"জটিল ব্যবকলনীয় জ্যামিতি" হচ্ছে জটিল টপোলজিক্যাল স্থান-বিষয়ক অধ্যয়ন। একটি প্রায় জটিল স্থান (ম্যানিফোল্ড) formula_9 হচ্ছে একটি "বাস্তব" স্থান, যেখানে formula_22 ধরনের একটি টেন্সর, অর্থাৎ, একটি ভেক্টর বান্ডল এন্ডোমরফিজম ("প্রায়" জটিল কাঠামো বলা হয়) বিদ্যমান।

formula_23 , যেন formula_24 হয়।

এই সংজ্ঞা থেকে বোঝা যায় যে, একটি প্রায় জটিল ম্যানিফোল্ড হচ্ছে যুগ্ম-মাত্রিক।

একটি প্রায় জটিল ম্যানিফোল্ডকে "জটিল" বলা হয় যদি formula_25 হয়, যেখানে formula_26 হচ্ছে formula_27 এর সাথে সংশ্লিষ্ট formula_28 ধরনের একটি টেন্সর, যাকে নিয়েনহাউস টেন্সর ("Nijenhuis tensor" অথবা, কখনো কখনো "ব্যবর্তন") বলা হয়। একটি প্রায় জটিল ম্যানিফোল্ড জটিল হবে যদি ও কেবল যদি এতে হলোমরফিক (জটিল সমতলে ব্যবকলনযোগ্য ফাংশন) স্থানাংক মানচিত্র থাকে। কোন প্রায় জটিল কাঠামো formula_27 এবং তার সাথে রিমানীয় পরিমাপ formula_30 এর দ্বারা একটি "প্রায়" "হারমিশিয়ান কাঠামো" পাওয়া যায়, যা নিম্নোক্ত সামঞ্জস্যতার শর্ত পূরণ করে:

formula_31,

একটি প্রায় হারমিশিয়ান কাঠামো স্বাভাবিকভাবে একটি ব্যবকলনীয় দ্বি-আকারকে ("two-form") সংজ্ঞায়িত করে,

formula_32।

নিম্নোক্ত শর্ত দুটি পরস্পর সমতুল্য:


যেখানে formula_35 হচ্ছে formula_30 এর লেভি-সিভিটা সংযোগ। এক্ষেত্রে, formula_37-কে বলা হয় "কেহ্‌লার কাঠামো", এবং কোন "কেহ্‌লার স্থান" ("Kähler manifold") হচ্ছে কেহ্‌লার কাঠামো বিশিষ্ট একটি স্থান। বিশেষত, কোন কেহ্‌লার স্থান একই সাথে জটিল এবং সিমপ্লেকটিক স্থান। কেহ্‌লার স্থানের (হজ ম্যানিফোল্ডের একটি শ্রেণি) একটি বৃহৎ শ্রেণি পাওয়া যায়, মসৃণ স্থানের জটিল প্রক্ষেপণশীল প্রকরণ ("projective varieties") থেকে।

সিমপ্লেকটিক জ্যামিতি
প্রয়োগ
জটিল ও কেহ্‌লার জ্যামিতি
অন্তর্নিহিত বনাম বাহ্যিক দৃষ্টিকোণ