Forme antisymétrique
# Forme antisymétrique

En algèbre linéaire, une forme antisymétrique est une forme multilinéaire pour laquelle une permutation des variables correspond à la multiplication de la valeur par la signature.

## Définition

Soit $\phi \in {\mathcal {L_{n}}}(E)$ une forme $n$-linéaire avec $E$ un $K$-espace vectoriel. $\phi$ est antisymétrique ssi

    $\forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n},\;\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\epsilon (\sigma )\phi (x_{1},\dots ,x_{n})=\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$

Où ${\mathfrak {S}}_{n}$ est le groupe symétrique de $\{1,\dots ,n\}$. En particulier puisque pour tout 2-cycle $\tau \in {\mathfrak {S}}_{n},~\epsilon (\tau )=-1$,

    $\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2},\;1\leq i<j\leq n\Rightarrow \;\phi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-\phi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.

## Exemples

* Une forme bilinéaire $f$ sur $E$ est dite antisymétrique si :

    $\forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)$.
* Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
* Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.
