এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশন formula_71এর আরেকটি রূপায়ন হচ্ছে formula_80এর সীমা হিসেবে, যখন "n" এর মান অসীমের দিকবর্তী হয়। এই সংজ্ঞাতে "n"-তম শক্তিকে পোলার আকৃতিতে পুনরাবৃত্ত গুণ হিসেবে ধরে নিয়ে অয়লারের সূত্রের চিত্রায়নে ব্যবহার করা যায়। যে কোন জটিল সংখ্যাকে পোলার আকৃতি formula_81হিসেবে উপস্থাপন করা যায়, যেখানে "r" পরম মান ও "θ" আর্গুমেন্ট। দুটি জটিল সংখ্যা formula_82ও formula_83এর গুণফল formula_84।

কোন জটিল সমতলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ ধরে নেওয়া যাক, যার শীর্ষগুলি হলো formula_85, formula_86ও formula_87। "n" এর বৃহৎ মানের জন্য, ত্রিভুজটি একক ব্যাসার্ধ ও ক্ষুদ্র কেন্দ্রস্থ কোণ formula_88রেডিয়ান বিশিষ্ট একটি প্রায় বৃত্তাকার ক্ষেত্র। formula_89এর আসন্ন মান হিসেবে একটি সংখ্যা বসানো যায় যার পোলার আকৃতি formula_90। সুতরাং, "n" অসীমের দিকবর্তী হলে formula_91এর সীমা formula_92এর দিকে অগ্রসর হতে থাকে; যা একক বৃত্তটির ওপর ঐ বিন্দুটিকে নির্দেশ করে, ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে যার কোণের পরিমাপ "x" রেডিয়ান। কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় বিন্দুটির স্থানাংক formula_93, সুতরাং formula_94; যা- আবারও- সেই অয়লারের সূত্রটিই; ধারার সংজ্ঞার মতো এখানেও ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সাথে একই যোগসূত্র বহন করে।

ঋণাত্মক ভিত্তিবিশিষ্ট বাস্তব ঘাতসমূহ
লিমিট সংজ্ঞা
পূর্ণ-সাংখ্যিক সূচকের সাহায্যে কার্যকর গণনা-প্রক্রিয়া
বাস্তব সূচকসমূহ