கிமு 2000 காலத்திலேயே பாபிலோனிய கணிதவியலாளர்கள் பின்வரும் வடிவிலான ஒருங்கமை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையைக் கண்டறிந்திருக்கின்றனர்.

இச்சமன்பாடு,

முதல் வடிவில் உள்ள இரு சமன்பாடுகளைப் பின்வருமாறு தீர்க்கலாம்:


இக்கருத்து, மூன்றாவது ஊர் Ur III வம்ச காலத்திலேயே இருந்ததற்கான ஆதாரங்கள் உள்ளன.

சுமார் கிமு 8 -ம் நூற்றாண்டில் பழங்கால இந்தியாவில் "சுல்ப சூத்திரங்களில்" "ax" = "c" மற்றும் "ax" + "bx" = "c" என்ற வடிவில் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடுகள் வடிவவியல் முறையில் ஆராயப்பட்டுள்ளன. கிமு 400 லிருந்து பாபிலோனிய கணிதவியலாளர்களும் கிமு 200 லிருந்து சீன கணிதவியலாளர்களும் நேர்ம மூலங்களுடைய இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வர்க்க நிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்தியிருக்கிறார்கள். ஆனால் தீர்க்கும் வழிமுறையைப் பொதுமையான வாய்ப்பாடாக உருவாக்கவில்லை.

கிமு 300 -களில் கிரேக்க கணிதவியலாளர் யூக்ளிட், இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு மேலும் பொருத்தமான வடிவவியல் முறையைத் தந்துள்ளார். கணிதவியலாளர்கள் பித்தாகரசும் யூக்ளிடும் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு தனித்த வடிவவியல் முறையில் பொது வழிமுறையைக் கண்டுபிடித்துள்ளனர். கிரேக்க கணிதவியலாளர் டயோஃபாண்டசு தனது படைப்பான "அரித்மெட்டிக்கா" -வில் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் வழிமுறையைத் தந்துள்ளார். ஆனால் அந்த முறையில், சமன்பாட்டிற்கு இரு நேர்ம மூலங்கள் இருந்தாலும் ஒரேயொரு மூலத்தை மட்டுமே காணமுடிந்தது.

கிமு 628 -ல் இந்திய கணிதவியலாளர் பிரம்மகுப்தர்,

இக்குறிப்பு,

இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் இருபடி தேரா சமன்பாடுகளையும் ("ax"/"c" = "y" என்ற மூலவடிவம் கொண்டவை).
தீர்ப்பதற்கான இயற்கணித வாய்ப்பாடு, கிபி ஏழாம் நூற்றாண்டில் இந்தியாவில் எழுதப்பட்ட "பக்‌ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதி"யில் உள்ளது.

பிரம்மகுப்தாவின் எண்ணக் கருத்துக்களால் ஊக்கமடைந்த 9 ஆம் நூற்றாண்டு பாரசீக கணிதவியலாளர் முகம்மத் இபின் மூசா அல் குவாரிஸ்மி, நேர்மத் தீர்வுகளைக் காணும் வாய்ப்பாடுகளின் தொகுப்பினை உருவாக்கினார். வடிவவியல் நிறுவல்களைத் தரும்போது ஒவ்வொரு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கும் ஒன்று அல்லது இரண்டு எண்மதிப்புகளைத் தீர்வுகளாக ஏற்றுக்கொள்வதன் மூலம் அல் குவாரிஸ்மி, பொது இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு முழுமையான தீர்வு காணும் வழிமுறையில் மேலும் கொஞ்சம் முன்னேறியுள்ளார். மேலும் அவர் வர்க்க நிரப்பி முறையையும் விளக்கியுள்ளார். அவரது சமகாலத்து மத்திய ஆசிய கணிதவியலாளர் இபுன் டர்க் நிரூபித்த, தன்மைகாட்டி நேர்ம எண்ணாக இருக்க வேண்டிய உண்மையை அவர் அங்கீகரித்தார். வடிவவியல் வரைபடங்கள்மூலம் இபுன் டர்க், தன்மைகாட்டி எதிர்மமாக இருந்தால் அந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வுகள் கிடையாது என்பதை நிறுவியுள்ளார். அல்-குவாரிஸ்மி, இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எதிர்ம தீர்வுகளை ஒத்துக் கொள்ளவில்லை. ஆனால் அவரைத் தொடர்ந்து பின்னாளில் வந்த இஸ்லாமிய கணிதவியலாளர்கள் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் எதிர்மத் தீர்வுகளையும் விகிதமுறா எண் தீர்வுகளையும் ஏற்றுக் கொண்டனர். முதன்முதலில் விகிதமுறா எண்களை(பெரும்பாலும் வர்க்க மூலம், முப்படி மூலம், நான்காம்படி மூலம் போன்ற வடிவில் இருக்கும்) இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாகவோ அல்லது சமன்பாடுகளில் உள்ள கெழுக்களாகவோ ஏற்றுக் கொண்டது, 10-ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த எகிப்திய கணிதவியலாளர் அபு காமில் ஷுஜா இபுன் அஸ்லாம் ஆகும்.

12ம் நூற்றாண்டில் ஸ்பெயின் நாட்டு யூத கணிதவியலாளர் ஆபிரகாம் ஹாநாசி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் முழுத்தீர்வும் கொண்ட முதல் ஆங்கிலப் புத்தகத்தை எழுதினார். அவரது தீர்வுகள் பெரும்பாலும் அல்-குவாரிஸ்மியின் கருத்துக்களின் அடிப்படையில் அமைந்திருந்தன. மாறி 'x' -ன் கெழுக்கள் எதிர்மக் குறிகொண்டதாக உள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகள், யாங் ஹூய் என்ற சீன கணிதவியலாளரது (கிபி 1238-1298) கருத்துக்களில் முதன் முதலாவதாக அறிமுகமானாலும் அவர் அதனைக் கணிதவியலாளர் லியூ யீ -க்கு உரித்தானதாக்குகிறார்.

1545 -ல் ஜெரோலாமோ கார்டானோ, இருபடிச் சமன்பாடுகள் சம்பந்தப்பட்ட படைப்புகளைத் தொகுத்தளித்துள்ளார். 1594-ல் சைமன் ஸ்டீவன், அனைத்து வகைக்களுக்குமான இருபடி வாய்ப்பாடுகளையும் கண்டறிந்தார். 1637 -ல் ரெனே டேக்கார்ட் இன்று நாம் காணும் இருபடி வாய்ப்பாடு அடங்கிய "லா ஜியோமெட்ரி" என்ற புத்தகத்தை வெளியிட்டார். நவீன கணித இலக்கியத்தில் முதன் முதலாக இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுத்தீர்வு 1896-ல் ஹென்றி ஹீட்டனின் ஆய்வுரையில்தான் வெளியானது.

வடிவவியல்
தன்மைகாட்டி
வரலாறு
இருபடிக் காரணிப்படுத்துதல்