যখন একটি ফাংশন "f," R থেকে Rএর উপসেট হয় তখন নির্দিষ্ট দিকে f এর দিকবর্তী অন্তরজ হয় এর সেই দিকে সেই বিন্দুতে f এর সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান। কিন্তু যখন "n" > 1,  হয় তখন কোন একক দিকবর্তী অন্তরজই f এর বৈশিষ্টের পূর্ণ ছবি দিতে পারে না। পূর্ণ অন্তরজ একবারেই সকল দিক বিবেচনা করে f এর বৈশিষ্টের পূর্ণ ছবি দিতে পারে। এটা a বিন্দুতে শুরু এমন কোন ভেক্টর v জন্য রৈখিক অণুমানের সূত্র খাটে।
এক চলকের অন্তরজের মত "f" ′(a) ধরা হয় যার ফলে ত্রুটি যথাসম্ভব ক্ষুদ্র হয়।

যদি "n" এবং "m" একই হয় তাহলে অন্তরজ "f" ′("a") হবে একটি সংখ্যা ও রাশি "f" ′("a")"v" হবে দুটি সংখ্যার গুনফল। কিন্তু উচ্চতর-মাত্রার জন্য "f" ′(a) কে একটি সংখ্যা হওয়া অসম্ভব। যদি তা একটি সংখ্যা হয় তবে "f" ′(a)v, R এর একটি ভেক্টর হবে ফলে অনান্য পদগুলি R এ ভেক্টর হবে এবং যার কারণে সূত্রটি কোন কাজ করবে না। রৈখিক অণুমানের সূত্রটিকে কাজ করতে হলে "f" ′(a) কে অবশ্যই ফাংশন হতে হবে যা R থেকে R এ ভেক্টর পাঠাবে এবং "f" ′(a)v অবশ্যই v বিন্দুতে নির্ণীত ফাংশন বোঝাবে।

এটা কি ধরনের ফাংশন তা নির্ধারণ করার জন্য লক্ষ্য করুন যে, রৈখিক অণুমানের সূত্রকে লেখা যায়
লক্ষ্য করুন যদি আমারা একটি ভেক্টর w নিই তবে  v কে w দ্বারা প্রতিস্থাপন করার মাধ্যমে এই আনুমানিক সমীকরণ আরেকটি আনুমানিক সমীকরণ নির্ণয় করে। এটা v কে w এবং a কে a+v দ্বারা উভয়কেই প্রতিস্থাপন করার মধ্যমে তৃতীয় আনুমানিক সমীকরণ নির্ণয় করে। নতুন সমীকরণ  দুটি বিয়োগ করে আমারা পাই
যদি আমরা ধরি v খুব ছোট এবং অন্তরজ a তে ক্রমাগত পরিবর্তনশীল তাহলে "f" ′(a + v) প্রায় "f" ′(a) এর সমান এবং ডানপক্ষ প্রায় শূন্যের কাছাকাছি। বাম্পক্ষকে রৈখিক অণুমানের সূত্র v কে v + w দিয়ে প্রতিস্থাপম করে ভিন্নভাবে লেখা যেতে পারে। রৈখিক অণুমানের সূত্র বোঝায়ঃ
এটা বোঝায় যে "f" ′(a) হল ভেক্টর ক্ষেত্র R থেকে R এর এর মধ্যে একটি রৈখিক রূপান্তর। বস্তুত, এই অণুমানে ভুল পরিমাপ দ্বারা সুনির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা সম্ভব। ধরি যে, রৈখিক অণুমানের ভুল একটি ধ্রুবক ও ||v|| এর দ্বারা নির্দিষ্ট হয় যেখানে, ধ্রুবকটি v এর উপর অনির্ভর্শীল কিন্তু a এর উপর পর্যায়ক্রমে নির্ভর্শীল। তাহলে, একটি উপযুক্ত ভুল সংক্রান্ত পদ যুক্ত করার পর উপরের সব অণুমানের / আসন্ন সমতাগুলো অসমতায় রূপ নেয়। বিশেষ করে, "f" ′(a) হল ক্ষুদ্র ত্রুটির জন্য একটি রৈখিক অণুমান। সীমাতে v ও w শূন্যের কাছে পৌছালে এতী অবশ্যই একটি রৈখিক অণুমান হবে। যেহেতে আমরা পূর্ণ অন্তরজে v কে শূন্যের কাছাকাছি ধরে নিয়েছি তাই "f" ′(a) অবশ্যই একটি রৈখিক অণুমান হবে।

এক চলকের ক্ষেত্রে, অন্তরজ প্রকৃতপক্ষে পার্থক্য ভাগফলের লিমিট দ্বারা সূচিত সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান। যদিও, পার্থক্য ভাগফল উচ্চ মাত্রার ক্ষেত্রে কাজ করতে পারে না কারণ স্বাভাবিকভাবে ভেক্টরকে ভাগ করা সম্ভব না। বিশেষ করে, পার্থক্য ভাগফলের হর ও লব একই ভেক্টর ক্ষেত্র না। ভেক্টর স্থানঃ: লবটি কোডোমেইন R এ অবসস্থান করে যখন হরটি ডোমেইন Rএ। উপরন্তু, অন্তরজটি একটি রৈখিক রূপান্তর, লব ও হর উভয় থেকে বস্তুর একটি ভিন্ন ধরনের হয়। সুনির্দিষ্ট ধারণা করতে "f" ′(a) হল একটি রৈখিক রূপান্তর, এই সমস্যা মিটানোর জন্য প্রয়োজন এক-পরিবর্তনশীল চলকের অন্তরজের জন্য একটি ভিন্ন সূত্র মানানো। যদি, "f" : R → R, হয় তাহলে, অন্তরজের স্বাভাবিক সংজ্ঞা নিক্ষুতভাবে দেখাতে পারে যে a তে "f" এর অন্তরজ "f" ′("a") একটি অনন্য সংখ্যা যেমন
একইভাবে,
কারণ, ফাংশনটির সীমার শূন্যের কাছে পৌছায় যদি ও কেবল যদি পরমমানের সীমা শূন্যের কাছে পৌছায়। এই সর্বশেষ সূত্রটি পরম মান প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে অনেক পরিবর্তনশীল চলকের পরিস্থিতির উপযোগী করা যেতে পারে।

"f" এর a তে পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞা হল মৌলিক রৈখিক রূপান্তর "f" ′(a) : R → R যেন
যেখানে h হল R এ একটি ভেক্টর, তাই হরে পরমমান হল Rএর জন্য আদর্শ দৈর্ঘ্য। যদিও "f"′(a)h, Rএ একটি ভেক্টর এবং লবে পরমমান হল Rএ আদর্শ দৈর্ঘ্য। যদি "v," "a" বিন্দুতে শুরু কোন ভেক্টর হয় তবে  "f" ′(a)v কে বলা হয় f এর দ্বারা v এর "pushforward" এবং কখনো একে "f"v লিখা হয়।

যদি a তে পূর্ণ অন্তরজ থাকে তবে "f" এর a তে সকল আংশিক অন্তরজ ও দিকবর্তী অন্তরজ থাকে এবং যেকোন v এর জন্য "f" ′(a)v হল v এর দিকে f এর দিকবর্তী অন্তরজ। যদি আমরা f কে স্থানাংক ব্যাবস্থার ফাংশনে লিখি তবে "f" = ("f", "f", ..., "f"), তাহলে পূর্ণ অন্তরজকে ম্যাট্রিক্স হিসেবে আংশিক অন্তরজ দিয়ে প্রকাশ করা যাবে। এবং এই ম্যাট্রিক্স কে বলা হয় "f" এর a তে জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স।
পূর্ণ অন্তরজ "f"′(a) এর অস্তিত্ত অন্যান্য আংশিক অন্তরজের অস্তিত্তের চেয়ে শক্তিশালী কিন্তু যদি আংশিক অন্তরজ থাকে এবং তা অবিচ্ছিন্ন হয় তাহলে জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স অনুযায়ী পূর্ণ অন্তরজ বিদ্যমান থাকে ও a এর উপর ধারাবাহিকভাবে নির্ভর করে।

পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞা এক চলকের অন্তরজের সংজ্ঞাকেও অন্তর্ভুক্ত করে। তা হল, যফি f কোন বাস্তব চলক ও বাস্তব মানের ফাংশন হয় তবে পূর্ন অন্তরজ বিদ্যমান থাকবে যদি ও কেবল যদি স্বাভাবিক অন্তরজ বিদ্যমান থাকে। জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স ১x১ ম্যাট্রিক্সে হ্রাস করা হয় যার শুধুমাত্র একটি ভুক্তি হল "f"′("x")। এই ১x১ ম্যাট্রিক্স "f"("a" + "h") − "f"("a") − "f" ′("a")"h" এর মান যে শূন্যের কাছাকাছি তা প্রকাশ করে, অন্যভাবে
এই বিবৃতি, চলকের মান পরিবর্তন পর্যন্ত যে এই ফাংশন  formula_93 হল "f" এর "a "তে  সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান।

একটি ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ এক-পরিবর্তনশীল চলকের ক্ষেত্রে একই ভাবে আরেকটি ফাংশন দেয় না। একটি বহুচলকের ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ একটি একক পরিবর্তনশীল ফাংশনের ডেরিভেটিভ চেয়ে অনেক বেশি কিছু তথ্য ধারণ করে। এর পরিবর্তে, পূর্ণ অন্তরজ টার্গেটের স্পর্শকগুচ্ছ উৎস থেকে একটি ফাংশন দেয়।

দ্বিতীয়, তৃতীয় ও উচ্চতর-মাত্রার পূর্ণ অন্তরজের স্বাভাবিক এনালগ একটি রৈখিক রূপান্তর নয় ও স্পর্শকগুচ্ছে কোন ফাংশন নয় এবং বারবার পূর্ণ অন্তরজ গ্রহণ করে নির্নীত হয় না। উচ্চ-মাত্রার অন্তরজের এনালগকে জেট বলে যা কোন রৈখিক রূপান্তর হতে পারে না কারণ উচ্চ-মাত্রার অন্তরজ সূক্ষ জ্যামিতিক তথ্য প্রদান করে যেমন অবতলতা যা ভেক্টর হিসেবে রৈখিক তথ্য ও শর্তাবলী দ্বারা বর্ণনা করা যাবে না। স্পর্শকগুচ্ছের ওপর এটা ফাংশন হতে পারে না কারণ স্পর্শকগুচ্ছের শুধুমাত্র বেস স্থান ও দিকবর্তী অন্তরজের জন্য সুযোগ আছে। কারণ জেট উচ্চ-মাত্রার তথ্য ধারণ করে তারা স্থানাংকে অতিরিক্ত আর্গুমেন্ট নিয়ে কোন দিকে উচ্চ-মাত্রার পরবর্তন নির্দেশ করে। এই অতিরিক্ত স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্ধারিত স্থানকে জেট গুচ্ছ বলা হয়। একটি ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ ও আংশিক অন্তরজের মধ্যে সম্পর্ক হল ফাংশনটির k তম জেট ও k বা তার চেয়ে কম মাত্রার আংশিক অন্তরজের সম্পর্কের মত।

বারবার পূর্ণ অন্তরজ গ্রহণ করে কেউ R এর বিশেষ Fréchet অন্তরজের উচ্চতর সংস্করণ গ্রহণ করতে পারে। kতম পূর্ণ অন্তরজকে একটি ম্যাপ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে
যা R এ একটি বিন্দু x নেয় এবং R to R এ k-রৈখিক ক্ষেত্রে একটি উপাদান নির্ধারণ করে– "f" এর কোন একটি বিন্দুতে "সর্বোচ্চ" (একটি সুনির্দিষ্ট অর্থে) k-রৈখিক অণুমান। তির্যক/ক্রস ম্যাপ Δ, x → (x, x) দ্বারা রচনার মাধ্যমে একটি সাধারণ টেলর সিরিজ হিসাবে কাজ শুরু হতে পারে
যেখানে f(a) ধ্রুব ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত, রৈখিক রূপান্তর হিসেবে (x − a) হল x − a ভেক্টরের উপাংশ এবং (D "f") এবং (D "f") হল D "f" ও D "f" এদের উপাংশ।

উচ্চ মাত্রায় অন্তরজ
পূর্ণ অন্তরজ, পূর্ন অন্তরীকরণ ও জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স
উদাহরণ
প্রতীক