যদি "b" একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং "z" একটি জটিল সংখ্যা হয়, তাহলে "b" কে সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে-

formula_61

যেখানে সমীকরণ "e" = "b" এর অনন্য বাস্তব সমাধান হচ্ছে "x" = ln("b"), এবং "e" এর জটিল শক্তি এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত, যা জটিল চলকের অনন্য ফাংশন ও এর অন্তরক ("derivative") এর সমান, এবং "x" = 0 হলে এর মান ১।

যেহেতু সাধারণভাবে "b" কোন বাস্তব সংখ্যা নয়, কোন রাশি যেমন, ("b")"" - পূর্ববর্তী সংজ্ঞা দ্বারা সংজ্ঞায়িত নয়। এর ব্যখ্যা অবশ্যই জটিল সংখ্যার শক্তির নিয়মে করতে হবে, এবং, যদি "z" বাস্তব অথবা "w" পূর্ণ সংখ্যা না হয়, রাশিটি সাধারণত "b" এর সমান হয় না; যেমনটা কেউ মনে করে থাকতে পারে।

এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশনের বেশ কতগুলো সংজ্ঞা আছে কিন্তু সেগুলো সুসংগতভাবে জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হয় এবং এক্সপোনেনসিয়াল বৈশিষ্ট্যাবলি মেনে চলে। কোন জটিল সংখ্যা "z" ও "w" হলে, এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশনটি formula_62মেনে চলে। সুনির্দিষ্টভাবে, কোন জটিল সংখ্যা formula_63এর জন্য,

formula_64

দ্বিতীয় পদ formula_65এর মান অয়লারের সূত্র থেকে পাওয়া যায়,

formula_66।

এই সূত্রটি ত্রিকোণমিতি ও বীজগণিতের সমস্যার যোগসূত্র হিসেবে কাজ করে।

অতএব, কোন জটিল সংখ্যা formula_63হলে,

formula_68।

পীথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক অভেদ এর কারণে formula_69এর পরম মান ১। সুতরাং, বাস্তব অংশ formula_70হচ্ছে formula_71এর পরম মান এবং কাল্পনিক অংশ formula_72দ্বারা জটিল সংখ্যা formula_71এর আর্গুমেন্ট (কোণ) নির্দেশ করা হয়।

ঋণাত্মক সূচক
ধনাত্মক বাস্তব ভিত্তিবিশিষ্ট জটিল সূচকসমূহ
শূন্য এর ঘাতসমূহ
পুনরাবৃত্ত সূচকীকরণ