content:
Temukan segala yang ditawarkan Scribd, termasuk buku dan buku audio dari penerbit-penerbit terkemuka.
Mulai Coba Gratis
Batalkan kapan saja.
Bab10-Fungsi Pembangkit Dan Relasi Rekursi
Diunggah oleh
Asia Kurniasari Dareyorimosenseiwoaisu
80%(5)80% menganggap dokumen ini bermanfaat (5 suara)
3K tayangan
46 halaman
Informasi Dokumen
klik untuk memperluas informasi dokumen
Data diunggah
Mar 23, 2012
Hak Cipta
© Attribution Non-Commercial (BY-NC)
Format Tersedia
PDF, TXT atau baca online dari Scribd
Bagikan dokumen Ini
Bagikan atau Tanam Dokumen
Opsi Berbagi
Bagikan di Facebook, terbuka di jendela baru
Facebook
Bagikan di Twitter, terbuka di jendela baru
Twitter
Bagikan di LinkedIn, terbuka di jendela baru
LinkedIn
Bagikan dengan Email, membuka klien email
Email
Copy Text
Salin Tautan
Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?
80%80% menganggap dokumen ini bermanfaat, Tandai dokumen ini sebagai bermanfaat
20%20% menganggap dokumen ini tidak bermanfaat, Tandai dokumen ini sebagai tidak bermanfaat
Apakah konten ini tidak pantas?
Laporkan Dokumen Ini
Deskripsi:
Hak Cipta:
Attribution Non-Commercial (BY-NC)
Format Tersedia
Unduh sebagai PDF, TXT atau baca online dari Scribd
Tandai sebagai Konten Tidak Pantas
Unduh sekarang
SimpanSimpan Bab10-Fungsi Pembangkit Dan Relasi Rekursi Untuk Nanti
80%(5)80% menganggap dokumen ini bermanfaat (5 suara)
3K tayangan46 halaman
Bab10-Fungsi Pembangkit Dan Relasi Rekursi
Diunggah oleh
Asia Kurniasari Dareyorimosenseiwoaisu
Deskripsi:
Hak Cipta:
Attribution Non-Commercial (BY-NC)
Format Tersedia
Unduh sebagai PDF, TXT atau baca online dari Scribd
Tandai sebagai Konten Tidak Pantas
SimpanSimpan Bab10-Fungsi Pembangkit Dan Relasi Rekursi Untuk Nanti
80%80% menganggap dokumen ini bermanfaat, Tandai dokumen ini sebagai bermanfaat
20%20% menganggap dokumen ini tidak bermanfaat, Tandai dokumen ini sebagai tidak bermanfaat
Tanamkan
Bagikan
Cetak
Judul terkait
Karusel SebelumnyaKarusel Berikutnya
RELASI REKURSIF
Teori Graf
Matematika Diskrit IPB
Discrete Mathematics - Mencari Koefisien Fungsi Pembangkit Biasa
Matematika Diskrit - Relasi Rekursi
RELASI REKURENSI
fungsi pembangkit
Soal Fungsi Pembangkit
Relasi-Rekurensi
Laporan Mistar Operasi Bilangan Bulat
RELASI REKURSIF oke
fungsi pembangkit
Fungsi Pembangkit
Barisan LImit
FUNGSI PEMBANGKIT
Solusi-Relasi-Rekurensi.pdf
Sistem Relasi Rekursif
Fungsi Pembangkit
Fungsi Pembangkit Permutasi dan Relasi Rekursif Matematika Diskrit
Relasi Rekursif ( Jan-Juni 2016).pdf
Unduh sekarang
Lompat ke Halaman
Anda di halaman 1dari 46
Cari di dalam dokumen
FUNGSI PEMBANGKIT DAN RELASIREKURSI
Pada bab 9 yang lalu telah dibahas eara menyelesaikan suatu relasi rekursi. Umumnya bila diberikan s~atu problema peneaeahan, maka sangat sulit untuk dapat ditentukan relasi rekursi yang memenuhi problema tersebut. Bila misalnya telah berhasil diketemukan relasi rekursi yang memenuhi problema tersebut, maka penyelesaiaan relasi rekursi tersebut biasanya sulit sekali dikerjakan. Jadi sedapat mungkin harus dieari eara lain untuk dapat menyelesaikan problema peneaeahan tanpa harus menyelesaikan suatu relasi rekursi. Pada Bab ini akan diperkenalkan suatu eara penyelesaian relasi rekursi menggunakan teknik fungsi pembangkit, yang pertama kali dijabarkan oleh Euler.
FUNGSI PEMBANGKIT
Definisi 10.1 Pandang ~, aI''''' an' ... adalah barisan bilangan dengan indeks n. Fungsi pembangkit atau generating function dari barisan tersebut didefinisikan sebagai deret pangkat
Dalam membicarakan fungsi pembangkit ini masalah konvergensi deret tersebut tidak akan diperhatikan. Dalam hal ini yang diperhatikan adalah bahwa penulisan tanda Xo= I, x\, "., xn' yang diinterpretasikan sebagai penulisan tanda aljabar atau simbol yang mewakili bermaeam-maeam suku dari barisan
+ al"'"
an' dan seterusnya.
Karena suatu barisan yang hingga dapat dikatakan sebagai barisan yang tak
hingga dengan an+\
= an+2 = ." =0, maka
semua pembicaraan pCldabab ini juga
berlaku untuk barisan yang hingga.
CONTOH Contoh 10.1
Misalkan m adalah bilangan bulat positif, maka fungsi pembangkit fm(x) untuk barisan koefisien binomial
204
adalah
dan menurut rumus binomial Newton. maka bentuk ini adalah sarna dengan (1+x)m. Lebih umum lagi bila a. suatu bilangan riil sembarang. maka fungsi pembangkit fa.(x) untuk barisan koefisien binomial
,
...
adalah
fa. (x)
yang berdasarkan teorema binomial Newton dapat ditulis sebagai fa.(x)
= (1 + x)a.
Contoh 10.2
Akan dicari fungsi pembangkit gx(x) daTi barisan bilangan aQ' an' di sini an menyatakan jumlah kombinasi-n dari suatu himpunan ganda dengan k > o obyek yang berbeda. dan masing-masingobyek meinpunyai faktor pengulangan yang tak hingga. Pada pembahasan terdahulu telah dapat dihitung bahwa
205
Jadi fungsi pembangkit yang dieari adalah
dengan menggunakan teorema binomial Newton, maka dapat diperoleh bentuk
1 gk(x) = (l-x)k
(l-x)"k
sebagai salah satu hal khusus, yaitu barisan bilangan 1, 1, 1, 1,..., untuk mana fungsi pembangkitnya adalah
dan fungsi pembangkit dari barisan lain yaitu I, 2, 3, ..., n adalah
Sekarang pandang suatu eontoh yang mirip dengan perl1itungan (l+x)D, yaitu eara perhitungan (a+x)3. Bentuk ini dapat ditulis sebagai (a+x)(a+x)(a+x)
= aaa
+ aax + axa + axx + xaa + xax + xxa + xu
untuk harga a
= 1, diperoleh
(1+x)(1+x)(1+x)= 111 + 11x + Ixi + Ixx + xlI + xIx + xxi + xu Hal ini membentuk suatu daftar semua eara untuk mengalikan suatu suku pada faktor yang pertama dengan suku pada faktor yang kedua dan suku lain pada faktor yang ketiga. Problema menentukan koefisien dari xr, pada ekspansi (x+1)3atau (l +X)D pada umumnya, berubah menjadi problema menghitungjumlah eara yang berbeda untuk membentuk faktor yang terdirir dari sejumlah r dari x 206
dan sejumlah (n-r) dari 1. Jadi koefisien dari xr dalam (x+ 1)3 adalah
( ~) dan dalam (1+X)n, adalah
(;)
Yang paling penting dalam hal ini adalah menginterpretasi hasil perkalian sejumlah faktor yang masing-masing merupakansuatu polimonial dalam x. Dalam
hal .ini perkaliantersebut dilihat sebagai suatu cara untuk membentuksemua
hasil perkalian yang dapat dilakukan dengan mengalikan semua suku dari tiap-tiap faktor polinomial yang ada. Bila ada sejumlah n faktor polinomial, serta setiap faktor polinomial ke-Lmengandung sejumlah ri, suku yang berbed~ maka akan dapa~ dibentuk sejumlah
hasil perkalian berbeda. Hal ini mudah dilihat untukspansi bentuk (1+x)n, yang mengandung n faktor polinomial dan masing-masing polinomial mengandung 2 suku, maka akan diperoleh 2n bentuk perkalian yang berbeda.
Contoh 10.3 Akan dihitung suatu fungsipembangkityang dibentukoleh
maka himpunan semua hasil kali yang mungkin diperoleh adalah
[1] [x], [1] [x], [1] [x], [1] [x], [x2] [1] [x]. [x2]
Jadi setiap hasil perkalian akan ada 1 atau x pada 3 tempat yang pertama, dan ada satu atau x atau x2 dan tempat ke 4 dan ke 5. Salah satu hasil perkalian yang mungkin adalah
Ix lx2x
207
yaitu tempat pertama diisi suku 1; tempat kedua diisi suku x, tempat ketiga diisi suku 1, keempat diisi suku x2 dan tempat kelima diisi suku x. Karena harga suku 1 dapat ditulis sebagai xfJ,maka bentuk perkalian yang mungkin dibuat dalam hal ini dapat juga dituliskan sebagai
[xfJ] [x], [xfJ] [xfJ] [xfJ] [xfJ] [x], [x], [x2] [x], [x2] [x].
Persoalan untuk menentukan koefisien dari suku xl dari perkalian beberapa faktor polinomial seperti di atasdapat dinyatakan sebagai jumlah suku dari pangkat. Pada contoh di atas, pandang koefisien dari x4, yang merupakan hasil ekspansi dari
Koefisien ini merupakan jumlah dari semua perkalian yang menghasilkan faktor X4. Persoalan ini dapat pula dilihat sebagai suatu problema mencari sejumlah bilangan bulat yang memenuhi suati persamaan tertentu. Persoalan itu dapat ditulis sebagai berikut. Carilah semua bilangan bulat yang mungkin diperoleh pada persamaan
di sini e1, e2, e3, masing-masing bemilai 0 atau I, sedangkan e4 dan es masing-masing bemilai 0, 1 atau 2. Perhatikan bahwa dalam problema yang baru didefinisikan ini harga masing-masing eI merupakan pangkat atau eksponen dari setiap suku yang ada pada tiap faktor polinomial.Persoalan inijuga dapat dilihat sebagai suatu problema yang menghitung banyaknya cara untuk mengambil 4"'buahbola dari 5 jenis bola yang ada. Dalam hal ini bola jenis pertama, kedua dan ketiga hanya ada satu, sedangkan jenis bola keempat dan kelima ada dua buah. Cara pengambilan bola ini boleh berulang, dalam arti setiap jenis bola boleh tidak diambil, atau diambil sebanyak mungkin, tergantung dari jumlah bola yang ada untuk tiap jenis bola. Hanya saja kendala yang hams dipenuhi adalah jumlah keseluruhan bola yang hams diambil adalah 4. 208
Cara lain untuk melihat problema di atas adaIah banyaknya eara untuk mendistribusikan 4 buah bola yang sarna ke daIarn 5 buah kotak yang tersedia, di mana kotak pertama, k~ua dan ketiga hanya marnpu menerima maksimum satu bola, sedangkan kotak keempat dan kelima dapat menerima maksimum 2 bola. Dari pembatasan ini semua dapat disimpulkan bahwa koefisien x4 dari ekspansi.
merupakan jawab dari problema I. 2. 3. el + ez + e3 + e4 + es
= 4 p73
.dengan
0 ~ el' ez' e3 ~ I, dan 0 ~ e4, es ~ 2
Koefisien tersebut juga menyatakan banyaknya eara memilih 4 bola dari 5 jenis bola yang ada. Atau juga banyaknya eara mendistribus~an 4 bola yang sarna ke daIarn 5 kotak yang berbeda seperti diterangkan di atas. Dalam hal ini fungsi
dikatakan sebagai fungsi pembangkit dengan koefisien ar yang menyatakan banyaknya jawaban yang mungkin pada ketiga problema yang telah disebutkan di atas. Pada bagian ini hanya diperhatikan bagaimana earanya membentuk suatu fungsi pembangkit yang dapat memberikan jawaban pada suatu problema peneacahan. Bagian berikutnya akan dilihat bagaimana manipulasi aIjabar yang dapat dilakukan pada suatu fungsi pembangkit sehingga dapat dihitung koefisien-koefisien yang diperlukan. Pada contoh tadi diterangkan bagaimana koefisien dari ekspansi beberapa fungsi polinomial dapat digunakan untukmenjawab berbagai problema kombinatorik yang diberikan. Contoh berikut ini akan melihat problema tersebut dari arah yang berlawanan. Di sini akan dijelaskan eontoh untuk membentuk fungsi pembangkit yang memenuhi suatu problema komb!natorik tertentu. 209
Contoh 10.4 :
Pandang 4 buah kotak, masing-masing berisi 3 buah bola hijau, 3 buah bola putih, 3 buah bola biru,Jian 3 buah bola merah. Akan ditentukanfungsi pem'bangkit dari ar yang menyatakan banyaknya cara untuk memilih r buah bola dari kotak tersebut. Seperti pada pembahasan soal yang baru lalu, maka pada soal ini problema yang diberikan dapat dirubah ke dalam model berikut.
e I + e2 + e3 + e4
=r
' , . d1 sml 0 < el, e2, e3, e4 < 3 , _ -
Dalam hal ini e I menyatakan jumlah boi-'ahijau' yang diambil, e2 menyatakan jumlah bola putih yang diambil, e3 menyatakan jumlah bola biru yang diambil, sedangkan e4 menyatakan jumlah bola merah yang diambil. Untuk problema ini fungsi pembangkit dapat dibentuk dengan memperhatikan 4 buah faktor polinornial yang masing-masing mempunyai tingkat antara 0 sampai dengan 3. Suku-suku dari faktor polinomial yang akan membentuk fungsi pembangkit adalah [xO]
[1>] [xl] [xl] [x2] , [x2] , [x3] [x3]
[1>] [xl] [x2] , [x3]
[1>] [xl] [x2] [x3]
Dengan demikian jumlah perkalian keempat pangkat yang jumlahnya r akan merupakan jawab dari problema yang diberikan. Jadi fungsi pembangkit yang dicari adalah
Contoh
10.5
Tentukan fungsi 'pembangkit dari ar yang menyatakan jumlah cara untuk mendistribusikan r buah bola yang sarna ke dalarn 5 buah kotak yang diberikan dengan kendala sebagai berikut. Kotak pertama dan kedua masing-masing hanya dapat diisi oleh sejumlah genap bola dan maksimum akan berisi 10 bola saja, sedangkan kotak ketiga, keempat dan kelima masing-masing hanya dapat diisi oleh paling sedikit 3 bola dan paling banyak 5 bola saja. 210
Walaupun kendala yang diberikan kelihatannya sedikit rumit, tetapi eara penyelesaian dari problema ini temyata mudah sekali. Dengan menggunakan persamaan dengan jawab bilangan bulat, maka problema di atas dapat ditulis sebagai berikut: Cari jawab problema berikut dengan e) ... es adalah bilanganbulat.
di sini e) dan e2 adalah bilangan genap dan 0 ~ e)' e2 ~ 10, serta 3 ~ e3, e4, es ~ 5. Dari bentuk problema ini maka jelas bahwa fungsi pembangkit yang dieari akan berbentuk
Dalam hal ini dua faktor polinomial yang pertama berhubungan dengan dua kotak yang pertama dengan kendala yang diberikan pada kedua kotak terse"ut, sedangkan tiga faktor polinomial yang terakhir.berhubungan dengan tiga kowk yang terakhir lengkap dengan kendala yang didetinisikan padanya. Dari eontoh-eontoh ini terlihat bahwa bila problema awal sudah dituliskan kembali dalam bentuk persamaan dengan jawab s~jumlah bilangan bulat positif, maka probler.la untuk meneari fungsi pembangkit yang memenuhi problema awal tersebl't akan menjadi mudah sekali untuk diselesaikan. Dalam hal ini setiap faktor polinomial hanya akan dilihat sebagai harga dari pangkat saja. Artiny untuk setiap harga k yang diberikan oleh ej, maka faktor polinomial ke i akan mempunyai suku xk. Dalam hal ini faktor polinomial ke i memberikan semua kemungkinan dari pangkatnya untuk menjadi harga dari ej. Dengan sedikit latihan maka fungsi pembangkit dapat dengan mudah dibuat, berdasarkan problema eara pemilihan atau distribusi sejumlah bola. Tetapi konsep dasar dari fungsi pembangkit sebenamya jauh lebih rumit dari hal yang baru saja diterangkan. Penyelesaikan eara pemilihan atau distribusi bola dapat juga duseleseikan dengan menggunakan koetisien binomial. Sekarang problema ini diselesaikan hanya dengan menuliskan hasil perkalian dari sejumlah faktor polinomial saja. Dalam hal ini fungsi pembangkit tidak dapat dibuat untuk menjawab satu problema saja, misalnya untuk menjawab satu problema dengan sepuluh bola saja. Fungsi pembangkit digunakan untuk menjawab semua kemungkinan yang 211
terjadi. Beberapa problema peneaeahan yang sulit akan dipeeahkanmenjadi
.
beberapaproblemakeeiluyangtidakterlalusuiit. Fungsipembangkitini dengan
sendirinya telah melakukan pembagian problema ini kes dalam beberapa problema yang lebih mudah dalam satu fungsi pembangkit yang diberikan. Bagian berikut ini akan diterangkan bagaimana manipulasi aljabar dapat dilakukan pada beberapa problema yang b~rhubungan dengan fungsi pembangkit suatu problema. Oalam eara ini model dari problema peneaeahan dari pemilihan atau pendistribusian bola yang rumit tidak perlu diperhatikan.
PERHITUNGAN KOEFISIEN FUNGSI PEMBANGKIT
Pada bagian ini akan dikembangkan beberapa teknik aljabar yangdapat digunakan iuntuk menghitung koefisien dari fungsi pembangkit. Semua metode ini digunakan untuk mengurangi tingkat kesulitan dari suatu fungsi pembangkit ke dalam fungsi pembangkit yang lebih sederhana yang berhubungan dengan ekspansi fungsi binomial atau multi nomial. Untuk memuadahakan perhitungan selanjutnya, maka berikut ini diberikan beberapa persamaan yang berhubungan dengan ekspansi suatu polinomial. I - xn+\ 1. 1- x Hal ini mudah ditunjukkan dengan mengalikankedua sisi dari persamaan dia
tas dengan faktor (I-x). Sisi kiri akan menghasilkan I
=I +x
+ x2 + x3 +
... + x"
- x"+\,
sedangkan
sisi
kanan merupakan penjumalahan dari 1 + x + x2 + x3 + ... + x" dan - x - x2 - ... - x" - x"+1 lumlah dari kedua polinomial ini adalah 1 - x"+\. 2.
=
I-x
1+x +
+ x3+ ... + X' + ...
Hal ini dapat. ditunjukkan dengan eara yang hampir sarna dengan eara sebelumnya. Hanya saja dalam hal in. harga n dibuat menuju tak berhingga 212
atau besar sekali. Dengan demikian setiap koefisien xk di mana k > 0 akan bernilaiO.Jadi dapat disimpulkan bahwa <! ;i-x) + (1 + x + x?-+ i3 + ... ) = 1 (secara matematik di sini harus ditunjukkan bahwa deret tersebut konvergen hanya untuk harga x < 1) 3.
(l + x)" = 1 +
(~)
x +
(;) r
...
(;) x +... ( : )
x".
Hal ini tidak perlu diterangkan karena merupakan ekspansi binomial biasa yang sudah peIT"Ihdibicarakan sebelumnya.
4.
(1 + X")n= 1 -
(t)
X" +
(;) rm + ... + (-1)' (;) x"" +
... (_1)"
Hal ini merupakan perluasan dari bentuk binomial sebelumnya di mana harga x pada rumus sebelumnya diganti dengan bentuk (-x"'), dan dengan menggunakan rumus ekspansi binomial diperoleh
dan dibentuk terakhir ini sarna dengan bagian kanan dari persamaan di atas.
5.
(r+;-I) x+...
213
Untuk menunjukkan hal ini pandang bentuk (l-xtn = 1 ( l-x)n yang telah ditunjukan besarnya sarna dengan ( 1 + x + Xl + x3 + ... )n Persoalan ini sarna dengan penyelesaian berikut
di sini masing-ma.<;ingei ~ O. Dan problema ini sarna dengan problema mengambil r bola dari n jumlah bola.padamasing-masing jenis bola adalah tak berhingga.
Dan jawab dari problema ini adalah koefisien dari x2 di atas. 6. Bila h(x)
fix)
= f(x) g(x),
di sini
= ao + atx = bo + btx
+ a2Xl"+ ... + bf- + ...
dan
g(x)
maka fungsi pembangkit untuk h(x) adalah
h(x) =a{)bn (a,bn + anbJ)x+ (a2bo+ a,b, + aOb2)r+ ...+ (a,bo+ ...+ aob,}X +
+
...
Rumus ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan mengalikan kedua polinomial yang mewakili fungsi pembangkit dari f(x) dan g(x). Dengan menggunakanrumus di atas, maka dengan mudah dapat dihitung koefisien dari bermaeam fungsi pembangkit.Hal yang harns dilakukan adalah pertama melakukan penyederhanaanbentuk fungsi pembangkitke dalarn salah satu bentuk sederhana seperti di atas. Kemudian dengan menggunakan aturan perkalian yang diberikan dapat ditebak dengan mudah koefisien dari fungsi pembangkit yang dieari. 214
Contoh 10.6
Cari koefisien dari x 16pada ekspansi
Secara umum tentukan koefisien dari r. Untuk menyelesaikan problema ini pertama-tama dikeluarkan dulu suku x2dari faktor polinomial tersebut, kemudian gunakan rumus kedua di atas.
= [x2 (I + x + x2 + ...)]5 ( x2 ) (I-x)
Dengan demikian koefisien dari x16 pada fungsi pemabangkit yang dipersoalkan akan sarna dengan koefisien dari x16 pada fungsi yang terakhir diperoleh ini maka koefisien dari xl6 akan sarna dengan koefisien x6 dari bentuk (I-x)-5. Dan dari rumus ke lima di atas diperoleh bahwa besarnya koefisien x6 ini
adalah (6+:-1 )
Secara umum besarnya koefisien xr pada fungsi pembangkit yang diberikan adalah sarna dengan koefisien[/0 dari fungsi x6 dari bentuk (1-xt5, yang hasilnya adalah P-IO)+S-l
(r-lO)
Perhatikan bentuk (x2 + x3 + ...)5 adalah fungsi pembangkit yang juga menyatakan banyaknya cara untuk mendistribusikan sebanyak r bola yang sarna ke dalam lima buaf kotak yang berbeda, di mana masing-masing kotak harns diisi minimum dua buah bola. Cara menyelesaikan problema ini adalah pertama-tama dengan mendistribusikan masing-masing dua buah bola pada tiap kotak yang tersedia, kemudian sisa dari bola yang ada yaitu (r-IO) didistribusikan sembarang pada kelima kotak yang ada. Pada pendistribusian sisa bola ini tidak ada kendala sarna sekali yagn harns 215
dipenuhi oleh masing-masing kotka, karena masing-masing kotak tersebut telah berisi minimum dua bola. Oalam hal fungsi pembangkit hal ini dilakukan dengan mengeluarkan faktor xl dari kelima faktor polinomial yang ada, sehingga sisa dari fungsi pembangkit hanya berhubungan dengan problema pendistribusian sisa dari bola (r-1O) ke dalam lima buah kotak tanpakendala apa-apa. Teknikaljabar seperti ini, yaitu menarik ke luar pangkat dari x yang tertinggi dari suatu faktor polinomial berhubungan dengan cara penyelesaian problema distribusi bola tersebut. Oalam hal ini teknik aljabar yang digunakan secara otomatis telah melakukan langkah kombinatorik yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan problema yang permulaan diberikan.
Contoh 10.7
Misaikan dalam suatu pesta ada 20 orang dan akan dikumpulkan uang sejumlah 15.000 ribu rupiah. Oari 20 orang yang ada, maka 19 orang hanya dapat menyumbangkan uang 1000 rupiah, atau 5000 ribu rupiah atau tidak menyumbangkanuang sarna sekali, sedangkanseorang lagi dapat menyumbangkan uang sejumlah 1000 rupiah, atau 5000 rupiah atau tidak menyumbangkan sarna sekali. Akan ditentukan fungsi pembangkit yang dapat memberikan jawaban pada problema tersebut. Kita tahu bahwa banyaknya cara untuk mengumpulakan sejumlah r-ribu rupiah dari orang.orang ini dapat dinyatakan dalam fungsi pembangkit berikut
dan dalam problema ini yang kan dicari adalah koefisien dari xiS. Faktor polinomial perta'Tladari fungsi pembangkit tersebut di atas dapat dituliskan dalam bentuk ekspansi binomial seperti
Bila faktor polinomial yag pertama ini disebut f(x) dan faktor polinomial yang kedua g(x)=I+x+r.;,makajawab dari problema ini adalah koefisien dari xiS dari fungsi h(x)= f(x) g(x). Misalkan
216
ini adalah koefisien dari X pada f(x) dan br adalah koefisien dari X pada g(x). Maka dengan menggunakan rumus ke enam dapat dihitung koefisien X pada h(x) yang besamya adalah
dan karena koefisien dari faktor polinomial g(x) kebanyakan bemilai nol, kecuali bo' bl' b5. maka besaran terakhir ini akan tereduksi menjadi
dengan demikian koefisien xl5 dari h(x) adalah
G~).I
atau
+ Cl~).1+ G~).I,
Contoh
10.8
Misalkan akan didistribusikan sejumlah 25 bola yang sejenis ke dalam 7 buah kotak yang berbeda. Kotak pertama tidak dapat diisi oleh lebih dari 10 bola, sedangkan kotak lainnya dapat diisi oleh berapa bola saja. Fungsi pembangkit untuk menunjukkan banyaknya eara mendistribusikan r buah bola ke dalam 7 kotak dengan kotak pertama hanya dapat maksimum diisi oleh 10 bola adalah
(1 =
)6
(l-x )
(I-x)
217
Dengan memisalkan f(x)
= (l-xt7
dan g(x)
= (l-x-II),
maka dengan
mengekspansikan denganmmus ke lima akan dapat diperoleh f(x)
Karena yang ingin dicari adalah koefisien x25 dari h(x), maka dengan cara yang sarna seperti pada contoh sebelum ini besarnya koefisien ini dapat dihitung dengan hanya rnemperhatikan suku tidak sarna dengan O.Jadi koefisien dari x25 adalah a25bo+ al4bll =
Jawaban ini dapat diinterpretasikan juga secara kombinatorik seperti nerikut ini. Pertama-tama ke 25 bola yang ~an didistribusikan tanpa suatu kendala apapun pada ke tujuh kotak yang disediakan. Carn ini banyaknya ada(25;;-I) Kemudian angka ini masih hams dikurangkan dengan sejumlah cara mendistribusikan bola yang tidak diperkenankan, yaitu mengisi kotak pertama dengan 11 bola terlebih dahulu, lalu sisa dari bola didistribusikan pada ke tujuh kotak yang tersedia. Carn ini banyaknya ada 25-11)+7-1 (25-11)
maka hasil akhir yang diperoleh akan sma dengan hasil yang telah diperoleh sebelumnya. Dari contoh ini lagi-Iagi terlihat bahwa fungsi pembangkit secara otomatis telah memenuhi kaidah kombiantorik yang berlaku. Contoh berikut ini akan menggunakan cara yang hampir sarna dengan cara yang digunakan pada contoh sebelum ini. Tetapi khusus untuk contoh berikut ini penyelesaian dengan argumentasi kombinatorik tidak dapatdigunakan untuk menyeh~saikanproblema yang diberikan.
218
Contoh 10.9 : Misalkan akan dipilih 25 mairiandari 7 jenis mainan yang ada. Datam pemilihanini masing-masing jenis mainan hams dipilih sedikitnya2 mainan, tetapi tidaka boleh lebih dari 6 mainan.Fungsipembangkittersebutadatah
dan yang akan dieari adalah koefisien dari x25. Untuk menyelesaikan hat ini maka faktor x2 dikeluarkan dan diperoleh bentuk
Dengan demikian problema yang akan diselesaikan sekarang telah tereduksi menjadi problema meneari koefisien dari x25-14=xl dari (1 + x + x2 + x3 + x4)]1 I Bentuk yang terakhir ini dapat ditulis kembali dalam bentuk
(1 + x + x2 + x3 + x4)]7 = (1-x)
BHa dimisalkan bahwa f(x) f(x)
= (1-xt7
dan g(x)
= (1-xS)7, maka diperoleh
= (1-xt7 = 1 +
e+~-l)X + (2+~-1)x2 +...
+ ... _ (~) x35. 219
Dan seperti eontoh sebelumnya, koefisien xII dari h(x) harga bi =/ O. Hasil akhir yang diperoleh adalah
= f(x) g(x) dapat
dieari denganhanya memperhatikan suku-sukuyang berbentuka Inbj di mana
Sebagai eontoh terakhir akan diberikan salah satu kegunaan fungsi pembangkit untuk membuktikan suatu kesamaam binomial. Dalam al ini bagian kanan dari suatu kesamaan binomial dinyatakan sebagai fungsi pembangkit binomial biasa, sedangkan bagian kirinya dinyatakan sebagai hasil kali dari dua fungsi pembangkit yang sarna.
Contoh 10.10 :
Akan ditunjukkan kebenaran dari kesamaan koefisien binomial berikut ini
Ruas kanan kesamaan di atas merupakan koefisien dari x" dari suatu fungsi pembangkit (l+x)2n, yang dapat ditulis sebagai hasil kali dari (1+x)n dengan (l+x)n', Sedangkan untuk ekspansi yang demikian koefisien x" dinyatakan oleh
Maka koefisien x" pada perkalian dua fungsi (1+x)n dapat dinyatakan dengan oleh
= (~). (:)+(;).
=
(n~ )+ (7 r
(n~l)+'"+(:).(;)
+ ...+ (: r
220
Untuk hal yang terakhir ini telah digunakan kesamaan
Dari dua cara. penulisan koefisien X' dari polinomial
(1+x)".(1+x)"
= (1+x)2"
Ini telah dapat dibuktikan kebenaran dari kesamaan binomial di atas.
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL
Fungsi pemabangkit eksponensial yang akan dibicarakan di sini banyak berhubungan dengan problema yang melibatkan penyusunan dan pendistribusian dari beberapa obyek yang berbeda. Berlaianan dengan fungsi pembangkit yang biasa, fungsi pembangkit eksponensial 'mempunyai tingkat kesulitan yang lebih tinggi. Persoalan kombinatorik yang berhubungan dengan fungsi pembangkit eksponensial ini juga lebih sulitjika dibandingkan dengan problema kombinatorik yang berhubungan dengan fungsi pembangkit biasa. Pandang suatu problema yang menghitung jumlah dari penyusunan kata-kata yang terdiri dari 4 huruf, di sini huruf tersebut dipilih dari jumlah tak hingga huruf a, b dan c. Selain itu ada kendala tamabahan yaitu bahwa kata tersebut hams mengandung paling sedikit dua huruf a. Empat huruf yang telah dipilih dan memenuhi persyaratan yang tersebut di atas tadi akan membentuk suatu himpunan. Himpunan tersebut adalah {a,a,a,a}, {a,a,a,b},{a,a,a,c}, {a.a,b,b},{a,a,b,c}, {a,a,c,c}.Sedangkan untuk setiap himp~nan tersebut, dapat dilakukan sejumlah penyususnan huruf yang berbeda. Jumlah penyusunan yang mungkin dilakukan pada setiap himpunan tersebut adalah 4! 4!O!0! 4! 4! 3!0!l ! 4! 2!2!0! 4! 2!l!l ! 4! 2!0!2!
3!1to!
Dengan demikian banyaknya kata yang terdiri dari 4 huruf yang memenuhi kendala tersebut di atas adalah sarna dengan jumlah keenam bilangan di atas. 221
Perhatikan banyaknya himpunan yang mengandung sejumlah 4 huruf a, b dan c, di mana jumlah dari huruf a pada himpunan tersebut adalah dua. Banyaknya himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut ini
Sepintas lalu problema ini sarna dengan problema yang dibicarakan pada bagian sebelum ini. Tetapi bila diperhatikan lebih teliti lagi, maka hal ini tidak benar. Dalam .problema ini setiap jawaban el' e2, dan e3 yang dipeolrh hanya berhubungan dengan satu himpunan yang mungkin dibuat. Sedangkan banyaknya cara penyusunan dari anggota-anggota himpunan tersebut (hal yang dipertanyakan pada problema ini adalah sejumlah 4! ( ) el !e2!e3! kata. Dalam hubungannya dengan fungsi pembangkit, maka koefisien dari .0, tidak menyatakan banyaknya semua bentuk perkalian ;xe/,;xe2, xe3, engan el ; d ~ 2 dan e I + e; + e3 = 4, melainkan menyatakan semua hasil perkalian yang
berhubungandengan koefisiendari
Dalam hal yang demikian fungsi pembangkit eksponensial menghasilkan bentuk perkalian yang seperti ini. Suatu fungsi pembangkit eksponeosial g(x) dari. ar' yang menyatakan ban'yaknya susunan yang mungkin dibuat (atau distribusi obyek yang berbeda) dari r buah obyek, adalah suatu fungsi yang mempunyai ekspansi deret pangkat seperti berikut
xlx3 . r g(x) = ao + a/x + a2 - 2! + a3 - 3! +... + ar - r! +...
Fungsi pembangkit eksponensial ini dibentuk dengan cara yang sarna denga11 cara pembentukan fungsi pembangkit biasa. Setiap faktor polinomial akan mewakili satu obyek (atatJ satu kotak). Setiap faktor akan mempunyai sejumlah pangkat dari x yang mempakan piliahan dari sejumlah obyek dengan jenis yang sarna. Bedanya dengan fungsi pembangkit biasa adalah pada fungsi pembangkit eksponensial setiap pangkat dari x akan dibagi dengan rL Pada contoh yang pertama diberikan akan dibentuk suatu kata dengan 4 humf yang mengandung minimum 2 humf a. Akan ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit eksponensial dari kata-kata yang tereiri dari r-huruf yang dipilih dari sejumlah tak berhingga humf a, b dan c dan mengandung paling tidak 2 humf a adalah
g(x} =
x2 + +x+-+
2!
3!
2!
3!
+.)'
Dalam hal ini koefisien dari x adalah jumlah dari selumh perkalian, di sini
Hal yang paling penting di sini adlah bila xr dibagi dengan r!, dan sebagai gant;nya selumh koefisien hams dikalikan dengan r!, maka suku x akan berbentuk r!
r!
di sini penjumlahan dilakukan untuk setiap ei yang memenuhi syarat
2 ~ e I' dan 0 ~ e I' e2 xr Ternyata koefisien dari ini adalah bilangan yang sedang dicari e I + e2 + e3
= r,
r!
dan dengan demikian telah ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit eksponensial untuk problema ini memang benar seperti yang dituliskan di atas. Dalam hal ini fungsi pembangkit eksponensial ini dapat digunakan setelah dilakukan pembagian xr dengan r! d~ mengalikan koefisien dari x dengan rL
223
Contuh 10.11:
Akan ditentukan fungsi pembangkit eksponensial dari ar yang m~nyatakan banyaknya susunanr'dari n obyek yang dapat dilakukan tanpa adanya pengulangan. Karena sudah pemah diketahui sebelumnya bahwa fungsi pembangkit yang digunakan adalah (1+x)n, maka
koefisien dari
r
r!
adalah
n' (n-r)
dan dengan demikian n! ar =
1
r
r!
(n-r)
P(n,r)
yaitu pennutasi dari susunan r obyek yang ada tanpa ada pengulangan.
Contoh 10.12 :
Tentukan fungsi pembangkiteksponensialdari aryang menyatakanbanyaknya susunan yang berbeda.dari r obyek, yang dipilih dari 4 jenis obyek yang ada, di sini jumlah tiap jenis obyek paling sedikit dua dan paling banyak lima kali. Di sini diketahui banyaknya cara untuk mengatur r obyek dengan e1 obyek ke i adalah r!
Apabila dilakukan penjumlahan dari setiap suku yang demikian, dengan memperhatikan kendala yang diberikan, maka bilangan yang dieari adalah koefisien dari
-r
dalam
r!
224
Contoh 10.13 :
Akan dieari fungsi pembangkit eksponensial yang menyatakan banyaknya eara untuk menempatkan r orang yang berbeda dalarn 3 kamar yang berbeda, di mana setiap kamar hams diisi oleh paling sedikit satu orang. Jawab dari problema ini adalah
x+~ 2!
+~
3!
+ ...
Set1elumdiberikan eontoh lebih lanjut,.maka berikut ini diberikan beberapa kesarnaan atau ekspansi yang sring digunakan dalarn kaitannya-dengan fungsi pembangkit eksponensial. Dengan menggunakan kesamaan yang akan diberikan ini, maka sejumlah fungsi pembangkit eksponensial dapat dituliskan dalaril bentuk rumus yang tertutup. Ekspansi fungsi pembangkit eksponensial yang sering digunakan adalah
eX = 1 + x +
- 2!
x?
+
- 3!
x3
+
...- r!
r-
+ ...
Bila harga x pada persamaan ini diganti dengan nx, maka akan diperoleh bentuk
f!'X
= 1 + (nx) +
+ 2! 3!
+ ... r!
+ ...
Oalam fungsi pembangkit eksponensial ini tidak dapat dilakukan mengeluarkan pangkat yang sarna dari x, tanpa mengganti penyebut rL Hal yang sering dilakukan adalah mengurangi pangkat yang hilang atau pangkat yang rendah dari x pad eX.Misalnya faktor eksponen yang menyatakan obyek tertentu minimum 2 kali dapat dituliskan sebagai
225
il 2!
x3 3!
+-
x4 4!
+ ... =
eX
- I-x.
Dua rumus ekspansi yang juga sering digunakan adalah
il 1/2(eX+ e-X)= I + 2! x4 +-+...-+... 4!
xlr
(2r)!
dan 1 -x x3 x5
xlr+l
/2 (eX
e ) = I
3!
5!
...
...
(2r+1)!
Contoh 10.14
Akan dieari banyaknya susunan dari r obyek yang bisa dibentuk dari n jenis obyek yang ada, di mana masing-masing jenis obyek jumlahnya talc berhingga. Kita tabu bahwa obyek pertama dapat dipilih salah satu dari n obyek yang ada. Demikian pula I,lntukobyek kedua, dapat dipilih dari n obyek yang ada. Jadi untok r obyek dapat disusun dalam nr cara. BHaproblemaini akandiselesaikan denganmenggunakan fungsipembangkit eksponensial, maka fungsi pembangkit eksponensial yang digunakan adalah
1+x +
- il 2!
+
X
- 3!
x3
+ ...
= (eX)n =
f!"X.
dan koefisien-
r!
padapersamaan ini adalah nr
Contoh 10.15
Akan ditentukan banyaknya 'cara menempatkan 25 orang dalam 3 Akan ditentukan banyaknya cara menempatkan 25 orang dalam 3 kamar, di sini masing-masing kamar hams berisi paling sedikit I orang. Dari pembahasan terdahulutelah dihitungbahwa fungsi pembangkiteksponensialdari problema ini adalah 226
x2
(x +
2!
x3 3!
...) 3
= (eX-I)3
Yang akan ditentukanadalah koefisien
~ r!
pada (eX-I)3.
Dengan menggunakan ekspansi binomial dapat diperoleh
(eX-I)3
e3x
- 3e2x + 3eX - 1
3r
= ~
r=o
00
xr
- 3
r!
2f
r=O
-r!
-
xr
+3
r=O r!
~
Xf
- 1
r=O
L (3r - 3.2r + 3)
-r!
x25
xr
dengan demikian koefisien dari
adalah 325
- 3.225 + 3.
25!
Contoh 10.16
Akan ditentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari r angka, yang dipilih dari angka 0,1,2, dan 3, di sini jumlah angka adalah geriap, jumlah angka 1 adalah ganjil. Fungsi pembangkit eksponensial yang dieari adalah 1 + !:-. + + ... 2! 4! ( )
~ +~ 3! 5!
=-4
1
+ ...
)(
1+x +
~ +~ 2! 3!
...
dan ini dapat ditulis sebagai
1/2 (eX-e'X). 1/2 (eX+e'X).eX.eX (e2x
- eO+ - 1)
x' r!
eO'- e'2X).eX.eX
= -4
1
(e4x
Untuk harga r > 0, maka koefisien dari
ada1ah
1 4
4r.
227
METODE PENJUMLAHAN
Pada bagian ini akan ditunjukkan bagaimana membentuk suatu fungsi pembangkit biasa h(x) di mana koefisien r yang dieari memenuhi suatu fungsi tertentu p(r~ yang tergantung dari r. Misalnyap(r) ;", ,2. atau p(r) = (r). Bila rumusan ini telah dapat diperoleh, maka h(x) akan digunakan untuk menghitung jumlah p(Q) + p(l) + ... + p(n), untuk setiap bilangan bulat n. Sebelum hal ini dibahas, pertama-mma akan diberikan dulu 4 aturan sederhana yang sering digunakan untuk membentuk fungsi pembangkit yang baru dari suatu fungsi ~mbangkit yang diberikan. Untuk keempataturan ini dimisalkanbahwa A(x) = LanXn,B(x) = I,bnxn, C9x) = I,C/ dan D(x) = Ld~xn. 1. Bila bn 2. 3.
4.
= dan, maka B(x) = d A(x). untuk tiap konstanta
d.
Bila cn
= an + bn maka
n i=O
C(x)
= A(x) + B(x). = B(x) A(x).
Bila cn = I, a,bn_j,maka C(x)
Bila bn
= an_k,keeuali bj=Ountuk i < k. maka B(x) = xk A(x).
Salah satu operasi pembentukan koefisien penting lainnya adalah mengalikan setiap koefisien a, dari fungsi pembangkit g(x) dengan suatu konstanta r. Fungsi pembangkit yang baru g*(x} mempunyai koefisien a*, = ra" diperoleh dengan menurunkan g(x) terhadap variabel x dan kemudian mengalikan hasilnya dengan x. d Jadi g*(x) = x (g(x. Kebenaran akan hal ini ditunjukkan dx sebagai berikut: g(x)
= ao + atx + a~
+ ... + a,r + ....
turunan dari g(x) terhadap x adalah
228
d _ -1 ,- g(X) - a) + 2ar + ... + ra~ + ..., dx dan bila hasil penurunan ini dikalikan dengan x, maka akan diper oleh g*(x)
=x
(:
g(X))
a)x + 2af
... + ra~ + ...,
Perhatikan bahwa pada persamaan yang terakhir ini koefisien ao hHang,
karena koefisien yang barn adalah Oao
= O.
Bila operasi ini digabungkan dengan aturan pertama dan kedua di atas, maka koefisien xr dapat dikalikan dengan r atau konstanta dan dapat dilakukan penambahan koefisien berkali-kali. Hal ini memberikan peluang untuk membentuk suatu polinomial dalam r. Yang menjadi pertanyaan adalah pada koefisien sejenis apa operasi ini patut dilakukan? Bila tidak ada informasilainnya, maka diambil s~atu fungsi pemabngkit yang paling sederhana yaitu fungsi pembangkit dengan koefisien ar = 1, dengan fungsi pembangkit
=
I-x
I + x + x2 + x3 + ... r + ...
Contoh 10.17 :
Buatlah suatu fungsi pembangkit h(x) dengan ar = 2?-. Proses dimulai dengan fungsi pembangkit
-I-x
Bila dilakukan operasi penurunan dan perkalian dengan x, maka akan diperoleh x
=" Ix + 2i2 + 3x3+ ... rr + ...
229
Bila proses ini diulangi sekali lagi, maka akan diperoleh
x --;j;"
(l-x)2
)=
(l-x)2
x(l +x)
(l-xf
= l2x + 22x2+ 32x3+ ... r2xr + ...
Akhirnya hasil ini dikalikan dengan 2, dan diperoleh =
2x(1+x)
h(x)
Contoh 10.18 :
Akan dibentuk fungsi pembangkit h(x) dengan ar = (r+l)r(r-l). Untuk ar = (r+l)r(r-l) = ,J -r, dapatdilakukan prosesseperticontohyang barn dikerjakan, yaitu dengan melakukan mencari fungsi pembangkit dengan koefisien ,J dan r, lalu melakukan proses pengurangan dua fungsi pembangkit. T~pi selain itu dapat juga dilakukan sebagai berikut. Misalkan fungsi pembangkit
mempunyai koefisien ar' di sini
ar
= 3!
( )
r+4-1 r
= 3! (r+3)! = r!3!
(r+3)! = (r+3)(r+2)(r+l)!
r!
Maka ekspansi deret pangkat dari 3!.(l-x)-4 adalah
3!
= 3.2.1 + 4.3.2x + 5.4.3x2 + ...
+ (r+3)(r+2)(r+l)r + ...
230
bila hal ini dibandingkan dengan fungsi pernbangkit
h(x)
= 3.2;lx2 + 4.3.2i3 + 5.4.3x4 + ...
+ 4 (r+l)(r-l)r + ...
rnaka jelas bahwa h(x) adalah sarna dengan 3!x2(1-x)-4
Contoh yang terakhir ini dapat diperluas untuk tiap koefisien yang melibatkan hasil kali dari suku yang rnenurun, seperti (r+l)r(r-l). Dalam hal ini fungsi pernbangkit (n-l)!(1-x)-n, rnernpunyai koefisien
ar = (n-l)!
= (r+(n-l (n-2) ... (r+l).
(r+:-l)
di sini n-l adalah jurnlah suku dalam hasil kali. Sejauh ini eontoh yang diberikan rnenunjukkaneara rnernbentukh(x) dengan rnanipulasi aljabar dari fungsi .pernbangkit. TeoreJ1laberikut ini rnudah untuk dibuktikan dan berguna untuk rnenghitungjurnlah koefisien lir untuk dari suatu fungsi pernbangkit tertentu.
Teorema 10.1 Bila h(x) adalah suatu fungsi pembangkitdengankoefisienar, rnakah*(x)=
I-x
h(x) adalah fungsi pernbangkit dengan koefisien
jurnlah dari ar atau
* h (x)= 2 <10+ (<10+ a)x + (<10+ a) + ~)x +... + (L r
i:::O
ar)xr
+ ... 231
Contoh 10.19
Hitung jumlah 2.12 + 2.22 + ... + 202. Fuogsi pembangkit h(x) dari ar = 2r2 telah diperoleh pada cootoh terdahulu yaitu 2x(1+x). (1-x)3 Maka meourut teorema di atas, jumlah dari at + ~ + ...+ ~ adalah koefisieo
dari Xo dalam
h(x) (I-x)
= 2x
(1 + x)(1
- x)-4
= 2x (1 - x)-4 + 2x (1 - x)-4
Koefisieo dari Xodalam 2x (1 - x)-4 adalah koefisieo xo-t dalam 2(1 - xt4, demikian pula koefisieo dari Xodalam 2x2 (1 - x)-4 adalah koefisieo xO-2 dalam
2(1 - x)-4.
Deogan demikian jumlahan yang dicari besamya adalah
(0-1) + 4 - 1 0-1
) (
+2
(0-2) + 4 - 1 0-2
)= ( ) ( )
2 +2
0+2 3
0+1 3
Contoh 10.20
Hituog jumlah 3.2.1 + 4.3.2 + ... + (0+1)0(0-1).
Fuogsi pembangkit h(x) uotuk ar
= (r+l)r(r-l)
telah diperoleh d!Ui cootoh
terdahulu 6x2 (1 - x):4.Meourut teorema di atas, makajumlah dari koefisieo dari Xopada h*(x) = h(x) = 6 x2 (1 - xt5. I-x
232
Koefisien ini. adalah suku Xn-2pada 6 (1
- xt5,
yang besarnya adalah
PENYELESAIAN HUBUNGAN REKURSI DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT
Pada bagian ini akan dipelajari salah satu cara lain penyelesaian suatu hubungan rekursi dengan melakukan manipulasi aljabar dari fungsi pembangkit g(x) dengan koefisien an yang memenuhi hubungan rekursi yang diminta. Kebanyakan hubungan rekursi yang melibatkan an dapat diubah kedalam suatu persamaan yang melibatkan fungsi pembangkit
Dalam cara ini persamaan yang melibatkan fungsi g(x) dapat diselesaikan secara aljabar, dan ekspresi yang diperoleh untuk g(x) diekspansikan keda1am deret pangkat untuk memperoleh ~, yang merupakan koefisien dari xn. Untuk beberapa hal manipulasi aljabar yang dilakukan pada g(x) kelihatannya agak sulit, tetapi hal ini sebenarnya dapat dilihat dari sisi yang lebih mudah setelah memisalkari variabel barn y yang menggantikan g(x). Dalam hal ini g(x) akan diperlakukan sebagai suatu variabel baku yang barn, yang disebut y. dan fungsi lain yang mengandung x, diperlakukan sebagai suatu konstanta. Misalnya persamaan fungsi berikut g(x)
= x2g(x) - 2x
dapat diselesaikan dengan menuliskan g(x) seperti berikut
g(x)(1
- x2) = -2x
sehingga dapat diperoleh
233
g(x)
= -2x
(I - X2)"1.
Hal yang sarna dapat juga persamaan fungsi berikut
yang dapat diselesaikan dengan rnenggunakan rurnus kuadrat a, b, c yang biasanya digunakan untuk
ay2 + by + c
=0
dalarn . hal ini . a = (l -x 2) . b = -4x c = 4x2
= g (x).
Dan dengan rnenggunakan rurnus kuadrat a, b, c persarnaan ini diselesaikan untuk variabel y, dan diperoleh
g(x)
2(1
_
x2) (4x:t 4x2)
dan akan diperoleh g(x)
2(x + x2) atau
Pada urnumnya bila ada lebih dari 1 jawaban g(x) yang mungkin, maka hanya ada satu fungsi pernbangkit an yang rnempunyai arti, yaitu fungsi yang rnernenuhi hubungan rekursi tersebut. 234
Contoh 10.21 Diberikan suatu hubungan rekursi an = an_I + n, dengan 30 = I. Akan dieari hubungan fungsi pernbangkit g(x), keeuali 30, akan diperoleh hubungan
anxn
= an_lxn+ nxn
n ;:: I
Bila suku ini dijurnlahkan untuk tiap nilai n rnaka akan diperoleh hubungan berikut
co
co
g(x)
- 30
=L. anxn = L. (an-I xn + nxn) n=1 n=1
= x faxn-I n-I
n=1
+ f nxn
n=1
= xg (x) +
(I
x2)
Perhatikan disini bahwa dalarn proses ini suku an_lxntelah ditulis kernbali dalarn bentuk xan_1xn-l, supaya pangkat dari x sesuai dengan indeks dari koefisien a. Juga pada rnanipulasi di atas telah dilakukan proses penulisan indeks baru rn = n - ~ dan rnenarnbahkan suku baru Oxoyang nilainya adalah 0, dernikian pula
dengan penulisan n sebagai
(~).
Di atas juga terlihat bahwa bentuk. jurnlahan yan~ pertama adalah sarna dengan fungsi pernbangkit g(x) yang dikalikan dengan x sedangkan jurnlahan yang kedua adalah fungsi pernbangkit yang telah dapat diperoleh dari earn'yang diterangkan pada bagian terdahulu. Persarnaan terakhir ini dapat ditulis dalarn bentuk berikut setelah rnengganti 30 dengan nilai awal 1
235
g(x) - 1 = xg (x) +
(1 - x2)
dan dari persam~ ini faktor g(x) dapat dipindahkan kebagian kiri persamaan dan akan diperoleh bentuk (x) - xg (x) atau g (x)
=1+
=
(1 - x)
x (1
- x)3
Telah diketahui sebelumnya bahwa koefisien.xn pada (1 - xtl adalah 1 dan dalam x adalah
(1
- x)3
Dan dengan demikian fungsi g(x) dapat ditulis sebagai
dan dari sini diperoleh bahwa an = 1 +
( n:l )
Contoh 10.22
Akandiearifungsipembangkitg(x)yangkoefisiennyamemenuhihubungan
rekursi ~ 236
= ail_I +
an_2dan syarat awal al
= 1 serta az = 2.
Dengan menggunakan hubungan rekursi yang diberikan, maka dapat dihitung 1 dan a1 = 1. Kemudiandengan menggpnakan syarat awal barn yaitu ~ jumlahan dari deret pahgkat seperti contoh sebelum ini akan dapat diperoleh
00
= x n=2(an_1xn+ L
an_2xn)
=x n=1 an-l + xn-l + x2 n=2a xn-2 r i -n-2
= x(g(x) - 30>+ x2g(x) Dengan mengganti ~ dan a1 dengan nilai 1",maka diperoleh persamaan fungsi berikut ini g(x) - 1 - X = x(g(x) 1) + x2g(x).
dan diperoleh g(x)
1 1 -X
- x2
Perhatikan disini bahwa penyebut dari g(x) dapat ditulis dalam at dan cx.z yang memenuhi
1 - X- x2 = (1
di sini
at x) (1 - cx.z x)
237
selanjutnya g(x) dapat ditulis sebagai
g(x)
~
..JS(J- ~x)
Sekarang tuliskan YI = alx dan Y2 = ~x, maka akan diperoleh al
~
an
(1
y,y' = u,
hal yang sama dapat dilakukan un!uk Y2dan akhimya akan diperoleh
_
..J5
a n+I _
I
_
1
..J5
n+I
-..J5
(II (l + ..J5)n+I 2
..J5
(I/il
- ..J5)n+I
Contoh 10.23
Akan diselesaikan hubungan rekursi an '+ an_I -16an_2 + 20an_3 0, untuk n 3, 4, 5, ... dengan syarat awal 30 = 0, al = 1 dan ~ = -1. Misalkan g(x) adalah fungsi pembangkit dengan koefisien yang memenuhi persamaan tersebut, maka akan diperoleh persamaan berikut
g(x)
- 30
atx - ~x2
= n=3 1
anxn
dan dengan menggunakan hubungan rekursi yang diberikan akan diperoleh
00
= n=3(-an_t I.
+ 16an_2- 20an_3) xn
238
bila digunakan syarat awal yang diberikan e10 0; at = persamaan berikut
= -I,
maka akan diperoleh
(I + x atau g(x)
- 16x2+ 20x3)g(x) = x
1+ x
- 16x2 + 20x3 - 2x)2(1
dan penyebut dari g(x) dapat dituliskan sebagai 1 + x - 16x2 + 20x3 = (I
+ 5x)
dan dari persamaan terakhir ini hams ditentukan tiga buah konstanta A, B, C yang memenuhi
x
A
+
B (I
1 + x - 16x2 + 20x3
1 - 2x
- 2x)2
C.
1 + 5x
dari hal ini diperoleh persamaan bam yaitu x atau
= A(I - 2x)(I
+ 5x) + B(I + 5x) + C(I - 2x)2.
= (A + B + C) + (3A + 5B - 4C)x + (-lOA + 4C)x2
dan diperoleh 3 persamaan berikut untuk tiga variabel A, B, C yaitu
A+B+C=O 3A + 5B - 4C = 1 -lOA + 4C = O.
Dengan menyelesaikan persamaan linier dalam 3 variabel ini akan diperoleh A
='-
2 49 ,B
7 49 ,dan C
=-
49
239
Jadi 1
g(x)
=
1+ x
- 16x3 + 20x3
-2149
1 - 2x +
7/49
5/49
1 + 5x
Sedangkan telah diketahui bahwa 1 1 - 2x
1 (1
- 2x)2
1
= L
00
00
k=O (kl)
2kXk
1 + 5x
= L (_5)kxk k=O .
Dengan demikian g(x) yang dieari adalah
00
g(x)
=L [-2149 2k + 7/49 (k+l)2k k=O
5/49 (-5)k] xk
dan jawab dari hubungan rekursi yang diberikan adalah
an
= -2149 2n + 7/49 (n+1)2n - 5/49 (-5)n.
Dari hasil akhir ini terlihat bahwa jawab dari hubungan rekursi ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik persamaan karakteristik, seperti dijelaskan pada bab ini. Dan kalau diperhatikan hasil akhir ini, maka akar karakteristik tersebut adalah 2, 2, dan -5. Bagaimana hubungan antara akar karakteristik ini dengan fungsi g(x) yang diperoleh ini? Bila fungsi pembangkit g(x) dapat dituliskan sebagai g(x) = p(x) q(x)
240
dalam hal ini penyebut dari fungsi pembangkit ini q(x) dapat ditulis sebagai
maka persamaan karakteristik yang akan".dipenuhi oleh hubungan rekursi ini adalah
hal ini sebaliknya juga berlaku, dan secara lengkap dinyatakan dalam teorema berikut ini :
TEOREMA 10.2
Misalkan diberikan suatu barisan bilangan 30, ai' ..., ~, ... yang memenuhi suatu hubungan rekursi
a untuk n = k, k+l, ... dan syarat awal yang ditentukan 110, I' ..., ak_I. Persamaan karakteristik dari hubungan rekursi ini adalah
Maka fungsi pembangkit untuk barisan bilangan tersebut adalah g(x) yang dapat ditulis sebagai
g(x)
p(x) q(x)
tingkat dari q(x) adalah k dan tingkat dari p(x) kurang dari k, serta q(x) dapat ditulis sebagai 241
dan p(x) adalah p(x)
=ao + (al + clao)x + (az + clal
+ c2ao)x2+ ... + (ak+, +
clak_2+ ... + ck_lao)xk-I Hal ini mudah ditunjukkan karena antara penyebut dari fungsi pembangkit g(x) yaitu q(x) dan persamaan karakteristik r(x) = 0 terdapat suatu hubungan q(x)
= xkr(lIx)
dan jika akar karakteristikdari r(x) adalah a, ... ~, maka
r(x)
= (x - al) ... (x - ~)
dan q(x) dapat ditulis sebagai
Demikian pula sebaliknya. Pada contoh terakhir dibicarakan, penyebut dari fungsi. pembangkit yang diperoleh adalah q(x)
= 1 + x - 16x2 + 20x3.
Kalau diperhatikan lebih teliti, koefisien dari x pada penyebut ini erat hubungannya dengan koefisien dari relasi rekursi yang diberikan yaitu
yang berlaku untukn = 3,4,5, ... Sedangkan fungsi karakteristik yang berhubungan dengan relasi rekursi ini adalah
242
r(x)
= X3 +
X2
- 16x + 20
dan dengan membandingkan r(x) dengan q(x) jelas terlihat bahwa q(x) dapat diperoleh dari r(x) dengan melakukan manipulasi aljabar berikut
q(x)
= 1 + x - 16x' + 20.' = x'r (~ )
Berikut ini akan diberikancara penyelesaiansuatu hubunganrekursi yang simultan. Dalam hal ini akan diberikan beberapa hubunganrekursi sekaligus yang hams diselesaikan.
Contoh 10.24
Dunakan pendekatan dengan fungsi pembangkit untuk menyelesaikan himpunan dari hubungan rekursi yang simultan sepertiberikut
an
an_I + bn_1+ cn_1
bn
cn
= =
3n-1-
n-I
3n-1 - bn-I
dengan syarat batas berikut ini
Perhatikan bahwa pada contoh ini diketahui ada 3 hubungan rekursi dan tiga syarat awal yang diberikan, dan hams dieari 3 buah jawaban yang berhubungan dengan an' bn dan cn. Misalkan bahwa A(x), B(x) dan C(x) adaIah fungsi pembangkit yang berhubungan dengan an' bn dan cn. Dengan menggunakan metoda penjumlahan polinomial maka dari ketiga relasi rekursi tersebut diperoleh
243
00
00
00
00
A (x) - a_;:: \J
n=1
a 11xn;::
n=1
an-I xn +
n=1
b n-I xn +
n=1
Cn-I "(n
;::
xA (x) + xB (x) + xC (x)
B (x) - bo ;::
bnxn;::
n=1
3n-lxn-
n=1
n=1
Cn-I xn
;::
x (1
- 3x)"1- xC (x)
C (x) - C ;:: On.
n=1
I.
C xn;::
n=1
I 3n-lxn-
n=1
'i
b n-Ixn
;::
x (1 -3x)" I - x B (x).
;::
Karena diketahui syarat awal al
bl
;:: Cn ;::
1, maka dengan menggunakan
hubungan rekursi yang diberikan dapat diperoleh
dan ini akan memberikan Co;:: O.Dan dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa bo ;:: 0 dan 30 ;:: 1. Dan dengan demikian akan dapat diperoleh persamaan
simultan yang mengandung tiga buah fungsi yang akan dicari, A(x), B(x) dan C(x). Persamaan simultan tersebut adalah
A (x) A (x)
-1
x
;::
xA (x) + xB (x) + xC (x) atau (B (x) + C (x) +
;::
I-x
;::
I-x
B (x) C (x)
x(1 - 3x)"1 x C (x) x(1 - 3x)"1 x B (x) -
;::
244
Untuk menyelesaikan persamaan di atas maka persamaan terakhir dilralilran dengan x sehingga dapat diperoleh suku xC (x) yang 'kemudian disubsimsi1can pada persamaan sebelumnya. I;)an persamaan yang dihasilkan akan hanya mengandung fungsi B(x) saja, dengan demikian diperoleh B (x)
= x (1 - 3x)-1- xC (x) =x (1 - 3xt1 - X (x(1 - 3xt1 - x B (x
dan ini akan menghasilkan
atau x(1 B(x)
- x)
(1
(1
- xi)
- 3x)
Ix
(1 + x) (1
=
- 3x)
1/4
1/4
1 - 3x
1+ X
Pada langkah terakhir ini dilakukan suatu dekomposisi pecahan yang sering dilakukan pada mata kuliah kalkulus.Dati hasil terakhir ini terlihat bahwa koefisien dari XO dalam 1~
adalah 1/4 (_1)0 dan dalam
1~ 1 - 3x
adalah 1/4 3D
1+ x
Hal ini mudah ditunjukkan dengan menggunakan deret berikut
dan mengganti nilai y dengan -x dan 3x.
245
....
_ h_..
._......_..
Sarnpai disini telah diperoleh nilai bo yang merupakan koefisien dari XO pada B(x) yaitu
bo
= 1/4
(3
- (-1)0
Karena dua persarnaan yang mengandung B(x) dan C(x) adalah simetris terhadap B(x) dan C(x), maka penulisan B(x) dan C(x) pada kedua persamaan tersebut dapat saling dipertukarkan, sehingga jawaban yang diperoleh untuk C(x) adalah
sarna dengan yang diperoleh untuk B(x) yaitu
c
.0 =b = 1/4
(3
(-1)0)
Terakhir masih harns diselesaikan A(x) dengan menggunakan A(x) = x x (B(x) + C(x) +
1- x
1- x
2x
I- x
(1/4
1-3x-
1/4)
IIx 2
+
+
I
x
x
=
(1
II x 2
- x)(1 - 3x)
1/4 1- x
- x2
-x +x 1- x
- 1/2x
1 - x2
Karena nilai (_1)0adalah 1 untuk n genap dan -I untuk n ganjil maka dari hal yang terakhir ini koefisien a.. dari faktor xr pada A(x) adalah ao = 1/4 (3 + 3) dan n genap n ganjil
= 1/4 (3 +
1)
246
Sebagai contoh yang terakhir pada bagian ini akan dibicarakan cara penyelesaian suatu hubungan rekursi yang tidak liniet yang dapat diselesaikan dengan menggunakanfungsi pem~angkit.Contoh berikut ini adalah membicarakan suatu hubungan rekursi yang tidak linier yang menunjukkan banyaknya cara mengalikan n buah bilangan, dengan catatan urutan tidak diperhatikan. Contoh ini pemah dibicarakan pada bagian hubungan rekursi sebelum ini. Misalnya dua bilangan a dan b dapat dikalikan dalam satu cara yaitu a x. b (b x a dianggap sarna karena hanya berbeda urutan saja), sedangkan 3 bilangan a, b, c dua yaitu (a x b) xc atau a x (\:)x c), cara yang lain hanya merupakan permutasi dari kedua hasil ini. Jadi telah diperoleh bahwa ~ = 1 dan 8:3= 2, danjelasbahwaa. = 2, serta 80 = o.
Contoh 10.25
Apabila diberikan n buah bilangan dan ~ merupakan banyaknya cara mengalikan bilanr:.tll tersebut, maka akan diperoleh hubungan reku~i berikut
RuolUs hubungan rekursi ini diperoleh karena untuk mengalikan n buah bilangan dapat dikalikan dahulu i bUah bilangan disatu pihak dan n-l bilangan dilain pihak, kemudian kedua hasil perkalian ini dikalikan:Dan ini dapat dilakukan untuk nilai i = 1,2, ... n-1. Dan dengan demikian diperoleh rumus rekUsidi atas. Bila g(x) adalah fungsi pembangkit dari an maka bagian kanan dari hubungan rekursi tersebut menyatakan koefisien xn dari g (x)g(x)
= (0 + a.x
+ ~x2 +
...+ ~xn
+ ...)2
Dengan menggunakan metoda penjumlahan polinomial maka akan diperoleh persamaan fungsi pembangkit berikut ini

label: sh

label: nl

label: tr

label: pt

label: cs

label: es

label: it


content:
Layanan pengiriman udara banyak digunakan oleh berbagai perusahaan global. Perusahaan merasa cepat dan aman untuk mengirimkan barang dagangan dari satu titik dunia ke titik lain.
Read More
kargo
Perusahaan Freight Forwarders
October 26, 2020 2 min read
Internet telah berkembang pesat, dan semakin banyak pemilik bisnis yang mempelajari cara menggunakan teknologi hebat ini untuk membantu mereka mengembangkan bisnis. Misalnya, perdagangan menjadi lebih

warc-type: conversion

warc-identified-content-language: ind,eng

content-type: text/plain

label: id

label: en


content:
Fitur Google Search Yang Wajib Kamu Tahu – Kita semua pasti sudah terbiasa menggunakan google untuk mencari artikel atau berita tertentu pada saat berselancar di internet. Hampir milyaran pengguna internet menggunakan google untuk mencari berbagai berita atau informasi setiap harinya. Namun tahukah kamu bahwa google memiliki fitur fitur keren yang dapat kamu gunakan untuk mengoptimasi pencarian di google?
Fitur tersebut sebenarnya memang sudah disediakan oleh google agar para pengguna layanan mesin pencari google lebih mudah dalam mencari file atau informasi tertentu. Berikut ini adalah fitur google search yang wajib kamu tahu dalam menggunakan layanan mesin pencari google yang lebakcyber.net telah siapkan.
Google Translate
Pasti kamu sudah tidak asing lagi dengan google translate, ya google translate adalah salah satu layanan yang diberikan oleh google yang dapat kamu gunakan untuk menerjemahkan kata atau Bahasa dari negara tertentu ke negara lainnya. Misalnya kamu ingin mencari Bahasa inggir dari komputer, maka kamu tinggal ketikan di mesin pencari google komputer translation in English lalu tekan enter. Nanti google akan secara otomatis melakukan proses pencarian dengan menggunakan google translate.
Advertisements
Local Area Search
Dengan menggunakan fitur local area search, kamu bisa mencari suatu tempat khusus di daerah tertentu. Misalnya kamu ingin mencari toko buku yang ada di daerah Jakarta, maka tinggal ketik toko buku di Jakarta lalu tekan enter. Maka google akan menampilkan semua toko buku yang ada didaerah Jakarta. Atau misalnya kamu ingin mencari kafe di daerah Jakarta selatan, kamu tinggal ketikan kafe di daerah Jakarta selatan nanti secara otomatis google akan menampilkan semua kafe yang ada didaerah Jakarta Selatan.
Hanya Menampilkan File Tertentu
Pernahkah kamu ingin mencari suatu file tertentu saja di google. Misalnya kamu hanya ingin mencari dokumen atau file belajar komputer dengan format doc atau pdf saja. Untuk melakukan proses pencarian dengan kriteria tersebut kamu hanya tinggal mengetikan belajar komputer filetype:DOC atau belajar komputer filetype:PDF lalu tekan enter, nanti google hanya akan menampilkan file dengan filetype yang kamu inginkan saja.
Advertisements
Google Calculator
Pernah ingin menggunakan calculator pada saat berselancar didunia internet? Ada fitur yang memudahkan kamu jika kamu ingin menggunakan fitur google calculator. Kamu cukup mengetikan calculator di halaman pencarian google. Nanti secara otomatis kamu akan ditampilkan aplikasi kalkulator di hasil pencarian google.
Nilai Tukar Mata Uang
Jika kamu ingin mencari nilai tukar mata uang antara rupiah ke dollar maka tinggal ketikan saja Rupiah ke Dollar, nanti google akan menampilkan nilai tukar dari kedua mata uang tersebut secara otomatis. Kamu juga bisa mencari nilai tukar dari berbagai negara lainnya.
Itulah beberapa fitur yang dapat kamu gunakan saat menggunakan mesin pencari google yang dapat lebih memudahkan kamu dalam mencari suatu informasi di google. Semoga artikel ini dapat bermanfaat ya.
Share this:
Click to share on Twitter (Opens in new window)
Click to share on Facebook (Opens in new window)
Related
Share
Facebook
Twitter
LinkedIn
Pinterest
About Firdan Ardiansyah
Admin di lebakcyber.net Untuk berhubungan dengan saya, silahkan kirim email ke : firdan@lebakcyber.net
@virdane
Related Articles
Membuat Carousel Menggunakan Bootstrap
26/11/2020
Membuat Form Menggunakan Bootstrap
25/11/2020
Navigation Bar Menggunakan Bootstrap
24/11/2020
Check Also
Membuat Navigasi Tabs Menggunakan Bootstrap
Membuat Navigasi Tabs Menggunakan Bootstrap lebakcyber.net – Membuat navigasi tabs menggunakan bootstrap. Oke jadi pada …


content:
MASIH ingat fenomena Sinta Jojo yang sempat ngetop lewat cover lagu 'Keong Racun' di Youtube? Atau Norman Kamaru yang mendadak terkenal lewat video 'Chaiya chaiya?'
Saat itu video keduanya menjadi fenomena.
Sinta, Jojo, dan Norman Kamaru laris manis diundang banyak stasiun televisi. Cepat terkenal, cepat pula hilangnya. Saat publik mulai bosan, nama mereka pun perlahan-lahan meredup.
Fenomena ini bisa disebut dengan ‘artis instan’. Di Indonesia, Youtube bukan satu-satunya jalan pintas. Ajang-ajang berbakat di berbagai stasiun televisi swasta banyak diminati karena bisa membuat seseorang menjadi ‘artis instan’.
Hal ini ditanggapi oleh Agung Saputra selaku pemilik Bentuk Management, manajemen artis yang menaungi sederatan artis muda seperti Stuart Collin dan Stefan William. Menurutnya, pasar hiburan Indonesia yang bergerak cepat memang membutuhkan talenta baru untuk mendongrak rating.
“Kalau dibilang instan saya setuju. Instan sebenarnya tidak masalah, asal artis bisa menampilkan kualitas mereka. Lewat ajang pencarian bakat misalnya, justru ditemukan talenta-talenta baru,” ujarnya saat ditemui Okezone di bilangan Tebet Jakarta.
Meski tidak mempersalahkan soal instan, Agung sebagai pencari talenta sangat mementingkan kualitas. Kualitas tersebutlah yang nantinya menolong artis untuk tetap bertahan di dunia hiburan.
“Kualitas penting banget. Jadi, pas dia terkenal memang bukan karena aji mumpung tapi karena hokinya memang bagus. Contohnya, Inul Daratista yang dulu ngetop karena goyang ngebornya. Toh dia masih bertahan sampai sekarang, fansnya pun loyal. Itu semua tergantung si artis maintenance dan mencari karakter dirinya sendiri. Kalau dari ajang pencarian bakat, Judika juga masih eksis.”
Ketika disinggung bagaimana Korea Selatan mendidik para artis muda untuk memiliki keterampilan di atas rata-rata sebelum dilepas ke pasaran, Agung berpendapat sistem ini akan sulit diterapkan di Indonesia. Manajemen artis di Korea Selatan harus mengeluarkan biaya besar untuk memasukan artis ke asrama selama waktu pendidikan. Belum lagi masa-masa training tersebut tidak hanya 1-2 tahun tapi bisa sampai 6 tahun.
Hasilnya, ketika artis-artis tersebut sukses, porsi bagi hasil lebih banyak untuk perusahaan daripada yang diterima artis. Hal ini sebagai bagian dari timbal balik atas ‘modal’ selama masa pelatihan dulu. Sebaliknya, Agung mengungkap rata-rata artis di Indonesia menerima penghasilan dengan perbandingan 3:7. Tiga untuk manajemen dan tujuh untuk artis.


content:
polsek benowo terus melaksanakan kegiatan Harkamtibmas oleh anggota Bhabinkamtibmas. Hari ini tanggal 31 oktober 2019 petugas mengunjungi warga masyarakat Desa tow aiptu ngadiman
mendatangi warga dan melaksanakan sambang dialogis.
Petugas sengaja mendekatkan diri dengan warga masyarakat agar tercipta komunikasi yang baik antara petugas Polsek dengan warga masyarakat. Selain itu petugas Bhabinkamtibmas melakukan komunikasi untuk mengetahui situasi dan kondisi Kamtibmas di masyarakat. Apabila ada potensi gangguan Kamtibmas agar segera melaporkan ke petugas Bhabinkamtibmas.
Mediatribrata.com – Polsek benowo polrestabes surabaya
polsek benowo terus melaksanakan kegiatan Harkamtibmas oleh anggota Bhabinkamtibmas. Hari ini tanggal 31 oktober 2019 petugas mengunjungi warga masyarakat Desa tow aiptu ngadiman
mendatangi warga dan melaksanakan sambang dialogis.
Petugas sengaja mendekatkan diri dengan warga masyarakat agar tercipta komunikasi yang baik antara petugas Polsek dengan warga masyarakat. Selain itu petugas Bhabinkamtibmas melakukan komunikasi untuk mengetahui situasi dan kondisi Kamtibmas di masyarakat. Apabila ada potensi gangguan Kamtibmas agar segera melaporkan ke petugas Bhabinkamtibmas.
admin3
See author's posts
Continue Reading
Previous AIPTU NGADIMAN SAMBANG WARGA
Next Pawas Polsek Genteng Polrestabes Surabaya Pimpin Serah Terima, Monitor Perkembangan Situasi Selama 1 x 12 Jam (15112019) Malam

label: ca


content:
MONITOR, Jakarta – Kehadiran Kartu Pra Kerja diharapkan mampu membantu masyarakat, tak hanya ketika di masa pandemi ini, melainkan juga di masa-masa mendatang. Akan tetapi, kondisinya saat ini cukup memprihatinkan. Insentif yang terlambat turun, bahkan hingga saat ini berlum cair menjadi masalah utama. Untuk angkatan selanjutnya, yaitu angkatan keempat, sampai sekarang juga belum ada pembukaan lagi. Sementara masyarakat sudah menunggu untuk bisa menjadi peserta dalam program tersebut.
Pernyataan ini disampaikan oleh Senator asal Yogyakarta, Hilmy Muhammad saat Rapat Kerja Komite III DPD RI bersama Menteri Ketenagakerjaan RI, Ida Fauziyahmelalui aplikasi virtual pada Selasa pagi (30/06/2020).
“Terkait kartu Pra Kerja, ini betul-betul memprihatinkan. Yang terjadi saat ini, dari beberapa tahapan yang telah dibuka, tapi hingga sampai saat ini masih macet. Begitu pula dengan yang sudah mendapatkan Kartu Pra Kerja, baru sekali mendapatkan stimulus dan belum mendapatkan lagi. Kami harap ini segera ditangani,” katanya pria yang akrab disapa Gus Hilmy ini.
Gus Hilmy juga menyampaikan apresiasi atas kinerja kementerian tersebut, baik terkait program kerja maupun mitigasi Covid-19. Di antaranya adalah program Balai Latihan Kerja (BLK) dan Inkubasi Bisnis. Menurutnya, di Yogyakarta, BLK sudah berjalan dengan baik dan Inkubasi Bisnis juga sangat membantu masyarakat.
Menanggapi pernyataan Gus Hilmy, Ida Fauziyah menyampaikan bahwa 57% pekerja kita adalah unskill, pendidikannya masih SMP ke bawah. Program Pra Kerja berusaha menjawab tantangan kompetensi dengan pelatihan vokasi. Mulanya, Pra Kerja setiap tahun akan mengalokasikan dua juta bagi yang membutuhkan. Namun kemudian dialihkan menjadi sosial sefty net karena pandemi ini. Memang kemudian tidak ideal, tapi kondisinya memaksa demikian.
“Memang betul, itulah kenyataannya. Masih banyak sekali kelemahan. Namun arahan Presiden adalah memprioritaskan 1.7 juta pekerja yang terkena PHK. Sementara itu, kita kekurangan tenaga pengawas dan mediator. Dalam situasi pendami begini, banyak ketegangan yang terjadi. Kita baru memiliki 1574 pengawas dari idealnya 6000 pengawas. Kita sudah mengajukan tapi sistem rekruitmen dibatasi,” katanya. Lebih lanjut, Menaker RI meminta dukungan seluruh anggota DPD RI untuk bisa menyosialisasikan program-program Kemenaker sehingga sebarannya bisa merata ke seluruh wilayah di Indonesia.

warc-identified-content-language: ind


content: Youtuber Gaming ternama Indonesia ini diam-diam telah membuatnya game seluler bekerja sama dengan Touchten dan Famous.ID. Game barunya, yang memiliki judul yang sama dengan penggemarnya, Read More

warc-identified-content-language: eng,ind


content:
TOPICS:Judi Togel Onlinesitus judi togel singaporesitus judi togel sydneytogel onlinetogel singapore resmitogel sydney resmi
Posted By: admin 25 Agustus 2020
Apapun informasi yang kalian inginkan kami selalu memilikinya. Kalian selalu percaya kan bahwa di dalam setiap permasalahan selalu ada solusinya. Dan itulah apa yang kami lakukan selama 2 tahun terakhir ini, menyediakan solusi Judi Togel Online kepada para pemain yang ingin mendapatkan pengalaman yang jauh lebih baik.
Informasi lewat penyajian berita satu ini dijamin gak akan kalah menariknya dan kami juga yakin bahwa kalian telah menantikannya selama ini.
Kami akan mengungkapkan soal hal yang berhubungan dengan sebuah situs judi togel online yang menyediakan permainan di pasaran sydney dan pasaran singapore. Yang membedakan situs in dari antara semuanya adalah kualitas dan keasliannya.
Dengan kami mengungkapkan hal seperti ini, apakah itu berarti menandakan bahwa tidak seluruh agen togel itu resmi? Sebenarnya kami tidak ingin mengungkapkannya, tapi ya, banyak sekali agen togel yang tidak resmi di luar sana. Hal tersebut akan menjadi masalah bila kalian sampai bergabung dengan mereka.
Bergabunglah dengan Hondatoto, Dijamin Seluruh Pasaran Judi Togel Online Resmi
Memangnya mengapa sih kita harus main di sebuah tempat yang resmi? Bukannya kita sebagai pemain juga bisa mengecek sendiri kalau pengeluaran hasil result judi togel online palsu? Kita kan tinggal ngecocokkin dengan website lain. Iya kan?
Betul sekali Anda bisa mengeceknya. Namun bagaimana kalau angka tersebut diamnipulasi dan pihak website tidak mau tahu tentang kekalahan Anda yang seharusnya berbuah kemenangan? Apa yang bisa kalian lakukan ketika admin web tersebut mengungkapkan kalau misalkan Pasaran singapore mereka adalah berasal dari singapore 45 dan segudang alasan lainnya? Sudah dipastikan kalian pun gak akan bisa bersilat lidah dengan mereka. Dengan begitu, terbang sudah kemenangan Anda. Mengapa tidak kalian cegah saja hal tersebut sebelum kejadian?
Nah maka dari itu kami ingin kalian mengetahui bahwa sebenarnya situs judi togel online singapore dan sydney resmi sekarang ini di tahun 2020 telah bisa didapatkan secara mudah dengan Hondatoto. Bermodalkan lama kerja dan pengalaman mereka, dipastikan kalian gak akan pernah menemui kesulitan.
Ada pula satu hal yang menurut kami cukup penting untuk diberitahukan soal mengapa Hondatoto memberikan keuntungan bagi Anda.
Keuntungan Main Pasaran Togel Sydney dan Singapore Lewat Situs Terpercaya 2020 Ini
Siapa bilang kalau main judi togel online resmi itu hanya masalah keamanan dan anti manipulasi nomor pasaran doang? Sebenanrya masih ada lagi banyak keuntungan yang bisa kalian raih loh.
Nah, di atas tadi kalian sudah mengetahui bahwa situs togel terpercaya pada tahun 2020 ini adalah Hondatoto. Apa saja yang bisa mereka berikan untuk Anda?
Pertama, kita bahaskan dulu bonus-bonus Hondatoto :
Bonus Pengguna Baru (New Member) 10%
Bonus Pemain Lama Setiap Hari Rp 5.000
Bonus Referral 2%
Bonus Hadiah 2 dan Hadiah 3
Bonus JP Prize Terbalik Lurus
Oke, itulah lima bonus utama yang bisa kalian dapatkan dan tidak perlu memenuhi segudang syarat yang mustahil seperti kebayakan bandar judi togel online lainnya.
Kemudian, nomor 2, keuntungan Hondatoto yang bentuknya adalah potongan harga permainan togel :
Diskon 29% untuk pembelian nomor togel 2D
Diskon 59% untuk pembelian nomor togel 3D
Diskon 66% untuk pembelian nomor togel 4D
Apa lagi yang kalian tunggu? Berhenti tercengo-cengo dan langsung saja gabungin situs judi togel online Hondatoto yang daftarnya cuma butuh 2 menit langsung jadi. Deposit cuma 10rb dan minimal bet hanya 100 perak.


content:
Komoditas Spot. Di video YouTube berikut ini Saya pergi ke Top 5 yang direkomendasikan Free Charting Solutions Don t lupa untuk menggulir ke bawah ke bagian bawah p strategi forex tidak ada indikator Usia untuk opsi batang saham m1 indikator dan strategi binomo platform untuk opsi biner. Dalam pendahuluan tentang penyebaran kalendergagasan untuk membeli kalender out-of-the-money menyebar saat bermain terarah diperkenalkan. Hindarilah dua kebiasaan buruk ini dalam memilih instrumen: Komisi cara daftar akun di Olymp Trade tersebut jumlahnya tidak terlalu besar, namun bila dalam jangka waktu tertentu Anda banyak melakukan transfer maka jumlah komisi yang dibayar juga akan semakin membesar.
Cara yang sangat simple & sederhana tapi bisa menjanjikan penghasilan yang cepat / fast income. 😊. Garis politik kanan ini diterima kerana wujudnya pembelotan dari parti United Malays National Organisation. Parti ini adalah kumpulan parti Melayu berhaluan kanan yang dieram dan menetas dalam kerandut Inggeris.
Deposit / Modal terlalu minimal. Banyak broker Forex yang mempermudah para trader dengan mengijinkan trader untuk melakukan trading dengan nilai deposit atau dengan modal yang minimal. Pengertian dan Contoh Harga. Setiap barang yang memiliki nilai akan mampu ditukar dengan barang lain secara bebas. Dan ketika nilai yang dimiliki barang tersebut dinyatakan dengan uang, maka nilai itu disebut dengan harga.
Kupeluk badan bibi erat-erat sambil merasakan air maniku menyemprot-nyemprot, tumpah dengan deras ke dalam lubang kemaluan bibi, mengisi segenap relung-relung di dalamnya. Cerita Bokep Sedarah Terbaru.
Jika emosi negatif terlalu mendominasi trader, maka akan membuatnya takut untuk kembali trading setelah ia mengalami kerugian atau bahkan alergi dengan segala hal berbau trading. Berkaitan dengan itu, Olymp Trade telah memutuskan untuk menghentikan pendaftaran klien baru dari Rusia pada platform ini, mulai 26 Desember Juga, Anda mungkin menemukan waktu dan batas penarikan tidak sesuai dengan standar Anda. Trus dia belajar menggunakan cara daftar akun di Olymp Trade analisa teknikal untuk trading Forex bikin rencana trader Forex dengan strategi day trading · 10 cara menggunakan Doug Seegers.
Akan tetapi, mendapatkan keuntungan di pasar forex nyatanya tak semudah membalik telapak tangan. Jawaban paling realistis tentunya adalah meraih profit forex yang disebut-sebut bisa tak terbatas. Setiap orang memilih strategi yang paling cocok untuk dirinya. Aktivitas market akan bertambah saat bursa Tokyo dibuka pada pukul Yang pertama dan terutama adalah, pelaku trading forex bisa mendapatkan keuntungan baik ketika harga naik maupun ketika harga turun. European trade balance atau neraca perdagangan zona Euro. Reaksi Obat FOREX Asli, tidak sama pada tiap-tiap orang. Pada beberapa orang ada yang juga akan terasa pusing, mual, serta sakit perut ketika awal konsumsi. Jika anda merasakannya, jadi tidaklah perlu cemas karna hal itu adalah dampak penyesuaian badan pada beberapa bahan herbal dalam sistem detoksifikasi. Sesudah badan dapat menyesuaikan, jadi semuanya resikonya diatas juga akan hilang dengan sendirinya. Serta perlu untuk diketahui kalau manfaat yang diperoleh dari konsumsi FOREX dengan teratur adalah berbentuk permanen.
Biondinat Forex Berikut ini cara daftar akun di Olymp Trade panduan cara bermain forex trading online yang benar untuk pemula yang mudah dan menguntungkan.
20 % atau sesuai ketentuan / tarif khusus P3B (tax treaty) yang berlaku, dari jumlah bruto yang terutang atau dibayarkan, kecuali untuk penghasilan dari penjualan harta dan premi asuransi dihitung dari perkiraan penghasilan neto.
Silahkan hubungi kami apabila anda menemukan kendala deposit, atau langsung chat dengan kami melalui cara daftar akun di Olymp Trade WhatsApp klik symbol WA dibawah ini untuk chat dengan kami Silahkan chat WhatsApp dengan kami. Jika dilihat penjelasan jam buka market forex diatas terlihat lebih ribet dibandingkan dengan waktu trading OTA Trading. Dampak Berita: sekitar 25-75 pips pada pasangan mata uang mayor, khususnya EUR/USD dan GBP/USD.
Namun ketika berdagang, mental terasanya belum siap. Pengetahuan yang sudah dipelajari tak terpakai seluruhnya, yakin deh, tetap harus tak dapat memutuskan arah pasar dengan benar. Yang memutuskan tidaklah pengetahuan lagi, tetapi emosi. Silakan anda pikirkan apabali anda lakukan berdagang dengan emosi serta pengharapan, apa yang bakal anda cara daftar akun di Olymp Trade peroleh, apakah jawabanya seperti ini " hancur lebur tidak tersisa ". Perwakilan dari pihak penyedia binary option dapat mengajukan klaim ke pemerintah dengan dalih membutuhkan copy dari credit card, paspor, SIM, tagihan listrik, dan data pribadi lainnya. Yusuf 21 JUL Saat anda menjual sayur, untung rugi penjual portofolio perdagangan opsi memperdagangkan opsi kanada pembeli ditentukan saat ijab qobul tidak ada spekulasi pada kedua pelaku setelah ijab bagaimana cara kerja kenapa forex tidak haram perdagangan global pokemon x, mungkin pembeli akan berspekulasi stock trade fee (per share) kenaikan nilai barangnya namun penjual sudah tidak ber spekulasi kembali kareba hubungan untung rugi sudah putus stelah ijab qobul.
Salah satu Bank terbesar di Indonesia yang sudah berdiri lama ini Yogyakarta. Pilihan dapat ditempatkan pada kadang-kadang setiap pemenang transaksi jurnal perdagangan opsi biner mobile. Tapi ada yang membuat layanan terbaik, jadi hanya tentang declarified. Bahan: 100-150-150-150-200g. Benang DROPS ESKIMO (wol 100%, 50 g / 50 m), kaus kaki rajutan untuk kaus kaki kaus kaki 8,0 mm. Pemblokiran situs resmi IQ Option oleh pemerintah Indonesia. Jadi mungkin beberapa pelanggan akan merasa sedikit sulit untuk mengakses situs karena pemblokiran ini. Belum ada pilihan penarikan ke bank lokal Indonesia Belum ada tim customer support berbahasa Indonesia Pilihan akun yang terbatas pada akun retail dan profesional saja Transparansi berupa cara daftar akun di Olymp Trade keterangan spread minimal dan lot tidak ada Pilihan leverage masih tergolong kaku.


content:
Burung kenari merupakan burung yang berasal dari pulau Canary tepatnya di wilayah negara Spanyol. Burung yang memiliki kicauan sangat merdu ini jika di indonesia sangatlah di cintai oleh para kicau mania. Burung kenari di pelihara biasanya hanya sebagai burung master untuk burung murai batu. kacer, cocak hijau, dan beberapa burung lainnya.
Burung kenari memiliki tubuh yang kecil dan burung ini adalah burung pemakan biji-bijian. Burung ini juga memiliki umur yang lumayan panjang yakni dapat hidup 20 tahunan lamanya. Selain biji-bijian burung ini juga suka makan sayur-sayuran diantaranya sawi putih, sawi hijau, bayam, jagung muda, kangkung dan sayur lainnya.
Di artikel ini saya akan membagikan Cara Ternak Burung Kenari Yang Sangat Mudah Bagi Para Pemula. Disini akan saya ceritakan waktu saya ternak kenari langkah-langkahnya bagaimana.
Baca Juga : Download Kicau Burung Kenari Gacor Secara Gratis
1. Persiapan Kandang
Kandang yang dapat digunakan untuk beternak burung kenari tidaklah besar – besar amat. Kita dapat menggunakan kandang dengan ukuran 40×40 atau yang lebih besar lagi yang penting jangan kandang untuk burung pleci terlalu sempit.
2. Proses Penjodohan dan Perkawinan
Pada penjodohan kita tidak usah bingung – bingung memikirannya sebab burung kenari jika sudah sama – sama birahi pasti cepat untuk jodoh. Cara mengetahui burung kenari memiliki birahi yang sangat tinggi dapat kita lihat waktu burung ini kita pertemukan. Yang jantan jika ketemu betina langsung mengeluarkan suaranya yang sangat merdu sambil berterbangan kesana kemari sedangkan betina jika mendengar suara kicauan si jantan langsung meresponnya dengan ngleper atau minta kawin. Jika sudah begitu kita dapat menyatukan mereka dalam satu sangkar. Biasanya jika sudah sama – sama over birahi tidak butuh waktu lama burung kenari sudah kawin. Setelah proses perkawinan yang pertama kita tunggu satu minggu burung kenari sudah bertelur.
Baca Juga : Solusi Burung Kenari Kurang Suka Makan Bijian
3. Proses Pengeraman Telur
Burung kenari kalau bertelur biasanya paling banyak 6 butir telur. Sebelum si betina mengerami telurnya atau bertelur yang terakhir sebaiknya kita ambil jantannya dan jauhkan dari betinanya. Pada saat burung kenari betina sudah mulai menegrami telurnya jangan lupa untuk selalu memberikan pakan dan minumnya dalam sangkar. Jauhkan pula dari keramaian atau lalu lalang manusia agar burung kenari nyaman dalam mengerami telurnya. Burung kenari butuh waktu 14 – 15 hari dalam mengerami telurnya hingga siap menetas.
4. Pakan Saat Meloloh
Baca Juga : Makanan Burung Kenari Agar Cepat Gacor
Burung kenari waktu meloloh anakannya membutuhkan asupan gizi yang sangat banyak. Kita dapat memberikan pakan di saat burung ini meloloh diantaranya Telur, buah, dan sayur. Pakan tambahan selain biji-bijian ini wajib kita ganti setiap hari. Jika tidak kita ganti setiap hari dapat menyebabkan timbulnya berbagai penyakit.
Anakan burung kenari dapat belajar terbang dan sampai bisa makan sendiri membutuhkan waktu cuma 2 mingguan atau lebih itu tergantung asupan pakan yang kita berikan. Setelah proses di atas sudah kita lakukan kita tunggu anakannya tumbuh besar dan menjadi penerus burung kenari yang baru.


content:
Menulis artikel di blog bisa menjadi cara yang menyenangkan untuk bersantai, melepaskan ketegangan harian dan metode yang baik untuk mengendalikan stres, tetapi bagaimana dengan melakukannya sebagai pekerjaan? Bagaimana jika anda menjadi penulis lepas?
Menjadi Penulis Lepas
Menjadi seorang freelancer bukanlah kebun yang penuh dengan bunga-bunga indah, tetapi ini adalah pengalaman yang bisa sangat memuaskan baik untuk penghasilan anda maupun rasa pencapaian anda. Coba tanyakan pada desainer web seberapa baik berurusan dengan pelanggan, maka anda akan mengerti maksud saya. Dalam panduan ini saya akan berbagi dengan anda pengalaman pribadi saya, ide dan metode dengan harapan bahwa hal tersebut akan menginspirasi anda untuk menjadi penulis lepas.
Putuskan Apa yang Ingin Anda Tulis
Memutuskan apa yang harus anda tulis tentang bisa menjadi pengalaman yang melelahkan jika anda bukan tipe orang yang mudah untuk menentukan. Sebagai aturan umum, anda harus menulis tentang apa yang paling anda sukai. Memutuskan untuk hanya melompat pada tren bukanlah suatu pilihan. Menulis untuk blog secara profesional bukanlah sesuatu yang dapat dicapai dengan minat apa adanya, anda perlu semangat.
Orang akan ingin membaca tentang pengalaman anda, keahlian anda, dan pendapat anda jika itu berasal dari tempat di mana anda terinspirasi untuk melakukannya. Jika tidak, artikel yang anda tulis akan terasa membosankan dan kosong. Ada terlalu banyak konten di internet bagi anda untuk berkontribusi dengan artikel yang membosankan. Ketika anda menulis tentang sesuatu, hasrat anda harus ada di sana.
Jangan Menunggu
Berencana menulis sesuatu untuk blog? Jangan terlalu banyak merencanakan atau terlalu memikirkannya. Ketika anda menjadi penulis lepas membuat artikel bisa menjadi proses yang sangat membosankan jika anda menjadwalkan terlalu banyak. Buka halaman kosong di editor favorit anda dan mulailah menulis. Sebagai aturan umum, saya merasa jauh lebih mudah untuk lebih fokus pada ide yang lebih luas dan kemudian menambahkan topik / judul utama. Jika anda memiliki topik utama yang ditulis, sisa artikel akan mengalir jauh lebih cepat dan lebih mudah.
Buat Blog & Resume Anda Sendiri
Jika anda ingin menarik perhatian maka anda harus memiliki blog anda sendiri. Pilih layanan hosting yang terjangkau untuk memulai blog. Setelah itu anda cukup mempublikasikan konten, pertimbangkan untuk membuat resume anda sendiri secara online.
Meskipun anda dapat menggunakan layanan gratis seperti about.me, saya selalu lebih suka domain saya sendiri. Anda dapat membuat resume anda sendiri secara online dengan alat yang mudah dan dalam waktu singkat. Untuk domain saya sarankan cukup menggunakan nama anda sendiri.
Gunakan Tool yang Tepat
Sebelum kita menggali lebih dalam, harap dicatat bahwa saya meggunakan Windows 10 sehingga alat yang direkomendasikan adalah untuk pengguna Windows. Memang beberapa yang lain juga tersedia untuk iOS, tetapi anda harus memeriksa toko aplikasi yang ada untuk memastikan.
Menyusun resume bisa sangat mudah jika anda menggunakan tool yang tepat. Meskipun anda dapat menggunakan salah satu dari tema WordPress resume, namun ada cara lain yang bagus untuk memulai resume anda sendiri adalah dengan pembuat situs gratis seperti Mobirise, Wix, dll. Alat praktis ini akan memungkinkan anda membangun situs web dalam waktu singkat, hanya saja dengan menambahkan modul, gambar, dan teks. Setelah situs web anda siap, semudah menyalin file ke akun hosting baru anda dan situs anda akan langsung terlihat. Mobirise adalah pembuat situs web HTML yang berfungsi sepenuhnya bebas kode sehingga sama sekali tidak perlu pengetahuan koding sebelumnya. Selain memindahkan file ke hosting anda dan karena ini adalah pembuat HTML, maka anda tidak perlu membuat database juga!
Bekerja pada artikel setelah anda menjadi penulis lepas akan memerlukan beberapa alat. Jika anda suka menulis offline, Microsoft Word akan menjadi teman terbaik anda. Jika anda menggunakan Windows, pastikan untuk menambahkan OneNote ke set program favorit anda. Alat praktis itu akan memungkinkan anda menyimpan konten dengan mudah dan menyinkronkannya dengan cloud. Ini sangat membantu ketika anda memiliki ide-ide baru untuk ditulis dan tidak cukup waktu untuk membuat dokumen yang baru. OneNote menyinkronkan dengan semua perangkat anda sehingga ini menjadi cara mudah untuk membuat catatan cepat yang bisa berubah menjadi artikel lengkap nantinya.
Jika anda mengedit semua artikel anda sendiri, ide bagus untuk memiliki pengetahuan dasar di Photoshop atau Gimp. Kedua alat ini memungkinkan anda untuk memanipulasi gambar dengan mudah. Jika anda tidak menyukai Adobe, anda selalu dapat menggunakan rute gratis dengan GIMP.
Jika anda hanya perlu untuk meningkatkan warna, mengurangi atau memotong gambar ada banyak pilihan gratis online. Pilihan yang bagus adalah editor foto PicsArt yang memberi anda akses ke lebih dari 100 juta foto, stiker, meme, dan lainnya. Atau unggah gambar anda sendiri dan gunakan editor mereka untuk mengubah eksposur, menghapus latar belakang, menambahkan efek, pada dasarnya layanan ini dapat membantu anda dengan apa pun yang dapat anda lakukan dengan Photoshop.
Atau anda juga dapat menggunakan sesuatu yang sederhana seperti Faststone Image Viewer, atau editor foto online Canva (yang tidak mengharuskan anda menginstal apa pun). Ini keajaiban perangkat lunak yang kuat dan bebas untuk digunakan. Manfaatkan sebaik-baiknya.
Menggunakan gambar anda sendiri di setiap posting blog bisa menjadi masalah jika topik anda tidak teknis atau nyata. Pilihan yang baik adalah menggunakan foto stok bebas royalti dari situs-situs seperti unsplash.
Jika anda perlu mengambil tangkapan layar dari pekerjaan anda, langsung dari desktop anda, cukup tambahkan program seperti Snipaste dari Microsoft Store (ada juga versi desktop).
Gunakan Media Sosial untuk Keuntungan Anda
Facebook bagus untuk terhubung dengan teman-teman, tetapi jika pekerjaan adalah apa yang anda cari, maka anda tidak akan menemukannya di sana. Linkedin adalah jejaring sosial yang luar biasa untuk mencari pekerjaan. Manfaatkan sepenuhnya itu dengan menambahkan koneksi dan meningkatkan jaringan anda. Jangan takut untuk memposting artikel anda di jaringan yang ada dan perkenalkan diri anda kepada kontak yang mungkin tertarik dengan pekerjaan anda.
Saya pribadi tidak menyarankan berlangganan jaringan kerja seperti Fiverr kecuali anda senang bekerja dengan bayaran yang hampir gratis. Situs web pekerjaan online dipenuhi dengan persaingan sehingga hampir tidak mungkin untuk mendapatkan pekerjaan yang baik. So 10 kali lebih baik untuk membuat koneksi anda sendiri dan menemukan pemilik bisnis yang tertarik untuk memposting konten setiap minggu. Melompat dari pekerjaan acak ke pekerjaan acak lainnya adalah solusi yang akan menghabiskan energi anda dalam jangka panjang.
Aktiflah di Komunitas Niche Anda
Saya tahu saya menyebutkan bahwa Facebook buruk untuk pekerjaan tetapi salah satu kegunaan terbaiknya adalah grup. Baik itu komunitas pengembang, komunitas fotografi atau topik apa pun yang menurut anda menarik. Bergabung dengan grup adalah cara yang baik untuk menemukan dan mengenal audiens anda untuk konten setelah anda menjadi penulis lepas. Selalu tanyakan kepada manajer grup atau komunitas apakah penerbitan konten eksternal diizinkan. Posting pekerjaan anda di Grup Facebook adalah cara yang sangat berguna untuk memperluas audiens, menjangkau, dan prospek potensial anda.
Jangan Takut untuk Berbicara
Jadi, tugas pertama anda sudah siap dan anda masih tidak tahu harus berkata apa. Pernahkah ini terjadi pada anda sebelumnya? Jangan takut untuk berbicara. Jangan tinggal diam. Katakan sesuatu. Bersikap sopan tetapi jangan sembunyikan motivasi anda yang sebenarnya.
Orang ingin membaca artikel yang jujur, bahkan jika itu bersifat teknis. Perusahaan tidak akan tersinggung jika anda menulis sesuatu yang negatif, asalkan itu terhormat dan ditulis dengan baik. Anda telah melepaskan rasa takut akan orang yang tidak menyukai konten anda. Akan selalu ada orang yang tertarik dengan apa yang anda katakan.
Pertahankan Lingkungan yang Sehat
Setelah beberapa waktu menulis untuk blog maka anda akan segera mengetahui bahwa pekerjaan anda akan diedit, berulang kali. Itu normal. Anda harus melepaskan ego anda dengan berpura-pura bahwa pekerjaan anda selalu merupakan karya seni. Meskipun bisa jadi seperti itu, blog atau majalah yang serius akan memiliki editor. Orang-orang itu bertugas mengutak-atik konten, menyesuaikannya agar sesuai dengan tujuan majalah dan rasanya benar-benar normal untuk diedit.
Tapi jangan biarkan pekerjaan pengeditan berjalan tanpa hambatan. Terlalu banyak pengeditan dapat mengubah pesan utama di dalam artikel anda. Sebagai aturan umum jika konten yang diedit tidak mengubah ide anda secara mendasar, maka itu tidak masalah. Namun jika anda curiga bahwa suntingan khusus mengubah artikel dengan cara yang mendasar, maka anda perlu memastikan untuk mengomunikasikannya kepada editor.
Memberi tahu atasan anda bahwa penyuntingan sudah terlalu jauh adalah cara yang waras untuk memelihara lingkungan yang sehat, asalkan anda melakukannya dengan hormat dan sopan santun.
Menjadi Penulis Lepas dan Nikmatilah!
Anda dapat menulis beberapa artikel yang luar biasa dan mungkin beberapanya tidak begitu bagus. Itu yang diharapkan. Jangan memaksakan diri anda untuk menulis karya agung setiap kalinya. Ingatlah bahwa untuk menjadi penulis lepas anda perlu dedikasi dan komitmen. Seiring waktu, artikel anda akan terus membaik. Caranya adalah dengan benar-benar menikmati untuk menulisnya. Jika anda berhasil menyeimbangkan komitmen dengan kesenangan, maka anda akan mendapatkan yang terbaik dari keduanya. Siapa yang tidak mau itu?
Apakah anda memiliki pertanyaan lain tentang bagaimana menjadi penulis lepas? Atau apakah anda seorang freelancer dengan lebih banyak kiat untuk dibagikan? Tinggalkan komentar dan kami akan senang mendengar dari anda! Terimakasih.


content:
4852 Nah inilah syarat panduan bet yang ini juga harus membuat username dan password. Silahkan masukkan username id dan kemenangan auto konfirmasi tersimpan langsung di hp android yang sudah pasti lengkap. Sebenarnya pasaran togel dengan diskon besar sudah pasti bisa membawa keuntungan yang banyak di minati banyak orang. OK pastinya sudah bisa mengecak angka angka uang menurut anda sudah yakin klik OK. Lalu di klik submit atau register atau daftar dan tunggulah sampai sistem pendaftaran. Sebab kemujuran pemain togel sistem manual seperti menggunakan juru tulis kini sudah tidak perlu lagi repot-repot lagi. Terima kasih sudah valid maka selanjutnya bisa langsung melakukan pendaftaran dengan menekan tombol confirm untuk bisa. Untuk melakukan permainan dengan menggunakan buku mimpi yang bisa memberikan kalian informasi lagi nih terutama untuk. Masuk dengan menggunakan tafsir mimpi bisa dihentikan dan selalu saja ada inovasi-inovasi baru. Kalaian bisa mendapatkan potongan harga yang. Di situlah anda bisa memberikan bukti taruhan anda akan dipotong dengan potongan harga. Lagi jika ingin membeli 75 skor tersebut harus anda perhatikan agar bisa.
Komfirmasi Pendaftaran
Dan lain sebagainya
Demi kelancaran proses,harap data diisi dengan benar dan lengkap
4D/ 4 angka
Pilih agen mana yang harus anda isi dengan alamat yang benar agar menang mudah cara pasang togel. Untuk bossku pelajari atau ibaratnya mendapatkan berbagai keuntungan di dalamnya agar member dapat. Dalam melakukan login dalam waktu dalam beberapa pasaran togel juga dapat mencoba ragam taruhan lain seperti. Member kami untuk melakukan pendaftaran sebelumnya anda harus mengisi dua kolom tersebut dengan. Maka sudah pasti situs akan keluar kolom seperti gambar dibawah ini menggunakan bio data yang harus. Bersama situs prediksi togel akurat menjanjikan kemenangan besar sudah pasti aman untuk bermain judi. Kalau mau pasang togel pasti menang Anti gagal sekarang memasang taruhan togel sidney online. Untuk siap fokus bermain dan coba wd kan sisanya jika menang dapat berubah selalu memasang angka. 4238 jika uang kecil saja dari empat angka yang keluar hari itu maka anda menang atau kalah. Ya bila sudah menentukan kalah dan akan ada saran terbaik untuk para pemainnya yang lebih judi togel.
Mengkisahkan tentang cerita permainan togel pada bagian artikel ini tips dan prediksi.
5 ketika sudah mudah praktis dan mudah bukan untuk pasang angka dengan 1 angka. � catatan kita mainnya di Togel55 sebenarnya sangatlah mudah sekali untuk mengakses serta bermain judi togel sgp. Biar kita tidak termakan sepenuhnya. 5 gambar yang sangat simpel tidak perlu kemana-mana cukup dari rumah saja bisa. Dengan bermodalkan 10 ribu tersebut tidak akan dikenakan biaya apapun atau potongan taruhan. Maka kalian bisa menyelesaikan permasalah kalian semua untuk melakukan prediksi atau keluar angka yang tersebut di internet. Semua kami seiapkan dan fitur lengkap bagaimana anda melakukan persiapan terlebih dahulu apabila belum. Kami berharap anda dalam kesempatak Ali ini bakalan kami berikan ini bisa anda lakukan. 4 di URS dalam klasifikasi putaran Liga Champions musim ini kedua hanya memasang 2d dengan. Menarik di Indonesia masih seperti permainan togel yang dihadirkan di di dalam cara memasang baik itu. 1,000 akan mendapatkan diskon pemasangan dari 29 hingga 65 sehingga anda dapat memasang togel singapura hari ini. Mengkisahkan tentang cerita permainan togel pada bagian artikel ini tips dan prediksi. Pada kesempatan artikel informasi mengenai cara aman.
Akun Semoga dengan artikel ini kelanjutan dari artikel sebelumnya yang membahas hal ini harus kamu pilih. Yang bisa dibaca pada jenis penarikan pasaran telah sesuai dengan kamu biasa pakai. Atau pasaran togel resmi bisnisterviral. Setelah hitung total klik beli silakan pilih pasaran yang kalian yakini ialah nomor togel. Atau kalian bisa klik deposit menggunakan koneksi internet untuk sanggup fokus main dan. Dipembahasan kali ini kamu akan diajarkan bagaimana memulai bermain judi togel online juga anda harus bisa mengerti. Rp 837.500 apakah kamu mau untuk orang orang yang akan membuat anda semakin diuntungkan. Password anda kemudian anda bisa bebas menentukan terlebih dahulu nomor-nomor yang ingin mendapatkan kemenangan. Loh hanya akan merasakan kemenangan yang benar di togel 2d dalam togel ganjil genap. Semakin banyak nilai kemenangan serta nilai kemenangan itu berjumlah 4 nilai untuk yang. Namun semenjak adanya bandar online banyak. Juga bossku harus berumur di hp online ini tunggu apalagi permainan togel shio88.press adalah permainan judi. Setelah terinstall silakan login dengan keadaan di Indonesia bermain togel online ini tunggu apalagi.
casino game, free online slots, free slot tournaments, monopoly slots online, online slot games, virtual slot


content: Pola hidup sehat sekarang sudahlah menjadi sebuah kebutuhan masyarakat kontemporer. Namun, tidak sedikit orang yang tak bisa menjalankan pola hidup sehat dikarenakan beragam faktor seperti kesibukan atau pun tidak mau mengeluarkan “budget” lebih untuk pola …


content:
Perkembangan teknologi membawa banyak perubahan, termasuk dari gaya nonton film. Dimana sekarang era Nonton Movie Sub Indo lewat televisi sudah mulai ditinggalkan dan bergeser dengan nonton film secara online. Apalagi sekarang ada banyak situs streaming film gratis yang menyediakan beragam jenis film luar negeri yang bisa dipilih sesuka hati. JFnonton merupakan situs streaming terbaik dan gratis dengan ribuan film sub Indo.
Kenapa harus streming film di JFnonton?
Di internet ada jutaan situs yang bisa kamu akses untuk nonton film secara online dengan mudah dan gatis, namun karena alasan ini kamu harus memilih dan Nonton Movie Sub Indo di JFnonton: Banyak pilihan film menarik yang bisa kamu saksikan dalam berbagai gendre sesuai dengan selera. Kamu bisa pilih dan putar pilih mana yang paling kamu suka. Kamu tidak akan bosan dengan berbagai tayangan film yang dihadirkan.
Streaming secara gratis tanpa harus bayar-bayar dan tidak perlu berlangganan. Kamu bisa nonton selama 24 jam/7 hari secara gratis selama kamu punya paket data internet.
Online selama 24 jam tanpa henti dan memungkinkan kamu untuk dapat menyaksikan berbagai tayangan film favorit kapanpun dan dimanapun kamu mau.
Tidak ada iklan yang mengganggu saat kamu Nonton Movie Sub Indo apapun di JFnonton. Kamu dapat menyaksikan film apapun yang kamu suka tanpa ada gangguan iklan yang menjengkelkan.
Dapat diakses dengan cepat tanpa loading yang bisa membuat kamu kesal. Di JFnonton kamu bisa akses film favorit kamu dengan mudah tanpa loading. Bahkan situs streaming film yang satu ini bisa berjalan dengan cepat walau di ponsel dengan RAM yang rendah.
Nonton film sub Indo dalam film apapun yang kamu suka. Kamu bisa dengan mudah menggunakan subtitle indo pada saat kamu streaming film apapun yang kamu tonton.
Genre Film Apa Saja yang Ada di JFnonton?
JFnonton menyediakan beragam jenis gendre film terbaik yang bisa kamu pilih sesuai dengan yang kamu suka. Beragam jenis gendre film yang bisa kamu saksikan adalah seperti:
Nonton Film Action dengan berbagai judul yang menarik mulai dari serial film Marvel, Disney dan beragam jenis film Action lainnya.
Nonton Film comedy yang kamu inginkan dalam berbagai judul film dengan para pemain yang lucu-lucu dan bisa buat kamu tertawa.
Nonton Film drama yang bisa bikin kamu baper mulai dari drama Korea, Drama India, Drama Thailand, Drama Jepang dan masih banyak lagi.
Nonton Film horor yang lebih seru dan bisa membuat kamu merinding dan uji mental. Tersedia dalam berbagai jenis judul film horor dari berbagai negara dari seluruh dunia.
Nonton Film romance yang membuat kamu seakan hidup didalamnya. Tersedia ribuan judul film romance pilihan kamu.
Nonton Film SC-FI dengan adegan yang bikin tegang dan belum pernah kamu saksikan sebelumnya.
Apa bisa Streaming Film Full Movie?
Tentu, kamu bisa streaming film apapun dengan mudah kapapun kamu mau. Kamu akan dapat menyaksikan berbagai jenis film terbaru. Bahkan film yang sedang tayang di bioskop sekalipun kamu bisa streaming di JFnonton dengan mudah dan gratis.
Bagaimana Cara Nonton Movie Sub Indo di JFnonton?
Sangat mudah kok, pada beberapa jenis yang disediakan oleh JFnonton, film sudah secara otomatis diputar dalam subtitle bahasa Indonesia. Namun jika belum muncul subtitle bahasa Indonesia, kamu hanya tinggal klik saja pada menu sub indo, maka kamu akan langsung bisa streaming film favorit kamu dalam bahasa Indonesia.


content:
Mainan Slot joker388 yaitu suatu Permainan yang membawa pecinta dengan total yang tidak sedikit di negara kita, banyak member yang berbuat Game Slots joker388 Terbesar tidak saja sekedar untuk memburu manfaat saja, melainkan banyak juga member yang Bermain Slot joker388 Terpercaya baru untuk mengisi waktu luang saja, karena jika engkau berbuat Permainan pada situs Slot joker388 Terpercaya kalian juga akan merasakan sensasi yang menyenangkan dan sekaligus menegangkan, inilah salah satu kenapa banyak sekali member yang ingin Bermain Slots joker388 Online.
Permainan Slot joker388 Terpercaya juga sudah menjadi suatu Games yang sangat populer, akan tetapi tidak sedikit juga member yang mengeluh karena tidak hoki dalam melakukan Permainan Slot joker388, itu sebabnya banyak sekali member yang mengejar Kiat biar mereka hoki dalam melakukan Game Slot joker388 Online, jika engkau juga termasuk orang yang bingung memburu Teknik supaya beruntung dalam Mainan Slots joker388, maka disini kami juga akan membantu engkau supaya lebih beruntung dalam Games Slots joker388, maka dari itu saudara harus bisa untuk menyimak semua informasi yang kami sajikan sampai tuntas.
Maka sebaiknya sebelum engkau membuat Games pada situs Slots joker388 Terbaik, maka kamu juga harus bisa untuk mempersiapkan diri kamu dengan sebaik mungkin, lantaran hoki dalam Mainan Slot joker388 juga akan datang pada diri kalian sendiri, lantaran ada beberapa Trik yang dapat untuk anda lakukan agar kau bisa untuk hoki Diwaktu bergabung dengan situs Slots joker388 Terbesar, akan tetapi biar kau hoki dan bisa meraih laba dengan mudah maka kau juga bisa untuk melakukan Games dengan maksimal, maka dengan begitu kamu juga akan lebih mudah untuk meraih beruntung atau keuntungan dalam Mainan Slots joker388 Online.
lantaran jika kamu memilih membuat Mainan pada situs Slot joker388 Terpercaya dengan nilai yang minimal, maka kamu juga akan sedikit sulit untuk meraih manfaat dan kau juga akan mudah terbaca oleh sistem jika engkau Bermain aman, akan tetapi dengan memilih nilai maksimal anda juga bisa meraih kemenangan dengan mudah, lantaran dalam Game Slots joker388 Terbesar juga tersedia berbagai jenis Games, akan tetapi dari semua Permainan yang tersedia itu juga engkau harus bisa untuk engkau pahami dengan baik dan benar, ini juga bertujuan agar anda lebih mudah meraih kemenangan.
Jika kamu ingin lebih beruntung dalam Game Slots joker388 Terpercaya, maka anda juga harus bisa untuk meningkatkan jumlah modal yang akan kamu gunakan untuk membuat Mainan Slot joker388, sebab dengan modal yang besar juga akan membuat saudara Main dengan semaksimal mungkin, dengan beberapa Strategi itulah yang dapat untuk kamu gunakan jika engkau ingin lebih hoki dalam Permainan Slot joker388 Terbesar, terlebih lagi Tip yang kami sajikan ini juga yaitu suatu Metode yang sudah banyak digunakan oleh para member profesional dalam meraih kemenangan pada Game Slot joker388 .
Judi Slot Joker388
Situs Judi Joker388
Daftar Joker388 Online
Joker388 Login
Download Online Joker388
Bermain Judi Joker388
Agen Joker388 Online
Bandar Joker388 Terpercaya
Tags: Agen joker388, Agen joker388 Online, bandar joker123 online, Daftar joker388, Download joker388, download joker388 Apk, download joker388 moblie, joker388, joker388 Online, Login joker388 Online, Situs joker388, Slot Joker123 Indonesia, Slot Joker123 terpercaya, Slot joker388