Grassmannienne
# Grassmannienne

En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou $G_{k,n}(K)$ la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ».

## Généralités

### Exemples

* Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
* Pour k = n – 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, car chaque point correspond à un hyperplan.
* Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

### Grassmannienne comme quotient

Pour le voir, on note $GL_{p,n}$ l'ensemble des matrices de taille (n, p) et de rang p et $SL_{p,n}$ la variété de Stiefel des matrices de taille (n, p) dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que $G_{p,n}$ est en bijection avec l'espace des orbites de l'action (par multiplication à droite) de $GL_{p}$ sur $GL_{p,n}$, ainsi qu'à celui de l'action de $U_{p}$ (le groupe des matrices unitaires de taille p) sur $SL_{p,n}$.

On montre que les topologies induites par ces représentations sont identiques en utilisant la factorisation de Cholesky.

## Plongement de Plücker

Un autre façon de réaliser la grassmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ dans l'espace projectif $\mathbb {P} (\Lambda ^{p}(\mathbb {R} ^{n}))$ des produits extérieurs de degré k dans l'espace $ℝ^n$ prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de $ℝ^4.$

## Recouvrement par des cartes affines

On introduit la base canonique $(e_{i})_{i\in [[1,n]]}$ de E = $ℝ^n$ et l'on note S une k-partie de {1, … , n}, $E_{1}=E_{S}$ le sous-espace engendré par les vecteurs $(e_{i})_{i\in S}$.

On note $V_{S}=G_{k,n,S}$ l'ensemble des supplémentaires de $E_{2}=E_{S^{c}}$.

### Première étape

    Soit V un élément de $V_S.$
    Tout vecteur $x\in V$ s'écrit de façon unique $x=u+v=p(x)+q(x)$ avec $u\in E_{1}$ et $v\in E_{2}$. L'application $V\to E_{1},x\mapsto u$ est linéaire et injective. Comme V et $E_{1}$ ont même dimension, c'est un isomorphisme. On note $\phi \in L(E_{1},V)$ l'isomorphisme réciproque. On a alors $x=u+q\circ \phi (u)$ avec $\psi =q\circ \phi \in L(E_{1},E_{2}).$

### Seconde étape

    L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective, à tout élément V de $V_{S}$, une application $\psi \in L(E_{1},E_{2})$, ou encore sa matrice (dans les bases canoniques de $E_1$ et $E_2),$ $\psi _{S}(V)\in M_{n-k,k}$ (l'ensemble des matrices réelles de taille n – k, k).
    Cette bijection $\psi _{S}:G_{k,n,S}=V_{S}\to M_{n-k,k}$ est une description affine de $G_{k,n,S}$, qui est une partie ouverte (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la grassmannienne $G_{k,n}$.

### Troisième étape

    On montre que tout élément de $G_{k,n}$ appartient à $G_{k,n,S}$ pour au moins une k-partie S, et que pour deux parties différentes S et T, le changement de cartes $\psi _{T}\circ (\psi _{S})^{-1}$ induit par les descriptions de $G_{k,n,S}$ et $G_{k,n,T}$ est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre $\psi _{S}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})$ et $\psi _{T}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})$.

## Interprétation comme variété algébrique

On en déduit par recollement que cette grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ est une variété non singulière, affine, fermée et bornée, birégulièrement isomorphe à $G(n-p,n)(\mathbb {R} )$.

## Grassmanniennes euclidiennes

Soit $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de $ℝ^n.$ Dans l'espace $M_{n}(\mathbb {R} )$ des matrices carrées de taille n à coefficients réels, considérons le sous-ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de rang p, c'est-à-dire des matrices A vérifiant les trois conditions :

* $A^{2}=A$ (c'est la matrice d'un projecteur) ;
* $^{\rm {t}}A=A$ (elle est symétrique) ;
* ${\rm {Tr}}(A)=p$ (sa trace est p).

On obtient par ce biais une représentation de $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ comme un sous-ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.

