জটিল সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রোমজোড় "(x,y)" হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে সংখ্যাটি হচ্ছে জটিল সমতলে একটি বিন্দু, যেখানে "x" এবং "y" হচ্ছে স্থানাংকের অক্ষ। ঠিক যেমন বাস্তব সংখ্যাগুলিকে সংখ্যা রেখার উপর একটি বিন্দু হিসেবে প্রকাশ করা হয়। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয় জটিল সমতল বা জেড প্লেন। এক্ষেত্রে "x"-অক্ষ বরাবর বাস্তব অংশ এবং "y"-অক্ষ বরাবর সংখ্যাটির অবাস্তব বা কাল্পনিক অংশ ধরা হয়। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় "(x,0)" আকারের প্রতিটি জটিল সংখ্যাই আসলে জটিল সমতলে "x"-অক্ষ বরাবর একেকটা বিন্দু, যারা কিনা নিজেরা একই সাথে একেকটা বাস্তব সংখ্যা। এভাবে "জটিল সমতলের" "x"-অক্ষ বরাবর ধনাত্বক এবং ঋণাত্বক দিকে যেতে থাকলে আমরা R এর প্রতিটি সংখ্যা অর্থাৎ প্রত্যেকটা বাস্তব সংখ্যাকেই খুজে পাব। তার মানে আমরা এই "x"-অক্ষ কে আমাদের পরিচিত সংখ্যা রেখা হিসেবে ভাবতে পারি।

অতএব, দেখা যাচ্ছে সংখ্যা রেখার প্রতিটি বিন্দুই আসলে জটিল সমতলের অন্তর্ভুক্ত। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় যে formula_4।

যদি "(x,y)" ক্রোমজোড় টিকে আমরা "z" নাম দেই তাহলে লেখা হয়।
যেখানে 

দুইটি জটিল সংখ্যা formula_8 এবং formula_9 সমান হবে যদি তারা "জটিল সমতলে" একই বিন্দু নির্দেশ করে। অর্থাৎ formula_10 হয়।

তাদের যোগ ফল formula_11 এবং গুন ফল formula_12 কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যথাক্রমে:

দ্বারা। লক্ষণীয় যে, এখানে বর্ণিত এই দুইটি অপারেশন হচ্ছে জটিল সংখ্যার সেটের উপর ক্রিয়াশীল দুইটি মৌলিক অপারেশন যারা বাস্তব সংখ্যার আনুসাঙ্গিক অপারেশন থেকে উৎসরিত। অর্থাৎ অপারেশনগুলো কে কোনোভাবে প্রতিপাদন করা হয়নি। শুধুমাত্র স্বীকার করে নেওয়া হয়েছে।

যদি আমাদের আলোচ্য জটিল সংখ্যা দুইটির কাল্পনিক অংশ শূন্য হয়, তাহলে এই অপারেশন দুইটি বাস্তব সংখ্যার অপারেশনে পরিণত হয়। অর্থাৎ formula_15 এবং formula_16 এর জন্য।

অর্থাৎ, জটিল সংখ্যা পদ্ধতি আসলে বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতির একটা ‘ন্যাচারাল এক্সটেনশন’ বা ‘প্রাকৃতিক প্রবৃদ্ধি’ 

যে কোনো জটিল সংখ্যা formula_19কে একটু আগে বর্ণিত যোগের নিয়ম অনুসারে লেখা যেতে পারে formula_20 এবং পূর্বে বর্ণিত "গুণন" এর নিয়ম অনুযায়ী একটু হিসাব করলেই আমরা পেতে পারি formula_21। অর্থাৎ,
এখন আমরা যদি বাস্তব সংখ্যা "x" কে জটিল সমতলে "( x , 0 )" আকারে কল্পনা করি তাহলে দেখি যে এই সমীকরণে "(y,0)" আসলে একটা বাস্তব সংখ্যা যেটি "(0,1)" এর সাথে গুন হয়ে "z" এর অবাস্তব অংশ "(0,y)" তৈরি করছে। অর্থাৎ এই "(0,1)" ই হল সেই কাল্পনিক একক যাকে আমরা এখন থেকে formula_23 দ্বারা প্রকাশ করব। 
এখন "(x,0)" আকারের রাশিসমূহকে শুধু "x" আকারে লিখলে আমরা পাই:
যা আমাদের পরিচিত জটিল সংখ্যার আকার!

এখন আমরা লক্ষ্য করি যে,

অর্থাৎ formula_1 যেখান থেকে আমাদের পরিচিত formula_27 এই ফর্মুলাটার সৃষ্টি। যদিও বর্গমূল অপারেশন টি ঋণাত্মক সংখ্যার উপর ধনাত্মক সংখ্যার মতো করে সংজ্ঞায়িত নয়। এই নোটেশনাল অ্যাবিউজ এর জন্য আমাদের প্রায়ই কিছু ভুল উপসংহারে পৌছাতে হয়। 

সিগন্যাল বিশ্লেষণ
বাস্তব সংখ্যার ক্রোমজোড় হিসাবে
ইমপ্রোপ্রার ইন্টিগ্রাল
আপেক্ষিকতা