Fraction continue de Rogers-Ramanujan
# Fraction continue de Rogers-Ramanujan

La fraction continue de Rogers-Ramanujan est une fraction continue généralisée découverte par Leonard James Rogers (en) en 1894 et indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers 1910, qui est étroitement reliée aux identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d'en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument.

## Définition

Étant données les fonctions G(q) et H(q) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan,

    ${\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\&={\sqrt[{60}]{qj}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}};{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}$

et

    ${\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}$

où $(a;q)_{\infty }$ représente le q-symbole de Pochhammer infini, j est le j-invariant, et $_2F_1$ est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS  A003114 et  A003106, respectivement), la fraction continue de Rogers-Ramanujan est

    ${\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}}=q^{\frac {1}{5}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

## Fonctions modulaires

Si $q=e^{2\pi {\rm {i}}\tau }$, alors $q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)$ et $q^{\frac {11}{60}}H(q)$, ainsi que leur quotient $R(q)$, sont des fonctions modulaires de $\tau$. Comme elles ont des coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs, lorsque $\tau$ est de la forme $i{\sqrt {p/q}}$, sont des nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.

### Exemples

    $R{\bige^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}}}}={{\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 2}}-\phi }={\sqrt {\phi +2}}-\phi$
    $R{\bige^{-2{\sqrt {5}}\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}={\frac {\sqrt {5}}{1+{\big5^{3/4}(\phi -1)^{5/2}-1{\big )}^{1/5}}}-{\phi }$

où $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le nombre d'or (ces formules figuraient dans la première lettre que Ramanujan avait envoyée à Hardy, et faisaient partie de celles qui avaient stupéfié ce dernier).

## Liens avec les formes modulaires

$R(q)$ peut s'exprimer à l'aide de la fonction êta de Dedekind, une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant $q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }$) :

    ${\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\eta ({\frac {\tau }{5}})}{\eta (5\tau )}}+1$
    ${\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11${{|}}

## Liens avec le j-invariant

Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a

    $j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}$

où

    $x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}$

Éliminant le quotient, on peut exprimer j(τ) en termes de $r=R(q)$ :

    ${\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}$

où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de l'icosaèdre. La relation modulaire entre $R(q)$ et $R(q^{5})$ a pour conséquence

    $j(5\tau )=-{\frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}$

Soit $z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5}}}$ ; alors

    $j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3}}{z+11}}$

où

    ${\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}$

ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique $y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}$, paramétrée par les points réguliers de la courbe modulaire $X_{1}(5)$.

## Équation fonctionnelle

On pose désormais systématiquement $r(\tau )=R(q)$, avec q = $e^{2πiτ}.$ Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple le j-invariant, vérifient :

    $j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )$

et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :

    $\eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )$

l'équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu le nombre d'or $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ :

    $r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\phi \,r(\tau )}{\phi +r(\tau )}}$.

On a d'autre part $r({\tfrac {7+i}{10}})=i$.

## Équations modulaires

Il y a des relations modulaires entre $R(q)$ et $R(q^{n})$, particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n :

Soit $u=R(q)$ et $v=R(q^{n})$ ; alors :

Pour $n=2$, $v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.$

Pour $n=3$, $(v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.$

Pour $n=5$, $(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)v=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.$

Pour $n=11$, $uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.$

De plus, on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour $n=5$ se retrouvent dans le cas $n=11$, puisque :

    $v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).$

## Autres résultats

Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R(q). Posant $u=R(q^{a})$, $v=R(q^{b})$, et $\phi$ le nombre d'or,

    si $ab=4\pi ^{2}$, alors $(u+\phi )(v+\phi )={\sqrt {5}}\,\phi .$
    si $5ab=4\pi ^{2}$, alors $(u^{5}+\phi ^{5})(v^{5}+\phi ^{5})=5{\sqrt {5}}\,\phi ^{5}.$

Les puissances de R(q) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,

    $R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta }}$

où

    $\alpha =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}}$
    $\beta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}$

Posant $w=R(q)R^{2}(q^{2})$, on a

    $R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)$
