Rappresentazione simplettica
# Rappresentazione simplettica

Nel settore della matematica della teoria delle rappresentazione dei gruppi, una rappresentazione simplettica è una rappresentazione di un gruppo o di un'algebra di Lie su uno spazio vettoriale simplettico (V, ω) che conserva la forma simplettica ω. Dove ω è una forma bilineare simplettica

    $\omega \colon V\times V\to \mathbb {F}$

dove F è il campo scalare. Una rappresentazione di un gruppo G conserva ω se:

    $\omega (g\cdot v,g\cdot w)=\omega (v,w)$

per tutti i g in G e i v, w in V, mentre una rappresentazione di un'algebra di Lie g preserva ω se:

    $\omega (\xi \cdot v,w)+\omega (v,\xi \cdot w)=0$

per tutti gli ξ in g e i v, w in V. Così una rappresentazione di G (o di g) è un omomorfismo fra G (o algebra di Lie g) e un gruppo simplettico Sp (V, ω) (o la sua algebra di Lie Sp (V, ω))

Fissata una base, $\omega$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari.

## Spazio vettoriale simplettico

In algebra lineare, si chiama spazio vettoriale simplettico uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione pari dotato di una funzione $\omega :V\times V\to \mathbb {R}$ tale che, per ogni $v,v',w,w'$ in $V$ e per ogni $\lambda ,\mu$ in $\mathbb {R}$

    $\omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)$
    $\omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')$
    $\omega (v,w)=-\omega (w,v)$
    $\omega (v,w)=0$ per ogni $w$ implica $v=0$

In altre parole, $\omega$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. $V$ munito della forma $\omega$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, $\omega$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare.

