"

 Jaksojen pullback vs. nippujen pullback 

Itse asiassa tässä artikkelissa ja itse asiassa monissa kirjoissa on eräs hienovarainen asia, joka on väärin (tai jota ei korosteta, vaikka uskonkin, että se johtuu siitä, että kaikki oppivat sen tällä tavalla). Kyllä, tiedän, että jos se on väärin, voisin vain päivittää sen itse; mutta näyttää siltä, että tämä vaatii hieman uudelleenjärjestelyä, jota en nyt oikein jaksa selvittää, ja siksi on parasta, että annan lyhyen lausunnon asiasta tässä. On myös jo paljon yli nukkumaanmenoaikani, joten jos joku haluaa auttaa, kun nukun, olkaa hyvä vain.

Ongelmana on terminologinen sekaannus, joka johtuu siitä, että termiä pullback käytetään eri (mutta toisiinsa liittyvistä) asioista. Jos f M → N on sileä kartta, ei yleensä ole olemassa sileää nippukarttaa T*N:stä T*M:ään (ellei f ole diffeomorfismi). On olemassa pistemäinen kartta yksittäisten kolotangenttiavaruuksien f*p Tf(p) N → Tp M jokaiselle p:lle, joka on määritelty operaatiolla, jossa käytetään vektorin työntövoimaa vastaavassa tangenttiavaruudessa (se on yksittäisten tangenttiavaruuksien työntövoiman transpositio). Mutta yleiselle pisteelle q N:ssä emme voi vetää takaisin M:ään, ellei meillä ole keinoa valita pistettä f-1(q):ssa (mikä on erityisen ongelmallista, jos f ei ole onto...). Voimme kuitenkin vetää takaisin kootangenttisen nipun (ts. kovektorikentän, ja tämä pätee yleisesti kovariantteihin tensorikenttiin) leikkauksia. ""Pullback"", josta kaikki puhuvat, on kartta N:n kovektorikentistä M:n kovektorikenttiin, toisin sanoen, kun ω on annettu: N → T*N jakso, määrittelemme f*ω M → T*M seuraavasti

jossa f*p on vain edellä määritelty pistemäinen pullback. Tämä on aina hyvin määritelty. Huomaa, että tämä on juuri päinvastainen ongelma kuin vektoreiden ja niiden kenttien (ja yleensä kontravarianttien tensorikenttien) tapauksessa: siinä tapauksessa on olemassa pushforward, joka on tangenttikimppujen sileä nippukartta, mutta yleensä vektorikenttä ei työnny eteenpäin, ellei kartta ole diffeomorfismi. Useissa kirjoissa on huomautettu, että koobjekteilla näyttää olevan tämä ihmeellinen lisärakenne, että ne pystyvät vetämään leikkauksia taaksepäin. Mitä todella tapahtui, on se, että se luopui kyvystä indusoida sileä nipun kartta nippujen prosessissa, mikä palauttaa yhden näkökohdan ""dualismista"", joka näyttää rikkoutuneen, kun käsitellään tätä aihetta."".