જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા (એટલે કે 1, 2, 3, 4, 5, 6 વગેરે) ને માત્ર બે જ ધન અવયવ (ભાજક, divisors), ૧ અને સંખ્યા પોતે, હોય, તેને અવિભાજ્ય સંખ્યા કહે છે.  [સંદર્ભ 1] ૧થી મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કે જે અવિભાજ્ય ન હોય, તેને કહે છે.

પ્રાચીન મિસરવાસીઓ (ઈજીપ્તવાસીઓ)ના હયાત દસ્તાવેજો (રેકોર્ડ્સ)માં કેટલાક સંકેતો (hints) છે કે તેમને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિષે થોડું જ્ઞાન હતું: ઉદાહરણ તરીકે, માંના ના સ્વરૂપ અવિભાજ્ય સંખ્યા અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે બહુ જૂદા છે. પરંતુ, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સ્પષ્ટ અભ્યાસની જૂનામાં જૂની હયાત નોંધો ની છે. ૩૦૦ ઈ.સ. પૂર્વેની આસપાસ લખાયેલી તત્વોમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને લગતાં, અને  સહીતના, કેટલાક અગત્યના પ્રમેયો છે. યુક્લીડે  માંથી કેમ રચી કાઢવી, તે પણ જણાવ્યું છે. Eratosthenesની ચાળણી, જેનો યશ Eratosthenesને ફાળે જાય છે, તે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવાની એક સરળ રીત છે, જો કે આજકાલ સંગણકો (કમ્પ્યુટરો) વડે શોધાતી નવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ આ રીતે શોધાતી નથી.

ગ્રીકો પછીના સમયમાં, 17મી સદી સુધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ઝાઝો અભ્યાસ થયો નહિ. ૧૬૪૦માં  એ (સાબિતી વિના)  (ફર્મીના નાના પ્રમેય)નું વિધાન આપ્યું હતું (જે પાછળથી Leibniz અને Euler એ સાબિત કર્યુ.). ફર્મીએ (fermet) એ પણ (અટકળથી) વિધાન સાબિતી વિના આપ્યું કે 2 + 1 સ્વરૂપની બધી સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય જ હોય (તેમને Fermat numbers કહે છે.) અને "n" = 4 (or 216 + 1) સુધી આને ચકાસ્યું. જો કે તરત તે પછીની Fermat number 2 + 1 વિભાજ્ય છે (કારણકે એનો એક અવયવ ૬૪૧ છે), જેમ યુલરે પછીથી શોધ્યું, અને હકીકતે તે પછીની કોઈ અવિભાજ્ય ફર્મી સંખ્યા જ્ઞાત નથી (એટલે કે એનાથી મોટી બધી જ ફર્મી સંખ્યાઓ વિભાજ્ય છે). ફ્રેંચ પાદરી Marin Mersenne એ 2 − 1 સ્વરૂપની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યો, જ્યાં "p" પણ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. તેવી સંખ્યાઓને તેમના માનમાં Mersenne primes (માર્સેનેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) કહે છે.

યુલરનું અંક-સિધ્ધાંત (નમ્બર થીયરી) પરનું ઘણું કાર્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિશેના ઘણા ગુણધર્મો ધરાવે છે. તેણે દર્શાવ્યું કે  1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … નો સરવાળો અનંત છે.
1747માં તેણે દર્શાવ્યું કે યુગ્મ perfect numbers હંમેશા 2(2 − 1) સ્વરૂપની હોય છે, જ્યાં બીજો અવયવ એક Mersenne અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

19મી સદીની શરૂઆતમાં, Legendre અને Gauss એ સ્વતંત્ર રીતે સાબિતી વગર અટકળ કરી કે જેમ "x" અનંતને અનુલક્ષે, તેમ x સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા "x"/ln("x")ને અનુલક્ષે (અનંતસ્પર્શે/ ઉપગીય) છે, જ્યાં ln("x") "xનો પ્રાકૃતિક લઘુગુણક છે". Riemannના તેના ૧૮૫૯ના ઝેટા વિધેય પરના સંશોધન-પત્ર માંના વિચારો એ એક પ્રોગ્રામની રૂપરેખા આપી હતી કે જે 'અવિભાજ્ય સંખ્યા પ્રમેય'ની સાબિતી આપી શકે. તે રૂપરેખા Hadamard અને de la Vallée Poussin એ પૂરી કરી હતી, જેમણે સ્વતંત્ર રીતે 'અવિભાજ્ય સંખ્યા પ્રમેય' 1896માં સાબિત કર્યું.

મોટી સંખ્યાઓને પ્રયત્ન ભાગાકારની રીતે અવિભાજ્ય સાબિત કરતી નથી. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ (મુખ્યત્વે કોઈ ખાસ સ્વરૂપની) મોટી સંખ્યાઓની અવિભાજ્યતા કસોટી પર કાર્ય કર્યું છે. જેમાં ફર્મી સંખ્યાઓ માટેની Pépinની કસોટી (1877), Prothનું પ્રમેય (1878 આસપાસ), Lucas–Lehmer અવિભાજ્યતા કસોટી (1856માં ઉદ્ભૂત), અને સામાન્યીકૃત Lucas અવિભાજ્યતા કસોટી. વધુ આધુનિક અલગોરિધમ APRT-CL, ECPP, અને AKS છે, જે યાદૃચ્છીક સંખ્યાઓ પર કામ કરે છે, પણ ઘણા ધીમા રહે છે.

ઘણા લાંબા સમય સુધી, શુદ્ધ ગણિતશાસ્ત્રની બહાર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉપયોગો અતિશય મર્યાદિત મનાતા હતા. આ માન્યતા 1970ના દાયકામાં બદલાઈ જયારે public-key cryptography ના સિદ્ધાંતો શોધાયા, જેમાં RSA ક્રીપ્ટોપ્રણાલિ અલગોરિધમ જેવા પ્રથમ અલગોરિધમનો પાયો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ બનાવતાં હતાં.

1951થી સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સંગણકો વડે જ શોધાતી આવી છે. બહુ મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શોધમાં ગણિતના વર્તુળોની બહાર પણ રસ સર્જાયો છે. Great Internet Mersenne Prime Search અને અન્ય મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવાના વિતરિત ગણતરી (distributed computing) પ્રોજેક્ટ્સ પ્રચલિત બન્યા છે, પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સિદ્ધાંત સાથે સંઘર્ષરત છે.

યુલરની વિશ્લેષણાત્મક સાબિતી
વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો
ઈતિહાસ
યુક્લીડની સાબિતી