Algèbre sur un corps
# Algèbre sur un corps

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que :

* (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
* la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
* la loi × est bilinéaire.

## Définitions

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

* (x + y) × z = x × z + y × z ;
* x × (y + z) = x × y + x × z ;
* (a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : A → B telle que

Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.

## Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

## Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères

* Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une algèbre associative sur un corps.
* Une algèbre commutative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est commutative.
* Une algèbre unifère est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × admet un élément neutre, noté 1.

## Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel.

Si $a=(a_{k})_{k\in I}$ est une base de A, il existe alors une unique famille $(c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}$ d'éléments du corps K tels que :

$\displaystyle a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}.$

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que $(c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}$ sont les constantes de structure de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations $a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A pour la base a.

## Exemple d'algèbre de dimension infinie

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb {C}}$. L'ensemble des fonctions analytiques dans $U$ est une ${\mathbb {C}}$-algèbre.

## Exemples d'algèbres de dimension finie

### Algèbres associatives et commutatives

**Nombres complexes**

L'ensemble des nombres complexes (ℂ, + , ·, × ) est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

| | 1 | i |
| - | - | - |
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × i = i |
| i | i × 1 = i | i × i = –1 |

**Corps finis**

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier $(F_p$ = ℤ/pℤ), donc son ordre est $p^n.$

Par exemple le corps fini $F_4$ est une algèbre de dimension 2 sur le corps $F_2$ = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

| | 1 | a |
| - | - | - |
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × a = a |
| a | a × 1 = a | a × a = 1 + a |

**Algèbres quadratiques**

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

| | 1 | x |
| - | - | - |
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × x = x |
| x | x × 1 = x | x × x = a1 + bx |

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).

Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et $F_4$ est une $F_2-algèbre$ quadratique de type (1, 1).

### Algèbres associatives et non commutatives

**Matrices carrées**

L'ensemble $\left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,\times \right)$ des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension $n^2.$

**Quaternions**

L'ensemble (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.

| | 1 | i | j | k |
| - | - | - | - | - |
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × i = i | 1 × j = j | 1 × k = k |
| i | i × 1 = i | i × i = –1 | i × j = k | i × k = –j |
| j | j × 1 = j | j × i = –k | j × j = –1 | j × k = i |
| k | k × 1 = k | k × i = j | k × j = –i | k × k = –1 |

**Biquaternions**

L'ensemble $\scriptstyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\times )$ des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre $\left({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} ),+,\cdot ,\times \right)$ des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.

### Algèbre unifère non associative

L'ensemble des octonions $\scriptstyle (\mathbb {O} ,+,\cdot ,\times )$ est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

### Algèbres non associatives et non unifères

**Produit vectoriel**

L'espace euclidien $ℝ^3$ muni du produit vectoriel, $(\mathbb {R} ^{3},+,\cdot ,\wedge )$, est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe (${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$, ${\vec {w}}$) est :

| | ${\vec {u}}$ | ${\vec {v}}$ | ${\vec {w}}$ |
| - | - | - | - |
| ${\vec {u}}$ | ${\vec {u}}\wedge {\vec {u}}={\vec {0}}$ | ${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\vec {w}}$ | ${\vec {u}}\wedge {\vec {w}}=-{\vec {v}}$ |
| ${\vec {v}}$ | ${\vec {v}}\wedge {\vec {u}}=-{\vec {w}}$ | ${\vec {v}}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}$ | ${\vec {v}}\wedge {\vec {w}}={\vec {u}}$ |
| ${\vec {w}}$ | ${\vec {w}}\wedge {\vec {u}}={\vec {v}}$ | ${\vec {w}}\wedge {\vec {v}}=-{\vec {u}}$ | ${\vec {w}}\wedge {\vec {w}}={\vec {0}}$ |

**Crochet de Lie**

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie : $[M,N]=MN-NM$, $\left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,[,]\right)$ est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension $n^2.$ Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

## Contre-exemple

La ℝ-algèbre (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : i·(j × k) ≠ j × (i·k).

