জে.এম.আলমীরা এবং এ। রোমেরোর কারণে বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের কাছে যাওয়ার আরও একটি উপায় রয়েছে: রিমানিয়ান জ্যামিতিক যুক্তি দ্বারা। এখানে মূল ধারণাটি প্রমাণ করে যে জিরোস ব্যতীত একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী p (z) এর অস্তিত্বটি গোলক এস 2 এর উপরে একটি সমতল রিমনিয়ান মেট্রিকের অস্তিত্বকে বোঝায়। গোলকটি সমতল না হওয়ায় এটি একটি বৈপরীত্যের দিকে পরিচালিত করে।

একটি রিমানিয়ান উপরিভাগ (এম, জি) সমতল হতে পারে যদি এর গাউসিয়ান বক্রতা, যা আমরা কেজি দ্বারা চিহ্নিত করি, এটি একইভাবে শূন্য হয়। এখন, গস – বনেট উপপাদ্য, যখন গোলক এস 2-তে প্রয়োগ করা হয়েছে, তখন সে দাবি করেছে
যা প্রমাণ করে যে গোলকটি সমতল নয়।

আসুন আমরা এখন ধরে নিই যে এন> 0 এবং
প্রতিটি জটিল সংখ্যা z এর জন্য। আমাদের সংজ্ঞা দিন
স্পষ্টতই, সি এর জন্য সমস্ত জেডের জন্য পি * (জেড) ≠ 0 বিবেচনা করুন বহুপদী f (z) = p (z) পি * (জেড)। তারপরে প্রতিটি সি এর জন্য z (z) ≠ 0 করুন
আমরা এই কার্যকরী সমীকরণটি জি দ্বারা প্রমাণিত করতে ব্যবহার করতে পারি by

আসুন yn বহুবর্ষের মূল হয়ে উঠি
বৈষম্য প্রমাণ করার জন্য | ζ | P আরপি আমরা অবশ্যই ধরে নিতে পারি, | ζ | > 1. সমীকরণ হিসাবে লিখছি
এবং হোল্ডারের অসাম্য ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই
এখন, পি = 1, এটি হয়
ক্ষেত্রে 1 <পি ≤ ∞, জ্যামিতিক অগ্রগতির জন্য সারসংক্ষেপ সূত্রটি বিবেচনায় নিয়ে আমাদের আছে
ζ | n ≤ ‖ a ‖ পি (| ζ | কিউ (এন - 1) + ⋯ + | ζ | কিউ + 1) 1 কিউ = ‖ এ ‖ পি (| ζ | কিউএন - 1 | ζ | কিউ - 1) 1 কিউ ‖ A ‖ p (| ζ | qn | ζ | q - 1) 1 কিউ, {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n {q লেক \ | আ a | _ {পি} \ বাম (| eta জেটা | ^ {) q (n-1)} + \ cdots + | \ জেটা | ^ ^ কিউ} +1 \ ডান) ^ {\ frac {1}} q}} = \ | a \ | _ {পি} \ বাম ({\ frac {| \ zeta | ^ {qn} -1} {| \ জেটা | ^ {q} -1}} \ \ ডান) ^ <nowiki></nowiki> q লেক \ | a \ | _ {পি \ \ বাম ({\ frac {| \ জেটা | ^ {qn}}} | eta জেটা | ^ {কিউ} -1} \ \ ডান) ^ {\ frac {1} {q}},} | \ জেটা | ^ n \ লেক \ | a \ | _p \ বাম (| \ জেটা | ^ {কিউ (এন -1)} + \ সিডটস + | \ জেটা | ^ কিউ +1 \ ডান) ^ {\ ফ্র্যাক {1} {কিউ} } = \ | a \ | _p \ বাম (\ frac {| \ জেটা | ^ {qn} -1} {| \ জেটা | ^ কিউ -1} \ ডান) ^ ^ \ frac {1} {q}} \ leq \ | a \ | _p \ বাম (\ frac {| \ জেটা | ^ {qn}} {| \ জেটা | ^ কিউ -1 \ \ ডান) ^ {\ frac {1} {q}},

এইভাবে
এবং সরলকরণ,
অতএব
সমস্ত 1 ≤ পি ≤ ∞ এর জন্য ধারণ করে ∞

প্রমাণ
জ্যামিতিক প্রমাণ
ইতিহাস
তথ্যসূত্র