তিনটি স্থানিক চলরাশি ("x","y","z") (কার্তেসিয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দ্রষ্টব্য) ও সময় সূচক চলরাশি "t" যুক্ত একটি অপেক্ষক "u"("x","y","z","t") এর জন্য তাপীয় সমীকরণ হল,

সাধারনভাবে যেকোন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার জন্য,

formula_2

যেখানে "α" একটি ধনাত্মক ধ্রূবক, এবং Δ বা ∇ হল লাপ্লাসের অপারেটর। তাপমাত্রা পরিবর্তনের বাস্তবিক সমস্যায়, "u"("x","y","z","t") তাপমাত্রা ও "α" তাপীয় আস্রবণকে নির্দেশ করে। গাণিতিক সরলতার উদ্দেশ্যে "α" = 1 ধরে নেওয়াই যথেষ্ট।

লক্ষ্যণীয় যে, তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র (অর্থাৎ শক্তির সংরক্ষণের নিয়ম) থেকে প্রাপ্ত অবস্থার সমীকরণ , নিম্নলিখিত আকারে লেখা হয় (কোন ভরের আদান-প্রদান বা বিকিরণ হয়নি ধরে নিয়ে) । এই আকারটি বেশি সাধারন বা বৈকল্পিক এবং কোন বৈশিষ্ট্য (যেমন "c" বা "ρ") কোন পদটির উপর প্রভাব বিস্তার করছে তা জানার জন্যই বিশেষ ভাবে ব্যবহৃত হয়।

formula_3

যেখানে formula_4 হল আয়তনিক তাপ উৎস।

বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রে তাপীয় সমীকরণের মৌলিক গুরুত্ব রয়েছে। গণিতবিদ্যায়, এটি অধিবৃত্তের আংশিক অবকল সমীকরণের প্রামাণিক আকার। সম্ভাবনা তত্ত্বে, ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণের মাধ্যমে ব্রাউনীয় চলনের বিশ্লেষণে তাপীয় সমীকরণের ব্যবহার রয়েছে। ব্যবসায়িক আর্থিক গণিতে, ব্ল্যাক-সোলস্ আংশিক অবকল সমীকরণের সমাধানে এটি ব্যবহৃত হয়। রাসায়নিক আশ্লেষন ও তৎসম্বন্ধীয় আরও কিছু প্রক্রিয়ার পর্যবেক্ষণে পাওয়া যায় আশ্লেষ সমীকরণ, যা হল তাপীয় সমীকরণের একটি সরলীকৃত রূপ।

সাধারণ বর্ণনা
একমাত্রিক অবকল
বাহ্যিক বা বাস্তবিক সমস্যা ও তাপীয় সমীকরণ
তাপীয় সমীকরণের বিবৃতি