ഗ്രൂപ്പുകൾ ഗുണനരീതിയിൽ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ അംഗങ്ങളെ ഹരിക്കാൻ സാധിക്കുന്നതാണ്. "a", "b" എന്നിവ "G" എന്ന ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ "x" • "a" = "b" എന്ന സമവാക്യം ശരിയാകുന്ന വിധത്തിൽ "x" എന്ന ഒറ്റ അംഗം മാത്രമേ "G" യിൽ ഉണ്ടാകൂ. സമവാക്യത്തെ വലതുഭാഗത്ത് "a" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഈ അംഗം ലഭിക്കുന്നതാണ് : "x" = "x" • "a" • "a" = "b" • "a". ഇതുപോലെ "a" • "y" = "b" എന്ന സമവാക്യത്തിനും "y" = "a" • "b" എന്ന ഒറ്റ നിർദ്ധാരണം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ഇവിടെ "x", "y" എന്നിവ തുല്യമായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല.

"g" എന്ന ഗ്രൂപ്പ് അംഗത്തെക്കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഒരു ഉഭയക്ഷേപഫലനമാണെന്നതാണ് ഇതിന്റെ പരിണതഫലം. "G" യിലെ ഒരംഗമാണ് "g" എങ്കിൽ "h" ∈ "G" യെ "g" • "h" ലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്ന, "G" യിൽ നിന്ന് അതിലേക്കുതന്നെയുള്ള ഉഭയക്ഷേപഫലനമാണ് "left translation". അതുപോലെ "h" നെ "h" • "g" ലേക്കു കൊണ്ടുപോകുന്ന ഉഭയക്ഷേപഫലനമാണ് "right translation". "G" ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പാണെന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഈ രണ്ട് ഫലനങ്ങളും തുല്യമാണ്.

ചരിത്രം
ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകൾ
ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ
ഹരണം