"===

GPS:n moniulotteisessa Newton-Raphson-menetelmässä käytettävät yhtälöt ovat seuraavat.  Näiden yhtälöiden toinen derivaatta löytyy Langley, R. B., ""The Mathematics of GPS"," GPS World, Vol. 2, No. 7, July/August 1991, s. 45-50, tai online-derivaatta löytyy osoitteesta Navigation Solution in GPS World by Torralbas, Roberto and Alvarez Jose Manuel.  Moniulotteisen Newton-Raphson-menetelmän ymmärtämiseksi yleisenä numeerisena menetelmänä katso .

Merkitään ja todellisia vastaanottimen sijaintikoordinaatteja. Merkitään tuntematonta kellovirhettä tai harhaa. Olkoon kunkin satelliitin koordinaatit ja viestin lähetysaika , GPS-kellon ilmoittama vastaanottoaika ja c valon nopeus. Pseudoetäisyys lasketaan seuraavasti:

Oletetaan, että viesti kulkee valon nopeudella, jolloin pseudorange täyttää yhtälön:
 

Kun yhtälössä 1 käytetään tarkan ratkaisun sijasta likimääräistä ratkaisua, on jäännös, . Yhtälön oikealle puolelle muuntamalla saadaan,

Ratkaisu on saatu, kun on nolla tai riittävän lähellä nollaa .

Yhtälön 2 linearisoimiseksi osittaisderivaatat lasketaan seuraavasti:

jossa
.

Linearisoimalla yhtälön 2 oikea puoli likimääräisen ratkaisun suhteen saadaan seuraavat tulokset

jossa on linearisoinnista johtuva jäännös, joka on likimääräisestä ratkaisusta johtuvan jäännöksen , lisäksi.

Jotta päästäisiin lähemmäs nollaa, valitaan sellaiset arvot, että

Eli valitse arvot

siten, että yhtälön 2 jäännös muuttuu suunnilleen alla esitetyllä tavalla.

Olkoon

Korvaamalla ja siirtämällä yhtälön vasemmalle puolelle saadaan seuraavat tulokset


\begin{Bmatrix}
- f_1^{(k)} + p_1 \\
- f_2^{(k)} + p_2 \\
- f_3^{(k)} + p_3 \\
- f_4^{(k)} + p_4 \\
\end{Bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\frac {(x^{(k)}-x_1)} {R_1} & \frac {(y^{(k)}-y_1)} {R_1} & \frac {(z^{(k)}-z_1)} {R_1} & - c \ \