെടുത്താം. ഓരോ പഥത്തിലും വലത്തേക്കും മുകളിലേക്കും "n" വീതം ചുവടുകളുണ്ട്. ആകെയുള്ള 2"n" ചുവടുകളിൽ ഏതൊക്കെ വലത്തോട്ടും മുകളിലേക്കും എടുക്കണമെന്നുള്ളത് നമുക്ക് സ്വതന്ത്രമായി തീരുമാനിക്കാമെന്നതിനാൽ ആകെ formula_16 ഏകതാനമായ പഥങ്ങളുണ്ടെന്ന് വരുന്നു. അസാധുവായ ഓരോ പഥവും വികർണ്ണം മുറിച്ചുകടന്ന് അതിനു തൊട്ടുമുകളിലായി സമാന്തരമായുള്ള രേഖയിലെത്തുന്നു (ചിത്രത്തിലെ ചുവന്ന മുറിയാത്ത വരകൾ). അതിനുശേഷമുള്ള പഥത്തിന്റെ ഭാഗം ഈ രേഖയ്ക്കു (ഇതിനെ "നിർണ്ണായക രേഖ" എന്നു വിളിക്കാം) കുറുകെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കാം (ചുവന്ന മുറിഞ്ഞ വരകൾ). മുകളിലേക്കും വലത്തോട്ടുമുള്ള ചുവടുകളെ പരസ്പരം മാറ്റുന്നതിന് തുല്യമാണിത്. പഥത്തിന്റെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കാത്ത ഭാഗത്ത് വലത്തോട്ടുള്ളതിനെക്കാൾ മുകളിലേക്ക് ഒരു ചുവട് കൂടുതലുണ്ടായിരുന്നു, അതിനുശേഷമുള്ള ഭാഗത്ത് ഒരു ചുവട് കുറവും. രണ്ടാമത്തെ ഭാഗം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുമ്പോൾ മുകളിലേക്ക് വലത്തോട്ടുള്ളതിനെക്കാൾ ആകെ രണ്ട് ചുവടുകൾ അധികമുണ്ടെന്നു വരുന്നു. അതായത്, മുകളിലേക്ക് ആകെ "n" + 1 ചുവടുകളും വലത്തേക്ക് ആകെ "n" - 1ഉം. പ്രതിഫലിപ്പിച്ച ശേഷം പഥം അതിനാൽ അവസാനിക്കുക ("n" − 1, "n" + 1) എന്ന ബിന്ദുവിലാണ്. ഈ ബിന്ദുവിൽ അവസാനിക്കുന്ന എല്ലാ പഥങ്ങളും നിർണ്ണായകരേഖ മുറിച്ചുകടക്കണം എന്നതിനാൽ അസാധുവായ പഥങ്ങൾക്കും ("n" − 1, "n" + 1)ൽ അവസാനിക്കുന്ന പഥങ്ങൾക്കുമിടയിൽ ഒരു ഉഭയക്ഷേപം ലഭിക്കുന്നു. അസാധുവായ പഥങ്ങളുടെ എണ്ണം അതിനാൽത്തന്നെ
ആണെന്നു വരുന്നു. ആകെ പഥങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് ഈ സംഖ്യ കുറച്ചാൽ കാറ്റലാൻ പഥങ്ങളുടെ എണ്ണം ലഭിക്കുന്നു
ഇങ്ങനെ ഉഭയക്ഷേപമുപയോഗിച്ചും കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളുടെ സൂത്രവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇതിനുപുറമെ ജാലികയിലെ പഥങ്ങളുപയോഗിച്ചും ഡൈക്ക് വാക്കുകളുപയോഗിച്ചും മറ്റനേകം ഉഭയക്ഷേപ തെളിവുകളുണ്ട്.

ചരിത്രം
ഹാൻകെൽ മാട്രിക്സ്
ഉഭയക്ഷേപം
സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ തെളിവ്