Aire d'un polygone
# Aire d'un polygone

En géométrie, l'aire d'un polygone correspond à la mesure de la superficie (c'est-à-dire l'aire) de la région délimitée par le polygone.

## Polygones simples

Si un polygone simple (c'est-à-dire sans aucune intersection d'aucune paire quelconque de côtés, en dehors du sommet commun à deux côtés successifs) a n sommets qui sont les points

    $P_{0},\ P_{1},\ \ldots ,\ P_{n}=P_{0}$

et si $P_i$ a pour coordonnées $(x_i$ , $y_i)$ alors l'aire du polygone (considérée comme un nombre positif si les sommets sont ordonnés dans le sens trigonométrique et négatif dans le cas contraire) est donnée par :$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),$expression qui peut s'interpréter comme la somme des aires des triangles $OP_iP_{i+1}$ (avec la même convention de signe), ou encore :$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}+x_{i})(y_{i+1}-y_{i})=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})$(ces formules ne sont valables que pour un polygone simple : par exemple un antiparallélogramme, juxtaposition de deux triangles égaux joints par un sommet et parcouru en « huit », donnera une aire totale nulle, résultat de la somme de deux aires opposées, les deux triangles étant parcourus dans des sens contraires).

## Polygones réguliers

Pour un polygone régulier avec n côtés de longueur c, l'aire A est donnée par :

    $A={\frac {nc^{2}}{4\tan(\pi /n)}}.$
