"r" ব্যাসার্ধ্য এবং "d"=2"r" ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিধি হচ্ছে π"d" এবং তার ক্ষেত্রফল হল π"r"। এছাড়া বৃত্তকে কেন্দ্র করে গড়ে ওঠা আরও বেশ কিছু আকৃতি ও গড়নের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ে পাই ব্যবহৃত হয়। এর মধ্যে রয়েছে উপবৃত্ত, গোলক, কোণ এবং টোরাস। একই সাথে পাই নির্দিষ্ট যোগজে পরিধি, ক্ষেত্রফল ও আয়তন প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত হয়। বৃত্তের বিভিন্ন সজ্জার মাধ্যমেই সৃষ্ট পরিধি, ক্ষেত্রফল ও আয়তনই এখানে বিবেচ্য। যেমন, একটি একক চাকতির ক্ষেত্রফলের সমীকরণটি হচ্ছে:
এবং
সমীকরণটি দ্বারা একক বৃত্তের পরিধির অর্ধেক নির্ণয় করা যায়। আরও জটিল সমীকরণ পাইয়ের সহায়তায় যোগজীকরণ করা যায়। তবে সেক্ষেত্রে সলিড্‌ অফ রিভলিউশন এর প্রয়োজন পড়ে।

ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের একক বৃত্ত সংজ্ঞা থেকে জানা যায়, সাইন এবং কোসাইন অপেক্ষকের পর্যায় হচ্ছে 2π। অর্থাৎ, সকল চলক "x" এবং সকল পূর্ণ সংখ্যা "n" এর জন্য sin("x") = sin("x" + 2π"n") এবং cos("x") = cos("x" + 2π"n")। কারণ, সকল পূর্ণ সংখ্যা "n" এর জন্য sin(0) = 0, sin(2π"n") = 0। অন্যদিকে আবার, ১৮০° কোণ মানের দিক থেকে π রেডিয়ানের সমান। অন্য কথায় ১° = (π/১৮০) রেডিয়ান।

আধুনিক গণিতে, অনেক সময়ই ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করে পাইয়ের সংজ্ঞা দেয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, sin "x" = 0 সমীকরণটির কথা ধরা যাক। "x"-এর যে ক্ষুদ্রতম অশূন্য ধনাত্মক মানের জন্য এই সমীকরণটি সত্য হবে তাকে পাইয়ের সংজ্ঞা হিসেবে ধরা যায়। কারণ sin "π" = 0। এভাবে সংজ্ঞায়িত করে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ও সমাকলনের অপ্রয়োজনীয় ঝামেলা এড়ানো যায়। একইভাবে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করেও এ ধরনের সংজ্ঞা দেয়া যায়। একটি উদাহরণ দেয়া যাক, π = 2 arccos(0) or π = 4 arctan(1)। পাইয়ের অসীম ধারা প্রতিপাদন করার জন্যও বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করা হয়। বিপরীত ত্রিককণমিতিক অপেক্ষক বর্ধিত করার মাধ্যমেই এই প্রতিপাদনটি করা সম্ভব।

অমূলদত্ব ও তুরীয়ত্ব
সাংখ্যিক মান
জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতি
জ্যামিতির যুগ