Formule de Hagen-Rubens
# Formule de Hagen-Rubens

En optique, la formule de Hagen-Rubens exprime le coefficient de réflexion d'un milieu conducteur en fonction de la fréquence de la radiation incidente et de la conductivité du milieu.

Cette relation s'écrit:

$R=1-2\left({\frac {2\epsilon _{0}\omega }{\sigma }}\right)^{1/2}$

Dans le système d'unités SI.

## Démonstration

On part des équations de Maxwell et on exprime la densité de courant en fonction du champ électrique en utilisant la loi d'Ohm.

On obtient:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\sigma \mathbf {E} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

et:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

En éliminant le champ magnétique, on trouve une équation différentielle au dérivées partielles du second ordre pour le champ électrique. Cette équation s'écrit:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\sigma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

On cherche une solution de cette équation sous la forme $E(x,t)=E_{0}e^{ikx-i\omega t}$, ce qui donne:

$k={\frac {\omega }{c}}\left(1+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)^{1/2}$

Un métal se comporte donc comme un milieu d'indice de réfraction complexe $N(\omega )=\left(1+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)^{1/2}$

La partie imaginaire de $N(\omega )$ est responsable de l'effet de peau du métal.

En appliquant la formule donnant le coefficient de réflexion sur un milieu d'indice $N(\omega )$ et en supposant une fréquence telle que $\sigma \gg \epsilon _{0}\omega$ on obtient la relation de Hagen-Rubens.

