Graphe local de McLaughlin
# Graphe local de McLaughlin

Le graphe local de McLaughlin est, en théorie des graphes, un 56-régulier possédant 162 sommets et 4 536 arêtes. C'est plus précisément l'unique graphe fortement régulier de paramètres (162, 56, 10, 24), unicité prouvée par Cameron, Goethals et Seidel en 1978. Il peut être construit à partir du graphe de McLaughlin en supprimant un de ses sommets ainsi que tous ses voisins.

## Propriétés

### Propriétés générales

Le diamètre du graphe local de McLaughlin, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 56-sommet-connexe et d'un graphe 56-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 56 sommets ou de 56 arêtes.

### Propriétés algébriques

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe local de McLaughlin est : $(x-56)(x-2)^{140}(x+16)^{21}$. Ce polynôme caractéristique n'admet que des racines entières. Le graphe local de McLaughlin est donc un graphe intégral, un graphe dont le spectre est constitué d'entiers.

C'est également le seul graphe avec ce polynôme caractéristique : le graphe local de McLaughlin est déterminé de façon unique par son spectre de graphe, l'ensemble des valeurs propres de sa matrice d'adjacence.

