Fonction de Debye
# Fonction de Debye

En mathématiques, les fonctions de Debye, du nom de Peter Debye, sont des fonctions réelles utilisées en thermodynamique, comme dans les calculs analytiques des intégrales de radiation ou des capacités thermiques de ce qu'on appelle de nos jours le modèle de Debye.

## Définitions

La définition usuelle des fonctions de Debye est définie pour tout entier positif n :

    $D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t.$

Debye a utilisé la fonction $D_3$ pour le calcul de capacités thermiques en 1912.

On utilise également la fonction complémentaire :

    ${\overline {D_{n}}}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{x}^{+\infty }{\frac {t^{n}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t.$

Une définition plus complète remplace l'entier n par un réel p strictement positif, de sorte que :

    $D_{p}(x)={\frac {p}{x^{p}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{p}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t.$

ou peut inclure un paramètre β positif :

    $D_{n,\beta }(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{(\mathrm {e} ^{t}-1)^{\beta }}}\,\mathrm {d} t.$

## Propriétés

### Relations

On a :

    $\forall p>0,\ D_{p}(x)+{\overline {D_{p}}}(x)={\frac {p}{x^{p}}}\Gamma (p+1)\zeta (p+1).$

### Relations aux autres fonctions

Les fonctions de Debye sont fortement reliées aux fonctions polylogarithmes, les unes apparaissant dans les développements en série des autres (Abramowitz & Stegun, § 27.1) :

    $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \operatorname {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{x})=\sum _{k=0}^{n-1}D_{n-k}(-x){x^{k} \over k!},\quad D_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(\mathrm {e} ^{-x}){x^{k} \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots )$

### Développement en séries

Les fonctions de Debye ont pour développement en série $entière^,$

    $\forall x\in ,\quad D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,$

où $B_n$ est le ne nombre de Bernoulli.

On a également

    $\forall x\in ,D_{n,\beta }(x)={\frac {n}{x^{n}}}\sum _{k=0}^{+\infty }(-1)^{k}{\frac {(-1)^{k}\Gamma (\beta +k)}{k!\Gamma (\beta )}}{\frac {\gamma (n+1,(\beta +k)x)}{(\beta +k)^{n+1}}}$

où γ désigne la fonction gamma incomplète.

### Limites

Toutes les fonctions de Debye tendent vers 1 en 0 :

    $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.$

Avec Γ la fonction Gamma d'Euler et ζ la fonction zêta de Riemann, on a,

    $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,\mathrm {d} t}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\sim _{+\infty }{\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1)$

### Dérivée

La dérivée vérifie l'équation fonctionnelle

    $\forall x>0,\ \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ xD_{n}^{\prime }(x)=n(B(x)-D_{n}(x)),$

avec $B(x)=x/(\mathrm {e} ^{x}-1)$, la fonction de Bernoulli.

## Applications en physique du solide

### Modèle de Debye

Le modèle de Debye a une densité d'états vibrationnels

    $g_{\rm {D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\rm {D}}^{3}}}\quad \mathrm {pour} \quad 0\leq \omega \leq \omega _{\rm {D}}$

avec $ω_D$ la fréquence de Debye.

### Énergie interne et capacité thermique

En insérant la densité g dans l'énergie interne

    $U=\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )$

avec la distribution de Bose-Einstein

    $n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}$.

on obtient

    $U=3k_{\rm {B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\rm {D}}/k_{\rm {B}}T)$.

La capacité thermique est la dérivée vue au-dessus.

### Déplacement quadratique moyen

L'intensité de la diffraction des rayons X ou la diffraction des neutrons au nombre d'onde q est donnée par le facteur de Debye-Waller ou le facteur de Lamb-Mössbauer (en). Pour des systèmes isotropes, il prend la forme

    $\exp(-2W(q))=\exp(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle$).

Dans cette expression, le déplacement quadratique moyen renvoie à une seule composante cartésienne $u_x$ du vecteur u qui décrit le déplacement d'atome à partir de leurs positions d'équilibre. En supposant l'harmonicité en développant les modes normaux, on retrouve

    $2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\rm {B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}+1\right].$

En insérant les densités d'état depuis le modèle de Debye, on trouve

    $2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega _{\rm {D}}}}\right)D_{1}\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {D}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)+{\frac {1}{2}}\right]$.

Avec le développement en série entière de $D_1,$ on trouve le déplacement quadratique moyen à hautes températures, qui dépend linéairement de la température

    $2W(q)={\frac {3k_{\rm {B}}Tq^{2}}{M\omega _{\rm {D}}^{2}}}$.

L'absence de $\hbar$ indique qu'il s'agit d'un résultat de physique classique. Puisque $D_1(x)$ tend vers 0 pour $x\to \infty$ on trouve pour T = 0 (énergie du point zéro).

    $2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}.$
