Mean value theorem

മാധ്യമൂല്യതത്ത്വത്തിന്റെ മുന്നോടിയായി ചില വ്യവസ്ഥകൾ ക്കനുസരിച്ച് f എന്ന ഫലനത്തിന്റെ വ്യുത്പന്നം പൂജ്യമാകുന്ന ഘട്ടമാണ് റോൾ തത്ത്വത്തിൽ (Rolle's Theorem) പ്രതിപാദിക്കുന്നത്; (a, b) എന്ന വിവൃതാന്തരാളത്തിലെ ഏത് സാമാന്യബിന്ദുവായ x-നും f '(x) ഉണ്ടായിരിക്കുക; [a b ] എന്ന സംവൃതാന്തരാളത്തിൽ f അവിച്ഛിന്നമായിരിക്കുക; f(a), f(b) എന്നിവ തുല്യമായിരിക്കുക - ഈ വ്യവസ്ഥിതിയിൽ f '(z) പൂജ്യമാകുന്ന വിധം (a, b) ൽ z എന്നൊരു ബിന്ദുവുണ്ടായിരിക്കും. ഇതാണ് റോൾ തത്ത്വം. ഇതിലെ ആദ്യത്തെ രണ്ടു വ്യവസ്ഥകൾ മാത്രമായാൽ,

f'(z) = f(b)-f(a)/b-a

ആയിരിക്കുന്ന വിധം (a, b) എന്ന വിവൃതാന്തരാളത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ബിന്ദു (z) ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതാണ് മാധ്യമൂല്യതത്ത്വം. സാമാന്യവത്കരിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഈ തത്ത്വത്തിന് ധാരാളം വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്. ഒരു പൊതുതത്ത്വം ഇവിടെ ചേർക്കാം. f(x), g(x) എന്നിവ (a, b)-ൽ അവകലനക്ഷമവും (അതായത് f '(x), g'(x) ഉണ്ടായിരിക്കുക) a, b എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ f അവിച്ഛിന്നവുമാണെങ്കിൽ, (a, b)-യിലെ ഏതു x-നും g' (x) പൂജ്യമല്ലാത്തിടത്

f'(z)/g'(z) =f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

ആയിരിക്കുന്നവിധം (a,b)-ൽ ഒരു ബിന്ദു (z) ഉണ്ടായിരിക്കും. f(a), g(a) എന്നിവ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ

f'(z) / g'(z) = f(b)/ g (b)

ആയിത്തീരും.

ഇവിടെ a,x എന്നിവയ്ക്കിടയിലാണ് z അതുകൊണ്ട് x a-യിലേക്ക് അടുക്കുമ്പോൾ z എന്ന ചരവും aയെ സമീപിക്കുന്നു.

ആന്തരബിന്ദുക്കളും അതിർത്തിബിന്ദുക്കളും
ക്രമം
വ്യുത്പന്നങ്ങളുടെ മാധ്യമൂല്യതത്ത്വം
വാസ്തവിക സംഖ്യകൾ