യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിൽ ഒരേ ക്രിയ തന്നെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ അവസാനം വരെ കറേ തവണ ആവർത്തിക്കുന്നു. ഓരോ ക്രിയയുടെയും ഫലം അടുത്ത പടിയിൽ ഉപയോഗിക്കും. ഇതുവരെ ചെയ്ത ക്രിയകളുടെ എണ്ണം "k" ആണെന്നെടുക്കുക. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ "k" = 0 ആയിരിക്കും, അടുത്ത പടിയിൽ "k" = 1 അങ്ങനെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്നു.

ഓരോ ക്രിയയുടെയും ഇൻപുട്ട് "r", "r" എന്ന രണ്ട് ശിഷ്ടങ്ങളാണ്, ഇവ രണ്ടും ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകളോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കും. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഓരോ പടിയിലും ശിഷ്ടങ്ങൾ കുറഞ്ഞുവരുന്നതിനാൾ "r" അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ "r" നെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണമായി "q" എന്ന ഹരണഫലവും "r" എന്ന ശിഷ്ടവും കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് "k"ആമത്തെ പടിയുടെ ലക്ഷ്യം.
ഈ നിർദ്ധാരണത്തിൽ "r" < "r" ആയിരിക്കുകയും വേണം. മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഫലം "r"ൽ കുറവാകുന്നതു വരെ "r"ൽ നിന്ന് "r" കുറയ്ക്കുന്നു. ഇതിന്റെ അവസാനം കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ് "r".
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ("k" = 0) ശിഷ്ടങ്ങളായ "r", "r" എന്നിവ ഉസാഘ കാണേണ്ട സംഖ്യകളായ "a", "b" എന്നിവയായിരിക്കും. അടുത്ത പടിയിൽ ("k" = 1) "b"യും മുൻപത്തെ പടിയിലെ ഫലമായ "r" യുമാണ് ശിഷ്ടങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കുക. ഇങ്ങനെ നമുക്ക് അൽഗൊരിതത്തെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയായി എഴുതാം
"a" തുടക്കത്തിൽ "b" യെക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ പടി അവയെ പരസ്പരം വച്ചുമാറ്റുക മാത്രമേ ചെയ്യൂ. ഈ ക്രിയയുടെ ഫലങ്ങളായ ഹരണഫലം "q" പൂജ്യവും ശിഷ്ടം "r" "a"യും ആയതിനാലാണിത്. അതിനാൽ "k" ≥ 0 ആകുമ്പോഴൊക്കെ ശിഷ്ടം "r" അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ "r" നെക്കാൾ ചെറുതാണെന്നു വരുന്നു. ശിഷ്ടങ്ങൾ ഓരോ പടിയിലും ചെറുതാവും, എന്നാൽ ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിൽ കുറവാവുകയുമില്ല എന്നതിനാൽ ഒടുവിൽ ശിഷ്ടം "r" പൂജ്യമാവുന്ന അവസ്ഥയുണ്ടാവണം. അതോടെ അൽഗൊരിതം അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. പൂജ്യത്തിനു തൊട്ടുമുമ്പ് ലഭിച്ച ശിഷ്ടമായ "r" ആണ് "a", "b" എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ. തുടക്കത്തിലെ ശിഷ്ടമായ "r"നും "r"നും ഇടയിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായതിനാൽ "N" ഒരിക്കലും അനന്തമാവുകയില്ല.

ബഹുപദങ്ങൾ
നടപടിക്രമം
തെളിവ്
ചൈനീസ് ശിഷ്ട പ്രമേയം