Scala (grafo)
# Scala (grafo)

Nell'ambito matematico della teoria dei grafi, un grafo a scala, denotato con $L_{n}$, è un grafo planare non orientato avente 2n vertici e 3n-2 spigoli.

Il grafo è scala può essere costruito ed espresso come il prodotto cartesiano di due grafi lineari, dei quali almeno uno ha un unico bordo. In simboli, si ha: $L_{n,1}=P_{n}xP_{2}$.

## Proprietà

Per costruzione, il grafo a scala è isomorfo al grafo a griglia $G_{2,n}$ e appare con la forma di una scala di n gradini. È un cammino hamiltoniano avente:

* calibro pari a 4, se $n>1$ (caso del grafo a scala non degenere);
* indice cromatico uguale a 3, se $n>2$.

Il numero cromatico del grafo a scala è 2, mentre il polinomio cromatico è $(x-1)x(x^{2}-3x+3)^{(n-1)}$.

* Il numero cromatico del grafo a scala è 2

## Ladder rung graph

Talora, l'espressione "grafo a scala" indica il grafo a scala di livello (ladder rung graph, LR) denotato con $nxP_{2}$, poiché è l'unione grafica di n copie del grafo lineare $P_2:$

## Grafo a scala circolare

Il grafo a scala circolare (in inglese: Circular ladder graph) $CL_n$ può essere costruito dalla connessione in modo perpendicolare di 4 vertici di 2 gradi ciascuno (cioè associati a due spigoli), oppure dal prodotto cartesiano di un grafo completo di due vertici con un ciclo di n vertici (in simbli: $CL_n$ = $K_n$ × $C_n),$ ovvero di un grafo ciclo di lunghezza n≥3 con uno lineare (in simboli: $CL_n$ = $C_n$ × $P_2).$ Esso ha 2n vertici e 3n spigoli.

Come gli altri grafi a scala, è un connesso e planare, un cammino hamiltoniano, con la differenza che è un bipartito se e solo se n è pari. I grafi a scala circolare sono grafi poliedrici di prismi e pertanto sono comunemente chiamati grafi prismi. Esempi di grafi a scala circolari sono i seguenti.

| CL3 | CL4 | CL5 | CL6 | CL7 | CL8 |
| - | - | - | - | - | - |

## Scala di Möbius

Se i quattro vertici di due gradi ciascuno vengono connessi in modo trasversale, si ottiene un tipo di grafo cubico chiamato (grafo a) scala di Möbius:

