Fonction zêta de Lerch
# Fonction zêta de Lerch

En mathématiques, la fonction zêta de Lerch, ou fonction zêta de Hurwitz-Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme, nommée d'après le mathématicien Mathias Lerch. Elle est définie comme somme d'une série comme suit :

    $L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}$.

La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, définie par la formule :

    $\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}$

par l'identité :

    $\Phi (\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s)$.

## Cas particuliers

La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par :

    $\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha )$.

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par :

    $\operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1)$.

La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :

    $\zeta (s)=\zeta (s,1)=\operatorname {Li} _{s}(1)=\Phi (1,s,1)$.

La fonction êta de Dirichlet est aussi un cas particulier, donné par :

    $\eta (s)=\Phi (-1,s,1)=-\operatorname {Li} _{s}(-1)$.

Enfin, la fonction chi de Legendre admet l'expression :

    $\chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2)$.
