இலக்கமியல் கணிதத்தின் வரலாறானது எண்ணற்ற சவாலான சிக்கல்களை உள்ளடக்கியுள்ளது. அவை இந்தத் துறைக்குள்ளான பகுதிகளில் கவனம் செலுத்துபவையாகவுள்ளன. வரைபடக் கோட்பாட்டில், நான்கு வண்ணத் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் முயற்சியாக, அதிக அளவு ஆராய்ச்சிகள் ஊக்குவிக்கப்பட்டன, அதில் முதலாவது 1852 ஆம் ஆண்டில் அறிவிக்கப்பட்டது, ஆனால் அது 1976 ஆம் ஆண்டு வரை (கென்னித் ஆப்பெல் (Kenneth Appel) மற்றும் உல்ஃப்கேங் ஹேகன், போதிய அளவு கணிணி உதவியுடன்) நிரூபிக்கப்படவில்லை.[6]

தர்க்கத்தில், 1900 ஆம் ஆண்டு வெளியிடப்பட்ட டேவிட் ஹில்பெர்ட்டின் திறந்த நிலை கணக்குகளின் பட்டியலில் உள்ள இரண்டாவது கணக்கானது எண் கணிதத்தின் ஒத்துக்கொள்ளப் பெற்ற நிலைப்பேறானவை என்பதை நிரூபிப்பதற்கானவை. 1931 ஆம் ஆண்டு நிரூபிக்கப்பட்ட கர்ட் கோடெலின் இரண்டாவது முழுமையற்றதன்மைத் தேற்றம், இது சாத்தியமற்றது எனக் காண்பித்தது – குறைந்தபட்சம் எண் கணிதத்திற்குள்ளும் இது சாத்தியமற்றது எனக் காண்பித்தது. ஹில்பெர்ட்டின் பத்தாவது கணக்கானது முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டுள்ள கொடுக்கப்பட்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு டயோஃபெண்ட்டைன் சமன்பாடானது முழு எண் தீர்வு உள்ளதா எனத் தீர்மானிப்பதற்கானதாகும். 1970 ஆம் ஆண்டு, யூரி மட்டியாசெவிச் இதைச் செய்ய முடியாது என நிரூபித்தார்.

இரண்டாம் உலகப்போரில் ஜெர்மானிய குறியீடுகளை முறித்துக் கண்டறிவதற்கான அவசியத்தால் மறையீட்டியலிலும் கோட்பாட்டியல் கணினி அறிவியலிலும் முன்னேற்றம் ஏற்பட்டது. அதன் முதல் நிரலாக்கம் செய்யத்தக்க டிஜிட்டல் எலக்ட்ரானிக் கணினி இங்கிலாந்தின் ப்லெட்ச்லி பார்க்கில் உருவாக்கப்பட்டது. அதே நேரத்தில், இராணுவ தேவைகளினால் செய்பணி ஆய்வியல் முன்னேற்றம் ஊக்குவிக்கப்பட்டது. இந்த மறையீட்டியல் முக்கியமானதாக இருந்தது குறித்தே பனிப்போர் நிலவியது, அதனுடன் பப்ளிக்-கீ மறையீட்டியல் போன்ற அடிப்படை முன்னேற்றங்கள் பின்வந்த ஆண்டுகளில் வளர்ந்தன. வணிகம் மற்றும் பணித்திட்ட மேலாண்மை ஆகியவற்றில் செய்பணி ஆய்வியல் முக்கியமான கருவியாக விளங்கியது, அதனுடன் முக்கியப் பாதை முறை (critical path method) 1950 ஆம் ஆண்டுகளில் உருவாக்கப்பட்டது. தொலைத்தொடர்பு தொழிற்துறையும் இலக்கமியல் கணிதத்திலான முன்னேற்றங்களை ஊக்குவித்தது, குறிப்பாக வரைபடக் கோட்பாட்டிலும் தகவல் கோட்பாட்டிலும் ஊக்குவித்தது. பாதுகாப்பு-அவசியமான அமைப்புகளின் மென்பொருள் உருவாக்கத்திற்கு தர்க்கரீதியிலான கூற்றுகளின் முறையான சரிபார்ப்பு அவசியமானது, மேலும் தானியக்கத் தேற்ற நிரூபணமும் இந்தத் தேவையால் ஊக்குவிக்கப்பட்டது.

தற்போது, கோட்பாட்டியல் கணினி அறிவியலில் மிக பிரபலமான திறந்தநிலை கணக்குகளில் ஒன்று P = NP கணக்காகும், அதில் P மற்றும் NP ஆகிய சிக்கலான தன்மை வகைகள் சம்பந்தப்பட்டுள்ளன. க்ளே மேத்தமட்டிக்ஸ் இன்ஸ்டிடியூட் (Clay Mathematics Institute) முதல் சரியான நிரூபணத்திற்கு ஒரு மில்லியன் அமெரிக்க டாலர் பரிசை வழங்குவதாக அறிவித்துள்ளது. அதனுடன் பிற கணித சிக்கல்களுக்கு பிற ஆறு பரிசுகளும் அறிவிக்கப்பட்டுள்ளன.

தர்க்கம்
பெருஞ்சவால்கள், கடந்தகாலம் மற்றும் தற்காலம்
செய்பணி ஆய்வியல்
கோட்பாட்டியல் கணினி அறிவியல்