Insieme denso
# Insieme denso

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

## Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico. Un sottoinsieme $A$ di $X$ è denso in $X$ se l'unico sottoinsieme chiuso di $X$ contenente $A$ è $X$ stesso, ovvero la chiusura di $A$ è $X$.

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. $A$ è denso in $X$ se e solo se:

* Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di $X$ interseca $A$.
* Il complementare di $A$ ha parte interna vuota.
* Ogni punto di $X$ o appartiene ad $A$ o è un punto di accumulazione per $A$.

## Esempi

* Ogni spazio topologico $S$ è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di $S$ e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in $S$.
* Lo spazio dei numeri reali con l'usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numero algebrici, dei numero trascendenti e il complementare dell'insieme di Cantor come sottoinsiemi densi.
* Se $A\subseteq B\subseteq C$ e $A$ è denso in $C$, allora anche $B$ è denso in $C$.
* Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine.
* Il complementare di un insieme mai denso è denso.
* Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo.
* Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell'insieme $C[a,b]$ delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$, dotato della distanza

       $d_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|$
* Uno spazio metrico $M$ è denso nel suo completamento $\gamma M$
