യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം പ്രയോഗിക്കുന്ന മിക്ക അവസരങ്ങളിലും ബെസു അനന്യത അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുന്ന രീതി അനന്യമാണെന്ന അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം ഇതിന്നുദാഹരണമാണ്.

"L" എന്ന സംഖ്യ "u", "v" എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമാണെന്നു കരുതുക. അതായത്, "L" = "uv". ഇനി "w" എന്ന മറ്റൊരു സംഖ്യ "L" ന്റെ ഘടകമാണെന്നു കരുതുക. "u" വിനോട് സഹ അഭാജ്യമാണ് "w" എങ്കിൽ അത് "v" യുടെ ഘടകമായിരിക്കണം എന്ന് ഇപ്രകാരം തെളിയിക്കാം: "u", "w" എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ 1 ആയതിനാൽ ബെസു അനന്യത ഉപയോഗിച്ച് 
എന്ന സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണമായി "s", "t" എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കാനാകും. സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടു ഭാഗവും "v" കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ
എന്ന് ലഭിക്കുന്നു. വലതുഭാഗത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളും "w" ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ ഇടതുഭാഗമായ "v" യും "w" ന്റെ ഗുണിതമാണെന്നു വരുന്നു. ഈ ഫലം യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രമേയിക എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഇതിൽ നിന്നും, ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ "L" ന്റെ ഘടകമാണെങ്കിൽ "L" ന്റെ ഒരു ഘടകമെങ്കിലും ആ അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ ഗുണിതമായിരിക്കണം എന്നു കാണാം. നേരെമറിച്ച്, "w" എന്ന സംഖ്യ "a", "a", …, "a" എന്നിവയോടെല്ലാം സഹ-അഭാജ്യമാണെങ്കിൽ "w" അവയുടെ ഗുണനഫലമായ "a" × "a" × … × "a" നോടും സഹ-അഭാജ്യമാണെന്നു വരുന്നു.

യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രമേയിക ഉപയോഗിച്ച് ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഘടകക്രിയ അനന്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാം. ഇങ്ങനെയല്ല, "L" നെ "m", "n" വീതം ഘടകങ്ങളുള്ള രണ്ട് രീതികളിൽ ഘടകക്രിയ ചെയ്യാം എന്ന് കരുതുക
"p" എന്ന ഓരോ അഭാജ്യസംഖ്യയും "L" ന്റെ ഘടകമായതിനാൽ അത് "q" ഘടകങ്ങളിലൊന്നിന്റെയും ഘടകമായിരിക്കണം. എന്നാൽ "q" യും ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയായതുകൊണ്ട് "p" = "q" എന്ന് വരുന്നു. ഇങ്ങനെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളെയെല്ലാം ഓരോന്നോരോന്നായി ജോടികളാക്കിയ ശേഷം "L" ൽ നിന്ന് ഹരിച്ചെടുത്ത് ഈ പ്രക്രിയ തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഘടകങ്ങളൊന്നും ബാക്കിയാവില്ലെന്നു കാണാം. അതായത്, അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ വ്യതാസമുണ്ടാകാമെന്നതൊഴിച്ചാൽ ഏതു സംഖ്യയെയും അഭാജ്യസംഖ്യകളായി ഘടകക്രിയ ചെയ്യുന്ന രീതി അനന്യമാണ്. ഈ ഫലം ഗണിതത്തിലെ ഒട്ടേറെ തെളിവുകളിൽ പ്രധാന പങ്കു വഹിക്കുന്നു.

രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ
യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രമേയികയും അനന്യമായ ഘടകക്രിയയും
ഗുണജങ്ങൾ
ബെസു അനന്യത