Ensemble Gδ
# Ensemble Gδ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble $G_δ$ (lire « G delta ») est une intersection dénombrable d'ensembles ouverts.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient de l'allemand, le G désignant un ouvert (Gebiet) et le δ désignant une intersection (Durchschnitt). La notation $G_δ$ est équivalente à celle de $\Pi _{2}^{0}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

## Propriétés

* L'intersection dénombrable d'ensembles $G_δ$ est un ensemble $G_δ$ et l'union finie d'ensembles $G_δ$ est un ensemble $G_δ.$
* Le complémentaire d'un ensemble $G_δ$ est un ensemble $F_σ.$

## Exemples

* Chaque ensemble ouvert est un ensemble $G_δ.$
* L'ensemble $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ des irrationnels est un ensemble $G_δ$ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, l'ensemble des irrationnels peut s'écrire comme l'intersection dénombrable des ouverts $\mathbb {R} \setminus \{r\}$, où $r$ est un rationnel. En revanche, l'ensemble $\mathbb {Q}$ des rationnels n'est pas un ensemble $G_δ$ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, si c'était le cas, tous les ouverts dont $\mathbb {Q}$ est l'intersection seraient denses dans $\mathbb {R}$ (car ils contiennent tous $\mathbb {Q}$ qui est dense dans $\mathbb {R}$). $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ est lui-même intersection dénombrable d'ouverts denses, donc l'intersection vide $(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cap \mathbb {Q}$ serait aussi intersection dénombrable d'ouverts denses. On obtiendrait une contradiction avec la propriété de Baire de $\mathbb {R}$.
* Dans un espace métrisable, chaque ensemble fermé est un ensemble $G_δ.$
