Forme différentielle fermée
# Forme différentielle fermée

En topologie différentielle, une forme différentielle est dite fermée lorsque sa dérivée extérieure est nulle.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de classe $C^1$ est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

## Cas des 1-formes

En dimension n, une 1-forme

    $\omega (u)=a_{1}(u)\mathrm {d} x_{1}+...+a_{n}(u)\mathrm {d} x_{n}$

est fermée si

$\forall i<j\leq n\quad {\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}=0.$

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

* En dimension 1, une 1-forme dérivable$\omega =A(x)\mathrm {d} x$est toujours fermée.
* En dimension 2, une 1-forme$\omega =A(x,y)\mathrm {d} x+B(x,y)\mathrm {d} y$est fermée si$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}.$
* En dimension 3, une 1-forme$\omega =A(x,y,z)\mathrm {d} x+B(x,y,z)\mathrm {d} y+C(x,y,z)\mathrm {d} z$est fermée si$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}$ ; $\left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}$ ; $\left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z},$ce qui correspond à${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,\Omega =\mathbf {0}$avec$\Omega ={\begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}}.$
