Symbole de Levi-Civita
# Symbole de Levi-Civita

En mathématiques, le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

    $\varepsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}\delta _{i1}&\delta _{i2}&\delta _{i3}\\\delta _{j1}&\delta _{j2}&\delta _{j3}\\\delta _{k1}&\delta _{k2}&\delta _{k3}\end{vmatrix}}$.

Ainsi, $\varepsilon _{ijk}$ ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1.

## Dimension 3

En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

    $\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ou }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ou }}(2,1,3),\\0&{\mbox{si }}i=j{\mbox{ ou }}j=k{\mbox{ ou }}k=i.\end{cases}}$

On remarque que si $i\neq j$, $i\neq k$ et $j\neq k$, alors $(i,j,k)$ représente une permutation et le symbole de Levi-Civita correspondant est sa signature.

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :

    $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}$
    $\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$
    $\sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

## Dimension 2

En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :

    $\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{si }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j\end{cases}}$

On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :

    ${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

dont le déterminant vaut 1. De même, les valeurs du symbole de Kronecker peuvent être vues comme les éléments de la matrice-identité

    ${\begin{pmatrix}\delta _{11}&\delta _{12}\\\delta _{21}&\delta _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

## Dimension n

En dimension n, on peut démontrer que

    $\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}\left(\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\right)^{2}=n!$

S'il existe deux indices égaux, c'est-à-dire s'il existe $j,k\in \{1,\dots ,n\}$ tels que $i_{j}=i_{k}$, alors on obtient $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=0$ (le déterminant est nul car il y a égalité des lignes j et k).

Ainsi $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\neq 0\iff (i_{1},\dots ,i_{n})\in {\mathfrak {S}}_{n}$

Finalement $\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}\left(\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\right)^{2}=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}1=|{{\mathfrak {S}}_{n}}|=n!$ .

## Interprétation

Dans une base orthonormée directe $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})$, $\varepsilon _{ijk}$ représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs ${\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}},{\vec {e_{k}}}$.

D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.

