Espace R0
# Espace R0

En topologie, un espace symétrique (ou espace $R_0)$ est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation, plus faible que la propriété usuelle d'espace séparé.

## Définition

Un espace topologique E est $R_0$ si pour toute paire d'éléments topologiquement discernables x et y de E (c’est-à-dire qu'il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre), il existe un ouvert contenant x et pas y et un ouvert contenant y et pas x.

## Propriétés

Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

* E est un espace $R_0$ ;
* Pour tout x de E, l'adhérence de {x} ne contient que les points dont x n'est pas topologiquement distinct ;
* L'ultrafiltre principal en x converge seulement vers les points dont x n'est pas topologiquement distinct ;
* Le quotient de Kolmogorov de E est $T_1$ ;
* Tout ouvert est une réunion de fermés.

Un espace est $T_1$ si et seulement s'il est à la fois $R_0$ et $T_0.$

## Exemple

Soit ℤ l'ensemble des entiers relatifs. Pour tout n ∈ ℤ, on pose $G_n$ = ℤ\{n, n + 1} si n est pair et $G_n$ = ℤ\{n – 1, n} si n est impair. L'ensemble des $G_n$ est une prébase sur ℤ : les réunions quelconques d'intersections finies de parties de ℤ de la forme $G_n$ constituent une topologie sur ℤ. L'espace topologique ainsi créé est $R_0$ ; il n'est en revanche pas $T_0$ (et donc pas $T_1)$ : en effet, pour tout entier pair n, les points n et n+1 sont indiscernables.

