Plan de Mysior
# Plan de Mysior

Le plan de Mysior est un espace topologique construit en 1981 par le mathématicien polonais Adam Mysior et vérifiant des propriétés de séparation particulières : c'est un espace régulier non complètement régulier, plus simple que les contre-exemples antérieurs.

## Définition

L'ensemble sous-jacent à cet espace est le demi-plan supérieur auquel on ajoute un point P, choisi par exemple égal à (0, –1) : $X=\left(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\right)\cup \{(0,-1)\}.$

On définit pour chaque point (x, y) de X une base de voisinages :

* si y > 0, le singleton {(x, y)} est un voisinage de (x, y), c'est-à-dire que tous les points du demi-plan ouvert sont isolés ;
* chaque voisinage de base d'un point (x, 0) de l'axe horizontal est constitué de ce point et de tous les points de $R_x$ sauf un nombre fini, où $R_x$ est la réunion de l'intervalle vertical $V_x$ := {(x, t) | 0 ≤ t < 2} et de l'intervalle oblique $O_x$ := {(x + t, t) | 0 ≤ t < 2} ;
* les voisinages de base du point P sont les ensembles $U_n$ := {P} ∪ {(s, t) | s > n, t ≥ 0}, pour n = 1, 2, …

Ces bases de voisinages définissent une topologie τ sur X. L'espace topologique (X, τ) est appelé le plan de $Mysior^,.$

## Propriétés

Le point P est limite de toute suite $(x_n,$ $y_n)$ dans X telle que $x_n$ → +∞.

L'espace (X, τ) est séparé. Il est même régulier, car tout point possède une base de voisinages fermés : pour les points autres que P, les voisinages ci-dessus sont fermés et pour le point P, il suffit de remarquer que l'adhérence de $U_{n+2}$ est incluse dans $U_n$ (c'est la réunion de $U_{n+2}$ et de l'intervalle horizontal {(s, 0) | n < s ≤ n + 2}).

Il n'est pas complètement régulier car toute application continue f de X dans ℝ nulle sur le fermé {(s, 0) | s ≤ 1} est nulle en P.

Il suffit de montrer que pour tout entier n ≥ 1, l'ensemble $K_n$ des points de la forme (x, 0) avec n – 1 ≤ x ≤ n en lesquels f s'annule est infini. Procédons par récurrence. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, soit C un ensemble infini dénombrable inclus dans $K_n.$ Pour tout point (c, 0) de C, f s'annule sur tout l'intervalle oblique $O_c$ privé d'un sous-ensemble au plus dénombrable $D_c.$ La réunion de ces ensembles $D_c$ est alors au plus dénombrable donc sa projection P sur l'axe horizontal y = 0 aussi, si bien que l'ensemble des points (x, 0) ∉ P tels que n ≤ x ≤ n + 1 est infini. On conclut en remarquant que cet ensemble est inclus dans $K_{n+1},$ c'est-à-dire que f s'annule en chacun de ces (x, 0), puisqu'elle s'annule en une infinité de points de l'intervalle vertical $V_x$ (chaque point d'intersection de $V_x$ avec un $O_c,$ quand (c, 0) parcourt C).

