Suite de Riesz
# Suite de Riesz

En mathématiques, une suite de vecteurs $(x_n)$ dans un espace de Hilbert $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ est appelée suite de Riesz s'il existe des constantes $0<c\leq C<+\infty$ telles que

    $c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

pour toute suite de scalaires $(a_n)$ dans l'espace $ℓ^2.$

Une suite de Riesz est appelée base de Riesz si

    ${\overline {\mathop {\rm {vect}} (x_{n})}}=H$ .

## Théorèmes

Si H est un espace de dimension finie, alors toute base de H est une base de Riesz.

Soit φ dans l'espace $L^2(R),$ soit

    $\phi _{n}(x)=\phi (x-n)$

et soit ${\hat {\varphi }}$ la transformée de Fourier de φ. On définit des constantes c et C telles que $0<c\leq C<+\infty$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

    $1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$
    $2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C$

La première des conditions ci-dessus est la définition pour que $(φ_n)$ forme une base de Riesz pour le sous-espace qu'elle engendre.

