Fractale de Rauzy
# Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy (ou, au masculin, « le fractal de Rauzy ») est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy, dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

## Définitions

Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :

* $t_{0}=1$
* $t_{1}=12$
* $t_{2}=1213$
* $t_{3}=1213121$
* $t_{4}=1213121121312$

On montre que, pour $n>2$, $t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}$, d'où le nom "Tribonacci".

Considérons, maintenant, l'espace $R^{3}$ muni d'un référentiel orthonormé.

La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:

1) Interpréter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).

2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :

* $1\Rightarrow (1,0,0)$
* $2\Rightarrow (1,1,0)$
* $1\Rightarrow (2,1,0)$
* $3\Rightarrow (2,1,1)$
* $1\Rightarrow (3,1,1)$

etc. Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.

3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

## Propriétés

* Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : $k$, $k^{2}$ et $k^{3}$ avec $k$ solution de $k^{3}+k^{2}+k-1=0$: $\scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}$.
* Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure changeant les trois copies de place.
* Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
* Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
* La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique $x^{3}-x^{2}-x-1$, ses valeurs propres étant un réel $\beta =1,8392$, appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués $\alpha$ et ${\bar {\alpha }}$ avec $\alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta$ .
* Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933 (solution de $2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1$).

## Variantes et généralisation

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.

* s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
* s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
* s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
* s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

## Références et bibliographie

* ↑ G. Rauzy, Nombres algébriques et substitutions, Bulletin de la Société Mathématique de France, 110:147-178, 1982
* ↑ A. Messaoudi, Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe, Acta Arithmetica, 2000
