Rappresentazioni dei gruppi di Lie
# Rappresentazioni dei gruppi di Lie

Si dice rappresentazione di un gruppo di Lie $G$ su uno spazio vettoriale $V$ un omomorfismo sotto il quale ogni elemento $g$ in $G$ è mappato in un elemento dello spazio degli operatori lineari invertibili agenti su $V$ e consistenti con le operazioni di gruppo.

## Definizione

Una rappresentazione $T$ di un gruppo $G$ sullo spazio vettoriale $V$ è un omomorfismo

    ${\begin{matrix}T:&G&\longrightarrow &Hom(V,W)\\&g&\longmapsto &T(g)\end{matrix}}$

Dove $T(g):V\longrightarrow W$ è invertibile e tale da rispettare le operazioni definenti il gruppo:

    ${\begin{aligned}&T(g_{1}g_{2})=T(g_{1})T(g_{2})\\&T(g^{-1})=[T(g)]^{-1}\end{aligned}}$

dove $[T(g)]^{-1}$ rappresenta l'operatore inverso a $T(g)$.

## Rappresentazione di algebre di Lie

Corrispondentemente alla rappresentazione di gruppo di Lie esiste quella della sua Algebra nello stesso spazio vettoriale V. La rappresentazione di un'algebra di Lie $AG$ su uno spazio vettoriale $V$ è una mappa che manda ogni elemento $A\in AG$ in un elemento $T(A)$ dello spazio delle applicazioni lineari dello spazio vettoriale V coerente con le operazioni dell'algebra:

    ${\begin{aligned}&T(A+B)=T(A)+T(B)\\&T(\alpha A)=\alpha T(A)\\&T([A,B])=[T(A),T(B)]\end{aligned}}$

Perciò il prodotto di Lie viene mandato nel commutatore degli operatori.

## Connessione tra rappresentazioni di gruppo e di algebra

Data T(G) rappresentazione del gruppo di Lie G nello spazio V è possibile costruire la rappresentazione della corrispondente algebra di Lie AG.

    $T(1+\varepsilon A)=1+\varepsilon T(A)$

Dove $(1+\varepsilon A)$ è un elemento del gruppo G vicino all'unità, e di conseguenza A è un elemento dell'algebra di Lie. Nonostante ciò non ogni rappresentazione di algebra è costruita da rappresentazione di gruppi.

Esiste sempre una rappresentazione dell'algebra di dimensione n in termini di matrici nxn: questa è la rappresentazione aggiunta.

