"Matematiikassa ordinaaliluku tai vain ordinaali on ordinaalien transitiivinen joukko eli periytyvästi transitiivinen joukko.  Toisin sanoen jokainen ordinaalin alkio on transitiivinen ja sen alkio puolestaan on transitiivinen ja niin edelleen alaspäin.  Säännöllisyyden aksiooma pysäyttää tämän rekursion äärellisen monen askeleen jälkeen, nimittäin tyhjään joukkoon.

Lopulliset järjestysluvut ovat 0 = {}, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}, .....  Tämä on seurausta kahdesta huomattavasta seikasta: jokainen äärellisen transitiivisen joukon alkio on itse äärellinen transitiivinen joukko (joten voimme luopua "ordinaalista" ehtona äärelliseen ordinaaliin kuulumiselle), ja vain yksi kunkin äärellisen kardinaalisuuden joukko voi olla transitiivinen, jolloin äärelliset ordinaalit voidaan identifioida niiden kardinaalisuuksiin edellä esitetyn luettelon mukaisesti.

On selvää, että äärellisille ordinaaleille on selvää, että ordinaalin α seuraaja on α∪{α}.  Itse asiassa tämä pätee kaikille ordinaaleille.  Kirjoitamme α∪{α} muotoon α+1.

Kaikkien äärellisten ordinaalien joukko on transitiivinen ja siten itse ordinaali.  Se on pienin ääretön ordinaali, ja sitä merkitään ω. Se on kanoninen esimerkki laskettavasta joukosta, ja sen kardinaalisuutta merkitään .

Kuten äärellisillä ordinaaleilla, myös ω:lla on seuraaja ω+1, nimittäin {0,1,2,...,ω}.  Tällä puolestaan on seuraaja {0,1,2,...,ω,ω+1}, ja voimme jatkaa näin, kunnes saavutamme {0,1,2,...,ω,ω+1,ω+2...} = ω+ω, jota merkitään ω-2.  Jatkamalla nopeammin saavutamme lopulta ω-2+ω = ω-3.  Voisimme harkita ω-3+1, mutta vielä nopeammin eteneminen johtaa ω-4:ään, ω-5:een ja lopulta ω-ω:aan, jota merkitään ω2:ksi.  Lisäämällä nopeutta saavutamme ω3, ω4, ... ja sitten ωω.  Vauhtia kiihdyttäen ohitamme ωω, ωωω, ωωωωω, ... ja saavumme ε0:een, pienimpään järjestyslukuun α, joka täyttää α = ωα.

Koko tämän sarjan ajan jokainen järjestysluku on ollut laskettavissa, eli sen kardinaalisuus on ollut . Tästä ei kuitenkaan voida päätellä, että jokainen laskettavissa oleva järjestysluku on ω.  Tämä nähdään, kun ensin luetellaan kaikki äärettömän monet parilliset luvut ja sitten jatketaan listaamalla parittomat luvut.  Tällöin 1:tä edeltävät vain parilliset luvut, mutta välittömästi ennen 1:tä ei ole parillista lukua, koska suurinta parillista lukua ei ole olemassa.  Toisin kuin tavallisessa luonnollisten lukujen luettelossa, jossa jokaisella luvulla paitsi 0 on edeltäjänsä, tämä luettelo on rakenteellisesti erilainen, eli se ei ole järjestysisomorfinen ω:n kanssa. Sen sijaan se on järjestysisomorfinen ω+ω = ω-2:n kanssa, koska parillisten lukujen joukko on järjestysisomorfinen ω:n kanssa, samoin kuin parittomien lukujen.

Lisäksi emme ole lähellekään ehtineet käyttää loppuun laskettavia ordinaaleja: ε0+1 on laskettavissa, ja niin edelleen.  Laskettavissa olevien ordinaalien ohittaminen vaatii uuden oivalluksen.
  
Jokainen järjestysluku on lineaarisesti järjestetty sisällyttämällä, esimerkiksi 2 < 4, koska {0,1} on osajoukko {0,1,2,3}.  Tämä lineaarinen järjestys on itse asiassa hyvin-järjestys, eli jokaisella ei-tyhjällä ordinaalijoukolla on pienin alkio.  Näin ollen jokaiselle predikaatille, joka ei ole väärä kaikkien ordinaalien osalta, on olemassa pienin predikaatin täyttävä ordinaali.  Lisäksi mikään kaksi ordinaalia ei ole järjestysisomorfinen, ja jokainen hyvin järjestetty joukko on järjestysisomorfinen jollekin ordinaalille, jolloin ordinaaleja voidaan käyttää kaikkien hyvin järjestettyjen joukkojen järjestystyyppien koodaamiseen, olivatpa ne kuinka suuria tahansa.

On olemassa lukemattomia ordinaaleja, jolloin edellä esitetyn mukaan on olemassa pienin lukematon ordinaali, jota merkitään ω1.  Tämän järjestysluvun kardinaalisuutta merkitään , joka on seuraava järjestysluku.  On olemassa sarja yhä suurempia järjestyslukuja niiden kardinaalisuudella mitattuna, joita merkitään ω1, ω2, ω3, ... ja joiden vastaavat kardinaalisuudet ovat , , , .....  Ordinaalin kardinaalisuus määrittelee monesta yhteen -yhteyden ordinaaleista kardinaaleihin, jolloin kaikilla ordinaaleilla ωi mukaan lukien ja ωi+1 pois lukien on sama kardinaalisuus ."