Plan de Moore
# Plan de Moore

En mathématiques, le plan de Moore ou plan de Niemytzki — nommé d'après Robert Lee Moore et Viktor Niemytzki — est un espace topologique utilisé comme contre-exemple. Il s'agit en fait d'un demi-plan, muni d'une topologie strictement plus fine que la topologie usuelle.

## Définition

Sur le demi-plan supérieur Γ = {(p, q) ∈ $ℝ^2$ | q ≥ 0}, on définit une topologie par les voisinages, de la manière suivante :

* si q > 0, les voisinages de (p, q) dans Γ sont les mêmes que ses voisinages dans $ℝ×ℝ^+$ (muni de la topologie produit, induite par la topologie usuelle de $ℝ^2)$ ;
* une base de voisinages d'un point (p, 0) de l'axe des abscisses est constituée des {(p, 0)}∪D, pour tout disque ouvert D de $ℝ×ℝ^+$ tangent en (p, 0) à cet axe, i.e. D de la forme {(x, y) ∈ $ℝ^2$ | (x – $p)^2$ + (y – $r)^2$ < $r^2}$ pour n'importe quel réel r > 0.

## Propriétés

* Le plan de Moore Γ est, par construction, à bases dénombrables de voisinages.
* Il n'est pas de Lindelöf. En effet, l'axe des abscisses $Γ_0$ = ℝ×{0} est un fermé discret non dénombrable.
* Par conséquent, Γ n'est pas à base dénombrable ni σ-compact.
* Il est séparable : $ℚ×ℚ^+$ est dense.
* Il n'est donc pas métrisable, puisque le sous-espace $Γ_0$ n'est pas séparable.
* Il n'est pas localement compact (alors que $Γ_0$ et son complémentaire le sont clairement).
* Il est tout de même complètement régulier.
* Il n'est pas normal, puisqu'il est séparable et possède un fermé discret $Γ_0$ ayant la puissance du continu ou, plus directement, puisque ℚ×{0} et (ℝ\ℚ)×{0} sont deux fermés disjoints non séparés (en) par deux ouverts disjoints.
* Il n'est pas paracompact (puisqu'il n'est pas normal), ni métacompact (en) (seulement dénombrablement métacompact).

Il s'agit de montrer que pour tout point M = (p, q) de Γ et tout voisinage V de M, il existe une fonction continue de Γ dans [0, 1] valant 0 au point M et 1 sur le complémentaire de V. Le seul cas délicat est celui où q est nul. Si V = {(p, 0)}∪D avec D comme dans la définition ci-dessus, on peut par exemple définir f sur D par : f(N) = d(M, N)/L, où L est la longueur de la corde de D issue de M et passant par N.

