Deltaèdre
# Deltaèdre

Un deltaèdre est un polyèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Le nom est issu de la lettre majuscule du grec delta (Δ), qui a la forme d'un triangle. Il existe une infinité de deltaèdres, mais de ceux-ci, seuls huit sont convexes, ayant quatre, six, huit, dix, douze, quatorze, seize et vingt faces. Le nombre de faces, arêtes et sommets est listé ci-dessous pour chacun des huit deltaèdres convexes.

Les deltaèdre ne doivent pas être confondus avec les deltoèdres (épelé avec un "o"), les polyèdres dont les faces sont des cerfs-volants.

## Les huit deltaèdres convexes

| Nom | Faces | Arêtes | Sommets | Configurations de sommet |
| - | - | - | - | - |
| Tétraèdre régulier | 4 | 6 | 4 | 4 × 3³ |
| Diamant triangulaire | 6 | 9 | 5 | 2 × 3³ 3 × $3^4$ |
| Octaèdre régulier | 8 | 12 | 6 | 6 × $3^4$ |
| Diamant pentagonal | 10 | 15 | 7 | 5 × $3^4$ 2 × $3^5$ |
| Disphénoïde adouci | 12 | 18 | 8 | 4 × $3^4$ 4 × $3^5$ |
| Prisme triangulaire triaugmenté | 14 | 21 | 9 | 3 × $3^4$ 6 × $3^5$ |
| Diamant carré gyroallongé | 16 | 24 | 10 | 2 × $3^4$ 8 × $3^5$ |
| Icosaèdre régulier | 20 | 30 | 12 | 12 × $3^5$ |

Seuls trois deltaèdres sont des solides de Platon (polyèdres dans lesquels le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet est constant) :

* le deltaèdre à 4 faces (ou tétraèdre), dans lequel trois faces se rencontrent à chaque sommet
* le deltaèdre à 8 faces (ou octaèdre), dans lequel quatre faces se rencontrent à chaque sommet
* le deltaèdre à 20 faces (ou icosaèdre), dans lequel cinq faces se rencontrent à chaque sommet

Dans le deltaèdre à 6 faces, certains sommets sont de degré 3 et certains de degré 4. Dans les deltaèdres à 10, 12, 14 et 16 faces, certains sommets sont de degrés 4 et certains de degré 5. Ces cinq deltaèdres irréguliers font partie de la classe des solides de Johnson : les polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers.

Les deltaèdres maintiennent leur forme, même si les arêtes sont libres de tourner autour de leurs sommets, c’est-à-dire que les angles entre les arêtes sont fluides. Les polyèdres n'ont pas tous cette propriété : par exemple, si vous relâchez certains angles du cube, le cube peut être déformé en un prisme carré non droit.

## Formes non-convexes

Il existe un nombre infini de formes non-convexes.

Quelques exemples de deltaèdres non-convexes :

* Grand icosaèdre - un solide de Kepler-Poinsot.

D'autres peuvent être engendrés en ajoutant des pyramides équilatérales aux faces de ces cinq polyèdres réguliers :

* triakitétraèdre équilatéral
* tétrakihexaèdre équilatéral
* triakioctaèdre équilatéral (octangle étoilé)
* pentakidodécaèdre équilatéral
* triaki-icosaèdre équilatéral

De plus, en ajoutant des pyramides inversées aux faces :

* Troisième stellation de Wenninger (en) de l'icosaèdre

| Grand icosaèdre (20 triangles se coupant) | Octangle étoilé (24 triangles) | Troisième stellation de l'icosaèdre (60 triangles) |
| - | - | - |
