முரண்பாட்டு வழியில் நிறுவுவோம். "e" ஒரு விகிதமுறு எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது அது இரண்டு இயல்பெண்களின் விகிதமாக இருக்கவேண்டும் என்பது கருதுகோள். ஆக "e = m/n". இங்கு "m"ம் "n" ம் இயல்பெண்கள். அதனால் "n!e" ம் ஒரு இயல்பெண்தான்.

ஆனால் ஏற்கனவே நமக்குத்தெரிவது:

formula_10

இதிலிருந்து,

formula_11

formula_12

இடதுபக்கத்திலுள்ளது இயல்பெண். அதனால் வலது பக்கத்திலுள்ளதும் இயல்பெண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும்.

வலது பக்கத்தில் உள்ள முதல் தொகை நிச்சயமாக இயல்பெண் என்று தெரிகிறது. அதனால் வலது பக்கத்திலுள்ள இரண்டாவது தொகையும் இயல்பெண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும். ஆனாலும்,

formula_13

formula_14

formula_15

formula_16

இதன் பொருள் இயல்பெண்ணல்லாதது. இந்த முரண்பாடு நம் கருதுகோள் செல்லாது என்பதைக் காண்பிக்கிறது.

ஆக, "e" ஒரு விகிதமுறா எண் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுவிட்டது.

வரலாறு
formula_17 இவைகளுடன் உறவாடும் எண்கள்
"e" ஒரு விகிதமுறா எண்: நிறுவல்
நான்கு சரிசமமான வரையறைகள்