content:
Georg Cantor menunjukkan corak artistik yang nyata sebagai seorang anak dan dilaporkan seorang pemain biola yang luar biasa. Nama keluarganya 'Cantor' dalam bahasa latin berarti 'penyanyi' atau 'musisi'. Ketika ia pada tahun 1867 - pada usia 22 - menyelesaikan tesis doktoralnya di Universitas Berlin, ia menamainya Dalam matematikanya ars propendi pluris facienda est quam solvendi yang dalam bahasa Inggris berbunyi “Dalam matematika, seni mengajukan pertanyaan lebih berharga dari memecahkan masalah ”. Di kemudian hari dikenal sebagai pemikir yang sangat dalam, Cantor akan tumbuh menjadi orang yang berani bertanya dan menjawab salah satu pertanyaan paling mendasar dan paling mendasar:
Seberapa besar infinity?
Dipikirkan secara umum tidak dapat dijawab, Cantor pada tahun 1870-an, 80-an dan 90-an memperkenalkan ide-ide baru yang radikal tentang jawaban atas pertanyaan ini yang menetapkan teori himpunan sebagai cabang baru matematika murni. Artikel ini berharap dapat memperkenalkan Anda pada karyanya yang paling terkenal, dan implikasinya.
Kehidupan awal (1845–1969)
Georg Cantor dalam arti beruntung bisa dilahirkan ketika dia berada, di Saint Petersburg pada 3 Maret 1845. Orang tuanya adalah Denmark. Ibunya, Marie (nama keluarga Meyer) berasal dari keluarga musisi asal Rusia dan ayahnya Georg Woldemar adalah seorang pengusaha yang sangat sukses, pertama sebagai agen grosir di St. Petersburg, dan kemudian sebagai broker di pasar saham kota.
Cantor sangat dipengaruhi oleh ayahnya, seorang lelaki yang memiliki minat budaya dan filosofis besar yang sepanjang sekolah dan universitas putranya akan memberinya nasihat yang bermakna tentang kehidupan dan kariernya. Namun, oleh beberapa akun, meskipun mengakui kemampuan matematika putranya masih akan berusaha keras untuk memaksa putranya ke bidang teknik sebagai profesi yang lebih menjanjikan daripada matematika.
Pendidikan (1860-69)
Karier sekolah Cantor seperti halnya banyak ahli matematika yang sangat berbakat - pengakuan awal atas bakatnya (sebelum usia lima belas) dan minat yang kuat dalam studinya. Pada awal di Saint Petersburg, Cantor menerima pelajaran les privat. Di Jerman, ia pertama kali menghadiri sekolah swasta di Frankfurt di sekolah non-klasik Darmstadt, sebelum memasuki Gimnasium Wiesbaden pada tahun 1860. Ia lulus dengan perbedaan dari Realschule di Darmstadt, dan pada tahun 1862 memulai studinya di universitas di Höheren Gewerbschule di mana ia belajar teknik untuk dua orang. tahun sebelum pindah ke Politeknik Federal Swiss (ETH Zurich) untuk mengejar matematika. Menyusul kematian ayahnya karena TBC tahun berikutnya, ia menerima warisan substansial (setengah juta tanda) dan mengalihkan studinya ke Universitas Berlin.
Di Berlin Cantor menghadiri kuliah oleh Ernst Kummer, Leopold Kronecker dan Karl Weierstrass, yang minatnya pada aritmatika memberikan pengaruh yang kuat pada pekerjaannya yang paling awal. Pada tahun 1866, ia menghabiskan semester musim panas di Universitas Göttingen, pada waktu itu ibukota pemikiran matematika dunia. Kedua disertasinya "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" pada tahun 1867 dan habilitasi "De transforme formarum ternariarum quadraticarum" pada tahun 1869 dianggap teori bilangan, khususnya masalah luar biasa yang tersisa dari Gauss 'Disquisitiones Arithmeticae mengenai solusi untuk persamaan diophantine yang tidak pasti ax² + by² + cz² = 0, juga dikenal sebagai persamaan Legendre.
Meskipun dipuji sebagai docta et ingeniosa ("terpelajar dan pintar") "disertasinya yang sangat klasik", usianya yang tidak tahan tidak memberi petunjuk khusus tentang kejeniusan yang akan datang. Dia lulus ujian lisan magna cum laude. Setelah menerima gelar Ph.D. dia meninggalkan Berlin untuk mengambil posisi sebagai Privatdozent (dosen yang hidup dari biaya yang dapat dia kumpulkan dari mahasiswa) di Universitas Halle, menggantikan temannya KHA Schwartz (yang pergi ke Zurich) dan mengambil pekerjaan di bawah Eduard Heine, profesor dari matematika di sana.
Karier awal (1870–1873)
Beberapa orang berpendapat bahwa pendahulunya dari karya inovatif Cantor selanjutnya dapat ditelusuri hingga ke publikasi pasca-sarjana paling awal. Bahkan, dalam penelitian Cantor mengabdikan teori seri trigonometri, orang memang dapat menemukan jejak minat awal dalam "kontinum". Mengikuti pengaruh kedua Weierstrass di Berlin dan Heine di Halle, makalah pertama Cantor Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz ("Pada teorema tentang seri trigonometri") diselesaikan untuk publikasi pada bulan Maret 1870 dan diposisikan untuk "memajukan pemahaman tentang sifat konvergensi dari representasi fungsi yang diberikan secara sewenang-wenang melalui seri trigonometrik tak terbatas ”. Mulai dari seri trigonometri dan pengerjaan fungsi dari variabel kompleks yang dilakukan oleh Riemann, Cantor dalam makalah menunjukkan teorema berikut:
Teorema Keunikan Cantor (1870): Setiap fungsi f: ℝ → ℝ dapat memiliki paling banyak satu representasi oleh deret trigonometri.
Jika fungsi f (x) diwakili oleh deret trigonometri yang konvergen untuk semua x, maka representasi itu unik. Pada tahun 1871, ia memperkuat hasilnya, membuktikan bahwa keunikan tetap berlaku bahkan jika seri berbeda pada sejumlah titik dalam interval tertentu. Hasil ini adalah yang sebelumnya dicoba oleh banyak pemikir besar pada saat itu, termasuk Heine, Peter Dirichlet dan Bernhard Riemann, yang sejauh ini hanya mampu menunjukkan bahwa itu bertahan dalam keadaan terbatas tertentu.
Makalah berikutnya, yang diterbitkan pada tahun 1872, memperpanjang hasilnya lebih jauh. Makalah ini, Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trignometrischen Reihen ("Tentang generalisasi teorema dari teori deret trigonometri") memberikan definisi titik batas dari set-titik P menjadi setiap titik sedemikian rupa sehingga setiap titik Lingkungan titik mengandung banyak titik P. Derivatif pertama P (ditunjuk P ') adalah himpunan semua titik batas P, turunan kedua P' 'adalah himpunan semua titik batas P', dan sebagainya di. Definisi ini meletakkan dasar untuk topologi set-point, kemudian diperluas khususnya oleh Felix Hausdorff, ileile Borel dan Maurice René Fréchet. Cantor menggunakan definisi tersebut untuk meningkatkan teorema keunikannya, dengan menunjukkan bahwa teorema tersebut berlaku bahkan jika deret trigonometri menyimpang pada jumlah titik yang tak terbatas, asalkan setel poin berurutan terbatas (titik-set P berurutan terbatas jika , untuk beberapa bilangan bulat n, turunan ke-P⁽ⁿ⁾ dari P adalah himpunan berhingga).
Dilihat dalam retrospeksi, makalah ini menghubungkan pekerjaan awal Cantor dalam analisis dengan apa yang sekarang dianggap sebagai pekerjaannya yang paling penting dalam studi set-set transfinite, misalnya dalam fokusnya pada set titik infinite dan definisi bilangan real yang ia sediakan:
Definisi pelayan dari bilangan real ℝ (1872): Bilangan real adalah serangkaian bilangan rasional tak terhingga:
a₁, a₂, ..., aᵤ, ..
sedemikian rupa sehingga untuk setiap ε yang diberikan terdapat u₁ sedemikian rupa sehingga untuk u ≥ u₁ dan untuk bilangan bulat positif v, | aᵤ₊ᵥ - aᵤ |
Dalam makalah, Cantor membahas definisi ini dan membandingkannya dengan yang sebelumnya diberikan oleh mantan mentornya dan saat ini, Weierstrass di Berlin dan Heine di Halle. Hasilnya ditambahkan ke pekerjaan sebelumnya dan cukup untuk mempromosikan Cantor menjadi außerorderntlicher Professor (associate professor) di Halle University pada tahun 1872.
Korespondensi dengan Richard Dedekind (1872–1873)
Kemudian pada tahun yang sama, Cantor bertemu Richard Dedekind untuk pertama kalinya, yang pada saat itu adalah profesor matematika di Technische Hochschule di Brunswick. Dedekind sebelumnya menerbitkan makalah yang menyediakan analisis aksiomatik dari struktur himpunan bilangan real ℝ. Definisinya adalah bilangan real sebagai bidang yang lengkap dan teratur. Cantor dan Dedekind bertukar surat selama bertahun-tahun. Bagian matematika dari surat-surat mereka kemudian diterbitkan oleh Noether dan Cavailleès (1937) dan sekarang disimpan di University of Evansville di Indiana.
Pada tanggal 29 November 1873 Cantor mengirim surat kepada Dedekind yang menanyakan apakah kumpulan bilangan asli dan kumpulan bilangan real positif "dapat dikaitkan sehingga setiap individu dari satu koleksi sesuai dengan satu dan hanya satu individu dari yang lain?" Dedekind menjawab dengan menulis bahwa dia tidak tahu jawabannya, tetapi menambahkan bahwa pertanyaannya tidak banyak menarik secara praktis. Pada titik ini, tampaknya Cantor setuju dengan pendapat ini, menyatakan bahwa ketertarikannya pada masalah ini terkait dengan teorema 1844 Joseph Liouville yang membuktikan keberadaan bilangan transendental:
Halle, 2 Desember 1873
Saya sangat senang menerima jawaban Anda atas surat terakhir saya. Saya mengajukan pertanyaan kepada Anda karena saya sudah bertanya-tanya tentang hal itu sudah beberapa tahun yang lalu, dan tidak pernah yakin apakah kesulitan yang saya temukan adalah subjektif atau apakah itu melekat dalam subjek. Karena Anda menulis bahwa Anda juga tidak dapat menjawabnya, saya dapat menganggap yang terakhir. Selain itu, saya ingin menambahkan bahwa saya tidak pernah serius menyibukkan diri dengan itu, karena tidak memiliki minat praktis khusus untuk saya. Dan saya sepenuhnya setuju dengan Anda ketika Anda mengatakan bahwa untuk alasan ini tidak pantas banyak usaha. Tetapi akan lebih baik jika itu bisa dijawab; mis. jika bisa dijawab tanpa, maka orang akan memiliki bukti baru dari teorema Liouville bahwa ada bilangan transendental.
- G. Cantor
Dari surat Cantor berikutnya, beberapa hari kemudian, tampak jelas bahwa ketertarikannya pada topik tersebut tidak secepat yang dia ungkapkan kepada Dedekind, meskipun dia saat ini tidak menguraikan implikasi penting yang khusus:
Halle, 7 Desember 1873
"..Di hari-hari terakhir aku punya waktu untuk mengejar lebih jauh dugaan yang kuceritakan kepadamu; hanya hari ini aku percaya diriku telah selesai dengan hal itu; tetapi jika aku menipu diriku sendiri, aku pasti tidak menemukan hakim yang lebih memanjakan daripada Anda. "
Dalam surat itu, Cantor selanjutnya melanjutkan dengan draf pertama bukti mengapa bilangan real tidak dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli. Tidak dua hari kemudian, ia mengirimkan Dedekind bukti yang direvisi dan lebih sederhana, bersama dengan permintaan maafnya karena menghabiskan waktu dengan masalah ini:
Halle, 9 Desember 1873
Saya telah menemukan bukti teorema yang disederhanakan yang baru saja dibuktikan, sehingga dekomposisi urutan menjadi (1), (2), (3), ... tidak lagi diperlukan. Saya menunjukkan langsung bahwa jika saya mulai dengan urutan
(i) ω₁, ω₂, ..., ωᵤ,
maka dalam setiap interval yang diberikan (α ... β) saya dapat menentukan angka η yang tidak terkandung dalam (i). Dari sini dapat disimpulkan bahwa totalitas (x) tidak dapat dikorelasikan satu-ke-satu dengan totalitas (u); dan saya menyimpulkan bahwa ada perbedaan mendasar antara totalitas dan nilai-nilai yang sampai saat ini belum dapat saya pahami.
Sekarang saya harus meminta maaf kepada Anda karena telah mengambil banyak waktu Anda dengan pertanyaan ini. Mengonfirmasi penerimaan garis persahabatan Anda pada 8 Desember, izinkan saya meyakinkan Anda bahwa tidak ada yang dapat memberi saya lebih banyak kesenangan daripada cukup beruntung untuk membangkitkan minat Anda pada pertanyaan analisis tertentu.
- G. Cantor
Catatan Dedekind dari periode tersebut memperjelas kronologi peristiwa:
Brunswick, 7 Desember 1873
Cantor mengomunikasikan kepada saya bukti yang kuat, yang ditemukan pada hari yang sama, dari teorema bahwa totalitas semua angka positif ω <1 tidak dapat satu-ke-satu berkorelasi dengan totalitas (n).
Saya menjawab surat ini, diterima pada tanggal 8 Desember, pada hari yang sama dengan selamat atas keberhasilan yang baik. Pada saat yang sama, saya mengutarakan lebih sederhana lagi inti dari buktinya (yang masih cukup rumit).
- Richard Dedekind
Tetapkan Teori
Digambarkan oleh Stanford Encyclopaedia of Philosophy sebagai “salah satu pencapaian terbesar matematika modern”, teori himpunan secara luas diakui telah didirikan oleh makalah yang dihasilkan dari karya yang dilakukan Cantor pada periode 1873–1884. Secara khusus, asal-usul teori himpunan ditelusuri kembali ke kertas tunggal yang diterbitkan pada tahun 1874 oleh Cantor, berjudul Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, ("Pada Properti Koleksi Semua Bilangan Algebra Nyata)". Hasil mendasar dan paling konsekuensial yang dihadirkannya adalah tidak terhitungnya bilangan real, dan sebagai konsekuensinya, penemuan perbedaan antara bilangan yang termasuk "kontinum" dan bilangan yang dimiliki "kumpulan seperti totalitas bilangan aljabar nyata" . Makalah ini muncul di Journal für die reine und angewandte Mathematik ("Crelle's Journal") tepat sebelum Cantor berusia 30 tahun. Ketika dia menulis kepada Dedekind sekitar dua minggu setelah sampai di buktinya:
Berlin, 25 Desember 1873
"..Meski aku belum ingin menerbitkan subjek yang baru-baru ini aku bahas pertama kali denganmu, aku secara tak terduga telah menyebabkan hal itu terjadi. Aku mengkomunikasikan hasil penelitianku kepada Herr Weierstrass pada tanggal 22; namun, tidak ada waktu untuk pergi ke detail; sudah pada 23d saya mendapat kesenangan dari kunjungannya, di mana saya bisa mengkomunikasikan bukti kepadanya. Dia berpendapat bahwa saya harus menerbitkan hal itu setidaknya sejauh menyangkut aljabar Jadi saya menulis sebuah makalah pendek dengan judul: Pada properti himpunan semua angka aljabar nyata dan mengirimkannya ke Profesor Borchardt untuk dipertimbangkan untuk Journal Fur Math.
Seperti yang akan Anda lihat, komentar Anda (yang sangat saya hargai) dan cara Anda menyampaikan beberapa poin sangat membantu saya. "
- G. Cantor
Dalam lima halaman pendek, makalah Cantor menyajikan tiga hasil penting:
Himpunan bilangan aljabar nyata dapat dihitung; dan
Dalam setiap interval [a, b] ada banyak sekali angka yang tidak termasuk dalam urutan apa pun; dan sebagai konsekuensinya
Himpunan bilangan real tidak terbatas tak terhingga;
Sisa dari artikel ini dikhususkan untuk menjelaskan implikasi dari hasil ketiga, pada tak terhitungnya bilangan real. Untuk ini, kita mulai dengan beberapa konsep dasar.
Apa itu satu set?
"Satu set adalah Banyak yang memungkinkan dirinya untuk dianggap sebagai Satu" - Georg Cantor
Satu set adalah kumpulan elemen. Set yang terdiri dari angka 3,4 dan 5 dilambangkan dengan {3, 4, 5}. Untuk perangkat yang lebih besar dan demi kesederhanaan, elipsis sering digunakan jika pembaca dapat dengan mudah menebak elemen apa yang hilang. Definisi asli Cantor tentang "agregat" (set), diterjemahkan, menjadi sebagai berikut:
Definisi Penyedia tentang Perangkat Dengan perangkat kita harus memahami setiap koleksi menjadi seluruh M objek yang pasti dan terpisah dari intuisi kita atau pikiran kita. Objek-objek ini disebut "elemen" dari M.
Countability
Himpunan yang dapat dihitung adalah himpunan dengan kardinalitas yang sama (jumlah elemen) seperti beberapa himpunan bagian dari himpunan bilangan alami.
Properti kemampuan menghitung adalah penting dalam teori himpunan. Interpretasi intuitif tentang kemampuan menghitung adalah “kemampuan mendengarkan”, bahwa unsur-unsur suatu himpunan dapat dituliskan dalam suatu daftar. Himpunan yang paling dapat dihitung secara inheren adalah bilangan asli in, di mana unsur-unsur ℕ adalah bilangan penghitungan itu sendiri (1,2,3, ...). Seperti yang kita ketahui, jumlahnya tidak terbatas, dan oleh karenanya disebut “tak terhingga tak terhitung”, atau “dapat dinomori”. Untuk set lain, secara formal, dengan menyatakan bahwa set dapat dihitung satu berarti elemen-elemen set dapat dimasukkan dalam korespondensi satu-ke-satu dengan elemen-elemen dari set bilangan alami ℕ, yaitu bahwa:
Himpunan yang dapat dihitung Himpunan S dapat dihitung jika ada fungsi injeksi f dari S ke bilangan asli ℕ = {1,2,3, ...}. Jika f seperti itu dapat ditemukan yang juga bersifat surjektif (dan karenanya bijektif), maka S disebut himpunan tak terhingga yang dapat dihitung, atau didenumerasikan.
Misalnya, untuk himpunan bilangan genap (2n | n ∈ ℕ):
    2 4 6 8 10 ... 2n ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4 5 ... n
Kita melihat bahwa elemen-elemen dari dua set dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan yang lainnya, dan dengan demikian kita dapat menentukan bahwa himpunan bilangan genap juga dapat dihitung.
Properti countability memungkinkan untuk membandingkan set dalam hal jumlah elemen yang dikandungnya tanpa benar-benar menghitung apa pun, dan dengan cara ini membuat kesimpulan tentang ukuran relatif dari kedua set terbatas dan tak terbatas. Untuk alasan praktis, mari kita ilustrasikan kasus yang terbatas dengan membayangkan ruang kelas dengan 100 kursi. Dipenuhi dengan siswa, orang dapat membuat kesimpulan tentang ukuran set siswa dalam kaitannya dengan ukuran set kursi. Jika kursi kosong, set kursi lebih besar dari set siswa. Jika tidak ada kursi yang kosong dan beberapa siswa berdiri, ukuran himpunan siswa lebih besar daripada kursi, dan sebagainya.
The Countability of Rational Numbers (1873)
Investigasi pertama yang dipublikasikan Cantor mengenai kemungkinan set terjadi pada tahun 1873 ketika ia membuktikan bahwa bilangan rasional ℚ (fraksi / rasio) dapat dihitung. Buktinya yang agak elegan dan intuitif adalah sebagai berikut:
Bukti kemampuan menghitung angka-angka Rasional ℚ Mari kita usulkan bahwa himpunan bilangan rasional ℚ dapat dihitung. Untuk membuktikan pernyataan ini, mari kita susun semua bilangan rasional (rasio bilangan alami) dalam tabel tak terbatas sebagai berikut:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ... 3/1 3/2 3/3 3/4 3 / 5 ... 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ... 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ... ... ... .... .. ...
Selanjutnya, mulai dari sudut kiri atas, bergerak melalui diagonal dari kiri ke kanan pada 45 derajat, dimulai dengan 1/1, kemudian 1/2 dan 2/1, kemudian 3/1, 2/2 dan 1/3 dan seterusnya di. Tuliskan setiap nomor baru yang Anda temui. Anda akan mendapatkan pemesanan berikut:
1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, ... 1 2 3 4 5 ...
Yang tidak hanya urutan yang baik, tetapi juga dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli dalam urutan alami mereka. Ini membuktikan kemampuan menghitung bilangan rasional ℚ.
Hitungan Bilangan Aljabar Nyata (1874)
Setahun kemudian, dalam makalahnya tahun 1884, Cantor menunjukkan bahwa angka aljabar yang sebenarnya dapat dihitung. Bilangan aljabar nyata adalah bilangan real ω yang memenuhi persamaan bentuk: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ + ... + aᵤ = 0. Artinya, bilangan aljabar nyata adalah akar dari polinomial nyata yang bukan nol. Mereka dapat dihitung, yaitu:
Countabilitas Bilangan Aljabar Nyata Koleksi semua real aljabar dapat ditulis sebagai urutan yang tak terbatas.
Cantor menunjukkannya dalam makalahnya tahun 1874 dengan bukti berikut:
Bukti Hitungan Bilangan Aljabar Nyata (1874) Untuk setiap persamaan polinomial dari bentuk aₒωᵘ + a₁ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0
dengan koefisien integer a, tentukan indeksnya menjadi jumlah dari nilai absolut koefisien ditambah derajat persamaan:
| aₒ | + | a₁ | + ... + | aᵤ |
Satu-satunya persamaan indeks 2 adalah ω = 0, jadi solusinya, 0, adalah bilangan aljabar pertama. Keempat persamaan indeks 3 adalah 2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0, dan x2 = 0. Mereka memiliki akar 0, -1, 1, jadi dia memasukkan nilai baru –1 dan 1 sebagai entri kedua dan ketiga dalam daftar nomor aljabar.
Amati bahwa untuk setiap indeks hanya ada banyak persamaan dan bahwa setiap persamaan hanya memiliki banyak akar. Daftar akar baru dengan urutan indeks dan dengan meningkatkan besarnya dalam setiap indeks, satu menetapkan metode sistematis untuk daftar semua angka aljabar. Seperti halnya dengan rasional, korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli membuktikan bahwa himpunan bilangan aljabar harus tak terhingga jumlahnya.
The Uncountability of Real Numbers (1874)
Penggunaan penghitungan yang paling berhasil dari Cantor sebagai sebuah konsep terjadi pada hasil ketiga dari makalahnya pada tahun 1874 ketika ia menunjukkan ketidakberhitungan bilangan real - set pertama terbukti tidak memiliki properti ini. Bilangan real ℝ adalah nilai kuantitas kontinu yang dapat mewakili jarak di sepanjang garis. Setiap bilangan real dapat ditentukan oleh representasi desimal yang mungkin tak terbatas, seperti misalnya 8,632, 0,00001, 10,1 dan seterusnya, di mana setiap digit berturut-turut diukur dalam satuan satu persepuluh ukuran dari yang sebelumnya. Pernyataan bahwa bilangan real tidak terhitung sama dengan pernyataan:
Ketidakberimbangan Bilangan Riil Mengingat urutan bilangan real dan interval apa pun [α ... β], seseorang dapat menentukan angka η dalam [α ... β] yang tidak termasuk dalam urutan. Oleh karena itu, seseorang dapat menentukan banyak angka seperti η dalam [α ... β].
Seperti yang telah kita lihat dari pertukaran suratnya dengan Dedekind pada tahun 1873, kita tahu bagaimana Cantor bekerja menuju hasil yang sangat penting. Bukti aslinya (Bukti Kehilangan Pertama Cantor) adalah sebagai berikut, dan didasarkan pada teorema Bolzano-Weierstrass:
Bukti Ketidakbandingan bilangan real ℝ (1874) Misalkan kita memiliki urutan bilangan real yang tak terbatas,
(i) ω₁, ω₂, ... ωᵥ, ...
di mana urutan dihasilkan sesuai dengan hukum dan jumlahnya berbeda satu sama lain. Kemudian dalam setiap interval yang diberikan (α ... β) angka η (dan akibatnya banyak sekali angka-angka tersebut) dapat ditentukan sedemikian sehingga tidak terjadi dalam deret (i).
Untuk membuktikan ini, kita pergi ke akhir interval [α ... β], yang telah diberikan kepada kita secara sewenang-wenang dan di mana α <
Oleh karena itu, di sini, α ', α "... secara definisi menentukan jumlah urutan kami (i), yang indeksnya terus meningkat. Hal yang sama berlaku untuk urutan β', β", ...; Lebih lanjut, angka α ', α "... selalu bertambah besar ukurannya, sedangkan angka β', β", ... selalu berkurang ukurannya. Dari interval [α ... β], [α '... β'], [α "... β"], .... masing-masing melingkupi semua yang mengikuti. Di sini, hanya dua kasus yang dapat dipikirkan.
Dalam kasus pertama, jumlah interval yang dibentuk terbatas. Dalam hal ini, biarkan yang terakhir adalah (αᵛ ... βᵛ). Karena bagian dalamnya dapat paling banyak satu urutan (i), angka η dapat dipilih dari interval ini yang tidak terkandung dalam (i), dengan demikian membuktikan teorema.
Dalam kasus kedua, jumlah interval yang dibangun tidak terbatas. Kemudian, karena mereka selalu bertambah dalam ukuran tanpa tumbuh menjadi tak terbatas, angka α, α ', α ", ... memiliki nilai batas penentu αʷ. Hal yang sama berlaku untuk angka β, β', β",. .. karena ukurannya selalu menurun. Biarkan nilai batasnya menjadi βʷ. Jika αʷ = βʷ, maka seseorang dengan mudah membujuk diri sendiri, jika orang hanya melihat kembali ke definisi interval bahwa angka η = αʷ = βʷ tidak dapat dimasukkan dalam urutan kami (i). Namun, jika αʷ
Argumen Diagonal Cantor (1891)
Cantor tujuh belas tahun kemudian memberikan bukti yang lebih sederhana dengan menggunakan apa yang kemudian dikenal sebagai argumen diagonal Cantor, pertama kali diterbitkan dalam makalah tahun 1891 berjudul Über eine elementere Frage der Mannigfaltigkeitslehre ("Pada pertanyaan mendasar dari Manifold Theory"). Saya memasukkannya di sini untuk keanggunan dan kesederhanaannya. Secara umum, argumen yang sekarang terkenal adalah sebagai berikut:
Bukti: Argumen diagonal Cantor (1891) Dalam makalahnya, Cantor mempertimbangkan himpunan M dari semua urutan tak terhingga dari bilangan biner m dan w. Urutan seperti:
E₁ = (m, m, m, m, m, ...), E₂ = (b, b, b, b, b, ...), E₃ = (m, b, b, b, b, b, m,. ..), E₄ = (b, b, b, b, b, ...), E₅ = (b, b, b, b, b, ...)
Cantor menegaskan bahwa ada himpunan M yang tidak memiliki "nafas" dari seri E₁, E₂, E₃…, yang berarti M memiliki ukuran yang berbeda dari jumlah setiap urutan En, yaitu bahwa meskipun M dibangun dari semua urutan tak terbatas dari bilangan biner m dan w, ia selalu dapat membuat urutan E₀ baru yang “keduanya merupakan elemen M dan bukan merupakan elemen M.”
Urutan baru E₀ dibangun menggunakan pelengkap satu digit dari setiap urutan E₁, E₂,… En. Suatu komplemen dari bilangan biner didefinisikan sebagai nilai yang diperoleh dengan membalik bit dalam representasi bilangan (bertukar m untuk w dan sebaliknya visa). Jadi, urutan baru terdiri dari komplemen digit pertama dari urutan E₁ (m), komplemen digit kedua dari urutan E₂ (w), komplemen dari digit ketiga dari urutan E₃ (m) dan seterusnya untuk akhirnya pelengkap digit ke-n dari urutan En. Dari contoh urutan di atas, urutan baru E sequence akan menjadi:
E₀ = (b, b, b, b, b, ...)
Dengan konstruksinya, E₀ berbeda dari setiap urutan En karena digit nnya berbeda. Oleh karena itu, E₀ tidak bisa menjadi salah satu urutan tak terbatas dalam himpunan M.
Diterapkan untuk membuktikan tak terhitungnya bilangan real ℝ:
Bukti Ketidakbandingan dari bilangan Riil ℝ Bukti ini berdasarkan kontradiksi, yaitu kita akan menganggap bahwa bilangan real ℝ dapat dihitung dan menghasilkan kontradiksi. Jika real dapat dihitung, maka mereka dapat dicantumkan:
1. 657.853260 ... 2. 2.313333 ... 3. 3.141592 ... 4. .000307 ... 5. 49.494949 ... 6. .873257 ... ...
Untuk mendapatkan kontradiksi, cukup untuk menunjukkan bahwa ada beberapa α nyata yang hilang dari daftar. Konstruksi seperti α bekerja dengan membuat tempat desimal pertama berbeda dari tempat desimal pertama dari nomor pertama daftar, dengan membuat tempat desimal kedua berbeda dari tempat desimal kedua dari angka kedua, dan secara umum dengan membuat n angka desimal berbeda dari angka desimal n angka n pada daftar.
Lebih sederhana lagi, untuk α kita, kita akan membuat tempat desimal ke-1 1 kecuali sudah 1, dalam hal ini kita akan membuatnya 2. Dengan proses ini, untuk contoh daftar angka kita, kita memperoleh:
α = .122111 ...
Yang, dengan konstruksi tidak dapat menjadi anggota daftar yang kami buat. Jadi, dengan kontradiksi, daftar semua real kami tidak dapat berisi setiap angka, dan karenanya harus tak terhitung.
Kesimpulan dari kedua bukti (1874 dan 1891) adalah sama - meskipun bilangan asli dan bilangan real tidak terbatas jumlahnya dan terus berlangsung selamanya, tidak ada cukup bilangan alami untuk membuat satu-ke-satu korespondensi antara mereka dan bilangan real. Penemuan Cantor yang brilian, dengan kata lain, menunjukkan dengan ketat bahwa infinity memiliki ukuran yang berbeda, beberapa di antaranya lebih besar dari yang lain.
Ada lebih banyak bilangan real daripada bilangan asli.
Dari korespondensi Cantor dengan Dedekind sekitar waktu pengajuan bukti asli pada tahun 1874, tampak jelas bahwa dia sudah dalam proses merenungkan implikasi khusus dari hasil ini, meskipun dari catatan yang diketahui dia tampaknya tidak secara eksplisit menyatakan begitu untuk Dedekind. Namun kita melihat jejak pikirannya yang kreatif dan bertanya dalam surat-suratnya dari waktu yang sama, seperti dalam kutipan ini dari Januari 1874 tentang ukuran set dimensi yang berbeda:
Halle, 5 Januari 1874
"..Dapat sebuah permukaan (katakanlah bujur sangkar yang mencakup batas) secara unik disebut garis (katakanlah segmen garis lurus yang mencakup titik akhir) sehingga untuk setiap titik pada permukaan ada titik yang sesuai dari garis dan , sebaliknya, untuk setiap titik garis ada titik yang sesuai permukaan? Sepertinya bagi saya saat ini jawaban untuk pertanyaan ini sangat sulit - meskipun di sini juga ada yang begitu terdorong untuk mengatakan tidak bahwa orang ingin untuk menahan buktinya menjadi hampir berlebihan. "
- G. Cantor
Ketika Dedekind tidak membalas proposisi secara langsung, Cantor mengulangi pertanyaan beberapa minggu kemudian, menunjukkan kesadarannya akan implikasi yang bermakna yang dimilikinya:
Halle, 28 Januari 1874
"..Ketika Anda sempat menjawab saya, saya harus bersyukur mendengar apakah Anda memiliki kesulitan yang sama dengan saya dalam menjawab pertanyaan yang saya kirimkan kepada Anda pada bulan Januari tentang korelasi garis dan permukaan, atau apakah saya menipu sendiri di Berlin, seorang teman yang saya tunjukkan masalah yang sama mengatakan kepada saya bahwa subjeknya agak tidak masuk akal, karena jelas bahwa dua variabel independen tidak dapat direduksi menjadi satu. "
- G. Cantor
Dari apa yang dapat kita simpulkan dari catatan-catatan yang diketahui, itu akan memakan waktu tiga tahun sampai Dedekind dan Cantor berbicara lagi tentang masalah ini. Dari surat-suratnya, jelas bahwa kecanggihan Cantor pada topik korespondensi satu-ke-satu antara perangkat tak terbatas pada titik ini telah berkembang, dan bahwa pemahamannya tentang implikasinya pada tahun 1877 berjalan jauh lebih dalam daripada sebelumnya:
Halle, 20 Juni 1877
"..Aku ingin tahu apakah kamu mempertimbangkan prosedur inferensi yang aku gunakan untuk menjadi aritmetika yang ketat.
Masalahnya adalah untuk menunjukkan bahwa permukaan, benda, bahkan struktur kontinu dimensi p dapat dikorelasikan satu-ke-satu dengan garis kontinu, yaitu dengan struktur hanya satu dimensi — sehingga permukaan, benda, bahkan struktur kontinu dimensi p memiliki kekuatan yang sama dengan kurva. Gagasan ini tampaknya bertentangan dengan ide yang sangat lazim di antara para perwakilan geometri modern, yang berbicara tentang tak terbatas, dua kali lipat, tiga kali lipat,. . . ρ lipat struktur tanpa batas. (Kadang-kadang Anda bahkan menemukan gagasan bahwa tak terhingga titik-titik suatu permukaan atau benda diperoleh ketika ia mengkuadratkan atau memotong-motong tak terhingga titik-titik suatu garis.) "
- G. Cantor
Set yang tak terbatas
“Saya memprotes penggunaan besaran tak terhingga sebagai sesuatu yang diselesaikan, yang tidak pernah diizinkan dalam matematika. Infinity hanyalah cara berbicara ”.
- CF Gauss, 1831
Unsur-unsur dari semua set yang kita temui sejauh ini jumlahnya tidak terbatas, yang berarti mereka berlangsung selamanya. Namun, kami juga telah menunjukkan bahwa salah satu dari mereka tidak memiliki "ukuran" yang sama, atau setidaknya, bahwa itu tidak dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli. Mungkin bahkan lebih paradoks, kita telah melihat bahwa himpunan bagian yang tak terbatas (misalnya bilangan genap) dari himpunan tak terbatas (bilangan alami) dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu, sehingga menimbulkan sifat khusus set yang tak terbatas, yaitu bahwa:
Definisi himpunan tak terbatas A himpunan A tak terbatas jika, dan hanya jika, ada korespondensi satu-ke-satu antara A dan himpunan X yang merupakan himpunan bagian yang tepat dari A.
Sifat ini, diciptakan oleh Dedekind, tampaknya paradoks mengingat gagasan intuitif bahwa harus selalu ada lebih banyak elemen secara keseluruhan daripada di beberapa bagiannya (yang disebut Euclid Common Notion 5). Ini berarti bahwa jika dua set infinite berisi jumlah elemen yang sama ketika ada:
Korespondensi satu-ke-satu di antara mereka; dan
Ukuran keseluruhan mana pun harus lebih besar dari pada bagian-bagiannya;
Maka jumlah elemen dalam himpunan tak terbatas tidak dapat dianggap sebagai ukuran ukurannya. Ini menunjukkan bahwa unsur-unsur himpunan tak terbatas dalam arti "tanpa angka", mengingat bahwa Anda tidak pernah bisa menghitung semuanya, tetapi juga karena gagasan angka sebagai ukuran ukuran di bidang ini tidak masuk akal - Semua tak terbatas set tampaknya keluar dengan ukuran yang sama jika korespondensi satu-ke-satu dianggap mengindikasikan kesamaan dalam hal ukuran set.
Nomor kardinal
Jadi, bagaimana seseorang mempelajari sifat-sifat dan perbedaan-perbedaan set yang tidak terbatas? Setelah penemuannya pada tahun 1874 tentang keberadaan set-set tak terbatas yang tidak dapat dinomori, pada tahun 1878 Cantor beralih ke studi yang lebih umum tentang apa yang disebutnya kekuatan, atau bilangan kardinal - studi tentang ukuran set. Kardinalitas himpunan A biasanya dilambangkan dengan | A |, kadang-kadang kartu (A).
Definisi Cantor tentang Angka-Angka Kardinal Kita akan menyebut dengan nama 'kekuatan' atau 'nomor kardinal' dari M konsep umum yang, melalui sarana pemikiran aktif kita, muncul dari himpunan M ketika kita membuat abstraksi dari sifat berbagai jenisnya. elemen m dan urutan di mana mereka diberikan.
Atau dinyatakan lebih sederhana, nomor kardinal adalah generalisasi dari nomor alami yang digunakan untuk mengukur kardinalitas (ukuran) set. Dengan menggunakan properti kardinalitas, Cantor dapat secara formal menjawab pertanyaan yang berulang kali dia tanyakan kepada Dedekind, yaitu apakah kotak dapat dipetakan ke garis dengan korespondensi satu-ke-satu dari poin pada masing-masing, yaitu:
Teorema: Himpunan ℝ² dari semua pasangan bilangan real (yaitu, bidang nyata) memiliki ukuran yang sama dengan ℝ.
Teorema tersebut muncul dari makalah Cantor pada tahun 1878 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre ("Kontribusi terhadap bermacam-macam teori") dan dapat dibuktikan secara elegan dengan cara berikut / modern (dikaitkan dengan Julius König):
Bukti bahwa | ℝ² | = | ℝ | Cukuplah untuk membuktikan bahwa himpunan semua pasangan (x, y), 0 <1 dapat dipetakan secara bijektif ke (0,1). Pertimbangkan pasangan (x, y) dan tulis x, y dalam uniknya ekspansi desimal yang tidak berhenti seperti pada contoh berikut:
x = 0,3 01 2 007 08 ... y = 0,009 2 05 1 0008 ...
Perhatikan bahwa digit x dan y telah dipisahkan ke dalam grup dengan selalu menuju ke digit bukan nol berikutnya, inklusif. Sekarang kita kaitkan dengan (x, y) angka z ∈ (0,1) dengan menuliskan kelompok-x pertama, setelah itu kelompok-y pertama, kemudian kelompok-x kedua, dan seterusnya. contoh, kami memperoleh:
z = 0,3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 ...
Karena x atau y tidak hanya menampilkan nol dari titik tertentu, kami menemukan bahwa ekspresi untuk z lagi-lagi merupakan ekspansi desimal non-terminasi. Sebaliknya, dari perluasan z, kita dapat segera membaca preimage (x, y) dan peta bersifat bijektif.
Jadi, sekali lagi secara paradoks, bidang dua dimensi ℝ² memang dapat dipetakan secara bijektif (dengan korespondensi satu-ke-satu) ke garis satu dimensi ℝ. Secara induktif, kita dapat memperluas hasilnya ke dimensi yang lebih tinggi. Sifatnya yang berlawanan dengan intuisi membuat Cantor mengumumkan:
Halle, 29 Juni 1877
"..Mohon permisi semangat saya untuk subjek jika saya membuat begitu banyak permintaan atas kebaikan dan kesabaran Anda; komunikasi yang saya kirim akhir-akhir ini bahkan untuk saya begitu tak terduga, begitu baru, sehingga saya tidak dapat memiliki ketenangan pikiran sampai saya memperoleh dari Anda, teman terhormat, keputusan tentang kebenaran mereka. Selama Anda belum setuju dengan saya, saya hanya bisa mengatakan: je le vois, mais je ne le crois pas. "
"Aku melihatnya, tapi aku tidak percaya itu".
Nomor kardinal yang tak terbatas
Ketika Cantor pada tahun 1878 kemudian beralih untuk mempelajari angka-angka kardinal yang tak terbatas, dia sudah mengetahui keberadaan dua "kekuatan" seperti itu (Mächtigkeiten): set-set (misalnya bilangan asli) dan kontinum (misalnya bilangan real). Dalam makalahnya tahun 1883 berjudul Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Yayasan Teori Umum Manifold") ia memperkenalkan perbedaan antara dua infinitas, yang tak terbatas dan yang absolut:
Angka-angka transfinit adalah angka-angka yang "tak terbatas" dalam arti bahwa mereka lebih besar dari semua angka yang terbatas, namun belum tentu mutlak tak terbatas.
Inf Infinite absolute, juga diperkenalkan oleh Cantor, dapat dianggap sebagai angka yang lebih besar daripada kuantitas yang dapat dibayangkan atau tidak dapat dibayangkan, baik terbatas atau transfinite. Angka transfinit semakin besar, sedangkan yang absolut tidak dapat disembuhkan. Bilangan tak terbatas khusus yang ada dalam benaknya adalah bilangan-bilangan yang ia sadari melalui studinya tentang kemampuan menghitung sejumlah himpunan tak terbatas (misalnya bilangan alami) dan tak terhitungnya himpunan lainnya (misalnya bilangan real). Dia memberi label kardinalitas mereka ℵ₀ (aleph tidak ada) dan ℵ₁ (alef satu), masing-masing, dua "urutan tak terhingga" pertama, keduanya lebih kecil dari tak terbatas mutlak Ω.
Hipotesis Continuum (1878)
Tidak ada bilangan kardinal tak terbatas di antara kardinalitas bilangan alami ℵ₀ dan kardinalitas bilangan real ℵ₁.
Tidak ada pengantar Cantor akan lengkap tanpa membahas hipotesis terkenal yang telah selamanya dikaitkan dengan pekerjaan hidupnya, Hipotesis Kontinum Cantor (CH). Sebagian besar karyanya tentang dugaan itu diterbitkan dalam risalah enam bagian Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten ("Pada titik-titik tak terhingga, linier yang beragam") dalam jurnal Mathematische Annalen antara 1879 dan 1884.
Namun penampilan pertamanya, muncul dalam makalah tahun 1878 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre ("Sebuah kontribusi untuk bermacam-macam teori"), di mana ia menyatakan:
Timbul pertanyaan bagaimana bagian-bagian berbeda dari garis lurus kontinu, yaitu bermacam-macam titik tak terbatas yang dapat dipahami di dalamnya, dihubungkan sehubungan dengan kekuatan mereka.
Mari kita selesaikan masalah kedok geometris ini, dan pahami dengan bermacam-macam linier dari bilangan real, setiap totalitas yang mungkin dari banyak bilangan real yang berbeda. Kemudian muncul pertanyaan, berapa banyak dan kelas mana manifold linier jatuh, jika manifold dari kekuatan yang sama ditempatkan ke dalam kelas yang sama, dan manifold dari kekuatan yang berbeda ke dalam kelas yang berbeda?
Dengan prosedur induktif, yang presentasi yang lebih tepat tidak akan diberikan di sini, teorema ini menyarankan bahwa jumlah kelas manifold linier yang menimbulkan prinsip sortasi ini terbatas, dan memang, sama dengan dua.
Kita tahu angka kardinal 0, 1, 2,. . . dan bilangan kardinal tak terhingga further, dan lebih jauh bahwa kardinalitas bilangan real lebih besar dari ℵ₀. Pendapat Cantor dalam pernyataannya tentang hipotesis kontinum adalah bahwa kardinalitas bilangan real adalah bilangan tak terbatas berikutnya setelah ℵ₀, yaitu bahwa
c = | ℝ | = ℵ₁
Berarti tidak ada set yang dapat memiliki kardinalitas yang lebih besar dari bilangan asli ℵ₀ dan lebih kecil dari c, dan c adalah kardinalitas bilangan real. ℵ₁ dalam hal ini terletak di luar set nomor kardinal yang dapat dihitung selain dari dirinya sendiri, dan hanya dapat "dihubungi" dengan menambahkan bersama nomor kardinal lainnya dengan kekuatan ℵ₁.
Bukti yang dicoba
Cantor menghabiskan banyak tahun-tahun sisa hidupnya bergulat dengan memberikan bukti bahwa hipotesis kontinum itu benar. Strategi langsungnya adalah menggunakan set turunan P⁽ⁿ⁾ dari set point P untuk mengukur kardinalitasnya. Seperti yang dikatakan Bertrand Russell:
Secara umum, turunan pertama terdiri dari semua titik di lingkungannya yang jumlah tak terhingga dari koleksi dikumpulkan; dan turunan berikutnya memberikan, seolah-olah, tingkat konsentrasi yang berbeda di lingkungan mana pun. Dengan demikian, mudah untuk melihat mengapa turunannya relevan dengan kontinuitas; untuk menjadi berkelanjutan, koleksi harus terkonsentrasi sebanyak mungkin di setiap lingkungan yang mengandung syarat-syarat koleksi.
Karena proses mengambil turunan tidak serta merta berakhir setelah jumlah iterasi yang tak terbatas yang tak terhitung jumlahnya, Cantor melanjutkan proses ke dalam transfinite. Ketika strategi gagal, Cantor beralih ke apa yang disebut "strategi tidak langsung" yang merupakan subjek utama dari Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Yayasan Teori Agregat Umum") yang diterbitkan pada tahun 1883. Strategi ini didasarkan pada teorinya tentang kekuatan bilangan kardinal, yaitu pada pengenalan kelas bilangan tak terbatas yang dapat digunakan untuk menghitung ukuran setiap himpunan tak terbatas. Hipotesis kontinum dalam sistem ini akan ditampilkan dengan menentukan di mana kekuatan kontinum terletak pada "skala" angka-angka tak terbatas - bahwa itu adalah nomor tak terbatas pertama yang tidak dapat dihitung.
Cantor akan menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk menyelesaikan hipotesis kontinum. Ketika suatu hari dia pikir dia telah menemukan bukti kebenarannya, hari berikutnya dia menemukan bukti kepalsuannya: kemudian berikutnya dia menemukan bukti kebenarannya hanya kemudian menyadari bahwa semua bukti itu tidak valid.
Kesehatan mental
Cantor menderita gangguan mental serius pertamanya pada Mei 1884, sepuluh tahun setelah publikasi bukti pertamanya tentang tak terhitungnya angka sebenarnya. Sebagian besar sejarawan percaya kerusakan terjadi sebagai akibat dari perselisihan yang sedang berlangsung Cantor dengan Leopold Kronecker di University of Berlin, ditambah dengan kepraktisan yang jelas dari hipotesis kontinum. Seperti yang dapat kita baca dari surat-surat yang dikirim Cantor ke ahli matematika Swedia Mittag-Leffler, kerusakan pertama Cantor terjadi tepat ketika dia kembali dari perjalanan yang penuh kegembiraan ke Paris tempat dia bertemu, di antara para ahli matematika lain, Henri Poincaré. Cantor menulis bahwa dia sangat menyukai Poincaré dan senang mengetahui bahwa pria hebat itu memahami teori himpunan tak terbatas dan penerapannya. Selain itu, ia menulis bahwa ia menghabiskan waktu mengunjungi galeri dan museum, memanjakan cintanya pada opera dan teater. Kerusakan Cantor dilaporkan terjadi tidak lama setelah ia kembali ke Jerman untuk mengurus urusan keluarga.
Kami tidak tahu apa yang menyebabkan kehancuran Cantor. Arthur Schoenflies berpendapat bahwa kepahitan Cantor dengan oposisi yang luar biasa terhadap pekerjaannya, diperjuangkan oleh mantan profesornya Leopold Kronecker di Berlin, adalah pendorong utama kesusahannya. Kronecker, lebih dari ahli matematika profesional lainnya pada saat itu, telah menjadi lawan paling vokal dari gagasan Cantor yang akan kembali ke makalah Cantor tahun 1874, yang menurut Cantor takut Kronecker akan menunda publikasi, karena ia telah melakukan salah satu artikel Heine . Karena masalah ini, atas saran Weierstrass, Cantor meninggalkan teorema yang tidak terhitung dari draft awal artikel dan hanya kemudian menambahkannya selama proofreading sebagai komentar di akhir pengantar. Selain itu, pengaruh Kronecker dikatakan telah menyebabkan Cantor menggunakan versi Dedekind tentang bukti kemampuan menghitung bilangan real, tetapi dengan sengaja mengabaikan "prinsip kesinambungan" Dedekind, yang tidak diterima Kronecker. Dilaporkan, setiap 52 surat Cantor mengirim Mittag-Leffler pada tahun 1884 dengan nama Kronecker.
Kronecker tidak setuju secara mendasar dengan dorongan karya Cantor pada teori himpunan karena, di antara alasan-alasan lain, ia menegaskan adanya set yang memuaskan sifat-sifat tertentu tanpa memberikan contoh set tertentu yang anggotanya memenuhi sifat-sifat ini. Kronecker juga hanya mengakui konsep matematika jika mereka dapat dibangun dalam jumlah langkah yang terbatas dari bilangan asli, yang ia ambil untuk diberikan. Kronecker telah menjadi profesor Cantor di Berlin, dan mengepalai departemen matematika di sana sampai kematiannya pada tahun 1891. Setiap kali Cantor melamar sebuah pos di Berlin, ia ditolak, meskipun telah menjadi nama terkenal di kalangan matematika. Gagasan Cantor, yang secara langsung bertentangan dengan Kroneckers, akhirnya terkenal membuat yang terakhir memanggil Cantor sebagai "perusak pemuda" yang "harus dihentikan".
Tahun terakhir
Setelah 1884 dirawat di rumah sakit, tidak ada catatan bahwa Cantor dirawat di sanatorium lagi sampai 1899. Tahun itu, putra bungsunya meninggal dan Cantor dilaporkan kehilangan kecintaannya pada matematika. Ketika pada tahun 1903 Julius König mempresentasikan sebuah makalah yang berusaha untuk menyangkal penyewa dasar teori himpunan tak terbatas, Cantor menganggapnya sebagai penghinaan publik yang serius. Meskipun Ernst Zermelo menunjukkan ketidakabsahan kertas kurang dari sehari kemudian, Cantor tetap terguncang dan bahkan untuk sementara waktu mulai mempertanyakan keberadaan Tuhan (Cantor adalah seorang Kristen yang taat). Peristiwa mendahului serangkaian rawat inap tambahan dengan interval dua hingga tiga tahun.
Meskipun terus menanyakan posisi di Universitas Berlin, Cantor tetap di Universitas Halle sampai kematiannya. Dia menghabiskan 20 tahun terakhir hidupnya dalam keadaan depresi kronis, mempertahankan gagasan kontroversialnya tentang teori himpunan dan keabsahan buktinya, terutama terhadap kritik dari ahli matematika lain di Jerman. Cantor pensiun pada tahun 1913, hidup dalam kemiskinan dan menderita kekurangan gizi selama Perang Dunia I. Pada bulan Juni 1917, ia kembali memasuki sanatorium, di mana ia akhirnya meninggal karena serangan jantung pada 6 Januari 1918. Dari penerimaan terakhir hingga kematiannya, ia terus menulis permintaan istrinya untuk pulang.
Surga hilang?
Pada tahun 1900 ahli matematika Jerman David Hilbert mengidentifikasi hipotesis kontinum sebagai salah satu dari 23 masalah paling signifikan untuk membentuk masa depan matematika di abad ke-20. Prediksinya ternyata akurat, karena upaya oleh matematikawan lain untuk membuktikan atau menyangkal dugaan Cantor menyebabkan beberapa karya terdalam dalam teori himpunan sejauh ini.
Baru pada tahun 1940 ahli logika Austro-Hungaria Kurt Gödel mengkonfirmasi konsistensi hipotesis kontinum dengan menunjukkan bahwa itu tidak dapat dibantah dari aksioma lain dari teori himpunan. Dua puluh tiga tahun kemudian, ahli matematika Amerika Paul Cohen membangun kemandiriannya dengan menunjukkan bahwa hipotesis kontinum tidak dapat dibuktikan dari aksioma lain dari teori himpunan. Mereka dengan kata lain menunjukkan bahwa pernyataan c = independent tidak tergantung pada sistem aksioma Zermelo-Fraenkel yang secara umum diterima sebagai fondasi matematika yang paling umum. Konsistensi dan independensi dugaan Cantor berarti bahwa adalah mungkin untuk membangun model teori himpunan yang valid yang memenuhi hipotesis kontinum dan model lain yang tidak. Realisasi keberadaan ini dan pernyataan tidak dapat dibuktikan lainnya mengubah sifat matematika sebagai disiplin yang ketat dan logis, mendorong Hilbert pada tahun 1926 untuk memproklamirkan pembelaan teori himpunan Cantorian:
”Dari surga, Cantor yang diciptakan untuk kita, tidak ada yang bisa mengusir kita” - David Hilbert
Lihat juga
Tantangan terbesar AI adalah manusia, bukan teknologi.GENIUS YANG MENINGGALKAN DAN POLA GILAQuantum Visible Light Communication dan the Non-Physical RealmPeta yang indah dan menakutkan ini menunjukkan betapa panasnya kita pada tahun 2090Menyaksikan pergeseran paradigma terbuka: bagaimana otak membuat keputusan

label: ms

label: de


content:
Itekno.co.id adalah website teknologi berbahasa Indonesia yang memberikan informasi, tips, apps, game, candaan seru dan ruang mencari uang paling terbaru.
Cari untuk:
Home
Agama
Fashion
Kuliner
Pendidikan
Perikanan
Perkebunan
Pertanian
Umum
Teknologi
Itekno.co.id
Itekno.co.id adalah website teknologi berbahasa Indonesia yang memberikan informasi, tips, apps, game, candaan seru dan ruang mencari uang paling terbaru.
Home
Agama
Fashion
Kuliner
Pendidikan
Perikanan
Perkebunan
Pertanian
Umum
Teknologi
Cari untuk:
pembelajaran Berbantukan Komputer
oleh itekno Juli 14, 2020 Juli 14, 2020 Pendidikan
pembelajaran Berbantukan Komputer
pembelajaran Berbantukan Komputer
Berdasarkan interaksi pembelajarannya, PBK dapat dibuat dalam berbagai bentuk (format) atau model. Bower & Hilgard membagi dalam tiga model yaitu: tutorial, drill-practice procedure, mensimulasikan masalah-masalah yang aktual dan eksperimen tanpa menggunakan alat dan bahan. Copper membagi dalam tiga model yaitu: presentasi kelas, demonstrasi, dan simulasi (Erik, 2009: 18).
Heinich dkk (1986) dalam Munir (2010) mengemukakan enam bentuk interaksi pembelajaran yang dapat diaplikasikan dalam merancang suatu multimedia interaktif. Bentuk-bentuk interaksi tersebut antara lain berupa: 1) tutorial; 2) praktik dan latihan (drill and practice); 3) simulasi (simulation); 4) permainan (games); 5) penemuan (discovery); dan 6) pemecahan masalah (problem solving). Berikut secara singkat penjelasan mengenai model multimedia interaktif tersebut:
a. Tutorial
Model tutorial adalah program yang didesain untuk berperan sebagai tutor bagi siswa. Artinya bahwa model ini disajikan dalam format dialog dengan siswa. Model torial berisi konsep, penjelasan, rumus-rumus, prinsip, bagan, tabel, definisi, istilah dan latihan. Model ini, selain menyajikan informasi isi bahan pelajaran, bertanya kepada siswa: a) apakah akan melanjutkan kegiatan belajar berdasarkan pemahaman dan penguasaan siswa; b) apakah siswa meneruskan untuk mempelajari bahan dan informasi baru; c) apakah akan mereview bahan pelajaran sebelumnya; dan d) apakah akan mengikuti pembelajaran remedial. Tujuan utama program tutorial adalah menyediakan dukungan terhadap pembelajaran dengan buku teks atau ceramah. Siswa diberi kesempatan untuk berinteraksi dengan konsep-konsep tersebut, seperti halnya melakukan pembelajaran dengan guru (Padmanthara, 2007).
Tutorial dalam PBK ditujukan sebagai pengganti manusia yang pembelajarannya diberikan lewat teks atau grafik pada layar yang menyediakan poin-poin pertanyaan atau permasalahan. Adapun tahapan pembelajaran model tutorial (Erik, 2009: 21) adalah sebagai berikut:
1) Pengenalan;
2) Penyajian informasi/materi;
3) Pertanyaan dan respon-respon jawaban;
4) Penilaian respon;
5) Pemberian balikan respon;
6) Pengulangan;
7) Segment pengaturan pelajaran;
8) Penutup.
Tujuan dari multimedia interaktif model tutorial ini adalah untuk memberikan “kepuasan” atau pemahaman secara tuntas (mastery) kepada siswa mengenai materi atau bahan pelajaran yang sedang dipelajarinya (Erik, 2009: 20). Siswa dapat diberi kesempatan untuk memilih topik-topik pembelajaran yang ingin dipelajari dalam suatu mata pelajaran. Semakin banyak topik-topik pembelajaran yang dapat dipilih, akan semakin mudah program tersebut diterima oleh siswa. Dalam interaksi pembelajaran berbentuk tutorial, informasi dan pengetahuan dikomunikasikan sedemikian rupa seperti situasi pada waktu guru yang memberi pengajaran kepada siswa (Munir, 2010).
b. Praktik dan Latihan (Drill and Practise)
Drill and practice pada dasarnya merupakan salah satu strategi pembelajaran yang bertujuan memberikan pengalaman belajar yang lebih kongkrit melalui penyediaan latihan-latihan soal yang bertujuan untuk menguji kemampuan penampilan siswa melalui kecepatan menyelesaikan soal-soal latihan yang diberikan (Erik, 2009: 18).
Model drill and practise ini digunakan untuk melatih siswa menggunakan konsep, aturan atau prosedur yang telah diajarkan sebelumnya. Melalui serangkaian contoh dari konsep dan pengetahuan yang dipelajari, siswa diberi kesempatan untuk berlatih agar terampil dalam menerapkan konsep dan pengetahuan tersebut. Untuk itu dalam model drill and practiseprogram hendaknya dilengkapi dengan jawaban yang benar beserta penjelasannya sehingga diharapkan siswa akan bisa pula memahami suatu konsep tertentu. Pada bagian akhir, siswa bisa melihat skor akhir yang dia capai sebagai indikator untuk mengukur tingkat keberhasilan dalam memecahkan soal‐soal yang diajukan.
Melalui model drills and practice akan ditanamkan kebiasaan tertentu dalam bentuk latihan. Dengan latihan yang terus menerus, model ini dimaksudkan untuk melatih siswa sehingga memiliki kemahiran dalam suatu keterampilan atau memperkuat penguasaan suatu konsep. Tujuan dari pembelajaran melalui model drill and practice pada dasarnya memberikan kondisi latihan (exercise) dan mengingat kembali (recall) mengenai informasi dari materi pembelajaran atau informasi tertentu dalam waktu yang telah ditentukan.
Model drill and practise menyediakan serangkaian soal atau pertanyaan yang biasanya ditampilkan secara acak, sehingga setiap kali digunakan maka soal atau pertanyaan yang tampil selalu berbeda, atau paling tidak dalam kombinasi yang berbeda maka akan tertanam dan kemudian akan menjadi kebiasaan. Selain itu untuk menanamkan kebiasaan, model ini juga dapat menambah kecepatan, ketetapan, kesempurnaan dalam melakukan sesuatu serta dapat pula dipakai sebagai suatu cara mengulangi bahan yang telah disajikan.
Hal penting yang perlu diperhatikan agar dapat memanfaatkan model ini adalah pemberian ganjaran (reward) yang kontinyu. Ganjaran diberikan setiap kali siswa berhasil melakukan tugasnya dengan baik. Pemberian ganjaran yang positif terhadap prestasi belajar akan memberikan kemungkinan yang lebih besar bagi siswa untuk mengulangi keberhasilan yang telah dicapai. Hal ini dikenal dengan istilah reinforcement atau pengukuhan terhadap hasil belajar. Konsep pemberian ganjaran dan pengukuhan perlu dipertimbangkan dalam merancang PBK model drill and practise (Munir, 2010).
c. Simulasi
Model simulasi pada dasarnya merupakan salah satu strategi pembelajaran yang bertujuan memberikan pengalaman belajar yang lebih konkret melalui penciptaan tiruan-tiruan bentuk pengalaman yang mendekati suasana yang sebenarnya (Erik, 2009: 21).
Tujuan dari pembelajaran melalui model simulasi berorientasi pada upaya dalam memberikan pengalaman nyata kepada siswa melalui peniruan suasana. Misalnya untuk mensimulasikan pesawat terbang, dimana pengguna seolah‐olah melakukan aktifitas menerbangkan pesawat terbang, menjalankan usaha kecil, atau pengendalian pembangkit listrik tenaga nuklir dan lain‐lain. Pada dasarnya model ini mencoba memberikan pengalaman masalah dunia nyata yang biasanya berhubungan dengan suatu resiko, seperti pesawat yang akan jatuh atau menabrak, perusahaan akan bangkrut, atau terjadi malapetaka nuklir (Arsyad, 2010: 162).
d. Penemuan (Discovery)
Dalam model ini siswa diminta untuk melakukan percobaan yang bersifat trial dan error dalam memecahkan suatu permasalahan. Sama halnya dengan interaksi tutorial, bentuk interaksi penemuan berisi banyak alternatif solusi untuk memecahkan suatu permasalahan (Munir, 2010).
Dalam program yang berbentuk penemuan, siswa dapat mencari informasi dan membuat kesimpulan dari sejumlah informasi yang telah dipelajarinya. Dari proses belajar yang dilakukannya siswa dapat menemukan konsep dan pengetahuan baru yang belum pernah dipelajari sebelumnya.
e. Pemecahan Masalah (Problem Solving)
Model seperti ini memberi kemungkinan terhadap siswa untuk melatih kemampuan dalam memecahkan suatu masalah. Siswa dituntut untuk berfikir logis dan sistematis dalam memecahkan suatu permasalahan. Program multimedia interaktif berbentuk pemecahan masalah memberi kesempatan kepada siswa untuk memecahkan permasalahan-permasalahan yang ada didalamnya (Munir, 2010).
Program multimedia interaktif berbentuk pemecahan masalah biasanya berisi beberapa soal atau masalah yang diklasifikasikan berdasarkan tingkat kesulitan yang dikandung di dalamnya. Siswa dapat mencoba memecahkan masalah yang lebih tinggi tingkatannya setelah berhasil memecahkan masalah dengan tingkat kesulitan yang lebih rendah.
f. Permaianan (games)
Model permainan merupakan salah satu bentuk model yang didesain untuk membangkitkan kegembiraan pada siswa sehingga dapat meningkatkan kemungkinan tersimpannya lebih lama konsep, pengetahuan ataupun keterampilan yang diharapkan dapat mereka peroleh dari permainan tersebut.
Tujuan dari model permainan adalah untuk menyediakan suasana (lingkungan) yang memberikan fasilitas belajar yang menambah kemampuan siswa. Model permainan tidak perlu menirukan realita namun dapat memiliki karakter yang menyediakan tantangan yang menyenangkan bagi siswa.
Keseluruhan model permainan ini memiliki komponen dasar sebagai pembangkit motivasi dengan memunculkan cara berkompetisi untuk mencapai sesuatu. Interaksi berbentuk permainan akan bersifat instruksional apabila pengetahuan dan keterampilan yang terdapat di dalamnya bersifat akademik dan mengandung unsur pelatihan. Sebuah bentuk permainan disebut intruksional apabila didalamnya terdapat tujuan pembelajaran yang harus dicapai (Munir, 2010).
Sama halnya dengan model lain, permainan harus mengandung tingkat kesulitan tertentu dan memberikan umpan balik terhadap tanggapan yang dikemukakan oleh siswa. Dalam model pemainan, umpan balik diberikan dalam bentuk skor atau nilai standar yang dicapai setelah melakukan serangkaian permainan. Dalam program berbentuk pemainan harus ada aturan yang dapat dipakai sebagai acuan untuk menentukan orang yang keluar sebagai pemenang. Penentuan pemenang dalam permainan ditentukan berdasarkan skor yang dicapai kemudian dibandingkan dengan prestasi belajar standar yang harus dicapai.
Harus diingat pula bahwa bentuk permainan yang disajikan tetap mengacu pada proses belajar-mengajar dan dengan PBK model ini diharapkan terjadi aktifitas belajar sambil

warc-identified-content-language: ind

warc-type: conversion

content-type: text/plain

label: id


content: Kuliahpendidikan.com – Pada kesempatan kali ini kita akan membahas pengertian kreatif menurut para ahli, Bentuk, Karakteristik dan contoh nya karena […]

warc-identified-content-language: ind,eng


content:
January 30, 2020 January 29, 2020 Maidaaplikasi pembuatan logoLeave a Comment on Aplikasi Pembuatan Logo Terbaik Dan Gratis
Aplikasi Pembuatan Logo Terbaik Dan Gratis
Membuat logo bagi sebagian kalangan bisa dikatakan cukup sulit. Kesulitan untuk membuat sebuah logo untuk keperluan usaha maupun untuk keperluan lainnya memang membutuhkan sebuah keterampilan khusus. Keterampilan khusus yang diharuskan ada tersebut memang memungkinkan para pembuat logo pemula bisa mulai […]


content:
Paint yourself in another person's life story, so that life becomes worth for yourself and others ^_^
KATEGORI : manfaatakuntansi
manfaat dan enaknya belajar akuntansi
11 September 2012 15:35:08 Dibaca : 8787
-Manfaaat dan Enaknya Belajar Akuntansi-
Sebagian besar orang (bisa saja mahasiswa, siswa, dan orang –orang pada umumnya) menganggap bahwa belajar akuntansi itu sulit, bikin otak pusing, sakit kepala, sampai diplesetkan akuntansi bikin botak kepala :D. banyak juga yang berfikir bahwa belajar akuntansi itu hanya sekedar menghitung uang khayalan (uangnya tidak beneran ada). Tetapi sebenarnya, kalau kita tahu cara atau triknya, belajar akuntansi itu tidak semembosankan dan seseram kata orang-orang tersebut.
Belajar akuntansi itu bisa mengasyikkan jika:
1. Kita mantapkan niat untuk benar-benar ingin menekuni bidang ini.
2. Kedua, jangan lupa untuk tekun belajar sambil berlatih.
3. Ketiga, ssering-sering sharing dengan teman-teman dan orang yang lebih tau tentang akuntansi, biar wawasan mengenai akuntansi menjadi lebih luas.
4. Keempat, Ingat! Ilmu akuntansi itu sangat bermanfaat bagi kita jika kita menguasainya.
5. Jangan lupa untuk selalu bawa kalkulator (hehehehhe :D)
Manfaat Belajar Akuntansi:
1. Harus kita ketahui bahwa sepanjang perekonomian suatu negara menggunakan uang sebagai alat pembayaran, maka akuntansi itu sangat berperan penting, karena akuntansi mencatat peristiwa-peristiwa yang bersifat keuangan, jadi jika kita bisa menguasai ilmu akuntansi dengan mantap, kita dapat dengan mudah mendapatkan kesempatan dalam berkarir di bidang ini.
2. Kita bisa lebih mengenal bagaimana perusahaan bisa menjalankan kegiatannya, khusunya bagian keuangan.
3. Kita bisa mengelolah sendiri keuangan usaha kita, jika kita mempunyai usaha sendiri.
4. Dan setiap tahun, banyak perusahaan-perusahaan yng terus membuka lowongan pekerjaan untuk seorang akuntan, jadi masa depan seorang akuntan itu sangat menjanjikan loh.
Anyway, masih banyak lagi manfaat ilmu akuntansi loh, jadi gimana? Tertarik untuk menggeluti bidang ini? Kalau gue sih, tertarik banget..

label: en


content:
Capital loss adalah kebalikan dari capital gain, yaitu nilai saham yang dipegang investor akan turun karena terjadi fluktuasi bursa. Kerugian ini baru akan dialami ketika investor menjual sahamnya yang sedang mengalami capital loss. Anda memiliki mata untuk pakaian dan tahu gaya apa yang paling cocok untuk jenis tubuh tertentu. Jadi, ubah gairah Anda terhadap fashion menjadi bisnis rumahan dengan menjadi cara cepat melunasi hutang seorang MUA atau makeup artist. Anda akan merasa senang dengan hobi Anda membuat orang lain terlihat tampak hebat. Orang-orang yang langsing berjalan minimal 5 mil per hari. Kurangnya berjalan kaki akan mengurangi tingkat metabolisme tubuh seseorang.
Tingkat kemurnian emas menjadi hal yang tak boleh terlewat dari perhatian Anda. Kalau memilih investasi emas batangan, pastikan bahwa emas yang Anda beli memiliki tingkat kemurnian 99,99%. Kerja Online Dibayar Dollar Dan Rupiah Puluhan Juta Terbukti 2020.
Cara cepat melunasi hutang - Forex untuk pemula
Ternyata, ada beberapa aplikasi yang bisa diunduh secara cuma-cuma dapat membantu dirimu untuk menghasilkan banyak uang. Yup, beberapa aplikasi ini akan memberikan banyak uang untukmu atas pekerjaan-pekerjaan dan misi-misi yang ada telah selesai dilakukan. Apa saja aplikasi tersebut? Berikut 7 aplikasi mobile phone gratis yang bisa hasilkan banyak uang. Sekarang, tuntutan jasa kepenulisan artikel juga tinggi. Makanya, jangan sia-siakan keahlianmu dalam menulis untuk mendapatkan uang.
Di sini, sebelum kita membahas cara mendapatkan keuntungan di YouTube, anda disarankan untuk memiliki pemahaman yang jelas tentang niche anda terlebih dahulu. Ada berbagai cara mendapat uang dan menghasilkan uang dari YouTube.
Tentu saja, para pakar blogging sangat menyarankan memilih nama domain.com untuk blog kamu. Namun, jika.com tidak tersedia, kamu dapat memilih.net atau.org. Bisa… asal kita bisa jepret foto yang bagus, produk cara cepat melunasi hutang yang sama bisa dibuat jadi beda. Jadi nggak perlu punya banyak produk juga bisa dengan Instagram.
PENTING! BACA 3 PARAGRAF di bawah ini sebelum membaca resep sukses! Menariknya, kamu bisa ikutan survey online ini untuk mendapatkan insentif dengan mudah karena ada platform yang menyediakan hal tersebut. Mereka akan membayarmu bila kamu mengisi survey yang telah disediakan. Platform-platform tersebut diantaranya: ViewFruit, YouGov Indonesia, Clixsense, OpinionWorld, GlobalTestMarket, Mobrog, dan SurveyOn. Menarik, kan? Bagi kamu sebagai seorang pelaku UKM ini jelas adalah peluang yang sangat besar untuk meluaskan bisnis yang kamu tekuni. Alasannya pun sangatlah jelas, karena banyak sekali orang yang memainkan Media Sosial di dunia ini. Pengguna facebook di Indonesia saja sudah lebih dari 75 juta sedangkan Instagram sudah melebihi 30 Juta.
Plus minus menabung emas di Pegadaian yang pertama cara cepat melunasi hutang adalah berat emas yang ditentukan. Menjadi nilai plus dikarenakan berat emas tersebut lebih rendah dibandingkan dengan kredit emas yang berat minimalnya adalah 10 gram. Menjadi nilai minus dikarenakan Anda tidak bisa langsung memiliki emas tersebut. Tabungan emas yang Anda miliki nantinya baru bisa ditukar dengan emas jika nilainya sudah mencapai harga emas 5 gram.
Beristirahatlah saat kau merasa lelah. Segarkan dan perbarui dirimu, tubuhmu, serta semangatmu. Lalu kembalilah bekerja. Ralph Marston.
Sekarang ini kebanyakan rumah di Indonesia sudah menggunakan AC sebagai pendingin ruangannya. Ya.. Walaupun dulu masih jadul dan menggunakan kipas angin dan ilir untuk mendingkan badan, kini semua orang telah beralih pada penggunaan AC. Bagaimana keberadaan Anda saat ini, juga karena melalui masa lalu.
Bemrimpi berhemat agar kamu tidak berhutang menandakan bahwa kamu adalah orang yang sangat berhati-hati. Dan kehati-hatianmu ini akan membuatmu terhindar dari marabahaya dan juga musibah. Selain itu mimpi ini juga menunjukkan bahwa kamu akan memiliki banyak keberuntungan secara finansial. Paper asset adalah aset yang tidak berwujud, berupa kertas atau portofolio. Contoh produk-produk investasi paper asset antara lain surat berharga, reksa dana, saham option, dan derivative lainnya. Pelanggan Zoom naik dari hanya 10 juta di tahun lalu menjadi 200 juta di April 2020. Aplikasi video conference lainnya juga mengalami lonjakan pemakaian.
Strategi Bisnis
Posting sebelumnya & berikutnya
Bagaimana cara dapat uang dari instagram
20 bisnis online menjanjikan
Tinggalkan Balasan Batalkan balasan
Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Bidang yang harus diisi ditandai *
Komentar
Nama *
Surel *
Situs web
Simpan nama, email, dan situs web saya di browser ini untuk lain kali Anda berkomentar.
Anda Mungkin Menyukainya
10 ide usaha modal kecil ini bisa dicoba
09 Mac
Cara menghasilkan uang secara cepat
02 Ogos
Investasi paling pas buat milenial pemula
01 Oktober
Kiriman Terbaru
Cara dapat uang untuk smp
Cara menghasilkan uang dari aplikasi
Membuat model bisnis
Cara dapatkan uang melalui youtube
Aplikasi penghasil uang Indonesia
Tips memulai bisnis
Sabar dalam menabung untuk sukses secara finansial
Aplikasi Android penghasil uang nyata 2020
Bekerja secara online
Platform investasi bagi pemula
Categories
Usaha OnlineCari Uang CepatDapat Uang FreeAnda Bisa SuksesCara Dapat UangDapat Uang Hari IniKiat SuksesCara Jadi Orang KayaCepat Dapat Uang HalalDapat Uang CepatUang Tunai CepatUang Dari InternetCara Dapat Uang CepatStrategi BisnisBisnis CepatCara Lunasi HutangBisnis MudahReksadana SyariahBisnis InvestasiFitur InvestasiAnda Bisa KayaInvestor ObligasiBisnis Air BersihForex Untuk PemulaDapat Uang Gratis Peta Situs


content: Hukum Islam Menggunakan Masker Sperma Menurut Kebanyakan Para Ulama Hukum Dasar Air Mani atau Sperma adalah Suci, dan ada juga […]


content:
Tingkat kesulitan saat membuka kulit buah durian menginspirasi sejumlah siswa kelas 7 Madrasah Tsanawiyah Negeri
“Berawal dari sebuah ide, para siswa lalu melakukan penelitian selama tiga pekan
Kepala MTs Negeri 1 Kota Gorontalo, Karjainto, mengaku bersyukur dan bangga
Hebat! Siswa MTsN 1 Gorontalo Ciptakan Alat Belah Durian
Hebat! Siswa MTsN 1 Gorontalo Ciptakan Alat Belah Durian
Tingkat kesulitan saat membuka kulit buah durian menginspirasi sejumlah siswa kelas 7 Madrasah Tsanawiyah Negeri
(MTsN) 1 Gorontalo untuk menciptakan alat belah buah berduri ini.
Pembina Karya Ilmiah Remaja (KIR) MTsN 1 Kota Gorontalo, Ofyan Nakoda mengatakan, ide membuat alat ini datang dari para siswa karena ingin memudahkan masyarakat Gorontalo, Terutama bagi para pecinta durian, dalam membuka kulitnya. Tidak hanya kulit durian, tapi juga sabut kelapa.
“Berawal dari sebuah ide, para siswa lalu melakukan penelitian selama tiga pekan
. Hasil penelitian itu lalu dituangkan menjadi sebuah alat yang diharapkan dapat memudahkan masyarakat saat akan membelah buah durian dan mengupas sabut kelapa,” jelasnya beberapa waktu lalu.
Menurut Ofyan Nakoda, alat ini masih bekerja secara sistem manual. Namun, proses kegunaannya sudah lebih efektif dan efisien ketimbang dengan penggunaan parang yang selain lama juga tingkat risikonya tinggi saat membelah durian.
Biaya pembuatan alat ini juga terhitung murah. Sebab, desain konstruksi alat ini sangat simple dan praktis. Bahan baku besinya juga mudah didapatkan.
“Saya berharap ke depan kegiatan riset di MTsN 1 Kota Gorontalo bisa mendapatkan dukungan penuh dari Kementerian Agama, baik Kanwil Provinsi maupun pusat,” jelasnya.
Kepala MTs Negeri 1 Kota Gorontalo, Karjainto, mengaku bersyukur dan bangga
atas prestasi dan semangat para siswa dan pembimbingnya untuk melakukan riset yang bermanfaat untuk kepentingan orang banyak.
“Saya atas nama pribadi dan keluarga besar MTsN 1 Kota Gorontalo mengucapkan terimkasih kepada pembina dan seluruh siswa yang telah melakukan risetnya dan telah berhasil menemukan alat pembelah durian,” ucapnya.
Karjianto berharap, budaya riset di Madrasahnya terus tumbuh sebagai bagian dari program pembinaan.
“Dengan riset ini, siswa akan mempunyai pengalaman melakukan penelitian ilmiah dengan langkah-langkah sistematis dan nantinya ketika mereka duduk di bangku perkualiahan, kebiasaan-kebiasaan ini akan dipergunakan,” harapnya.


content:
Pemanfaatan Tomat Sebagai Bahan Obat Jerwat . Bagi sebagian orang khususnya kaum wanita merasa sangat terganggu dengan hadirnya jerwat, apalagi jika jerwat tak kunjung sembuh. Banyak yang salah dalam menangani pengobatannya, sehingga malah menyebabkan jerawat makin subur dan semakin mengganggu penampilan. Bahan alami semisal tomat, adalah jenis obat yang paling aman karena tidak adanya bahan kimia yang mungkin tidak cocok untuk wajah seseorang. Caranya juga gampang, anda hanya perlu memotong tomat kemudian mengoleskan dan menempelkan pada wajah yang ditumbuhi jerwat. Diamkan hingga 15 menit dan lakukan secara rutin selama satu bulan agar wajah anda bersih dari jerawat. penggunaan tomat ini juga bisa mengurangi komedo dan menghilangkan bekas jerawat.
Jika saja wajah tanpa jerawat. Mencari obat untuk menyembuhkan jerawat kamu? klik di sini jual obat jerawat. Untuk info lebih lanjut Kontak Customer service kami, SMS atau Telepon 0878 2121 2040 atau pin bb : 5407C2A9.


content:
Bosan dengan dekorasi dan desain minimalis di rumah Anda? Saatnya ubah tampilan rumah dan bangkitkan suasana hangat ala pedesaan dengan dekorasi gaya rustic untuk ruang tamu Anda!
Dekorasi ruang rustic mampu memberikan suasana yang hangat dengan tampilan yang sangat unik. Nuansa ruang yang khas tersebut didapat dengan menghadirkan unsur dan elemen dekoratif kayu serta perabotan berbahan alami khas desain rustic. Konsep desain yang bertekstur kasar atau tidak halus ini menampilkan material asli berbau alam. Seperti penggunaan batu, kayu dan juga bambu.
Ada beberapa cara untuk menghadirkan kesan rustic di rumah Anda. Pemilihan interior dan penggunaan perabotan berunsur kayu menjadi salah satu syarat mutlak untuk memiliki suasana hangat alami di dalam rumah.
Pilihlah furnitur berbahan kayu tanpa polesan atau finishing, biarkan furnitur memiliki tekstur kasar untuk memberikan kesan natural yang kuat. Anda bisa aplikasikan tekstur kasar pada kursi, meja atau lemari dan yang lainnya.
Kombinasi kayu dan batu alam diyakini menjadi aspek kuat untuk menampilkan dekorasi ala rustic. Kayu dan batu alam akan memberikan rasa hangat karena membuat ruangan terasa gelap dan berat. Untuk kesan lembut dan nyaman, tambahkan cahaya dari jendela atau lampu.
Percantik ruangan ala rustic dengan perabot atau hiasan bertema floral. Tempatkan pajangan bunga di beberapa sudut ruang. Anda bisa menggunakan jenis kaktus atau tanaman hias lainnya.
Eksplorasikan bahan dan kreasikan dekorasi ruang ala rustic dengan bahan-bahan alami. Anda bisa menggunakan hiasan berbahan tanah liat, furnitur dari bambu, hiasan gantung dari kayu, akar pohon hingga batok kelapa.
Pemilihan lampu yang artistik juga mampu menghadirkan suasana rustic yang kuat. Perhatikan model dan material yang digunakan. Pilihlah desain lampu yang tampak tua dengan bahan alami tanpa finishing.
Lampu dengan model dan aksen kayu yang dominan, mampu memberikan kesan rustic. Gunakan lampu sorot ke bagian atas yang akan menghasilkan pencahayaan yang tidak begitu terang namun memberikan suasana dan rasa nyaman pada ruangan.
Setelah kita mengenal dekorasi rustic, kira kira bagian rumah anda manakah yang akan tersentuh dekorasi rustic?
Please follow and like us:
« Cara Menghias Rumah yang Sederhana dan Cukup Mudah
Cara Menghias Rumah yang Sederhana dan Cukup Mudah
by marcomm Jan 20, 2020
Ada banyak alasan mengapa dekorasi rumah menjadi sangat penting. Rumah adalah tempat berlindung, rumah memberikan perlindungan, kenyamanan, dan juga keamanan. Rumah harus dirawat dan diperlakukan sebagai sesuatu yang sangat berharga. Disinilah peran desainer interior menjadi sangat diharapkan. Karena mereka memiliki kemampuan unik untuk dapat mengubah setiap ruang menjadi sesuatu yang dikagumi banyak orang.
Percaya atau tidak, dekorasi interior memiliki relasi yang unik dengan fisiologi dan juga psikologi. Dekorasi erat hubungannya dengan kesehatan dan kebahagiaan. Selain mendapatkan kesenangan dan pesona dari setiap ruang yang didekorasi, banyak sekali manfaat desain interior. Dan saat Anda bisa mengubah setiap ruangan menjadi sesuatu yang dapat manampakan karakter dan kepribadian, ini akan menjadi hal yang sangat luar biasa.
1. Warnai dinding
Mewarnai dinding rumah dapat menjadi salah satu cara tercepat untuk menyegarkan tampilan dan menambahkan banyak hal. Seperti dalam psikologi warna, pertimbangkan pilihan warna cat interior terbaik dan sesuai dengan keinginan.
Walpaper juga merupakan cara termudah untuk menambahkan aksen warna ke dalam ruangan. Tambahkan beberapa wallpaper dengan motif dan aksen warna yang sesuai dan pas dengan tema interior.
2. Furniture vintage
Aspek paling penting dalam desain interior adalah Furniture. Menambahkan furniture baru ke dalam rumah menjadi cara paling praktis dan bisa melahirkan penampilan ruang yang baik, dengan fungsi dan estetika. Tetapi, jika menginginkan efek dramatis, pertimbangkan untuk memasukan beberapa perabotan lama dengan tampilan vintage.
Jangan takut untuk membeli perabotan bekas dari toko barang bekas. Perabotan-perabotan tersebut sangat mudah untuk dicat ulang, diberikan penampilan baru yang bisa Anda sesuaikan dengan preferensi dan juga keinginan Anda. Di samping itu, perabotan lama juga membantu penghematan.
3. Penyimpanan dekoratif
Penyimpanan dekoratif bisa dianggap sebagai solusi canggih untuk menampilkan suasana keterorganisiran sebuah ruang tanpa menegasikan estetika.
Rak unik seperti floating shelves juga bisa menjadi salah satu pilihan untuk mendapatkan solusi penyimpanan sederhana. Mereka bisa digunakan untuk menampilkan dan memamerkan karya seni dan foto tanpa menghabiskan space, terutama pada bagian dinding.
4. Karya seni
Kolase foto membuat rumah benar-benar terasa unik, istimewa, dan menarik. Karya seni ini menjadi cara menghias rumah yang sederhana dan sangat mudah. Ia bisa dilakukan oleh siapa pun.
Satu hal perlu diingat, sesuaikan tema dan pilihan gaya desain dengan karya seni yang digunakan. Salah satu karya seni universal dan mudah untuk dilakukan adalah kolase foto. Kolase menjadi karya seni unik yang dapat membangkitkan emosi, kenangan, bahkan amarah.
5. Pencahayaan dekoratif
Faktor lain yang harus diperhatikan adalah Pencahayaan. Memilih pencahayaan untuk ruangan juga tidak bisa dilakukan sembarang. Hal tersebut harus dilakukan sempurna untuk mendapatkan fungsi maksimal. Namun, selain fungsi, pencahayaan juga memiliki efek dramatis seperti elemen dekoratif lainnya.
Memilih dan merencanakan pencahayaan yang tepat untuk ruangan adalah salah satu bagian terpenting untuk membangun karakter dan mendapatkan suasana positif yang dibutuhkan. Jika Anda menggunakan banyak lampu di dalam satu ruangan, coba variasikan ukuran, warna, dan bentuk lampu untuk mendapatkan pencahayaan terbaik.
6. Gorden dan karpet
Gorden dan karpet menjadi aspek desain selanjutnya yang sangat mudah digunakan untuk menghias rumah. Memasangnya pun hanya memerlukan keahlian sederhana.
Mendekorasi ruang dengan karpet memiliki fungsi ganda; ia mampu menutupi lantai yang tidak menarik atau kotor, dan juga dapat menambahkan pola ke bagian lantai.
Itulah beberapa cara menghias rumah yang sederhana dan mudah. Sudah sepatutnya Anda memperlakukan rumah selayaknya. Ia adalah tempat terbaik dari yang paling baik sekali pun.
Please follow and like us:
« 5 Cara Membuat Taman Minimalis Belakang Rumah Jadi Menawan
Dekorasi Rustic, Membuat Unik Rumah Anda »
Warna Cat Rumah yang Akan Hits di Tahun 2020
by admin Jan 16, 2020
Seperti yang kita ketahui trend dari tiap tahun selalu berbeda, baik dari tren fashion, tren gadget, hingga serba-serbi hunian seperti dekor, taman, model rumah maupun warna. Dan kali ini kita akan membahas tentang trend warna yang akan popular ditahun 2020.
Salah satu elemen penting dalam rumah adalah warna agar rumah lebih menarik perhatian. Dengan mengganti warna cat rumah, kamu bisa merasakan nuansa rumah yang baru agar tidak jenuh. Warna juga bisa menjadi pelengkap konsep yang dapat menjadi acuan dalam menghadirkan hunian yang nyaman.
Di tahun 2020 ini, warna cat rumah yang diperkirakan akan menjadi tren adalah warna-warna yang identik dengan sifat ramah, ekspresif, dan juga yang menunjukkan modernitas dengan twist yang menarik. Warna ini menunjukkan nuansa optimis dan juga kebahagiaan. Kira kira seperti apa warna warnanya, yuk kita simak dibawah ini!
1. Warna Kuning Saffron
Kode warna kuning saffron ini bisa memberikan kesan brilian pada ruangan. Warna yang didominasi warna kuning ini bisa menciptakan nuansa hangat, ekspansif, dan membangkitkan semangat. kita bisa menggunakan warna kuning saffron ini untuk ruang tamu, dapur, atau ruang makan agar bisa menciptakan kesan menggembirakan dan sikap kehidupan sosial yang seru.
2. Warna Biru Klasik
Kode warna biru klasik ini memiliki kesan bebas pada sebuah ruangan seperti langit yang terbuka. Warna ini bisa memberikan semangat, inspirasi, dan juga sikap pembaharuan. Kamu bisa menerapkan warna biru klasik ini untuk kamar tidur atau kamar mandi karena sifat warna biru yang menenangkan.
3. Warna Coral Pink
Warna coral pink bisa memberikan kesan yang tenang dan hangat pada sebuah ruangan. Selain itu, aura yang dibawa oleh warna ini juga melambangkan asmara yang bergelora. Kode warna coral pink ini sangat ideal untuk ruangan seperti kamar tidur atau ruang keluarga dengan tambahan dekorasi atau lampu hias dengan warna yang senada.
4. Warna Cinnamon Stick
Kode warna cinnamon stick atau kayu manis, memiliki kesan yang manis tapi juga berkesan tegas dan kuat. Warna ini melambangkan sebuah fondasi dan kekuatan hidup karena memiliki padanan warna dengan unsur bumi. Selain itu warna ini juga bisa memberikan kesan yang modern, canggih, dan mewah karena kedekatannya dengan warna emas. Kamu bisa menerapkan warna ini untuk ruang tamu agar menciptakan kesan elegan di rumah.
5. Warna Ashatau Abu-abu
Kode warna ash atau abu-abu bisa dibilang sebagai warna yang tak lekang oleh waktu. Kode warna ini juga tergolong ke dalam warna yang netral dan memiliki kesan tenang, bersih, dan luas. Jika kamu ingin menciptakan nuansa yang sederhana, formal, dan modern, kamu bisa menggunakan kode warna ini untuk hunianmu, misalnya untuk ruang dapur atau bahkan eksterior rumah.
6. Warna Orange Peel
Nah, kalau untuk kode warna orange peel ini, kamu bisa menciptakan energi yang positif, kuat, hangat, dan flamboyan atau megah. Selain itu, warna dari perpaduan antara warna merah dan kuning ini juga bisa memberikan kesan percaya diri pada penghuni rumahnya, lho! Kamu bisa menggunakan kode warna ini untuk ruangan seperti dapur atau kamar tidur.
Setelah mengetahui kode warna apa saja yang akan ngetren untuk cat rumah di tahun 2020, pasti rasanya jadi tidak sabar ya untuk menyambut tahun baru dengan mengubah warna cat rumahmu. Selamat mengganti warna rumahmu!
Please follow and like us:
« Mau Membuat Indoor Garden? Perhatikan Hal Ini
Manfaat Menggunakan Keramik Granit »
Mau Membuat Indoor Garden? Perhatikan Hal Ini
by admin Jan 14, 2020
Memiliki hunian minimalis tak bisa menciptakan unsur hijau di rumah? Kini ada konsep indoor garden atau taman dalam rumah yang semakin populer. Oleh karena itu, konsep ini akan semakin menarik untuk dibahas dan bisa dijadikan inspirasi untuk kita realisasikan.
Keuntungan dari indoor garden
Ada banyak sekali keuntungan yang bisa didapatkan dari berkebun di dalam ruangan. indoor garden tak memerlukan banyak ruang untuk bisa bertahan hidup. Kamu bahkan bisa meletakkannya di sudut ruangan, kusen jendela, atau di balkon. Tanaman yang diletakkan di dalam rumah tersebut juga akan mengeluarkan oksigen untuk membersihkan sirkulasi udara di rumah. Apabila biasanya kamu hanya mengandalkan AC untuk membersihkan udara, makan tanaman indoor bisa mengganti peran AC. Bukan hanya itu, tanaman indoor juga menambah estetika rumahmu.
1. Menyiapkan spot khusus untuk tanaman
Letakkan tanaman di tempat yang tidak menghambat pergerakan penghuni rumah, terutama jika kita memiliki anak kecil di rumah. Pertimbangkan akses cahaya alami yang masuk, sebab kita menggunakan tanaman asli dimana sinar matahari juga sangat penting untuk menjaga pertumbuhan tanaman itu sendiri.
(sumber gambar : http://marsciano.info/small-indoor-garden/indoor-garden-ideas-gardening-kit-for-small-apartments-herb-spaces/ )
2. Jangan asal menggunakan media tanam
TIdak disarankan menggunakan tanah yang biasa kita gunakan untuk berkebun karena terdapat banyak serangga di dalamnya. Media tanam untuk tanaman hias indoor mesti mempunyai karakter porous, yang bisa menahan sedikit air. Media tanam yang pas yaitu sekam bakar, cacahan pakis, cocopeat atau kombinasi sesuai dengan tipe tanaman hias yang bakal ditanam. Dibutuhkan juga tambahan humus daun atau pupuk kandang yang sudah diolah.
3. Berikan nutrisi organik
Sangat disarankan untuk menggunakan nutrisi Hidroponik atau kompos buatan rumah sebagai gantinya. Sebab beberapa tanaman indoor seperti lidah buaya, sri rejeki, dan sirih gading tidak tumbuh di tanah. Kita perlu memberikan dorongan nutrisi alami dengan menambahkan pupuk organik.
4. Meletakkan tanaman dengan posisi pencahayaan terbaik
Seperti yang sudah kita bahas di point 1, proses pencahayaan sangat penting untuk fotosintesis yang membantu tanaman menumbuhkan dedaunan yang sehat dan menghasilkan buah. Jika kita tidak memiliki spot yang cukup pencahayaan, gunakan lampu khusus untuk menyelesaikan masalah ini. Pastikan lampu tersebut memiliki panjang gelombang yang sama dengan matahari, tidak terlalu terang atau terlalu kusam.
5. Memastikan tanaman mendapatkan kelembaban cukup
Kurangnya kelembaban dapat menyebabkan tanaman layu dan kehilangan daunnya. Ada cara-cara kreatif untuk memberikan kelembaban yang cukup untuk tanaman dalam ruangan. Tempatkan tanaman bersama-sama sehingga mereka bisa mendapatkan kelembaban satu sama lain. Penguapan adalah sumber kelembaban yang luar biasa bagi tanaman. Menempatkan nampan air di sebelah tanaman juga memberikan efek lembab. Kamu juga dapat menempatkan air di sebelah tanaman.
(sumber: https://www.theodysseyonline.com/4-ways-investing-in-houseplants-can-help-you )
6. Perhatikan temperatur ruangan dengan jenis tanaman
Tanaman membutuhkan suhu yang tepat untuk tumbuh dan matang. Suhu dingin dapat menyebabkan daun menguning sementara suhu panas dapat menyebabkan pertumbuhan terhambat. Teliti terlebih dahulu tentang suhu yang tepat untuk jenis tanaman yang ingin ditanam dan sesuaikan dengan kebutuhan.
7. Pilih tanaman yang sesuai dengan ukuran ruangan
Setelah saatnya untuk memilih jenis tanaman yang ingin ditanam. Apabila ruang yang tersisa kecil, maka hindari tanaman yang bisa tumbuh terlalu besar karena akan memakan ruang bergerak penghuni rumah. Tanaman untuk indoor garden bisa termasuk bunga, herbal, buah-buahan, pohon bonsai, dan sayuran.
Please follow and like us:
« Kenali PBB Lebih Detail
Warna Cat Rumah yang Akan Hits di Tahun 2020 »
Yin Yang Yoga Di Kota Lama
by admin Sep 14, 2019
Meskipun Yoga sudah berumur ribuan tahun, Ternyata Yoga di zaman modern ini masih sangat digemari tidak hanya sekadar olahraga, yoga menjadi salah satu bentuk latihan olahtubuh dan nafas yang banyak digemari dan bahkan sudah menjadi lifestyle/gaya hidup. Yoga adalah the living science karena hampir seluruh aspek kehidupan dapat dikaitkan dengannya.
Manfaat latihan yoga antara lain untuk meningkatkan fungsi kerja kelenjar endokrin, meningkatkan sirkulasi darah ke seluruh tubuh, memperbaiki postur tubuh, mengurangi ketegangan tubuh, pikiran, dan mental sehingga bisa mengatasi stres.
Berawal dari semangat untuk ikut memasyarakatkan yoga, Rotary Club of Semarang Bojong dan Rotary Club of Semarang Indraprasta menyelenggarakan Yin Yang Yoga di Kota Lama dan POJcity ikut serta dalam mensupport acara ini. Acara yoga ini dibawakan oleh instruktur Yoga asal Semarang yaitu Nike Oei dan Imelda Artino.
Sosialisasi Product POJcity
Image 1 of 3
Please follow and like us:
« indAAC Jateng 2019
BMW Fahrer Vision 2019 »
Agent Gathering POJcity
by admin Jul 12, 2019
Dalam rangka pengenalan produk dan pengenalan management, POJcity mengundang Agen agen properti terbaik yang ada di Semarang. Penjelasan detail dari konsep “kota Impian Tepi Laut” hingga detail tehnis yang ada di POJcity
Agen Gathering
Image 1 of 6
Please follow and like us:
« Penandatanganan Kerja Sama oleh BINUS SCHOOL dan POJcity
Soft Launching Cluster IBIZA »
6 Tips Membeli Rumah Bagi Keluarga Muda
by admin Mar 07, 2019
Membeli rumah pasti terdapat dalam daftar prioritas para pasangan muda, yang baru menikah. Tapi tentu Anda tahu bila urusan membeli rumah, apalagi untuk pertama kali, bukanlah perkara mudah.
Read More
Please follow and like us:
« Cara Menghitung Biaya KPR dan Cicilannya
Pilih Pembayaran Cara Hard Cash, Soft Cash, atau KPR? »
Hi,
1
butuh bantuan?
Powered by Join.chat
Hallo, ada yang bisa kami bantu?
Pearl Of Java
POJcity (Pearl Of Java) adalah persembahan terbaru dari pengembangan IPU Land yang merupakan salah satu pengembang properti terbesar di Jawa Tengah yang diluncurkan pada tahun 2019.


content:
Tulisan ini ingin merespon secara lengkap diskusi saya dengan @strategi_bisnis di Twitter tentang pro kontra konsumsi bacaan digital versus kertas. Mana yang lebih ramah lingkungan?
Menurut @strategi_bisnis alias Mas Yodhia, perdebatan apakah bacaan digital lebih ramah lingkungan belum sampai pada konklusinya.
Ia memaparkan bahwa kerugian lingkungan dari gadget dan turunannya tidak kalah dibandingkan dengan konsumsi koran yang meluluhlantakkan hutan-hutan kita itu.
Ia juga memberikan rasio jika konsumsi buku digital minimal 40 per tahun, bisalah dikatakan itu sudah cukup hijau alias ramah lingkungan.
Konsumsi digital saya rata-rata 2-3 buku per bulan, 5-10 majalah per bulan, dan 2 koran perhari. Itu sudah “green” rasionya menurut Mas Yodhia.
Sebenarnya, saya menempuh jalan ini bukan karena alasan suka atau tidak suka. Jujur, membaca buku kertas tetap lebih nyaman daripada digital.
Ini beberapa alasan saya:
1. Gaya hidup minimalis. Sebagaimana sering saya tulis di blog ini, saya sedang belajar mempraktekkan gaya hidup sederhana atau minimalis di rumah. Artinya, meminimalisir tumpukan-tumpukan (clutter) tak berguna di rumah. Salah satu clutter yang paling membuat saya tertekan adalah tumpukan koran, majalah yang terus menggunung. Tumpukan buku juga sudah tak memiliki rak yang layak lagi. Bahkan raknya sudah menjajah wilayah kamar tidur dan dapur. Apakah saya harus menambah rak buku lagi? Saya tidak mau.
2. Praktis. Jelas bacaan digital sangat mudah didapat, cukup bayar dan download. Membacanya bisa di mana saja dengan media apa saja. Jika hard disknya tidak cukup, saya tinggal hapus dan download lagi jika diperlukan. Dan, buku itu tidak akan pernah rusak atau hilang
3. Ramah lingkungan. Tetap saya berkeyakinan bahwa konsumsi bacaan digital itu lebih ramah lingkungan, pada skala konsumsi tertentu. Plus, biaya ikutannya juga termasuk, misalnya biaya distribusi. Bayangkan, majalah Inc yang dicetak di luar negeri itu harus naik pesawat ribuan kilometer plus distribusi di daratnya.
Kesimpulan, alasan utama saya mengkonsumsi bacaan digital itu adalah yang nomor 1 di atas. Selebihnya adalah alasan yang dicari-cari dan biar lebih gaya. Hehehe…


content:
Home brokoli kandungan sayur manfaat sayur sayuran segar warna sayuran Khasiat Brokoli Untuk Kesehatan
Khasiat Brokoli Untuk Kesehatan
Brokoli, sayuran berwarna hijau dengan bentuk berkerut-kerut dan terkesan seperti rambut Kribo ini sangant mudah untuk mengingatnya.
Brokoli memiliki nama latin Brassica Oleracea. Brokoli merupakan tanaman sayuran yang termasuk dalam suku kubis-kubisan (Brassicaceae). Oleh bangsa Yunani kuno, tanaman yang berasal dari daerah timur tengah ini sudah sejak lama dibudidayakan. Dan sayuran yang mengandung banyak vitamin C ini mulai dikenal di Indonesia sekitar tahun 1970-an. Sampai saat ini brokoli sudah sangat popular sebagai bahan pangan.
Sudah sejak lama jenis sayuran yang mirip dengan kembang kol ini dipercaya memiliki khasiat yang sangat besar bagi kesehatan tubuh. Salah satunya adalah untuk mengatasi segala urusan lambung. Seperti sayuran lainnya, brokoli kaya akan provitamin A atau karotenoid, vitamin E, asam folat dan vitamin C. Menurut beberapa pakar kecantikan, vitamin A pada brokoli mengandung antioksidan yang lebih baik dibandingkan antioksidan yang dimiliki oleh vitamin C. Selain itu, manfaatnya pada peremajaan kulit sangat baik karena revitalisasi evitel vitamin A dapat menghambat dan memperlambat penuaan pada kulit. Itu adalah salah satu dari sekian manfaat brokoli. Berikut beberapa ulasan mengenai manfaat brokoli serta cara mendapatkannya.
Mengatasi Semua Masalah Lambung
Brokoli bermanfaat untuk mengatasi sembelit. Dari masalah yang paling ringan. Brokoli mengandung nutrisi, fivonoid, dan serat. Seperti kita tahu bahwa serat dibutuhkan oleh tubuh untuk memperlancar proses pencernaan. Dan serat pada brokoli dapat mencegah timbulnya konstipasi atau yang lebih dikenal dengan sebutan sembelit.
Penelitian terbaru dan lebih spesifik memberikan gambaran bahwa brokoli mampu menekan resiko beragam gangguan pencernaan seperti maag, infeksi lambung, dan kemungkinan kanker perut. Dalam sebuah studi di Jepang, para ahli menemukan fakta bahwa mengonsumsi 70 gram brokoli segar setiap hari selama 2 bulan dapat melindungi menusia dari bakteri perut yang terkait penyakit maag, infeksi lambung, dan kanker perut. Zat yang terdapat dalam brokoli yang paling penting untuk mencegah urusan lambung adalah sulforaphane juga mampu meningkatkan produksi enzim di hati. Enzim ini berperan menggandeng bahan-bahan karsinogen (menyebabkan kanker) yang dan mengeluarkannya dari sel. Selain itu, sulforaphane memiliki kemampuan untuk membunuh Helicobacter pylori (kuman pengganggu kerja lambung). Dan dalam dunia medis, kuman tersebut adalah penyebab utama luka dan kanker dan lambung.
Mencegah kerusakan sel pembuluh darah pada penyakit diabetes. Selain untuk urusan lambung, peneliti dari Universitas Warwick meyakini jika sulforaphane memiliki peran dalam memulihkan kembali pembuluh darah yang rusak akibat tingginya kadar gula darah (hiperglikemia), yang berkaitan erat dengan diabetes.
Alzheimer adalah bentuk dementia (berkurangnya ingatan) yang paling umum ditemui di kalangan orang tua. Penyakit aktivitas sehari-hari penderitanya. Sebenarnya sudah sejak lama brokoli diyakini memiliki peranan penting untuk menyembuhkan penyakit tersebut. Banyak peneliti yang menduga bahwa brokoli mengandung senyawa antiacetylcholinesterase. Dalam penelitian yang dilakukan oleh King College di London, brokoli dianggap memiliki sifat antiacetylcholineaterase paling kuat.
Cara Mengambil Manfaat dari Brokoli
Untuk mendapatkan manfaat yang sudah disebutkan di atas, tentunya tak lantas begitu saja Anda bisa membeli brokoli dan mengonsumsinya. Kemudian berharap mendapatkan manfaatnya. Brokoli yang bagus memiliki warna hijau gelap dan bertekstur jelas kasar.
Ada beberapa cara untuk mengonsumsi brokoli, supaya Anda tetap mendapatkan manfaat bagi kesehatan. Bila Anda menyukai sayuran segar, brokoli bisa Anda konsumsi langsung. Atau bisa juga Anda jadikan sebagai salah satu isi lalapan dan juga dicampur dengan sayuran lain untuk salad. Pilihan lain, Anda bisa mengonsumsi brokoli dalam bentuk jus.
Bila Anda tak terlalu suka mengonsumsi langsung, Anda bisa memilih untuk merebus terlebih dahulu. Namun perlu diperhatikan, sebaiknya Anda tak mengukus atau merebus brokoli lebih dari 5 menit 1 inchi di atas air mendidih. Karena kandungan sulforaphane bisa hilang bila brokoli terlalu lama dimasak. Dan perlu diketahui, kandungan sulforaphane dalam brokoli segar lebih tinggi dibanding pada brokoli yang direbus atau kukus terlalu matang.
Bila ingin mencuci brokoli, sebaiknya Anda lakukan dengan mencucinya pada air kran yang dingin. Dan sebaiknya Anda jangan merendam brokoli karena zat aktif maupun nutrisinya dapat larut dalam air.
(Genie/Genie/tty/okezone.com)
Advertisement
Baca juga:
Admin Februari 21, 2011 brokoli, kandungan sayur, manfaat sayur, sayuran segar, warna sayuran
Share this post, please!
Share this with short URL:
Get Short URL
Next Post
Previous Post
Next Post
Previous Post
Buka Komentar
Tutup Komentar
Facebook
Blogger
Disqus
Pilih Sistem Komentar
Tidak ada komentar
Popular Posts
Cerita Mudik Arus Balik Padang - Jakarta Lewat Jalur Lintas Tengah Sumatera 2019
Setelah hampir dua mingguan di kampung halaman, tibalah waktunya untuk kembali ke perantauan yaitu Jakarta. Sebelumnya saya juga menulis per...
Pengalaman Mudik 2019 Jakarta Padang Konvoi 17 Mobil Lewat Jalur Lintas Barat with RTS Community
Mudik ke Padang atau tepatnya ke Solok memang gak pernah membosankan bagi Kami. Momen setahun sekali yang selalu ditunggu-tunggu. Selalu ...
Cara Menambahkan Sitemap Blog ke Google Search Console
Salah satu cara agar blog atau website kita dengan mudah di indeks oleh google adalah dengan menambahkan sitemap pada Blog ke Google Search ...
Mudik Bareng Jakarta - Padang Lewat Lintas Barat Sumatra (Road to Sumatra 4) 2018
Alhamdulillah.. tahun 2018 kami masih diberi kesempatan oleh Allah Subhanahu wa Ta'ala untuk mudik bareng ke Sumatera lagi ke kampung h...
Arus Balik, Mudik Padang - Jakarta Lewat Lintas Timur Sumatra 2018
Setelah puas berlebaran di kampung halaman padahal bulan puas :(, tibalah saatnya untuk balik kembali ke perantauan yaitu Jakarta. Kami memu...
Cara dan Rincian Biaya Balik Nama Mutasi Motor dan Mobil
Balik nama sebuah kendaraan baik itu mobil ataupun motor biasanya banyak dilakukan bagi pemilik mobil second saat ini. Apalagi untuk membeli...
Mudik Bareng Jakarta - Padang Lewat Lintas Tengah Sumatra (Road to Sumatra 3) 2017
Konvoi Bareng Road to Sumatera Grup 21 Seru, Mudik Jadi Berasa Touring! Cihuyy...Mudik lagi! Ini adalah kali ketiganya kami pulang kampung...
Touring Perdana Road To Sumatra Community Goes to Ciletuh Geopark
Ini adalah touring pertama Road to Sumatra (RTS) sejak berdiri pada tahun 2015 yang dipelopori oleh Om Sony . Awalnya dari mudik bareng ke s...


content:
Halodoc, Jakarta – Pekerja kantoran umumnya lebih banyak menghabiskan waktu dengan duduk alias kurang bergerak. Kebanyakan pekerjaan memang harus diselesaikan dengan perangkat, seperti laptop dan telepon, sambil duduk di ruangan atau meja kerja. Namun tahukah kamu, hal ini ternyata bisa meningkatkan risiko gangguan kesehatan menyerang.
Jarang bergerak nyatanya bisa memicu dampak negatif. Kurang melakukan aktivitas fisik disebut bisa meningkatkan risiko berbagai penyakit kronis menyerang. Orang yang jarang bergerak dalam satu hari disebut memiliki risiko lebih tinggi terserang penyakit diabetes, menurunkan kinerja otak, meningkatkan risiko kolesterol tinggi, hingga risiko penyakit kardiovaskular serta mempercepat penuaan.
Baca juga: Awas! Kolesterol Tinggi Picu Berbagai Penyakit
Menghindari Efek dari Kurang Gerak saat Bekerja
Gaya hidup yang membuat seseorang jarang melakukan gerak fisik disebut dengan sedentari. Kebanyakan orang yang menjalani gaya hidup ini adalah pekerja kantoran yang hampir sepanjang hari duduk di depan laptop atau meja kerja. Perjalanan menuju kantor pun umumnya ditempuh dengan duduk. Kamu termasuk orang yang menjalani gaya hidup ini? Waspadai dampaknya!
Kurang gerak saat bekerja bisa meningkatkan risiko berbagai penyakit menyerang. Hal ini terjadi karena kurang bergerak bisa menyebabkan konsentrasi menurun, gangguan fungsi kognitif, resistensi insulin, gangguan tulang, hingga memicu osteoporosis. Meski begitu, bukan berarti pekerja kantoran yang jarang gerak tidak bisa mencegah hal ini.
Baca juga: Bagaimana Mengenali Gejala Serangan Jantung?
Jarang bergerak atau melakukan aktivitas fisik bisa menyebabkan penurunan sistem metabolisme. Hal ini berlawanan dengan sistem yang sudah dirancang untuk tubuh manusia. Alhasil, sejumlah sistem yang ada di tubuh pun menjadi kacau dan berdampak pada tidak seimbangnya gula darah, tekanan darah, serta kadar kolesterol di dalam darah.
Orang yang terlalu banyak duduk juga bisa mengalami gangguan pada postur tubuh, serta memicu gangguan pada punggung, leher, lengan, dan pergelangan tangan. Munculnya gangguan pada bagian tubuh tersebut bisa memicu rasa nyeri yang sangat mengganggu. Sayangnya, hal ini sering disalahartikan dan dianggap bisa hilang dengan konsumsi obat.
Mencegah, bahkan mengatasi gangguan kesehatan akibat jarang gerak adalah dengan mengubah gaya hidup yang dijalani. Jika pekerjaan mengharuskan kamu banyak duduk, cobalah untuk sesekali “mencuri” waktu untuk melakukan peregangan atau aktivitas fisik. Saat ingin ke toilet, kamu bisa coba untuk melewati jalan berputar atau saat makan siang, biasakan untuk membeli sendiri makanan ke luar daripada memesan secara online atau meminta tolong pada teman.
Dengan begitu, tubuh akan lebih banyak bergerak, sehingga risiko gangguan penyakit pun bisa dihindari. Kamu juga bisa mencoba untuk melakukan pekerjaan di standing desk atau meja yang lebih tinggi, sehingga memungkinkan untuk bekerja sambil berdiri. Jika sudah kelamaan duduk, cobalah untuk berjalan mengelilingi kantor, sekadar untuk mencari ide atau menghirup udara segar.
Hal ini juga berguna untuk menghindari gangguan penglihatan akibat terlalu lama menatap layar komputer. Mengambil beberapa menit untuk berjalan dan memandang jauh ke langit biru bisa membantu menurunkan risiko gangguan penglihatan. Selain itu, selalu sempatkan untuk berolahraga setidaknya 1 jam per hari, sebelum berangkat kerja atau pada malam hari setelah pulang kantor.
Baca juga: Hati-hati, Ini yang Bisa Terjadi jika Terlalu Banyak Duduk
Punya masalah kesehatan dan butuh saran dokter? Pakai aplikasi Halodoc saja. Kamu bisa dengan mudah menghubungi dokter melalui Video/Voice Call dan Chat. Dapatkan informasi seputar kesehatan dan tips hidup sehat dari dokter terpercaya. Yuk, download Halodoc sekarang di App Store dan Google Play!
Referensi:
NCBI. Diakses pada 2020. Effect of Work-Related Sedentary Time on Overall Health Profile in Active vs. Inactive Office Workers.
Scientific American. Diakses pada 2020. Interactive Body Map: Physical Inactivity and the Risks to Your Health.