ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ചെറിയ ഗ്രൂപ്പിനെയാണ് ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണം ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയയോട് ചേർക്കുമ്പോൾ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അതൊരു ഉപഗ്രൂപ്പാകുന്നു. "H" എന്നത് "G" യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ "G" യുടെ തൽസമകം "H" ൽ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും "h", "h" എന്നിവ "H" ലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ , "h" എന്നിവയും "H" ന്റെ അംഗങ്ങളാവുകയും ചെയ്യും.

മുകളിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ തൽസമകവും പരിക്രമണങ്ങളും ചേർന്ന ഉപഗണം "R" = {id, r, r, r} ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. ഇത് കെയ്ലി പട്ടികയിൽ ചുവപ്പുനിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു : രണ്ട് പരിക്രമണങ്ങൾ ഒന്നിനുപിറകെ ഒന്നായി ചെയ്താലുള്ള ഫലം ഒരു പരിക്രമണമായിരിക്കും, ഓരോ പരിക്രമണത്തെയും മറ്റൊരു പരിക്രമണം കൊണ്ട് തിരസ്കരിക്കാനും സാധിക്കും. "H" എന്ന അശൂന്യ ഉപഗണം "G" എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ "ഉപഗ്രൂപ്പ് പരിശോധന" ഉപയോഗിക്കാം : "g", "h" ∈ "H" ആവുന്ന അവസരങ്ങളിലെല്ലാം ആണെങ്കിലാണ് "H" ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാകുന്നത്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് ജാലിക കണ്ടെത്തുന്നത് അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു.

"S" എന്നത് "G" എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗണമാണെങ്കിൽ "S" ലെ അംഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ വിപരിതങ്ങളുടെയും ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രമടങ്ങിയ ഉപഗ്രൂപ്പിനെ "S" ജനിപ്പിക്കുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്നും "S" നെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകം എന്നും വിളിക്കുന്നു. "S" ലെ അംഗങ്ങളെയെല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ ഉപഗ്രൂപ്പാണിത്. ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ r, f എന്നീ അംഗങ്ങളടങ്ങിയ ഉപഗണം ജനിപ്പിക്കുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് ഈ അംഗങ്ങൾക്ക് പുറമെ തൽസമകമായ id യെയും f = f • r എന്ന അംഗത്തെയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈ നാല് അംഗങ്ങൾ ചേർന്ന ഉപഗണം D ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കാണാൻ സാധിക്കും.

ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾ
സഹഗണം
ഉപഗ്രൂപ്പ്
കൂടുതൽ ഘടനയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾ