இப்பன்னிரு வரிசைமாற்றங்களில் கடைசி நான்கும் அவைகளுக்குள் ஒரு குலமாகின்றன. அவைகளில் முற்றொருமையைத்தவிர இதர மூன்றில் ஒவ்வொன்றுக்கும் கிரமம் 2; ஏனென்றால்,

ஆகையால் இந்நான்கும் சேர்ந்த உட்குலம் கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம் தான். இது "A"இல் ஓர் இயல்நிலை உட்குலம் ( Normal subgroup) ஆகும். காரணம், இதனில் அடங்கும் உறுப்புக்களுக்கெல்லாம் இணையியங்கள் இதற்குள்ளேயே உள்ளன.

இது மாத்திரமல்ல. இவ்வுட்குலத்தைத்தவிர "A" இல் வேறொரு இயல்நிலை உட்குலம் இருக்கவே முடியாதென்பதையும் நாம் தீர்மானிக்க முடியும். ஏனென்றால், அப்படி இன்னொரு இயல்நிலை உட்குலம் ஒன்று இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். அதை "K" என்று அழை. இதனில், (234), (243)= (234), இவையிரண்டில் ஏதாவதொன்று "K"இல் இருந்தால் மற்றதும் "K" இல் இருந்தாகவேண்டும். (காரணம் "K" ஒரு குலம்). மேலும்,இதைத் தொடர்ந்து,

இவை எட்டில், ஏதாவதொன்று "K" இல் இருந்தால் மற்ற அனைத்தும் "K" இல் இருந்தாகவேண்டும். ஏனென்றால் அவை ஒன்றுக்கொன்று இணையியங்கள் (எல்லாம் ஒரே பொதுவான சுழலமைப்புள்ளவை).
அதனால் "K"இன் கிரமம் ≥ 8. ஆனால் லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி "K" இன் கிரமம் "A" இன் கிரமமான 12 ஐ வகுத்தாகவேண்டும். இதனால் "K" = "A". ஆக, "A" இன் இயல்நிலை உட்குலம் நான்குறுப்புக்குலம் ஒன்று மட்டும் தான்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
மாறிசைக்குலம்
முகங்களின் வரிசைமாற்றங்களாக ஒரு மாற்று வரையறை
இதற்குள் ஓர் இயல்நிலை உட்குலம்