"
Kuulitko tämän suhteessa euklidiseen topologiaan vai johonkin muuhun luonnollisesti esiintyvään topologiaan? Se ei voi yleisesti ottaen olla tarpeeton, sillä jos otamme ei-tyhjän joukon X ja valitsemme X:n ei-tyhjän kunnollisen osajoukon U, niin X:n ""topologia"", joka koostuu vain U:sta, täyttäisi kaksi mainitsemaasi aksioomaa, mutta ei sisältäisi X:ää eikä tyhjää joukkoa. Tämä on tietysti triviaali esimerkki. 
Oletetaan, että kutsumme joukon X osajoukkojen kokoelmaa ""relevantiksi topologiaksi"" (tämä ei ole oikea nimi; keksin sen vain, jotta näistä asioista olisi helpompi puhua), jos se täyttää kaikki aksioomat paitsi mahdollisesti sen, että ""X ja tyhjä joukko ovat topologiassa"". Tällöin ei-tyhjän joukon, jolla on ""relevantti topologia"", joka on Hausdorffin (tässä ""Hausdorff"" tarkoittaa, että kaksi erillistä pistettä ovat naapurustojen erottamia; sama määritelmä kuin tavallisessa topologisissa avaruuksissa), on välttämättä sisällytettävä tyhjä joukko ""topologiaan"". Näin ollen ""monien"" topologisten tilojen osalta vaatimus, että tyhjän joukon on oltava avoin, on todellakin tarpeeton. 
Toisaalta vaatimus siitä, että koko joukko X on avoin, ei yleensä ole tarpeeton melko luonnollisissa topologioissa (oletan). Otetaan esimerkiksi mikä tahansa topologinen avaruus X ja annetaan Y joukoksi, joka sisältää X:n omana osajoukkonaan. Julistetaan Y:n osajoukko avoimeksi, jos ja vain jos se kuuluu X:n topologiaan. Tällöin tämä Y:n "relevantti topologia" täyttää kaikki aksioomat, jotka topologisen avaruuden pitäisi täyttää, paitsi että Y ei ole avoin. X voi esimerkiksi olla jokin euklidinen avaruus, jolla on vakiotopologia (ja Y voi olla mikä tahansa joukko, joka sisältää X:n omana osajoukkonaan). Mutta tämä konstruktio ei luultavasti ole kovin mielenkiintoinen, koska (ainakaan minun nähdäkseni) sillä ei saada mitään uutta tietoa tai oivallusta.
Tämä saattaa olla sinulle liian alkeellista, mutta kirjoitin jokin aika sitten avoimessa joukossa seuraavan kappaleen, jossa kuvataan karkeasti, miksi aksioomat ovat sellaisia kuin ne ovat, ja motivaatio topologian abstraktille muotoilulle: Open_set#Motivaatio. Seuraava keskustelu MathOverflow'ssa saattaa ehkä sopia paremmin kysymykseesi: Tarvitseeko tyhjän joukon ja koko joukon todella olla avoimia?. T "