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Petite histoire des mathématiques, 2e partie : D’Athènes à Alexandrie
2 réponses	Nous sommes au Ve siècle avant JC, quelque part au large de Crotone, en Italie du sud, qui faisait alors partie de la Grande Grèce. Un bateau fait naufrage. À son bord, Hippase de Metaponte, mathématicien et membre de l’école de Pythagore, trouve la mort. Accident où meurtre ? On ne le saura jamais. Hippase, un des premiers et des plus fidèles membre de l’école venait d’être expulsé par les Pythagoriciens, car il avait révélé au monde extérieur un terrible secret : la première démonstration mathématique. Parjure suprême ! D’autant que cette démonstration ébranlait toute la pensée Pythagoricienne, remettant en cause leur vision du monde. Ce naufrage devait marquer le début de la chute de l’école de Crotone.
Géniorama vous propose à travers plusieurs articles une petite histoire non exhaustive des mathématiques, jalonnée par des hommes, leur vie, et ces petites histoires qui écrivent la Grande.
Le paradoxe de la diagonale du carré
Mais quel est donc ce terrible secret dévoilé au monde par Hippase ?
L'harmonie des Sphères d'après l'école de Pythagore
Il est important de préciser que les Pythagoriciens recherchaient l’Harmonie du monde dans les nombres. Mais pas n’importe quels nombres : Les entiers positifs (1, 2, 3, 4 …), et les fractions, qui sont des rapports d’entiers entre eux. Les nombres négatifs n’existaient pas encore. Le monde des pythagoriciens n’était peuplé que de ce que l’on nomme aujourd’hui les « rationnels ».
Le scandale est arrivé par l’étude de la diagonale du carré. Si l’on prend le carré de coté 1, quelle est la mesure de sa diagonale ?
On trouve, d’après le théorème de Pythagore, que le carré de la diagonale D2= 2.
Voilà l’information capitale : un nombre, dont le carré est 2. Aucun entier, aucune fraction ne correspondait. Ce nombre existait-il ?
Les pythagoriciens firent alors la démonstration qu’un tel nombre n’existait pas, en utilisant la méthode par l’absurde, montrant qu’alors un nombre devrait être à la fois pair et impair, ce qui est impossible. Ainsi, les grandeurs du coté et de la diagonale d’un carré n’ont aucune commune mesure : si un nombre mesure l’un, aucun nombre ne peut mesurer l’autre, ils sont incommensurables. Pourtant, la figure arbore ces deux grandeurs, coté et diagonale, avec autant de « réalité ». Ceci ébranlait toute la pensée Pythagoricienne, et devait absolument rester secret.
Voilà la révélation qui couta à Hippase de Metaponte sa place parmi ses pairs, et peut-être la vie. Pour les penseurs grecs d’alors, cette démonstration recelait un abime dans lequel sombrèrent leurs certitudes. Le lien indicible entre nombre et grandeur qui établit la cohérence de l’univers pour les Pythagoriciens n’est plus. De plus, ce Chaos était provoqué par une figure emblématique du monde antique : le carré, et comble du comble, la démonstration utilisait 2 des principaux énoncés des pythagoriciens : le théorème de Pythagore, et la séparations des nombres en pairs et impairs !
Alexandrie…
Si ni Thalès ni Pythagore ne mirent les pieds à Alexandrie lors de leurs voyages en Egypte, c’est que la ville n’existait pas encore. Il est pourtant naturel que nous nous retrouvions à un moment ou à un autre en Egypte. En effet, c’est ici, sur les bords du Nil qu’a été inventée la géométrie. Ramses II avait en effet distribué des parcelles de terres égales à tous, afin que l’impôt soit le même pour tous et donc facile à calculer. Mais c’était sans compter sur les caprices du Nil, dont les crues annuelles amputaient certaines parcelles de terre, un peu plus tous les ans. Il fallu développer des procédés pour mesurer la différence de taille des terres ainsi transformées après chaques crues, et recalculer l’impôt. Ce fut la naissance de la Géo-métrie, la mesure de la terre.
Nous avançons donc de quelques siècles, pour nous retrouver vers -330. Alexandrie naquit de la volonté d’Alexandre le grand, qui venait de conquérir l’Egypte. Ville nouvelle, bâtie en quelques années et entièrement conçue sur plan, ses rues ne sont que parallèles et perpendiculaires : une vil