 ความถี่ของการลงทุนเพื่อเพิ่มผลตอบแทนสูงสุด (และลดค่าธรรมเนียม)
โอเค ฉันคิดว่าฉันสามารถหาคำตอบที่ชัดเจนสำหรับปัญหานี้ได้แล้ว! มันเกี่ยวข้องกับการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ไม่ใช่เชิงเส้น แต่ฉันยังพบวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่ดีโดยใช้อนุกรมเทย์เลอร์ที่ตัดทอน ดูด้านล่างสำหรับสเปรดชีตที่คุณสามารถใช้ได้ เริ่มต้นด้วยการกำหนดปัจจัยการเติบโตต่อช่วงเวลาสำหรับเงินในธนาคารและเงินที่ลงทุน: ตอนนี้ให้ S เป็นจำนวนเงินที่พร้อมจะลงทุนหลังจาก n+1 งวด ดังนั้นเงินก้อนแรกจึงได้รับดอกเบี้ยเป็นเวลา n งวด กล่าวคือ ขั้นตอนสำคัญในการแก้ไขปัญหาคือการแก้ไขจำนวนงวดที่พิจารณาทั้งหมด มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน: t = จำนวนระยะเวลาทั้งหมดที่ผ่านไป ดังนั้น ถ้าเงินพร้อมลงทุนทุกๆ n+1 งวด ก็จะมี t/(n+1) แยกลงทุน และมูลค่าในอนาคตของการลงทุนจะ เป็น: สูตรนี้แม่นยำในกรณีของจำนวนเต็ม t และ n และเป็นการประมาณที่ดีเมื่อ t และ n ไม่ใช่จำนวนเต็ม การแทนที่ S เราได้สูตรเวอร์ชันที่ขึ้นอยู่กับ n อย่างชัดเจน: โชคดีที่มีเพียงไม่กี่คำใน FV ที่ขึ้นกับ n ดังนั้นเราจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้หลังจากความพยายามบางอย่าง: การทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ เราสามารถลบตัวส่วนได้ และสมมติว่า t มากกว่าศูนย์ เราสามารถหารด้วยค่าคงที่ ( 1-G t ) เพื่อให้สมการง่ายขึ้น เราสามารถกำหนดค่าคงที่พิเศษบางอย่างได้ จากนั้น เราสามารถกำหนดฟังก์ชัน f(n) และเขียนสมการได้เป็น : โปรดทราบว่า α, β, γ, G และ R มีค่าคงที่ทั้งหมด จากที่นี่ มีสองตัวเลือก: ใช้วิธีของนิวตันหรือวิธีเชิงตัวเลขอื่นเพื่อหารากที่เป็นบวกของ f(n) ซึ่งสามารถทำได้ในแพ็คเกจซอฟต์แวร์ต่างๆ เช่น MATLAB, Octave ฯลฯ หรือโดยใช้เครื่องคำนวณกราฟิก แก้ปัญหาโดยประมาณโดยใช้พหุนามอนุกรม Taylor ที่ตัดทอน ฉันจะใช้วิธีนี้ที่นี่ อนุกรมเทย์เลอร์ของ f(n) ซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่ n=0 คือ: ตัดอนุกรมเป็นสามพจน์แรก เราจะได้พหุนามกำลังสอง (ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่): การใช้ R, G, α, β และ γ ที่กำหนดไว้ข้างต้น ให้ c0, c1 และ c2 เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมเทย์เลอร์ที่ตัดทอนสำหรับ f(n): จากนั้น ควรปัดเศษ n เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด เพื่อความแน่ใจ ตรวจสอบค่าด้านบนและด้านล่าง n โดยใช้สูตรสำหรับ FV ใช้ตัวอย่างจากคำถาม: ตัวอย่างเช่น ฉันอาจกันเงิน $100 ทุกสัปดาห์เพื่อลงทุนในหุ้นที่คาดว่าจะเติบโต 9% ต่อปี แต่ค่าธรรมเนียมนายหน้าคือ $10 ต่อการซื้อขาย ฉันควรสะสมเงิน 100 ดอลลาร์เป็นเวลากี่สัปดาห์ก่อนลงทุน หากฉันสามารถใส่ไว้ในบัญชีธนาคารดอกเบี้ยสูงที่ 4% ต่อปีจนกว่าจะถึงเวลานั้น ใช้วิธีของนิวตันเพื่อหารากของ f(n) ด้านบน เราจะได้ n = 14.004 เมื่อใช้วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณแบบปิด เราจะได้ n = 14.082 ตรวจสอบสิ่งนี้กับ FV โดย t = 1680 (หารลงตัวด้วยแต่ละ n + 1 ที่ทดสอบ): ดังนั้น คุณควรรอ n = 14 งวด เก็บเงินนั้นไว้ในธนาคาร ลงทุนร่วมกับเงินในงวดถัดไป (ดังนั้น คุณจะทำการลงทุนทุกๆ 14 + 1 = 15 สัปดาห์) นี่เป็นวิธีหนึ่งในการนำโซลูชันข้างต้นไปใช้กับสเปรดชีต StackExchange ไม่อนุญาตให้ใช้ตารางในรูปแบบไวยากรณ์ในขณะนี้ ดังนั้นฉันจะแสดงภาพหน้าจอของสูตรและคอลัมน์ที่คุณสามารถคัดลอกและวางได้: สูตร: คัดลอกและวางคอลัมน์ A: คัดลอกและวางคอลัมน์ B: ผลลัพธ์: จดจำ n คือจำนวนงวดสะสมเงินในธนาคาร ดังนั้นคุณจะต้องการลงทุนทุกๆ n+1 สัปดาห์ ในกรณีนี้ ทุก 15 สัปดาห์