Insieme chiuso
# Insieme chiuso

In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico $(X,{\mathcal {T}})$:

* l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
* l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
* l'intero insieme $X$ e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su $X$ a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia ${\mathcal {T}}$ degli aperti complementari.

## Esempi

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

* i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
* gli intervalli $[a,b]$, con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
* gli intervalli $[a,+\infty )$ e $(-\infty ,b]$, con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
* i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
* l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

* gli intervalli $[a,b)$ e $(a,b]$, con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
* il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

* un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
* un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a $n$ dimensioni. Più in generale l'insieme $S=\{x\in X:d(x,O)\leq R\}$

dove $O$ è un punto dello spazio ed $R$ un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico $(X,d)$ con topologia indotta dalla metrica $d$.

## Proprietà

* Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
* Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
* La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
* In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
* Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
* La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.
