Formule de Riemann-von Mangoldt
# Formule de Riemann-von Mangoldt

En mathématiques, la formule de Riemann-von Mangoldt, du nom de Bernhard Riemann et Hans Carl Friedrich von Mangoldt, décrit la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann.

La formule indique que le nombre N(T){\textstyle N(T)} de zéros de la fonction zêta avec une partie imaginaire supérieure à 0{\textstyle 0} et inférieure ou égale à $T$ satisfait

$N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\ln {T}).$

Cette formule a été conjecturée par Riemann dans son mémoire Sur le nombre d'amorces inférieures à une ampleur donnée (1859) et a finalement été prouvée par von Mangoldt en 1895.

Backlund donne une forme explicite de l'erreur pour tout $T$ supérieur à 2{\textstyle 2} :

$\left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\,\ln T+0.443\,\ln(\ln \,T)+4.350.$

## Conséquences de la formule

* La fonction zêta de Riemann possède une infinité de zéros non triviaux.
* Si $(\gamma _{n})_{n\geqslant 1}$ désigne la suite croissante des parties imaginaires des zéros de la fonction $\xi$ de Riemann dans le demi-plan supérieur, alors $γ_n∼2πn/lnn{\textstyle$ \gamma _{n}\sim 2\pi \, n/\ln \, n} pour $n\rightarrow \infty$. Littlewood (1924) a montré que $\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\rightarrow 0.$
