বহুপদীর ক্ষেত্রে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বীজগাণিতিক সমীকরণসমূহ সমাধানের সঙ্গে দৃঢ়ভাবে সম্পৃক্ত। একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ হল formula_68, যেখানে 
যাতে এর একটি বহুপদী এবং formula_70।
এই সমীকরণের একটি সমাধান (সমীকরণের মূলও বলা হয়) হল এর এমন মান , যেন formula_71 হয়।

যদি দুটি বহুপদীর গুণফল আকারে এর বিশ্লেষিত রূপ formula_72 হয়, তবে এর মূলগুলো হল এর মূলসমূহ এবং এর মূলসমূহের সংযোগ। এভাবে এর সমাধান ও এর সমাধান দ্বারা নির্ণয় করা যায়।

বিপরীতক্রমে ভাগশেষ উপপাদ্যের বক্তব্য হলো যদি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে কে formula_73 আকারে লেখা সম্ভব, যেখানে হল কে দ্বারা ইউক্লিডীয় ভাগ পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ভাগফল।

যদি এর সহগসমূহ বাস্তব অথবা জটিল হয়, তবে বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী, এর বাস্তব অথবা জটিল মূল রয়েছে। পৌনঃপুনিক ভাবে ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে পাওয়া যায়
যেখানে এর বাস্তব কিংবা জটিল মূল গুলো হল formula_75।এই বিশ্লেষিত রূপটি (ক্রম উপেক্ষা করে) অনন্য।

যদি এর মূলগুলো বাস্তব হয় তবে বাস্তব সহগবিশিষ্ট উৎপাদক পাওয়া যায়। এক্ষেত্রে সম্পূর্ণ উৎপাদকে বিশ্লেষণের পর দেখা যেতে পারে যে কিছু কিছু উৎপাদকের দ্বিঘাত রয়েছে। এই বিশ্লিষ্ট রূপকে খুব সহজেই ব্যবস্থাপনা করা যায়। প্রকৃতপক্ষে, যদি এর একটি জটিল মূল হয় তবে এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা ও এর একটি মূল হবে। ফলে এদের গুণফল
টি এর উৎপাদক, যার বাস্তব মান রয়েছে। এই গুচ্ছীকরণ পদ্ধতিটি ততক্ষণ পর্যন্ত থাকবে যতক্ষণ পর্যন্ত না বিশ্লিষ্ট রুপটি বাস্তব উৎপাদকের এক কিংবা দ্বিঘাতসম্পন্ন হয়।

এই বাস্তব কিংবা জটিল উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য বহুপদী টির মূলগুলো জানা থাকা প্রয়োজন। সাধারণভাবে সেগুলো সরাসরি নির্ণয় করা সম্ভব হয় না এবং শুধুমাত্র আসন্ন মান পাওয়া যেতে পারে। এই উদ্দেশ্যে ডিজাইন করা অসংখ্য অ্যালগরিদম এর জন্য দেখুন মূল অনুসন্ধানী অ্যালগরিদম।

বাস্তবে পাওয়া বেশিরভাগ বীজগাণিতিক সমীকরণ পূর্ণসংখ্যা কিংবা মুলদ সহগবিশিষ্ট এবং এই ধরনের উৎপাদক নির্ণয় করার প্রয়োজন পড়ে। এক্ষেত্রে পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যা কিংবা মূলদ সহগবিশিষ্ট কোন বহুপদীর অনন্য বিশ্লেষণ ধর্ম রয়েছে। আরো সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, মূলদ সহগবিশিষ্ট প্রত্যেক বহুপদীকে
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য অনেক দক্ষ অ্যালগরিদম রয়েছে, যেগুলো বেশিরভাগ কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমে প্রয়োগ করা হয়। দুর্ভাগ্যজনকভাবে, হাতে কলমে নির্ণয়ের জন্য অ্যালগরিদম গুলো খুবই জটিল। উপরে বর্ণিত সাধারণ পদ্ধতি গুলোর পাশাপাশি আরো সামান্য কিছু পদ্ধতি আছে যেগুলো নিম্ন ঘাত এবং কিছু অশূন্য সহগবিশিষ্ট বহুপদীর জন্য প্রযোজ্য। পরবর্তী পরিচ্ছেদে এমন কিছু গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি উল্লেখ করা হয়েছে।

এককের মূল
ম্যাট্রিক্স
বহুপদী
উদাহরণ