Formule intégrale de Lobachevski
# Formule intégrale de Lobachevski

En analyse réelle, la formule intégrale de Lobachevski est une formule de calcul pour des intégrales impropres, du nom du mathématicien Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski. Elle est utilisée en analyse de Fourier.

## Énoncé

Soit f une fonction réelle continue, π-périodique et telle que f(π - x) = f(x), pour tout x strictement positif. Alors on $a^,$

    $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}(x)}{x^{2}}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(x)\,\mathrm {d} x.$

La démonstration repose sur le calcul du développement en éléments simples de l'inverse du sinus :

    $\forall t\notin \pi \mathbb {Z} ,\ {\frac {1}{\sin t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{t-n\pi }},\ {\frac {1}{\sin ^{2}t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{t^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}$

On utilise ensuite la relation de Chasles sur les deux intégrales à noyaux, puis on fait un changement de variables :

    ${\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{n{\frac {\pi }{2}}}^{(n+1){\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left[{\frac {1}{t}}+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\right]\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

On reconnaît alors le développement en série de l'inverse du sinus, ce qui permet de conclure :

    $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t){\frac {1}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(x)\,\mathrm {d} x.$

L'autre partie de l'égalité se montre de façon similaire.

## Applications

La formule intégrale de Lobachevski donne une méthode de calcul directe de l'intégrale de Dirichlet, en considérant la fonction f constante et égale à 1.

Les intégrales de type Lobachevski sont utilisées dans l'analyse de Fourier de fonctions périodiques ; en effet, la fonction sinus cardinal, qui apparait dans l'intégrale, est la transformée de Fourier d'une fonction porte, et la formule intégrale de Lobachevski permet donc un calcul simple de certaines intégrales en combinaison avec l'égalité de Parseval.

