78-graphe de Ellingham-Horton
# 78-graphe de Ellingham-Horton

Le 78-graphe de Ellingham-Horton est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 78 sommets et 117 arêtes. Il est construit comme contre-exemple à une conjecture de Tutte.

## Histoire

En 1971, le mathématicien et cryptanalyste William Tutte conjecture qu'il n'existe pas de graphe 3-sommet-connexe qui soit cubique, biparti et non-hamiltonien. Mais J. D. Horton trouve un contre-exemple à 96 sommets, le graphe de Horton, publié par Bondy & Murty en 1976.

Après cela, d'autres contre-exemples sont découverts. En 1982, c'est un graphe à 92 sommets, encore construit par Horton (le 92-graphe de Horton), puis, en 1983, Owens trouve un contre-exemple d'ordre 78.

Avec Ellingham, Horton publie deux contre-exemples à la conjecture de Tutte : un graphe d'ordre 78 en 1981 (le 78-graphe de Ellingham-Horton) et un graphe d'ordre 54 en 1983 (le 54-graphe de Ellingham-Horton). À l'heure actuelle, ce graphe à 54 sommets est le plus petit graphe non-hamiltonien biparti cubique 3-sommet-connexe connu.

## Propriétés

### Propriétés générales

Le diamètre du 78-graphe de Ellingham-Horton, l'excentricité maximale de ses sommets, est 13, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 7 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

### Coloration

Le nombre chromatique du 78-graphe de Ellingham-Horton est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du 78-graphe de Ellingham-Horton est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

