Espace L2
# Espace L2

En mathématiques, l'espace $L^2$ est le cas particulier p = 2 de l'espace $L^p.$

Plus explicitement, si Ω est un espace mesuré, muni d'une mesure positive, µ (par exemple un ouvert de $ℝ^n$ muni de la mesure de Lebesgue), on considère d'abord l'espace — souvent noté $ℒ^2(μ)$ — des fonctions mesurables définies sur Ω (à valeurs réelles ou complexes) qui sont de carré intégrable au sens de l'intégrale de Lebesgue. Il est muni de la forme hermitienne positive définie par

    $(f,g)_{\mathrm {L} ^{2}}=\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)$.

On définit alors l'espace de Hilbert $L^2(μ)$ (ou $L^2(Ω)$ si µ est la mesure de Lebesgue) comme le quotient de $ℒ^2(μ)$ par le sous-espace vectoriel des fonctions nulles presque partout. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

## Processus du second ordre

La notation $L^2$ a parfois une autre signification :

Définition — Un processus stochastique est dit du second ordre si, en tout site, il est à valeurs réelles et de carré intégrable (l'espérance de son carré est finie). On note $L^2$ l'ensemble des processus du second ordre

On parle également de champ du second ordre. Un processus gaussien est du second ordre.

Un cas important est celui des fonctions aléatoires stationnaires d'ordre 2.

