পিটার রথ তার বই অ্যারিমেটিকা ফিলোসফিকার বইতে (1608 সালে, জোহান ল্যান্টজেনবার্গার দ্বারা নর্নবার্গে প্রকাশিত) লিখেছিলেন, [২] লিখেছেন যে ডিগ্রি এন এর একটি বহুবর্ষীয় সমীকরণ (আসল সহগের সাথে) এর সমাধান হতে পারে। অ্যালবার্ট গিরার্ড তার 'ল' ইনভেনশন নওভেলি এন এলগ্রাব্রে (১29২৯ সালে প্রকাশিত) গ্রন্থে জোর দিয়েছিলেন যে ডিগ্রি n এর একটি বহুপদী সমীকরণের সমাধান রয়েছে, তবে তিনি উল্লেখ করেননি যে তাদের আসল সংখ্যা হতে হবে। তদ্ব্যতীত, তিনি যোগ করেছিলেন যে তার বক্তব্যটি "সমীকরণটি অসম্পূর্ণ না হলে" ধারণ করে, যার দ্বারা তিনি বোঝাতে চেয়েছিলেন যে কোনও সহগুণ 0 এর সমান নয় However তবে, তিনি যখন তার অর্থ কী তা বিশদভাবে ব্যাখ্যা করেছেন, তবে স্পষ্টই বোঝা যায় যে তিনি সত্যই বিশ্বাস করেন যে তার দাবি সবসময় সত্য; উদাহরণস্বরূপ, তিনি দেখান যে x=4x-3 সমীকরণটি অসম্পূর্ণ হলেও এটির চারটি সমাধান রয়েছে (গুণগুলি গণনা):1 (দুইবার),-1+formula_1formula_2 এবং formula_3.

যেমনটি নিচে আবার উল্লেখ করা হবে, এটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য থেকে এসেছে যে আসল সহগের সাথে প্রতিটি অ-ধ্রুবক বহুবচনকে বাস্তব সহগের সাথে বহুবর্ষের পণ্য হিসাবে রচনা করা যেতে পারে যার ডিগ্রি 1 বা 2 হয়। তবে, 1702 সালে লিবনিজ ভ্রান্তভাবে বলেছিলেন যে ধরনের কোন বহুপদী x +a (0 থেকে একটি বাস্তব এবং স্বতন্ত্র) এইভাবে লেখা যেতে পারে। পরবর্তীতে নিকোলাস বার্নোল্লি বহুবর্ষ সম্পর্কে একই বক্তব্য রেখেছিলেন "x" − 4"x" + 2"x" + 4"x" + 4, তবে তিনি ১42৪২ সালে অয়লারের কাছ থেকে একটি চিঠি পেলেন যেখানে এটি দেখানো হয়েছিল যে এই বহুপদী সমান

α = formula_6এর সাথেও, ইউরার তা উল্লেখ করেছেন

X+a= (x +a+a) (x -a+a )

উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য প্রথম প্রচেষ্টা ডি অ্যালেম্বার্ট 1746 সালে করেছিলেন, তবে তার প্রমাণ অসম্পূর্ণ ছিল। অন্যান্য সমস্যার মধ্যে এটি নিখুঁতভাবে একটি উপপাদ্য (বর্তমানে পুইসেক্সের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত) ধরে নিয়েছিল যা এক শতাব্দীরও বেশি সময় পরে প্রমাণিত হবে না এবং ততোধিক প্রমাণটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে ধরে নিয়েছিল। অন্যান্য প্রচেষ্টা ইউলার (1749), ডি ফনসেক্স (1759), ল্যাঞ্জ্রেঞ্জ (1772) এবং ল্যাপ্লেস (1795) দ্বারা করেছিলেন। এই শেষ চারটি প্রচেষ্টা গিরার্ডের দৃ imp়ভাবে বলেছিল; আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, সমাধানগুলির অস্তিত্ব ধরে নেওয়া হয়েছিল এবং যা প্রমাণ করা বাকি ছিল তা হ'ল তাদের ফর্মটি কিছু আসল সংখ্যার জন্য a + b ছিল a আধুনিক পরিভাষায়, অয়লার, ডি ফনসেক্স, লাগ্রঞ্জ এবং ল্যাপ্লেস বহুভুজ পি (জেড) এর বিভাজন ক্ষেত্রের অস্তিত্ব ধরে নিয়েছিলেন।

আঠারো শতকের শেষের দিকে, দুটি নতুন প্রমাণ প্রকাশিত হয়েছিল যা শিকড়গুলির অস্তিত্ব ধরে নেয় না, তবে এর দুটিও সম্পূর্ণ ছিল না। এর মধ্যে একটি, জেমস উড এবং প্রধানত বীজগণিতের কারণে, 1798 সালে প্রকাশিত হয়েছিল এবং এটি সম্পূর্ণ উপেক্ষা করা হয়েছিল। কাঠের প্রমাণের একটি বীজগণিত ফাঁক ছিল। অন্য একটিটি গৌস দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল 1799 সালে এবং এটি মূলত জ্যামিতিক ছিল, তবে এটির একটি টপোলজিকাল ফাঁক ছিল, ১৯০১ সালে আলেকজান্ডার অস্ট্রোস্কির দ্বারা পূর্ণ, ১৯৮১ সালে আলোচিত (স্যামেল লিখেছেন, "... আমি উল্লেখ করতে চাই যে কি বিশাল ফাঁক গাউসের প্রমাণ রয়েছে। এটি আজও একটি সূক্ষ্ম বিষয় যা সত্য বীজগণিত বিমানের বক্ররেখা ছাড়াই কোনও ডিস্কে প্রবেশ করতে পারে না। বাস্তবে গৌস এই প্রমাণটিকে ৫০ বছর পরে পুনরায় সরিয়ে দিলেও ফাঁকটি রয়ে গিয়েছিল। ১৯০০ অবধি গৌস 'এই কথাটি করেননি প্রমাণ সম্পন্ন হয়েছিল। রেফারেন্সে গাউস, এ। অস্ট্রোস্কির একটি কাগজ রয়েছে যা এটি করে এবং সমস্যাটির একটি চমৎকার আলোচনাও দেয় ... ")। একটি কঠোর প্রমাণ প্রথম আর্গান্দ দ্বারা 1806 সালে প্রকাশিত হয়েছিল (এবং 1813 সালে পুনরায় দেখা হয়েছিল); এখানেই প্রথমবারের জন্য বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে কেবলমাত্র সহগের পরিবর্তে জটিল সহগের সাথে বহুবর্ষের জন্য বলা হয়েছিল। গৌস 1816 সালে আরও দুটি প্রমাণ এবং 1849 সালে তার আসল প্রমাণের আর একটি সংস্করণ তৈরি করেছিলেন।

উপপাদ্যের প্রমাণ সম্বলিত প্রথম পাঠ্যপুস্তকটি ছিল কচির কোর্স ডি'ানালিজ দে ল'কোল রয়্যাল পলিটেকনিক (1821)। এটিতে আরগান্ডের প্রমাণ রয়েছে, যদিও এর জন্য আরগান্ড জমা হয় না।

এখনও পর্যন্ত উল্লিখিত প্রমাণগুলির মধ্যে কোনওটি গঠনমূলক নয়। উনিশ শতকের মাঝামাঝি সময়েই প্রথমবারের মতো উত্থাপিত ওয়েয়ারস্ট্রেস, বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের গঠনমূলক প্রমাণ খুঁজে পাওয়ার সমস্যা ছিল। তিনি তার সমাধানটি পেশ করেছিলেন, যা আধুনিক পরিভাষায় ডিওরান্দ-কার্নার পদ্ধতির সংযোগের সাথে মোটর গাড়ি চালিয়ে যাওয়ার নীতিটি 1891 সালে তৈরি করা হয়েছিল। এই জাতীয়তার আরও একটি প্রমাণ ১৯৪০ সালে হেলমথ কেনার দ্বারা পেয়েছিলেন এবং ১৯৮১ সালে তার পুত্র মার্টিন কেনার সহজতর করেছিলেন।

গণনামূলক পছন্দ ব্যবহার না করে, ডেডিকাইন্ড আসল সংখ্যার উপর ভিত্তি করে জটিল সংখ্যার জন্য বীজগণিতের মৌলিক উপপাদকে গঠনমূলকভাবে প্রমাণ করা সম্ভব নয় (যা গণনাযোগ্য পছন্দ ব্যতীত কাচির আসল সংখ্যার সাথে গঠনমূলকভাবে সমান নয় [6])। তবে ফ্রেড রিচম্যান কাজ করে এমন উপপাদ্যের একটি সংস্কারকৃত সংস্করণ প্রমাণ করেছিলেন|

তথ্যসূত্র
ইতিহাস
জটিল-বিশ্লেষণমূলক প্রমাণ
টপোলজিকাল প্রমাণ