জটিল শক্তি ও জটিল লগারিদম যেভাবেই "একক-মান ফাংশন" হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হোক না কেন, ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য কিছু কিছু শক্তি ও লগারিদমিক অভেদ, জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ব্যর্থ হবে। যেমন:


formula_128

লগারিদমের যে শাখাই ব্যবহার করা হোক, অভেদের একই ধরনের ব্যর্থতা বজায় থাকবে। বড়জোড় এটুকু বলা যেতে পারে যে (যদি কেবলমাত্র এই ফলাফল ব্যবহৃত হয়):

formula_129

লগ-কে বহুমান ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করলেও এই অভেদ সিদ্ধ হয় না। log("w") এর সম্ভাব্য মানগুলো "z" ⋅ log "w" এর মানগুলোকে উপসেট হিসেবে ধারণ করে। Log("w") কে, log("w") এর মুখ্য মানের হিসেবে ব্যবহার করে এবং "m", "n" কে যে কোন পূর্ণ সংখ্যা ধরে নিয়ে, উভয় পক্ষের সম্ভাব্য মানগুলো হলো:

formula_130


formula_131

এবং

formula_132।

অন্যদিকে, যখন "x" একটি পূর্ণ সংখ্যা, সকল অশূন্য জটিল সংখ্যার জন্য অভেদগুলো বৈধ।

সূচকীকরণকে যদি বহুমান ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তাহলে (−১ ⋅ −১) এর সম্ভাব্য মানগুলি হচ্ছে {১, −১}। অভেদটি সিদ্ধ হলেও, {১} = {(−১ ⋅ −১)} বলাটা ভুল।



কিন্তু পূর্ণ সংখ্যা "n" অশূন্য হলে এটি মিথ্যা। ত্রুটি হচ্ছে: সংজ্ঞানুসারে, formula_141 হচ্ছে formula_142এর চিহ্নলিপি, একটি প্রকৃত ফাংশন, এবং formula_143হচ্ছে formula_144এর একটি চিহ্নলিপি, যা একটি বহুমান ফাংশন। এজন্য, "x" = "e" হলে এই চিহ্নলিপিটি দ্ব্যর্থক। এখানে, ঘাতের বিস্তারের আগেই দ্বিতীয় বাক্যটি হওয়া উচিৎ:

formula_145।

অতএব, ঘাতের বিস্তারের সময় অব্যক্তভাবে ধরে নেওয়া হয়েছে formula_146, "z" এর জটিল মানসমূহের জন্য, যা সঠিক নয়, কেননা জটিল লগারিদম হচ্ছে বহুমান-বিশিষ্ট। অন্য কথায়, ভুল অভেদ ("e")"" = "e" অবশ্যই formula_147এই অভেদটি দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে; যা বহুমান ফাংশনগুলোর মধ্যে একটি প্রকৃত অভেদ।

বাস্তব সূচকসমূহ
শক্তি ও লগারিদমিক অভেদাবলির ব্যর্থতা
এক এর ঘাতসমূহ
(-১) এর ঘাতসমূহ