Espace T1
# Espace T1

En mathématiques, un espace accessible (ou espace $T_1,$ ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.

## Définition

Un espace topologique E est $T_1$ si pour tout couple (x, y) d'éléments de E distincts, il existe un ouvert contenant x et pas y.

## Propriétés

Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

* E est $T_1$ ;
* E est $T_0$ et $R_0$ ;
* pour tout x de E, le singleton {x} est fermé ;
* tout singleton est l'intersection de ses voisinages ;
* toute partie de E est l'intersection de ses voisinages (ou encore : des ouverts qui la contiennent) ;
* tout sous-ensemble fini de E est fermé ;
* tout sous-ensemble cofini de E est ouvert ;
* pour tout point x, l'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x ;
* tout point limite d'une partie de E est point d'accumulation de cette partie.

## Exemples

* Tout espace $T_2$ est $T_1.$
* La topologie cofinie sur un ensemble infini est $T_1$ mais pas séparée.
