Algèbre de mélange
# Algèbre de mélange

En mathématiques, et notamment en combinatoire algébrique, une algèbre de mélange est une algèbre de Hopf dont la base est formée de mots sur un certain alphabet avec, comme produit, le produit de mélange $x$ ш $y$ de deux mots $x$ et $y$ : ce produit consiste en l'entrelacement, de toutes les manières possibles, les séquences de lettres composant les $mots^,.$

L'algèbre de mélange sur un ensemble fini est l'algèbre graduée duale de l'algèbre enveloppante universelle de l'algèbre de Lie libre sur cet ensemble.

L'algèbre de mélange sur les nombres rationnels est isomorphe à l'algèbre polynomiale des mots de Lyndon.

## Produit de mélange

Le produit de mélange $x$ ш $y$ de deux mots $x$ de longueur N et $y$ de longueur M est la somme des ${\frac {(N+M)!}{N!M!}}$ mots $x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}\cdots x_{n}y_{n}$, où les $x_{i}$ et les $y_{i}$ sont des mots, tels que $x=x_{1}x_{2}\dots x_{n}$ et $y=y_{1}y_{2}\dots y_{n}$. Par exemple,

    $aab$ ш $ab=6aaabb+3aabab+abaab$.

On peut aussi le définir par récurrence par :

    $ua$ ш $vb$=$(u$ ш $vb)a+(ua$ ш $v)b$.

Le produit de mélange est associatif et commutatif.

## Produit d'infiltration

Le produit d'infiltration est une opération semblable, introduite par Chen, Fox et Lyndon 1958. Il est défini par récurrence sur la longueur des mots, pour deux mots $f$ et $g$ et deux lettres $a\neq b$ (le mot vide est noté $\varepsilon$) comme suit :

    $f\uparrow \varepsilon =\varepsilon \uparrow f=f$ ;
    $fa\uparrow ga=(f\uparrow ga)a+(fa\uparrow g)a+(f\uparrow g)a$ ;
    $fa\uparrow gb=(f\uparrow gb)a+(fa\uparrow g)b$.

Par exemple,

    $a\uparrow a=(\varepsilon \uparrow a)a+(a\uparrow \varepsilon )a+(\varepsilon \uparrow \varepsilon )a=2aa+a$.
    $a\uparrow b=(\varepsilon \uparrow b)a+(a\uparrow \varepsilon )b=ba+ab$.

De même,

    $ab\uparrow ab=ab+2aab+2abb+4aabb+2abab$ ;
    $ab\uparrow ba=aba+bab+abab+2abba+2baab+baba$ .

Le produit d'infiltration est également associatif et commutatif.

