தொடுநிலையின் வரையறை:

ஒரு புள்ளி, ஒரு கோடு, ஒரு வட்டம் ஆகிய மூன்றும் தனக்குத்தானே தொடுநிலையில் அமையும். எனவே ஒரு வட்டமானது ஏதேனும் இரு வட்டங்களைத் தொட்டவாறு இருக்குமானால் அதையும் சேர்த்து அது மூன்று வட்டங்களைத் தொடுவதாகக் கணக்கில்கொண்டு, அவ்வட்டத்தை அப்பலோனியஸ் கணக்கின் தீர்வாகக் கொள்ளலாம்.

இரு வடிவவியல் பொருட்களுக்கிடையே ஒரு பொதுப்புள்ளி இருக்குமானால் அவை இரண்டும் ஒன்றையொன்று வெட்டுவதாகக் கொள்ளப்படும். எனவே வரையறைப்படி, ஒரு கோடு அல்லது வட்டத்தின் மீது ஒரு புள்ளி அமையுமானல் அப்புள்ளி, அக்கோட்டிற்கோ அல்லது வட்டத்துக்கு தொடுநிலையில் அமையும்; என்வே வெவ்வேறான இரு புள்ளிகள் தொடுநிலையில் இராது.

இரு வெவ்வேறான கோடுகளோ அல்லது வட்டங்களோ வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியில் ஏற்படும் கோணம் பூச்சியமாக இருந்தால் அவை தொடுநிலையில் உள்ளன எனப்படும். அந்நிலையில் அவை வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி தொடுபுள்ளி எனப்படும். இது ஒரு கோடு, ஒரு வட்டம் ஆகிய இரண்டுக்கும் பொருந்தும். இரு இணைகோடுகளை ஒன்றுக்கொன்று முடிவிலியில் தொடும் கோடுகளாகக் கருத முடிந்தாலும் பொதுவாக வெவ்வேறான இரு கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று தொடுகோடுகளாக இருக்க முடியாது. தீர்வு வட்டம் தரப்பட்ட மூன்று வட்டங்களையும் உட்புறமாகவோ அல்லது வெளிப்புறமாகவோ தொடலாம்.

தரப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளில் இருந்து உள்ள தூரங்களின் வித்தியாசம், மதிப்பறியப்பட்டவையாக உள்ளபடி அமையும் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட புள்ளிகளைக் காண்பதாகவும் அப்பலோனியசின் கணக்கின் கூற்றைக் கூறலாம்:

தரப்பட்ட வட்டங்களின் ஆரங்கள் "r", "r" and "r"; தீர்வு வட்டத்தின் ஆரம் "r" எனில் தீர்வு வட்டம் தரப்பட்ட வட்டங்களை வெளிப்புறமாகத் தொடும்போது அதன் மையத்திற்கும் மற்ற மூன்று வட்டங்களின் மையங்களுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுகள் முறையே:

மேலும் இத்தொலைவுகளுக்கிடையுள்ள வித்தியாசங்கள் மாறிலிகளாக இருக்கின்றன. அவை தெரிந்த ஆரங்களின் மதிப்புகளின் வாயிலாக அமைகின்றன:

இதனைத் தரப்பட்ட வட்டங்களைத் தீர்வு வட்டமானது உட்புறமாகத் தொடும்போதும் காணலாம்.

வரலாறு
தீர்வு முறைகள்
ஏட்ரியான் வோன் ரூமெனின் (1596) தீர்வு முறை
கூற்று