Produit semi-direct
# Produit semi-direct

En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

## Produit semi-direct interne

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

* $H\cap K=\{1\}{\text{ et }}G=HK$ (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
* $\forall g\in G,\exists !(h,k)\in H\times K,g=hk$ (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
* la restriction à K de la surjection canonique $G\to G/H$ est un isomorphisme entre $K$ et $G/H$ ;
* la surjection canonique $G\to G/H\to 1$ se scinde par un morphisme $s$ tel que $s(G/H)=K$.

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

    $g_{1}=h_{1}k_{1}{\text{ et }}g_{2}=h_{2}k_{2}$

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

    $g_{1}g_{2}=h_{1}k_{1}h_{2}k_{2}=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})$

décomposé en un élément $h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}$ de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément $k_{1}k_{2}$ de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

    $(h_{1},k_{1})(h_{2},k_{2})=(h_{1}(k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}),k_{1}k_{2})$

Pour tout $k\in K$, l'application

    $\quad f(k):H\to H:h\mapsto khk^{-1}$

est un automorphisme de H. En outre, l'application

    $f:K\to {\text{Aut}}(H):k\mapsto f(k)$

est un morphisme de groupes.

## Produit semi-direct externe

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, $H$ et $K$, et un morphisme $f$ de $K$ dans le groupe ${\rm {Aut}}(H)$ des automorphismes de $H$, étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe $G$ de $H$ et $K$ suivant $f$ comme le produit cartésien de $H$ et $K$ muni de la loi de groupe :

    $(h_{1},k_{1})(h_{2},k_{2})=(h_{1}f(k_{1})(h_{2}),k_{1}k_{2})~$

où l'inverse d'un élément $\left(h,k\right)$ est $\left(f(k^{-1})(h^{-1}),\ k^{-1}\right)$.

On peut injecter $H$ dans $G$ par l'injection canonique $h\ \mapsto \ (h,e_{K})$, et injecter $K$ dans $G$ par l'injection canonique $k\ \mapsto \ (e_{H},k)$. On vérifie alors que $G$ est le produit semi-direct interne de $H$ par $K$ au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme $f(k)$ est l'automorphisme de conjugaison par $k$. On note

    $G=H\rtimes _{f}K$ ou tout simplement $G=H\times _{f}K$.

Le cas où $f$ est le morphisme trivial de groupe (i.e. $f(k_{1})(h_{2})=h_{2}$) correspond au produit direct.

Soient H, $H_1,$ K, $K_1$ des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), $f_1$ un morphisme de $H_1$ dans $Aut(K_1).$ Alors f et $f_1$ peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de $H_1$ sur $K_1$ par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

    $H\rtimes _{f}K$ et $H_{1}\rtimes _{f_{1}}K_{1}$

sont des groupes isomorphes.

## Exemples

* Le groupe diédral $D_{2n}$ est le produit semi-direct d'un groupe cyclique $C_n$ d'ordre n par un groupe cyclique $C_2$ d'ordre 2, où l'unité de $C_2$ agit sur $C_n$ comme l'application identique et l'autre élément de $C_2$ agit sur $C_n$ par inversion. Explicitement, le morphisme $f$ de $C_2$ dans $Aut(C_n)$ est défini par :si $C_{n}=\langle x\rangle$ et $C_{2}=\langle y\rangle$, alors $\forall k\in \{0;1;2;\dots ;n-1\},f(1)(x^{k})=x^{k},f(y)(x^{k})=x^{-k}.$Géométriquement, le groupe $C_n$ est engendré par une rotation, le groupe $C_2$ par une réflexion.
* Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme $f(v)=u+\varphi (v)$ où $\varphi$ est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple $(u,\varphi )$. La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :

$(u,\varphi )(v,\psi ):=(u+\varphi (v),\varphi \circ \psi )$

* En particulier, le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
* Le groupe symétrique est le produit semi-direct du groupe alterné par le groupe engendré par une transposition.
* Le groupe linéaire sur un anneau commutatif R est le produit semi-direct du groupe spécial linéaire (des endomorphismes de déterminant 1) par le groupe $R^×$ des éléments inversibles de R.
* L'holomorphe d'un groupe G peut être défini comme le produit semi-direct de G par Aut(G) (groupe des automorphismes de G) relativement à l'opération naturelle de Aut(G) sur G.

## Groupe dérivé

Le groupe dérivé D(G) d'un produit semi-direct G = H⋊K est égal au sous-groupe (D(H)[H, K])⋊D(K).

    En effet, D(G) est le sous-groupe engendré par la réunion des trois sous-groupes D(H), [H, K] (inclus dans H) et D(K), or l'ensemble produit D(H)[H, K] est un sous-groupe de H, stable par l'action de K donc par celle du sous-groupe D(K).
