യൂക്ലിഡ് എലിമെന്റ്സിലെ പത്താം പുസ്തകത്തിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ വാസ്തവികസംഖ്യകൾക്കും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാം. , എന്ന വാസ്തവികസംഖ്യകളിൽ നിന്നും ഇവ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗുണിതങ്ങളായി വരുന്ന എന്ന വാസ്തവികസംഖ്യ കാണുകയാണ് അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം. അതായത്, , എന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ശരിയായി വരുകയും , എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാവുകയും വേണം. യുടെയും യുടെയുമിടയിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാബന്ധം (integer relation) കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു തുല്യമാണിത്; അതായത്, എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന , എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക. രണ്ട് നീളങ്ങൾ സാനുപാതമാണോ എന്ന ചോദ്യത്തിനുത്തരമായാണ് യൂക്ലിഡ് ഈ രീതി വികസിപ്പിച്ചത്.

വാസ്തവികസംഖ്യകൾക്കു മേൽ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം പ്രയോഗിക്കുന്നതിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അൽഗൊരിതവുമായി രണ്ടു വ്യത്യാസങ്ങൾ കാണാം. ഹരണഫലങ്ങളായ മുമ്പത്തെപ്പോലെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിലും ശിഷ്ടങ്ങളായ വാസ്തവികസംഖ്യകളാണ് എന്നതാണ് ആദ്യത്തെ വ്യത്യാസം. അൽഗൊരിതത്തിലെ പടികളുടെ എണ്ണം പരിമിതമല്ല എന്നതാണ് രണ്ടാമത്തേത്. പടികളോടെ അൽഗൊരിതം അവസാനിക്കുക ഭിന്നകസംഖ്യയാകുമ്പോൾ (അതായത്, രണ്ടു പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനുപാതം‌) മാത്രമാണ്,
ഇങ്ങനെ വരുമ്പോൾ ഈ ഭിന്നത്തെ എന്നിങ്ങനെ ഒരു പരിമിത സതതഭിന്നമായി എഴുതാനാകും. അൽഗൊരിതം അവസാനിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഒരു അഭിന്നകസംഖ്യയായിരിക്കും, അതിന്റെ സതതഭിന്നമായ അനന്തവും. ഇങ്ങനെ അനന്തമായ സതതഭിന്നങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണമാണ് സുവർണ്ണാനുപാതവും () രണ്ടിന്റെ വർഗ്ഗമൂലവും (‌). എന്ന വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ അനുപാതങ്ങൾ ഏതാണ്ടെല്ലാം തന്നെ അഭിന്നകങ്ങളായതിനാൽ അൽഗൊരിതം അവസാനിക്കാതിരിക്കാനാണ് കൂടുതൽ സാധ്യത.

അനന്തമായ സതതഭിന്നത്തെ "k" പടികൾക്കു ശേഷം മുറിക്കാം. ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന എന്ന പരിമിത സതതഭിന്നം യുടെ ഏകദേശവില നൽകുന്നു. യുടെ വില വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ഈ ഏകദേശനം കൂടുതൽ കൃത്യമായി വരുന്നു. "k"ആമത്തെ പടിയിലെ ഏകദേശവില ആണ്, ഈ അനുക്രമത്തെ അഭിസാരി (convergent) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഈ ഭിന്നത്തിലെ അംശവും ഛേദവും സഹ-അഭാജ്യമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, ഇവ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ആവർത്തനബന്ധം അനുസരിക്കുന്നു,
, എന്ന അടിസ്ഥാനവിലകളോടെയാണ് ആവർത്തനബന്ധം ആരംഭിക്കുന്നത്. എന്ന അഭിസാരി യെ ഏകദേശനം ചെയ്യുന്ന ഭിന്നകങ്ങളിൽ ഛേദം ആയുള്ളവയിൽ വച്ച് ഏറ്റവും കൃത്യമായിരിക്കും:

പശ്ചാത്തലം: ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം
വിവരണം
സ്റ്റേൺ-ബ്രോക്കോട്ട് ട്രീ
ഭിന്നകസംഖ്യകളും വാസ്തവികസംഖ്യകളും