মূল নিবন্ধ: রিমানীয় জ্যামিতি

রিমানীয় জ্যামিতি একটি "রিমানীয় পরিমাপ পদ্ধতি" এর মাধ্যমে রিমানীয় স্থান ("Riemannian manifolds") ও মসৃণ স্থান ("smooth manifolds") নিয়ে পর্যালোচনা করে। এটি একটি দূরত্বের ধারণা, যা কোন স্পর্শক-স্থানের ("tangent space") প্রতিটি বিন্দুতে একটি মসৃণ, নির্দিষ্ট ধনাত্মক, প্রতিসম দ্বি-রৈখিক আকার দ্বারা সংজ্ঞায়িত। রিমানীয় জ্যামিতি ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে এমন সব স্থানের জন্য সাধারণ রূপ দান করে, যেগুলো আবশ্যকভাবে সমতল নয়, যদিও সেগুলো প্রতিটি বিন্দুতে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্রভাবে ইউক্লিডীয় স্থানের সদৃশ, তার মানে, প্রথম ক্রমের আসন্ন মানের ("first order of approximation") ক্ষেত্রে। দৈর্ঘ্য-ভিত্তিক নানাবিধ ধারণা যেমন, বক্ররেখার চাপের দৈর্ঘ্য, সমতল অঞ্চলের ক্ষেত্রফল, এবং ঘনবস্তুর আয়তন – এদের সবার সদৃশ স্বাভাবিক একটি রূপ রিমানীয় জ্যামিতিতে বিদ্যমান। বহু-চলকবিশিষ্ট ক্যালকুলাস হতে কোন ফাংশনের দিকবর্তী অন্তরক ("directional derivative") এর ধারণাকে, রিমানীয় জ্যামিতিতে টেন্সরের সহ-পরিবর্তনশীল অন্তরকের ("covariant derivative") ধারণায় বিস্তৃত করা যায়। অনেকগুলো ধারণা, বিশ্লেষণ পদ্ধতি এবং ব্যবকলনীয় সমীকরণকে রিমানীয় স্থানসমূহের বিন্যাস অনুসারে সাধারণ রূপ দান করা হয়েছে।

একাধিক রিমানীয় স্থানের মধ্যে কোন দূরত্ব-সংরক্ষণশীল ডিফিওমরফিজম ("diffeomorphism") থাকলে তাকে সমমিতি ("isometry") বলা হয়। এই ধারণাটি "স্থানিকভাবেও" সংজ্ঞায়িত করা যায়, অর্থাৎ, ক্ষুদ্র এলাকার বিন্দুর জন্যও। যে কোন দুটি নিয়মিত বক্ররেখা স্থানিকভাবে সমমিতিক। তবে, কার্ল ফ্রেডেরিখ গাউস তার "অসাধারণ উপপাদ্য" ("Theorema Egregium")–তে দেখান যে, পৃষ্ঠতলের জন্য স্থানিক সমমিতির অস্তিত্ব তাদের পরিমাপের ওপর গভীর সামঞ্জস্য আরোপ করে: অনুরূপ বিন্দুগুলোতে গাউসীয় বক্রতা অবশ্যই সমান হতে হবে। উচ্চতর মাত্রায়, "রিমান বক্রতা-টেন্সর" একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুভিত্তিক অভেদ, যা সেই রিমান স্থানের সাথে সম্পর্কিত, যেটি পরিমাপ করে যে, সেটা সমতল হওয়ার কতটা কাছাকাছি আছে। রিমানীয় স্থানের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণি হচ্ছে রিমানীয় প্রতিসম স্থান, যাদের বক্রতা অপরিহার্যভাবে ধ্রুব নয়। এগুলোই কোন “সাধারণ” সমতল এবং ইউক্লিডীয় ও অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে বিবেচ্য স্থানসমূহের সবচেয়ে নিকটবর্তী সদৃশ রূপ।

রিমানীয় জ্যামিতি
সিমপ্লেকটিক জ্যামিতি
বান্ডল এবং সংযোগ
ক্রমবিকাশের ইতিহাস