Insieme aperto
# Insieme aperto

Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.

## Spazi topologici

La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme $X,$ se una qualunque collezione ${\mathcal {T}}$ di sottoinsiemi di $X$ soddisfa le proprietà riportate sotto, $X$ diventa uno spazio topologico, ${\mathcal {T}}$ viene chiamata topologia di $X$ e gli insiemi di ${\mathcal {T}},$ per definizione, i suoi aperti.

Perché la collezione ${\mathcal {T}}$ sia una topologia devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

* l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di ${\mathcal {T}}$ è ancora un insieme di ${\mathcal {T}};$
* l'intersezione di un numero finito di insiemi di ${\mathcal {T}}$ è ancora un insieme di ${\mathcal {T}};$
* l'insieme $X$ e l'insieme vuoto appartengono a ${\mathcal {T}}.$

Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia $(X,{\mathcal {T}}).$ È da notare che se si considera uno stesso insieme $X$ con due diverse topologie ${\mathcal {T}}$ e ${\mathcal {T}}',$ si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.

## Spazi metrici

In uno spazio metrico $(M,d)$, un sottoinsieme $U$ di $M$ si dice aperto se, per ogni $x\in U$, esiste un numero reale $\epsilon >0$ tale che i punti che distano da $x$ per meno di $\epsilon$ appartengono ancora a $U$. Formalmente: se $d(x,y)<\epsilon$, allora $y\in U$. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di $M$ secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).

## Spazio euclideo

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto $U$ dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni $x$ di $U$ esiste una palla di raggio $r>0$ centrata in $x$, interamente contenuta in $U$.

In particolare, un intervallo in $\mathbb {R}$ è aperto se è del tipo $(a,b)$, dove $a$ e $b$ possono anche essere rispettivamente $-\infty$ e $+\infty$.

## Insieme chiuso

A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.

