নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে একটি চিরাচরিত সমস্যা হচ্ছে, কোন একটি সিস্টেম formula_1কে অবিচ্ছিন্ন সময় অন্তর formula_2এর মাঝে গ্রহণযোগ্য আবক্র পথ formula_3অনুসরণ করে এবং একটি মিনিমাইজে বাধ্য করতে গেলে যে গ্রহণযোগ্য নিয়ন্ত্রণ formula_4দরকার সেটি বের করা।

এই সমস্যার সমাধান হল, একটি সন্তোষজনক নিয়ন্ত্রণ বিধি অথবা বিধান formula_6এর ব্যবস্থা করা, যা একটি সন্তোষজনক আবক্রপথ formula_3এবং উন্নততর ক্ষতি-ফাংশন formula_8এর সৃষ্টি করে। শেষোক্ত ফাংশন ডাইনামিক প্রোগ্রামিং এর মৌলিক সমীকরণ মেনে চলে:

একটি আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ যেটি হিসেবে পরিচিত যেখানে formula_10 এবং formula_11. formula_12, formula_13, এবং অজ্ঞাতনামা ফাংশন formula_14এর সাপেক্ষে formula_15এর লঘুকরণ করে প্রাপ্ত ফলাফল হ্যামিল্টন – জ্যাকোবি – বেলম্যান সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণটির সমাধান সীমানা শর্ত formula_16 হতে পাওয়া যেতে পারে। কার্যক্ষেত্রে, এর জন্য সাধারণত প্রয়োজন পড়ে যাতে করে নিখুঁত অপ্টিমাইজেশন সম্পর্কের বিযুক্ত (ডিসক্রিট) আসন্নায়ন (অপ্টিমাইজেশন) সম্ভবপর হয়। বিকল্পভাবে, এই চলমান প্রক্রিয়াটিকে একটি বিযুক্ত ব্যবস্থার মাধ্যমে অনুমান করা সম্ভব, যা হ্যামিল্টন – জ্যাকোবি – বেলম্যান সমীকরণে প্রাপ্ত অবস্থার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি পুনরাবৃত্তিয় সম্পর্কের সৃষ্টি করে:

যেখানে formula_18-তম ধাপে formula_19টি সমভাবে বিস্তৃত বিযুক্ত সময় অন্তরে, formula_20এবং formula_21যথাক্রমে formula_22 and formula_23এর বিযুক্ত অনুুমানকে নির্দেশ করে। এই ফাংশনাল সমীকরণকে বেলম্যান সমীকরণ বলা হয়ে থাকে, যেটি সমাধান করে অনুকূলকরণ (অপ্টিমাইজেশান) সমীকরণের বিযুক্ত অনুমানের নিখুঁত একটি সমাধান পাওয়া সম্ভব।

সারাংশ
কম্পিউটার প্রোগ্রামিং
নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব
অর্থনৈতিক উদাহরণ: রামজের সন্তোষজনক সঞ্চয়ের সমস্যা