Fonction de Bessel modifiée
# Fonction de Bessel modifiée

Les fonctions de Bessel modifiées génèrent l'ensemble des solutions de l'équation différentielle

    $x^{2}{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}+x{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-(x^{2}+n^{2})y=0$.

Les fonctions de Bessel modifiées de première espèce $I_n$ et de deuxième espèce $K_n$ sont reliées à la fonction de Bessel de première espèce $J_n$ $par^,$

    $I_{n}(x)=\mathrm {i} ^{-n}\,J_{n}(\mathrm {i} x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,(m+n)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+n}$,
    $K_{n}(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {i} ^{n}J_{-n}(\mathrm {i} x)-\mathrm {i} ^{-n}J_{n}(\mathrm {i} x)}{\sin(n\pi )}}$ lorsque $n\notin \mathbb {Z}$ et
    $K_{n}(x)=\lim \limits _{p\to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {i} ^{p}J_{-p}(\mathrm {i} x)-\mathrm {i} ^{-p}J_{p}(\mathrm {i} x)}{\sin(p\pi )}}$ lorsque $n\in \mathbb {Z}$

## Propriétés de $K_n$

### Intégrales

    $K_{n}(z)={\frac {2^{n}\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}z^{n}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos x}{(z^{2}+x^{2})^{n+1/2}}}\,{\text{d}}x$
    $K_{n}(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\Gamma (n+1/2)}}z^{n}\int _{1}^{+\infty }(x^{2}-1)^{n-1/2}\exp(-zx)\,{\text{d}}x$ (pour n > -1/2)
