Fonction univalente
# Fonction univalente

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.

## Exemples

Toute transformation de Möbius $\phi _{a}$ d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, $\phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}},$ où $|a|\leq 1,$ est univalente.

## Propriétés

On peut démontrer que si $G$ et $\Omega$ sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et

    $f:G\to \Omega$

est une fonction univalente tel que $f(G)=\Omega$ (c'est-à-dire que $f$ est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de $f$ ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,

    $(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}$

pour tous $z$ dans $G$

## Comparaison avec les fonctions réelles

Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction

    $f:(-1,1)\to (-1,1)\,$

donnée par ƒ(x) = $x^3,$ cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier (−1, 1).

