"ஜியோமிதியின் அஸ்திவாரம் மீது" என்ற ரசலின் முதல் கணித நூல் 1987ல் பிரசுரிக்கப் பட்டது. இதில் இமானுவேல் காண்டின் (1724–1804) பாதிப்பை உணர முடிகின்றது. ரசல் அந்நூலில் விபரித்த கருத்து ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டைனின் அந்தர-காலம் என்ற கருத்தை முடியாதது ஆக்கும் என உணர்ந்து, கணிதம் மற்றும் ஜியோமிதி வரையிலான கண்டின் அணுகுமுறையையும், தான் முதலில் விபரித்த கருத்து பற்றிய சிக்கலான முடிவையும் நிராகரித்தார்

எண் என்பதின் வரையறுத்தலில் ஈடுபட்ட ரசல், ஜார்ஜ் பூல், கெஓர்க் கேண்டோர், மற்றும் அகஸ்தஸ் டி மார்கன் ஆகியோரின் ஆய்வுகளை படித்தார். மக்மாஸ்டர் பல்கலை கழகத்தில் பெர்ட்ராண்ட் ரசலின் ஆவணங்களோடு சார்ல்ஸ் பியர்ஸ் என்பவருடைய அல்ஜீப்ராவின் தருக்கம் பற்றிய படிப்பு சீட்டுகளும் உள்ளன. 1900ல் ரசல் சர்வதேச தத்துவ மகாநாட்டில் பங்கு கொண்டு, இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கீசப்பே பீனோவின் ஆய்வுகளை அறிந்து கொண்டார். அவர் பீனோவின் புதிய குறியீட்டு முறைமை மற்றும் இயற்கணிதத்தின் அடிகோள்கள் போன்றவற்றில் அவதானம் செலுத்தினார். மேலும் பீனோவின் கருத்துக்களை, தருக்கரீதியில் 0, எண், சந்ததி, மற்றும் ஆங்கில சொல் த இவற்றைத் தவிற மற்ற எல்லா அடிகோள் சொற்களையும் வரையறுத்தார். 1897 முதல் 1903 வரை, ரசல் பீனோவின் குறியீடுகளை இயற்கணிதத்திற்கு பயன்படுத்தி எழுதிய பல கட்டுரைகளை பிரசுரித்தார். அவற்றில் சில ”முறையின் கருத்து” , (பிரெஞ்சில்) "உறவுகளின் தருக்கமும் கணத்தின் கோட்பாடில் உபயோகமும்", ”முதலெண்கள் மேல்” ஆகியவையாகும். அவர் கணிதத்தின் அஸ்திவாரங்களை ”இரண்டாம் வகை தருக்கம்” என்பதிலிருந்து ஆக்கமுடியும் என திடமாக நம்பினார். மேலும் இரண்டாம் வகை தருக்கம் வரம்பற்ற புரிதல் அடிக்கோளை (unrestricted comprehension axiom) உட்கொண்டுள்ளது எனவும் நம்பினார்.

ரசல் கோட்லோப் ஃபிரேக தானே தனியாக 0, சந்ததி, எண் இவற்றின் வரையறைகளைக் கண்டுபிடித்தார் என அறிந்தார். எண்ணின் வரையறுப்பு இப்போது 'ரசல்-ஃபிரேக வரையறுப்பு' என அழைக்கப் படுகிறது. ரசல் 1903 ல் பிரசுரித்த `கணிதத்தின் கோள்கள்” என்ற புத்தகத்தில் ஃபிரேகவின் கண்டுபிடிப்பை சுட்டிக் காட்டினார்). ஆனால், இந்நூலின் பிற்சேர்க்கையில் ஃபிரேகவின் இரண்டாவது - வகை சார்பலன்கள் முதல்-வகை சார்பலன்களை ஆதாரமாகக் கொண்டதின் முரண்பாடு மெய்மையை விளக்கினார். ரசல் முரண்பாடு மெய்மை என அழைக்கப்படும் பிரச்சினைக்கு விடை காண முதல் அடிகள் எடுத்தபோது, கணிதத்தின் கோள்கள் எழுதும் முன், காண்டோரின் `மிகப் பெரிய முதலெண் இல்லை` என்ற நிரூபணத்தை அறிந்து, அது தவறு என நினைத்தார், காண்டோர் முரண்பாடுமெய்மை என்பது ரசல் முரண்பாடுமெய்மையின் ஒரு வகை எனக் காட்டப்பட்டது. இது ரசலை வர்க்கங்களை பகுப்பாய்வதற்கு தூண்டியது, ஏனெனில் எந்த பொருளின் எண்ணுக்கும், அதன் வர்க்கத்தின் எண்ணிக்கை விளைவு அந்த எண்ணை விட அதிகம் என அறியப்பட்டிருந்தது. இது ஒரு சுவாரசியமான வர்க்கம், அதாவது வர்க்கங்களின் வர்க்கம் என்பதை கண்டுபிடிக்க ஏதுவானது. அது தன்னையே உட்கொண்டுள்ள வர்கங்கள், மற்றும் தன்னை உட்கொண்டில்லாத வர்கங்கள் என இரு வகை வர்க்கங்களை கொண்டது. இந்த வர்கத்தின் மேல் எழுந்த சிந்தனைகள் ரசலை “புரிதலின் கோள்” என்றழைக்கப்படுவதின் உயிர்சேத பிழையை கண்டுபிடிக்க வைத்தன. அதனாலெழும் முரண்பாடு, அதாவது, 'இ' இ யின் உறுப்பினர் இல்லை என்ற ஒரே ஒரு நிபந்தனையின் கீழ்தான் 'இ` இ என்பதின் உறுப்பினராகும். இது ரசலின் முரண்பாட்டு மெய்மை என அறியப்படுகிறது. இதற்கு விடையை `கணிதத்தின் கோள்` களின் பின்னிணைப்பில் ஈனை இட்டு, அதை ”வகைகளின் கோட்பாடு” Theory of types. என்று கூறினார். அது வெகுளியான கணங்களின் கோட்பாட்டில் (naive set theory) உள்ள முரண்களை வெளியே கொண்டு வந்தது மட்டுமில்லாமல், ரசலின் கண்டுபிடிப்புகள் நவீன ”அடிகோள் கண கோட்பாடு” axiomatic set theory என்பதை பிறப்பாக்கம் செய்தன. அது மேலும் ஃபிரேகவின் இயற்கணிதத்தை தருக்கமயமாக்குவதின் திட்டத்தை அழித்து, ”வகைகளின் கோட்பாடு” மற்றும் ரசலின் பிந்தைய கண்டுபிடுப்புகள் தற்கால கணினி விஞ்ஞானம், மற்றும் தகவல் தொழில் நுட்பத்துறை போன்றவற்றின் அஸ்திவாரத்தை இட்டன.

ரசல் தருக்கவாதத்தை, அதாவது கணிதம் தருக்கமயம் ஆக்கமுடியும் என்ற கருத்தைக் கூறி, அவரின் முன்னாள் ஆசான் ஆல்பிரட் நார்த் ஒயிர்ஹெட் உடன் சேர்ந்து எழுதிய `கணித கோட்பாடுகள்` Principia Mathematica, என்ற நூல், எல்லா கணிதத்திற்குமான அடிக்கோள் முறையாக ஆயிற்று. 1910ல் வந்த நூலின் முதல் பகுதி, ரசலின் பெரும்பான்மை ஆக்கம் என கருதப்படுகிறது. ஏனைய நூல்களுக்கு மேலாக அது, கணித அல்லது குறியியல் தருக்கத்தை விசேட துறை ஆக்கியது. மேலும் நூலின் இரு பகுதிகள் பிரசுரிக்கப்பட்டன என்றாலும், ஆரம்ப திட்டமான ஜியோமிதியை பற்றிய நான்காம் பகுதி வெளீவரவில்லை, ரசல் தனது முதலாவது பதிப்பில் திருத்தம் பார்க்க முடியாமல் போனாலும், அவர் புதிய பிரச்சினைகளையும், வளர்ச்சிகளையும் பற்றி இரண்டாம் பிரசுரத்தின் முன்னுரையில் கூறியிருந்தார். மிக சிக்கலான மற்றும் நுணுக்கமான `கணித கோட்பாடு`களை முடித்தவுடன், ரசல் சோற்வுற்று தன் அறிவுத் திறன்கள் அதில் முழுமையாக பிரயோகப்படுத்தப்படவில்லை என நினைத்தார். அந்நூல், ஃபிரேகவின் முரண்பாடு மெய்மையை தவிர்த்தாலும், பின்னர் குர்டு கோடல், கணித கோட்பாடுகள் அல்லது எந்த முரணற்ற தொடக்கநிலை மீள்வரு இயற்கணிதமுறையும் (system of primitive recursive arithmetic), அந்த முறைக்குள்ளேயே செய்யப் படும் ஒவ்வொரு அறுதியுரையும் தீர்மானம் ஆக்க முடிபவை என முடிவு எடுக்க முடியாது, அதாவது எந்த அறுதியுரையோ அல்லது அதன் எதிர்மறையோ அந்த முறைக்குள் நிரூபிக்கலாம் என முடிவுகட்ட இயலாது என்று கூறியது. (கோடலின் முழுவிலா தேற்றம் Gödel's incompleteness theorem ). ரசலின் கணக்கு தருக்கத்தில் எழுதப்பட்ட முக்கிய கடைசி நூல் “கணித தத்துவத்திற்கு அறிமுகம்” என்பதாகும். அது அவர் முதலாம் உலகப் போர் எதிர்ப்பு நடவடிக்கைகளுக்காக சிறையில் இருந்த போது எழுதப்பட்டது. அந்நூலின் உள்ளடக்கம் பொதுவாக முந்தைய ஆக்கங்களின் விளக்கமும், அவற்றின் தத்துவ சிறப்புக்கள் பற்றியதுமாக இருந்தது.

பகுப்பாய்வு தத்துவம்
அமைதிவாதம், யுத்தம், அணுகுண்டுகள்
திருமணங்கள்
தருக்கமும், கணிதத்தின் தத்துவமும்