Fonction zêta locale
# Fonction zêta locale

En mathématiques et dans la théorie des nombres, une fonction zêta locale est une fonction génératrice $Z(t)$ pour le nombre de solutions d'un ensemble d'équations définies sur un corps fini F, dans les extensions de corps $F_{k}$ de F.

L'analogie avec la fonction zêta de Riemann ζ vient de la considération de la dérivée logarithmique $\zeta '/\zeta$.

Étant donné F, il existe, à un isomorphisme près, un seul corps $F_{k}$ tel que $[F_{k}:F]=k$, pour k = 1,2, … Étant donné un ensemble d'équations polynomiales — ou une variété algébrique V — définie sur F, nous pouvons compter le nombre $N_{k}$ des solutions dans $F_{k}$ et créer la fonction génératrice

    $G(t)=N_{1}t+N_{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\dotsb$.

La définition correcte pour Z(t) est de rendre log Z égal à G donc de poser $Z=\exp(G)$.

Nous aurons Z(0) = 1 puisque G(0) = 0, et Z(t) est a priori une série formelle.

## Exemples

Supposons que tous les $N_{k}\,$ soient égaux à 1 ; ceci se produit par exemple, si nous démarrons avec une équation comme X = 0, c’est-à-dire que géométriquement, nous prenons pour V un point. Alors

    $G(t)=-\log(1-t)~$

est le développement d'un logarithme (pour |t| < 1). Dans ce cas, nous avons

    $Z(t)={\frac {1}{1-t}}$.

Pour prendre quelque chose de plus intéressant, soit V la droite projective sur F. Si F possède q éléments, alors elle a q + 1 points, incluant comme nous devons, le point à l'infini. Par conséquent, nous aurons

    $N_{k}=q_{k}+1\,$

et

    $G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)\,$,

pour |t| suffisamment petit.

Dans ce cas, nous avons

    $Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\,$.

Le rapport entre les définitions de G et Z peut être expliqué de nombreuses manières. En pratique, cela rend Z une fonction rationnelle de t, quelque chose qui est intéressant même dans le cas où V est une courbe elliptique sur un corps fini.

Ce sont les fonctions Z qui sont conçues pour multiplier, pour obtenir les fonctions zêta globales. Celles-ci impliquent différents corps finis (par exemple la famille entière de corps Z/p.Z lorsque p parcourt l'ensemble des nombres premiers. Dans ce rapport, la variable t subit la substitution par $p^{-s}$, où $s$ est la variable complexe traditionnellement utilisée dans les séries de Dirichlet.

Ceci explique aussi pourquoi on utilise la dérivée logarithmique par rapport à $s$.

Avec cet arrangement, les produits de Z dans les deux cas sortent comme $\zeta (s)$ et $\zeta (s)\zeta (s-1)$.

## Hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis

Pour les courbes projectives C sur F qui sont non singulières, on peut montrer que

    $Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\,$,

avec P(t) un polynôme, de degré 2g où g est le genre de C. L'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis établit que les racines de P ont pour module $q^{–1/2},$ où q = |F|.

Par exemple, pour le cas des courbes elliptiques, il y a deux racines, et il est facile de montrer que leur produit est $q^{−1}.$ Le théorème de Hasse établit qu'elles ont le même module et ceci a des conséquences immédiates pour le nombre de points.

Weil a démontré ceci pour le cas général, aux environs de 1940 (CRAS, avril 1940) : il passa beaucoup de temps, dans les années qui suivirent, à préparer la géométrie algébrique impliquée. Ceci l'a conduit aux conjectures de Weil générales, finalement démontrées une génération plus tard.

