Suite bornée
# Suite bornée

En mathématiques, une suite est dite bornée si l'ensemble de ses valeurs est une partie bornée.

## Exemples

Une suite réelle $(u_n)$ est bornée si elle reste comprise entre deux valeurs fixes m et M :

$\exists (m,M)\in \mathbb {R} ^{2}\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad m\leq u_{n}\leq M$

(autrement dit si la borne supérieure et la borne inférieure de l'ensemble de ses termes sont finies) ou, de façon équivalente, si sa valeur absolue est majorée par une constante M :

$\exists M\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad |u_{n}|\leq M.$

Pour qu'une suite soit bornée, il suffit qu'elle le soit « à partir d'un certain rang ». En effet, si $|x_n|$ ≤ K pour tout n > N alors $|x_n|$ ≤ M pour tout n, en posant M = $max(|x_0|,$ $|x_1|,$ … , $|x_N|,$ K).

* Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite $u_n$ = $(–1)^n/(n$ + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre $u_1$ = –1/2 et $u_0$ = 1).
* Toute suite réelle qui tend vers ±∞ est non bornée (par exemple : $u_n$ = $2^n,$ qui tend vers +∞).
* Pour une suite non monotone, les réciproques sont fausses :
   * une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : $u_n$ = $(–1)^n$ est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ;
   * pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).

Une suite de nombres complexes $u_n$ = $x_n$ + i $y_n$ est bornée si son module est majoré par une constante ou, de façon équivalente, si les deux suites réelles $(x_n)$ et $(y_n)$ constituées par sa partie réelle et sa partie imaginaire sont bornées.

## Valeurs d'adhérence pour une suite réelle bornée

Un des grands intérêts des suites bornées réside dans le fait que de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Cette propriété, étroitement liée à la propriété de Borel-Lebesgue, porte parfois le nom de « propriété de Bolzano-Weierstrass ». Diverses démonstrations se trouvent dans l'article théorème de Bolzano-Weierstrass. Le théorème des gendarmes est un théorème de convergence. Exemples :

* si $x_n$ = $(–1)^n,$ alors la sous-suite $(x_{2n})$ des termes de rang pair converge vers 1 et la sous-suite $(x_{2n+1})$ des termes de rang impairs converge vers –1 ;
* on peut ne pas être capable d'expliciter une telle sous-suite. Par exemple, il existe des entiers $n_1,$ $n_2,$ ..., $n_k,$ ... strictement croissants tels que $sin(n_k)$ converge, mais on n'en possède pas d'expression.
* la situation la plus simple est celle où la suite bornée est de plus monotone : dans ce cas, elle est déjà convergente, d'après le théorème de la limite monotone

## Article connexe

Espace $ℓ^∞$

