Symbole de Kronecker (théorie des nombres)
# Symbole de Kronecker (théorie des nombres)

En théorie des nombres, le symbole de Kronecker, écrit comme $\left({\frac {a}{n}}\right)$ ou $(a|n)$, est une généralisation du symbole de Jacobi à tous les entiers $n$. Il a été introduit par Leopold Kronecker en 1885.

## Définition

Soit $n$ être un entier non nul, factorisé comme

    $n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},$

où $u$ est une unité (c'est-à-dire $u=\pm 1$), et les $p_{i}$ sont premiers. Soit $a$ un entier. Le symbole Kronecker $\left({\frac {a}{n}}\right)$ est défini par

    $\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.$

Pour $p_{i}$ impair, le nombre $\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)$ est tout simplement le symbole de Legendre habituel. On définit $\left({\frac {a}{2}}\right)$ par

    $\left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}a{\mbox{ est pair,}}\\1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}$

Puisqu'il prolonge le symbole Jacobi, la quantité $\left({\frac {a}{u}}\right)$ vaut simplement $1$ lorsque $u=1$. Lorsque $u=-1$, nous le définissons par

    $\left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{si }}a<0,\\1&{\mbox{si }}a\geq 0.\end{cases}}$

Enfin, nous posons

    $\left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{si }}a=\pm 1,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

Ces extensions suffisent à définir le symbole de Kronecker pour toutes les valeurs entières $a,n$.

Certains auteurs ne définissent le symbole Kronecker que pour des valeurs plus restreintes ; par exemple, $a$ congru à $0,1{\bmod {4}}$ et $n>0$.

## Table de valeurs

Ce qui suit est un tableau des valeurs du symbole Kronecker $\left({\frac {k}{n}}\right)$ avec 1 ≤ n, k ≤ 30.

| kn | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
| 3 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 |
| 6 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
| 9 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| 11 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 |
| 12 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 |
| 13 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 |
| 14 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| 15 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | −1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | −1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | −1 | 0 |
| 16 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 17 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 |
| 18 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 |
| 19 | 1 | −1 | −1 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 |
| 20 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 |
| 21 | 1 | −1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 |
| 22 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 |
| 23 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 |
| 24 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 25 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 26 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
| 27 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 |
| 28 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 |
| 29 | 1 | −1 | −1 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |

## Propriétés

Le symbole Kronecker partage plusieurs propriétés avec le symbole de Jacobi, sous certaines restrictions :

* $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1$ si $\mathrm {pgcd} (a,n)=1$, et $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=0$ sinon.
* $\left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)$ sauf si $n=-1$, un des $a,b$ est nul et l'autre est négatif.
* $\left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ sauf si $a=-1$, un des $m,n$ est nul et l'autre a une partie impaire (définition ci-dessous) congruente à $3{\bmod {4}}$.
* Pour $n>0$, on a $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)$ dès que $a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$ Si de plus $a,b$ ont le même signe, il en va de même pour $n<0$ .
* Pour $a\not \equiv 3{\pmod {4}}$, $a\neq 0$, on a $\left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ dès que $m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

À la différence du symbole de Jacobi, le symbole de Kronecker n'a pas le même lien avec les résidus quadratiques. En particulier, le symbole Kronecker $\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ pour $n$ pair peut prendre des valeurs indépendamment du fait que $a$ est un résidu quadratique ou un non-résidu modulo $n$.

### Réciprocité quadratique

Le symbole de Kronecker satisfait les versions suivantes de la loi de réciprocité quadratique.

Pour tout entier non nul $n$, soit $n'$ la partie impaire de $n$ : $n=2^{e}n'$ où $n'$ est impair (pour $n=0$, nous posons $0'=1$ ). Alors la version symétrique suivante de la réciprocité quadratique est valable pour chaque paire d'entiers $m,n$ tel que $\mathrm {pgcd} (m,n)=1$ :

    $\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}},$

où le $\pm$ signe est égal à $+$ si $m\geq 0$ ou $n\geq 0$ et est égal à $-$ si $m<0$ et $n<0$.

Il existe également une version équivalente non symétrique de la réciprocité quadratique qui vaut pour chaque paire d'entiers premiers $m,n$ entre eux:

    $\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.$

Pour tout entier $n$ soit $n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n$ . Alors on réécrit l'égalité précédente comme

    $\left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)$

pour toute paire d'entiers $m,n$ (pas nécessairement premiers entre eux).

Les lois complémentaires se généralisent également au symbole de Kronecker. Ces lois découlent facilement de chaque version de la loi de réciprocité quadratique indiquée ci-dessus.

Pour tout entier $n$ on a

    $\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}}$

et pour tout entier impair $n$ :

    $\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.$

## Connexion aux caractères Dirichlet

Si $a\not \equiv 3{\pmod {4}}$ et $a\neq 0$, la fonction $\chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ est un caractère de Dirichlet réel de module ${\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{sinon.}}\end{cases}}$ Inversement, tout caractère de Dirichlet réel peut être écrit sous cette forme avec $a\equiv 0,1{\pmod {4}}$ (pour $a\equiv 2{\pmod {4}}$ c'est $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)$).

En particulier, les caractères primitifs de Dirichlet réels $\chi$ sont en bijections avec les corps quadratiques $F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})$, où $m$ est un entier sans carré non nul (on peut inclure le cas $\mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q}$ pour représenter le caractère principal, même s'il ne s'agit pas d'un corps quadratique proprement dit). Le caractère $\chi$ peut être retrouvé à partir du corps comme son symbole d'Artin $\left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)$ : c'est-à-dire pour un nombre premier positif $p$, la valeur de $\chi (p)$ dépend du comportement de l'idéal $(p)$ dans l'anneau des entiers $O_{F}$ :

    $\chi (p)={\begin{cases}0,&{\text{ si}}\ (p){\text{ est ramifié,}}\\1,&{\text{ si}}\ (p){\text{ se scinde,}}\\-1,&{\text{ si}}\ (p){\text{ est inerte.}}\end{cases}}$

Alors $\chi (n)$ est égal au symbole de Kronecker $\left({\tfrac {D}{n}}\right)$, où

    $D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}$

est le discriminant de $F$ . Le conducteur de $\chi$ est $|D|$.

De même, si $n>0$, l'application $\chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ est un caractère de Dirichlet réel de module ${\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{sinon.}}\end{cases}}$. Cependant, tous les caractères réels ne peuvent pas être représentés de cette manière, par exemple le caractère $\left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)$ ne peut pas être écrit comme $\left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)$ pour toute $n$. Par la loi de réciprocité quadratique, on a $\left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)$. Un caractère $\left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)$ peut être représenté comme $\left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)$ si et seulement si sa partie impaire vérifie $a'\equiv 1{\pmod {4}}$, auquel cas on peut prendre $n=|a|$.

## Article connexe

* Symbole de Hilbert
