মূল নিবন্ধ: সিমপ্লেকটিক জ্যামিতি

সিমপ্লেকটিক জ্যামিতি হচ্ছে সিমপ্লেকটিক স্থান ("symplectic manifolds") নিয়ে আলোচনা। একটি প্রায় সিমপ্লেকটিক স্থান হচ্ছে প্রতিটি স্পর্শক-স্থানে মসৃণভাবে পরিবর্তনশীল, অবিচ্যুত ("non-degenerate"), তীর্যক-প্রতিসম ("skew-symmetric"), দ্বি-রৈখিক আকার সংবলিত একটি ব্যবকলনযোগ্য স্থান, অর্থাৎ, একটি অবিচ্যুত ২-আকার "ω", যার নাম "সিমপ্লেকটিক" আকার। কোন সিমপ্লেকটিক স্থান হচ্ছে একটি প্রায় সিমপ্লেকটিক স্থান, যার জন্য সিমপ্লেকটিক আকার "ω" আবদ্ধ: d"ω" = 0।

দুটি সিমপ্লেকটিক স্থানের মধ্যে এমন ডিফিওমরফিজম যা সিমপ্লেকটিক আকারটি সংরক্ষণ করে, তাকে সিমপ্লেকটো-মরফিজম বলে। কেবলমাত্র যুগ্ম (জোড়)-মাত্রাবিশিষ্ট ভেক্টর স্থানেই অবিচ্যুত, তীর্যক-প্রতিসম, দ্বি-রৈখিক আকারের অস্তিত্ব থাকতে পারে, সুতরাং সিমপ্লেকটিক স্থানসমূহের আবশ্যকভাবে যুগ্ম মাত্রা থাকে। মাত্রা ২ হলে, কোন সিমপ্লেকটিক স্থান হচ্ছে ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি পৃষ্ঠতল এবং সিমপ্লেকটো-মরফিজম হচ্ছে ক্ষেত্রফল-সংরক্ষণশীল ডিফিওমরফিজম। কোন যান্ত্রিক ব্যবস্থার দশা স্থান ("phase space") হচ্ছে একটি সিমপ্লেকটিক স্থান এবং ইতোমধ্যেই এর অব্যক্ত উপস্থিতি দেখা যায়, বিশ্লেষণমূলক বলবিদ্যায় জোসেফ লুই লাগ্রাঁজ এর কাজে, ও পরবর্তীকালে কার্ল গুস্তাভ জ্যাকোবি আর উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিলটন এর চিরায়ত বলবিদ্যার সূত্রায়নে।

রিমানীয় জ্যামিতি, যেখানে বক্রতা থেকে রিমানীয় স্থানের একটি স্থানিক অভেদ ("local invariant") পাওয়া যায়, তার সাথে বৈসাদৃশ্যপূর্ণভাবে, দারবুঁ'র উপপাদ্যে বলা হয় যে, সকল সিমপ্লেকটিক স্থান হচ্ছে স্থানিকভাবে সমরূপী ("locally isomorphic")। সিমপ্লেকটিক স্থানের একমাত্র অভেদসমূহ হচ্ছে সার্বিক ("global") প্রকৃতির, এবং টপোলজির প্রেক্ষাপট থেকে সিমপ্লেকটিক জ্যামিতিতে মুখ্য একটি ভূমিকা পালন করে। সিমপ্লেকটিক জ্যামিতির প্রথম ফলাফল সম্ভবত পোয়াঁকারে-বার্কফ উপপাদ্য ("Poincaré–Birkhoff theorem"), যার ধারণা দেন অঁরি পোয়াঁকারে এবং পরে জি.ডি. বার্কফ কর্তৃক ১৯১২ সালে তা প্রমাণিত হয়। এটা দাবি করে যে, যদি কোন চাক্রিক-বস্তুর ("annulus") ক্ষেত্রফল-সংরক্ষণশীল রূপান্তর, এর সীমারেখায় অবস্থিত প্রতিটি উপাদানকে বিপরীত দিকে মোচড় দেয়, তাহলে ঐ রূপান্তরের কমপক্ষে দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু রয়েছে।

স্পর্শ জ্যামিতি
সিমপ্লেকটিক জ্যামিতি
ব্যবকলনীয় টপোলজি
অন্তর্নিহিত বনাম বাহ্যিক দৃষ্টিকোণ