Fonction de Liouville
# Fonction de Liouville

La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par

$\quad \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},$

où Ω (n) désigne le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0 :

${\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}\Omega (n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}.$

Par exemple 12 = 2² × 3, d'où Ω (12) = 3).

## Propriétés

* La fonction λ est complètement multiplicative car la fonction Ω est complètement additive. Par conséquent λ(1) = 1.
* Elle satisfait l'identité suivante, où ✻ désigne la convolution de Dirichlet, 1 la fonction constante 1 et $χ_C$ la fonction indicatrice de l'ensemble C des carrés parfaits :$\lambda *{\mathbf {1} }=\chi _{C},\quad {\rm {ou~encore~:}}\quad \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$En effet, ces deux fonctions de n sont multiplicatives et coïncident clairement sur les puissances de nombres premiers.
* La fonction de Liouville est l'inverse, pour ✻, de la valeur absolue de la fonction de Möbius μ. Cette propriété se déduit de la précédente en remarquant que $χ_C$ ✻ |μ| = 1.
* La série de Dirichlet de λ est reliée à la fonction zêta de Riemann par la formule :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.$

* La série de Lambert de λ est :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)$

où $\vartheta _{3}(q)$ est une fonction thêta de Jacobi.

## Conjectures

### Conjecture de Pólya

On note $L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)$. Pólya avait conjecturé en 1919 que $\forall n>1,\;L(n)\leqslant 0$,ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple $n^,$ : L (906 150 257) = 1. On a même L(n) > 0,061867 √n pour une infinité d'entiers n. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini, et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient.

Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit $M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}$, alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par $Haselgrove^,.$ Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraîné, comme l'avait montré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.

### Conjecture de Chowla

Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour $k$ nombres entiers strictement positifs $b_{i}$ tous distincts et $k$ nombres entiers strictement positifs $a_{i}$ avec $a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\neq 0$ pour $1\leq i<j\leq k$, on a :

    $\sum _{1\leq n\leq x}\lambda (a_{1}n+b_{1})\cdot \cdot \cdot \lambda (a_{k}n+b_{k})=o(x)$ quand $x\to \infty$,

où $o$ désigne le symbole de Landau.

La conjecture est vraie pour $k=1$ puisque équivalente au théorème des nombres premiers ; elle est ouverte pour $k\geq 2$.

En 2015, Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill et Terence Tao ont réalisé des progrès, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture. En 2016, Terence Tao a démontré une version logarithmique de la conjecture dans le cas $k=2$. Une conjecture similaire se formule de la même façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.

