Quaternion hyperbolique
# Quaternion hyperbolique

L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane (en). L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension 4.

Une combinaison linéaire :

    $q=a+b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k}$

est un quaternion hyperbolique si $a,b,c$ et $d$ sont des nombres réels, et les unités $1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ sont telles que :

${\begin{cases}\mathrm {i} \mathrm {j} =-\mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {k} \\\mathrm {j} \mathrm {k} =-\mathrm {k} \mathrm {j} =\mathrm {i} \\\mathrm {k} \mathrm {i} =-\mathrm {i} \mathrm {k} =\mathrm {j} \\\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =+1\end{cases}}$

Soit :

| $\cdot$ | $1$ | $\mathrm {i}$ | $\mathrm {j}$ | $\mathrm {k}$ |
| - | - | - | - | - |
| $1$ | $1$ | $\mathrm {i}$ | $\mathrm {j}$ | $\mathrm {k}$ |
| $\mathrm {i}$ | $\mathrm {i}$ | $1$ | $\mathrm {k}$ | $-\mathrm {j}$ |
| $\mathrm {j}$ | $\mathrm {j}$ | $-\mathrm {k}$ | $1$ | $\mathrm {i}$ |
| $\mathrm {k}$ | $\mathrm {k}$ | $\mathrm {j}$ | $-\mathrm {i}$ | $1$ |

La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=+1$. Elle vaut $-1$ pour les quaternions et $+1$ pour les quaternions hyperboliques.

Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble $\{1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} ,-1,-\mathrm {i} ,-\mathrm {j} ,-\mathrm {k} \}$ forme un quasigroupe.

Exemple de non-associativité : $\left(\mathrm {i} \mathrm {j} \right)\mathrm {j} =\mathrm {k} \mathrm {j} =-\mathrm {i}$ alors que $\mathrm {i} \left(\mathrm {j} \mathrm {j} \right)=\mathrm {i} \times 1=\mathrm {i}$.

Si l'on définit le conjugué $q^{*}$ de $q$ par

    $q^{*}=a-b\mathrm {i} -c\mathrm {j} -d\mathrm {k}$

alors le produit

    $\|q\|:=qq^{*}=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}$ est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention $+---$.

Soit $X(\mathrm {c} t,x,y,z)$ un point de l'espace temps et $X^{*}(\mathrm {c} t,x,y,z)$ son conjugué. $\|X\|=\mathrm {c} ^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ est le carré de la pseudo-norme de $X$ dans l'espace de Minkowski.

