Formulaire de géométrie classique
# Formulaire de géométrie classique

Ce formulaire de géométrie classique récapitule diverses formules reliant algébriquement des mesures de longueur, d'aire ou de volume pour des figures de géométrie euclidienne.

## Figures du plan

### Périmètre et aire

| Nom | Représentation | Périmètre $p$ | Aire intérieure ${\mathcal {A}}$ | Relations supplémentaires |
| - | - | - | - | - |
| Carré | | $4a$ | $a^{2}$ | $d=a{\sqrt {2}}$ |
| Rectangle | | $2(a+b)$ | $a\times b$ | $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ |
| Triangle | | $a+b+c$ | ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {base} \times \mathrm {hauteur}$ | ${\mathcal {A}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ où $s={\tfrac {1}{2}}p$ (formule de Héron) |
| Triangle équilatéral | | $3a$ | ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ | $h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ |
| Triangle isocèle rectangle | c = côté de l'angle droit | $(2+{\sqrt {2}})c$ | ${\tfrac {1}{2}}c^{2}$ | $d=c{\sqrt {2}}$ |
| Losange | | $4a$ | ${\frac {D_{1}\times D_{2}}{2}}$. | $a={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{D_{1}}^{2}+{D_{2}}^{2}}}$ |
| Parallélogramme | | $2(a+b)$ | $a\times h$ | ${\mathcal {A}}=ab\sin \theta$ |
| Trapèze | | $a+b+c+d$ | ${\tfrac {1}{2}}(a+c)\times h$ | |
| Disque | | $2\pi r$ | $\pi \times r^{2}$ | |
| Couronne circulaire | | | $\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)$ | |
| Secteur circulaire | | $r\cdot \left(2+\pi \cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}\right)$ | $\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{360}}$ | $L=\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}$ |
| Segment circulaire | | | ${\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$ | $s=R\theta$ $c=2R\sin(\theta /2)$ $d=R\cos(\theta /2)$ $h=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)$ |
| Ellipse | | $L=\textstyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,\mathrm {d} t$ | $\pi \times a\times b$ | $2\pi {\frac {a+b}{2}}<L<2\pi {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}$ |

### Autres relations

**Théorème de Pythagore**


    Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, les longueurs des côtés sont reliées par la formule :
    $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.$

**Théorème de Thalès**


    Dans un triangle $ABC$ non plat, si une droite parallèle à $(BC)$ coupe $(AB)$ en $D$ et coupe $(AC)$ en $E$ alors les égalités suivantes sont vérifiées :
    ${\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}.$

## Figures de l'espace

| Nom | Représentation | Aire de la surface | Volume intérieur | Relations supplémentaires |
| - | - | - | - | - |
| Cube | | $6c^{2}$ | $c^{3}$ | ${\mathcal {D}}=c{\sqrt {3}}$ |
| Pavé droit | | $2(ab+ah+bh)$ | $abh$ | ${\mathcal {D}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+h^{2}}}$ |
| Prisme droit | B : aire de chaque base P : périmètre de chaque base h : hauteur du prisme | extrémités : $2\times B$ surface latérale : $Ph$ | ${\mathcal {B}}\times h$ | |
| Cylindre de révolution | | extrémités : $2\times \pi r^{2}$ surface latérale : $2\pi rh$ aire totale : $2\pi r(h+r)$. | $\pi r^{2}h$ | |
| Pyramide | | | ${\tfrac {1}{3}}{\mathcal {B}}\times h$ | |
| Tétraèdre régulier | | $a^{2}{\sqrt {3}}$ | ${\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}$ | $h=a{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ |
| Cône de révolution | | base : $\pi r^{2}$ surface latérale : $S=\pi rR=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ | $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$ | $S=\left(\pi -{\frac {\theta }{2}}\right)R^{2}$ $\theta =2\pi \left(1-{\frac {r}{R}}\right)$ $h=R{\sqrt {{\frac {\theta }{2\pi }}\left(2-{\frac {\theta }{2\pi }}\right)}}$ |
| Sphère | | $4\pi r^{2}$ | ${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}$ | |
| Calotte sphérique | | base : $\pi a^{2}$ surface courbe : $S=2\pi rh=\pi d^{2}$ | ${\tfrac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})$ | $r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}$ $S=4\pi r^{2}\sin ^{2}{\frac {r'}{2r}}$ pour $r'\ll r$, $S\approx \pi r'^{2}\left(1-{\frac {1}{12}}{\frac {r'^{2}}{r^{2}}}\right)$ |
| Ellipsoïde | | (non algébrique) | ${\tfrac {4}{3}}\pi abc$ | |
| Tore | | $4\pi ^{2}rR$ | $2\pi ^{2}r^{2}R$ | |
