বাস্তব সংখ্যার হাইপাররিয়াল ব্যাপ্তিতে  এর সাথে, বাস্তব ফাংশন এর কোন বাস্তব বিন্দু  এ অন্তরজ অতিক্ষুদ্র ∆x এর জন্য ভাগফল  এর shadow হিসেবে সঙ্গায়িত, যেখানে । এখানে f এর hyperreal extension বা হাইপাররিয়াল ব্যাপ্তি এখনও f কেই প্রকাশ করে। এখানে অন্তরজের অন্তিত্ব থাকে যদি shadow ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র মানের উপর অনির্ভরশীল হয়।   

নির্ণেয়ের উদাহরণ
হাইপাররিয়াল এর উপর সংজ্ঞা
সংযুক্ত ফাংশনের নিয়ম
নির্ণেয়ের নিয়ম