Produit d'anneaux
# Produit d'anneaux

En algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit.

## Définition

Cette construction peut se faire de la manière suivante : si $(A_i)_{i∈I}$ est une famille d'anneaux, le produit cartésien $Π_{i∈I}$ $A_i$ peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e.

    $(a_i)$ + $(b_i)$ = $(a_i$ + $b_i)$
    $(a_i)$ · $(b_i)$ = $(a_i$ · $b_i)$
    $1_{Πi∈IAi}$ = $(1_{Ai})_{i∈I}$

À la place de $Π_{1≤i≤k}$ $A_i$ nous pouvons aussi écrire $A_1$ × $A_2$ × … × $A_k.$

## Exemples

Un exemple est l'anneau ℤ/nℤ des entiers modulo n. Si n s'écrit comme un produit de puissances de facteurs premiers (voir le théorème fondamental de l'arithmétique) :

    n = $p_1^{n1}$ $p_2^{n2}$ ... $p_k^{nk}$

où les $p_i$ sont des nombres premiers distincts, alors ℤ/nℤ est isomorphe à l'anneau produit

    $\mathbb {Z} /{p_{1}}^{n_{1}}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /{p_{2}}^{n_{2}}\mathbb {Z} \times \cdots \mathbb {Z} /{p_{k}}^{n_{k}}\mathbb {Z} .$

Cela découle du théorème des restes chinois.

## Propriétés

Si A = $Π_{i∈I}$ $A_i$ est un produit d'anneaux, alors pour tout i dans I nous avons un morphisme surjectif $p_i$ : A → $A_i$ qui projette un élément du produit sur sa i-ième composante. Le produit A muni des projections $p_i$ possède la propriété universelle du produit dans la catégorie des anneaux :

    si B est un anneau quelconque et si, pour tout i dans I, $f_i$ : B → $A_i$ est un morphisme d'anneaux, alors il existe un unique morphisme d'anneaux f : B → A tel que pour tout i dans I, $p_i$ ∘ f = $f_i.$

Si, pour tout i, $I_i$ est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) de $A_i$ alors $Π_{i∈I}$ $I_i$ est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère respectivement) de A. Tout idéal de A est de cette forme si et seulement si presque tous les $A_i$ sont nuls (c'est-à-dire : tous sauf un nombre fini). Dans un produit infini d'anneaux non nuls, l'idéal des éléments de support fini n'est pas de cette forme.

Un idéal de la forme $Π_{i∈I}$ $I_i$ est premier dans A si et seulement si l'un des $I_i$ est premier dans l'anneau $A_i$ correspondant et pour tout autre indice j, $I_j$ = $A_j.$

Un élément x de A est inversible si et seulement si toutes ses composantes sont inversibles, i.e. si et seulement si $p_i(x)$ est un élément inversible de $A_i$ pour tout i de T. Le groupe des éléments inversibles de A est le produit des groupes des inversibles des $A_i.$

Un produit de plus d'un anneau non nul a toujours des diviseurs de zéro : si x est un élément du produit dont les composantes sont nulles sauf $p_i(x),$ et y est un élément du produit dont toutes les composantes sont nulles sauf $p_j(y)$ (avec i ≠ j), alors xy = 0 dans l'anneau produit.

