4-DIMENSIONAALISEN HILJAISEN POINCARE-OLETUKSEN TODISTUS PDE:n ALGEBRAAISESSA TOPOLOGIASSA 

4-ulotteinen sileä Poincarén olettamus on todistettu seuraavassa työssä:

[1] A. Prástaro, Exotic PDE's. Matematiikka ilman rajoja: Surveys in Interdisciplinary Research. (Eds. P. M. Pardalos and Th. M. Rassias.) Springer-Heidelberg New York Dordrecht London (2014), 471532. ISBN 978-1-4939-1124-0 (painettu) 978-1-4939-1124-0 (eBook). 
DOI: 10.1007/978-1-4939-1124-0. arXiv: 1101.0283[math.AT].

Täydentäviä tietoja on myös seuraavissa teoksissa:

[2] A. Prástaro, Exotic heat PDE's. Commun. Math. Anal. 10(1)(2011), 64-81. arXiv: 1006.4483[math.GT]. 

[3] A. Prástaro, Exotic heat PDE's.II. Essays in Mathematics and its Applications. (Dedicated to Stephen Smale.) (Eds. P. M. Pardalos and Th. M. Rassias.) Springer-Heidelberg New York Dordrecht London (2012), 369419. ISBN 978-3-642-28820-3 (painettu) 978-3-28821-0 (verkkojulkaisu). DOI: 10.1007/978-3-642-28821-0. arXiv: 1009.1176[math.AT]. 

Menetelmänä käytetään PDE:iden algebrallista topologiaa, jonka A. Prástaro muotoili useissa varhaisissa julkaistuissa teoksissa, jotka koskivat PDE:iden geometrista teoriaa ja niiden globaalien ratkaisujen luonnehdintaa sopivien bordismiryhmien avulla.

Erityisesti teoksissa [1] ja [2] on osoitettu seuraava lause.

Teoreema [Integraalinen h-kobordismi Ricci-virtauksen PDE:ssä]
Ricci-virtauksen yhtälö n-ulotteisille Riemannin moninaisuuksille sallii, että n-ulotteisesta pallosta S^n alkaen voimme dynaamisesti saapua äärellisessä ajassa mihin tahansa n-ulotteiseen homotopiasfääriin $M$. Kun tämä toteutetaan sileällä ratkaisulla eli ratkaisulla, jolla on ominaisvirtaus ilman singulaarisia pisteitä, S^n on diffeomorfinen M:n kanssa. Muut homotopiasfäärit \Sigma^n, jotka ovat homeomorfisia vain S^n:n kanssa, saavutetaan singulaaristen ratkaisujen avulla.
Erityisesti, jos n on 1,2,3,4,5,6, on myös todettava, että mikä tahansa sileä n-ulotteinen homotopiasfääri M on diffeomorfinen S^n:n kanssa. Erityisesti tapaus n=4 liittyy todisteeseen siitä, että sileä Poincarén olettamus on totta.