এই শ্রেণিবিন্যাসকরনকে সংযুক্ত সারাংশের সাথে যুক্ত করতে হোমিওমরফিজম পর্যন্ত বদ্ধ তল সংযুক্ত সারাংশের ক্রিয়াকলাপে বিনিময় মনোয়েড গঠন করে, যেমনটা করে যেকোন স্থিত মাত্রার ম্যানিফোল্ড।এর পরিচয় হল এর গোলক, যেখানে প্রক্ষিপ্ত সমতল ও টরাস মনোয়েড গঠন করে, একটিমাত্র সম্পর্ক , যাকে এভাবেও লিখা যায়ঃ , যেখানে । এই সম্পর্ককে ওয়ালথার ভন ডয়েক এর নামে ' ও বলা হয়, যিনি একে ১৮৮৮ সালে প্রমাণ করেন, এবং এর মত করেই ট্রিপল ক্রস তলকে ' বলে। 
জ্যামিতিকভাবে, টরাস () সংযুক্ত সারাংশ একই তলের উভয় পার্শ্বেই হাতল যোগ করে, যেখানে ক্লেইন বোতল () প্রক্ষিপ্ত সমতল () এর সাথে সংযুক্ত সারাংশ একই ঘূর্ণনযোগ্য তলের বিপরীত পার্শ্বে হাতল যোগ করে; তল ঘূর্ণনযোগ্য নয়, তাই টরাস যোগ করা আর ক্লেইন বোতল যোগ করা যা এই সম্পর্ককে বর্ণনা করে।

সীমাযুক্ত তল
মনোয়েড গঠন
সাধারন ব্যাখ্যা
সংজ্ঞা ও উদাহরণ