গ্রুপের তত্ত্ব গণিতের শাখা যা সমতার ধারণা ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, একজন জ্যামিতিক আকৃতি যেমন একটি সমবয়স্ক ত্রিভুজ বিবেচনা করতে পারেন। এই আকৃতি পরিবর্তন না করে এই ত্রিভুজ সঞ্চালন করতে পারে যে বিভিন্ন অপারেশন আছে। এটি একটি 120 °, 240 °, অথবা 360 ° এর মধ্য দিয়ে ঘোরাতে পারে, অথবা ছবিতে S0, S1, বা S2 লেবেলযুক্ত কোনও রেখায় কোনোটি প্রতিফলিত হতে পারে। এই অপারেশনগুলির প্রতিটি একটি সমান্তরাল বলা হয়, এবং এই symmetries সংগ্রহ নির্দিষ্ট প্রযুক্তিগত সম্পত্তি এটি একটি গণনা কি গণিতবিদদের মধ্যে এটি সন্তুষ্ট। এই বিশেষ উদাহরণে, গ্রুপ 6 ডায়াড্রাল গ্রুপ হিসাবে পরিচিত হয় কারণ এটি ছয় উপাদান আছে একটি সাধারণ গ্রুপ finitely অনেক বা অসীমভাবে অনেক symmetries বর্ণনা করতে পারে; যদি শুধুমাত্র finitely অনেক symmetries আছে, এটি একটি সীমিত গ্রুপ বলা হয়।

গণিতজ্ঞ প্রায়ই একটি প্রদত্ত প্রকারের সমস্ত গাণিতিক বস্তুর শ্রেণীবিন্যাস (বা তালিকা) জন্য সংগ্রাম করে। এটি সাধারণত বিশ্বাসযোগ্য শ্রেণিবিজ্ঞানকে স্বীকার করার জন্য প্রমিত গোষ্ঠীগুলি অত্যন্ত বৈচিত্রপূর্ণ বলে মনে করা হয়। একটি আরো শালীন কিন্তু এখনও চ্যালেঞ্জিং সমস্যাটি হল সকল প্রমিত সমষ্টিগত গোষ্ঠীর শ্রেণীভুক্ত করা। এই সসীম গোষ্ঠীগুলি নির্বিচারে সসীমিট গ্রুপগুলি নির্মাণের জন্য ব্লক নির্মাণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যেমন পণ্যগুলি গ্রহণ করে স্বতঃস্ফূর্ত সমগ্র সংখ্যা তৈরির জন্য প্রধান সংখ্যাগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে। সমসাময়িক গ্রুপ তত্ত্বের প্রধান সাফল্যগুলি হচ্ছে শ্রেণীকরণ সীমিত সাধারণ গোষ্ঠীর একটি গণিত তত্ত্ব যা সমস্ত সম্ভাব্য সীমিত সাধারণ গোষ্ঠীর তালিকা প্রদান করে।

এই শ্রেণীবিন্যাস তত্ত্বটি বিভিন্ন গোষ্ঠীর অসংখ্য পরিবার এবং ২6 টি অতিরিক্ত গোষ্ঠীকে চিহ্নিত করে যা কোনও পরিবারে মাপসই হয় না। পরের দলগুলিকে "স্পোরাডিক" গোষ্ঠী বলা হয় এবং প্রত্যেকেরই তার অস্তিত্বকে পরিস্থিতির একটি অসাধারণ সংমিশ্রণে উপস্থাপন করা হয়। বৃহত্তম স্পোরাডিক গ্রুপ, তথাকথিত দানব গোষ্ঠী, 1053 টিরও বেশি উপাদান ধারণ করেছে, পৃথিবীর প্রায় 1,000 গুণ বেশি পরমাণু।

একটি আপাতভাবে সম্পর্কহীন নির্মাণ হল জাঁঃসংখ্যা তত্ত্ব তত্ত্ব। এই বস্তু একটি বিশেষ শ্রেণীর ফাংশন যা মডিউলার ফাংশন নামে পরিচিত, যার গ্রাফ একটি নির্দিষ্ট ধরনের পুনরাবৃত্তির প্যাটার্ন গঠন করে। [109] যদিও এই ফাংশন গণিতের একটি শাখায় প্রদর্শিত হয় যা সীমিত গোষ্ঠীর তত্ত্ব থেকে খুব ভিন্ন বলে মনে হয়, তবে উভয় বিষয়ই ঘনিষ্ঠভাবে সংশ্লিষ্ট হতে চলেছে। 1970 এর দশকের শেষের দিকে, গণিতবিদ জন ম্যাককে এবং জন থম্পসন লক্ষ্য করেছিলেন যে দৈত্য গ্রুপের বিশ্লেষণে (যেমন, তার অযৌক্তিক উপস্থাপনার মাত্রা) উদ্ভূত কিছু সংখ্যাগুলি জে-ফাংশনের সূত্রের মধ্যে উপস্থিত থাকা সংখ্যার সাথে সম্পর্কযুক্ত (যথা, তার ফোয়র সিরিজের সমবায়)। এই সম্পর্ক আরও উন্নত করে জন হর্টন কানওয়ে এবং সাইমন নোর্টন দ্বারা বলা হয় যা এই বিশাল মুনশাইন নামে পরিচিত ছিল কারণ এটি এতদূর অনুভব করেছিল।

199২ সালে, রিচার্ড বোর্র্সডস মডুলার ফাংশন এবং সীমিত গোষ্ঠীর তত্ত্বের মধ্যে একটি সেতু নির্মাণ করেন এবং এই প্রক্রিয়াতে ম্যাককে এবং থম্পসনের পর্যবেক্ষণ ব্যাখ্যা করেন। Borcherds 'কাজ একটি অপরিহার্য ভাবে স্ট্রিং থিম থেকে ধারনা ব্যবহৃত, ইগোর Frenkel, জেমস Lepowsky, এবং Arne Meurman, যারা একটি নির্দিষ্ট [যা] স্ট্রিং থিওরির সংস্করণ হিসাবে সমাধি গ্রুপ অনুভূত আগে ফলাফলের প্রসারিত। 1998 সালে বোর্চারসকে তার কাজের জন্য ক্ষেত্রের পদক প্রদান করা হয়।

1990-এর দশক থেকে, স্ট্রিং থিওরি এবং চন্দ্রশেবিহীন সংযোগের ফলে গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞানে আরও ফল পাওয়া যায়। ২010 সালে, পদার্থবিজ্ঞানী তোহরু ইগুচী, হিরোসী ওগুরি এবং ইউজী টাচিকওয়া একটি ভিন্ন স্পোরাডিক গ্রুপের মধ্যে মৈথু গ্রুপ এম -24 এবং একটি নির্দিষ্ট সংস্করণ [এটার] স্ট্রিং থিওরির সংযোগ আবিষ্কার করেছিলেন। মিরান্ডা চেং, জন ড্যানকান এবং জেফরি এ। হর্ভী এই চন্দ্রপ্রশন্ন প্রবণতাটির সাধারণীকরণের জন্য উমব্রাল চন্দ্রশেখরের নাম বলেছিলেন, এবং তাদের অনুমান ডাম্পান, মাইকেল গ্রিফিন এবং কেনি ওনো দ্বারা গণিতের প্রমাণিত হয়। Witten এছাড়াও speculated যে monstrous moonshine মধ্যে উপস্থিত স্ট্রিং তত্ত্ব সংস্করণ তিন spacetime মাত্রা মধ্যে গুরুত্ত্ব একটি নির্দিষ্ট সরল মডেল সম্পর্কিত হতে পারে।




ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব
সুপারস্ট্রিং তত্ত্ব একীকরণ
মনট্রাস মুনশাইন
ব্রেনস