Metodo generalizzato dei momenti
# Metodo generalizzato dei momenti

Il metodo generalizzato dei momenti (in inglese Generalised Method of Moments, o GMM) è un metodo assai generale di ricerca degli stimatori di un modello statistico; costituisce una generalizzazione del metodo dei momenti. Il metodo è inoltre strettamente collegato al metodo dei minimi quadrati della teoria classica della stima.

La denominazione metodo generalizzato dei momenti è popolare nell'ambito dell'econometria, ma raramente utilizzate al di fuori di tale ambito; in altre discipline ci si riferisce più in generale a equazioni di stima.

## Illustrazione del metodo

L'idea alla base del metodo generalizzato dei momenti è di sfruttare condizioni sui momenti, che possono essere derivate da un problema di stima con poco sforzo. Si consideri dunque un campione di dati $\ \left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}$, e una funzione che dipende da un singolo dato e dal vettore di parametri oggetto di stima $\ \vartheta$, e si imponga che tale funzione, in corrispondenza del valore "vero" dei parametri $\ \vartheta _{0}$, abbia valore atteso nullo:

       $\ {\textrm {E}}\left[f\left(x_{i};\vartheta _{0}\right)\right]=0$

Nel metodo dei momenti, è necessario imporre una condizione del tipo sopra (relativa ai momenti di ordine 1, 2, etc.) per ciascun elemento del vettore $\ \vartheta$; ciò dà origine a un sistema, la cui soluzione è il vettore di stime $\ {\hat {\vartheta }}$. Con il metodo dei momenti generalizzati, è possibile imporre un numero di condizioni che eccede la dimensione del vettore $\ \vartheta$; dal momento che il risultante sistema sarebbe indeterminato, le stime sono ottenute minimizzando una norma generalizzata delle condizioni sui momenti:

       $\ {\hat {\vartheta }}=\arg \min _{\vartheta \in \Theta }\left(\sum _{i}f\left(x_{i};\vartheta \right)\right)'W\left(\sum _{i}f\left(x_{i};\vartheta \right)\right)$ Tutto porta a
    DF=GMm(2rh:r alla quarta)=GMm(2h:r alla terza)

dove $\ \Theta$ denota lo spazio dei parametri, e $\ W$ è una matrice di pesi di dimensione opportuna.

Le stime risultanti dipendono ovviamente da $\ W$; in particolare, sotto alcune condizioni di regolarità è possibile determinare una matrice di pesi ottimale, che minimizza la varianza degli stimatori.

