বার্নোলির কাজ মূলত ল্যাটিন ভাষায় প্রকাশিত হয়। এটি চারভাগে বিভক্ত। এতে বিশেষ করে আলোচনা করা হয়েছে তার বিন্যাস ও সমাবেশের তত্ত্ব; বর্তমানের আদর্শ গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বের ভিত্তি ও মৌলিক সমস্যাগুলোর উপসেট, যেগুলো বর্তমানে টুয়েলভফোল্ড ওয়ে নামে পরিচিত। এতে আরো আলোচিত হয়েছে সংখ্যার এক ধরণের ধারার প্রয়োগ ও নানা অনুপ্রেরণা, যা সম্ভাবনার চেয়ে সংখ্যাতত্ত্বের সাথেই বেশি সম্পর্কিত; তার নামেই সে সংখ্যাগুলোর নামকরণ, সংখ্যাগুলোকে বলা হয় বার্নোলি সংখ্যা। এটি তার অন্যতম অর্জন।

প্রথম ভাগে হাইগেনের "De ratiociniis in aleae ludo" -এর গভীরভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। হাইগেনের দেয়া পাঁচটি সমস্যার সমাধান তিনি এতে উল্লেখ করেছেন। এর সাথে সাথে তিনি আংশিকভাবে হাইগেনের "কাঙ্ক্ষিত ফল-একটি ঘটনার সম্ভাব্য ফলের গূরুত্বযুক্ত গড়" -এর ধারণাও গড়ে তুলেছেন। হাইগেন নিম্নোক্ত সূত্রটি গড়ে তুলেছেনঃ

formula_6

সূত্রটিতে, "E" হলো কাঙ্ক্ষিত মান, "p" হলো প্রত্যেক মান পাওয়ার সম্ভাবনা, এবং "a" হলো প্রাপ্য মান। বার্নোলি কাঙ্ক্ষিত ফলকে সাধারণ করে নিয়ে আসেন। তিনি ধরেন, "p" হলো মানসমূহের নিশ্ছেদ ফল এবং তিনি প্রয়োগ করেন "p" + "p" + ... + "p" = 1। এই খন্ডে আরেকটি তত্ত্ব উন্নিত হয়। তা হলো- বাইনারি ঘটনার অন্তত একটি সফলতা অর্জনের সম্ভাবনা, বর্তমানে যার নাম বের্নুই পরীক্ষা বা দ্বিপদী পরীক্ষা। বার্নোলি গাণিতিক আরোহী পদ্ধতির মাধ্যমে দেখান যে, যদি প্রতি ঘটনার সম্ভাব্য ফল "a" দেয়া থাকে, "b" যদি হয় প্রতি ঘটনার মোট ফল, "d" যদি হয় কাঙ্ক্ষিত সফল ফল, "e" যদি হয় ঘটনার সংখ্যা, তবে "d" সংখ্যক সফলতার সম্ভাবনা হবেঃ

formula_7

প্রথম খণ্ডের ইতি টানা হয়েছে প্রচলিত বার্নোলি বিন্যাসের মাধ্যমে।

দ্বিতীয় ভাগে আলোচিত হয়েছে গণনামূলক গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব বা বস্তুর নিয়মানুগ গণনা। টুয়েলভ ফোল্ড ওয়ের খুব গূরুত্বপূর্ণ দুটি অংশ - এই বিষয়ের ভিত্তি বিন্যাস-সমাবেশ - এই ভাগে বিস্তার পেয়েছে। এর আগের ভাগে এই বিষয় দুটিকে উপস্থাপন করা হয়েছে সম্ভাবনা তত্ত্বের জন্য। কম্বিনেটোরিয়াল আর্গুমেন্টস ব্যবহার করে তিনি পূর্ণসাংখ্যিক ঘাতের প্রথম দ্বিপদী বিস্তৃতির অ-আরোহী প্রমাণ উপস্থাপন করেন। দ্বিতীয় ভাগে পূর্ণসাংখ্যিক ঘাতের সমষ্টির সাধারণ সূত্র প্রদান করেন; আর তাই এই সূত্রের মুক্ত সহগগুলোকে বার্নোলি সংখ্যা বলা হয়, যেটি পরবর্তীতে আব্রাহাম ডে মোয়াভ্রর কাজকে অনুপ্রাণিত করে। সংখ্যা তত্ত্বে এর অসংখ্য প্রয়োগ লক্ষ্য করা যায়।

তৃতীয় ভাগে, কার্ড বা ছক্কা দিয়ে খেলা হয় এমন বিভিন্ন খেলায় বার্নোলি প্রথম ভাগের সম্ভাবনার বিভিন্ন পদ্ধতি প্রয়োগ করেন। তিনি কার্ড গেমের নিয়ম বা পদ্ধতির তার নিজস্ব ব্যাখ্যা বর্ণনা করার প্রয়োজন বোধ করেন নি। তিনি এখানে সম্ভাবনা সম্পর্কিত বিভিন্ন সমস্যা নিয়ে এসেছেন। এবং যখন কোনো একটা পদ্ধতি প্রমাণ করেছেন তারপরই সেটিকে সার্বজনীন করে নিয়ে এসেছেন। যেমনঃ "কোর্ট কার্ড"-এর কাঙ্ক্ষিত সংখ্যার একটি সমস্যা- জ্যাক, কুইন, কিং - আদর্শ ৫২ তাসের ১২ কোর্ট কার্ড থেকে একজন পাঁচ কার্ডের হাত নিবে, এটাকে সাধারণ করে বলা যায়, "b" কোর্ট কার্ড সম্বলিত "a" তাস থেকে একটি "c" কার্ডের হাত।

চতুর্থ ভাগেও তিনি বাস্তবভিত্তিক প্রয়োগের ধারা বজায় রেখেছেন। তিনি আলোচনা করেছেন, "civilibus", "moralibus", and "oeconomicis" এর সম্ভাবনা। আবার, ব্যক্তিগত, বিচারকার্যের ও অর্থনৈতিক সিদ্ধান্তের সম্ভাবনাও আলোচনা করেছেন। এই ভাগে, বার্নোলি প্রচলিত চিন্তাধারা, ফ্রিকুয়েন্টিজমের সম্ভাবনার গবেষণামূলক উপস্থাপনা থেকে একটু ভিন্নভাবে কাজ করেছেন। এর বিপরীতে বৃহৎ সংখ্যার তত্ত্বের ভিত্তিতে তিনি একটি ফলাফল উপস্থাপন করেন, যেটিকে তিনি ধারনা করেছেন পর্যবেক্ষনের ফলাফল তত্ত্বীয় ফলাফলের তত বেশি নিকটবর্তী হবে যত বেশিবার সেটিকে প্রয়োগ করা হবে, কিন্তু অন্যদিকে তৎকালীন লোকেরা সাবেক পদ্ধতিতে সম্ভাবনাকে সজ্ঞায়িত করতো। বার্নোলি তার ফলাফল নিয়ে যথেষ্ট গর্বিত ছিলেন। তিনি একে বলেছেন , "গোল্ডেন থিওরেম"। এটির সম্পর্কে তিনি বলেন, "এই সমস্যার পিছনে আমি বিশ বছর সময় দিয়েছি।" এই তত্ত্বের প্রথম দিকের রূপকে বর্তমানে বার্নোলি তত্ত্ব বা বৃহৎ সংখ্যার দূর্বল তত্ত্ব বলা হয়, কারণঃ এটির আধুনিক রূপের চেয়ে পুরনোটি অনেক কম কার্যকরী ও সাধারন।

এই প্রাথমিক ব্যাখ্যামূলক চার ভাগের পর, বার্নোলি আর্স কনজেঞ্জিতে ক্যালকুলাসের বিস্তার যোগ করেন, এতে অসীম ধারাও আলোচিত হয়েছে। ১৬৮৬ থেকে ১৭০৪ সালের মধ্যে এটি পাঁচ ভাগে পুনঃপ্রকাশিত হয়।

আর্স কনজেঞ্জির বিকাশ
বিষয়বস্তু
প্রেক্ষাপট
পরম্পরা