"

Alkeisalgebra saattaa selittää lukijoille tietyt keskeiset kompleksilukujen ideat varsin hyvin, mutta esitän ne vain keskustelua varten.  Argandin diagrammit tekivät kompleksiluvuista kunnioitettavia.  Nämä kaaviot ovat metaforia, kaukana täsmällisistä, imaginaarikentästä, jotka kuitenkin esiintyvät artikkelissa. Imaginaariluvut eivät ole vielä pisteitä.  Keith Devlin kirjoitti ""koska kompleksiluvut eivät ole pisteitä viivalla, ei voi sanoa, kumpi kahdesta kompleksiluvusta on suurempi; kompleksiluvuille ei ole olemassa tällaista käsitettä""." Silti hän totesi myös ""On kuitenkin olemassa jonkinlainen käsite suuruus.  Kompleksiluvun a + bi absoluuttinen arvo on etäisyys origosta lukuun.""" [Devlin, Keith, Matematiikan kieli: Making the Invisible Visible Macmillan, 2000: 133. } Desmond Fearnley-Sander selittää, että ""Geometriselta kannalta kompleksiluvut eivät ole pisteitä vaan vektoreiden suhteita.""". [Fearnley-Sander, Desmond, Plane Euclidean Reasoning, in Automated Deduction in Geometry, 2nd International Workshop, ed. Gao, X, et. al, Beijing, China 1998, Google eBook: 108] Ne ovat kellon viisari, joka osoittaa tuntiin, ei tuntipiste. 

Tämän logiikan mukaisesti on parempi tarkastella kompleksivektorin alla pyörivää tasoa kuin itse vektoria.  Näin vältytään kompleksiluvun sijainnin vaihtelevuudelta: se on ikään kuin tason vika.  Haluatko, että tämä perustuu matemaattisiin perusteisiin?  Katso vain Riemannin hypoteesia.

Riemann laajensi Eulerin zeta-funktiota, jonka Euler kehitti prime-lukujen löytämiseksi, kompleksilukujen määrittelyyn.  Riemann halusi todistaa Eulerin arvelun, jota vastaan hän hyökkäsi ratkaisemalla kompleksisia ratkaisuja funktiolle f(zeta) = 0. Riemann havaitsi, että x + iy:llä, jossa x on välillä 0 ja 1, on äärettömän monta ratkaisua.  Hän ehdotti, että ne kaikki (lukuun ottamatta negatiivisia parillisia kokonaislukuja) ovat muotoa 1/2 + iy.  Tietokonetesteissä havaittiin, että ensimmäiset 1,5 miljardia f(z) = 0 (nimeltään z(s)) ratkaisua sijaitsevat kompleksitasossa suoralla x = 1/2.  Induktiiviset todisteet eivät kuitenkaan todista matemaattisesti mitään, ja Riemannin hypoteesi on edelleen ehkä aikamme tärkein ratkaisematon ongelma.

Ainoa z(s):n singulariteetti on yksinkertainen napa kohdassa s eli 1. Ei ole mitään syytä olettaa, että kompleksiluvut ovat pisteitä.  En usko, että tämä on epätyypillistä. Se on syvällistä ja dokumentoitua.
Brian Coyle"