Groupe de Mathieu
# Groupe de Mathieu

En mathématiques, les groupes de Mathieu sont cinq groupes simples finis découverts par le mathématicien français Émile Mathieu. Ils sont habituellement perçus comme des groupes de permutations sur n points (où n peut prendre les valeurs 11, 12, 22, 23 ou 24) et sont nommés $M_n.$

Les groupes de Mathieu ont été les premiers groupes sporadiques découverts.

Les groupes $M_{24}$ et $M_{12}$ sont 5-transitifs, les groupes $M_{23}$ et $M_{11}$ sont 4-transitifs et $M_{22}$ est 3-transitif. Cette transitivité est même stricte pour $M_{11}$ et $M_{12}.$

Il résulte de la classification des groupes simples finis que les seuls groupes de permutations 4-transitifs sont les groupes symétrique et alterné (de degré ≥ 4 et ≥ 6 respectivement) et les groupes de Mathieu $M_{24},$ $M_{23},$ $M_{12}$ et $M_{11}.$

## Ordres

| Groupe | Ordre | Ordre factorisé |
| - | - | - |
| $M_{24}$ | 244 823 040 | $2^{10}.3^3.5.7.11.23$ |
| $M_{23}$ | 10 200 960 | $2^7.3^2.5.7.11.23$ |
| $M_{22}$ | 443 520 | $2^7.3^2.5.7.11$ |
| $M_{12}$ | 95 040 | $2^6.3^3.5.11$ |
| $M_{11}$ | 7 920 | $2^4.3^2.5.11$ |

## Constructions des groupes de Mathieu

### Groupe d'automorphismes des systèmes de Steiner

Il existe, à une équivalence près, un unique système de Steiner S(5,8,24). Le groupe $M_{24}$ est le groupe d'automorphismes de ce système de Steiner, c’est-à-dire l'ensemble des permutations qui applique chaque bloc vers un certain autre bloc. Les sous-groupes $M_{23}$ et $M_{22}$ sont définis comme étant les stabilisateurs d'un seul point et de deux points respectivement.

De manière similaire, il existe, à une équivalence près, un unique système de Steiner S(5,6,12) et le groupe $M_{12}$ est son groupe d'automorphismes. Le sous-groupe $M_{11}$ est le stabilisateur d'un point.

Une construction alternative de S(5,6,12) est le « Chaton » de Curtis.

### Groupe d'automorphisme du code de Golay

Le groupe $M_{24}$ peut aussi être vu comme le groupe d'automorphismes du code de Golay binaire W, i.e., le groupe des permutations de coordonnées appliquant W vers lui-même. Nous pouvons aussi le regarder comme l'intersection de $S_{24}$ et Stab(W) dans Aut(V). Les mots code correspondent de manière naturelle aux sous-ensembles d'un ensemble de 24 objets. Ces sous-ensembles correspondant aux mots code à 8 ou 12 coordonnées égales à 1 sont appelés octades ou dodécades respectivement. Les octades sont des blocs d'un système de Steiner S(5,8,24).

Les sous-groupes simples $M_{23},$ $M_{22},$ $M_{12}$ et $M_{11}$ peuvent être définis comme des sous-groupes de $M_{24},$ stabilisateurs respectivement de coordonnée unique, une paire ordonnée de coordonnées, une paire de dodécades complémentaires et une paire de dodécade avec une coordonnée seule.

$M_{12}$ possède un indice 2 dans son groupe d'automorphismes. Comme un sous-groupe de $M_{24},$ $M_{12}$ agit sur la deuxième dodécade comme une image d'automorphisme extérieur de son action sur la première dodécade. $M_{11}$ est un sous-groupe de $M_{23}$ mais pas de $M_{22}.$ Cette représentation de $M_{11}$ possède des orbites de 11 et 12. Le groupe d'automorphismes de $M_{12}$ est un sous-groupe maximal de $M_{24}$ d'indice 1288.

Il existe une connexion très naturelle entre les groupes de Mathieu et les groupes de Conway plus grands parce que le code binaire de Golay et le réseau de Leech se trouvent tous deux dans des espaces à 24 dimensions. Les groupes de Conway se retrouvent à leur tour dans le groupe Monstre. Robert Griess fait référence aux 20 groupes sporadiques trouvés dans le Monstre comme la famille heureuse et aux groupes de Mathieu comme la première génération.

### Groupe d'automorphismes de graphes

Le groupe $M_{23}$ peut être vu comme le groupe d'automorphismes du graphe tronqué de Witt, un graphe 15-régulier possédant 506 sommets et 3 795 arêtes.

