Insieme finito
# Insieme finito

In matematica, un insieme $X$ è detto finito se esiste una corrispondenza biunivoca (ossia una biiezione) tra un numero naturale $n$ visto come insieme e $X$.

I numeri naturali sono $0=\emptyset$ (dove $\emptyset$ denota l'insieme vuoto), $1=\{0\}$, $2=\{0,1\}=1\cup \{1\}$, etc. Ad esempio l'insieme $X:=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}$ è finito perché la funzione $f:\left\{0,1,2\right\}\rightarrow X$ definita mediante $f(0):=e,\ f(1):=\pi ,\ f(2):=e^{\pi }$ è una biiezione tra $3=\{0,1,2\}$ e $X$.

Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito $X$ occorre dimostrare la seguente affermazione: se esistono $n,m\in \mathbb {N}$ numeri naturali, $f:n\rightarrow X$ e $g:m\rightarrow X$ biiezioni allora $n=m$.

Per dimostrare tale affermazione si considera la funzione composta $g^{-1}f:n\rightarrow m$ che è ancora una biiezione. Basta quindi mostrare che dati $n,m\in \mathbb {N}$ numeri naturali, se $n\rightarrow m$ è una biiezione allora $n=m$. Questo ultimo fatto si dimostra per induzione.

Infatti, sia $S\subseteq \mathbb {N}$ il sottoinsieme degli $n\in \mathbb {N}$ tali che se esiste una funzione biiettiva $n\rightarrow m$ e $m\in \mathbb {N}$ allora $n=m$. Si ha che $0\in \mathbb {N}$ in quanto esiste un’unica $\emptyset \rightarrow m$ ed è biiettiva se e solo se $m=\emptyset =0$. Supponiamo ora che $n\in S$ e mostriamo che $n\cup \{n\}\in S$.

Sia $\tau :n\cup \{n\}\rightarrow m$ biiettiva quindi $m\neq 0$ ed $m=k\cup \{k\}$. A meno di scambi possiamo sempre supporre che $\tau (n)=k$ e quindi $\tau \mid _{n}:n\rightarrow k$ è biiettiva. Per ipotesi induttiva $n\in S$ quindi $n=k$ e $n\cup \{n\}=m$ dunque $n\cup \{n\}\in S$. Abbiamo visto che $S\subseteq \mathbb {N}$ è induttivo dunque $S=\mathbb {N}$.

Quanto visto consente di definire il numero di elementi di un insieme finito $X$ come l'unico numero naturale $n$ tale che esiste una biiezione tra $n$ e $X$. Tale numero si indica con $\#X$ oppure con $|X|$ e si dice anche cardinalità di $X$. Inoltre, si ha che $\#\emptyset =0$.

Ad esempio, l'insieme $X=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}$ ha $3$ elementi, cioè $\#X=3$. Inoltre, $\#\left\{X,-12,18,\pi \right\}=4$ e $\#\left\{1,2,1,1\right\}=2$

Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa assumendo l'assioma della scelta, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.

