Suite d'Appell
# Suite d'Appell

En mathématiques, une suite d'Appell, du nom de Paul Émile Appell, est une suite polynomiale $\{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }$ satisfaisant l'identité

    ${\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),$

où $p_{0}(x)$ est une constante non nulle.

Parmi les suites d'Appell se trouvent par exemple $\{x^{n}\}$, les polynômes d'Hermite, les polynômes de Bernoulli et les polynômes d'Euler. Chaque suite d'Appell est une suite de Sheffer, mais la plupart des suites de Sheffer ne sont pas des suites d'Appell. Les séquences d'Appell ont une interprétation probabiliste en tant que systèmes de moments.

## Caractérisations équivalentes des suites d'Appell

Les conditions suivantes sur la suite de polynômes p sont équivalentes :

* Pour $n=1,2,3,\ldots$ ,

       ${\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)$
    et $p_{0}(x)$ est une constante non nulle ;
* Pour une suite ${c_n}_{n=0}^∞{\textstyle$ \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }} de scalaires avec $c_{0}\neq 0$ ,

       $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};$
* Pour la même séquence de scalaires,

       $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},$
    où
       $D={\frac {d}{dx}};$
* Pour $n=0,1,2,\ldots$ ,

       $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.$

## Formule de récurrence

Supposons que

    $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},$

où la dernière égalité définie l'opérateur linéaire $S$ sur l'espace des polynômes en $x$ . Soit

    $T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}$

l'opérateur inverse de S, les coefficients $a_{k}$ étant ceux de la réciproque usuelle d'une série formelle, de sorte que

    $Tp_{n}(x)=x^{n}.\,$

Dans les conventions du calcul ombral, cette série formelle $T$ est souvent prise comme représentant la suite d'Appel $p_{n}$. On peut définir

    $\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)$

en utilisant l'expansion en séries de puissance de $\log(x)$ et la composition des séries formelles. Ainsi nous avons

    $p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,$

Dans le cas des polynômes d'Hermite, cela se réduit à la formule de récurrence usuelle les concernant.

## Sous-groupe des polynômes de Sheffer

L'ensemble de toutes les suites d'Appell est fermé sous l'opération de composition ombrale, définie comme suit. Soit $\{p_{n}(x),n\geq 0\}$ et $\{q_{n}(x),n\geq 0\}$ des suites polynomiales, données par

    $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ et }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.$

On définie la composition ombrale $p\circ q$ comme la suite polynomiale dont le $n$-ième terme est

    $(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$

(l'indice $n$ apparaît dans $p_{n}$, puisque c'est le $n$-ième terme de cette séquence, mais pas dans $q$, puisqu'il s'agit de la suite dans son ensemble plutôt que d'un de ses termes).

Sous cette opération, l'ensemble de toutes les suites de Sheffer est un groupe non abélien, et l'ensemble de toutes les suites d'Appell forment un sous-groupe abélien de ce dernier.

