Smash-produit
# Smash-produit

En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, le smash-produit X∧Y de deux espaces topologiques pointés (X, $x_0)$ et (Y, $y_0)$ est le quotient du produit X × Y par les identifications (x, $y_0)$ ∼ $(x_0,$ y), pour tout x ∈ X et tout y ∈ Y. Cet espace dépend du pointage (sauf si X et Y sont homogènes).

Les espaces X et Y sont plongés dans X × Y par identification aux sous-espaces X × ${y_0}$ et ${x_0}$ × Y, qui s'intersectent en un seul point : $(x_0,$ $y_0),$ le point base de X × Y. La réunion de ces deux sous-espaces est donc homéomorphe au wedge X∨Y, ce qui permet d'écrire le smash-produit comme le quotient suivant :

$X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).$

Le smash-produit a d'importantes applications en théorie de l'homotopie, où l'on travaille souvent avec des sous-catégories de la catégorie des espaces topologiques, ce qui conduit à modifier légèrement la définition. Par exemple dans la sous-catégorie des CW-complexes on remplace, dans la définition, le produit d'espaces topologiques par le produit de CW-complexes.

## Exemples

Le smash-produit de tout espace pointé X avec une n-sphère est homéomorphe à la suspension réduite de X itérée n fois :

$X\wedge S^{n}=\Sigma ^{n}X.$

Par exemple : $X∧S^0$ =X, $X∧S^1$ = ΣX et $S^m∧S^n$ = $Σ^nS^m$ = $S^{m+n},$ en particulier $S^1∧S^1$ = $ΣS^1$ = $S^2$ est un quotient du tore $T^2.$

## Interprétation comme produit monoïdal symétrique

Pour tous espaces pointés X, Y et Z d'une sous-catégorie « appropriée », comme celle des espaces compactement engendrés, on a des homéomorphismes naturels (préservant le point base) :

$X\wedge Y\simeq Y\wedge X\quad {\text{et}}\quad (X\wedge Y)\wedge Z\simeq X\wedge (Y\wedge Z),$

qui font d'une telle sous-catégorie une catégorie monoïdale symétrique, avec le smash-produit comme produit monoïdal et la 0-sphère pointée (l'espace discret à deux éléments) comme objet unité.

La catégorie naïve des espaces pointés, qui n'est pas cartésienne fermée, n'est pas monoïdale : (ℚ∧ℚ)∧ℕ ≄ ℚ∧(ℚ∧ℕ).

## Situation d'adjonction

Le smash-produit joue, dans la catégorie des espaces pointés, le même rôle que le produit tensoriel dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif. En particulier si A est localement compact, le foncteur (–∧A) est adjoint à gauche du foncteur Hom(A, –) :

$\mathrm {Hom} (X\wedge A,Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)),$

où Hom(A,Y) est l'espace des morphismes d'espaces pointés, muni de la topologie compacte-ouverte.

En prenant pour A le cercle unité $S^1,$ on obtient que le foncteur suspension réduite Σ est adjoint à gauche du foncteur espace des lacets Ω :

$\mathrm {Hom} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\Omega Y).$

