அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைகின்ற சமவிசைசார் புள்ளிகளை வேறு மூன்று வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைவதையும் காணலாம்:

முக்கோணத்தின் உச்சிகளாலான formula_23, formula_24, formula_25 ஆகிய மூன்று சோடிப் புள்ளிகளின் வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை 2π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட வில்லையில் வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் formula_1 இன் முதல் சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன. 

இதேபோல, formula_23, formula_24, formula_25 வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட வில்லையில் வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் formula_1 இன் இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன.

முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளோடும் சமவிசைசார் புள்ளிகள் உருவாக்கும் கோணங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்கின்றன:

formula_1 முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களிலும் சமவிசைசார் புள்ளி formula_2 ஐ எதிரொளிப்பதால் கிடைக்கும் புள்ளிகளாலான முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆகும். அதைப் போலவே, formula_2 இலிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கும் வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகளின் அடிப்புள்ளிகளால் உருவாகும் பாத முக்கோணமும் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும். formula_1 முக்கோணத்தினுள் வரையப்படும் சமபக்க முக்கோணங்களில் மிகக் குறைந்த பரப்பளவு கொண்டது பாத முக்கோணம் ஆகும்.



உருமாற்றங்கள்
தொலைவு விகிதங்கள்
கோணங்கள்
வரையும் முறை