Formulaire de relativité restreinte
# Formulaire de relativité restreinte

Cet article contient un ensemble de formules utiles en relativité restreinte.

## Les notations

### Référentiels utilisés

On considère deux référentiels galiléens Oxyz et O’x’y’z’, dont les axes Ox et O’x’ sont confondus, O’y’ et O’z’ étant respectivement parallèles à Oy et Oz. On suppose que le repère O’x’y’z’ se déplace par rapport au repère Oxyz, avec une vitesse constante égale à v le long de l'axe Ox.

Toutes les quantités relatives au premier repère seront notées sans apostrophe (par exemple, un événement y sera localisé par le quadrivecteur$(ct,\mathbf {r} )=(ct,x,y,z)$), et avec une apostrophe pour le deuxième repère (le quadrivecteur y sera donc noté $(ct',\mathbf {r'} )=(ct',x',y',z')$).

On suppose que O et O’ coïncident pour la même origine des temps $t\,=\,t'\,=\,0$.

On pose :

    $\beta \,=\,{\frac {v}{c}}$
    $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
    ou $\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ s'il est nécessaire de préciser la dépendance envers v.

### Le paramètre angulaire de vitesse

Pour simplifier les formules, il est utile d'introduire le paramètre angulaire de vitesse θ défini par les formules suivantes :

    $\beta \,=\,\tanh(\theta )$ soit $\theta \,=\,\mathrm {atanh} (\beta )$

À l'aide de ce paramètre on peut écrire :

    $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(\theta )}}}=\cosh(\theta )$
    $\beta \gamma \,=\,\tanh(\theta )\cosh(\theta )=\sinh(\theta )$

## Transformation des coordonnées

### Les transformations de Lorentz

Elles donnent la façon dont se transforme le quadrivecteur $(ct,\mathbf {r} )$ de coordonnées spatio-temporelles (ct, x, y, z) d'un même événement quand on passe d'un référentiel à l'autre :

    ${\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta x')\\x=\gamma (x'+\beta ct')\\y=y'\\z=z'\end{cases}}$

ce qui donne sous forme matricielle (plus facile à visualiser) :

    ${\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\beta \gamma &0&0\\\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}$

En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on obtient des expressions analogues aux formules de changement d'axes de coordonnées par rotation plane, mais avec des fonctions hyperboliques :

    ${\begin{cases}ct=ct'\cosh(\theta )+x'\sinh(\theta )\\x=ct'\sinh(\theta )+x'\cosh(\theta )\end{cases}}$

On obtient les transformations inverses en changeant le signe de la vitesse.

Les transformations de Lorentz s'appliquent à tous les quadrivecteurs.

### Le temps propre

La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées

    $c^{2}\tau ^{2}\,=\,c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\,c^{2}t'^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})$

et définit le temps propre $\,\tau \,.$

Soit une particule se déplaçant dans le référentiel Oxyz. Si sa position à l'instant t est (x, y, z) et sa vitesse est w, alors on a :

    ${\rm {d}}t={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}{\rm {d}}\tau =\gamma (w){\rm {d}}\tau$

### La dilatation du temps

Si l'horloge du référentiel O’x’y’z’ mesure la durée $\Delta \,t'$ entre deux événements se produisant au même endroit dans ce référentiel, donc séparés par une distance spatiale $\Delta \,x'=0$, alors la durée mesurée dans le référentiel Oxyz est :

    $\Delta t=\Delta t'\cosh(\theta )=\gamma \Delta t'={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,.$

En particulier, la durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.

### La contraction des longueurs

Si un objet fixe dans le référentiel O’x’y’z’ est de longueur L’ selon l'axe O’x’ dans ce repère (longueur propre), sa longueur L mesurée au même instant t dans le référentiel Oxyz par la distance entre les deux points de l'axe Ox délimitant l'avant et l'arrière de l'objet, donc correspondant à $\Delta t\,=\,0$, est donnée par :

    $L={\frac {L'}{\gamma }}=L'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

La longueur mesurée dans un référentiel par rapport auquel un objet se déplace est plus petite que la longueur propre de l'objet.

## Cinématique

### Loi de composition des vitesses

Si un point est mobile dans le référentiel O’x’y’z’ avec une vitesse $\mathbf {w'}$ parallèle à O’x’ et de module w’ , alors sa vitesse $\mathbf {w}$ dans le référentiel Oxyz est parallèle à Ox et son module vaut :

    $w\,=\,{\frac {w'+v}{1+{\frac {w'v}{c^{2}}}}}$

En utilisant les paramètres angulaires,

    $\alpha '\,=\,\mathrm {atanh} \left({\frac {w'}{c}}\right)$
    $\alpha \,=\,\mathrm {atanh} \left({\frac {w}{c}}\right)$
    $\theta \,=\,\mathrm {atanh} \left({\frac {v}{c}}\right)$

on a la loi additive $\alpha \,=\,\alpha '+\theta$.

Plus généralement, si la vitesse $\mathbf {w'}$ du point mobile dans le référentiel O’x’y’z’ a pour composantes $(w_{x}',w_{y}',w_{z}')$, alors les composantes $(w_{x},w_{y},w_{z})$ de sa vitesse $\mathbf {w}$ dans le référentiel Oxyz sont :

    $w_{x}={\frac {w_{x}'+v}{1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}}}$
    $w_{y}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {w_{y}'}{1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}}}$
    $w_{z}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {w_{z}'}{1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}}}$

Les transformations inverses s'obtiennent en changeant le signe de la vitesse v.

### Quadrivecteur vitesse

Soit une particule se déplaçant dans l'espace. Ses composantes $(ct,\mathbf {r} )=(ct,x,y,z)$ formant un quadrivecteur, il en est de même de $(c{\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }},{\frac {{\rm {d}}\mathbf {r} }{{\rm {d}}\tau }})=({\frac {c{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }},{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}\tau }},{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}\tau }},{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}\tau }})$, où $\tau$ est le temps propre de la particule. Il s'agit de la quadrivitesse.

Comme ${\rm {d}}t={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}{\rm {d}}\tau =\gamma (w){\rm {d}}\tau$, où w est le module de la vitesse de la particule dans le repère Oxyz, la quadrivitesse s'écrit aussi :

    $\gamma (w)(c,{\frac {{\rm {d}}\mathbf {r} }{{\rm {d}}t}})=\gamma (w)(c,\mathbf {w} )$

où $\mathbf {w}$ est la vitesse de la particule dans le référentiel considéré. La transformation de Lorentz appliquée à ce quadrivecteur permet de retrouver les formules de composition des vitesses.

### Transformation des accélérations

Si un point est mobile dans le référentiel O’x’y’z’ avec une vitesse $\mathbf {w'}$ de composantes $(w_{x}',w_{y}',w_{z}')$ et une accélération $\mathbf {a'} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {w'} }{{\rm {d}}t'}}$ de composantes $(a_{x}',a_{y}',a_{z}')$ , alors les composantes $(a_{x},a_{y},a_{z})$ de son accélération $\mathbf {a} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {w} }{{\rm {d}}t}}$ dans le référentiel Oxyz sont :

    $a_{x}=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}{\frac {a_{x}'}{\left(1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}\right)^{3}}}$
    $a_{y}=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right){\frac {a_{y}'\left(1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}\right)-a_{x}'{\frac {w_{y}'v}{c^{2}}}}{\left(1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}\right)^{3}}}$
    $a_{z}=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right){\frac {a_{z}'\left(1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}\right)-a_{x}'{\frac {w_{z}'v}{c^{2}}}}{\left(1+{\frac {w_{x}'v}{c^{2}}}\right)^{3}}}$

Les transformations inverses s'obtiennent en changeant le signe de la vitesse v.

### Quadrivecteur accélération

Comme pour la vitesse, on peut définir un quadrivecteur accélération donné par $(c{\frac {{\rm {d^{2}}}t}{{\rm {d}}\tau ^{2}}},{\frac {{\rm {d}}\mathbf {r^{2}} }{{\rm {d}}\tau ^{2}}})$, où $\tau$ est le temps propre de la particule. Ce quadrivecteur se modifie d'un référentiel à l'autre par les transformations de Lorentz. Sa relation avec l'accélération précédemment définie $\mathbf {a} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {r^{2}} }{{\rm {d}}\tau ^{2}}}$ résulte des règles de calcul de la dérivée seconde d'une fonction composée. Notons $\mathbf {w}$ la vitesse de la particule à un instant donné. On a :

    ${\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}=\gamma (w)$
    ${\frac {{\rm {d^{2}}}t}{{\rm {d}}\tau ^{2}}}=\gamma (w){\frac {{\rm {d}}\gamma (w)}{{\rm {d}}t}}={\frac {(\mathbf {w} ,\mathbf {a} )}{c^{2}}}\gamma (w)^{4}$, où $(\mathbf {w} ,\mathbf {a} )$ désigne le produit scalaire usuel entre la vitesse $\mathbf {w}$ et l'accélération $\mathbf {a}$.
    ${\frac {{\rm {d}}\mathbf {r} }{{\rm {d}}\tau }}=\gamma (w)\mathbf {w}$
    ${\frac {{\rm {d^{2}}}\mathbf {r} }{{\rm {d}}\tau ^{2}}}=\gamma (w)^{2}\mathbf {a} +\gamma (w){\frac {{\rm {d}}\gamma (w)}{{\rm {d}}t}}\mathbf {w} =\gamma (w)^{2}\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {w} ,\mathbf {a} )}{c^{2}}}\gamma (w)^{4}\mathbf {w}$

Les transformations de Lorentz sur les membres de gauche sont équivalentes aux transformées des vitesses et accélérations vues précédemment sur les membres de droite.

## Dynamique

### Le quadrivecteur énergie-impulsion

Le quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule en mouvement est le produit de la quadrivitesse par la masse m (au repos) de la particule :

    $(p_{t},\mathbf {p} )=(m{\frac {c{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }},m{\frac {{\rm {d}}\mathbf {r} }{{\rm {d}}\tau }})$
    autrement dit, $(p_{t},p_{x},p_{y},p_{z})=(m{\frac {c{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }},m{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}\tau }},m{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}\tau }},m{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}\tau }})$

Si la vitesse de la particule est $\mathbf {w}$, de module w, on a :

    ${\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}\,=\,\gamma (w)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}$

et :

    $p_{t}=m{\frac {c{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}=\gamma (w)mc={\frac {E}{c}}$
    $E=\gamma (w)mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}$ est l'énergie de la particule.

de sorte que $(p_{t},\mathbf {p} )=\gamma (w)(mc,m\mathbf {w} )$. Le module de $\mathbf {p}$ est :

    $p=m\gamma (w)w={\frac {mw}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}$

Aux faibles vitesses $w\,\ll \,c$

    $E\,=\,mc^{2}+{\frac {1}{2}}mw^{2}$

On a toujours la relation

    $\mathbf {p} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {w}$

La quantité suivante est invariante dans un changement de repère

    $E^{2}-p^{2}c^{2}\,=\,m^{2}c^{4}$

Pour un photon, m = 0 et

    $E\,=\,pc$

### Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'une particule dont la vitesse est w, est

    $K\,=E-mc^{2}\,=\,mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)$

Pour $w\ll c$

    $K\,=\,{\frac {1}{2}}mw^{2}\,$

et pour $w\simeq c$

    $K\simeq E\simeq pc\simeq {\frac {mc^{2}}{\sqrt {2(1-{\frac {w}{c}})}}}$

### Formules de changement de repère

$({\frac {E}{c}},\mathbf {p} )$ étant un quadrivecteur, on passe de ses composantes d'un repère à un autre au moyen des transformations de Lorentz, d'où :

    ${\begin{cases}{\frac {E}{c}}=\gamma ({\frac {E'}{c}}+\beta p'_{x})\\p_{x}=\gamma (\beta {\frac {E'}{c}}+p'_{x})\\p_{y}=p'_{y}\\p_{z}=p'_{z}\end{cases}}$

ou

    ${\begin{cases}{\frac {E}{c}}={\frac {E'}{c}}\cosh(\theta )+p'_{x}\sinh(\theta )\\p_{x}={\frac {E'}{c}}\sinh(\theta )+p'_{x}\cosh(\theta )\\p_{y}=p'_{y}\\p_{z}=p'_{z}\end{cases}}$

Les transformations inverses s'obtiennent en changeant le signe de la vitesse v de déplacement d'un repère par rapport à l'autre.

### Quadrivecteur force et transformation des forces

La force $\mathbf {F}$ usuelle qui s'applique sur la particule vérifie la loi de Newton suivante :

    $\mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}t}}$

et on peut montrer que le produit scalaire usuel $(\mathbf {F} ,\mathbf {w} )$ de la force $\mathbf {F}$ par la vitesse $\mathbf {w}$ de la particule de masse m satisfait :

    $(\mathbf {F} ,\mathbf {w} )={\frac {{\rm {d}}E}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\gamma (w)}{{\rm {d}}t}}mc^{2}=\gamma (w)^{3}(\mathbf {w} ,\mathbf {a} )m=\gamma (w)^{2}(\mathbf {w} ,\mathbf {a} ){\frac {E}{c^{2}}}$

où $\mathbf {a} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {w} }{{\rm {d}}\mathbf {t} }}$ est l'accélération de la particule.

En dérivant la relation $\mathbf {p} =\gamma (w)m\mathbf {w}$ par rapport à t, on obtient :

    $\mathbf {F} =\gamma (w)m\mathbf {a} +\gamma (w)^{3}(\mathbf {w} ,\mathbf {a} ){\frac {m}{c^{2}}}\mathbf {w}$

Le quadrivecteur force est défini par $({\frac {{\rm {d}}E}{c{\rm {d}}\tau }},{\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}\tau }})$, où $\tau$ est le temps propre de la particule. Comme ${\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}=\gamma (w)$, on a :

    $({\frac {{\rm {d}}E}{c{\rm {d}}\tau }},{\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}\tau }})=\gamma (w)({\frac {(\mathbf {F} ,\mathbf {w} )}{c}},\mathbf {F} )$

Ce quadrivecteur se modifie du référentiel Oxyz au référentiel O’x’y’z’ par les transformations de Lorentz. On peut alors obtenir la façon dont se transforment les composantes $(F_{x},F_{y},F_{z})$ de la force $\mathbf {F}$ :

    $F_{x}={F_{x}+{v \over c^{2}}(\mathbf {F} ,\mathbf {w} ) \over 1+{vw_{x} \over c^{2}}}$
    $F_{y}={F_{y} \over \gamma (1+{vw_{x} \over c^{2}})}$
    $F_{z}={F_{z} \over \gamma (1+{vw_{x} \over c^{2}})}$

## Électromagnétisme

### Transformation du champ électro-magnétique

Les règles de transformation des forces du référentiel Oxyz au référentiel O’x’y’z’, dans le cas de la force de Lorentz appliquée à une particule chargée se déplaçant dans le référentiel Oxyz et plongée dans un champ électrique $\mathbf {E}$ et un champ magnétique $\mathbf {B}$, conduisent aux formules de transformation des champs électrique et magnétique suivantes, de façon que l'expression de la force de Lorentz reste valide dans le référentiel O’x’y’z’ :

    $\left\{{\begin{matrix}E'_{x}=E_{x}\\E'_{y}=\gamma (E_{y}-vB_{z})\\E'_{z}=\gamma (E_{z}+vB_{y})\\B'_{x}=B_{x}\\B'_{y}=\gamma (B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z})\\B'_{z}=\gamma (B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y})\end{matrix}}\right.$

Les équations de Maxwell sont alors également conservées dans les deux référentiels.

### Quadrivecteur potentiel

Les formules précédentes sont équivalentes au fait qu'on dispose d'un quadrivecteur $({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} )$, où $\phi$ est le potentiel scalaire et $\mathbf {A}$ le potentiel vecteur, qui se modifie par les transformations de Lorentz lorsqu'on passe d'un référentiel à un autre.

## Phénomènes divers

### Effet Doppler-Fizeau

$\nu$ étant la fréquence reçue dans le référentiel Oxyz d'un signal émis par une source fixe dans le référentiel O’x’y’z’ avec une fréquence propre$\nu '$, $\theta '\,$ l'angle que fait le photon avec l'axe Ox’ dans le repère O’x’y’z’ de cette source, $\theta \,$ l'angle avec l'axe Ox dans le repère Oxyz, $v\,$ la vitesse de la source par rapport à Oxyz et $v_{r}\equiv v\cos(\theta ')$ la vitesse radiale, on a :

    $\nu \,=\,\gamma \,(1+\beta \cos(\theta '))\nu '\equiv {\frac {1+{\frac {v_{r}}{c}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,\nu '$

Aux faibles vitesses $v\ll c$

    ${\frac {\Delta \nu }{\nu }}\equiv {\frac {\nu -\nu '}{\nu '}}\simeq {\frac {\nu -\nu '}{\nu }}\simeq {\frac {v_{r}}{c}}\,.$

Si la source s'éloigne, v est positif, $\cos(\theta ')$ est négatif, $v_{r}\,=\,v\cos(\theta ')$ est négatif, de sorte que la fréquence diminue (la longueur d'onde augmente, c'est le décalage vers le rouge).

### Phénomène d'aberration de la lumière

Avec les mêmes notations que ci-dessus, on a :

    ${\begin{cases}\cos(\theta ')={\frac {\beta +\cos(\theta )}{1+\beta \cos(\theta )}}\\\sin(\theta ')={\frac {1}{\gamma }}{\frac {\sin(\theta )}{1+\beta \cos(\theta )}}\end{cases}}$

### Quadrivecteur onde

Les deux phénomènes précédents se déduisent du fait qu'on dispose d'un quadrivecteur onde $({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} )$, où $\omega$ est la pulsation de l'onde et $\mathbf {k}$ le vecteur d'onde, lorsqu'on lui applique les transformations de Lorentz.

