Axiome du choix dénombrable
# Axiome du choix dénombrable

L'axiome du choix dénombrable, noté $AC_ω,$ est un axiome de la théorie des ensembles qui stipule que tout ensemble dénombrable d'ensembles non vides doit avoir une fonction de choix, c'est-à-dire que pour toute suite (A(n)) d'ensembles non vides, il existe une fonction f définie sur N (l'ensemble des entiers naturels) telle que f(n) ∈ A(n) pour tout n ∈ N.

L'axiome du choix dénombrable $(AC_ω)$ est strictement plus faible que l'axiome du choix dépendant (DC), qui à son tour est plus faible que l'axiome du choix (AC). Paul Cohen a montré que $AC_ω$ n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) sans l'axiome du choix. $AC_ω$ est vrai dans le modèle de Solovay (en).

ZF + $AC_ω$ suffit pour prouver que la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Elle suffit également pour prouver que tout ensemble infini est un ensemble infini de Dedekind (en) (de manière équivalente : possède un sous-ensemble infini dénombrable).

$AC_ω$ est particulièrement utile pour le développement de l'analyse, où de nombreux résultats dépendent de l'existence d'une fonction de choix pour une famille dénombrable d'ensembles de nombres réels. Par exemple, afin de prouver que tout point d'accumulation x d'un ensemble S⊆R est la limite d'une suite d'éléments de S\{x}, on a besoin (d'une forme faible) de l'axiome du choix dénombrable. Lorsqu'il est formulé pour les points d'accumulation d'espaces métriques arbitraires, l'énoncé devient équivalent à $AC_ω.$

## Une idée fausse

Une idée fausse communément répandue est que $AC_ω$ a une nature récurrente, et est donc démontrable en tant que théorème (dans ZF, ou équivalent, ou même dans des systèmes plus faibles) par récurrence. Cependant, ce n'est pas le cas; cette fausse idée est le résultat de la confusion de la notion de choix dénombrable avec la notion de choix fini pour un ensemble fini de taille n (pour n choisi arbitrairement), c'est ce dernier résultat (qui est un théorème élémentaire en analyse combinatoire) qui est démontrable par récurrence. Toutefois, il peut être démontré que certains ensembles infinis dénombrables d'ensembles non vides ont une fonction de choix dans ZF sans aucune forme de l'axiome du choix. Ceux-ci comprennent $V_ω\{Ø}$ et l'ensemble d'intervalles ouverts propres et bornés de nombres réels avec des bornes rationnelles.

## Utilisation

Comme exemple d'application de $AC_ω,$ voici une preuve (à partir de $ZF+AC_ω)$ que tout ensemble infini est un ensemble infini de Dedekind :

    Soit X un ensemble infini. Pour tout nombre naturel n, on pose $A_n$ l'ensemble de tous les sous-ensembles de X à $2^n$ éléments. Comme X est infini, chaque $A_n$ possède au moins un élément. Une première application de $AC_ω$ donne une suite $(B_n)$ où chaque $B_n$ est un sous-ensemble de X à $2^n$ éléments.
    Les ensembles $B_n$ ne sont pas nécessairement disjoints, mais on peut définir
       $C_0$ = $B_0$
       $C_n$ = la différence de $B_n$ et de l'union de tous les $C_j,$ pour tout j < n. Clairement, chaque ensemble $C_n$ a au moins 1 et au plus $2^n$ éléments, et les $C_n$ sont deux à deux disjoints. Une deuxième application de $AC_ω$ donne une suite $(c_n)$ avec $c_n$ ∈ $C_n.$
    Donc tous les $c_n$ sont distincts, et X contient un ensemble dénombrable. La fonction qui associe $c_{n+1}$ à chaque $c_n$ (et fixe tous les autres éléments de X) est une injection non surjective de X dans X, ce qui prouve que X est un ensemble infini de Dedekind.
