Polyèdre flexible
# Polyèdre flexible

En géométrie, un polyèdre flexible, ou flexaèdre, est un polyèdre que l'on peut déformer continûment sans changer la forme de ses faces. Le théorème de rigidité de Cauchy montre qu'un tel polyèdre ne peut être convexe.

## Historique

Les premiers exemples de polyèdres flexibles, les octaèdres de Bricard (en), furent découverts par Raoul Bricard en 1897. Ce sont des surfaces auto-intersectantes (on parle parfois de polyèdres croisés, ou étoilés). Le premier exemple de polyèdre flexible de $\mathbb {R} ^{3}$ non croisé, la sphère de Connelly, fut découvert par Robert Connelly (en) en 1977 ; le polyèdre de Steffen (en), le plus simple des polyèdres flexibles non croisés, fut construit par Klaus Steffen (de) en 1978 à partir des octaèdres de Bricard.

## Conjecture du soufflet

À la fin des années 70, Connelly et Sullivan formulèrent la conjecture du soufflet, affirmant que le volume d'un polyèdre flexible est invariant quand il se déforme. Cette conjecture fut démontrée en 1995 pour les polyèdres homéomorphes à la sphère (et donc de caractéristique d'Euler égale à 2) par Sabitov en utilisant la théorie de l'élimination ; en 1997, Connelly, Sabitov et Walz démontrèrent le cas général en utilisant une extension à tous les polyèdres de la formule de Piero della Francesca donnant le volume d'un tétraèdre. Cette formule étendue montre que le volume est une racine d'un polynôme dont les coefficients ne dépendent que des longueurs des côtés du polyèdre ; durant une déformation continue, ce polynôme reste fixe, et ses racines forment un ensemble discret, donc le volume reste invariant.

## Invariants

Connelly conjectura également que l'invariant de Dehn d'un polyèdre flexible ne varie pas lorsque le polyèdre se déforme. Cette conjecture fut démontrée en 2018, et est désormais connue sous le nom de théorème fort du souflet. Il est possible de définir un analogue de la courbure moyenne pour les polyèdres, comme étant la somme des produits des longueurs des arêtes par les angles (extérieurs) des dièdres qu'elles délimitent ; ce nombre reste lui aussi constant lorsque le polyèdre se déforme.

## Existence

Il est prouvé que tout polyèdre simple à 7 sommets ou moins est rigide. Le polyèdre de Steffen est un exemple de polyèdre flexible à 9 sommets. L'existence ou non de polyèdre flexible à 8 sommets reste en 2006 un problème ouvert.

## Généralisations

Des 4-polytopes flexibles, et des polyèdres flexibles de l'espace hyperbolique à 3 dimensions furent construits par Hellmuth Stachel (en) en 2000. En dimensions $n\geq 5$, des polytopes flexibles furent construits par Alexander Gaifullin en 2014.

