Symbole delta de Kronecker
# Symbole delta de Kronecker

En mathématiques, le symbole delta de $Kronecker^,,$ également appelé symbole de $Kronecker^,^,^,$ ou delta de $Kronecker^,^,^,,$ est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.

    $\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}$

ou, en notation tensorielle :

    $\delta _{i}^{j}=\delta _{i}\cdot \delta ^{j}$

où $δ_i$ et $δ^j$ sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :

    $\delta _{i}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=0\\0&{\mbox{si }}i\neq 0\end{cases}}$

## Histoire

L'éponyme du symbole de $Kronecker^,^,$ est le mathématicien Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a introduit en $1866^,^,.$

## Exemples

Le delta de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :

* en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire :$(\delta _{ij})_{(i,j)\in \{1,2,3\}^{2}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ;
* lors de sommations, le delta de Kronecker entraîne des simplifications :$\sum _{k=1}^{n}a_{k}\delta _{k,i}=\left\{{\begin{array}{cl}a_{i}&{\textrm {si}}\quad 1\leq i\leq n\\0&{\textrm {sinon.}}\quad \end{array}}\right.$
