Fonction totient de Jordan
# Fonction totient de Jordan

En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan $J_k$ — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est $J_1.$

## Calcul

La fonction $J_k$ est multiplicative et vaut

$J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right),$

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.

On peut définir plus généralement $J_k$ pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule.

## Propriétés

La formule

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}$

se réécrit en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance $Id_k(n)$ = $n^k$

$J_{k}*{\mathbf {1} }={\rm {Id}}_{k}$

ou encore, par inversion de Möbius

$J_{k}=\mu *{\rm {Id}}_{k}$

ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour $J_k.$

Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — or $Id_k$ et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.

Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de $J_k$ à tout nombre complexe k : par exemple $J_0$ = $δ_1.$

## Fonction totient et séries de Dirichlet

Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de $Id_k$ est ζ(s – k), on en déduit celle de $J_k$ :

$\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}.$

Un ordre moyen de $J_k(n)$ est ${\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}.$

La fonction psi de Dedekind (en) est

$\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}.$

Ses généralisations, les fonctions multiplicatives $J_k/J_1$ et $J_{2k}/J_k,$ sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.

Formule de Gegenbauer :

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n).$

## Ordres de groupes de matrices

L'ordre du groupe linéaire GL(m, ℤ/nℤ) est

$|{\rm {GL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).$

Celui du groupe spécial linéaire SL(m, ℤ/nℤ) est

$|{\rm {SL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).$

Celui du groupe symplectique Sp(2m, ℤ/nℤ) est

$|{\rm {Sp}}(2m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).$

Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

## Exemples

L'OEIS donne des listes explicites pour $J_2$ ( A007434), $J_3$ ( A059376), $J_4$ ( A059377), $J_5$ ( A059378) et $J_6$ à $J_{10}$ ( A069091 à  A069095).

Des quotients par $J_1$ sont $J_2/J_1$ ( A001615), $J_3/J_1$ ( A160889), $J_4/J_1$ ( A160891), $J_5/J_1$ ( A160893), $J_6/J_1$ ( A160895), $J_7/J_1$ ( A160897), $J_8/J_1$ ( A160908), $J_9/J_1$ ( A160953), $J_{10}/J_1$ ( A160957) et $J_{11}/J_1$ ( A160960).

Des exemples de quotients $J_{2k}/J_k$ sont $J_4/J_2$ ( A065958), $J_6/J_3$ ( A065959) et $J_8/J_4$ ( A065960).

