Description lagrangienne
# Description lagrangienne

En dynamique des fluides la description lagrangienne est l'une des deux techniques qui permettent de caractériser un écoulement. Elle consiste à suivre dans le temps les particules fluides le long de leurs trajectoires : c'est une description intuitive de leur mouvement. Néanmoins la description eulérienne qui repose sur le champ des vitesses est souvent préférée.

La description lagrangienne est en revanche plus adaptée à la modélisation du comportement mécanique de solides déformables.

## Principe

En représentation lagrangienne, la position M à l'instant t de la particule qui se trouvait en $M_{0}$ à l'instant 0 est donnée par une relation du type

$M=f(M_{0},t)\,$

Cela correspond à la description paramétrique de la trajectoire en coordonnées cartésiennes :

$x=f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0},t)\,$

$y=f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0},t)\,$

$z=f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0},t)\,$

## Dérivée particulaire

Cette méthode présente un inconvénient : le référentiel se déplace avec le fluide. Il est donc difficile de connaître l'état du fluide en un point donné de l'espace et du temps.

La représentation d'Euler définit à tout instant la valeur d'une grandeur (par exemple une composante de la vitesse) associée à un point fixe de l'écoulement. La variation de cette grandeur au cours du temps est alors décrite par une dérivée partielle parfois appelée dérivée eulérienne.

La représentation de Lagrange suit une particule dans son mouvement. La variation précédente est alors représentée par la dérivée particulaire ou dérivée totale ou dérivée lagrangienne. Elle tient compte non seulement de la variation locale du paramètre au cours du temps mais aussi de la variation de celui-ci liée au déplacement de la particule.

Le lien entre la description lagrangienne et la description eulérienne est démontré ici pour un mouvement à une dimension. Pendant l'intervalle de temps $\mathrm {d} t$, une particule située en $x$ à l'instant $t$ s'est déplacée en $x+v\mathrm {d} t$. La variation de la grandeur $f$ s'écrit donc :

$f(x+v\mathrm {d} t,t+\mathrm {d} t)-f(x,t)=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+v{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\mathrm {d} t=\mathrm {d} f$

Remarquons que le résultat obtenu peut être établi à l'aide d'un développement de Taylor bi-dimensionnel à l'ordre 1. Ici, $\mathrm {d} f$ est en fait une approximation du premier ordre de ce développement de Taylor. En divisant par $\mathrm {d} t$ on obtient la dérivée particulaire qui s'écrit avec ${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}$ comme notation la plus utilisée :

${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+v{\frac {\partial f}{\partial x}}$

La formule se généralise à trois dimensions en introduisant le gradient de la grandeur $f$ :

${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\overrightarrow {V}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,f$

L'opérateur ${\overrightarrow {V}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$, qui différencie les représentations lagrangienne et eulérienne d'un fluide, est dénommé opérateur d'advection.

## Lien entre la description lagrangienne et la description eulérienne

Soient les notations $f_{L}$ et $f_{E}$ désignant une même propriété d'un fluide, exprimée dans une description lagrangienne ($f_{L}$ ) ou eulérienne ($f_{E}$). Considérons la particule $p$, ayant pour coordonnée spatiale $x$. On peut noter :

$f_{L}(p,t)=f_{E}(x,t)$

Dans le référentiel de la particule $p$, la propriété $f_{L}(p,t)$ dépend uniquement du temps. Ainsi, on peut contracter l'écriture pour obtenir une expression de $f_{L}(p,t)$ qui soit spécifique à la particule $p$ :

$f_{L}(p,t)=fp_{L}(t)$

Au temps $t+dt$, la particule $p$ possède la coordonnée spatiale $x+dx$. L'équivalence entre la description lagrangienne et eulérienne s'écrit alors de la manière qui suit:

$fp_{L}(t+dt)=f_{E}(x+dx,t+dt)$

Naturellement, l'expression suivante peut alors être établie :

$fp_{L}(t+dt)-fp_{L}(t)=f_{E}(x+dx,t+dt)-f_{E}(x,t)$

Il est alors clair qu'un développement de Taylor permet d'établir le lien entre la dérivée particulaire d'ordre $1$ de $f_{E}$ et la dérivée temporelle de $fp_{L}$. Pour le membre de gauche, un développement limité donne :

$fp_{L}(t+dt)-fp_{L}(t)=dt{\frac {dfp_{L}}{dt}}+{\frac {dt^{2}}{2!}}{\frac {d^{2}fp_{L}}{dt^{2}}}+...+o(dt^{n})$

Pour le membre de droite, un développement limité bidimensionnel donne :

$f_{E}(x+dx,t+dt)-f_{E}(x,t)=dt{\frac {\partial f_{E}}{\partial t}}+dx{\frac {\partial f_{E}}{\partial x}}+dxdt{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial x\partial t}}+{\frac {dt^{2}}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}t}}+{\frac {dx^{2}}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}x}}+...+o(dt^{n},dx^{n})$

En regroupant les termes de même ordre, il vient d'abord pour l'ordre $1$:

$dt{\frac {dfp_{L}}{dt}}=dt{\frac {\partial f_{E}}{\partial t}}+dx{\frac {\partial f_{E}}{\partial x}}$

Et évidemment, avec $D_{t}$ désignant la dérivée totale d'ordre $1$ :

${\frac {dfp_{L}}{dt}}={\frac {\partial f_{E}}{\partial t}}+{\frac {dx}{dt}}{\frac {\partial f_{E}}{\partial x}}=D_{t}f_{E}$

Il est intéressant de remarquer que la dérivée totale de $f_{E}$ correspond en fait à la simple dérivée temporelle de $fp_{L}$. Cela peut en effet faciliter l'intégration d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir la dérivée totale. Ainsi, la dérivée totale de $f_{E}$ peut être remplacée par la dérivée temporelle de $fp_{L}$. Une éventuelle intégration suppose bien sûr d'être réalisée en remplaçant $f_{E}$ par $fp_{L}$. Le résultat peut ensuite être reconverti en remplaçant, à l'inverse, $fp_{L}$ par $f_{E}$ dans la solution éventuelle.

Pour le second ordre, on peut introduire la notion de dérivée totale d'ordre $2$, notée $D_{t}^{2}$ et en posant $u={\frac {dx}{dt}}$:

${\frac {dt^{2}}{2}}{\frac {d^{2}fp_{L}}{dt^{2}}}=dxdt{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial x\partial t}}+{\frac {dt^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}t}}+{\frac {dx^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}x}}$

Vient alors l'expression qui suit :

$D_{t}^{2}f_{E}={\frac {d^{2}fp_{L}}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}t}}+u^{2}{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}x}}+2u{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial x\partial t}}$

## Remarques

Dans le cadre de cette description, et $\rho$ désignant la densité du fluide, $\rho ({\overrightarrow {x}},t)$ désigne la densité du fluide qui, initialement (temps 0), était à la position ${\overrightarrow {x}}$ et se trouve désormais (temps t) en ${\overrightarrow {X}}({\overrightarrow {x}},t)$... mais cela peut bien sûr s'appliquer à n'importe quelle autre fonction décrivant une propriété locale du fluide.

Cette description donne une bonne idée de ce qui se passe dans le fluide, par exemple, si ${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}<0$, alors on peut affirmer que le fluide s'étend (la densité de la particule fluide baisse). En particulier, on peut faire un bilan des forces s'appliquant à la particule fluide que l'on suit, et appliquer la relation fondamentale de la dynamique en écrivant que la somme des forces vaut la masse de la particule fluide multipliée par son accélération, écrite comme ${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {u}}}{\mathrm {d} t}}$ où ${\overrightarrow {u}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {X}}}{\mathrm {d} t}}$ est la vitesse.

