Fonction zêta de Weierstrass
# Fonction zêta de Weierstrass

En mathématiques, les fonctions de Weierstrass sont des fonctions spéciales d'une variable complexe qui sont reliées à la fonction elliptique de Weierstrass $\wp (z)$.

## Fonction sigma de Weierstrass

La fonction sigma de Weierstrass associée à un réseau bidimensionnel $\Lambda \subset \mathbb {C}$ est définie comme le produit infini

    $\sigma (z:\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda \setminus \lbrace 0\rbrace }\left(1-{\frac {z}{w}}\right){\rm {e}}^{z/w+{\frac {1}{2}}{(z/w)}^{2}}$

## Fonction zêta de Weierstrass

La fonction zêta de Weierstrass est définie par

    $\zeta (z:\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right)$

La fonction est une dérivation logarithmique de la fonction sigma. La fonction zêta peut être ré-écrite comme :

    $\zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}$

où ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ est la série d'Eisenstein de poids 2k+2.

La dérivée de la fonction zêta est $-\wp (z)$

## Fonction êta de Weierstrass

La fonction êta de Weierstrass est définie par

    $\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ pour tout }}z\in \mathbb {C}$ et tout w dans le réseau $\Lambda$

Cette fonction est bien définie, i.e. $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ ne dépend que du vecteur w.

La fonction êta de Weierstrass ne doit pas être confondue avec la fonction êta de Dedekind.

## Fonction ℘ de Weierstrass

La fonction ℘ de Weierstrass est liée à la fonction zêta par :

    $\operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},\forall z\in \mathbb {C}$

C'est une fonction elliptique paire d'ordre N=2 avec un pôle double en chaque point du réseau et aucun pôle ailleurs.

