Enveloppe supérieure
# Enveloppe supérieure

En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans ℝ est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.

## Définition

L'enveloppe supérieure d'une famille $(f_{i})_{i\in I}$ d'applications d'un ensemble $E$ dans la droite réelle achevée ${\overline {\mathbb {R} }}$ est l'application

$\sup _{i\in I}{f_{i}}:E\to {\overline {\mathbb {R} }},\quad x\mapsto \sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)$

La notation $\sup _{i\in I}f_{i}$ est justifiée par le fait que l'enveloppe supérieure de la famille $(f_{i})_{i\in I}$ n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet ${\overline {\mathbb {R} }}^{E}$ des applications de $E$ dans ${\overline {\mathbb {R} }}$.

On définit de même l'enveloppe inférieure avec $\inf$.

## Propriétés

* Avec les notations précédentes, l'épigraphe de l'enveloppe supérieure de la famille $(f_{i})_{i\in I}$ est l'intersection des épigraphes des $f_{i}$ :$\operatorname {epi} \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}{\operatorname {epi} {f_{i}}}$.On en déduit que :
   * $\sup _{i\in I}f_{i}$ est convexe si $E$ est un ℝ-espace vectoriel et si les $f_{i}$ sont convexes ;
   * $\sup _{i\in I}f_{i}$ est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si $E$ est un espace topologique et si les $f_{i}$ sont fermées.
* Soit $E$ un espace localement convexe séparé. Une fonction de $E$ dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues.
