ধরুন | সর্বনিম্ন | পি (জেড) | পুরো জটিল প্লেন z0 এ অর্জন করা হয়; লিউভিলির উপপাদ্যটি ব্যবহার করে এমন প্রমাণে এটি দেখা গিয়েছিল যে এই জাতীয় সংখ্যার উপস্থিতি অবশ্যই রয়েছে। আমরা z (z) কে z - z0 তে বহুবর্ষ হিসাবে লিখতে পারি: কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যা কে আছে এবং কিছু জটিল সংখ্যার সিসি, সি কে + 1, ..., সিএন যেমন সি কে ≠ 0 এবং:

<nowiki>   পি (জেড) = পি (জেড 0) + সি কে (জেড - জেড 0) কে + সি কে + 1 (জেড - জেড 0) কে + 1 + ⋯ + সি এন (জেড - জেড 0) এন। {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (জেড) = পি (জেড_ {0}) + সি_ {কে} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে} + সি_ {কে + 1} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে +1} + \ সিডটস + সি_ {n} (জেড-জেড_ {0}) ^ {n}।} পি (জেড) = পি (জেড_ {0}) + সি_ {কে} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে} + সি_ {কে + 1} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে + 1} + \ সিডটস + সি_ {এন} (জেড-জেড_ {0}) ^ {n}}</nowiki>

যদি পি (জেড0) ননজারো হয় তবে এটি অনুসরণ করে যে a যদি −p (z0) / ck এর একটি Kth মূল হয় এবং যদি টি ইতিবাচক এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট হয় তবে | পি (z0 + টা) | <| p (z0) |, যা অসম্ভব, যেহেতু | পি (জেড 0) | | পি | এর সর্বনিম্নতম ডি তে

দ্বন্দ্বের দ্বারা আরেকটি টপোলজিকাল প্রমাণের জন্য ধরুন, বহুপদী পি (জেড) এর কোনও শিকড় নেই এবং ফলস্বরূপ কখনই 0 এর সমান হয় না। বহুলোকটিকে জটিল প্লেন থেকে জটিল প্লেনের মানচিত্র হিসাবে ভাবেন। এটি কোনও বৃত্তের মানচিত্র | z | | = একটি বন্ধ লুপে একটি বক্ররেখা পি (আর)। R খুব বড় এবং যখন R = 0. যখন আর পর্যাপ্ত পরিমাণে পি (আর) এর বাতাসের সংখ্যার সাথে কী ঘটে তা আমরা বিবেচনা করব, যখন আর आर যথেষ্ট পরিমাণে সংখ্যক হয়, তখন পি (জেড) এর শীর্ষস্থানীয় টার্ম zn অন্যান্য সমস্ত পদকে প্রাধান্য দেয় মিলিত; অন্য কথায়,

<nowiki>Z যখন বৃত্তটি আর ei θ {\ ডিসপ্লেস্টাইল রে ^ {i \ theta}} {\ \ ডিসপ্লেস্টাইল রে ^ {i \ থিটা}} একবার ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে (0 ≤ θ ≤ 2 π), {\ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ লেক \ theta \ leq 2 \ pi),} {\ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi),} তারপরে zn = R ein θ {\ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} = রে ^ {\ থিতা} { \ \ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} = রিটা ta {ইন থিটা} s বাতাস n বার ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে (0 ≤ θ ≤ 2 π n) \ \ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ লেক \ থিতা \ লেক 2 \ পাই এন)} { \ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ লেক \ থাটা \ লেক 2 \ পাই এন)} উত্স (0,0), এবং একইভাবে পি (আর) এর চারপাশে। অন্য চরম সময়ে, সাথে | জেড | = 0, কার্ভ পি (0) কেবলমাত্র একক পয়েন্ট পি (0), যা ননজারো হতে হবে কারণ পি (জেড) কখনই শূন্য হয় না। সুতরাং পি (0) অবশ্যই মূল (0,0) থেকে পৃথক হওয়া উচিত, যা জটিল বিমানে 0 টি বোঝায়। উৎপত্তি (0,0) এর চারপাশে পি (0) এর বাতাসের সংখ্যাটি 0 টি Now এখন অবিচ্ছিন্নভাবে পরিবর্তন করা লুপকে অবিচ্ছিন্নভাবে বিকৃত করবে। কিছু আর এ বাঁক সংখ্যা অবশ্যই পরিবর্তন করতে হবে। তবে কেবল তখনই ঘটতে পারে যদি কার্ভ পি (আর) এর কিছু আর এর জন্য মূল (0,0) অন্তর্ভুক্ত থাকে তবে তারপরে সেই বৃত্তের কিছু জেড | z | = আর আমাদের পি (জেড) = 0 রয়েছে, যা আমাদের আসল অনুমানের বিরোধিতা করে। সুতরাং, পি (জেড) এর কমপক্ষে একটি শূন্য রয়েছে।</nowiki>

ইতিহাস
টপোলজিকাল প্রমাণ
প্রমাণ
জটিল-বিশ্লেষণমূলক প্রমাণ