ടോപ്പോളജിയിൽ രണ്ടു മാനങ്ങളുള്ള ഉപരിതലങ്ങളിൽ ഒരു ഗോളത്തിന്റെ (കൂടുതൽ കൃത്യമായി എഴുതിയാൽ 2-സ്ഫിയർ, ഒരു ഗോളത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിന് രണ്ടു മാനങ്ങൾ മാത്രമാണ് ഉള്ളത്, ഗോളം എന്നത് ത്രിമാന വസ്തു ആണെങ്കിലും അതിന്റെ ഉപരിതലം ദ്വിമാനമാണ്) ഉപരിതലം മാത്രമാണ് അടഞ്ഞതും (closed) എന്നാൽ ലഘുവായി സംബന്ധിതമായിട്ടുള്ളതും (simply connected). റ്റോപ്പോളോജിയിലെ ഗോളം എന്നത് ജ്യാമിതീയമായ ഗോളം തന്നെ ആകണമെന്നില്ല, മുറിയ്ക്കാതെ രൂപാന്തരം നടത്തി മാറ്റിയെടുക്കാവുന്ന ഏതൊരു ആകൃതിയും ഇതിൽ 'ഗോളം' ആണ്.

എന്നാൽ 3 മാനങ്ങളിലും ഗോളം (3-സ്ഫിയർ, അഥവാ ഹൈപ്പർസ്ഫിയർ) തന്നെയാണോ ഈ പ്രത്യേകതകളുള്ള ഒരേ ഒരു പ്രതലം എന്നതാണ് പോയിൻകാരെ കൺജെക്ചർ. ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെൻറി പോയിൻകാരെ ആണ് ഈ കൺജെക്ചർ ആദ്യം പ്രസ്താവിച്ചത്. ഇതിന്റെ കൃത്യരൂപം താഴെ കൊടുക്കുന്നു: 

അനൗപചാരികമായി ഈ പ്രശ്‌നത്തെ ഏതാണ്ട് ഇതുപോലെ വിവരിയ്ക്കാം. ഒരു ഗോളത്തിനുമേൽ എങ്ങനെ കുരുക്കിട്ട് ആ കുരുക്ക് മുറുക്കാൻ ശ്രമിച്ചാലും അത് ഗോളത്തിനു പുറത്തുകൂടി ഊർന്ന് ഗോളവും കുരുക്കും വേർപെടും. എന്നാൽ ഒരു ഉഴുന്നുവടയിൽ ഇങ്ങനെ ഊർന്നു പോകാതെ ഒരു കുരുക്കിടാൻ പറ്റുമല്ലോ. ഉഴുന്നുവട രണ്ടായി മുറിച്ചാൽ മാത്രമേ ഈ കുരുക്ക് അഴിയ്ക്കാതെ പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയൂ. നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച പോലെ ടോപ്പോളജിയിൽ ഒരു പശുവും ഒരു ഗോളത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ പശുവിന്റെ കുരുക്ക് ഊർന്ന് എടുക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ തോന്നുമെങ്കിലും പശുവിനെ മുറിയ്ക്കാതെ തന്നെ രൂപമാറ്റം നടത്തി കുരുക്ക് ഊർന്ന് എടുക്കാൻ സാധിയ്ക്കും. ഇതിനെ കുറച്ചുകൂടെ ശക്തമായ ഒരു പ്രസ്താവന ആക്കി ഇങ്ങനെ പറയാം. ഇപ്രകാരം അഴിയ്ക്കാതെയും മുറിയ്ക്കാതെയും കുരുക്കുകൾ മുറുക്കി ഊർന്ന് എടുക്കാവുന്ന എല്ലാ ദ്വിമാന പ്രതലങ്ങളും ഗോളങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. "എന്നാൽ ഇത്തരം എല്ലാ ത്രിമാന പ്രതലങ്ങളും 3-സ്ഫിയർ അഥവാ ഹൈപ്പർ സ്ഫിയറിനു തുല്യമാണോ?"

2003 ൽ റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗ്രിഗൊറി പെറെൽമാൻ ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം അതേ എന്നാണെന്ന് തെളിയിച്ചു. റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടൺ റിച്ചി ഫ്ലോ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങിവെച്ച തെളിവ് പെരിൽമാൻ മുഴുവനാക്കുകയായിരുന്നു. 2006 ഓടെ ഈ തെളിവിന്റെ റിവ്യൂ പൂർത്തിയാകുകയും പെരിൽമാൻ ഫീൽഡ്സ് മെഡലിന് നാമനിർദ്ദേശം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു. എന്നാൽ അദ്ദേഹം ഈ അവാർഡ് നിരസിയ്ക്കുകയാണുണ്ടായത്. 2010 ൽ ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് സഹസ്രാബ്ദ പുരസ്കാരം അദ്ദേഹത്തിന് സമർപ്പിയ്ക്കാൻ ശ്രമിച്ചെങ്കിലും അദ്ദേഹം ഇതും സ്വീകരിച്ചില്ല. റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടൺ ഇതിനു വേണ്ടി ചെയ്ത സംഭാവനയെക്കാൾ കൂടുതലായി താനൊന്നും ചെയ്തിട്ടില്ല എന്നായിരുന്നു അദ്ദേഹം ഇതിനു കാരണമായി പറഞ്ഞത്.

ഹോഡ്ജ് കൺജെക്ചർ (Hodge conjecture)
യാങ്-മിൽസ് എക്സിസ്റ്റൻസ് ആൻഡ് മാസ്സ് ഗാപ് (Yang–Mills existence and mass gap)
പോയിൻകാരെ കൺജെക്ചർ
പരിഹരിയ്ക്കപ്പെടാത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ