যদি "A" একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে "A" কে নিজের সাথেই "n"–সংখ্যক বার গুণ করলে তার গুণফলকে ম্যাট্রিক্স শক্তি বলে। এছাড়াও, formula_154কে অভেদ ম্যাট্রিক্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং যদি "A" বিপরীতযোগ্য ("invertible") হয়, তাহলে formula_155।

ম্যাট্রিক্স শক্তি অনেক সময়ই বিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থা ("discrete dynamical system") প্রসঙ্গে দেখা যায়, যেখানে ম্যাট্রিক্স "A" দ্বারা কোন ব্যবস্থার দশা ভেক্টর "x" থেকে ব্যবস্থাটির পরবর্তী দশা formula_156এ রূপান্তর প্রকাশ করা হয়। এটি, উদাহরণস্বরূপ, একটি মার্কভ শৃঙ্খল ("Markov chain")এর প্রমিত ব্যাখ্যা। তাহলে, formula_157হচ্ছে দুই ধাপ সময় পর ব্যবস্থাটির দশা, এবং একইভাবে, formula_158হচ্ছে ব্যবস্থাটির দশা, "n"-সংখ্যক সময় ধাপের পর। ম্যাট্রিক্স শক্তি formula_159 হচ্ছে বর্তমান দশা ও "n" ধাপ পরবর্তী ভবিষ্যত দশার মধ্যে দশান্তর ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, ম্যাট্রিক্স শক্তি নির্ণয় কোন গতিশীল ব্যবস্থার বিবর্তনের সমাধানের সমতুল্য। অনেক ক্ষেত্রেই, ম্যাট্রিক্স শক্তি আইগেন-মান ও আইগেন-ভেক্টর ব্যবহার করে উপযুক্তভাবে নির্ণয় করা যায়।

ম্যাট্রিক্স ছাড়াও আরও সাধারণ রৈখিক অপারেটরগুলোর সূচকীকরণ করা যায়। এর একটি উদাহরণ হচ্ছে ক্যালকুলাসের ব্যবকলনীয় অপারেটর,formula_160, যেটি ফাংশন formula_29এর ওপর ক্রিয়াশীল একটি রৈখিক অপারেটর, যা একটি নতুন ফাংশন formula_162প্রদান করে। ব্যবকলনীয় অপারেটরের "n"–তম শক্তিই হচ্ছে "n"–তম অন্তরক সহগ:

formula_163।

এই উদাহরণগুলো রৈখিক অপারেটরের বিচ্ছিন্ন সূচকের জন্য, কিন্তু অনেক ক্ষেত্রেই এমন অপারেটরের অবিচ্ছিন্ন সূচকের জন্য শক্তির সংজ্ঞায়ন কাম্য। এখান থেকেই গাণিতিক উপগুচ্ছ ("semi-groups") তত্ত্বের সূচনা। বিচ্ছিন্ন সূচকযুক্ত ম্যাট্রিক্স শক্তি নির্ণয় করে যেমন বিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থার সমাধান করা যায়, ঠিক তেমনি অবিচ্ছিন্ন সূচকযুক্ত ম্যাট্রিক্স শক্তি নির্ণয় করে অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থার সমাধান করা যায়। এর উদাহরণের মধ্যে তাপীয় সমীকরণ, শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ, তরঙ্গ সমীকরণ সমাধানের পন্থা অন্তর্ভুক্ত এবং অন্যান্য আংশিক ব্যবকলনী সমীকরণ যেখানে সময়ের বিবর্তন আছে তারাও অন্তর্ভুক্ত। বিশেষ একটি ক্ষেত্র যেখানে ব্যবকলনীয় অপারেটরকে অপূর্ণ সংখ্যার শক্তিতে উন্নীত করা হয়, তাকে বলা হয় ভগ্নাংশিক অন্তরক ("fractional derivative"), যা ভগ্নাংশিক যোগজ ("fractional integral") এর সাথে একত্রে ভগ্নাংশিক ক্যালকুলাস ("fractional calculus") এর মৌলিক প্রকিয়াসমূহের একটি।

ম্যাট্রিক্স ও রৈখিক অপারেটর
ধারা সংজ্ঞা
প্রোগ্রামিং এর ভাষায়
গুচ্ছবিন্যাসতত্ত্বীয় ব্যখ্যা