Surface de Catalan
# Surface de Catalan

Une surface de Catalan est une surface réglée dont les génératrices restent parallèles à un plan fixe appelé plan directeur. Ces surfaces ont été étudiées par le mathématicien belge Eugène Charles Catalan (1814-1894).

Les équations paramétriques d'une surface de Catalan de plan directeur $\mathbf {x} \cdot \mathbf {n} _{0}=0$ sont données par

    $\mathbf {r} (u)\cdot \mathbf {n} _{0}=0$ .

Chaque droite $\mathbf {x} (u_{0},v)$ avec le paramètre Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle u=u_0 } fixé, est une génératrice, $\mathbf {c} (u)$ décrit la courbe directrice et les vecteurs $\mathbf {r} (u)$ sont tous parallèles au plan directeur.

Si $\mathbf {r} (u)$ est différentiable, on peut exprimer la condition de parallélisme au plan par

    $\det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0$.

## Exemples

    (1) Les plans : $\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {p} +u\mathbf {a} +v\mathbf {r}$
       La courbe directrice est une droite.
    (2) Les cylindres: $\mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,0,1)$
       La courbe directrice est un cercle. Comme plan directeur, on peut prendre tout plan parallèle à l'axe des z.
    (3) L'hélicoïde: $\mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,u)+v(\cos u,\sin u,0)$
       La courbe directrice est une hélice et le plan directeur est parallèle au plan x-y.
       Cette surface peut aussi être définie à partir d'une droite (axe des z) comme courbe directrice:
       $\mathbf {x} (u,v)=(0,0,u)+v(\cos u,\sin u,0)$
    (4) Si toutes les génératrices d'une surface de Catalan coupent une droite fixe, alors la surface est appelée un conoïde.

Catalan a prouvé que l'hélicoïde et le plan sont les seules surfaces minimales réglées.

