"i" = 1, ..., "n" এর জন্য "n" সংখ্যক পরিমাপকৃত মান formula_118 দেওয়া থাকলে আমরা যে পয়সোঁ সমগ্রক থেকে নমুনা নেওয়া হয়েছে তার "λ" পরামিতির মান পরিমাপ করতে পারব। সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা পরিমাপ হলো 

প্রতিটি মানের প্রত্যাশিত মান "λ" হওয়ায় এই গড়ের প্রত্যাশিত মানও "λ"। ফলে সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা পরিমাপ "λ" এর একটি নিরপেক্ষ পরিমাপক হবে। এছাড়াও এটি হবে একটি সূক্ষ্ম পরিমাপক। অর্থাৎ, এর পরিমাপকৃত ভেদাঙ্ক "ক্র্যামার-রাও নিম্ন সীমা (CRLB)" অর্জন করবে। অতএব, এটি হবে ন্যূনতম ভেদাঙ্কের নিরপেক্ষ পরিমাপ। এছাড়াও দেখানো যাবে যে এর সমষ্টি (এবং নমুনা গড়, কারণ এটি সমষ্টির এক-এক অপেক্ষক) "λ" এর একটি পূর্ণাঙ্গ ও পর্যাপ্ত পরিসংখ্যা।

পর্যাপ্ততা প্রমাণের জন্য আমরা উৎপাদকায়ন উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি। এজন্য আমরা নমুনার যুক্ত পয়সোঁ বিন্যাসের সম্ভাবনা ভর অপেক্ষককে দুটি অংশ ভাগ করি: একটি অংশ কেবলমাত্র নমুনা formula_120 এর ওপর নির্ভর করে (যাকে formula_121 বলা হয়), আর আরেকটি নির্ভর করে "λ" ও formula_122 অপেক্ষকের মাধ্যমে নমুনা formula_120 এর ওপর। অতএব formula_122 হবে "λ" এর পর্যাপ্ত পরিসংখ্যা।

এখানে প্রথম পদ formula_121 শুধু formula_120 এর ওপর নির্ভর করে। দ্বিতীয় পদ formula_128 শুধু formula_129 এর মাধ্যমে নমুনার ওপর নির্ভর করে। অতএব, formula_122 পর্যাপ্ত।

সম্ভাবনা অপেক্ষককে সর্বোচ্চ মান প্রদানকারী "λ" এর মান বের করতে আমরা সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের অ্যালগোরিদম ব্যবহার করতে পারি:

"formula_132" কে "λ" এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে ০ এর সাথে তুলনা করি:

"λ" এর জন্য এখান থেকে একটি স্থির বিন্দু পাওয়া যায়

অতএব, "k" মানগুলোর গড় হলো "λ"। স্থির বিন্দুতে "L" এর দ্বিতীয় অন্তরকের চিহ্ন দেখে জানা যাবে "λ" কেমন চরম মান।

স্থির বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরকের মান নির্ণয় করলে হবে:

যা k মানগুলোর গড়ের বিপরীত সংখ্যার "n" গুণের ঋণাত্মক সংখ্যা। গড় ধনাত্মক হলে এটি ঋণাত্মক হয়। এই শর্ত পূরণ হলে সম্ভাবনা অপেক্ষক এই স্থির বিন্দুতে সর্বোচ্চ মান প্রদান করে।

অন্য দিকে, একটি বিন্যাস গুচ্ছকে পূর্ণাঙ্গ বলা হয় যদি এবং কেবল যদি সকল formula_7 এর জন্য formula_138 থেকে formula_139 হয়। যদি formula_140 গুলো সুষম ও স্বাধীন বিন্যাস formula_141 মেনে চলে, তাহলে formula_142। আমাদের কাঙ্খিত বিন্যাস জানা থাকায় সহজেই দেখায় যায়, এই পরিসংখ্যা পূর্ণাঙ্গ।

এই সমীকরণকে সত্য হতে হলে formula_144 এর মান ০ হতে হবে। কারণ সমষ্টির সকল formula_145 ও formula_7 এর সকল সম্ভাব্য মানের জন্য অন্য কোনো পদই ০ হবে না। অতএব, সকল formula_7 এর জন্য formula_138 থেকে formula_139। অতএব, পরিসংখ্যাটিকে পূর্ণাঙ্গ হিসেবে প্রমাণ করা গেল।

উদাহরণ
পয়সোঁ দৈব চলকের সমষ্টি
সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা
ইতিহাস