Formule de Hadjicostas-Chapman
# Formule de Hadjicostas-Chapman

En mathématiques, la formule de Hadjicostas-Chapman (ou formule de Hadjicostas) est une formule reliant une certaine double intégrale aux valeurs de la fonction gamma et de la fonction zêta de Riemann. Elle est nommée d'après Petros Hadjicostas qui l'a conjecturée et Robin Chapman qui l'a prouvée.

## Énoncé

Soit un nombre complexe $s\neq -1$ tel que $\operatorname {Re} (s)>-2$. On a alors

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}(-\log(xy))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\left(\zeta (s+2)-{\frac {1}{s+1}}\right)$

Ici, Γ{\textstyle \Gamma } désigne la fonction gamma et ζ{\textstyle \zeta } est la fonction zêta de Riemann.

## Contexte

Le premier exemple de la formule a été prouvé et utilisé par Frits Beukers (en) dans son article de 1978 donnant une preuve alternative du théorème d'Apéry. Il a prouvé la formule lorsque s = 0, et a prouvé une formulation équivalente pour le cas s = 1. Cela a conduit Petros Hadjicostas à conjecturer la formule ci-dessus en 2004 et en une semaine, elle avait été prouvée par Robin Chapman. Il a prouvé que la formule est vraie lorsque Re(s) > –1, puis a étendu le résultat par suite analytique pour obtenir le résultat complet.

## Cas particuliers

Outre les deux cas utilisés par Beukers pour obtenir des expressions alternatives pour ζ(2) et ζ(3), la formule peut être utilisée pour exprimer la constante d'Euler-Mascheroni comme une intégrale double en faisant s tendre vers –1 :

$\gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(1-xy)(-\log(xy))}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Cette dernière formule a été découverte pour la première fois par Jonathan Sondow et elle est mentionnée dans le titre de l'article de Hadjicostas.

