এই প্রমাণের একটি পরিবর্তনের জন্য সর্বাধিক মডুলাস নীতি ব্যবহারের প্রয়োজন হয় না (আসলে, ছোটখাটো পরিবর্তনগুলির সাথে একই যুক্তি হোলোমর্ফিক ফাংশনগুলির জন্য সর্বাধিক মডুলাস নীতিটির প্রমাণ দেয়)। যদি আমরা দ্বিধায়নের দ্বারা ধরে নিই যে a: = p (z) ≠ 0, তবে, z - z এর ক্ষমতায় p (z) প্রসারিত করে আমরা লিখতে পারি

p(z)=a+c(z-z) c(z-z0)+...+c(z-z)

এখানে, c হ'ল বহুপদী z→p (z + z) এর সহগ, এবং আমরা k কে ধ্রুবক পদের পরে প্রথম সহগের সূচক হিসাবে নির্ধারণ করি যা 0 নয়। তবে এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে z এর জন্য z এর যথেষ্ট কাছাকাছি আচরণ রয়েছে সাধারণ বহুপদী q (z) =a+c(z-z)

এই অর্থে যে ফাংশনটি (যাচাই করা সহজ)

<nowiki>z0 এর কিছু পাড়ায় কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক M দ্বারা আবদ্ধ। সুতরাং আমরা যদি θ 0 = (আরগ g (a) + π - আরগ ⁡ (সিকে)) / কে {\ ডিসপ্লেস্টাইল yle থিতা _ {0} = (\ আরগ (ক) + \ পাই - g আরজি (সি_ {কে })) / কে} \ থিতা _ {0} = (g আরগ (ক) + i পাই - g আরগ (সি_ {কে})) / কে এবং z z z 0 + রেই θ 0 {\ ডিসপ্লেস্টাইল z = z_ {0} + পুনরায় ^ {i \ theta _ {0}}} z = z_ {0} + পুনঃ ^ {i \ থাটা _ {0}}, তারপরে যেকোন পর্যাপ্ত সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার জন্য (যাতে আবদ্ধ এম উল্লেখ করা হয়েছে) উপরের অংশটি ধারণ করে), ত্রিভুজ বৈষম্য ব্যবহার করে আমরা তা দেখতে পাই</nowiki>

<nowiki>  | p ( z ) | ≤ | q ( z ) | + r k + 1 | p ( z ) − q ( z ) r k + 1 | ≤ | a + ( − 1 ) c k r k e i ( arg ⁡ ( a ) − arg ⁡ ( c k ) ) | + M r k + 1 = | a | − | c k | r k + M r k + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}</nowiki>

p যখন |p (z) | এর জন্য এই উপরের আবদ্ধ পর্যাপ্ত পরিমাণে 0 এর কাছাকাছি থাকে z এর সংজ্ঞার বিরোধী হিসাবে | a | এর চেয়ে কঠোরভাবে ছোট। (জ্যামিতিকভাবে, আমরা একটি সুস্পষ্ট দিকনির্দেশ পেয়েছি such0 এরকম যে কেউ যদি সেই দিক থেকে z এ যায় তবে কেউ | p(z) | এর চেয়ে পরম মানে ছোট p(z) কম পেতে পারে))

তবুও আরেকটি বিশ্লেষণযোগ্য প্রমাণ যুক্তির নীতিটি ব্যবহার করে। R কে যথেষ্ট ধনাত্মক আসল সংখ্যা হিসাবে বড় করা যাক যাতে পি (z) এর প্রতিটি মূলের তুলনায় আর এর চেয়ে কম মূল্য থাকে; এই জাতীয় সংখ্যার অস্তিত্ব অবশ্যই থাকবে কারণ ডিগ্রি এন এর প্রতিটি অ ধ্রুবক বহুপদী ফাংশনটির সর্বাধিক n 0 থাকে। প্রতিটি r এর জন্য, সংখ্যাটি বিবেচনা করুন
যেখানে c (r )টি ব্যাসার্ধের উল্টোদিকে ব্যাসার্ধের সাথে 0 এ কেন্দ্রিক বৃত্ত; তারপরে আর্গুমেন্ট নীতিটি বলে যে এই সংখ্যাটি ব্যাসার্ধ r এর সাথে 0 কেন্দ্রে খোলা বলের p(z) এর জিরো সংখ্যা N, যা r> আর যেহেতু p(z) এর মোট শূন্যের সংখ্যা। অন্যদিকে, 2 /i দ্বারা বিভক্ত c(r) বরাবর n / z এর অবিচ্ছেদ্য n এর সমান। তবে দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য

<nowiki>    1 2 π i ∫ c (r) (p ′ (z) p (z) - n z) d z = 1 2 π i ∫ c (r) z p ′ (z) - n p (z) z p (z) d z। \ \ ডিসপ্লেস্টাইল {\ frac {1} {2 \ পাই আমি}} \ ইন্ট _ {সি (আর) \ \ বাম ({rac frac {p '(z)} {পি (z)}} - {\ frac { n} {z}} \ ডান) dz = {\ frac {1} {2 \ পাই আমি}} \ আন্ত _ {সি (আর)} {rac frac {zp '(z) -np (z)} {zp (z)}} \, dz।} {\ frac {1} {2 \ pi i}}} int _ {c (r)} \ বাম ({\ frac {p '(z)} {p (z) }} - {\ frac {n} {z}} \ ডান) dz = {\ frac {1} {2 \ পাই i}} \ অন্ত _ {সি (আর)} {\ frac {zp '(z) - NP (য)} {ZP (য)}} \, Dz।</nowiki>

সংহত হওয়ার যুক্তিযুক্ত সংখ্যার সংখ্যার সর্বাধিক n - 1 ডিগ্রি এবং ডিনোমিনেটরের ডিগ্রি 1 + 1 হয় Therefore সুতরাং, উপরের সংখ্যাটি 0 r হিসাবে r → + ∞ হিসাবে প্রবণ হয় ∞ তবে সংখ্যাটি N - n এবং সুতরাং N = n এর সমান

কচির উপপাদ্যের সাথে রৈখিক বীজগণিতকে একত্রিত করে আরও একটি জটিল-বিশ্লেষণযোগ্য প্রমাণ দেওয়া যেতে পারে। N> 0 ডিগ্রিটির প্রতিটি জটিল বহুবর্ষের শূন্য রয়েছে তা প্রতিষ্ঠিত করার জন্য, এন আকার 0 এর প্রতিটি জটিল বর্গক্ষেত্রের মেট্রিক্সের একটি (জটিল) ইজেনভ্যালু রয়েছে পরের বক্তব্যের প্রমাণ দ্বন্দ্ব দ্বারা হয়।

এটিকে একটি ছোট বর্গ ম্যাট্রিক্স আকারের এন> 0 হতে দিন এবং একই আকারের ইউনিট ম্যাট্রিক্স হতে দিন। ধরুন এ এর কোনও ইগেনালু নেই। রেজলভেন্ট ফাংশনটি বিবেচনা করুন
যা ম্যাট্রিকেসের ভেক্টর স্পেসের মান সহ জটিল প্লেনে একটি মারমোর্ফিক ফাংশন। এ এর ইগেনালুগুলি হ'ল আর (জেড) এর খুঁটি les যেহেতু, অনুমান দ্বারা, এ এর কোনও আয়তন নেই, ফাংশন আর (জেড) একটি সম্পূর্ণ ফাংশন এবং কচী উপপাদ্যটি বোঝায় যে

অন্যদিকে, জ (জেড) জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে প্রসারিত:

<nowiki>    আর (জেড) = জে - 1 (আই এন - জেড - 1 এ) - 1 = জেড - 1 ∑ কে = 0 ∞ 1 জেড কে এ কে ⋅ {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর (জেড) = জেড ^ {- 1} (আই_ {) n} -z ^ {- 1} এ) ^ {- 1} = z ^ {- 1} \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} {\ frac {1} {z ^ {কে}}} একটি ^ {কে} \ সিডট} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর (জেড) = জেড ^ {- 1} (আই_ {এন} -জ ^ {- 1} এ) ^ {- 1} = z ^ {- 1} \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} {\ frac {1} {z ^ {কে}}} এ ^ {কে} d সিডট}</nowiki>

এই সূত্রটি ius এ ‖ {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ | এ \ |} \ | এ \ | ব্যাসার্ধের ডিস্কের বাইরে বৈধ is (এ এর অপারেটর আদর্শ)। R> ‖ এ ‖ দিন ‖ {\ ডিসপ্লেস্টাইল r> \ | এ \ |।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল r> \ | এ \ | |} তারপরে

<nowiki>    ∫ সি (আর) আর (জেড) ডিজে = ∑ কে = 0 ∞ ∫ সি (আর) ডিজেকি + 1 এ কে = 2 π আই আই এন {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ইন্ট _ {সি (আর)} আর (জেড) ডিজে = \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {সি (আর)} {rac frac {dz} {z ^ {কে + 1}}} এ ^ {কে} = 2 \ পাই আইআই_ {n }} \ আন্ত _ {সি (আর)} আর (জেড) ডিজে = \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {সি (আর)} {\ ফ্র্যাক {ডিজে} {জে ^ {কে +1}}} এ ^ {কে} = 2 \ পাই আইআই_ {n}</nowiki>

(যার মধ্যে কেবল সমষ্টি কে = 0 এর ননজারো ইন্টিগ্রাল থাকে)। এটি একটি বৈপরীত্য, এবং তাই এ এর একটি পূর্বসূত্র রয়েছে।

পরিশেষে, রাউচের উপপাদ্যটি সম্ভবত উপপাদকের সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দেয়।

তথ্যসূত্র
জটিল-বিশ্লেষণমূলক প্রমাণ
টপোলজিকাল প্রমাণ
ইতিহাস