"

Leejc on täysin oikeassa. Hän ilmaisi paremmin sen, mitä yritin sanoa kesäkuussa 2007. Mutta vaikka olenkin samaa mieltä hänen lopullisesta johtopäätöksestään, ei ole aivan oikea argumentti käyttää sitä, että "meidän on oletettava pahinta", jotta saisimme sen. Ajattelin siis yrittää vielä kerran selittää, miten tämän ongelman erilaiset sanamuodot, jotka näyttävät sanovan saman asian, voivat johtaa erilaisiin ratkaisuihin.

Sekaannuksen perimmäinen syy on termin ""tapahtuma"" matemaattispesifinen määritelmä." Kun satunnainen koe tuottaa tuloksen, tätä tulosta ei kutsuta ""tapahtumaksi"", vaan se on ""tapahtuma"". ""Tapahtuma"" määritellään kaikkien sellaisten mahdollisten tapahtumien osajoukoksi, joilla on jokin määrittelevä yhteinen ominaisuus. Jos siis heitän kolikkoa sata kertaa, mahdollisia tapahtumia on vain kaksi: "Kruuna" ja "klaava". Kumpaakin tapahtumaa esiintyy todennäköisesti noin viisikymmentä kertaa, ja jokainen tapahtuma sopii vain yhteen tapahtumaan.

Jos nostan kortin tavallisesta pelikorttipakasta, mahdollisia tapahtumia ja/tai tapahtumia on paljon. Jotkut niistä ovat päällekkäisiä. Niihin kuuluvat ""musta kortti"", ""pata"", ""kunniakortti (TJQKA)"", ""ässä"" ja ""pata-ässä"". Esiintymä ""musta kortti"" voi olla myös tapahtumassa ""pata"" tai ""risti"". Huomaa, että esiintymä voi sopia muihin tapahtumiin, mutta ei päinvastoin. Esiintymä ""pata"" on myös esiintymä ""musta kortti"", mutta tapahtuma ""pata"" ei todellakaan ole tapahtuma ""musta kortti"". Koska todennäköisyyksien määrittäminen edellyttää tapahtumien elementtien lukumäärän laskemista, ero voi olla ratkaiseva, kun käytetään vähemmän tarkkoja havaintoja.

On olemassa kuuluisa ongelma, joka erottaa tämän eron esiintymän ja tapahtuman välillä. Sitä kutsutaan nimellä Bertrandin laatikkoparadoksi Oletetaan, että sinulla on kolme toisistaan erottamatonta laatikkoa, joissa kussakin on kaksi toisistaan erottamatonta laatikkoa. Jokaisen laatikon sisällä on kolikko. Laatikossa #1 on kaksi kultakolikkoa, laatikossa #2 on kaksi pronssikolikkoa (en voi vastustaa kiusausta käyttää nimikirjaimia B ja G), ja laatikossa #3 on yksi kummastakin. Valitset laatikon sattumanvaraisesti ja avaat laatikon sattumanvaraisesti. Jos kolikko on kultainen, mikä on todennäköisyys sille, että laatikon toisessa laatikossa oleva kolikko on myös kultainen (eli että se on laatikko #1)?

Ensimmäinen ongelma, joka on yleinen tarinoita koskeville ongelmille, on se, että tämä ongelma kuvaa tapahtumaa, ei tapahtumaa. Meidän on ekstrapoloitava, mitkä ovat toimien mahdolliset tulokset, jotta voimme määritellä tapahtuman (mahdollisten tapahtumien joukon), joka määrittää ehdollisen todennäköisyyden.

Väärä lähestymistapa Bertrandin laatikkoparadoksiin on sanoa, että rajasit laatikon identiteetin kahteen vaihtoehtoon, laatikkoon nro 1 ja laatikkoon nro 3. Että ""tapahtuma"" vastaa havaintoa ""laatikossa on vähintään yksi kultakolikko"". Tämä on väärin, koska on olemassa muitakin tapoja kuvata tuon tapahtuman esiintymiä. Jos valitset laatikon #3, niin riippumatta siitä, minkä laatikon avaat, tapahtuma kuuluu tapahtumaan ""laatikossa on vähintään yksi kultakolikko"".

Oikea lähestymistapa on määritellä tapahtuma kaikkien niiden mahdollisten tapahtumien joukoksi, joissa avaat laatikon kultakolikolla. Jokainen mahdollinen tapahtuma, joka on yhdenmukainen ongelman kuvauksen kanssa, on tässä tapahtumassa (muista, että kyseessä on joukko), ja jokainen mahdollinen tapahtuman elementti on yhdenmukainen ongelman kuvauksen kanssa. Molempien näiden ehtojen on oltava todellisia sen tapahtumajoukon osalta, jonka ekstrapoloimme ehdoksi. Tässä joukossa on kolme elementtiä, ei kahta. Kahdessa näistä kolmesta mahdollisesta tapahtumasta laatikon toinen kolikko on kultaa. Oikea vastaus on 2/3.

Olen nähnyt Bertrandin laatikkoparadoksin muunnelman, jota käytetään esittämään poika- tai tyttöparadoksia. Olet naapuruston uintikokouksen järjestäjä. Kilpailun aikana saat puhelun herra Smithiltä, joka on myöhässä eikä voi hakea lapsiaan kilpailun jälkeen. Hän sanoo: ""Käske kahden lapseni mennä kotiin naapurin kanssa. Heidän nimensä ovat Sarah ja..."" ja puhelinyhteys katkeaa. Tapaamisessa on neljä kahden lapsen perhettä, joissa on sopivasti neljä mahdollisuutta BB, BG, GB ja GG. Mikä on todennäköisyys, että herra Smithillä on kaksi tytärtä?

Tätä tapausta voidaan kuvata seuraavasti: "kahden lapsen perheessä on vähintään yksi tyttö."" Mutta ei se tapahtuma, jota sinun on käytettävä ehtona. Herra Smith olisi voinut mainita ensin pojan nimen, ja jos tällä pojalla olisi ollut sisko, tämä tapahtuma olisi ollut elementti joukossa ""kahden lapsen perheeseen kuuluu vähintään yksi tyttö"". Tämä tapahtuma ei siis täytä jompaakumpaa kriteeriä. Saat vastauksen 1/3 käyttämällä virheellisesti tätä tapahtumaa.

Oikea tapahtuma on vain se, että herra Smith mainitsi, että hänellä on tytär, ja se on verrattavissa laatikkoparadoksin ""avasit laatikon, jossa oli kultakolikko"". Voit laskea neljä mahdollista tapahtumaa. Kahdessa näistä neljästä, jotka edustavat yhtä perhettä, Sarahilla on sisko. Oikea vastaus on 2/4 eli 1/2.

Jos ehdollinen todennäköisyyskysymys kuvaa tapahtumaa eikä tapahtumaa, on oltava varovainen.